สร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้รูปแบบทั่วไปของการศึกษา การสำรวจและวางแผนการทำงานเต็มรูปแบบ

สำหรับ การศึกษาเต็มรูปแบบฟังก์ชันและสร้างกราฟ ขอแนะนำให้ใช้โครงร่างต่อไปนี้:

1) ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน

2) ค้นหาจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันและเส้นกำกับแนวตั้ง (ถ้ามี)

3) ตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด ค้นหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

4) ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความสมดุล (ความแปลก) และสำหรับช่วงเวลา (สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ)

5) ค้นหา extrema และช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

6) กำหนดช่วงเวลาของความนูนและจุดเปลี่ยน;

7) หาจุดตัดกับแกนพิกัด ถ้าเป็นไปได้ และจุดเพิ่มเติมบางส่วนที่ปรับแต่งกราฟ

การศึกษาของฟังก์ชันจะดำเนินการไปพร้อมกับการสร้างกราฟของมัน

ตัวอย่างที่ 9สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

1. โดเมนของคำจำกัดความ: ;

2. ฟังก์ชั่นแบ่งตามจุด
,
;

เราตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวตั้ง

;
,
─เส้นกำกับแนวตั้ง

;
,
─เส้นกำกับแนวตั้ง

3. เราตรวจสอบการทำงานของการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวเฉียงและแนวนอน

ตรง
─ เส้นกำกับเฉียง ถ้า
,
.

,
.

ตรง
─เส้นกำกับแนวนอน

4. หน้าที่แม้เพราะ
. ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันบ่งชี้ความสมมาตรของกราฟเทียบกับแกน y

5. ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อและความสุดขั้วของฟังก์ชัน

มาหาจุดวิกฤตกันเช่น จุดที่อนุพันธ์เป็น 0 หรือไม่มีอยู่:
;
. เรามีสามแต้ม
;

. จุดเหล่านี้แบ่งแกนจริงทั้งหมดออกเป็นสี่ช่วง มากำหนดสัญญาณกัน ในแต่ละรายการ

ในช่วง (-∞; -1) และ (-1; 0) ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ในช่วง (0; 1) และ (1; +∞) ฟังก์ชันจะลดลง เมื่อผ่านจุดๆ
อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด
.

6. มาหาช่วงความนูน, จุดเปลี่ยน

ลองหาจุดที่ เป็น 0 หรือไม่มีอยู่

ไม่มีรากที่แท้จริง
,
,

คะแนน
และ
แบ่งแกนจริงออกเป็นสามช่วง มากำหนดเครื่องหมายกันเถอะ ในทุกช่วงเวลา

ดังนั้น เส้นโค้งบนช่วง
และ
นูนลงในช่วง (-1;1) นูนขึ้น; ไม่มีจุดเปลี่ยนเนื่องจากฟังก์ชันที่จุดต่างๆ
และ
ไม่ได้กำหนด

7. ค้นหาจุดตัดกับแกน

พร้อมเพลา
กราฟของฟังก์ชันตัดกันที่จุด (0; -1) และกับแกน
กราฟไม่ตัดกัน เนื่องจาก ตัวเศษของฟังก์ชันนี้ไม่มีรากที่แท้จริง

กราฟของฟังก์ชันที่กำหนดแสดงในรูปที่ 1

รูปที่ 1 ─ กราฟของฟังก์ชัน

การประยุกต์แนวคิดอนุพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์ ความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน

เพื่อศึกษากระบวนการทางเศรษฐกิจและแก้ปัญหาประยุกต์อื่นๆ มักใช้แนวคิดของความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน

คำนิยาม.ความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน
เรียกว่าลิมิตอัตราส่วนของการเพิ่มสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน กับการเพิ่มสัมพัทธ์ของตัวแปร ที่
, . (ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว)

ความยืดหยุ่นของฟังก์ชันจะแสดงค่าประมาณว่าฟังก์ชันจะเปลี่ยนแปลงกี่เปอร์เซ็นต์
เมื่อเปลี่ยนตัวแปรอิสระ โดย 1%

ความยืดหยุ่นของฟังก์ชันใช้ในการวิเคราะห์อุปสงค์และการบริโภค หากความยืดหยุ่นของอุปสงค์ (ในค่าสัมบูรณ์)
อุปสงค์จะถือว่ายืดหยุ่นถ้า
─ เป็นกลางถ้า
─ ไม่ยืดหยุ่นเมื่อเทียบกับราคา (หรือรายได้)

ตัวอย่างที่ 10คำนวณความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน
และหาค่าดัชนีความยืดหยุ่นของ = 3.

