สิ่งที่เรียกว่าแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉาก

ฉันคิดว่าคุณสมควรได้รับมากกว่านั้น นี่คือกุญแจสู่ตรีโกณมิติของฉัน:

• วาดโดม ผนัง และเพดาน
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นเพียงเปอร์เซ็นต์ของรูปแบบทั้งสามนี้

คำอุปมาสำหรับไซน์และโคไซน์: โดม

แทนที่จะดูที่รูปสามเหลี่ยมเพียงอย่างเดียว ลองจินตนาการถึงรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้นด้วยการกระทำโดยหาตัวอย่างในชีวิตจริง

ลองนึกภาพว่าคุณอยู่กลางโดมและต้องการวางจอโปรเจ็กเตอร์ภาพยนตร์ คุณชี้นิ้วไปที่โดมในมุม "x" และควรแขวนหน้าจอจากจุดนั้น

มุมที่คุณชี้เพื่อกำหนด:

• ไซน์(x) = ไซน์(x) = ความสูงของหน้าจอ (จุดยึดจากพื้นถึงโดม)
• cosine(x) = cos(x) = ระยะทางจากคุณถึงหน้าจอ (โดยพื้น)
• ด้านตรงข้ามมุมฉาก ระยะทางจากคุณถึงด้านบนของหน้าจอ จะเท่ากันเสมอ เท่ากับรัศมีของโดม

คุณต้องการให้หน้าจอใหญ่ที่สุดหรือไม่? แขวนไว้เหนือตัวคุณ

คุณต้องการให้หน้าจอวางห่างจากคุณมากที่สุดหรือไม่? แขวนให้ตรงในแนวตั้งฉาก หน้าจอจะมีความสูงเป็นศูนย์ที่ตำแหน่งนี้ และจะห้อยลงมาตามที่คุณต้องการ

ความสูงและระยะห่างจากหน้าจอเป็นสัดส่วนผกผัน: ยิ่งหน้าจอค้างมากเท่าไหร่ ความสูงก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น

ไซน์และโคไซน์เป็นเปอร์เซ็นต์

ในช่วงหลายปีที่ฉันศึกษา ไม่มีใครอธิบายให้ฉันฟังได้ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์และโคไซน์นั้นเป็นเพียงเปอร์เซ็นต์เท่านั้น ค่าของพวกเขามีตั้งแต่ +100% ถึง 0 ถึง -100% หรือจากค่าสูงสุดที่เป็นบวกถึงศูนย์ถึงค่าสูงสุดที่เป็นค่าลบ

สมมติว่าฉันจ่ายภาษี 14 รูเบิล คุณไม่รู้ว่ามันราคาเท่าไหร่ แต่ถ้าคุณบอกว่าผมจ่ายภาษี 95% คุณจะเข้าใจว่าผมถูกถลกหนังอย่างเหนียว

ความสูงสัมบูรณ์ไม่มีความหมายอะไรเลย แต่ถ้าค่าไซน์เท่ากับ 0.95 ฉันเข้าใจว่าทีวีแขวนอยู่เกือบบนยอดโดมของคุณ ในไม่ช้าก็จะถึงความสูงสูงสุดตรงกลางโดม จากนั้นจึงเริ่มลดลงอีกครั้ง

เราจะคำนวณเปอร์เซ็นต์นี้ได้อย่างไร? ง่ายมาก: หารความสูงของหน้าจอปัจจุบันด้วยค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ (รัศมีของโดม หรือที่เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก)

นั่นเป็นเหตุผลเราบอกว่า "โคไซน์ = ขาตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก" ทั้งหมดนี้เพื่อให้ได้เปอร์เซ็นต์! วิธีที่ดีที่สุดในการกำหนดไซน์คือ "เปอร์เซ็นต์ของความสูงปัจจุบันจากค่าสูงสุดที่เป็นไปได้" (ไซน์จะกลายเป็นลบหากมุมของคุณชี้ไปที่ "ใต้ดิน" โคไซน์จะกลายเป็นลบหากมุมชี้ไปยังจุดโดมด้านหลังคุณ)

มาทำให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยสมมติว่าเราอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมี = 1) เราสามารถข้ามการหารและหาค่าไซน์เท่ากับความสูงได้

อันที่จริงแล้ววงกลมแต่ละวงเป็นสเกลเดียว ขยายหรือลดขนาดเป็นขนาดที่ต้องการ ดังนั้นกำหนดความสัมพันธ์ของวงกลมหน่วยและนำผลลัพธ์ไปใช้กับขนาดวงกลมเฉพาะของคุณ

การทดลอง: ใช้มุมใดก็ได้และดูเปอร์เซ็นต์ของความสูงต่อความกว้างที่แสดง:

กราฟการเติบโตของค่าไซน์ไม่ใช่แค่เส้นตรง 45 องศาแรกครอบคลุม 70% ของความสูง และ 10 องศาสุดท้าย (จาก 80° ถึง 90°) ครอบคลุมเพียง 2%

สิ่งนี้จะทำให้คุณเข้าใจได้ชัดเจนยิ่งขึ้น: หากคุณเดินเป็นวงกลม ที่มุม 0 ° คุณจะลอยขึ้นเกือบเป็นแนวตั้ง แต่เมื่อคุณเข้าใกล้ยอดโดม ความสูงจะเปลี่ยนแปลงน้อยลงเรื่อยๆ

แทนเจนต์และซีแคนต์ กำแพง

วันหนึ่งเพื่อนบ้านสร้างกำแพง กลับไปด้านหลังถึงโดมของคุณ ร้องไห้มุมมองหน้าต่างของคุณและราคาขายต่อที่ดี!

แต่เป็นไปได้ไหมที่จะชนะในสถานการณ์นี้?

แน่นอนใช่. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราแขวนจอภาพยนตร์ไว้บนผนังของเพื่อนบ้าน คุณเล็งไปที่มุม (x) และได้รับ:

• tan(x) = tan(x) = ความสูงของหน้าจอบนผนัง
• ระยะห่างจากคุณถึงกำแพง: 1 (นี่คือรัศมีของโดมของคุณ กำแพงไม่ขยับไปไหนจากคุณใช่ไหม?)
• secant(x) = วินาที(x) = "ความยาวของบันได" จากคุณยืนอยู่ตรงกลางโดมถึงด้านบนของฉากแขวน

เรามาอธิบายเกี่ยวกับเส้นสัมผัสหรือความสูงของหน้าจอกัน

• มันเริ่มต้นที่ 0 และไปสูงได้ไม่รู้จบ คุณสามารถยืดหน้าจอให้สูงขึ้นเรื่อย ๆ บนผนังเพื่อให้ได้ผืนผ้าใบที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับการชมภาพยนตร์เรื่องโปรดของคุณ! (แน่นอนว่าคุณจะต้องใช้เงินเป็นจำนวนมาก)
• แทนเจนต์เป็นเพียงเวอร์ชันขยายของไซน์! และในขณะที่การเติบโตของไซน์ช้าลงเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปยังยอดโดม เส้นสัมผัสยังคงเติบโตต่อไป!

Sekansu ยังมีสิ่งที่จะโม้เกี่ยวกับ:

• ลำดับเริ่มต้นที่ 1 (บันไดอยู่บนพื้น ห่างจากคุณไปทางกำแพง) และเริ่มขึ้นจากที่นั่น
• ส่วนตัดจะยาวกว่าเส้นสัมผัสเสมอ บันไดลาดที่คุณแขวนหน้าจอต้องยาวกว่าตัวหน้าจอใช่ไหม (ในขนาดที่ไม่สมจริง เมื่อหน้าจอยาวมากๆ และบันไดต้องวางเกือบเป็นแนวตั้ง ขนาดก็เกือบจะเท่ากัน แต่ถึงอย่างนั้น การแยกส่วนก็จะยาวขึ้นเล็กน้อย)

จำค่าเป็น เปอร์เซ็นต์. หากคุณตัดสินใจที่จะแขวนหน้าจอในมุม 50 องศา สีแทน(50)=1.19 หน้าจอของคุณใหญ่กว่าระยะห่างถึงผนัง 19% (รัศมีโดม)

(ป้อน x=0 และทดสอบสัญชาตญาณของคุณ - tan(0) = 0 และ sec(0) = 1.)

โคแทนเจนต์และโคซีแคนต์ เพดาน

เหลือเชื่อ เพื่อนบ้านของคุณตัดสินใจที่จะสร้างเพดานเหนือโดมของคุณ (เขาเป็นอะไรกันแน่? เห็นได้ชัดว่าเขาไม่ต้องการให้คุณแอบดูเขาในขณะที่เขาเดินเปลือยกายไปรอบๆ สนาม...)

