Hem › Broms › Konvertera numeriska och alfabetiska uttryck. Power uttryck (uttryck med potenser) och deras omvandling 10 bokstäver uttryck

Konvertera numeriska och alfabetiska uttryck. Power uttryck (uttryck med potenser) och deras omvandling 10 bokstäver uttryck

Uttryck, uttrycksomvandling

Maktuttryck (uttryck med krafter) och deras omvandling

I den här artikeln kommer vi att prata om att konvertera uttryck med krafter. Först kommer vi att fokusera på transformationer som utförs med uttryck av alla slag, inklusive kraftuttryck, som att öppna parenteser och ta med liknande termer. Och sedan kommer vi att analysera de transformationer som är inneboende specifikt i uttryck med grader: arbeta med basen och exponenten, använda egenskaperna för grader, etc.

Sidnavigering.

Vad är maktuttryck?

Begreppet "maktuttryck" förekommer praktiskt taget inte i matematikläroböckerna i skolan, men det förekommer ganska ofta i problemsamlingar, särskilt de som är avsedda för förberedelser inför Unified State Exam och Unified State Exam till exempel. Efter att ha analyserat de uppgifter där det är nödvändigt att utföra några åtgärder med maktuttryck, blir det tydligt att maktuttryck förstås som uttryck som innehåller makter i sina poster. Därför kan du acceptera följande definition för dig själv:

Definition.

Maktuttryckär uttryck som innehåller grader.

Låt oss ge exempel på maktuttryck. Dessutom kommer vi att presentera dem efter hur utvecklingen av synpunkter på från en grad med naturlig exponent till en grad med verklig exponent sker.

Som bekant får man först bekanta sig med potensen av ett tal med en naturlig exponent i detta skede, de första enklaste potensuttrycken av typen 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 visas −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 osv.

Lite senare studeras potensen av ett tal med en heltalsexponent, vilket leder till uppkomsten av potensuttryck med negativa heltalspotenser, som följande: 3 −2, a -2 +2 b -3 + c2.

På gymnasiet återgår de till examina. Där introduceras en grad med en rationell exponent, vilket innebär uppkomsten av motsvarande maktuttryck: , , och så vidare. Slutligen betraktas grader med irrationella exponenter och uttryck som innehåller dem: , .

Saken är inte begränsad till de listade potensuttrycken: vidare tränger variabeln in i exponenten, och till exempel uppstår följande uttryck: 2 x 2 +1 eller . Och efter att ha bekantat sig med , börjar uttryck med potenser och logaritmer dyka upp, till exempel x 2·lgx −5·x lgx.

Så vi har behandlat frågan om vad maktuttryck representerar. Därefter kommer vi att lära oss att förvandla dem.

Huvudtyper av transformationer av maktuttryck

Med maktuttryck kan du utföra vilken som helst av uttryckens grundläggande identitetsomvandlingar. Du kan till exempel öppna parenteser, ersätta numeriska uttryck med deras värden, lägga till liknande termer osv. Naturligtvis är det i det här fallet nödvändigt att följa den accepterade proceduren för att utföra åtgärder. Låt oss ge exempel.

Exempel.

Beräkna värdet på potensuttrycket 2 3 ·(4 2 −12) .

Lösning.

Utför först åtgärderna inom parentes enligt ordningen för utförande av åtgärder. Där ersätter vi för det första potensen 4 2 med dess värde 16 (om nödvändigt, se), och för det andra beräknar vi skillnaden 16−12=4. Vi har 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

I det resulterande uttrycket ersätter vi potensen 2 3 med dess värde 8, varefter vi beräknar produkten 8·4=32. Detta är det önskade värdet.

Så, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Svar:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exempel.

Förenkla uttryck med krafter 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Lösning.

Uppenbarligen innehåller detta uttryck liknande termer 3·a 4 ·b −7 och 2·a 4 ·b −7 , och vi kan presentera dem: .

Svar:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exempel.

Uttryck ett uttryck med krafter som produkt.

Lösning.

Du kan klara av uppgiften genom att representera talet 9 som en potens av 3 2 och sedan använda formeln för förkortad multiplikation - kvadratskillnad:

Svar:

Det finns också ett antal identiska transformationer som är inneboende specifikt i maktuttryck. Vi kommer att analysera dem vidare.

Arbeta med bas och exponent

Det finns potenser vars bas och/eller exponent inte bara är tal eller variabler, utan några uttryck. Som exempel ger vi posterna (2+0,3·7) 5−3,7 och (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

När du arbetar med sådana uttryck kan du ersätta både uttrycket i gradens bas och uttrycket i exponenten med ett identiskt lika uttryck i ODZ för dess variabler. Med andra ord, enligt de regler som är kända för oss, kan vi separat transformera gradens bas och exponenten separat. Det är tydligt att som ett resultat av denna transformation kommer ett uttryck att erhållas som är identiskt lika med det ursprungliga.

Sådana transformationer tillåter oss att förenkla uttryck med krafter eller uppnå andra mål vi behöver. Till exempel, i potensuttrycket som nämns ovan (2+0,3 7) 5−3,7, kan du utföra operationer med talen i basen och exponenten, vilket gör att du kan flytta till potensen 4,1 1,3. Och efter att ha öppnat parenteserna och fört liknande termer till gradens bas (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), får vi ett potensuttryck av en enklare form a 2·(x+ 1) .

Använda examensegenskaper

Ett av de viktigaste verktygen för att transformera uttryck med krafter är jämlikheter som reflekterar. Låt oss komma ihåg de viktigaste. För alla positiva tal a och b och godtyckliga reella tal r och s är följande egenskaper hos potenser sanna:

a r ·a s =a r+s;
a r:a s =a r−s;
(a·b) r =a r · br;
(a:b) r =a r:b r;
(a r) s =a r·s .

Observera att för naturliga, heltals och positiva exponenter kanske begränsningarna för talen a och b inte är så strikta. Till exempel, för naturliga tal m och n gäller likheten a m ·a n =a m+n inte bara för positivt a, utan också för negativt a, och för a=0.

I skolan ligger huvudfokus när man transformerar kraftuttryck på förmågan att välja lämplig egenskap och tillämpa den korrekt. I det här fallet är grunderna för grader vanligtvis positiva, vilket gör att graders egenskaper kan användas utan begränsningar. Detsamma gäller omvandlingen av uttryck som innehåller variabler i potensbaserna - intervallet för tillåtna värden för variabler är vanligtvis sådant att baserna endast tar positiva värden på det, vilket gör att du fritt kan använda egenskaperna hos potenser . I allmänhet måste du ständigt fråga dig själv om det är möjligt att använda någon egenskap av grader i det här fallet, eftersom felaktig användning av egenskaper kan leda till en minskning av det pedagogiska värdet och andra problem. Dessa punkter diskuteras i detalj och med exempel i artikeln transformation av uttryck med hjälp av egenskaper hos grader. Här kommer vi att begränsa oss till att överväga några enkla exempel.

Exempel.

Uttryck uttrycket a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 som en potens med basen a.

Lösning.

Först transformerar vi den andra faktorn (a 2) −3 genom att använda egenskapen att höja en potens till en potens: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Det ursprungliga kraftuttrycket kommer att ha formen a 2,5 ·a −6:a −5,5. Uppenbarligen återstår det att använda egenskaperna för multiplikation och division av potenser med samma bas, vi har
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Svar:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Potens egenskaper vid transformering av maktuttryck används både från vänster till höger och från höger till vänster.

Exempel.

