Hem › Diverse › Vad är logaritmer definition. Logaritm - egenskaper, formler, graf

Vad är logaritmer definition. Logaritm - egenskaper, formler, graf

grundläggande egenskaper.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

samma grunder

log6 4 + log6 9.

Låt oss nu komplicera uppgiften lite.

Exempel på att lösa logaritmer

Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x >

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Övergång till en ny stiftelse

Låt logaritmen logax ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Se även:

Grundläggande egenskaper hos logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponenten är 2,718281828…. För att komma ihåg exponenten kan du studera regeln: exponenten är 2,7 och två gånger Leo Tolstojs födelseår.

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Genom att känna till denna regel kommer du att veta både det exakta värdet på exponenten och Leo Tolstojs födelsedatum.

Exempel på logaritmer

Ta logaritmen av uttryck

Exempel 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Med egenskaper 3,5 beräknar vi

4. Var .

Exempel 2 Hitta x if

Exempel 3. Låt värdet på logaritmer anges

Beräkna log(x) if

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Logaritmer, som alla tal, kan läggas till, subtraheras och konverteras på alla möjliga sätt. Men eftersom logaritmer inte är helt vanliga tal finns det regler här som kallas grundläggande egenskaper.

Du måste känna till dessa regler - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: logax och logay. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Så summan av logaritmerna är lika med produktens logaritm, och skillnaden är logaritmen för kvoten. Observera: nyckelpunkten här är - samma grunder. Om grunderna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 − log2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log3 135 − log3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Många tester är baserade på detta faktum. Ja, kontroll - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten från logaritmen

Det är lätt att se att den sista regeln följer deras två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Och en sak till: lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, utan också vice versa, d.v.s. du kan ange siffrorna före logaritmens tecken i själva logaritmen. Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log7 496.

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren.

Formler för logaritmer. Logaritmer är exempel på lösningar.

De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Låt oss nu titta på huvudfraktionen. Täljaren och nämnaren har samma nummer: log2 7. Eftersom log2 7 ≠ 0 kan vi minska bråket - 2/4 blir kvar i nämnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra överföras till täljaren, vilket gjordes. Resultatet är svaret: 2.

Övergång till en ny stiftelse

På tal om reglerna för att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad händer om grunderna är olika? Vad händer om de inte är exakta potenser av samma tal?

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen logax ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

I synnerhet, om vi sätter c = x, får vi:

Det följer av den andra formeln att det är möjligt att växla basen och argumentet för logaritmen, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls går att lösa förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log5 16 log2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det heter så här:

Ja, vad händer om talet b höjs till en sådan grad att talet b i denna grad ger talet a? Det stämmer: det här är samma nummer a. Läs det här stycket noggrant igen - många människor "hänger" på det.

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att log25 64 = log5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Givet reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

Om någon inte är insatt var detta en riktig uppgift från Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge två identiteter som är svåra att kalla egenskaper – snarare är dessa konsekvenser från definitionen av logaritmen. De återfinns ständigt i problem och skapar överraskande problem även för "avancerade" elever.

logaa = 1 är. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från själva basen är lika med ett.
loga 1 = 0 är. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! Eftersom a0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

Se även:

Logaritmen för talet b till basen a betecknar uttrycket. Att beräkna logaritmen innebär att hitta en sådan potens x () vid vilken likheten är sann

Grundläggande egenskaper hos logaritmen

Ovanstående egenskaper måste vara kända, eftersom nästan alla problem och exempel på grundval av dem löses baserat på logaritmer. De återstående exotiska egenskaperna kan härledas genom matematiska manipulationer med dessa formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Vid beräkning av formlerna för summan och skillnaden av logaritmer (3.4) påträffas ganska ofta. Resten är något komplext, men i ett antal uppgifter är de oumbärliga för att förenkla komplexa uttryck och beräkna deras värden.

Vanliga fall av logaritmer

Några av de vanliga logaritmerna är de där basen till och med är tio, exponentiell eller deuce.
Bas tio logaritmen brukar kallas för bas tio logaritmen och betecknas helt enkelt lg(x).

Av journalen framgår att grunderna inte finns inskrivna i journalen. Till exempel

Den naturliga logaritmen är den logaritm vars grund är exponenten (betecknad ln(x)).

Exponenten är 2,718281828…. För att komma ihåg exponenten kan du studera regeln: exponenten är 2,7 och två gånger Leo Tolstojs födelseår. Genom att känna till denna regel kommer du att veta både det exakta värdet på exponenten och Leo Tolstojs födelsedatum.

Och en annan viktig bas två-logaritm är

Derivatan av funktionens logaritm är lika med en dividerad med variabeln

Integral- eller antiderivatlogaritmen bestäms av beroendet

Ovanstående material är tillräckligt för att du ska lösa en bred klass av problem relaterade till logaritmer och logaritmer. För att tillgodogöra mig materialet kommer jag bara att ge några vanliga exempel från skolans läroplan och universitet.