วิธีแก้ปัญหา: ตามสูตร (VII) ความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน:

ให้ x=3 แล้ว
ซึ่งหมายความว่าหากตัวแปรอิสระเพิ่มขึ้น 1% ค่าของตัวแปรตามจะเพิ่มขึ้น 1.42%

ตัวอย่างที่ 11ให้ฟังก์ชันอุปสงค์ เกี่ยวกับราคา มีแบบฟอร์ม
, ที่ไหน ─ค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ค้นหาค่าของดัชนีความยืดหยุ่นของฟังก์ชันอุปสงค์ที่ราคา x = 3 den หน่วย

วิธีแก้ไข: คำนวณความยืดหยุ่นของฟังก์ชันอุปสงค์โดยใช้สูตร (VII)

ทะลึ่ง
เราได้รับหน่วยเงิน
. ซึ่งหมายความว่าในราคา
หน่วยเงิน การเพิ่มขึ้นของราคา 1% จะทำให้อุปสงค์ลดลง 6% เช่น อุปสงค์มีความยืดหยุ่น

วันนี้เราขอเชิญคุณสำรวจและวางแผนกราฟฟังก์ชันกับเรา หลังจากศึกษาบทความนี้อย่างละเอียด คุณจะไม่ต้องเสียเหงื่อเป็นเวลานานเพื่อทำงานประเภทนี้ให้เสร็จ การสำรวจและสร้างกราฟของฟังก์ชันนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย งานมีขนาดใหญ่ ต้องใช้ความเอาใจใส่สูงสุดและความแม่นยำในการคำนวณ เพื่ออำนวยความสะดวกในการรับรู้เนื้อหา เราจะค่อยๆ ศึกษาหน้าที่เดียวกัน อธิบายการกระทำและการคำนวณทั้งหมดของเรา ยินดีต้อนรับสู่โลกแห่งคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งและน่าทึ่ง! ไป!

โดเมน

ในการสำรวจและลงจุดฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้คำจำกัดความบางอย่าง ฟังก์ชันเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐาน (พื้นฐาน) ในวิชาคณิตศาสตร์ มันสะท้อนถึงการพึ่งพาระหว่างตัวแปรหลายตัว (สอง สาม หรือมากกว่า) ที่มีการเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันยังแสดงการพึ่งพาของชุด

ลองนึกภาพว่าเรามีตัวแปรสองตัวที่มีช่วงการเปลี่ยนแปลงที่แน่นอน ดังนั้น y จึงเป็นฟังก์ชันของ x โดยมีเงื่อนไขว่าแต่ละค่าของตัวแปรที่สองสอดคล้องกับหนึ่งค่าของตัวแปรที่สอง ในกรณีนี้ ตัวแปร y ขึ้นอยู่กับ และเรียกว่าฟังก์ชัน เป็นเรื่องปกติที่จะบอกว่าตัวแปร x และ y อยู่ในนั้น เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้นของการพึ่งพาอาศัยกันนี้ กราฟของฟังก์ชันจะถูกสร้างขึ้น กราฟฟังก์ชันคืออะไร? นี่คือชุดของจุดบนระนาบพิกัด โดยที่แต่ละค่าของ x สอดคล้องกับค่า y หนึ่งค่า กราฟอาจแตกต่างกัน - เส้นตรง ไฮเพอร์โบลา พาราโบลา ไซน์ซอยด์ และอื่นๆ

ไม่สามารถลงจุดกราฟฟังก์ชันได้หากไม่มีการสำรวจ วันนี้เราจะเรียนรู้วิธีดำเนินการวิจัยและวางแผนกราฟฟังก์ชัน การจดบันทึกในระหว่างการศึกษาเป็นสิ่งสำคัญมาก ดังนั้นการรับมือกับงานจะง่ายขึ้นมาก แผนการเรียนที่สะดวกที่สุด:

1. โดเมน.
2. ความต่อเนื่อง
3. คู่หรือคี่.
4. ระยะเวลา
5. เส้นกำกับ
6. ศูนย์
7. ความมั่นคง
8. ขึ้นและลง
9. สุดขั้ว
10. ความนูนและความเว้า

เริ่มกันที่ข้อแรก ลองหาโดเมนของคำนิยาม นั่นคือ ฟังก์ชันของเราอยู่ในช่วงใด: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) ในกรณีของเรา ฟังก์ชันมีอยู่สำหรับค่าใดๆ ของ x นั่นคือ โดเมนของคำนิยามคือ R สามารถเขียนเป็น xОR

ความต่อเนื่อง

ตอนนี้เราจะสำรวจฟังก์ชันความไม่ต่อเนื่องกัน ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ความต่อเนื่อง" เป็นผลมาจากการศึกษากฎการเคลื่อนที่ ไม่มีที่สิ้นสุดคืออะไร? พื้นที่ เวลา การพึ่งพาอาศัยกัน (ตัวอย่างคือการพึ่งพาตัวแปร S และ t ในปัญหาการเคลื่อนที่) อุณหภูมิของวัตถุที่อุ่น (น้ำ กระทะ เทอร์โมมิเตอร์ และอื่นๆ) เส้นต่อเนื่อง (นั่นคือ หนึ่ง ที่วาดได้โดยไม่ต้องถอดดินสอแผ่น)

กราฟจะถือว่าต่อเนื่องหากไม่หัก ณ จุดใดจุดหนึ่ง มากที่สุดแห่งหนึ่ง ตัวอย่างที่ดีกราฟดังกล่าวเป็นคลื่นไซน์ซึ่งคุณสามารถดูได้จากรูปภาพในส่วนนี้ ฟังก์ชันจะต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่ง x0 หากตรงตามเงื่อนไขจำนวนหนึ่ง:

• ฟังก์ชันถูกกำหนด ณ จุดที่กำหนด
• ขีด จำกัด ทางขวาและซ้าย ณ จุดหนึ่งมีค่าเท่ากัน
• ลิมิตจะเท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด x0

หากไม่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อ ฟังก์ชันจะถือว่าหยุดทำงาน และจุดที่ตัวแบ่งฟังก์ชันเรียกว่าจุดพัก ตัวอย่างของฟังก์ชันที่จะ “แตก” เมื่อแสดงเป็นกราฟิกคือ: y=(x+4)/(x-3) นอกจากนี้ y ไม่มีอยู่ที่จุด x = 3 (เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์)

ในฟังก์ชั่นที่เรากำลังศึกษา (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) ทุกอย่างกลายเป็นเรื่องง่ายเนื่องจากกราฟจะต่อเนื่อง

แม้กระทั่งคี่

ตอนนี้ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความเท่าเทียมกัน เริ่มต้นด้วยทฤษฎีเล็กน้อย ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไข f (-x) = f (x) สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x (จากช่วงของค่า) ตัวอย่างคือ:

• โมดูล x (กราฟมีลักษณะเหมือนอีกา ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งของไตรมาสที่หนึ่งและสองของกราฟ)
• x กำลังสอง (พาราโบลา);
• โคไซน์ x (คลื่นโคไซน์).

โปรดทราบว่ากราฟทั้งหมดนี้มีความสมมาตรเมื่อดูเทียบกับแกน y

อะไรเรียกว่าฟังก์ชันคี่? นี่คือฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไข: f (-x) \u003d - f (x) สำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร x ตัวอย่าง:

• ไฮเปอร์โบลา;
• พาราโบลาลูกบาศก์;
• ไซนูซอยด์;
• สัมผัสกันและอื่น ๆ

โปรดทราบว่าฟังก์ชันเหล่านี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด (0:0) ซึ่งก็คือจุดกำเนิด จากสิ่งที่กล่าวไว้ในส่วนนี้ของบทความ ฟังก์ชันคู่และคี่ต้องมีคุณสมบัติ: x อยู่ในชุดคำจำกัดความและ -x ด้วย

ให้เราตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความเท่าเทียมกัน เราจะเห็นว่าเธอไม่เหมาะกับคำอธิบายใดๆ ดังนั้น ฟังก์ชันของเราจึงไม่ใช่คู่หรือคี่

เส้นกำกับ

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ เส้นกำกับคือเส้นโค้งที่ใกล้เคียงกับกราฟมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ นั่นคือ ระยะทางจากบางจุดมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ เส้นกำกับมีสามประเภท:

• แนวตั้งนั่นคือขนานกับแกน y
• แนวนอน เช่น ขนานกับแกน x
• เอียง

สำหรับประเภทแรก ควรมองหาบรรทัดเหล่านี้ในบางจุด:

• ช่องว่าง;
• จุดสิ้นสุดของโดเมน

ในกรณีของเรา ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง และโดเมนของนิยามคือ R ดังนั้นจึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง

กราฟของฟังก์ชันมีเส้นกำกับแนวนอน ซึ่งเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้: ถ้า x มีแนวโน้มเป็นอนันต์หรือลบด้วยอนันต์ และขีดจำกัดเท่ากับจำนวนที่กำหนด (เช่น a) ใน กรณีนี้ y=a คือเส้นกำกับแนวนอน ไม่มีเส้นกำกับแนวนอนในฟังก์ชันที่เรากำลังศึกษา

เส้นกำกับแบบเฉียงจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อตรงตามเงื่อนไขสองข้อ:

• ลิม(f(x))/x=k;
• ลิม f(x)-kx=b

จากนั้นสามารถหาได้จากสูตร: y=kx+b ในกรณีของเราไม่มีเส้นกำกับแบบเอียง

ฟังก์ชันเลขศูนย์

ขั้นตอนต่อไปคือการตรวจสอบกราฟของฟังก์ชันสำหรับศูนย์ นอกจากนี้ยังเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องทราบว่างานที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันไม่ได้เกิดขึ้นเฉพาะในการศึกษาและสร้างกราฟฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังเป็นงานอิสระและเป็นวิธีการแก้อสมการอีกด้วย คุณอาจต้องค้นหาเลขศูนย์ของฟังก์ชันบนกราฟหรือใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

การค้นหาค่าเหล่านี้จะช่วยให้คุณลงจุดฟังก์ชันได้แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าจะพูด ภาษาธรรมดาแล้วศูนย์ของฟังก์ชันคือค่าของตัวแปร x โดยที่ y=0 หากคุณกำลังมองหาเลขศูนย์ของฟังก์ชันบนกราฟ คุณควรให้ความสนใจกับจุดที่กราฟตัดกับแกน x

ในการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน คุณต้องแก้สมการต่อไปนี้: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0 หลังจากทำการคำนวณที่จำเป็นแล้ว เราได้รับคำตอบต่อไปนี้:

สัญญาณความมั่นคง

ขั้นตอนต่อไปในการศึกษาและสร้างฟังก์ชัน (กราฟิก) คือการค้นหาช่วงเวลาของความมั่นคงของเครื่องหมาย ซึ่งหมายความว่าเราต้องกำหนดว่าช่วงใดที่ฟังก์ชันจะใช้ค่าบวก และช่วงใดที่จะใช้ค่าลบ เลขศูนย์ของฟังก์ชันที่พบในส่วนก่อนหน้านี้จะช่วยให้เราทำสิ่งนี้ได้ ดังนั้น เราจำเป็นต้องสร้างเส้นตรง (แยกต่างหากจากกราฟ) และกระจายศูนย์ของฟังก์ชันไปตามนั้นตามลำดับที่ถูกต้องจากน้อยไปมาก ตอนนี้คุณต้องกำหนดว่าช่วงผลลัพธ์ใดมีเครื่องหมาย "+" และช่วงใดมี "-"

ในกรณีของเรา ฟังก์ชันจะใช้ค่าบวกในช่วงเวลาต่างๆ:

• จาก 1 ถึง 4;
• จาก 9 ถึงอนันต์

ความหมายเชิงลบ:

• จากอินฟินิตี้ลบถึง 1;
• ตั้งแต่ 4 ถึง 9

มันค่อนข้างง่ายที่จะกำหนด แทนจำนวนใด ๆ จากช่วงเวลาลงในฟังก์ชันและดูว่าคำตอบคือเครื่องหมายใด (ลบหรือบวก)

ฟังก์ชันขึ้นและลง

ในการสำรวจและสร้างฟังก์ชัน เราจำเป็นต้องรู้ว่ากราฟจะเพิ่มขึ้นที่ใด (ขึ้นไปบน Oy) และที่ใดจะตก (คืบลงไปตามแกน y)

ฟังก์ชันจะเพิ่มก็ต่อเมื่อค่าที่มากขึ้นของตัวแปร x สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของ y นั่นคือ x2 มากกว่า x1 และ f(x2) มากกว่า f(x1) และเราสังเกตเห็นปรากฏการณ์ที่ตรงกันข้ามอย่างสิ้นเชิงในฟังก์ชันการลดลง (ยิ่ง x มาก y ยิ่งน้อย) ในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง คุณต้องค้นหาสิ่งต่อไปนี้:

• ขอบเขต (เรามีอยู่แล้ว);
• อนุพันธ์ (ในกรณีของเรา: 1/3(3x^2-28x+49);
• แก้สมการ 1/3(3x^2-28x+49)=0

หลังจากการคำนวณ เราได้ผลลัพธ์:

เราได้รับ: ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาจากลบอินฟินิตี้ถึง 7/3 และจาก 7 ถึงอนันต์ และลดลงในช่วงเวลาจาก 7/3 ถึง 7

สุดขั้ว

ฟังก์ชันที่ตรวจสอบ y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) เป็นแบบต่อเนื่องและมีอยู่สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x จุดสูงสุดแสดงค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ ในกรณีของเราไม่มีเลย ซึ่งทำให้งานก่อสร้างง่ายขึ้นอย่างมาก มิฉะนั้นจะพบได้โดยใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์ หลังจากค้นหาแล้วอย่าลืมทำเครื่องหมายบนแผนภูมิ

ความนูนและความเว้า

เราศึกษาฟังก์ชัน y(x) ต่อไป ตอนนี้เราต้องตรวจสอบความนูนและความเว้า คำจำกัดความของแนวคิดเหล่านี้ค่อนข้างเข้าใจยาก เป็นการดีกว่าที่จะวิเคราะห์ทุกอย่างด้วยตัวอย่าง สำหรับการทดสอบ: ฟังก์ชันจะนูนหากเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง เห็นด้วยนี่เป็นเรื่องที่เข้าใจไม่ได้!

เราต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอันดับสอง เราได้: y=1/3(6x-28) ตอนนี้เราเทียบด้านขวาเป็นศูนย์และแก้สมการ คำตอบ: x=14/3. เราพบจุดเปลี่ยนทิศทางแล้ว นั่นคือตำแหน่งที่กราฟเปลี่ยนจากนูนเป็นเว้าหรือกลับกัน ในช่วงตั้งแต่ลบอินฟินิตี้ถึง 14/3 ฟังก์ชันจะนูน และตั้งแต่ 14/3 ถึงบวกอินฟินิตี้ ฟังก์ชันจะเว้า นอกจากนี้ สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าจุดเปลี่ยนบนกราฟควรเรียบและนุ่มนวล ไม่ มุมที่คมชัดไม่ควรมีอยู่

คำจำกัดความของคะแนนเพิ่มเติม

งานของเราคือสำรวจและวางแผนกราฟฟังก์ชัน เราศึกษาเสร็จแล้ว การพล็อตฟังก์ชันจะไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป สำหรับการสร้างเส้นโค้งหรือเส้นตรงบนระนาบพิกัดที่แม่นยำและมีรายละเอียดมากขึ้น คุณสามารถหาจุดเสริมได้หลายจุด มันค่อนข้างง่ายที่จะคำนวณ ตัวอย่างเช่น เราใช้ x=3 แก้สมการผลลัพธ์ แล้วหา y=4 หรือ x=5 และ y=-5 ไปเรื่อยๆ คุณสามารถใช้คะแนนเพิ่มเติมได้มากเท่าที่คุณต้องการเพื่อสร้าง พบอย่างน้อย 3-5 ราย

พล็อต

เราจำเป็นต้องตรวจสอบฟังก์ชัน (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y เครื่องหมายที่จำเป็นทั้งหมดในระหว่างการคำนวณถูกสร้างขึ้นบนระนาบพิกัด สิ่งที่ต้องทำคือสร้างกราฟ นั่นคือเชื่อมต่อจุดทั้งหมดเข้าด้วยกัน การต่อจุดต่างๆ นั้นราบรื่นและแม่นยำ นี่เป็นเรื่องของทักษะ การฝึกฝนเพียงเล็กน้อยแล้วตารางเวลาของคุณจะสมบูรณ์แบบ

คำแนะนำ

ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน sin(x) ถูกกำหนดในช่วงเวลาทั้งหมดตั้งแต่ -∞ ถึง +∞ และฟังก์ชัน 1/x ถูกกำหนดตั้งแต่ -∞ ถึง +∞ ยกเว้นจุด x = 0

กำหนดพื้นที่ความต่อเนื่องและจุดพัก โดยปกติแล้ว ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกันในโดเมนเดียวกันกับที่มันถูกกำหนด ในการตรวจจับความไม่ต่อเนื่อง คุณต้องคำนวณเมื่ออาร์กิวเมนต์เข้าใกล้จุดที่แยกออกจากกันภายในโดเมนของคำจำกัดความ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน 1/x มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์เมื่อ x→0+ และเป็นลบอนันต์เมื่อ x→0- ซึ่งหมายความว่า ณ จุด x = 0 มีความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง
ถ้าขีดจำกัดที่จุดความไม่ต่อเนื่องนั้นจำกัดแต่ไม่เท่ากัน นี่คือความไม่ต่อเนื่องประเภทแรก หากเท่ากัน ฟังก์ชันจะถือว่าต่อเนื่อง แม้ว่าจะไม่ได้กำหนดไว้ที่จุดแยกก็ตาม

ค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง ถ้ามี การคำนวณจากขั้นตอนก่อนหน้านี้จะช่วยคุณได้ เนื่องจากเส้นกำกับแนวดิ่งมักจะอยู่ที่จุดความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สองเสมอ อย่างไรก็ตาม บางครั้งไม่ใช่จุดที่แยกออกจากโดเมนของคำจำกัดความ แต่เป็นช่วงทั้งหมดของจุด จากนั้นเส้นกำกับแนวดิ่งสามารถอยู่ที่ขอบของช่วงเวลาเหล่านี้ได้

ตรวจสอบว่าฟังก์ชันมีคุณสมบัติพิเศษหรือไม่: คู่ คี่ และธาตุ
ฟังก์ชันจะเป็นแม้ว่าสำหรับ x ใดๆ ในโดเมน f(x) = f(-x) ตัวอย่างเช่น cos(x) และ x^2 เป็นฟังก์ชันเลขคู่

ความเป็นคาบเป็นคุณสมบัติที่บอกว่ามีจำนวน T จำนวนหนึ่งที่เรียกว่าคาบ ซึ่งสำหรับ x f(x) = f(x + T) ใดๆ ตัวอย่างเช่น วิชาเอกทั้งหมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์) - เป็นระยะ

ค้นหาจุด ในการทำเช่นนี้ ให้คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดและค้นหาค่า x เหล่านั้นเมื่อมันหายไป ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f(x) = x^3 + 9x^2 -15 มีอนุพันธ์ g(x) = 3x^2 + 18x ที่หายไปที่ x = 0 และ x = -6

ในการพิจารณาว่าจุดสูงสุดใดคือจุดสูงสุดและจุดใดคือจุดต่ำสุด ให้ติดตามการเปลี่ยนแปลงในสัญญาณของอนุพันธ์ในศูนย์ที่พบ g(x) เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกที่ x = -6 และกลับจากลบเป็นบวกที่ x = 0 ดังนั้น ฟังก์ชัน f(x) จึงมีค่าต่ำสุดที่จุดแรกและค่าต่ำสุดที่จุดที่สอง

ดังนั้น คุณยังพบพื้นที่ของความเป็นโมโนโทนิก: f(x) เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนในช่วง -∞;-6, ลดลงแบบโมโนโทนิกในช่วง -6;0 และเพิ่มขึ้นอีกครั้งในช่วง 0;+∞

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง รากของมันจะแสดงตำแหน่งที่กราฟของฟังก์ชันที่กำหนดจะนูนและเว้า ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f(x) จะเป็น h(x) = 6x + 18 มันหายไปที่ x = -3 เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก ดังนั้นกราฟ f (x) ก่อนจุดนี้จะนูนหลังจากนั้น - เว้าและจุดนี้เองจะเป็นจุดเปลี่ยน

ฟังก์ชันอาจมีเส้นกำกับอื่นๆ ยกเว้นเส้นกำกับแนวตั้ง แต่เฉพาะในกรณีที่โดเมนของคำนิยามมี หากต้องการค้นหา ให้คำนวณขีดจำกัดของ f(x) เมื่อ x→∞ หรือ x→-∞ ถ้ามันจำกัด แสดงว่าคุณพบเส้นกำกับแนวนอนแล้ว

เส้นกำกับเฉียงคือเส้นตรงในรูปแบบ kx + b หากต้องการหา k ​​ให้คำนวณลิมิตของ f(x)/x เป็น x→∞ หากต้องการค้นหา b - ลิมิต (f(x) – kx) ที่มี x→∞ เท่ากัน

พล็อตฟังก์ชันบนข้อมูลที่คำนวณได้ ติดป้ายกำกับกำกับ ถ้ามี ทำเครื่องหมายจุดสูงสุดและค่าฟังก์ชันในนั้น เพื่อความแม่นยำของกราฟให้คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดกึ่งกลางหลายจุด การวิจัยเสร็จสิ้น

หนึ่งในงานที่สำคัญที่สุด แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือการพัฒนา ตัวอย่างทั่วไปการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชัน

หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา และอนุพันธ์ของมันเป็นบวกหรือเท่ากับ 0 ในช่วง (a, b) ดังนั้น y \u003d f (x) จะเพิ่มขึ้น (f "(x) 0). หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) ต่อเนื่องในส่วนของ และอนุพันธ์ของมันเป็นลบหรือเท่ากับ 0 ในช่วง (a,b) ดังนั้น y=f(x) จะลดลงโดย (f"( x)0)

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันไม่ลดหรือเพิ่มขึ้นเรียกว่า ช่วงเวลาของความโมโนโทนิกของฟังก์ชัน ลักษณะของความเป็นโมโนโทนิกของฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะที่จุดเหล่านั้นของโดเมนนิยาม ซึ่งเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะเปลี่ยนไป จุดที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันหายไปหรือแตกเรียกว่าจุดวิกฤต

ทฤษฎีบทที่ 1 (เงื่อนไขที่ 1 เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว)

ให้ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดที่จุด x 0 และปล่อยให้มีย่าน δ>0 เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซกเมนต์ , หาอนุพันธ์ได้ในช่วง (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , และอนุพันธ์ของมันยังคงเครื่องหมายคงที่ในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ แล้วถ้าบน x 0 -δ, x 0) และ (x 0, x 0 + δ) สัญญาณของอนุพันธ์ต่างกัน ดังนั้น x 0 คือจุดสุดขั้ว และถ้าตรงกัน แสดงว่า x 0 ไม่ใช่จุดสุดขั้ว . นอกจากนี้ หากเมื่อผ่านจุด x0 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (ทางซ้ายของ x 0, f "(x)> 0 จะดำเนินการ ดังนั้น x 0 คือจุดสูงสุด ถ้าอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมาย จากลบไปบวก (ทางขวาของ x 0 ดำเนินการโดย f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

จุดสูงสุดและต่ำสุดเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน และค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าค่าสุดขีด

ทฤษฎีบท 2 (เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับค่าสุดขั้วเฉพาะที่)

หากฟังก์ชัน y=f(x) มีค่าสุดขีดที่ x=x 0 ปัจจุบัน แสดงว่าไม่มี f'(x 0)=0 หรือ f'(x 0)
ที่จุดสุดขั้วของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ เส้นสัมผัสของกราฟจะขนานกับแกน Ox

อัลกอริทึมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันสำหรับ extremum:

1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2) ค้นหาจุดวิกฤตเช่น จุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและอนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่
3) พิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงของแต่ละจุด และตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ทางซ้ายและขวาของจุดนี้
4) กำหนดพิกัดของจุดสุดขั้ว สำหรับค่านี้ของจุดวิกฤต ให้แทนที่ในฟังก์ชันนี้ ใช้เงื่อนไขสุดโต่งที่เพียงพอ หาข้อสรุปที่เหมาะสม

ตัวอย่างที่ 18 ตรวจสอบฟังก์ชัน y=x 3 -9x 2 +24x

สารละลาย.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) การเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ เราพบว่า x 1 =2, x 2 =4 ในกรณีนี้ อนุพันธ์จะถูกกำหนดไว้ทุกที่ ดังนั้น นอกเหนือจากจุดที่พบทั้งสองจุดแล้ว ก็ไม่มีจุดวิกฤตอื่นใดอีก
3) เครื่องหมายของอนุพันธ์ y "=3(x-2)(x-4) จะเปลี่ยนไปตามช่วงเวลาดังรูปที่ 1 เมื่อผ่านจุด x=2 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ และเมื่อผ่านจุด x=4 - จากลบเป็นบวก
4) ที่จุด x=2 ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด y สูงสุด =20 และที่จุด x=4 - ค่าต่ำสุด y นาที =16

ทฤษฎีบท 3. (เงื่อนไขที่ 2 เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว)

ให้ f "(x 0) และ f "" (x 0) อยู่ที่จุด x 0 แล้วถ้า f "" (x 0)> 0 ดังนั้น x 0 คือจุดต่ำสุด และถ้า f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

ในส่วนของฟังก์ชัน y \u003d f (x) สามารถเข้าถึงค่าที่น้อยที่สุด (อย่างน้อย) หรือมากที่สุด (มากที่สุด) ไม่ว่าจะที่จุดวิกฤตของฟังก์ชันที่อยู่ในช่วงเวลา (a; b) หรือที่จุดสิ้นสุด ของกลุ่ม

อัลกอริทึมสำหรับค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่อง y=f(x) ในส่วนของ :

1) ค้นหา f "(x)
2) ค้นหาจุดที่ f "(x) = 0 หรือ f" (x) - ไม่มีอยู่และเลือกจากจุดที่อยู่ในส่วน
3) คำนวณค่าของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุดที่ได้รับในวรรค 2) รวมถึงที่ส่วนท้ายของส่วนและเลือกที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด: พวกมันคือที่ใหญ่ที่สุดตามลำดับ ( สำหรับค่าที่ใหญ่ที่สุด) และค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด (สำหรับค่าที่เล็กที่สุด) ในส่วน

ตัวอย่างที่ 19. ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันต่อเนื่อง y=x 3 -3x 2 -45+225 บนเซ็กเมนต์

1) เรามี y "=3x 2 -6x-45 ในส่วน
2) อนุพันธ์ y" มีอยู่สำหรับ x ทั้งหมด ลองหาจุดที่ y"=0; เราได้รับ:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
เฉพาะจุด x=5 เท่านั้นที่เป็นของกลุ่ม ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันที่พบคือ 225 และค่าที่น้อยที่สุดคือจำนวน 50 ดังนั้นที่สูงสุด = 225 ที่สูงสุด = 50

การตรวจสอบฟังก์ชันบนความนูน

รูปแสดงกราฟของสองฟังก์ชัน อันแรกหันนูนขึ้นอันที่สอง - นูนลง

ฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกันบนส่วนและหาอนุพันธ์ได้ในช่วง (a;b) เรียกว่า นูนขึ้น (ลง) บนส่วนนี้ ถ้าสำหรับ axb กราฟจะไม่สูง (ไม่ต่ำกว่า) กว่าเส้นสัมผัส วาดที่จุดใดๆ M 0 (x 0 ;f(x 0)) โดยที่ axb

ทฤษฎีบท 4. ให้ฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองที่จุดภายใน x ใดๆ ของส่วนและต่อเนื่องที่ส่วนท้ายของส่วนนี้ จากนั้นหากอสมการ f""(x)0 เป็นที่พอใจในช่วงเวลา (a;b) ฟังก์ชันจะนูนลงในส่วน ; หากอสมการ f""(x)0 เป็นที่พอใจในช่วงเวลา (а;b) ฟังก์ชันจะนูนขึ้นบน

ทฤษฎีบท 5. ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองในช่วง (a;b) และถ้ามันเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุด x 0 แล้ว M(x 0 ;f(x 0)) คือ จุดเปลี่ยน

กฎสำหรับการค้นหาจุดเปลี่ยน:

1) ค้นหาจุดที่ f""(x) ไม่มีอยู่หรือหายไป
2) ตรวจสอบเครื่องหมาย f""(x) ทางซ้ายและขวาของแต่ละจุดที่พบในขั้นตอนแรก
3) จากทฤษฎีบทที่ 4 ให้สรุปผล

ตัวอย่างที่ 20 หาจุดสูงสุดและจุดเปลี่ยนของกราฟฟังก์ชัน y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12

เรามี f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 เห็นได้ชัดว่า f"(x)=0 สำหรับ x 1 =0, x 2 =1 อนุพันธ์ เมื่อผ่านจุด x=0 เครื่องหมายจะเปลี่ยนจากลบเป็นบวก และเมื่อผ่านจุด x=1 จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งหมายความว่า x=0 คือจุดต่ำสุด (y นาที =12) และไม่มีจุดสูงสุดที่จุด x=1 ต่อไปเราจะพบ . อนุพันธ์อันดับสองจะหายไปที่จุด x 1 =1, x 2 =1/3 เครื่องหมายของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์อันดับสองดังนี้ บนเรย์ (-∞;) เรามี f""(x)>0 บนช่วง (;1) เรามี f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. ดังนั้น x= คือจุดเปลี่ยนของกราฟฟังก์ชัน (เปลี่ยนจากความนูนขึ้นเป็นนูนขึ้น) และ x=1 ก็เป็นจุดเปลี่ยนเช่นกัน (เปลี่ยนจากความนูนขึ้นเป็นนูนลง) ถ้า x= แล้ว y= ; ถ้า x=1, y=13

อัลกอริทึมสำหรับค้นหาเส้นกำกับของกราฟ

I. ถ้า y=f(x) เป็น x → a แล้ว x=a เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
ครั้งที่สอง ถ้า y=f(x) เป็น x → ∞ หรือ x → -∞ แล้ว y=A เป็นเส้นกำกับแนวนอน
สาม. ในการหาเส้นกำกับแบบเอียง เราใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:
1) คำนวณ ถ้าขีดจำกัดมีอยู่และเท่ากับ b ดังนั้น y=b จะเป็นเส้นกำกับแนวนอน ถ้า จากนั้นไปที่ขั้นตอนที่สอง
2) คำนวณ หากไม่มีขีดจำกัดนี้ ก็จะไม่มีเส้นกำกับ หากมีอยู่และเท่ากับ k ให้ไปที่ขั้นตอนที่สาม
3) คำนวณ หากไม่มีขีดจำกัดนี้ ก็จะไม่มีเส้นกำกับ หากมีอยู่และเท่ากับ b ให้ไปที่ขั้นตอนที่สี่
4) เขียนสมการของเส้นกำกับเฉียง y=kx+b

ตัวอย่างที่ 21: ค้นหาเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชัน

1)
2)
3)
4) สมการเส้นกำกับเฉียงมีรูปแบบ

รูปแบบการศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟ

I. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน
ครั้งที่สอง ค้นหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด
สาม. ค้นหาเส้นกำกับ
IV. ค้นหาจุดสูงสุดที่เป็นไปได้
V. หาจุดวิกฤติ.
วี.ไอ. ใช้รูปวาดเสริม ตรวจสอบสัญญาณของอนุพันธ์ที่หนึ่งและสอง กำหนดพื้นที่ที่เพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน หาทิศทางของความนูนของกราฟ จุดสูงสุด และจุดเบี่ยงเบน
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สร้างกราฟโดยคำนึงถึงการศึกษาที่ดำเนินการในวรรค 1-6

ตัวอย่างที่ 22: เขียนกราฟฟังก์ชันตามโครงร่างด้านบน

สารละลาย.
I. โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x=1
ครั้งที่สอง เนื่องจากสมการ x 2 +1=0 ไม่มีรากจริง ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันจะไม่มีจุดตัดกับแกน Ox แต่ตัดแกน Oy ที่จุด (0; -1)
สาม. ให้เราชี้แจงคำถามของการมีอยู่ของเส้นกำกับ เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดความไม่ต่อเนื่อง x=1 เนื่องจาก y → ∞ สำหรับ x → -∞, y → +∞ สำหรับ x → 1+ ดังนั้น เส้น x=1 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน
ถ้า x → +∞(x → -∞) แล้ว y → +∞(y → -∞); ดังนั้น กราฟจึงไม่มีเส้นกำกับแนวนอน นอกจากนี้จากการมีอยู่ของขีด จำกัด

การแก้สมการ x 2 -2x-1=0 เราจะได้จุดสูงสุดที่เป็นไปได้สองจุด:
x 1 =1-√2 และ x 2 =1+√2

V. ในการหาจุดวิกฤต เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง:

เนื่องจาก f""(x) ไม่หายไป จึงไม่มีจุดวิกฤติ
วี.ไอ. เราตรวจสอบสัญญาณของอนุพันธ์อันดับ 1 และ 2 จุดสูงสุดที่เป็นไปได้ที่ต้องพิจารณา: x 1 =1-√2 และ x 2 =1+√2 แบ่งพื้นที่การมีอยู่ของฟังก์ชันออกเป็นช่วง (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) และ (1+√2;+∞)

ในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ อนุพันธ์จะคงเครื่องหมายไว้: ในเครื่องหมายแรก - บวก, ในวินาที - ลบ, ในเครื่องหมายที่สาม - บวก ลำดับของสัญญาณของอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะถูกเขียนดังนี้ +, -, +
เราพบว่าฟังก์ชันบน (-∞;1-√2) เพิ่มขึ้น บน (1-√2;1+√2) จะลดลง และบน (1+√2;+∞) จะเพิ่มขึ้นอีกครั้ง จุดสูงสุด: สูงสุดที่ x=1-√2, นอกจากนี้ f(1-√2)=2-2√2 ต่ำสุดที่ x=1+√2, นอกจากนี้ f(1+√2)=2+2√2 บน (-∞;1) กราฟนูนขึ้น และบน (1;+∞) - ลง
VII มาทำตารางของค่าที่ได้รับ

VIII จากข้อมูลที่ได้รับ เราสร้างร่างกราฟของฟังก์ชัน

จุดอ้างอิงในการศึกษาฟังก์ชั่นและการสร้างกราฟคือจุดลักษณะเฉพาะ - จุดที่ความไม่ต่อเนื่อง, สุดขั้ว, การเบี่ยงเบน, จุดตัดกับแกนพิกัด ด้วยความช่วยเหลือของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ มันเป็นไปได้ที่จะสร้างลักษณะเฉพาะของการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชั่น: เพิ่มและลด, สูงสุดและต่ำสุด, ทิศทางของความนูนและความเว้าของกราฟ, การมีอยู่ของเส้นกำกับ

ร่างกราฟของฟังก์ชันสามารถ (และควร) ร่างได้หลังจากค้นหาเส้นกำกับและจุดสุดขั้ว และสะดวกในการกรอกข้อมูลในตารางสรุปการศึกษาฟังก์ชันในระหว่างการศึกษา

โดยปกติจะใช้รูปแบบการวิจัยฟังก์ชันต่อไปนี้

1.ค้นหาโดเมน ช่วงความต่อเนื่อง และเบรกพอยต์ของฟังก์ชัน.

2.ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับเลขคู่หรือเลขคี่ (สมมาตรตามแนวแกนหรือกึ่งกลางของกราฟ

3.ค้นหาเส้นกำกับ (แนวตั้ง แนวนอน หรือแนวเฉียง)

4.ค้นหาและสำรวจช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน จุดสูงสุดของฟังก์ชัน

5.ค้นหาช่วงความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง จุดเปลี่ยน

6.ค้นหาจุดตัดของเส้นโค้งด้วยแกนพิกัด ถ้ามี

7.รวบรวมตารางสรุปผลการศึกษา

8.สร้างกราฟโดยคำนึงถึงการศึกษาของฟังก์ชันที่ดำเนินการตามประเด็นข้างต้น

ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชัน

และวางแผน

7. มาทำตารางสรุปการศึกษาฟังก์ชันกัน โดยเราจะป้อนจุดคุณลักษณะทั้งหมดและช่วงเวลาระหว่างจุดเหล่านั้น จากความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน เราได้ตารางต่อไปนี้: