Som att lösa ekvationer. Lösa linjära ekvationer med exempel

I förberedelsestadiet för det slutliga provet måste gymnasieelever förbättra sina kunskaper om ämnet "Exponentiella ekvationer." De senaste årens erfarenheter tyder på att sådana uppgifter medför vissa svårigheter för skolbarn. Därför måste gymnasieelever, oavsett deras förberedelsenivå, grundligt bemästra teorin, komma ihåg formlerna och förstå principen för att lösa sådana ekvationer. Efter att ha lärt sig att hantera den här typen av problem kan akademiker räkna med höga poäng när de klarar Unified State Exam i matematik.

Gör dig redo för examenstestning med Shkolkovo!

När de granskar materialet de har täckt ställs många elever inför problemet att hitta de formler som behövs för att lösa ekvationer. En skolbok finns inte alltid till hands, och att välja nödvändig information om ett ämne på Internet tar lång tid.

Shkolkovo utbildningsportal inbjuder studenter att använda vår kunskapsbas. Vi implementerar en helt ny metod för att förbereda det slutliga testet. Genom att studera på vår webbplats kommer du att kunna identifiera luckor i kunskap och uppmärksamma de uppgifter som orsakar svårast.

Shkolkovo-lärare samlade, systematiserade och presenterade allt material som behövs för att framgångsrikt klara Unified State Exam i den enklaste och mest tillgängliga formen.

Grundläggande definitioner och formler presenteras i avsnittet "Teoretisk bakgrund".

För att bättre förstå materialet rekommenderar vi att du övar på att göra uppgifterna. Granska noggrant exemplen på exponentiella ekvationer med lösningar som presenteras på den här sidan för att förstå beräkningsalgoritmen. Efter det, fortsätt att utföra uppgifter i avsnittet "Kataloger". Du kan börja med de enklaste uppgifterna eller gå direkt till att lösa komplexa exponentialekvationer med flera okända eller . Databasen med övningar på vår hemsida kompletteras och uppdateras ständigt.

Dessa exempel med indikatorer som orsakade dig svårigheter kan läggas till i "Favoriter". På så sätt kan du snabbt hitta dem och diskutera lösningen med din lärare.

För att lyckas klara Unified State Exam, studera på Shkolkovo-portalen varje dag!

Syftet med tjänsten. Matrisräknaren är utformad för att lösa system med linjära ekvationer med hjälp av en matrismetod (se exempel på att lösa liknande problem).

Instruktioner. För att lösa online måste du välja typ av ekvation och ställa in dimensionen på motsvarande matriser. där A, B, C är de specificerade matriserna, X är den önskade matrisen. Matrisekvationer av formen (1), (2) och (3) löses genom den inversa matrisen A -1. Om uttrycket A·X - B = C ges, är det nödvändigt att först addera matriserna C + B och hitta en lösning för uttrycket A·X = D, där D = C + B. Om uttrycket A*X = B 2 ges, måste matrisen B först kvadreras.

Det rekommenderas också att bekanta dig med de grundläggande operationerna på matriser.

Exempel nr 1. Träning. Hitta lösningen till matrisekvationen
Lösning. Låt oss beteckna:
Då kommer matrisekvationen att skrivas i formen: A·X·B = C.
Determinanten för matris A är lika med detA=-1
Eftersom A är en icke-singular matris, finns det en invers matris A-1. Multiplicera båda sidorna av ekvationen till vänster med A -1: Multiplicera båda sidorna av denna ekvation till vänster med A -1 och till höger med B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A-1·C·B-1. Eftersom A A -1 = B B -1 = E och E X = X E = X, då X = A -1 C B -1

Invers matris A -1:
Låt oss hitta den inversa matrisen B -1.
Transponerad matris B T:
Invers matris B -1:
Vi letar efter matris X med formeln: X = A -1 ·C·B -1

Svar:

Exempel nr 2. Träning. Lös matrisekvationen
Lösning. Låt oss beteckna:
Då kommer matrisekvationen att skrivas i formen: A·X = B.
Determinanten för matris A är detA=0
Eftersom A är en singular matris (determinanten är 0), har ekvationen ingen lösning.

Exempel nr 3. Träning. Hitta lösningen till matrisekvationen
Lösning. Låt oss beteckna:
Då kommer matrisekvationen att skrivas i formen: X A = B.
Determinanten för matris A är detA=-60
Eftersom A är en icke-singular matris, finns det en invers matris A-1. Låt oss multiplicera båda sidor av ekvationen till höger med A -1: X A A -1 = B A -1, varifrån vi finner att X = B A -1
Låt oss hitta den inversa matrisen A -1 .
Transponerad matris A T:
Invers matris A -1:
Vi letar efter matris X med formeln: X = B A -1


Svar: >

att lösa matematik. Hitta snabbt lösa en matematisk ekvation i läge uppkopplad. Webbplatsen www.site tillåter lösa ekvationen nästan vilken som helst algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ekvation online. När du studerar nästan vilken gren av matematik som helst i olika stadier måste du bestämma dig ekvationer på nätet. För att få ett svar omedelbart, och viktigast av allt ett korrekt svar, behöver du en resurs som låter dig göra detta. Tack vare sajten www.site lösa ekvationer online kommer att ta några minuter. Den största fördelen med www.site när man löser matematiska ekvationer på nätet- det här är hastigheten och noggrannheten för svaret som tillhandahålls. Sajten kan lösa alla algebraiska ekvationer online, trigonometriska ekvationer online, transcendentala ekvationer online, och ekvationer med okända parametrar i läge uppkopplad. Ekvationer tjäna som en kraftfull matematisk apparat lösningar praktiska problem. Med hjälpen matematiska ekvationer det är möjligt att uttrycka fakta och relationer som kan verka förvirrande och komplexa vid första anblicken. Okända mängder ekvationer kan hittas genom att formulera problemet i matematisk språk i formen ekvationer Och besluta mottagen uppgift i läge uppkopplad på webbplatsen www.site. Några algebraisk ekvation, trigonometrisk ekvation eller ekvationer som innehåller transcendentala funktioner du enkelt kan besluta online och få det exakta svaret. När man studerar naturvetenskap stöter man oundvikligen på behovet lösa ekvationer. I det här fallet måste svaret vara korrekt och måste erhållas omedelbart i läget uppkopplad. Därför för lösa matematiska ekvationer online vi rekommenderar webbplatsen www.site, som kommer att bli din oumbärliga kalkylator för lösa algebraiska ekvationer online, trigonometriska ekvationer online, och transcendentala ekvationer online eller ekvationer med okända parametrar. För praktiska problem att hitta rötterna till olika matematiska ekvationer resurs www.. Lösning ekvationer på nätet själv är det användbart att kontrollera det mottagna svaret med hjälp av ekvationslösning online på webbplatsen www.site. Du måste skriva ekvationen korrekt och omedelbart få onlinelösning, varefter allt som återstår är att jämföra svaret med din lösning på ekvationen. Att kontrollera svaret tar inte mer än en minut, det räcker lösa ekvation online och jämför svaren. Detta hjälper dig att undvika misstag beslut och rätta svaret i tid när lösa ekvationer online antingen algebraisk, trigonometrisk, transcendentala eller ekvationen med okända parametrar.

I den här videon kommer vi att analysera en hel uppsättning linjära ekvationer som löses med samma algoritm - det är därför de kallas de enklaste.

Låt oss först definiera: vad är en linjär ekvation och vilken kallas den enklaste?

En linjär ekvation är en där det bara finns en variabel, och endast till den första graden.

Den enklaste ekvationen betyder konstruktionen:

Alla andra linjära ekvationer reduceras till det enklaste med hjälp av algoritmen:

1. Expandera parenteser, om några;
2. Flytta termer som innehåller en variabel till ena sidan av likhetstecknet och termer utan variabel till den andra;
3. Ge liknande termer till vänster och höger om likhetstecknet;
4. Dividera den resulterande ekvationen med koefficienten för variabeln $x$.

Naturligtvis hjälper denna algoritm inte alltid. Faktum är att ibland efter alla dessa bearbetningar visar sig koefficienten för variabeln $x$ vara lika med noll. I det här fallet är två alternativ möjliga:

1. Ekvationen har inga lösningar alls. Till exempel, när något som $0\cdot x=8$ visar sig, dvs. till vänster är noll, och till höger är ett annat tal än noll. I videon nedan kommer vi att titta på flera anledningar till varför denna situation är möjlig.
2. Lösningen är alla siffror. Det enda fallet då detta är möjligt är när ekvationen har reducerats till konstruktionen $0\cdot x=0$. Det är ganska logiskt att oavsett vilka $x$ vi ersätter så kommer det fortfarande att visa sig "noll är lika med noll", dvs. korrekt numerisk likhet.

Låt oss nu se hur allt detta fungerar med hjälp av verkliga exempel.

Exempel på att lösa ekvationer

Idag har vi att göra med linjära ekvationer, och bara de enklaste. I allmänhet betyder en linjär ekvation varje likhet som innehåller exakt en variabel, och den går bara till första graden.

Sådana konstruktioner löses på ungefär samma sätt:

1. Först och främst måste du utöka parenteserna, om det finns några (som i vårt senaste exempel);
2. Kombinera sedan liknande
3. Slutligen isolera variabeln, dvs. flytta allt som är kopplat till variabeln – de termer som den ingår i – till ena sidan och flytta allt som är kvar utan den till den andra sidan.

Sedan måste du som regel ge liknande på varje sida av den resulterande likheten, och efter det återstår bara att dividera med koefficienten "x", så får vi det slutliga svaret.

I teorin ser detta snyggt och enkelt ut, men i praktiken kan även erfarna gymnasieelever göra kränkande misstag i ganska enkla linjära ekvationer. Vanligtvis görs fel antingen när man öppnar parenteser eller när man beräknar "plus" och "minus".

Dessutom händer det att en linjär ekvation inte har några lösningar alls, eller att lösningen är hela tallinjen, d.v.s. vilket nummer som helst. Vi kommer att titta på dessa finesser i dagens lektion. Men vi börjar, som du redan förstått, med de enklaste uppgifterna.

Schema för att lösa enkla linjära ekvationer

Låt mig först återigen skriva hela schemat för att lösa de enklaste linjära ekvationerna:

1. Utöka eventuella parenteser.
2. Vi isolerar variablerna, d.v.s. Vi flyttar allt som innehåller "X" till ena sidan och allt utan "X" till den andra.
3. Vi presenterar liknande termer.
4. Vi dividerar allt med koefficienten "x".

Naturligtvis fungerar det här schemat inte alltid; det finns vissa finesser och tricks i det, och nu kommer vi att lära känna dem.

Lösa verkliga exempel på enkla linjära ekvationer

Uppgift nr 1

Det första steget kräver att vi öppnar fästena. Men de finns inte i det här exemplet, så vi hoppar över det här steget. I det andra steget måste vi isolera variablerna. Observera: vi talar bara om enskilda termer. Låt oss skriva ner det:

Vi presenterar liknande termer till vänster och höger, men det har redan gjorts här. Därför går vi vidare till det fjärde steget: dividera med koefficienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så vi fick svaret.

Uppgift nr 2

Vi kan se parenteserna i det här problemet, så låt oss utöka dem:

Både till vänster och till höger ser vi ungefär samma design, men låt oss agera enligt algoritmen, d.v.s. separera variablerna:

Här är några liknande:

Vid vilka rötter fungerar detta? Svar: för alla. Därför kan vi skriva att $x$ är vilket tal som helst.

Uppgift nr 3

Den tredje linjära ekvationen är mer intressant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det finns flera parenteser här, men de multipliceras inte med någonting, de föregås helt enkelt av olika tecken. Låt oss dela upp dem:

Vi utför det andra steget som vi redan känner till:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Låt oss räkna ut:

Vi utför det sista steget - dividera allt med koefficienten "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Saker att komma ihåg när du löser linjära ekvationer

Om vi ​​ignorerar alltför enkla uppgifter, skulle jag vilja säga följande:

• Som jag sa ovan har inte alla linjära ekvationer en lösning - ibland finns det helt enkelt inga rötter;
• Även om det finns rötter kan det finnas noll bland dem – det är inget fel med det.

Noll är samma nummer som de andra; du ska inte diskriminera det på något sätt eller anta att om du får noll så har du gjort något fel.

En annan funktion är relaterad till öppningen av konsoler. Observera: när det finns ett "minus" framför dem tar vi bort det, men inom parentes ändrar vi tecknen till motsatt. Och sedan kan vi öppna det med standardalgoritmer: vi får vad vi såg i beräkningarna ovan.

Att förstå detta enkla faktum hjälper dig att undvika att göra dumma och sårande misstag i gymnasiet, när det tas för givet att göra sådana saker.

Lösa komplexa linjära ekvationer

Låt oss gå vidare till mer komplexa ekvationer. Nu kommer konstruktionerna att bli mer komplexa och när man utför olika transformationer kommer en kvadratisk funktion att dyka upp. Vi bör dock inte vara rädda för detta, för om vi, enligt författarens plan, löser en linjär ekvation, kommer alla monomialer som innehåller en kvadratisk funktion säkert att avbrytas under transformationsprocessen.

Exempel nr 1

Självklart är det första steget att öppna fästena. Låt oss göra detta mycket noggrant:

Låt oss nu ta en titt på integritet:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Här är några liknande:

Uppenbarligen har denna ekvation inga lösningar, så vi skriver detta i svaret:

\[\varnothing\]

eller så finns det inga rötter.

Exempel nr 2

Vi utför samma åtgärder. Första steget:

Låt oss flytta allt med en variabel till vänster och utan den - till höger:

Här är några liknande:

Uppenbarligen har denna linjära ekvation ingen lösning, så vi skriver det så här:

\[\varnothing\],

eller så finns det inga rötter.

Nyanser av lösningen

Båda ekvationerna är helt lösta. Med dessa två uttryck som exempel blev vi återigen övertygade om att även i de enklaste linjära ekvationerna kanske allt inte är så enkelt: det kan finnas antingen en, eller ingen, eller oändligt många rötter. I vårt fall övervägde vi två ekvationer, båda har helt enkelt inga rötter.

Men jag skulle vilja uppmärksamma dig på ett annat faktum: hur man arbetar med parenteser och hur man öppnar dem om det finns ett minustecken framför dem. Tänk på detta uttryck:

Innan du öppnar måste du multiplicera allt med "X". Observera: multiplicerar varje enskild termin. Inuti finns två termer - respektive två termer och multiplicerat.

Och först efter att dessa till synes elementära, men mycket viktiga och farliga transformationer har slutförts, kan du öppna fästet utifrån det faktum att det finns ett minustecken efter det. Ja, ja: först nu, när omvandlingarna är klara, kommer vi ihåg att det står ett minustecken framför parentesen, vilket betyder att allt nedanför helt enkelt byter tecken. Samtidigt försvinner själva fästena och, viktigast av allt, det främre "minuset" försvinner också.

Vi gör samma sak med den andra ekvationen:

Det är inte av en slump som jag uppmärksammar dessa små, till synes obetydliga fakta. För att lösa ekvationer är alltid en sekvens av elementära transformationer, där oförmågan att tydligt och kompetent utföra enkla handlingar leder till att gymnasieelever kommer till mig och igen lär sig lösa sådana enkla ekvationer.

Naturligtvis kommer den dagen då du kommer att finslipa dessa färdigheter till den grad av automatik. Du kommer inte längre att behöva utföra så många transformationer varje gång, du kommer att skriva allt på en rad. Men medan du bara lär dig måste du skriva varje åtgärd separat.

Lösa ännu mer komplexa linjära ekvationer

Det vi ska lösa nu kan knappast kallas den enklaste uppgiften, men innebörden förblir densamma.

Uppgift nr 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Låt oss multiplicera alla element i den första delen:

Låt oss göra lite integritet:

Här är några liknande:

Låt oss slutföra det sista steget:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Här är vårt sista svar. Och trots att vi i processen att lösa hade koefficienter med en kvadratisk funktion, tog de bort varandra, vilket gör ekvationen linjär och inte kvadratisk.

Uppgift nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Låt oss noggrant utföra det första steget: multiplicera varje element från den första parentesen med varje element från den andra. Det bör finnas totalt fyra nya termer efter omvandlingarna:

Låt oss nu noggrant utföra multiplikationen i varje term:

Låt oss flytta termerna med "X" till vänster och de utan - till höger:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Här är liknande termer:

Återigen har vi fått det slutgiltiga svaret.

Nyanser av lösningen

Den viktigaste anmärkningen om dessa två ekvationer är följande: så snart vi börjar multiplicera parenteser som innehåller mer än en term, görs detta enligt följande regel: vi tar den första termen från den första och multiplicerar med varje element från den andra; sedan tar vi det andra elementet från det första och multiplicerar på liknande sätt med varje element från det andra. Som ett resultat kommer vi att ha fyra mandatperioder.

Om den algebraiska summan

Med detta sista exempel skulle jag vilja påminna eleverna om vad en algebraisk summa är. I klassisk matematik menar vi med $1-7$ en enkel konstruktion: subtrahera sju från en. I algebra menar vi följande med detta: till siffran "ett" lägger vi till ytterligare ett tal, nämligen "minus sju". Det är så en algebraisk summa skiljer sig från en vanlig aritmetisk summa.

Så snart du, när du utför alla transformationer, varje addition och multiplikation, börjar se konstruktioner som liknar de som beskrivs ovan, kommer du helt enkelt inte att ha några problem i algebra när du arbetar med polynom och ekvationer.

Låt oss slutligen titta på ytterligare ett par exempel som kommer att vara ännu mer komplexa än de vi just tittade på, och för att lösa dem måste vi utöka vår standardalgoritm något.

Lösa ekvationer med bråk

För att lösa sådana uppgifter måste vi lägga till ytterligare ett steg till vår algoritm. Men först, låt mig påminna dig om vår algoritm:

1. Öppna fästena.
2. Separata variabler.
3. Ta med liknande.
4. Dividera med förhållandet.

Tyvärr, den här underbara algoritmen, trots all sin effektivitet, visar sig inte vara helt lämplig när vi har bråkdelar framför oss. Och i det vi kommer att se nedan har vi en bråkdel till både vänster och höger i båda ekvationerna.

Hur ska man jobba i det här fallet? Ja, det är väldigt enkelt! För att göra detta måste du lägga till ett steg till i algoritmen, vilket kan göras både före och efter den första åtgärden, nämligen att bli av med bråk. Så algoritmen blir som följer:

1. Bli av med bråk.
2. Öppna fästena.
3. Separata variabler.
4. Ta med liknande.
5. Dividera med förhållandet.

Vad innebär det att "bli av med bråkdelar"? Och varför kan detta göras både efter och före det första standardsteget? Faktum är att i vårt fall är alla bråk numeriska i sin nämnare, d.v.s. Överallt är nämnaren bara en siffra. Därför, om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med detta tal, kommer vi att bli av med bråk.

Exempel nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Låt oss bli av med bråken i denna ekvation:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Observera: allt multipliceras med "fyra" en gång, dvs. bara för att du har två parenteser betyder det inte att du måste multiplicera var och en med "fyra". Låt oss skriva ner:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Låt oss nu utöka:

Vi utesluter variabeln:

Vi utför reduktion av liknande termer:

\[-4x=-1\vänster| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi har fått den slutliga lösningen, låt oss gå vidare till den andra ekvationen.

Exempel nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Här utför vi alla samma åtgärder:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet är löst.

Det var faktiskt allt jag ville berätta för dig idag.

Nyckelord

Nyckelfynd är:

• Känna till algoritmen för att lösa linjära ekvationer.
• Möjlighet att öppna konsoler.
• Oroa dig inte om du har kvadratiska funktioner någonstans, troligen kommer de att reduceras i processen med ytterligare transformationer.
• Det finns tre typer av rötter i linjära ekvationer, även de enklaste: en enda rot, hela tallinjen är en rot och inga rötter alls.

Jag hoppas att den här lektionen kommer att hjälpa dig att bemästra ett enkelt, men mycket viktigt ämne för ytterligare förståelse av all matematik. Om något inte är klart, gå till webbplatsen och lös exemplen som presenteras där. Håll utkik, många fler intressanta saker väntar dig!