Exempel på logaritmer

Ta logaritmen av uttryck

Exempel 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Med egenskaper 3,5 beräknar vi

2.
Genom skillnadsegenskapen hos logaritmer har vi

3.
Med hjälp av egenskaper 3.5 hittar vi

4. Var .

Ett till synes komplext uttryck som använder en serie regler förenklas till formen

Hitta logaritmvärden

Exempel 2 Hitta x if

Lösning. För beräkningen tillämpar vi fastigheterna 5 och 13 fram till sista terminen

Ersättare i protokollet och sörja

Eftersom baserna är lika likställer vi uttrycken

Logaritmer. Första nivån.

Låt värdet på logaritmerna anges

Beräkna log(x) if

Lösning: Ta variabelns logaritm för att skriva logaritmen genom summan av termerna

Detta är bara början på bekantskapen med logaritmer och deras egenskaper. Öva beräkningar, berika dina praktiska färdigheter - du kommer snart att behöva de förvärvade kunskaperna för att lösa logaritmiska ekvationer. Efter att ha studerat de grundläggande metoderna för att lösa sådana ekvationer kommer vi att utöka dina kunskaper för ett annat lika viktigt ämne - logaritmiska ojämlikheter ...

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Du måste känna till dessa regler - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: logax och logay. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log6 4 + log6 9.

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 − log2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log3 135 − log3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ta bort exponenten från logaritmen

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer deras två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Hur man löser logaritmer

Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log7 496.

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Övergång till en ny stiftelse

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen logax ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

I synnerhet, om vi sätter c = x, får vi:

Det följer av den andra formeln att det är möjligt att växla basen och argumentet för logaritmen, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls går att lösa förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log5 16 log2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det heter så här:

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att log25 64 = log5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Givet reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

Om någon inte är insatt var detta en riktig uppgift från Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

logaa = 1 är. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från själva basen är lika med ett.
loga 1 = 0 är. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! Eftersom a0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

logaritm Positivt nummer N till basen(b> 0, b 1 ) kallas exponent x , som du behöver höja b för att få N .

Logaritmnotation:

Denna post motsvarar följande:b x = N .

EXEMPEL: logg 3 81 \u003d 4, sedan 3 4 \u003d 81;

Logga 1/3 27 = – 3 , eftersom (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

Ovanstående definition av logaritmen kan skrivas som en identitet:

Grundläggande egenskaper hos logaritmer.

1) logga b= 1 , därför att b 1 = b.

2) logga 1 = 0 , därför att b 0 = 1 .

3) Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna av faktorerna:

logga( ab) = log a+logg b.

4) Logaritmen för kvoten är lika med skillnaden mellan logaritmerna för utdelningen och divisorn:

logga( a/b) = log a-logga b.

5) Gradens logaritm är lika med produkten av exponenten och logaritmen av dess bas:

logga (b k ) = k logga b.

Konsekvensen av denna egenskap är följande:log rot är lika med logaritmen för rottalet dividerat med rotens potens:

6) Om basen för logaritmen är en potens, då värdet exponentens reciproka kan tas ut ur loggens tecken rim:

De två sista fastigheterna kan kombineras till en:

7) Formel för övergångsmodul (dvs. e . övergång från en baslogaritm till en annan bas):

I ett särskilt fall, när N = a vi har:

Decimal logaritm kallad baslogaritm 10. Den är utsedd lg, dvs. logga 10 N = lg N. Logaritmer av siffror 10, 100, 1000, ... sid är respektive 1, 2, 3, …,de där. har så mycket positivt

enheter, hur många nollor som finns i logaritmtalet efter en. Logaritmer av siffror 0,1, 0,01, 0,001, ... sid avny respektive –1, –2, –3, …, dvs. ha lika många negativa som det finns nollor i logaritmtalet före ettan ( räkning och noll heltal). Logaritmer andra tal har en bråkdel som kallas mantissa. Helaen del av logaritmen kallas karakteristisk. För praktisktdecimallogaritmer är mest bekväma.

naturlig logaritm kallad baslogaritm e. Det är betecknat ln, dvs. logga eN = ln N. siffra eär irrationell,ungefärligt värde är 2,718281828. Det är gränsen mot vilken antalet tenderar(1 + 1 / n) n med obegränsad ökningn(centimeter. första underbara gränsen ).
Hur konstigt det än kan verka visade sig naturliga logaritmer vara mycket bekväma när man utförde olika operationer relaterade till analys av funktioner.Beräknar baslogaritmeremycket snabbare än någon annan grund.

Logaritmen för talet b till basen a är exponenten till vilken du behöver höja talet a för att få talet b.

Om då .

Logaritmen är extremt viktig matematisk storhet, eftersom den logaritmiska kalkylen inte bara tillåter att lösa exponentiella ekvationer, utan också att arbeta med exponenter, differentiera exponential- och logaritmiska funktioner, integrera dem och föra dem till en mer acceptabel form för att beräknas.

I kontakt med

Alla egenskaper hos logaritmer är direkt relaterade till egenskaperna hos exponentialfunktioner. Till exempel det faktum att betyder att:

Det bör noteras att när man löser specifika problem kan egenskaperna hos logaritmer vara viktigare och användbara än reglerna för att arbeta med potenser.

Här är några identiteter:

Här är de viktigaste algebraiska uttrycken:

;

Uppmärksamhet! kan bara existera för x>0, x≠1, y>0.

Låt oss försöka förstå frågan om vad naturliga logaritmer är. Separat intresse för matematik representerar två typer- den första har siffran "10" i basen och kallas "decimallogaritmen". Den andra kallas naturlig. Basen för den naturliga logaritmen är talet e. Det handlar om honom som vi kommer att prata i detalj i den här artikeln.

Beteckningar:

lg x - decimal;
ln x - naturligt.

Med hjälp av identiteten kan vi se att ln e = 1, liksom att lg 10=1.

naturlig logggraf

Vi konstruerar en graf över den naturliga logaritmen på det klassiska standardsättet genom poäng. Om du vill kan du kontrollera om vi bygger en funktion korrekt genom att granska funktionen. Men det är vettigt att lära sig att bygga det "manuellt" för att veta hur man korrekt beräknar logaritmen.

Funktion: y = log x. Låt oss skriva en tabell med punkter som grafen kommer att passera genom:

Låt oss förklara varför vi valde sådana värden av argumentet x. Allt handlar om identitet: För en naturlig logaritm kommer denna identitet att se ut så här:

För enkelhetens skull kan vi ta fem referenspunkter:

;

Att räkna naturliga logaritmer är således en ganska enkel uppgift, dessutom förenklar det beräkningen av operationer med potenser och förvandlar dem till normal multiplikation.

Efter att ha byggt en graf med punkter får vi en ungefärlig graf:

Domänen för den naturliga logaritmen (det vill säga alla giltiga värden för X-argumentet) är alla tal större än noll.

Uppmärksamhet! Domänen för den naturliga logaritmen inkluderar bara positiva tal! Omfattningen inkluderar inte x=0. Detta är omöjligt baserat på förutsättningarna för existensen av logaritmen.

Värdeintervallet (dvs alla giltiga värden för funktionen y = ln x) är alla siffror i intervallet.

naturlig stockgräns

När man studerar grafen uppstår frågan - hur beter sig funktionen när y<0.

Uppenbarligen tenderar grafen för funktionen att korsa y-axeln, men kommer inte att kunna göra detta, eftersom den naturliga logaritmen för x<0 не существует.

Naturlig gräns logga kan skrivas så här:

Formel för att ändra basen för en logaritm

Att hantera en naturlig logaritm är mycket lättare än att hantera en logaritm som har en godtycklig bas. Det är därför vi kommer att försöka lära oss hur man reducerar valfri logaritm till en naturlig, eller uttrycker den i en godtycklig bas genom naturliga logaritmer.

Låt oss börja med den logaritmiska identiteten:

Då kan vilket tal eller variabel y som helst representeras som:

där x är valfritt tal (positivt enligt logaritmens egenskaper).

Detta uttryck kan logaritmiseras på båda sidor. Låt oss göra detta med en godtycklig bas z:

Låt oss använda egenskapen (endast istället för "med" har vi ett uttryck):

Härifrån får vi den universella formeln:

I synnerhet, om z=e, då:

Vi lyckades representera logaritmen till en godtycklig bas genom förhållandet mellan två naturliga logaritmer.

Vi löser problem

För att bättre kunna navigera i naturliga logaritmer, överväg exempel på flera problem.

Uppgift 1. Det är nödvändigt att lösa ekvationen ln x = 3.

Lösning: Med hjälp av definitionen av logaritmen: om , då , får vi:

Uppgift 2. Lös ekvationen (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Lösning: Med hjälp av definitionen av logaritmen: om , då , får vi:

Återigen tillämpar vi definitionen av logaritmen:

Således:

Du kan beräkna svaret ungefär, eller så kan du lämna det i det här formuläret.

Uppgift 3. Lös ekvationen.

Lösning: Låt oss göra en substitution: t = ln x. Då kommer ekvationen att ha följande form:

Vi har en andragradsekvation. Låt oss hitta dess diskriminerande:

Inom statistik och sannolikhetsteori är logaritmiska storheter mycket vanliga. Detta är inte förvånande, eftersom siffran e - ofta återspeglar tillväxttakten för exponentiella värden.

Inom datavetenskap, programmering och datorteori är logaritmer ganska vanliga, till exempel för att lagra N bitar i minnet.

I teorierna om fraktaler och dimensioner används logaritmer ständigt, eftersom dimensionerna för fraktaler endast bestäms med deras hjälp.

I mekanik och fysik det finns inget avsnitt där logaritmer inte användes. Den barometriska fördelningen, alla principer för statistisk termodynamik, Tsiolkovsky-ekvationen och så vidare är processer som bara kan beskrivas matematiskt med hjälp av logaritmer.

Inom kemi används logaritmen i Nernst-ekvationerna, beskrivningar av redoxprocesser.

Otroligt nog, även i musik, för att ta reda på antalet delar av en oktav, används logaritmer.

Naturlig logaritm Funktion y=ln x dess egenskaper

Bevis på den naturliga logaritmens huvudsakliga egenskap

Logaritmen för ett positivt tal b till basen a (a>0, a är inte lika med 1) är ett tal c så att a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Observera att logaritmen för ett icke-positivt tal inte är definierad. Dessutom måste basen för logaritmen vara ett positivt tal, inte lika med 1. Till exempel, om vi kvadrat -2 får vi talet 4, men det betyder inte att basen -2 logaritmen av 4 är 2.

Grundläggande logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det är viktigt att definitionsdomänerna för den högra och vänstra delen av denna formel är olika. Den vänstra sidan definieras endast för b>0, a>0 och a ≠ 1. Den högra sidan är definierad för vilket b som helst och är inte alls beroende av a. Således kan tillämpningen av den grundläggande logaritmiska "identiteten" vid lösning av ekvationer och ojämlikheter leda till en förändring i DPV.

Två uppenbara konsekvenser av definitionen av logaritmen

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktum är att när vi höjer siffran a till den första potensen får vi samma tal, och när vi höjer den till nollpotensen får vi en.

Produktens logaritm och kvotens logaritm

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jag skulle vilja varna skolbarn för tanklös användning av dessa formler när de löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. När de används "från vänster till höger" minskar ODZ, och när man flyttar från summan eller skillnaden av logaritmer till logaritmen för produkten eller kvoten expanderar ODZ.

Faktum är att uttrycket log a (f (x) g (x)) definieras i två fall: när båda funktionerna är strikt positiva eller när f(x) och g(x) båda är mindre än noll.

Genom att omvandla detta uttryck till summan log a f (x) + log a g (x) , tvingas vi begränsa oss endast till fallet när f(x)>0 och g(x)>0. Det finns en minskning av intervallet av tillåtna värden, och detta är kategoriskt oacceptabelt, eftersom det kan leda till att lösningar går förlorade. Ett liknande problem finns för formel (6).

Graden kan tas ur logaritmens tecken

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Och återigen skulle jag vilja efterlysa noggrannhet. Tänk på följande exempel:

Logga a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Den vänstra sidan av likheten är uppenbarligen definierad för alla värden på f(x) utom noll. Den högra sidan är endast för f(x)>0! Om vi tar kraften ur logaritmen, minskar vi återigen ODZ. Det omvända förfarandet leder till en utvidgning av intervallet för tillåtna värden. Alla dessa anmärkningar gäller inte bara kraften 2, utan även vilken jämn makt som helst.

Formel för att flytta till en ny bas

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sällsynta fallet när ODZ inte ändras under konverteringen. Om du har valt basen c klokt (positiv och inte lika med 1), är formeln för att flytta till en ny bas helt säker.

Om vi väljer talet b som ny bas c, får vi ett viktigt särskilt fall av formel (8):

Logga a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Några enkla exempel med logaritmer

Exempel 1 Beräkna: lg2 + lg50.
Lösning. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Vi använde formeln för summan av logaritmerna (5) och definitionen av decimallogaritmen.

Exempel 2 Beräkna: lg125/lg5.
Lösning. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Vi använde den nya basövergångsformeln (8).

Tabell över formler relaterade till logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

härledd från dess definition. Och så logaritmen för talet b av skäl A definieras som den exponent till vilken ett tal måste höjas a för att få numret b(logaritmen finns bara för positiva tal).

Av denna formulering följer att beräkningen x=log a b, motsvarar att lösa ekvationen ax=b. Till exempel, log 2 8 = 3 därför att 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gör det möjligt att motivera att if b=a c, sedan logaritmen för talet b av skäl a lika Med. Det är också tydligt att ämnet för logaritmen är nära relaterat till ämnet om ett tals potens.

Med logaritmer, som med alla tal, kan du utföra operationer av addition, subtraktion och förvandla på alla möjliga sätt. Men med tanke på att logaritmer inte är helt vanliga tal, gäller här deras egna speciella regler, som kallas grundläggande egenskaper.