บ้าน › เบ็ดเตล็ด › อสมการเศษส่วนที่มีโมดูลัสในตัวส่วน สมการและอสมการกับโมดูลัส

อสมการเศษส่วนที่มีโมดูลัสในตัวส่วน สมการและอสมการกับโมดูลัส

วันนี้เพื่อน ๆ จะไม่มีน้ำมูกหรือน้ำมูก แต่ฉันจะส่งคุณไปต่อสู้กับหนึ่งในคู่ต่อสู้ที่น่าเกรงขามที่สุดในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8-9 แทน

ใช่ คุณเข้าใจทุกอย่างถูกต้องแล้ว เรากำลังพูดถึงความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลัส เราจะดูเทคนิคพื้นฐานสี่ประการที่คุณจะได้เรียนรู้ในการแก้ปัญหาดังกล่าวประมาณ 90% แล้วอีก 10% ที่เหลือล่ะ? เราจะพูดถึงพวกเขาในบทเรียนแยกต่างหาก :)

อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะวิเคราะห์เทคนิคใดๆ ฉันอยากจะเตือนคุณถึงข้อเท็จจริงสองประการที่คุณจำเป็นต้องรู้อยู่แล้ว มิฉะนั้น คุณอาจเสี่ยงที่จะไม่เข้าใจเนื้อหาของบทเรียนวันนี้เลย

สิ่งที่คุณต้องรู้อยู่แล้ว

Captain Obviousness ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่าเพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยโมดูลัส คุณจำเป็นต้องรู้สองสิ่ง:

ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขอย่างไร
โมดูลคืออะไร?

เริ่มจากจุดที่สองกันก่อน

คำจำกัดความของโมดูล

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ มีสองคำจำกัดความ: พีชคณิตและกราฟิก เริ่มต้นด้วย - พีชคณิต:

คำนิยาม. โมดูลัสของตัวเลข $x$ อาจเป็นตัวเลขนั้นเอง ถ้าไม่เป็นลบ หรือเป็นจำนวนที่อยู่ตรงข้าม ถ้า $x$ เดิมยังคงเป็นลบ

มันเขียนแบบนี้:

\[\ซ้าย| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

พูดง่ายๆ ก็คือ โมดูลัสคือ “ตัวเลขที่ไม่มีเครื่องหมายลบ” และอยู่ในความเป็นคู่นี้ (ในบางสถานที่คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับหมายเลขเดิม แต่ในบางสถานที่คุณต้องลบเครื่องหมายลบบางประเภทออก) นั่นคือจุดที่ความยากลำบากทั้งหมดอยู่ที่นักเรียนระดับเริ่มต้น

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความทางเรขาคณิตด้วย การรู้ก็มีประโยชน์เช่นกัน แต่เราจะหันไปใช้เฉพาะในกรณีที่ซับซ้อนและบางกรณีพิเศษเท่านั้น ซึ่งวิธีการทางเรขาคณิตสะดวกกว่าพีชคณิต (สปอยเลอร์: ไม่ใช่วันนี้)

คำนิยาม. ให้จุด $a$ ถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน จากนั้นโมดูล $\left| x-a \right|$ คือระยะห่างจากจุด $x$ ถึงจุด $a$ บนเส้นนี้

หากคุณวาดภาพคุณจะได้สิ่งนี้:

คำจำกัดความของโมดูลกราฟิก

ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง จากคำจำกัดความของโมดูล คุณสมบัติหลักจะตามมาทันที: โมดูลัสของตัวเลขจะเป็นปริมาณที่ไม่เป็นลบเสมอ. ข้อเท็จจริงนี้จะเป็นหัวข้อสีแดงที่ดำเนินไปตลอดการเล่าเรื่องทั้งหมดของเราในวันนี้

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน วิธีช่วงเวลา

ทีนี้มาดูความไม่เท่าเทียมกันกัน มีพวกมันมากมาย แต่งานของเราตอนนี้คือต้องสามารถแก้ไขอย่างน้อยที่สุดก็ง่ายที่สุด สิ่งที่ลดความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเช่นเดียวกับวิธีช่วงเวลา

ฉันมีบทเรียนสำคัญสองบทในหัวข้อนี้ (อย่างไรก็ตาม มีประโยชน์มาก - ฉันแนะนำให้ศึกษาบทเรียนเหล่านี้):