ได้เวลาสร้างทางออกไปบนหลังคาแล้วคุยกับเพื่อนบ้าน คุณเลือกมุมเอียงและเริ่มสร้าง:

• ระยะห่างแนวตั้งระหว่างช่องลมหลังคาถึงพื้นเท่ากับ 1 เสมอ (รัศมีโดม)
• cotangent(x) = cot(x) = ระยะห่างระหว่างยอดโดมกับจุดออก
• cosecant(x) = csc(x) = ความยาวของเส้นทางไปยังหลังคา

แทนเจนต์และซีแคนต์อธิบายผนัง ในขณะที่โคแทนเจนต์และโคเซแคนต์อธิบายถึงพื้น

ข้อสรุปโดยสัญชาตญาณของเราในครั้งนี้คล้ายกับครั้งก่อน:

• หากคุณใช้มุม 0° ทางออกของคุณไปยังหลังคาจะใช้เวลาตลอดไปเนื่องจากมันจะไปไม่ถึงเพดาน ปัญหา.
• จะได้รับ "บันได" ที่สั้นที่สุดไปยังหลังคาหากคุณสร้างในมุม 90 องศากับพื้น โคแทนเจนต์จะเท่ากับ 0 (เราไม่เคลื่อนที่ไปตามหลังคาเลย เราออกในแนวตั้งฉากอย่างเคร่งครัด) และโคซีแคนต์จะเท่ากับ 1 (“ความยาวของบันได” จะน้อยที่สุด)

เห็นภาพการเชื่อมต่อ

หากทั้งสามกรณีถูกวาดด้วยชุดค่าผสมของโดม-ผนัง-พื้น จะได้รับสิ่งต่อไปนี้:

ว้าว มันคือสามเหลี่ยมอันเดียวกันทั้งหมด ขยายขนาดจนไปถึงผนังและเพดาน เรามีด้านแนวตั้ง (ไซน์, แทนเจนต์), ด้านแนวนอน (โคไซน์, โคแทนเจนต์) และ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" (ซีแคนต์, โคซีแคนต์) (คุณสามารถดูได้จากลูกศรว่าองค์ประกอบแต่ละส่วนไปถึงได้ไกลแค่ไหน โคซีแคนต์คือระยะทางทั้งหมดจากคุณถึงหลังคา)

เวทมนตร์เล็กน้อย รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดมีความเท่าเทียมกันเท่ากัน:

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (a 2 + b 2 = c 2) เราจะเห็นว่าด้านของสามเหลี่ยมแต่ละรูปเชื่อมต่อกันอย่างไร นอกจากนี้ อัตราส่วนความสูงต่อความกว้างจะต้องเท่ากันสำหรับรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด (เพียงแค่ถอยหลังจากสามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดไปยังสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า ใช่ ขนาดเปลี่ยนไป แต่สัดส่วนของด้านจะยังคงเท่าเดิม)

เมื่อรู้ว่าด้านใดในแต่ละสามเหลี่ยมคือ 1 (รัศมีของโดม) เราสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายว่า "sin/cos = tan/1"

ฉันพยายามจดจำข้อเท็จจริงเหล่านี้มาโดยตลอดผ่านการแสดงภาพอย่างง่าย ในภาพคุณสามารถเห็นการพึ่งพาเหล่านี้ได้อย่างชัดเจนและเข้าใจว่ามาจากไหน เทคนิคนี้ดีกว่าการจำสูตรแห้งมาก

อย่าลืมมุมอื่นๆ

จุ๊… ไม่จำเป็นต้องวางสายบนกราฟเดียว เพราะคิดว่าเส้นสัมผัสมีค่าน้อยกว่า 1 เสมอ ถ้าคุณเพิ่มมุม คุณจะไปถึงเพดานได้โดยไม่ต้องถึงผนัง:

การเชื่อมต่อแบบพีทาโกรัสใช้งานได้เสมอ แต่ขนาดสัมพัทธ์อาจแตกต่างกัน

(คุณอาจสังเกตเห็นว่าอัตราส่วนของไซน์และโคไซน์นั้นมีค่าน้อยที่สุดเสมอเพราะอยู่ในโดม)

สรุป: เราต้องจำอะไร

สำหรับพวกเราส่วนใหญ่ ฉันจะบอกว่าเท่านี้ก็เพียงพอแล้ว:

• ตรีโกณมิติอธิบายกายวิภาคของวัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่น วงกลมและช่วงเวลาที่เกิดซ้ำ
• การเปรียบเทียบโดม/ผนัง/หลังคาแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ
• ผลลัพธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือเปอร์เซ็นต์ที่เราใช้กับสถานการณ์ของเรา

คุณไม่จำเป็นต้องจำสูตรเช่น 1 2 + cot 2 = csc 2 เหมาะสำหรับการทดสอบโง่ ๆ เท่านั้นที่นำเสนอความรู้ของข้อเท็จจริงเป็นการทำความเข้าใจ ใช้เวลาสักครู่เพื่อวาดครึ่งวงกลมในรูปแบบของโดม ผนัง และหลังคา เซ็นชื่อองค์ประกอบต่างๆ แล้วสูตรทั้งหมดจะถูกขอจากคุณบนกระดาษ

การประยุกต์ใช้: ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ จะใช้มุมเป็นอินพุตและส่งกลับผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์ บาป (30) = 0.5 ซึ่งหมายความว่ามุม 30 องศากินพื้นที่ 50% ของความสูงสูงสุด

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเขียนเป็น sin -1 หรือ arcsin (“arxine”) นอกจากนี้ยังมักเขียนด้วยภาษาโปรแกรมต่างๆ

ถ้าความสูงของเราเท่ากับ 25% ของความสูงของโดม มุมของเราจะเป็นเท่าไหร่?

ในตารางสัดส่วนของเรา คุณจะพบอัตราส่วนที่ส่วนซีแคนต์หารด้วย 1 ตัวอย่างเช่น ส่วนซีแคนต์ด้วย 1 (ด้านตรงข้ามมุมฉากกับแนวนอน) จะเท่ากับ 1 หารด้วยโคไซน์:

สมมติว่าซีแคนต์ของเราคือ 3.5 นั่นคือ 350% ของรัศมีวงกลมหน่วย ค่านี้สอดคล้องกับมุมเอียงใดของผนัง

ภาคผนวก: ตัวอย่างบางส่วน

งานที่น่าเบื่อ มาทำให้ "หาไซน์" ซ้ำซากซับซ้อนเป็น "ความสูงเป็นเปอร์เซ็นต์ของค่าสูงสุด (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) คืออะไร"

ขั้นแรกให้สังเกตว่าสามเหลี่ยมหมุน ไม่มีอะไรผิดปกติกับเรื่องนี้ สามเหลี่ยมยังมีความสูงซึ่งแสดงเป็นสีเขียวในรูป

ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับอะไร? จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรารู้ว่า:

3 2 + 4 2 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 25 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 5 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ดี! ไซน์คือเปอร์เซ็นต์ของความสูงจากด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมหรือด้านตรงข้ามมุมฉาก ในตัวอย่างของเรา ไซน์คือ 3/5 หรือ 0.60

แน่นอนเราไปได้หลายทาง ตอนนี้เรารู้แล้วว่าไซน์คือ 0.60 และเราสามารถหาอาร์คไซน์ได้:

อาซิน(0.6)=36.9

และนี่คืออีกแนวทางหนึ่ง โปรดทราบว่ารูปสามเหลี่ยมคือ "หันหน้าเข้าหากำแพง" ดังนั้นเราจึงสามารถใช้แทนเจนต์แทนไซน์ได้ ความสูงคือ 3 ระยะทางถึงผนังคือ 4 ดังนั้นเส้นสัมผัสคือ ¾ หรือ 75% เราสามารถใช้ arc tangent เพื่อเปลี่ยนจากเปอร์เซ็นต์กลับเป็นมุม:

ตาล = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 ตัวอย่าง: คุณจะว่ายน้ำเข้าฝั่งไหม

คุณอยู่ในเรือและคุณมีเชื้อเพลิงเพียงพอที่จะแล่นไปได้ 2 กม. ขณะนี้คุณอยู่ห่างจากชายฝั่ง 0.25 กม. คุณสามารถว่ายเข้าหาชายฝั่งในมุมสูงสุดเท่าใดเพื่อให้มีเชื้อเพลิงเพียงพอ นอกเหนือจากเงื่อนไขของปัญหา: เรามีตารางค่าโคไซน์อาร์คเท่านั้น

เรามีอะไรกัน? แนวชายฝั่งสามารถแสดงเป็น "กำแพง" ในรูปสามเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงของเรา และ "ความยาวของบันได" ที่ติดกับกำแพงสามารถแสดงเป็นระยะทางสูงสุดที่เป็นไปได้โดยเรือถึงฝั่ง (2 กม.) เซแคนท์โผล่ออกมา

ก่อนอื่นคุณต้องเปลี่ยนเป็นเปอร์เซ็นต์ เรามี 2 / 0.25 = 8 ซึ่งหมายความว่าเราว่ายน้ำได้ 8 เท่าของระยะทางตรงถึงฝั่ง (หรือถึงกำแพง)

เกิดคำถามขึ้นว่า “สิกขาบทที่ 8 คืออะไร” แต่เราไม่สามารถให้คำตอบได้ เนื่องจากเรามีเพียงอาร์คโคไซน์

เราใช้การอ้างอิงที่ได้มาก่อนหน้านี้เพื่อจับคู่ซีแคนต์กับโคไซน์: “sec/1 = 1/cos”

เศษของ 8 เท่ากับโคไซน์ของ ⅛ มุมที่มีโคไซน์เป็น ⅛ คือ acos(1/8) = 82.8 และนี่คือมุมที่ใหญ่ที่สุดที่เราจ่ายได้บนเรือที่มีเชื้อเพลิงตามจำนวนที่กำหนด

ไม่เลวใช่ไหม? หากไม่มีการเปรียบเทียบโดม-ผนัง-เพดาน ฉันคงสับสนในสูตรและการคำนวณมากมาย การแสดงภาพปัญหาทำให้การค้นหาวิธีแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก นอกจากนี้ยังน่าสนใจที่จะดูว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติใดจะช่วยได้ในที่สุด

สำหรับงานแต่ละอย่าง ให้คิดดังนี้ ฉันสนใจโดม (sin/cos) ผนัง (สีแทน/วินาที) หรือเพดาน (เปล/csc)

และตรีโกณมิติจะกลายเป็นที่น่าพอใจมากขึ้น คำนวณง่ายสำหรับคุณ!

ไซน์เป็นหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ซึ่งการใช้งานไม่ได้จำกัดเฉพาะรูปทรงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว ตารางสำหรับการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม ไม่ได้อยู่ในมือเสมอไป และบางครั้งการคำนวณไซน์ก็จำเป็นในการแก้ปัญหาต่างๆ โดยทั่วไป การคำนวณไซน์จะช่วยเสริมทักษะการวาดและความรู้เกี่ยวกับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

เกมส์ไม้บรรทัดและดินสอ

งานง่ายๆ: จะหาไซน์ของมุมที่วาดบนกระดาษได้อย่างไร ในการแก้ปัญหา คุณต้องมีไม้บรรทัดธรรมดา สามเหลี่ยม (หรือเข็มทิศ) และดินสอ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณไซน์ของมุมคือการหารด้านยาวของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากด้วยด้านยาว - ด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นก่อนอื่นคุณต้องทำให้มุมแหลมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยวาดเส้นตั้งฉากกับรังสีใด ๆ ที่ระยะห่างจากจุดยอดของมุมโดยพลการ จำเป็นต้องสังเกตมุม 90 °ซึ่งเราต้องการรูปสามเหลี่ยมเสมียน

การใช้เข็มทิศจะแม่นยำกว่าเล็กน้อย แต่จะใช้เวลานานกว่า บนรังสีเส้นใดเส้นหนึ่ง คุณต้องทำเครื่องหมาย 2 จุดที่ระยะหนึ่ง ตั้งรัศมีบนเข็มทิศโดยประมาณให้เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ และวาดครึ่งวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุดเหล่านี้จนกระทั่งเส้นเหล่านี้ตัดกัน เมื่อเชื่อมต่อจุดตัดของวงกลมเข้าด้วยกันเราจะได้เส้นตั้งฉากที่เข้มงวดกับรังสีของมุมของเรามันยังคงเป็นเพียงการขยายเส้นจนกว่าจะตัดกับรังสีอื่น

ในรูปสามเหลี่ยมผลลัพธ์ คุณต้องวัดด้านตรงข้ามมุมและด้านยาวของรังสีเส้นใดเส้นหนึ่งด้วยไม้บรรทัด อัตราส่วนของการวัดครั้งแรกต่อครั้งที่สองจะเป็นค่าที่ต้องการของไซน์ของมุมแหลม

ค้นหาไซน์ของมุมที่มากกว่า 90°

สำหรับมุมป้าน งานก็ไม่ยากไปกว่านี้แล้ว มีความจำเป็นต้องวาดลำแสงจากจุดยอดในทิศทางตรงกันข้ามโดยใช้ไม้บรรทัดเพื่อสร้างเส้นตรงด้วยรังสีมุมใดมุมหนึ่งที่เราสนใจ ด้วยมุมแหลมที่เกิดขึ้นคุณควรดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ไซน์ของมุมที่อยู่ติดกันซึ่งประกอบกันเป็นมุมที่พัฒนาแล้ว 180 °มีค่าเท่ากัน

การคำนวณไซน์จากฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

นอกจากนี้การคำนวณไซน์ยังเป็นไปได้หากทราบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของมุมหรืออย่างน้อยความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม เอกลักษณ์ตรีโกณมิติจะช่วยเราในเรื่องนี้ ลองดูตัวอย่างทั่วไป

จะหาไซน์ด้วยโคไซน์ของมุมที่ทราบได้อย่างไร เอกลักษณ์ตรีโกณมิติตัวแรกซึ่งมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสบอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกันนั้นเท่ากับหนึ่ง

จะหาค่าไซน์ด้วยค่าแทนเจนต์ของมุมที่รู้จักได้อย่างไร? แทนเจนต์ได้จากการหารขาไกลด้วยขาใกล้หรือหารไซน์ด้วยโคไซน์ ดังนั้น ไซน์จะเป็นผลคูณของโคไซน์และแทนเจนต์ และกำลังสองของไซน์จะเป็นกำลังสองของผลคูณนี้ เราแทนที่โคไซน์กำลังสองด้วยความแตกต่างระหว่างเอกภาพและไซน์กำลังสองตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติตัวแรก และนำสมการมาคำนวณสแควร์ไซน์ผ่านแทนเจนต์ตามลำดับ เพื่อคำนวณไซน์ คุณจะต้อง แยกรากออกจากผลลัพธ์ที่ได้

จะหาค่าไซน์ด้วยค่าโคแทนเจนต์ของมุมที่ทราบได้อย่างไร ค่าของโคแทนเจนต์สามารถคำนวณได้โดยการหารความยาวของอันใกล้จากมุมขาด้วยความยาวของอันไกล และหารโคไซน์ด้วยไซน์ นั่นคือ โคแทนเจนต์คือฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ด้วย เทียบกับหมายเลข 1 ในการคำนวณไซน์ คุณสามารถคำนวณแทนเจนต์โดยใช้สูตร tg α \u003d 1 / ctg α และใช้สูตรในตัวเลือกที่สอง คุณยังสามารถหาสูตรโดยตรงโดยการเปรียบเทียบกับแทนเจนต์ ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้

วิธีหาไซน์ของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

มีสูตรสำหรับหาความยาวของด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมใดๆ ไม่ใช่แค่สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยกำหนดด้านที่ทราบทั้งสองด้านโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของโคไซน์ของมุมตรงข้าม เธอมีลักษณะเช่นนี้

ในขั้นต้น ไซน์และโคไซน์เกิดขึ้นเนื่องจากความจำเป็นในการคำนวณปริมาณในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สังเกตว่าหากค่าของการวัดระดับของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไม่เปลี่ยนแปลง อัตราส่วนกว้างยาวไม่ว่าด้านเหล่านี้จะเปลี่ยนความยาวเท่าใดก็ตาม จะยังคงเท่าเดิมเสมอ

นี่คือแนวคิดของไซน์และโคไซน์ที่ถูกนำมาใช้ ไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก และโคไซน์คืออัตราส่วนของขาข้างเคียงต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์

แต่โคไซน์และไซน์สามารถใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น หากต้องการหาค่าของมุมป้านหรือมุมแหลม ด้านของสามเหลี่ยมใดๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ทฤษฎีบทโคไซน์และไซน์

ทฤษฎีบทโคไซน์นั้นค่อนข้างง่าย: "กำลังสองของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านลบด้วยผลคูณของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างสองด้าน"

มีการตีความทฤษฎีบทไซน์สองแบบ: แบบเล็กและแบบขยาย ตามที่เล็ก: "ในรูปสามเหลี่ยม มุมเป็นสัดส่วนกับด้านตรงข้าม" ทฤษฎีบทนี้มักจะขยายออกไปเนื่องจากคุณสมบัติของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยม: "ในรูปสามเหลี่ยม มุมต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับด้านตรงข้ามกัน และอัตราส่วนของพวกมันจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ"

อนุพันธ์

อนุพันธ์คือเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่แสดงว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใดเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ อนุพันธ์ถูกนำมาใช้ในรูปทรงเรขาคณิตและในสาขาวิชาทางเทคนิคจำนวนหนึ่ง

เมื่อแก้ปัญหาคุณจำเป็นต้องทราบค่าตารางของอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์ อนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของโคไซน์คือไซน์ แต่มีเครื่องหมายลบ

การประยุกต์ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์

โดยเฉพาะอย่างยิ่งบ่อยครั้ง ไซน์และโคไซน์ถูกใช้ในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉากและปัญหาที่เกี่ยวข้องกัน

ความสะดวกสบายของไซน์และโคไซน์ยังสะท้อนให้เห็นในเทคโนโลยีอีกด้วย มุมและด้านสามารถประเมินได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์และไซน์ แบ่งรูปร่างและวัตถุที่ซับซ้อนออกเป็นสามเหลี่ยม "ง่าย" วิศวกรและมักเกี่ยวข้องกับการคำนวณอัตราส่วนกว้างยาวและการวัดระดับ ใช้เวลาและความพยายามอย่างมากในการคำนวณโคไซน์และไซน์ของมุมที่ไม่ใช่ตาราง

จากนั้นตาราง Bradis ก็เข้ามาช่วยเหลือซึ่งมีค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์หลายพันค่าของมุมต่างๆ ในสมัยโซเวียต ครูบางคนบังคับให้วอร์ดจำหน้าตาราง Bradis

เรเดียน - ค่าเชิงมุมของส่วนโค้งตามความยาวเท่ากับรัศมีหรือ 57.295779513 ° องศา

องศา (ในรูปทรงเรขาคณิต) - 1/360 ของวงกลมหรือ 1/90 ของมุมฉาก

π = 3.141592653589793238462… (ค่าโดยประมาณของไพ).

ตารางโคไซน์สำหรับมุม: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

เมื่อมีการพิจารณางานสำหรับการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก ฉันสัญญาว่าจะนำเสนอเทคนิคสำหรับการจำคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ คุณจะจำได้อย่างรวดเร็วเสมอว่าขาใดเป็นของด้านตรงข้ามมุมฉาก (อยู่ติดกันหรือตรงกันข้าม) ฉันตัดสินใจที่จะไม่เลื่อนออกไปอย่างไม่มีกำหนด เนื้อหาที่จำเป็นอยู่ด้านล่าง โปรดอ่าน 😉

ความจริงก็คือฉันได้สังเกตซ้ำๆ ว่านักเรียนเกรด 10-11 มีปัญหาในการจำคำจำกัดความเหล่านี้อย่างไร พวกเขาจำได้ดีว่าขาหมายถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก แต่อันไหน- ลืมและ สับสน. ราคาของความผิดพลาดอย่างที่คุณทราบในการสอบคือคะแนนที่เสียไป

ข้อมูลที่ผมจะนำเสนอทางคณิตศาสตร์โดยตรงไม่มีผลอะไร มันเกี่ยวข้องกับการคิดเชิงอุปมาอุปไมยและวิธีการเชื่อมต่อทางวาจาและตรรกะ ถูกต้องฉันเองก็จำได้ครั้งแล้วครั้งเล่าข้อมูลคำจำกัดความ หากคุณยังลืมพวกเขา เทคนิคที่นำเสนอจะช่วยให้จำได้ง่ายเสมอ

ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาข้างเคียงต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ดังนั้นคำว่าโคไซน์ทำให้เกิดความสัมพันธ์อะไรในตัวคุณ?

ทุกคนคงมีของตัวเองจำลิงค์:

ดังนั้นคุณจะมีการแสดงออกในความทรงจำของคุณทันที -

«… อัตราส่วนของขา ADJACENT ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก».

ปัญหาเกี่ยวกับคำจำกัดความของโคไซน์ได้รับการแก้ไขแล้ว

หากคุณจำเป็นต้องจำนิยามของไซน์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนั้นให้จำนิยามของโคไซน์ คุณจะสามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ท้ายที่สุดแล้วมีเพียงสองขาเท่านั้นหากโคไซน์ "ครอบครอง" ขาที่อยู่ติดกันก็จะมีเพียงด้านตรงข้ามเท่านั้นที่ยังคงอยู่สำหรับไซน์

แล้วแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ล่ะ? งงเหมือนกัน. นักเรียนรู้ว่านี่คืออัตราส่วนของขา แต่ปัญหาคือต้องจำว่าอันไหนหมายถึงอันไหน - ตรงข้ามกับข้างเคียงหรือในทางกลับกัน

คำจำกัดความ:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับมุมที่อยู่ติดกัน:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาข้างเคียงกับด้านตรงข้าม:

วิธีการจำ? มีสองวิธี หนึ่งยังใช้การเชื่อมต่อทางวาจาและตรรกะอีกอันหนึ่ง - ทางคณิตศาสตร์

วิธีการทางคณิตศาสตร์

มีคำจำกัดความดังกล่าว - แทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมต่อโคไซน์:

* จำสูตรได้เสมอว่าเส้นสัมผัสของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับมุมที่อยู่ติดกัน

เช่นเดียวกัน.โคแทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของโคไซน์ของมุมต่อไซน์ของมัน:

ดังนั้น! เมื่อจำสูตรเหล่านี้ได้ คุณจะทราบได้ว่า:

- แทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน

- โคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับมุมตรงข้าม

วิธีตรรกะทางวาจา

เกี่ยวกับแทนเจนต์ จำลิงค์:

นั่นคือ ถ้าคุณต้องการจำนิยามของแทนเจนต์ โดยใช้การเชื่อมต่อเชิงตรรกะนี้ คุณจะจำได้ง่ายว่ามันคืออะไร

"... อัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาข้างเคียง"

ถ้าพูดถึงโคแทนเจนต์ ให้จำนิยามของแทนเจนต์ คุณก็ออกเสียงนิยามของโคแทนเจนต์ได้ง่ายๆ -

"... อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันตรงกันข้าม"

มีเทคนิคที่น่าสนใจสำหรับการจดจำแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนเว็บไซต์ " คณิตศาสตร์ควบคู่ " , ดู.

วิธีการสากล

คุณก็สามารถบดแต่จากการฝึกฝนแสดงให้เห็นว่าต้องขอบคุณการเชื่อมต่อทางวาจาและตรรกะ คน ๆ หนึ่งจำข้อมูลได้เป็นเวลานานและไม่ใช่เฉพาะทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

ฉันหวังว่าเนื้อหาจะเป็นประโยชน์กับคุณ

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในโซเชียลเน็ตเวิร์ก

โคไซน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รู้จักกันดี ซึ่งเป็นหนึ่งในฟังก์ชันหลักของตรีโกณมิติด้วย โคไซน์ของมุมในสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาข้างเคียงของสามเหลี่ยมต่อด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม บ่อยครั้งที่คำจำกัดความของโคไซน์เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่มันก็เกิดขึ้นเช่นกันว่ามุมที่จำเป็นในการคำนวณโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่ได้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ แล้วจะทำอย่างไร? จะหาโคไซน์ของมุมของสามเหลี่ยมได้อย่างไร?

หากคุณต้องการคำนวณโคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทุกอย่างก็ง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องจำนิยามของโคไซน์ ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหานี้ คุณเพียงแค่ต้องหาอัตราส่วนที่เท่ากันระหว่างขาข้างเคียงและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม อันที่จริง การแสดงโคไซน์ของมุมนั้นไม่ใช่เรื่องยาก สูตรมีลักษณะดังนี้ - cosα = a/c โดยที่ "a" คือความยาวของขา และด้าน "c" ตามลำดับ คือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างเช่น สามารถหาค่าโคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากได้โดยใช้สูตรนี้

หากคุณสนใจว่าโคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมโดยพลการมีค่าเท่ากับเท่าใด ทฤษฎีบทโคไซน์จะมาช่วยซึ่งควรใช้ในกรณีเช่นนี้ ทฤษฎีบทโคไซน์ระบุว่ากำลังสองของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านอื่นๆ ของสามเหลี่ยมเดียวกัน แต่ไม่มีผลคูณของด้านเหล่านี้เป็นสองเท่าด้วยโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่าง พวกเขา.

1. หากคุณต้องการหาโคไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยม คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab)
2. หากจำเป็นต้องหาโคไซน์ของมุมป้านในรูปสามเหลี่ยม คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab) การกำหนดในสูตร - a และ b - คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกับมุมที่ต้องการ c คือความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่ต้องการ

นอกจากนี้ โคไซน์ของมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทไซน์ กล่าวว่าด้านทุกด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน เมื่อใช้ทฤษฎีบทไซน์ คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบที่เหลือของสามเหลี่ยมได้ โดยรู้เพียงสองด้านและมุมที่อยู่ตรงข้ามกันด้านหนึ่ง หรือสองมุมและหนึ่งด้าน พิจารณาตัวอย่าง เงื่อนไขปัญหา: a=1; ข=2; ค=3. มุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน "A" เราแสดงว่า - α จากนั้นตามสูตรเรามี: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1 คำตอบ: 1.

หากจำเป็นต้องคำนวณโคไซน์ของมุมไม่ใช่ในรูปสามเหลี่ยม แต่อยู่ในรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ทุกอย่างจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ค่าของมุมจะต้องถูกกำหนดเป็นเรเดียนหรือองศาก่อน แล้วจึงคำนวณโคไซน์จากค่านี้เท่านั้น ค่าโคไซน์ตามค่าตัวเลขถูกกำหนดโดยใช้ตาราง Bradis เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม หรือแอปพลิเคชันทางคณิตศาสตร์พิเศษ

แอปพลิเคชันพิเศษทางคณิตศาสตร์อาจมีฟังก์ชันต่างๆ เช่น การคำนวณค่าโคไซน์ของมุมในรูปที่กำหนดโดยอัตโนมัติ ความสวยงามของแอปพลิเคชั่นดังกล่าวคือให้คำตอบที่ถูกต้องและผู้ใช้ไม่ใช้เวลาในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนในบางครั้ง ในทางกลับกัน ด้วยการใช้แอปพลิเคชั่นเฉพาะสำหรับการแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง ทักษะทั้งหมดสำหรับการทำงานกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เพื่อค้นหาค่าโคไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมรวมถึงตัวเลขอื่น ๆ ตามอำเภอใจจะหายไป