Hitta värdet på kraftuttrycket.

Lösning.

Likheten (a·b) r =a r ·b r, applicerad från höger till vänster, tillåter oss att gå från det ursprungliga uttrycket till en produkt av formen och vidare. Och när man multiplicerar potenser med samma baser, summerar exponenterna: .

Det var möjligt att transformera det ursprungliga uttrycket på ett annat sätt:

Svar:

Exempel.

Givet maktuttrycket a 1,5 −a 0,5 −6, introducera en ny variabel t=a 0,5.

Lösning.

Graden a 1,5 kan representeras som en 0,5 3 och sedan, baserat på egenskapen för graden till graden (a r) s =a r s, applicerad från höger till vänster, transformera den till formen (a 0,5) 3. Således, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Nu är det lätt att introducera en ny variabel t=a 0,5, vi får t 3 −t−6.

Svar:

t 3 −t−6 .

Omvandla bråk som innehåller potenser

Potensuttryck kan innehålla eller representera bråk med potenser. Alla de grundläggande omvandlingarna av fraktioner som är inneboende i fraktioner av något slag är fullt tillämpliga på sådana fraktioner. Det vill säga att bråk som innehåller potenser kan reduceras, reduceras till en ny nämnare, arbetas separat med sin täljare och separat med nämnaren osv. För att illustrera dessa ord, överväg lösningar på flera exempel.

Exempel.

Förenkla kraftuttryck .

Lösning.

Detta kraftuttryck är en bråkdel. Låt oss arbeta med dess täljare och nämnare. I täljaren öppnar vi parenteserna och förenklar det resulterande uttrycket med hjälp av egenskaperna hos potenser, och i nämnaren presenterar vi liknande termer:

Och låt oss också ändra nämnarens tecken genom att sätta ett minus framför bråket: .

Svar:

Att reducera bråk som innehåller potenser till en ny nämnare utförs på samma sätt som att reducera rationella bråk till en ny nämnare. I det här fallet hittas också en ytterligare faktor och bråkets täljare och nämnare multipliceras med den. När du utför denna åtgärd är det värt att komma ihåg att minskning till en ny nämnare kan leda till en minskning av VA. För att förhindra att detta händer är det nödvändigt att tilläggsfaktorn inte går till noll för några värden på variablerna från ODZ-variablerna för det ursprungliga uttrycket.

Exempel.

Minska bråken till en ny nämnare: a) till nämnaren a, b) till nämnaren.

Lösning.

a) I det här fallet är det ganska lätt att räkna ut vilken ytterligare multiplikator som hjälper till att uppnå det önskade resultatet. Detta är en multiplikator på 0,3, eftersom a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Observera att inom intervallet för tillåtna värden för variabeln a (detta är mängden av alla positiva reella tal), försvinner inte styrkan av en 0,3, därför har vi rätt att multiplicera täljaren och nämnaren för en given given bråkdel med denna ytterligare faktor:

b) Om du tittar närmare på nämnaren kommer du att se det

och multiplicera detta uttryck med kommer att ge summan av kuber och , det vill säga . Och detta är den nya nämnaren till vilken vi måste reducera den ursprungliga bråkdelen.

Så här hittade vi den extra faktorn. Inom intervallet för tillåtna värden för variablerna x och y försvinner inte uttrycket, därför kan vi multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med det:

Svar:

A) , b) .

Det finns inte heller något nytt i att reducera bråk som innehåller potenser: täljaren och nämnaren representeras som ett antal faktorer, och samma faktorer för täljaren och nämnaren reduceras.

Exempel.

Minska andelen: a) , b) .

Lösning.

a) För det första kan täljaren och nämnaren reduceras med siffrorna 30 och 45, vilket är lika med 15. Det är också självklart möjligt att utföra en reduktion med x 0,5 +1 och med . Här är vad vi har:

b) I detta fall är identiska faktorer i täljaren och nämnaren inte direkt synliga. För att få dem måste du utföra preliminära transformationer. I det här fallet består de i att faktorisera nämnaren med hjälp av formeln med kvadratskillnaden:

Svar:

A)

b) .

Att konvertera bråk till en ny nämnare och reducerande bråk används främst för att göra saker med bråk. Åtgärder utförs enligt kända regler. När man adderar (subtraherar) bråk reduceras de till en gemensam nämnare, varefter täljarna adderas (subtraheras), men nämnaren förblir densamma. Resultatet är ett bråk vars täljare är produkten av täljarna, och nämnaren är produkten av nämnarna. Division med bråk är multiplikation med dess invers.

Exempel.

Följ stegen .

Lösning.

Först subtraherar vi bråken inom parentes. För att göra detta tar vi dem till en gemensam nämnare, som är , varefter vi subtraherar täljarna:

Nu multiplicerar vi bråken:

Uppenbarligen är det möjligt att reducera med en potens av x 1/2, varefter vi har .

Du kan också förenkla potensuttrycket i nämnaren genom att använda kvadratskillnadens formel: .

Svar:

Exempel.

Förenkla kraftuttrycket .

Lösning.

Uppenbarligen kan denna fraktion reduceras med (x 2,7 +1) 2, detta ger fraktionen . Det är tydligt att något annat måste göras med krafterna hos X. För att göra detta omvandlar vi den resulterande fraktionen till en produkt. Detta ger oss möjlighet att dra fördel av egenskapen att dela befogenheter med samma grunder: . Och i slutet av processen går vi från den sista produkten till fraktionen.

Svar:

Och låt oss också tillägga att det är möjligt, och i många fall önskvärt, att överföra faktorer med negativa exponenter från täljaren till nämnaren eller från nämnaren till täljaren, genom att ändra exponentens tecken. Sådana omvandlingar förenklar ofta ytterligare åtgärder. Till exempel kan ett maktuttryck ersättas med .

Konvertera uttryck med rötter och krafter

Ofta, i uttryck där vissa transformationer krävs, finns också rötter med bråkexponenter tillsammans med potenser. För att omvandla ett sådant uttryck till önskad form räcker det i de flesta fall att bara gå till rötter eller bara till makter. Men eftersom det är bekvämare att arbeta med krafter, flyttar de vanligtvis från rötter till makter. Det är dock tillrådligt att utföra en sådan övergång när ODZ för variabler för det ursprungliga uttrycket tillåter dig att ersätta rötterna med potenser utan att behöva referera till modulen eller dela upp ODZ i flera intervall (vi diskuterade detta i detalj i artikelövergången från rötter till potenser och tillbaka Efter att ha bekantat sig med graden med en rationell exponent introduceras en grad med en irrationell exponent, vilket gör att vi kan prata om en grad med en godtycklig verklig exponent studerade i skolan. exponentiell funktion, som analytiskt ges av en potens, vars bas är ett tal och exponenten är en variabel. Så vi står inför maktuttryck som innehåller tal i potensens bas, och i exponenten - uttryck med variabler, och naturligtvis uppstår behovet av att utföra transformationer av sådana uttryck.

Det bör sägas att omvandlingen av uttryck av den angivna typen vanligtvis måste utföras vid lösning exponentiella ekvationer Och exponentiella ojämlikheter, och dessa omvandlingar är ganska enkla. I den överväldigande majoriteten av fallen utgår de från examens egenskaper och syftar till största delen till att införa en ny variabel i framtiden. Ekvationen kommer att tillåta oss att demonstrera dem 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

För det första ersätts potenser, i vilkas exponenter är summan av en viss variabel (eller uttryck med variabler) och ett tal, med produkter. Detta gäller de första och sista termerna i uttrycket på vänster sida:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Därefter delas båda sidor av likheten med uttrycket 7 2 x, som på ODZ för variabeln x för den ursprungliga ekvationen endast tar positiva värden (detta är en standardteknik för att lösa ekvationer av denna typ, vi är inte pratar om det nu, så fokusera på efterföljande transformationer av uttryck med krafter ):

Nu kan vi annullera bråk med potenser, vilket ger .

Slutligen ersätts förhållandet mellan potenser med samma exponenter av potenser av relationer, vilket resulterar i ekvationen , vilket är likvärdigt . De transformationer som gjorts tillåter oss att introducera en ny variabel, som reducerar lösningen av den ursprungliga exponentiella ekvationen till lösningen av en andragradsekvation

I. V. Boykov, L. D. Romanova Samling av uppgifter för att förbereda sig för Unified State Exam. Del 1. Penza 2003.

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

Om det är nödvändigt - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Valfritt kursprogram "Konvertera numeriska och alfabetiska uttryck"

Förklarande anteckning

Under de senaste åren har kvalitetskontroll av skolans matematikundervisning utförts med hjälp av CMM, vars huvuddelen av uppgifterna erbjuds i testform. Denna form av provning skiljer sig från den klassiska tentamen och kräver särskild förberedelse. Ett kännetecken för att testa i den form som har utvecklats hittills är behovet av att besvara ett stort antal frågor under en begränsad tidsperiod, d.v.s. Det krävs inte bara för att svara korrekt på frågorna utan också att göra det tillräckligt snabbt. Därför är det viktigt för eleverna att behärska olika tekniker och metoder som gör att de kan uppnå önskat resultat.

När du löser nästan alla matematiska problem i skolan måste du göra några transformationer. Ofta bestäms dess komplexitet helt av graden av komplexitet och mängden transformation som behöver utföras. Det är inte ovanligt att en elev inte kan lösa ett problem, inte för att han inte vet hur det löses, utan för att han inte kan göra alla nödvändiga omvandlingar och beräkningar på den tilldelade tiden utan fel.

Exempel på att konvertera numeriska uttryck är viktiga inte i sig, utan som ett sätt att utveckla konverteringstekniker. Med varje skolår expanderar begreppet tal från naturligt till verkligt, och i gymnasiet studeras transformationer av makt, logaritmiska och trigonometriska uttryck. Detta material är ganska svårt att studera, eftersom det innehåller många formler och omvandlingsregler.

För att förenkla ett uttryck, utföra de nödvändiga åtgärderna eller beräkna värdet på ett uttryck, måste du veta i vilken riktning du ska "röra" dig längs vägen för transformationer som leder till rätt svar längs den kortaste "vägen". Valet av en rationell väg beror till stor del på innehavet av hela mängden information om metoderna för att transformera uttryck.

I gymnasieskolan finns ett behov av att systematisera och fördjupa kunskaper och praktiska färdigheter i att arbeta med numeriska uttryck. Statistik visar att cirka 30 % av de fel som görs vid ansökan till universitet är av beräkningskaraktär. Därför, när man överväger relevanta ämnen i mellanstadiet och när man upprepar dem i gymnasiet, är det nödvändigt att ägna mer uppmärksamhet åt utvecklingen av datorkunskaper hos skolbarn.

Därför kan vi, för att hjälpa lärare att undervisa i 11:e klass på en specialiserad skola, erbjuda en valbar kurs "Konvertera numeriska och alfabetiska uttryck i en matematikkurs i skolan."

Betyg:== 11

Valbar kurstyp:

systematiserande, generaliserande och fördjupande kurs.

Antal timmar:

34 (per vecka – 1 timme)

Utbildningsområde:

matematik

Mål och mål med kursen:

Systematisering, generalisering och expansion av elevernas kunskaper om siffror och operationer med dem; - bildande av intresse för beräkningsprocessen; - utveckling av självständighet, kreativt tänkande och kognitivt intresse hos eleverna; - anpassning av studenter till nya regler för antagning till universitet.

Organisation av kursstudien

Den valbara kursen ”Konvertera siffer- och bokstavsuttryck” utökar och fördjupar den grundläggande matematikläroplanen i gymnasiet och är utformad för studier i 11:e klass. Den föreslagna kursen syftar till att utveckla beräkningsförmåga och tänkande. Kursen är uppbyggd efter en klassisk lektionsplan, med tonvikt på praktiska övningar. Den är utformad för studenter med en hög eller genomsnittlig nivå av matematisk förberedelse och är utformad för att hjälpa dem att förbereda sig för antagning till universitet och underlätta fortsättningen av seriös matematisk utbildning.

Planerade resultat:

Kunskaper om nummerklassificering;

Förbättra snabbräkningsfärdigheter och -förmågor;

Förmåga att använda matematiska verktyg vid lösning av olika problem;

Utveckling av logiskt tänkande, vilket underlättar fortsättningen av seriös matematisk utbildning.

Innehållet i det valbara ämnet "Transformation av numeriska och alfabetiska uttryck"

Heltal (4h): Nummerserie. Grundläggande sats för aritmetik. GCD och NOC. Tecken på delbarhet. Metod för matematisk induktion.

Rationella tal (2h): Definition av ett rationellt tal. Huvudegenskapen för en bråkdel. Förkortade multiplikationsformler. Definition av periodisk fraktion. Regeln för omvandling från ett decimalt periodiskt bråktal till ett vanligt bråktal.

Irrationella siffror. Radikaler. Grader. Logaritmer (6h): Definition av ett irrationellt tal. Bevis på irrationaliteten hos ett nummer. Att bli av med irrationalitet i nämnaren. Riktiga nummer. Gradens egenskaper. Egenskaper för den aritmetiska roten av den n:e graden. Definition av logaritm. Egenskaper för logaritmer.

Trigonometriska funktioner (4h): Nummercirkel. Numeriska värden för trigonometriska funktioner för grundläggande vinklar. Konvertera storleken på en vinkel från ett gradmått till ett radianmått och vice versa. Grundläggande trigonometriska formler. Reduktionsformler. Omvända trigonometriska funktioner. Trigonometriska operationer på bågfunktioner. Grundläggande samband mellan bågfunktioner.

Komplexa tal (2h): Begreppet ett komplext tal. Åtgärder med komplexa tal. Trigonometriska och exponentiella former av komplexa tal.

Mellanliggande test (2h)

Jämförelse av numeriska uttryck (4h): Numeriska olikheter på uppsättningen av reella tal. Egenskaper för numeriska ojämlikheter. Stöd ojämlikheter. Metoder för att bevisa numeriska ojämlikheter.

Bokstavliga uttryck (8h): Regler för omvandling av uttryck med variabler: polynom; algebraiska fraktioner; irrationella uttryck; trigonometriska och andra uttryck. Bevis på identiteter och ojämlikheter. Förenkla uttryck.

Utbildnings- och tematisk plan

Planen varar i 34 timmar. Den är utformad med hänsyn till ämnet för avhandlingen, så två separata delar beaktas: numeriska och alfabetiska uttryck. Efter lärarens bedömning kan alfabetiska uttryck övervägas tillsammans med numeriska uttryck i lämpliga ämnen.

№	Lektionens ämne	Antal timmar
1.1	Heltal	2
1.2	Metod för matematisk induktion	2
2.1	Rationella nummer	1
2.2	Decimala periodiska bråk	1
3.1	Irrationella siffror	2
3.2	Rötter och grader	2
3.3	Logaritmer	2
4.1	Trigonometriska funktioner	2
4.2	Omvända trigonometriska funktioner	2
5	Komplexa tal	2
	Testa på ämnet "Numeriska uttryck"	2
6	Jämföra numeriska uttryck	4
7.1	Konvertera uttryck med radikaler	2
7.2	Konvertera kraft och logaritmiska uttryck	2
7.3	Konvertera trigonometriska uttryck	2
	Sista testet	2
	Total	34

Att skriva villkoren för problem med den notation som accepteras i matematik leder till uppkomsten av så kallade matematiska uttryck, som helt enkelt kallas uttryck. I den här artikeln kommer vi att prata i detalj om numeriska, alfabetiska och variabla uttryck: vi kommer att ge definitioner och ge exempel på uttryck av varje typ.

Sidnavigering.

Numeriska uttryck - vad är de?

Bekantskapen med numeriska uttryck börjar nästan från de allra första matematiklektionerna. Men de får officiellt sitt namn - numeriska uttryck - lite senare. Till exempel, om du följer kursen för M.I. Moro, händer detta på sidorna i en matematiklärobok för 2 årskurser. Där ges idén med numeriska uttryck enligt följande: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, etc. - detta är allt numeriska uttryck, och om vi utför de angivna åtgärderna i uttrycket hittar vi uttrycksvärde.

Vi kan dra slutsatsen att i detta skede av matematikstudier är numeriska uttryck poster med en matematisk betydelse som består av tal, parenteser och additions- och subtraktionstecken.

Lite senare, efter att ha blivit bekant med multiplikation och division, börjar register över numeriska uttryck innehålla tecknen "·" och ":". Låt oss ge några exempel: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3, etc.

Och på gymnasiet växer mångfalden av inspelningar av numeriska uttryck som en snöboll som rullar nerför ett berg. De innehåller vanliga och decimala bråk, blandade tal och negativa tal, potenser, rötter, logaritmer, sinus, cosinus och så vidare.

Låt oss sammanfatta all information i definitionen av ett numeriskt uttryck:

Definition.

Numeriskt uttryckär en kombination av tal, tecken på aritmetiska operationer, bråklinjer, tecken på rötter (radikaler), logaritmer, notationer för trigonometriska, inversa trigonometriska och andra funktioner, samt parenteser och andra speciella matematiska symboler, sammanställda i enlighet med de regler som accepteras i matematik.

Låt oss förklara alla komponenterna i den angivna definitionen.

Numeriska uttryck kan involvera absolut vilket tal som helst: från naturligt till verkligt och till och med komplext. Det vill säga i numeriska uttryck man kan hitta

Allt är klart med tecknen på aritmetiska operationer - dessa är tecknen på addition, subtraktion, multiplikation och division, respektive med formen "+", "−", "·" och ":". Numeriska uttryck kan innehålla ett av dessa tecken, några av dem, eller alla på en gång, och dessutom flera gånger. Här är exempel på numeriska uttryck med dem: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

När det gäller parenteser finns det både numeriska uttryck som innehåller parenteser och uttryck utan dem. Om det finns parenteser i ett numeriskt uttryck, så är de det i princip

Och ibland har parenteser i numeriska uttryck något specifikt, separat angivet speciellt syfte. Till exempel kan du hitta hakparenteser som betecknar heltalsdelen av ett tal, så det numeriska uttrycket +2 betyder att talet 2 läggs till heltalsdelen av talet 1,75.

Av definitionen av ett numeriskt uttryck framgår också att uttrycket kan innehålla , , log , ln , lg , notationer eller etc. Här är exempel på numeriska uttryck med dem: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 och .

Division i numeriska uttryck kan anges med . I detta fall sker numeriska uttryck med bråk. Här är exempel på sådana uttryck: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 och .

Som speciella matematiska symboler och notationer som kan hittas i numeriska uttryck presenterar vi . Låt oss till exempel visa ett numeriskt uttryck med modulen .

Vad är bokstavliga uttryck?

Begreppet bokstavsuttryck ges nästan omedelbart efter att man blivit bekant med numeriska uttryck. Den skrivs in ungefär så här. I ett visst numeriskt uttryck skrivs inte ett av talen ner, utan istället placeras en cirkel (eller kvadrat eller något liknande), och man säger att ett visst tal kan ersätta cirkeln. Låt oss till exempel titta på posten. Sätter du till exempel talet 2 istället för en kvadrat får du det numeriska uttrycket 3+2. Så istället för cirklar, fyrkanter osv. gick med på att skriva ner bokstäver, och sådana uttryck med bokstäver kallades bokstavliga uttryck. Låt oss återgå till vårt exempel, om vi i den här posten sätter bokstaven a istället för en kvadrat, får vi ett bokstavligt uttryck av formen 3+a.

Så om vi i ett numeriskt uttryck tillåter närvaron av bokstäver som betecknar vissa siffror, får vi ett så kallat bokstavligt uttryck. Låt oss ge motsvarande definition.

Definition.

Ett uttryck som innehåller bokstäver som representerar vissa siffror kallas bokstavligt uttryck.

Av denna definition är det tydligt att ett bokstavligt uttryck i grunden skiljer sig från ett numeriskt uttryck genom att det kan innehålla bokstäver. Vanligtvis används små bokstäver i det latinska alfabetet (a, b, c, ...) i bokstavsuttryck, och små bokstäver i det grekiska alfabetet (α, β, γ, ...) används för att beteckna vinklar.

Så, bokstavliga uttryck kan vara sammansatta av siffror, bokstäver och innehålla alla matematiska symboler som kan förekomma i numeriska uttryck, såsom parenteser, rottecken, logaritmer, trigonometriska och andra funktioner, etc. Vi betonar separat att ett bokstavligt uttryck innehåller minst en bokstav. Men den kan också innehålla flera identiska eller olika bokstäver.

Låt oss nu ge några exempel på bokstavliga uttryck. Till exempel är a+b ett bokstavligt uttryck med bokstäverna a och b. Här är ett annat exempel på det bokstavliga uttrycket 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5. Och här är ett exempel på ett komplext bokstavligt uttryck: .

Uttryck med variabler

Om en bokstav i ett bokstavligt uttryck betecknar en kvantitet som inte antar ett specifikt värde, utan kan anta olika värden, så kallas denna bokstav variabel och uttrycket kallas uttryck med variabel.

Definition.

Uttryck med variablerär ett bokstavligt uttryck där bokstäverna (alla eller några) betecknar kvantiteter som får olika värden.

Låt till exempel bokstaven x i uttrycket x 2 −1 ta alla naturliga värden från intervallet från 0 till 10, då är x en variabel och uttrycket x 2 −1 är ett uttryck med variabeln x.

Det är värt att notera att det kan finnas flera variabler i ett uttryck. Till exempel, om vi betraktar x och y som variabler, då uttrycket är ett uttryck med två variabler x och y.

I allmänhet sker övergången från begreppet bokstavligt uttryck till uttryck med variabler i årskurs 7, när de börjar studera algebra. Fram till denna punkt modellerade bokstavsuttryck vissa specifika uppgifter. I algebra börjar de titta på uttrycket mer generellt, utan hänvisning till ett specifikt problem, med förståelsen att detta uttryck passar ett stort antal problem.

Som avslutning på denna punkt, låt oss uppmärksamma ytterligare en punkt: genom uppkomsten av ett bokstavligt uttryck är det omöjligt att veta om bokstäverna som ingår i det är variabler eller inte. Därför är det inget som hindrar oss från att betrakta dessa bokstäver som variabler. I det här fallet försvinner skillnaden mellan termerna "bokstavligt uttryck" och "uttryck med variabler".

Bibliografi.

Matematik. 2 klasser Lärobok för allmänbildning institutioner med adj. per elektron bärare. Klockan 14.00 del 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3:e uppl. - M.: Utbildning, 2012. - 96 s.: ill. - (Rysslands skola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
Matematik: lärobok för 5:e klass. Allmän utbildning institutioner / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21:a uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Algebra: lärobok för 7:e klass Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 17:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 240 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: lärobok för 8:e klass. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Ett bokstavligt uttryck (eller variabelt uttryck) är ett matematiskt uttryck som består av siffror, bokstäver och matematiska symboler. Till exempel är följande uttryck bokstavligt:

a+b+4

Med hjälp av alfabetiska uttryck kan du skriva lagar, formler, ekvationer och funktioner. Förmågan att manipulera bokstavsuttryck är nyckeln till goda kunskaper i algebra och högre matematik.

Alla allvarliga problem i matematik handlar om att lösa ekvationer. Och för att kunna lösa ekvationer behöver du kunna arbeta med bokstavliga uttryck.

För att arbeta med bokstavliga uttryck behöver du vara väl insatt i grundläggande aritmetik: addition, subtraktion, multiplikation, division, matematikens grundläggande lagar, bråk, operationer med bråk, proportioner. Och inte bara studera, utan förstå grundligt.

Lektionens innehåll

Variabler

Bokstäver som finns i bokstavliga uttryck kallas variabler. Till exempel i uttrycket a+b+ 4 variabler är bokstäver a Och b. Om vi ersätter några tal istället för dessa variabler, då det bokstavliga uttrycket a+b+ 4 kommer att förvandlas till ett numeriskt uttryck vars värde kan hittas.

Tal som ersätts med variabler kallas värden på variabler. Låt oss till exempel ändra värdena på variablerna a Och b. Likhetstecknet används för att ändra värden

a = 2, b = 3

Vi har ändrat värdena på variablerna a Och b. Variabel a tilldelas ett värde 2 , variabel b tilldelas ett värde 3 . Som ett resultat, det bokstavliga uttrycket a+b+4 förvandlas till ett reguljärt numeriskt uttryck 2+3+4 vars värde kan hittas:

När variabler multipliceras skrivs de ihop. Till exempel spela in ab betyder detsamma som posten a×b. Om vi ersätter variablerna a Och b tal 2 Och 3 , då får vi 6

Du kan också skriva ihop multiplikationen av ett tal med ett uttryck inom parentes. Till exempel istället för a×(b + c) kan skrivas ner a(b + c). Genom att tillämpa multiplikationsfördelningslagen får vi a(b + c)=ab+ac.

Odds

I bokstavliga uttryck kan man ofta hitta en notation där ett tal och en variabel skrivs tillsammans, till exempel 3a. Detta är faktiskt en förkortning för att multiplicera talet 3 med en variabel. a och det här inlägget ser ut 3×a .

Med andra ord uttrycket 3aär produkten av talet 3 och variabeln a. siffra 3 i detta arbete de kallar koefficient. Denna koefficient visar hur många gånger variabeln kommer att ökas a. Detta uttryck kan läsas som " a tre gånger" eller "tre gånger A", eller "öka värdet på en variabel a tre gånger", men läses oftast som "tre a«

Till exempel om variabeln a lika med 5 , sedan värdet på uttrycket 3a blir lika med 15.

3 × 5 = 15

Enkelt uttryckt är koefficienten talet som står före bokstaven (före variabeln).

Det kan till exempel vara flera bokstäver 5abc. Här är koefficienten talet 5 . Denna koefficient visar att produkten av variabler abc femdubblas. Detta uttryck kan läsas som " abc fem gånger" eller "öka uttryckets värde abc fem gånger" eller "fem abc «.

Om istället för variabler abc ersätt siffrorna 2, 3 och 4, sedan värdet på uttrycket 5abc kommer att vara lika 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Du kan mentalt föreställa dig hur siffrorna 2, 3 och 4 först multiplicerades, och det resulterande värdet femdubblades:

Koefficientens tecken hänvisar endast till koefficienten och gäller inte för variablerna.

Tänk på uttrycket −6b. Minus före koefficienten 6 , gäller endast koefficienten 6 , och tillhör inte variabeln b. Att förstå detta faktum gör att du inte kan göra misstag i framtiden med tecken.

Låt oss ta reda på värdet av uttrycket −6b på b = 3.

−6b −6×b. För tydlighetens skull, låt oss skriva uttrycket −6b i utökad form och ersätt variabelns värde b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck −6b på b = −5

Låt oss skriva ner uttrycket −6b i utökad form

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Exempel 3. Hitta värdet på ett uttryck −5a+b på a = 3 Och b = 2

−5a+b detta är en kort form för −5 × a + b, så för tydlighetens skull skriver vi uttrycket −5×a+b i utökad form och ersätt variablernas värden a Och b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Ibland skrivs bokstäver utan koefficient, till exempel a eller ab. I det här fallet är koefficienten enhet:

men traditionellt skrivs inte enheten ner, så de skriver helt enkelt a eller ab

Om det finns ett minus före bokstaven är koefficienten ett tal −1 . Till exempel uttrycket −a ser faktiskt ut som −1a. Detta är produkten av minus ett och variabeln a. Det blev så här:

−1 × a = −1a

Det finns en liten hake här. I uttryck −a minustecken framför variabeln a hänvisar faktiskt till en "osynlig enhet" snarare än en variabel a. Därför bör du vara försiktig när du löser problem.

Till exempel om uttrycket ges −a och vi ombeds hitta dess värde på a = 2, sedan i skolan bytte vi en tvåa istället för en variabel a och fick svar −2 , utan att fokusera för mycket på hur det blev. Faktum är att minus ett multiplicerades med det positiva talet 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Om uttrycket ges −a och du måste hitta dess värde på a = −2, då ersätter vi −2 istället för en variabel a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

För att undvika misstag kan osynliga enheter till en början skrivas ned explicit.

Exempel 4. Hitta värdet på ett uttryck abc på a=2 , b=3 Och c=4

Uttryck abc 1×a×b×c. För tydlighetens skull, låt oss skriva uttrycket abc a, b Och c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Exempel 5. Hitta värdet på ett uttryck abc på a=−2, b=−3 Och c=−4

Låt oss skriva ner uttrycket abc i utökad form och ersätt variablernas värden a, b Och c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Exempel 6. Hitta värdet på ett uttryck − abc på a=3, b=5 och c=7

Uttryck − abc detta är en kort form för −1×a×b×c. För tydlighetens skull, låt oss skriva uttrycket − abc i utökad form och ersätt variablernas värden a, b Och c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Exempel 7. Hitta värdet på ett uttryck − abc på a=−2, b=−4 och c=−3

Låt oss skriva ner uttrycket − abc i utökad form:

−abc = −1 × a × b × c

Låt oss ersätta variablernas värden a , b Och c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Hur man bestämmer koefficienten

Ibland behöver man lösa ett problem där man måste bestämma koefficienten för ett uttryck. I princip är denna uppgift mycket enkel. Det räcker för att kunna multiplicera tal korrekt.

För att bestämma koefficienten i ett uttryck måste du separat multiplicera talen som ingår i detta uttryck och separat multiplicera bokstäverna. Den resulterande numeriska faktorn blir koefficienten.

Exempel 1. 7m×5a×(−3)×n

Uttrycket består av flera faktorer. Detta syns tydligt om man skriver uttrycket i utökad form. Det vill säga fungerar 7m Och 5a skriv det i formuläret 7×m Och 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Låt oss tillämpa den associativa lagen för multiplikation, som gör att du kan multiplicera faktorer i valfri ordning. Vi kommer nämligen att multiplicera siffrorna separat och separat multiplicera bokstäverna (variabler):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Koefficienten är −105 . Efter slutförandet är det lämpligt att ordna bokstavsdelen i alfabetisk ordning:

−105 på morgonen

Exempel 2. Bestäm koefficienten i uttrycket: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koefficienten är 6.

Exempel 3. Bestäm koefficienten i uttrycket:

Låt oss multiplicera siffror och bokstäver separat:

Koefficienten är −1. Observera att enheten inte skrivs ner, eftersom det är vanligt att inte skriva koefficienten 1.

Dessa till synes enklaste uppgifter kan skämta mycket för oss. Det visar sig ofta att tecknet på koefficienten är felaktigt inställt: antingen saknas minus eller tvärtom sätts det förgäves. För att undvika dessa irriterande misstag måste det studeras på en bra nivå.

Lägger till i bokstavliga uttryck

När man lägger till flera tal erhålls summan av dessa tal. Siffror som adderar kallas addends. Det kan finnas flera termer, till exempel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

När ett uttryck består av termer är det mycket lättare att utvärdera eftersom det är lättare att lägga till än att subtrahera. Men uttrycket kan innehålla inte bara addition, utan också subtraktion, till exempel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

I detta uttryck är siffrorna 3 och 5 subtrahends, inte addends. Men ingenting hindrar oss från att ersätta subtraktion med addition. Då får vi återigen ett uttryck som består av termer:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Det spelar ingen roll att siffrorna −3 och −5 nu har ett minustecken. Huvudsaken är att alla siffror i detta uttryck är förbundna med ett additionstecken, det vill säga uttrycket är en summa.

Båda uttrycken 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Och 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) lika med samma värde - minus ett

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Uttryckets betydelse blir alltså inte lidande om vi ersätter subtraktion med addition någonstans.

Du kan också ersätta subtraktion med addition i bokstavliga uttryck. Tänk till exempel på följande uttryck:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

För alla värden av variabler a, b, c, d Och s uttryck 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Och 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) kommer att vara lika med samma värde.

Du måste vara beredd på att en lärare i skolan eller en lärare på ett institut kan anropa jämna tal (eller variabler) som inte är tillägg.

Till exempel om skillnaden är skriven på tavlan a−b, då säger inte läraren det aär en minuend, och b- subtraherbar. Han kallar båda variablerna med ett gemensamt ord - villkor. Och allt på grund av formens uttryck a−b matematikern ser hur summan a+(−b). I det här fallet blir uttrycket en summa och variablerna a Och (−b) bli villkor.

Liknande termer

Liknande termer- det här är termer som har samma bokstavsdel. Tänk till exempel på uttrycket 7a + 6b + 2a. Komponenter 7a Och 2a har samma bokstavsdel - variabel a. Alltså villkoren 7a Och 2aär lika.

Vanligtvis läggs liknande termer till för att förenkla ett uttryck eller lösa en ekvation. Denna operation kallas med liknande villkor.

För att få liknande termer måste du lägga till koefficienterna för dessa termer och multiplicera det resulterande resultatet med den gemensamma bokstavsdelen.

Till exempel presenterar vi liknande termer i uttrycket 3a + 4a + 5a. I det här fallet är alla termer lika. Låt oss lägga ihop deras koefficienter och multiplicera resultatet med den gemensamma bokstavsdelen - med variabeln a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Liknande termer kommer vanligtvis att tänka på och resultatet skrivs ner omedelbart:

3a + 4a + 5a = 12a

Man kan också resonera på följande sätt:

Det fanns 3 variabler a , 4 fler variabler a och ytterligare 5 variabler a lades till dem. Som ett resultat fick vi 12 variabler a

Låt oss titta på flera exempel på att ta med liknande termer. Med tanke på att detta ämne är mycket viktigt, kommer vi först att skriva ner varje liten detalj i detalj. Trots att allt är väldigt enkelt här gör de flesta många misstag. Främst på grund av ouppmärksamhet, inte okunskap.

Exempel 1. 3ett + 2ett + 6ett + 8a

Låt oss addera koefficienterna i detta uttryck och multiplicera resultatet med den gemensamma bokstavsdelen:

3ett + 2ett + 6ett + 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19a

Konstruktion (3 + 2 + 6 + 8) ×a Du behöver inte skriva ner det, så vi skriver ner svaret direkt

3 ett + 2 ett + 6 ett + 8 a = 19 a

Exempel 2. Ge liknande termer i uttrycket 2a+a

Andra terminen a skriven utan koefficient, men i själva verket finns det en koefficient framför den 1 , vilket vi inte ser eftersom det inte är inspelat. Så uttrycket ser ut så här:

2a + la

Låt oss nu presentera liknande termer. Det vill säga, vi adderar koefficienterna och multiplicerar resultatet med den gemensamma bokstavsdelen:

2a + la = (2 + 1) x a = 3a

Låt oss kortfattat skriva ner lösningen:

2a + a = 3a

2a+a, du kan tänka annorlunda:

Exempel 3. Ge liknande termer i uttrycket 2a−a

Låt oss ersätta subtraktion med addition:

2a + (-a)

Andra terminen (−a) skrivet utan koefficient, men i själva verket ser det ut som (−1a). Koefficient −1 återigen osynlig på grund av att den inte är inspelad. Så uttrycket ser ut så här:

2a + (−1a)

Låt oss nu presentera liknande termer. Låt oss lägga till koefficienterna och multiplicera resultatet med den gemensamma bokstavsdelen:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Vanligtvis skrivet kortare:

2a − a = a

Ge liknande termer i uttrycket 2a−a Du kan tänka annorlunda:

Det fanns 2 variabler a, subtrahera en variabel a, och som ett resultat fanns det bara en variabel a kvar

Exempel 4. Ge liknande termer i uttrycket 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Låt oss nu presentera liknande termer. Låt oss lägga till koefficienterna och multiplicera resultatet med den totala bokstavsdelen

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Låt oss kortfattat skriva ner lösningen:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Det finns uttryck som innehåller flera olika grupper av liknande termer. Till exempel, 3a + 3b + 7a + 2b. För sådana uttryck gäller samma regler som för de andra, nämligen att addera koefficienterna och multiplicera det resulterande resultatet med den gemensamma bokstavsdelen. Men för att undvika misstag är det bekvämt att lyfta fram olika grupper av termer med olika linjer.

Till exempel i uttrycket 3a + 3b + 7a + 2b de termer som innehåller en variabel a, kan understrykas med en rad och de termer som innehåller en variabel b, kan framhävas med två rader:

Nu kan vi presentera liknande termer. Det vill säga, addera koefficienterna och multiplicera det resulterande resultatet med den totala bokstavsdelen. Detta måste göras för båda grupperna av termer: för termer som innehåller en variabel a och för termer som innehåller en variabel b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Återigen, vi upprepar, uttrycket är enkelt, och liknande termer kan ges i åtanke:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Exempel 5. Ge liknande termer i uttrycket 5a − 6a −7b + b

Låt oss ersätta subtraktion med addition där det är möjligt:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Låt oss understryka liknande termer med olika linjer. Termer som innehåller variabler a vi understryker med en rad och termerna som innehåller variabler b, understryka med två rader:

Nu kan vi presentera liknande termer. Det vill säga, lägg till koefficienterna och multiplicera det resulterande resultatet med den gemensamma bokstavsdelen:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Om uttrycket innehåller vanliga siffror utan bokstavsfaktorer läggs de till separat.

Exempel 6. Ge liknande termer i uttrycket 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Låt oss ersätta subtraktion med addition där det är möjligt:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Låt oss presentera liknande termer. Tal −5 Och 7 har inte bokstavsfaktorer, men de är liknande termer - de behöver bara läggas till. Och termen 2b kommer att förbli oförändrad, eftersom det är den enda i detta uttryck som har en bokstavsfaktor b, och det finns inget att tillägga det med:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Låt oss kortfattat skriva ner lösningen:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termerna kan ordnas så att de termer som har samma bokstavsdel finns i samma del av uttrycket.

Exempel 7. Ge liknande termer i uttrycket 5t+2x+3x+5t+x

Eftersom uttrycket är en summa av flera termer, tillåter detta oss att utvärdera det i valfri ordning. Därför termerna som innehåller variabeln t, kan skrivas i början av uttrycket och termerna som innehåller variabeln x i slutet av uttrycket:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Nu kan vi presentera liknande termer:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Låt oss kortfattat skriva ner lösningen:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Summan av motsatta tal är noll. Denna regel fungerar även för bokstavliga uttryck. Om uttrycket innehåller identiska termer, men med motsatta tecken, kan du bli av med dem i skedet att minska liknande termer. Med andra ord, helt enkelt eliminera dem från uttrycket, eftersom deras summa är noll.

Exempel 8. Ge liknande termer i uttrycket 3t − 4t − 3t + 2t

Låt oss ersätta subtraktion med addition där det är möjligt:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponenter 3t Och (−3t)är motsatta. Summan av motsatta termer är noll. Om vi tar bort denna nolla från uttrycket kommer uttryckets värde inte att ändras, så vi tar bort det. Och vi tar bort det genom att helt enkelt stryka över villkoren 3t Och (−3t)

Som ett resultat kommer vi att stå kvar med uttrycket (−4t) + 2t. I det här uttrycket kan du lägga till liknande termer och få det slutliga svaret:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Låt oss kortfattat skriva ner lösningen:

Förenkla uttryck

"förenkla uttrycket" och nedan är uttrycket som behöver förenklas. Förenkla ett uttryck innebär att göra det enklare och kortare.

Faktum är att vi redan har förenklat uttryck när vi har minskat bråk. Efter reduktion blev fraktionen kortare och lättare att förstå.

Betrakta följande exempel. Förenkla uttrycket.

Denna uppgift kan bokstavligen förstås på följande sätt: "Tillämpa alla giltiga åtgärder på detta uttryck, men gör det enklare." .

I det här fallet kan du minska bråkdelen, nämligen dividera bråkets täljare och nämnare med 2:

Vad mer kan du göra? Du kan beräkna den resulterande bråkdelen. Då får vi decimalbråket 0,5

Som ett resultat förenklades fraktionen till 0,5.

Den första frågan du måste ställa dig själv när du löser sådana problem bör vara "Vad kan göras?" . För det finns handlingar som du kan göra, och det finns handlingar som du inte kan göra.

En annan viktig punkt att komma ihåg är att betydelsen av uttrycket inte bör ändras efter att uttrycket förenklats. Låt oss återgå till uttrycket. Detta uttryck representerar en uppdelning som kan utföras. Efter att ha utfört denna division får vi värdet på detta uttryck, vilket är lika med 0,5

Men vi förenklade uttrycket och fick ett nytt förenklat uttryck. Värdet på det nya förenklade uttrycket är fortfarande 0,5

Men vi försökte också förenkla uttrycket genom att beräkna det. Som ett resultat fick vi ett slutligt svar på 0,5.

Således, oavsett hur vi förenklar uttrycket, är värdet på de resulterande uttrycken fortfarande lika med 0,5. Detta innebär att förenklingen genomfördes korrekt i varje led. Det är precis det vi ska sträva efter när vi förenklar uttryck – meningen med uttrycket ska inte bli lidande av våra handlingar.

Det är ofta nödvändigt att förenkla bokstavliga uttryck. Samma förenklingsregler gäller för dem som för numeriska uttryck. Du kan utföra alla giltiga åtgärder så länge uttryckets värde inte ändras.

Låt oss titta på några exempel.

Exempel 1. Förenkla ett uttryck 5,21s × t × 2,5

För att förenkla detta uttryck kan du multiplicera siffrorna separat och multiplicera bokstäverna separat. Denna uppgift är mycket lik den vi tittade på när vi lärde oss att bestämma koefficienten:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Alltså uttrycket 5,21s × t × 2,5 förenklat till 13 025st.

Exempel 2. Förenkla ett uttryck −0,4 × (−6,3b) × 2

Andra stycket (−6.3b) kan översättas till en form som är förståelig för oss, nämligen skriven i formen ( −6,3)×b , multiplicera sedan siffrorna separat och multiplicera bokstäverna separat:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Alltså uttrycket −0,4 × (−6,3b) × 2 förenklat till 5.04b

Exempel 3. Förenkla ett uttryck

Låt oss skriva det här uttrycket mer detaljerat för att tydligt se var siffrorna är och var bokstäverna är:

Låt oss nu multiplicera siffrorna separat och multiplicera bokstäverna separat:

Alltså uttrycket förenklat till −abc. Denna lösning kan skrivas kort:

När man förenklar uttryck kan bråk reduceras under lösningsprocessen, och inte i slutet, som vi gjorde med vanliga bråk. Till exempel, om vi under lösningen stöter på ett uttryck av formen , är det inte alls nödvändigt att beräkna täljaren och nämnaren och göra något så här:

Ett bråk kan reduceras genom att välja en faktor i både täljaren och nämnaren och reducera dessa faktorer med deras största gemensamma faktor. Med andra ord, användning där vi inte i detalj beskriver vad täljaren och nämnaren delades in i.

Till exempel, i täljaren är faktorn 12 och i nämnaren kan faktorn 4 reduceras med 4. Vi har fyran i vårt sinne, och dividerar 12 och 4 med dessa fyra, skriver vi ner svaren bredvid dessa siffror, först efter att ha sträckt över dem

Nu kan du multiplicera de resulterande små faktorerna. I det här fallet finns det få av dem och du kan multiplicera dem i ditt sinne:

Med tiden kan du upptäcka att när du löser ett visst problem börjar uttrycken "bli feta", så det är lämpligt att vänja sig vid snabba beräkningar. Det som kan beräknas i sinnet måste beräknas i sinnet. Det som snabbt kan minskas måste snabbt minskas.

Exempel 4. Förenkla ett uttryck

Alltså uttrycket förenklat till

Exempel 5. Förenkla ett uttryck

Låt oss multiplicera siffrorna separat och bokstäverna separat:

Alltså uttrycket förenklat till mn.

Exempel 6. Förenkla ett uttryck

Låt oss skriva det här uttrycket mer detaljerat för att tydligt se var siffrorna är och var bokstäverna är:

Låt oss nu multiplicera siffrorna separat och bokstäverna separat. För att underlätta beräkningen kan decimalbråket −6,4 och ett blandat tal omvandlas till vanliga bråktal:

Alltså uttrycket förenklat till

Lösningen för detta exempel kan skrivas mycket kortare. Det kommer att se ut så här:

Exempel 7. Förenkla ett uttryck

Låt oss multiplicera siffror separat och bokstäver separat. För att underlätta beräkningen kan blandade tal och decimalbråk 0,1 och 0,6 omvandlas till vanliga bråk:

Alltså uttrycket förenklat till abcd. Om du hoppar över detaljerna kan den här lösningen skrivas mycket kortare:

Lägg märke till hur andelen har reducerats. Nya faktorer som erhålls till följd av reduktion av tidigare faktorer tillåts också reduceras.

Låt oss nu prata om vad vi inte ska göra. Vid förenkling av uttryck är det strängt förbjudet att multiplicera siffror och bokstäver om uttrycket är en summa och inte en produkt.

Till exempel om du vill förenkla uttrycket 5a+4b, då kan du inte skriva det så här:

Det är samma sak som om vi blev ombedda att lägga till två tal och vi multiplicerade dem istället för att lägga till dem.

När du byter ut variabelvärden a Och b uttryck 5a +4b förvandlas till ett vanligt numeriskt uttryck. Låt oss anta att variablerna a Och b har följande betydelser:

a = 2, b = 3

Då blir uttryckets värde lika med 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Först utförs multiplikation och sedan läggs resultaten till. Och om vi försökte förenkla detta uttryck genom att multiplicera siffror och bokstäver, skulle vi få följande:

5a + 4b = 5 x 4 x a x b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Det visar sig en helt annan betydelse av uttrycket. I det första fallet fungerade det 22 , i det andra fallet 120 . Detta innebär att förenkla uttrycket 5a+4b utfördes felaktigt.

Efter att ha förenklat uttrycket bör dess värde inte ändras med samma värden på variablerna. Om ett värde erhålls när man ersätter några variabelvärden i det ursprungliga uttrycket, bör samma värde erhållas efter att uttrycket har förenklats som före förenklingen.

Med uttryck 5a+4b det finns verkligen inget du kan göra. Det förenklar det inte.

Om ett uttryck innehåller liknande termer kan de läggas till om vårt mål är att förenkla uttrycket.

Exempel 8. Förenkla ett uttryck 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

eller kortare: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Alltså uttrycket 0,3a−0,4a+a förenklat till 0,9a

Exempel 9. Förenkla ett uttryck -7,5a - 2,5b + 4a

För att förenkla detta uttryck kan vi lägga till liknande termer:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

eller kortare −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Termin (−2,5b) förblev oförändrad eftersom det inte fanns något att lägga det med.

Exempel 10. Förenkla ett uttryck

För att förenkla detta uttryck kan vi lägga till liknande termer:

Koefficienten var för att underlätta beräkningen.

Alltså uttrycket förenklat till

Exempel 11. Förenkla ett uttryck

För att förenkla detta uttryck kan vi lägga till liknande termer:

Alltså uttrycket förenklat till .

I det här exemplet skulle det vara mer lämpligt att lägga till den första och den sista koefficienten först. I det här fallet skulle vi ha en kort lösning. Det skulle se ut så här:

Exempel 12. Förenkla ett uttryck

För att förenkla detta uttryck kan vi lägga till liknande termer:

Alltså uttrycket förenklat till .

Termen förblev oförändrad, eftersom det inte fanns något att tillägga det till.

Denna lösning kan skrivas mycket kortare. Det kommer att se ut så här:

Den korta lösningen hoppade över stegen att ersätta subtraktion med addition och beskriva hur bråk reducerades till en gemensam nämnare.

En annan skillnad är att i detaljlösningen ser svaret ut , men i korthet som . I själva verket är de samma uttryck. Skillnaden är att i det första fallet ersätts subtraktion med addition, för i början, när vi skrev ner lösningen i detaljerad form, ersatte vi subtraktion med addition där det var möjligt, och denna ersättning bevarades för svaret.

Identiteter. Identiskt lika uttryck

När vi väl har förenklat något uttryck blir det enklare och kortare. För att kontrollera om det förenklade uttrycket är korrekt räcker det att ersätta eventuella variabelvärden först i det tidigare uttrycket som behövde förenklas och sedan i det nya som förenklades. Om värdet i båda uttrycken är detsamma är det förenklade uttrycket sant.

Låt oss titta på ett enkelt exempel. Låt det vara nödvändigt att förenkla uttrycket 2a×7b. För att förenkla detta uttryck kan du multiplicera siffror och bokstäver separat:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Låt oss kontrollera om vi förenklade uttrycket korrekt. För att göra detta, låt oss ersätta alla värden på variablerna a Och b först in i det första uttrycket som behövde förenklas, och sedan in i det andra, som förenklades.

Låt variablernas värden a , b blir som följer:

a = 4, b = 5

Låt oss ersätta dem med det första uttrycket 2a×7b

Låt oss nu ersätta samma variabelvärden i uttrycket som blev resultatet av förenkling 2a×7b, nämligen i uttrycket 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Vi ser att när a=4 Och b=5 värdet av det första uttrycket 2a×7b och innebörden av det andra uttrycket 14ab likvärdig

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Detsamma kommer att hända för alla andra värden. Till exempel, låt a=1 Och b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Således, för alla värden av uttrycksvariablerna 2a×7b Och 14abär lika med samma värde. Sådana uttryck kallas identiskt lika.

Vi drar slutsatsen att mellan uttrycken 2a×7b Och 14ab du kan sätta ett likhetstecken eftersom de är lika med samma värde.

2a × 7b = 14ab

En likhet är vilket uttryck som helst som är kopplat med ett likhetstecken (=).

Och jämlikhet i formen 2a×7b = 14ab kallad identitet.

En identitet är en likhet som är sann för alla värden av variablerna.

Andra exempel på identiteter:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, matematikens lagar som vi studerade är identiteter.

Sanna numeriska likheter är också identiteter. Till exempel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

När man löser ett komplext problem, för att göra beräkningen enklare, ersätts det komplexa uttrycket med ett enklare uttryck som är identiskt lika med det föregående. Denna ersättare kallas identisk omvandling av uttrycket eller bara omvandla uttrycket.

Till exempel förenklade vi uttrycket 2a×7b, och fick ett enklare uttryck 14ab. Denna förenkling kan kallas identitetstransformationen.

Du kan ofta hitta en uppgift som säger "bevisa att jämställdhet är en identitet" och då ges den jämlikhet som behöver bevisas. Vanligtvis består denna jämlikhet av två delar: den vänstra och högra delen av jämlikheten. Vår uppgift är att utföra identitetsförvandlingar med den ena delen av jämställdheten och erhålla den andra delen. Eller utför identiska transformationer på båda sidor av jämlikheten och se till att båda sidor av jämlikheten innehåller samma uttryck.

Till exempel, låt oss bevisa att jämlikheten 0,5a × 5b = 2,5abär en identitet.

Låt oss förenkla den vänstra sidan av denna jämlikhet. För att göra detta, multiplicera siffrorna och bokstäverna separat:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Som ett resultat av en liten identitetsförvandling blev den vänstra sidan av jämlikheten lika med den högra sidan av jämlikheten. Så vi har bevisat att jämställdheten 0,5a × 5b = 2,5abär en identitet.

Från identiska transformationer lärde vi oss att addera, subtrahera, multiplicera och dividera tal, reducera bråk, lägga till liknande termer och även förenkla vissa uttryck.

Men det här är inte alla identiska transformationer som finns i matematik. Det finns många fler identiska transformationer. Vi kommer att se detta mer än en gång i framtiden.