วิธีช่วงเวลาสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน (โดยเฉพาะดูวิดีโอ)
อสมการเชิงตรรกศาสตร์แบบเศษส่วนเป็นบทเรียนที่กว้างขวางมาก แต่หลังจากนั้น คุณจะไม่มีคำถามใดๆ เลย

หากคุณรู้ทั้งหมดนี้ หากวลี "เปลี่ยนจากความไม่เท่าเทียมกันไปสู่สมการ" ไม่ได้ทำให้คุณมีความปรารถนาที่คลุมเครือที่จะชนกำแพงคุณก็พร้อมแล้ว: ยินดีต้อนรับสู่หัวข้อหลักของบทเรียน :)

1. อสมการของรูปแบบ “โมดูลัสน้อยกว่าฟังก์ชัน”

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยที่สุดเกี่ยวกับโมดูล จำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \ltg\]

ฟังก์ชัน $f$ และ $g$ สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่โดยปกติแล้วจะเป็นพหุนาม ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว:

ทั้งหมดสามารถแก้ไขได้ในบรรทัดเดียวตามรูปแบบต่อไปนี้:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\ลูกศรขวา \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \right.\right)\]

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเรากำจัดโมดูลออกไป แต่ในทางกลับกัน เราก็ได้รับความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า (หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน นั่นคือระบบของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสอง) แต่การเปลี่ยนแปลงนี้คำนึงถึงปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมด: หากตัวเลขใต้โมดูลัสเป็นบวก วิธีการก็จะได้ผล หากเป็นลบก็ยังใช้งานได้ และถึงแม้จะมีฟังก์ชันที่ไม่เพียงพอที่สุดแทนที่ $f$ หรือ $g$ วิธีการก็ยังใช้งานได้

โดยธรรมชาติแล้วคำถามก็เกิดขึ้น: ง่ายกว่านี้ไม่ได้เหรอ? น่าเสียดายที่มันเป็นไปไม่ได้ นี่คือจุดรวมของโมดูล

แต่พอมีปรัชญาแล้ว มาแก้ไขปัญหาสองสามข้อกัน:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| 2x+3 \ขวา| \lt x+7\]

สารละลาย. ดังนั้นเราจึงมีความไม่เท่าเทียมกันแบบคลาสสิกของรูปแบบ "โมดูลัสน้อยกว่า" - ไม่มีอะไรจะแปลงด้วยซ้ำ เราทำงานตามอัลกอริทึม:

\[\begin(align) & \left| ฉ\ขวา| \lt g\ลูกศรขวา -g \lt f \lt g; \\ & \ซ้าย| 2x+3 \ขวา| \lt x+7\ลูกศรขวา -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

อย่ารีบเปิดวงเล็บที่มีเครื่องหมาย "ลบ" นำหน้า: ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าคุณจะทำผิดพลาดที่น่ารังเกียจเนื่องจากความเร่งรีบของคุณ

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

ปัญหาลดลงเหลือความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้นสองประการ ให้เราสังเกตคำตอบของพวกเขาบนเส้นจำนวนคู่ขนาน:
ทางแยกของหลาย ๆ คน
จุดตัดของเซตเหล่านี้จะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

สารละลาย. งานนี้ยากขึ้นเล็กน้อย ขั้นแรก เรามาแยกโมดูลโดยเลื่อนเทอมที่สองไปทางขวา:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

เห็นได้ชัดว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ "โมดูลมีขนาดเล็กกว่า" อีกครั้งดังนั้นเราจึงกำจัดโมดูลโดยใช้อัลกอริธึมที่ทราบอยู่แล้ว:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

ตอนนี้ให้ความสนใจ: บางคนจะบอกว่าฉันเป็นคนนิสัยไม่ดีกับวงเล็บทั้งหมดนี้ แต่ให้ฉันเตือนคุณอีกครั้งว่าเป้าหมายหลักของเราคือ แก้ความไม่เท่าเทียมกันให้ถูกต้องแล้วได้คำตอบ. ต่อมาเมื่อคุณเชี่ยวชาญทุกสิ่งที่อธิบายไว้ในบทเรียนนี้อย่างสมบูรณ์แล้ว คุณสามารถบิดเบือนมันได้เองตามที่คุณต้องการ: วงเล็บเปิด เพิ่มเครื่องหมายลบ ฯลฯ

ขั้นแรกเราจะกำจัดเครื่องหมายลบสองเท่าทางด้านซ้าย:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ซ้าย(x+1 \ขวา)\]

ทีนี้มาเปิดวงเล็บทั้งหมดในอสมการสองเท่ากัน:

เรามาดูอสมการสองเท่ากันดีกว่า. คราวนี้การคำนวณจะจริงจังกว่านี้:

\[\left\( \begin(จัดแนว) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( จัดตำแหน่ง)\right.\]

ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองเป็นแบบกำลังสองและสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีช่วงเวลา (นั่นคือเหตุผลที่ฉันพูดว่า: ถ้าคุณไม่รู้ว่าสิ่งนี้คืออะไร จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่เข้าร่วมโมดูล) เรามาดูสมการในอสมการแรกกันดีกว่า:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ซ้าย(x+5 \ขวา)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(จัดแนว)\]

อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเบื้องต้น ทีนี้มาดูอสมการที่สองของระบบกัน คุณจะต้องใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ที่นั่น:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(จัดแนว)\]

เราทำเครื่องหมายตัวเลขผลลัพธ์บนเส้นคู่ขนานสองเส้น (แยกสำหรับความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกและแยกจากที่สอง):
อีกครั้ง เนื่องจากเรากำลังแก้ระบบอสมการ เราจึงสนใจจุดตัดของเซตสีเทา: $x\in \left(-5;-2 \right)$ นี่คือคำตอบ
คำตอบ: $x\in \left(-5;-2 \right)$

ฉันคิดว่าหลังจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปแบบการแก้ปัญหามีความชัดเจนมาก:

แยกโมดูลโดยการย้ายพจน์อื่นๆ ทั้งหมดไปไว้ฝั่งตรงข้ามของอสมการ ดังนั้นเราจึงได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $\left| ฉ\ขวา| \ltg$.
แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้ด้วยการกำจัดโมดูลตามโครงร่างที่อธิบายไว้ข้างต้น เมื่อถึงจุดหนึ่ง จำเป็นต้องย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าไปเป็นระบบสองนิพจน์ที่เป็นอิสระ ซึ่งแต่ละนิพจน์สามารถแก้ไขได้แยกกันอยู่แล้ว
สุดท้าย สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือตัดผลเฉลยของนิพจน์อิสระทั้งสองนี้ - เท่านี้ก็เรียบร้อย เราก็จะได้คำตอบสุดท้าย

อัลกอริธึมที่คล้ายกันมีอยู่สำหรับอสมการประเภทต่อไปนี้ เมื่อโมดูลัสมากกว่าฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม มี "แต่" ที่ร้ายแรงอยู่สองสามประการ เราจะพูดถึง "แต่" เหล่านี้ตอนนี้

2. อสมการของรูปแบบ “โมดูลัสมีค่ามากกว่าฟังก์ชัน”

พวกเขามีลักษณะเช่นนี้:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gtg\]

คล้ายกับครั้งก่อน? มันดูเหมือน. แต่ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขด้วยวิธีที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง อย่างเป็นทางการโครงการมีดังนี้:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gt g\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะพิจารณาสองกรณี:

อันดับแรก เราเพียงเพิกเฉยต่อโมดูลและแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันตามปกติ
โดยพื้นฐานแล้ว เราจะขยายโมดูลด้วยเครื่องหมายลบ จากนั้นคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย −1 ขณะที่ฉันมีเครื่องหมายอยู่

ในกรณีนี้ ตัวเลือกจะรวมกับวงเล็บเหลี่ยม เช่น เรามีข้อกำหนดสองประการรวมกันอยู่ตรงหน้าเรา

โปรดทราบอีกครั้ง: นี่ไม่ใช่ระบบ แต่เป็นระบบทั้งหมด ในคำตอบ ชุดต่างๆ จะรวมกันแทนที่จะตัดกัน. นี่คือความแตกต่างพื้นฐานจากประเด็นที่แล้ว!

โดยทั่วไปแล้ว นักเรียนหลายคนสับสนอย่างสิ้นเชิงกับสหภาพแรงงานและทางแยก ดังนั้นเรามาแก้ไขปัญหานี้กัน:

"∪" คือสัญลักษณ์สหภาพ อันที่จริงนี่คือตัวอักษรสุกใส "U" ซึ่งมาจากภาษาอังกฤษและเป็นคำย่อของ "Union" เช่น "สมาคม".
"∩" คือป้ายสี่แยก เรื่องไร้สาระนี้ไม่ได้มาจากที่ไหนเลย แต่ดูเหมือนเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับ “∪”

เพื่อให้จำได้ง่ายขึ้น เพียงวาดขาไปที่ป้ายเหล่านี้เพื่อทำแว่นตา (อย่ากล่าวหาว่าฉันส่งเสริมการติดยาและโรคพิษสุราเรื้อรัง: หากคุณศึกษาบทเรียนนี้อย่างจริงจัง แสดงว่าคุณติดยาแล้ว):

ความแตกต่างระหว่างจุดตัดและการรวมกันของเซต

เมื่อแปลเป็นภาษารัสเซียหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: สหภาพ (ผลรวม) รวมถึงองค์ประกอบจากทั้งสองชุดดังนั้นจึงไม่น้อยไปกว่าแต่ละชุด แต่จุดตัด (ระบบ) จะรวมเฉพาะองค์ประกอบที่พร้อมกันทั้งชุดแรกและชุดที่สอง ดังนั้นจุดตัดกันของเซตจึงไม่ใหญ่กว่าเซตต้นทาง

มันเลยชัดเจนขึ้น? เป็นสิ่งที่ดี. เรามาฝึกกันต่อ

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| 3x+1 \ขวา| \gt 5-4x\]

สารละลาย. เราดำเนินการตามโครงการ:

\[\ซ้าย| 3x+1 \ขวา| \gt 5-4x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ขวา.\]

เราแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในประชากรแต่ละอย่าง:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

เราทำเครื่องหมายแต่ละชุดผลลัพธ์บนเส้นจำนวน จากนั้นจึงรวมเข้าด้วยกัน:
ยูเนี่ยนของชุด
เห็นได้ชัดว่าคำตอบจะเป็น $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

คำตอบ: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

สารละลาย. ดี? ไม่มีอะไร - ทุกอย่างเหมือนกัน เราย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันด้วยมอดุลัสไปสู่ชุดของอสมการสองประการ:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

เราแก้ไขทุกความไม่เท่าเทียมกัน น่าเสียดายที่รากที่นั่นจะไม่ดีนัก:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2) \\\end(จัดแนว)\]

ความไม่เท่าเทียมกันประการที่สองนั้นค่อนข้างจะรุนแรง:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2) \\\end(จัดแนว)\]

ตอนนี้คุณต้องทำเครื่องหมายตัวเลขเหล่านี้บนสองแกน - หนึ่งแกนสำหรับความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอัน อย่างไรก็ตาม คุณต้องทำเครื่องหมายจุดตามลำดับที่ถูกต้อง ยิ่งตัวเลขมาก จุดก็จะเคลื่อนไปทางขวามากขึ้น

และนี่คือการตั้งค่ารอเราอยู่ ถ้าทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (เงื่อนไขในตัวเศษของตัวแรก เศษส่วนน้อยกว่าพจน์ในตัวเศษของวินาที ดังนั้นผลรวมจึงน้อยกว่าด้วย) โดยมีตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ก็จะไม่มีปัญหาเช่นกัน (จำนวนบวกเป็นลบมากกว่าอย่างเห็นได้ชัด) จากนั้นสองสามอย่างสุดท้ายทุกอย่างก็ไม่ชัดเจน อันไหนมากกว่า: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ หรือ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? การวางจุดบนเส้นจำนวนและที่จริงแล้วคำตอบจะขึ้นอยู่กับคำตอบของคำถามนี้

ลองเปรียบเทียบกัน:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ วี -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(เมทริกซ์)\]

เราแยกรากได้จำนวนที่ไม่เป็นลบทั้งสองข้างของอสมการ ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ยกกำลังสองทั้งสองข้าง:

\[\begin(เมทริกซ์) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(เมทริกซ์)\]

ฉันคิดว่ามันไม่ใช่เรื่องง่ายที่ $4\sqrt(13) \gt 3$ ดังนั้น $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ จุดสุดท้ายบนแกนจะถูกวางดังนี้:
กรณีของรากที่น่าเกลียด
ฉันขอเตือนคุณว่าเรากำลังแก้เซต ดังนั้นคำตอบจะเป็นการรวม ไม่ใช่จุดตัดของเซตสีเทา

คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

อย่างที่คุณเห็น โครงการของเราใช้งานได้ดีกับทั้งปัญหาง่ายและปัญหาที่ยากมาก “จุดอ่อน” เพียงอย่างเดียวในแนวทางนี้คือคุณต้องเปรียบเทียบจำนวนอตรรกยะให้ถูกต้อง (และเชื่อฉันเถอะว่าสิ่งเหล่านี้ไม่ได้เป็นเพียงรากเท่านั้น) แต่บทเรียนแยกต่างหาก (และจริงจังมาก) จะเน้นไปที่ประเด็นการเปรียบเทียบ และเราก็เดินหน้าต่อไป

3. ความไม่เท่าเทียมกันกับ "ก้อย" ที่ไม่เป็นลบ

ตอนนี้เรามาถึงส่วนที่น่าสนใจที่สุดแล้ว นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gt\ซ้าย| ก\ขวา|\]

โดยทั่วไปแล้ว อัลกอริธึมที่เราจะพูดถึงตอนนี้นั้นถูกต้องสำหรับโมดูลเท่านั้น มันใช้ได้กับความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด โดยรับประกันว่านิพจน์ที่ไม่เป็นลบทางซ้ายและขวา:

จะทำอย่างไรกับงานเหล่านี้? เพียงจำไว้ว่า:

ในความไม่เท่าเทียมกับ "หาง" ที่ไม่เป็นลบ ทั้งสองฝ่ายสามารถยกขึ้นเป็นพลังธรรมชาติใดก็ได้ จะไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม

ก่อนอื่นเราจะสนใจเรื่องการยกกำลังสอง - มันเผาโมดูลและรูท:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f \\\end(จัดแนว)\]

อย่าสับสนกับการหารากของกำลังสอง:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| ฉ \right|\ne ฉ\]

เกิดข้อผิดพลาดนับไม่ถ้วนเมื่อนักเรียนลืมติดตั้งโมดูล! แต่นี่เป็นเรื่องราวที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง (สมการไร้เหตุผล) ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงเรื่องนี้ในตอนนี้ มาแก้ไขปัญหาสองสามข้อกันดีกว่า:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \ขวา|\]

สารละลาย. ลองสังเกตสองสิ่งทันที:

นี่ไม่ใช่ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด จุดบนเส้นจำนวนจะถูกแทง

เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านไม่เป็นลบ (นี่คือคุณสมบัติของโมดูล: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)

ดังนั้นเราจึงสามารถยกกำลังสองของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านเพื่อกำจัดโมดูลัสและแก้ไขปัญหาโดยใช้วิธีช่วงเวลาปกติ:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)) \\\end(จัดแนว)\]

ในขั้นตอนสุดท้าย ฉันโกงนิดหน่อย: ฉันเปลี่ยนลำดับของคำศัพท์ โดยใช้ประโยชน์จากความเท่าเทียมกันของโมดูล (อันที่จริง ฉันคูณนิพจน์ $1-2x$ ด้วย −1)

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ขวา)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

เราแก้โดยใช้วิธีช่วงเวลา เรามาเปลี่ยนจากอสมการไปสู่สมการกัน:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3) \\\end(จัดแนว)\]

เราทำเครื่องหมายรากที่พบบนเส้นจำนวน อีกครั้ง: ทุกจุดถูกแรเงาเพราะอสมการเดิมไม่เข้มงวด!
กำจัดเครื่องหมายมอดุลัส
ฉันขอเตือนคุณสำหรับผู้ที่ดื้อรั้นเป็นพิเศษ: เรานำสัญญาณจากความไม่เท่าเทียมกันครั้งล่าสุดซึ่งเขียนไว้ก่อนที่จะไปสู่สมการ และเราทาสีทับพื้นที่ที่ต้องการในความไม่เท่าเทียมกันเดียวกัน ในกรณีของเราคือ $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$

โอเค ตอนนี้ทุกอย่างจบลงแล้ว ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

คำตอบ: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

สารละลาย. เราทำทุกอย่างเหมือนกัน ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น - แค่ดูลำดับของการกระทำ

ยกกำลังสอง:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \ขวา))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ ขวา))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\เลอ 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

วิธีช่วงเวลา:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ ลูกศรขวา x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\ลูกศรขวา \varnothing \\\end(จัดแนว)\]

มีเพียงรากเดียวบนเส้นจำนวน:
คำตอบคือช่วงเวลาทั้งหมด
คำตอบ: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

บันทึกเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับงานสุดท้าย ตามที่นักเรียนคนหนึ่งของฉันระบุไว้อย่างถูกต้อง นิพจน์ย่อยทั้งสองในความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นเชิงบวกอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นจึงสามารถละเว้นเครื่องหมายมอดุลัสได้โดยไม่เป็นอันตรายต่อสุขภาพ

แต่นี่เป็นระดับการคิดที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงและเป็นแนวทางที่แตกต่าง - มันสามารถเรียกได้ว่าเป็นวิธีการของผลที่ตามมาอย่างมีเงื่อนไข เกี่ยวกับเรื่องนี้ - ในบทเรียนแยกต่างหาก ตอนนี้เรามาดูส่วนสุดท้ายของบทเรียนของวันนี้แล้วดูอัลกอริธึมสากลที่ใช้งานได้เสมอ แม้ว่าวิธีการก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะไร้พลังก็ตาม :)

4. วิธีการแจกแจงตัวเลือก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเทคนิคทั้งหมดนี้ไม่ได้ช่วยอะไร? หากความไม่เท่าเทียมกันไม่สามารถลดลงเป็นหางที่ไม่เป็นลบได้หากไม่สามารถแยกโมดูลได้หากโดยทั่วไปมีความเจ็บปวดความโศกเศร้าความเศร้าโศก?

จากนั้น “ปืนใหญ่” ของคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็มาถึงที่เกิดเหตุ ซึ่งเป็นวิธีแบบเดรัจฉาน สัมพันธ์กับอสมการกับโมดูลัส มีลักษณะดังนี้:

เขียนนิพจน์ย่อยทั้งหมดและตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์
แก้สมการผลลัพธ์และทำเครื่องหมายรากที่พบในเส้นจำนวนหนึ่งเส้น
เส้นตรงจะแบ่งออกเป็นหลายส่วน โดยแต่ละโมดูลจะมีป้ายตายตัวและเผยให้เห็นไม่ซ้ำกัน
แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันในแต่ละส่วนดังกล่าว (คุณสามารถพิจารณาขอบเขตรากที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2 แยกกันเพื่อความน่าเชื่อถือ) รวมผลลัพธ์ - นี่จะเป็นคำตอบ :)

ดังนั้นวิธีการที่? อ่อนแอ? อย่างง่ายดาย! เป็นเวลานานเท่านั้น มาดูในทางปฏิบัติ:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| x+2 \ขวา| \lt \ซ้าย| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

สารละลาย. เรื่องไร้สาระนี้ไม่ได้เดือดลงไปถึงความไม่เท่าเทียมเช่น $\left| ฉ\ขวา| \lt g$, $\left| ฉ\ขวา| \gt g$ หรือ $\left| ฉ\ขวา| \lt \ซ้าย| g \right|$ ดังนั้นเราจึงดำเนินการล่วงหน้า

เราเขียนนิพจน์ submodular จัดให้เป็นศูนย์และค้นหาราก:

\[\begin(align) & x+2=0\ลูกศรขวา x=-2; \\ & x-1=0\ลูกศรขวา x=1 \\\end(จัดแนว)\]

โดยรวมแล้ว เรามีรากสองอันที่แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามส่วน ซึ่งภายในแต่ละโมดูลจะถูกเปิดเผยโดยไม่ซ้ำกัน:
การแบ่งเส้นจำนวนด้วยศูนย์ของฟังก์ชันย่อย
มาดูแต่ละส่วนแยกกัน

1. ให้ $x \lt -2$. จากนั้นนิพจน์ย่อยทั้งสองจะเป็นค่าลบ และความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end (จัดแนว)\]

เรามีข้อจำกัดที่ค่อนข้างง่าย ลองตัดมันด้วยสมมติฐานเบื้องต้นว่า $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

แน่นอนว่าตัวแปร $x$ ต้องไม่น้อยกว่า −2 และมากกว่า 1.5 พร้อมกันไม่ได้ ไม่มีวิธีแก้ปัญหาในพื้นที่นี้

1.1. ให้เราพิจารณากรณีเส้นเขตแดนแยกกัน: $x=-2$ ลองแทนจำนวนนี้ลงในอสมการเดิมแล้วตรวจดู: จริงไหม?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \ซ้าย| -3\ขวา|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\ลูกศรขวา \varnothing \\\end(จัดแนว)\]

เห็นได้ชัดว่าห่วงโซ่การคำนวณทำให้เราเกิดความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจึงเป็นเท็จเช่นกัน และ $x=-2$ จะไม่รวมอยู่ในคำตอบ

2. ให้ $-2 \lt x \lt 1$ โมดูลด้านซ้ายจะเปิดด้วยเครื่องหมาย "บวก" อยู่แล้ว แต่โมดูลด้านขวาจะยังคงเปิดด้วย "เครื่องหมายลบ" เรามี:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราตัดกับข้อกำหนดเดิมอีกครั้ง:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

และขอย้ำอีกครั้งว่าชุดของคำตอบนั้นว่างเปล่า เนื่องจากไม่มีตัวเลขใดที่ทั้งน้อยกว่า −2.5 และมากกว่า −2

2.1. และอีกครั้งเป็นกรณีพิเศษ: $x=1$ เราแทนที่ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \ซ้าย| 3\ขวา| \lt \ซ้าย| 0\ขวา|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\ลูกศรขวา \varnothing \\\end(จัดแนว)\]

เช่นเดียวกับ “กรณีพิเศษ” ก่อนหน้านี้ ตัวเลข $x=1$ ไม่ได้รวมอยู่ในคำตอบอย่างชัดเจน

3. ส่วนสุดท้ายของบรรทัด: $x \gt 1$ ที่นี่โมดูลทั้งหมดจะเปิดขึ้นโดยมีเครื่องหมายบวก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

และอีกครั้งที่เราตัดกันเซตที่พบด้วยข้อจำกัดเดิม:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

ในที่สุด! เราได้พบช่วงเวลาที่จะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

สุดท้ายนี้ มีข้อสังเกตหนึ่งที่อาจช่วยคุณจากความผิดพลาดโง่ๆ เมื่อแก้ไขปัญหาจริง:

คำตอบของอสมการด้วยโมดูลัสมักจะแสดงถึงเซตต่อเนื่องบนเส้นจำนวน - ช่วงเวลาและเซ็กเมนต์ จุดที่แยกออกมานั้นพบได้น้อยกว่ามาก และบ่อยครั้งที่ขอบเขตของการแก้ปัญหา (จุดสิ้นสุดของส่วน) เกิดขึ้นพร้อมกับขอบเขตของช่วงที่พิจารณา

ดังนั้น หากไม่รวมขอบเขต ("กรณีพิเศษ" เดียวกันในคำตอบ พื้นที่ทางซ้ายและขวาของขอบเขตเหล่านี้แทบจะไม่รวมอยู่ในคำตอบเลย และในทางกลับกัน: เส้นขอบเข้าสู่คำตอบ ซึ่งหมายความว่าบางพื้นที่รอบ ๆ จะเป็นคำตอบด้วย

โปรดคำนึงถึงสิ่งนี้เมื่อตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณ

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในโหมด ออนไลน์ สารละลายความไม่เท่าเทียมกันเกือบทุกประการ ออนไลน์. คณิตศาสตร์ ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์เพื่อแก้คณิตศาสตร์ ค้นหาอย่างรวดเร็ว การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในโหมด ออนไลน์. เว็บไซต์ www.site ช่วยให้คุณสามารถค้นหาได้ สารละลายเกือบทุกอย่างที่ได้รับ พีชคณิต, ตรีโกณมิติหรือ ความไม่เท่าเทียมกันเหนือธรรมชาติทางออนไลน์. เมื่อเรียนคณิตศาสตร์เกือบทุกสาขาในแต่ละช่วง คุณต้องตัดสินใจ ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์. หากต้องการได้รับคำตอบทันที และที่สำคัญที่สุดคือคำตอบที่แม่นยำ คุณต้องมีทรัพยากรที่ช่วยให้คุณดำเนินการนี้ได้ ขอบคุณเว็บไซต์ www.site แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์จะใช้เวลาไม่กี่นาที ข้อได้เปรียบหลักของ www.site เมื่อแก้โจทย์คณิต ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์- นี่คือความเร็วและความแม่นยำของการตอบสนองที่ให้ไว้ เว็บไซต์สามารถแก้ปัญหาใดๆ อสมการพีชคณิตออนไลน์, อสมการตรีโกณมิติออนไลน์, ความไม่เท่าเทียมเหนือธรรมชาติออนไลน์, และ ความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในโหมด ออนไลน์. อสมการทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อันทรงพลัง โซลูชั่นปัญหาในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ อสมการทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่อาจดูสับสนและซับซ้อนเมื่อมองแวบแรก ปริมาณที่ไม่ทราบ ความไม่เท่าเทียมกันสามารถพบได้โดยการกำหนดปัญหาใน ทางคณิตศาสตร์ภาษาในรูปแบบ ความไม่เท่าเทียมกันและ ตัดสินใจได้รับงานในโหมด ออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. ใดๆ ความไม่เท่าเทียมกันทางพีชคณิต, อสมการตรีโกณมิติหรือ ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งประกอบด้วย เหนือธรรมชาติคุณสมบัติที่คุณทำได้อย่างง่ายดาย ตัดสินใจออนไลน์และรับคำตอบที่แน่นอน เมื่อศึกษาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ คุณจะต้องพบกับความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน. ในกรณีนี้คำตอบจะต้องแม่นยำและต้องได้รับทันทีในโหมด ออนไลน์. ดังนั้นเพื่อ แก้อสมการทางคณิตศาสตร์ออนไลน์เราขอแนะนำเว็บไซต์ www.site ซึ่งจะกลายเป็นเครื่องคิดเลขที่ขาดไม่ได้ของคุณ แก้อสมการพีชคณิตออนไลน์, อสมการตรีโกณมิติออนไลน์, และ ความไม่เท่าเทียมเหนือธรรมชาติออนไลน์หรือ ความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติในการหาวิธีแก้ปัญหาออนไลน์ต่างๆ อสมการทางคณิตศาสตร์ทรัพยากร www.. การแก้ปัญหา ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์ตัวคุณเองจะมีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. คุณต้องเขียนอสมการให้ถูกต้องและรับทันที โซลูชั่นออนไลน์หลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบของคุณกับอสมการ การตรวจสอบคำตอบจะใช้เวลาไม่เกินหนึ่งนาทีก็เพียงพอแล้ว แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์และเปรียบเทียบคำตอบ ซึ่งจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้ การตัดสินใจและแก้ไขคำตอบให้ตรงเวลาเมื่อ การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์ทั้ง พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เหนือธรรมชาติหรือ ความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก

ยิ่งบุคคลเข้าใจมากเท่าไร ความปรารถนาที่จะเข้าใจก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

โทมัส อไควนัส

วิธีช่วงเวลาช่วยให้คุณสามารถแก้สมการที่มีโมดูลัสได้ สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแบ่งแกนตัวเลขออกเป็นหลายส่วน (ช่วงเวลา) และต้องแบ่งแกนด้วยศูนย์ของนิพจน์ในโมดูล จากนั้น ในแต่ละส่วนที่เป็นผลลัพธ์ ทุกนิพจน์ย่อยจะเป็นค่าบวกหรือค่าลบ ดังนั้น แต่ละโมดูลสามารถเปิดได้ด้วยเครื่องหมายลบหรือเครื่องหมายบวก หลังจากขั้นตอนเหล่านี้ สิ่งที่เหลืออยู่คือการแก้สมการง่ายๆ ที่เกิดขึ้นแต่ละสมการในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณา และรวมคำตอบที่ได้รับ

ลองดูวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) มาหาศูนย์ของนิพจน์ในโมดูลกัน ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องทำให้มันเป็นศูนย์และแก้สมการผลลัพธ์

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) วางจุดผลลัพธ์ตามลำดับที่ต้องการบนเส้นพิกัด พวกเขาจะแบ่งแกนทั้งหมดออกเป็นสี่ส่วน

3) ให้เราพิจารณาแต่ละส่วนที่เป็นผลสัญญาณของการแสดงออกในโมดูล ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่ตัวเลขใดๆ จากช่วงที่เราสนใจลงไป หากผลลัพธ์ของการคำนวณเป็นจำนวนบวก เราจะใส่ "+" ลงในตาราง และหากตัวเลขเป็นลบ เราก็จะใส่ "–" สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ดังนี้: