Kare kök. Örneklerle ayrıntılı teori

Negatif olmayan bir sayının karekökü kavramı

x2 = 4 denklemini ele alalım. Grafiksel olarak çözelim. Bunun için tek bir sistemde koordinatlar bir parabol y = x2 ve bir düz çizgi y = 4 oluşturun (Şekil 74). A (- 2; 4) ve B (2; 4) olmak üzere iki noktada kesişirler. A ve B noktalarının apsisleri x2 = 4 denkleminin kökleridir. Yani x1 = - 2, x2 = 2.

Aynı şekilde tartışarak, x2 \u003d 9 denkleminin köklerini buluyoruz (bkz. Şekil 74): x1 \u003d - 3, x2 \u003d 3.

Ve şimdi x2 = 5 denklemini çözmeye çalışalım; geometrik çizim, Şek. 75. Açıktır ki, bu denklemin x1 ve x2 olmak üzere iki kökü vardır ve bu sayılar, önceki iki durumda olduğu gibi, mutlak değerde eşit ve zıt işaretlidir (x1 - - x2) - Ancak önceki durumlardan farklı olarak, burada denklemin kökleri zorlanmadan bulundu (ve grafikler kullanılmadan da bulunabilirler), x2 \u003d 5 denkleminde durum böyle değil: çizime göre köklerin değerlerini gösteremiyoruz , sadece bunu kurabiliriz kök- 2 noktasının biraz solunda ve ikincisi - 2 noktasının biraz sağında bulunur.

Ama burada hoş olmayan bir sürprizle karşı karşıyayız. Görünüşe göre böyle bir şey yok kesirler DIV_ADBLOCK32">

Diyelim ki eşitliği sağlayan indirgenemez bir kesir var. https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, yani m2 = 5n2. Son eşitlik şu anlama gelir: doğal sayı m2 5'e kalansız bölünebilir (bölümde n2 elde ederiz).

Sonuç olarak, m2 sayısı ya 5 sayısıyla ya da 0 sayısıyla biter. Ancak m doğal sayısı da ya 5 sayısıyla ya da 0 sayısıyla biter, yani m sayısı 5'e kalansız bölünebilir. Başka bir deyişle, eğer m sayısı 5'e bölünürse, bölümde k doğal sayısı elde edilecektir. Bu, m = 5k olduğu anlamına gelir.

Ve şimdi bakın:

İlk denklemde m yerine 5k koyun:

(5k)2 = 5n2, yani 25k2 = 5n2 veya n2 = 5k2.

Son eşitlik sayı anlamına gelir. 5n2, 5 ile kalansız bölünebilir. Yukarıdaki gibi tartışarak, n sayısının da 5'e bölünmeden bölünebileceği sonucuna varıyoruz. kalan.

Yani m 5'e bölünebilir, n 5'e bölünebilir, yani kesir (5'e kadar) azaltılabilir. Ancak kesrin indirgenemez olduğunu varsaydık. Sorun ne? Neden, doğru bir şekilde akıl yürüterek, bir saçmalığa geldik veya matematikçilerin sık sık söylediği gibi bir çelişki elde ettik "! Evet, çünkü orijinal öncül yanlıştı, sanki böyle bir indirgenemez bir kesir varmış gibi, eşitliğin olduğu ).

Doğru muhakeme sonucunda koşulla çelişkiye düşersek, şu sonuca varırız: varsayımımız yanlıştır, bu da kanıtlanması gerekenin doğru olduğu anlamına gelir.

Yani, sadece sahip olmak rasyonel sayılar(ve henüz başka sayılar bilmiyoruz), x2 \u003d 5 denklemini çözemeyeceğiz.

Böyle bir durumla ilk kez karşılaşan matematikçiler, bunu matematik dilinde açıklamanın bir yolunu bulmaları gerektiğini fark ettiler. Karekök adını verdikleri yeni bir sembolü gündeme getirmişler ve bu sembol yardımıyla x2=5 denkleminin kökleri aşağıdaki gibi yazılmıştır: ). Şimdi x2 \u003d a, burada a\u003e O şeklindeki herhangi bir denklem için kökleri bulabilirsiniz - bunlar sayılardırhttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} tam veya kesir değil.
Bu, onun rasyonel bir sayı olmadığı, yeni bir sayı olduğu anlamına gelir, bu tür sayılardan daha sonra, Bölüm 5'te özel olarak bahsedeceğiz.
Şimdilik, yeni sayının 2 ile 3 arasında olduğuna dikkat edin, çünkü 22 = 4, yani 5'ten küçüktür; Z2 \u003d 9, ki bu 5'ten fazladır. Şunları açıklığa kavuşturabilirsiniz:

Bir kez daha, karekök tanımında şart koşulduğu için tabloda yalnızca pozitif sayıların göründüğüne dikkat edin. Ve örneğin, \u003d 25 doğru eşitlik olmasına rağmen, ondan karekökü kullanarak gösterime gidin (yani, şunu yazın. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} pozitif bir sayıdır, yani https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. 42 = 16 (17'den küçük) ve 52 = 25 (17'den büyük) olduğundan, 4'ten büyük ama 5'ten küçük olduğu açıktır.
Bununla birlikte, sayının yaklaşık bir değeri kullanılarak bulunabilir. hesap makinesi, karekök işlemini içeren; bu değer 4.123'tür.

Sayı, yukarıda ele alınan sayı gibi, rasyonel değildir.
e) Negatif bir sayının karekökü olmadığı için hesaplanamaz; giriş anlamsız. Önerilen görev yanlış.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Görev" width="80" height="33 id=">!} 75 > 0 ve 752 = 5625 olduğundan.

En basit durumlarda, karekök değeri hemen hesaplanır:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Görev" width="65" height="42 id=">!}
Çözüm.
İlk aşama. Cevabın “kuyruk” ile 50 olacağını tahmin etmek zor değil. Nitekim 502 = 2500 ve 602 = 3600, 2809 ise 2500 ile 3600 arasındadır.

x 2 = 4 denklemini ele alalım. Bunu grafiksel olarak çözelim. Bunu yapmak için, bir koordinat sisteminde bir y \u003d x 2 parabolü ve y \u003d 4 düz bir çizgi oluştururuz (Şekil 74). A (- 2; 4) ve B (2; 4) olmak üzere iki noktada kesişirler. A ve B noktalarının apsisleri, x 2 \u003d 4 denkleminin kökleridir. Yani, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Aynı şekilde tartışarak, x 2 \u003d 9 denkleminin köklerini buluruz (bkz. Şekil 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Ve şimdi x 2 \u003d 5 denklemini çözmeye çalışalım; geometrik çizim, Şek. 75. Bu denklemin x 1 ve x 2 olmak üzere iki kökü olduğu açıktır ve bu sayılar, önceki iki durumda olduğu gibi, mutlak değerde eşittir ve işarette zıttır (x 1 - - x 2) - Ancak öncekinden farklı olarak durumlarda , denklemin köklerinin zorlanmadan bulunduğu (ve grafikler kullanılmadan da bulunabilecekleri), x 2 \u003d 5 denkleminde durum böyle değil: çizime göre değerleri belirtemiyoruz köklerin, yalnızca bir kökün hafifçe sol noktalara yerleştirildiğini belirleyebiliriz - 2 ve ikincisi - biraz sağa

puan 2.

2. noktanın hemen sağında yer alan ve 5'in karesini veren bu sayı (nokta) nedir? Bunun 3 olmadığı açıktır, çünkü Z 2 \u003d 9, yani gereğinden fazla çıkıyor (9\u003e 5).

Bu, bizi ilgilendiren sayının 2 ve 3 sayıları arasında olduğu anlamına gelir. Ancak 2 ve 3 sayıları arasında sonsuz bir rasyonel sayılar kümesi vardır, örneğin vb. Belki aralarında öyle bir kesir vardır ki ? O zaman x 2 - 5 denkleminde herhangi bir problemimiz olmayacak, bunu yazabiliriz.

Ama burada hoş olmayan bir sürprizle karşı karşıyayız. Eşitliğin olduğu böyle bir kesir olmadığı ortaya çıktı.
Belirtilen iddianın ispatı oldukça zordur. Yine de güzel ve öğretici olduğu için veriyoruz, anlamaya çalışmakta çok fayda var.

Eşitliğin geçerli olduğu böyle bir indirgenemez kesrin olduğunu varsayalım. O zaman, yani m 2 = 5n 2 . Son eşitlik, doğal sayı m2'nin kalansız 5'e bölünebileceği anlamına gelir (özellikle n2 ortaya çıkacaktır).

Sonuç olarak, m 2 sayısı ya 5 sayısıyla ya da 0 sayısıyla biter. Ancak m doğal sayısı da ya 5 sayısıyla ya da 0 sayısıyla biter, yani. m sayısı 5 ile kalansız bölünebilir. Başka bir deyişle, eğer m sayısı 5'e bölünürse, bölümde k doğal sayısı elde edilecektir. Bu şu anlama gelir,
bu m = 5k.
Ve şimdi bakın:
m2 \u003d 5n 2;
İlk denklemde m yerine 5k koyun:

(5k)2 = 5n2 , yani 25k2 = 5n2 veya n2 = 5k2 .
Son eşitlik sayı anlamına gelir. 5n 2, 5 ile kalansız bölünebilir. Yukarıdaki gibi tartışarak, n sayısının da 5 ile kalansız bölünebileceği sonucuna varıyoruz.
Yani m 5'e bölünebilir, n 5'e bölünebilir, yani kesir (5'e kadar) azaltılabilir. Ancak kesrin indirgenemez olduğunu varsaydık. Sorun ne? Neden, doğru bir şekilde akıl yürüterek, bir saçmalığa geldik veya matematikçilerin sık sık söylediği gibi bir çelişki elde ettik "! Evet, çünkü orijinal öncül yanlıştı, sanki böyle bir indirgenemez bir kesir varmış gibi, eşitliğin olduğu
Bundan şu sonuca varıyoruz: böyle bir kesir yoktur.
Az önce uyguladığımız ispat yöntemine matematikte çelişki yoluyla ispat yöntemi denir. Özü aşağıdaki gibidir. Belirli bir ifadeyi kanıtlamamız gerekiyor ve bunun geçerli olmadığını varsayıyoruz (matematikçiler "aksini varsayalım" derler - "tatsız" anlamında değil, "gerekenin tersi" anlamında).
Doğru muhakeme sonucunda koşulla çelişkiye düşersek, şu sonuca varırız: varsayımımız yanlıştır, bu da kanıtlanması gerekenin doğru olduğu anlamına gelir.

Dolayısıyla, yalnızca rasyonel sayılara sahip olarak (ve henüz diğer sayıları bilmiyoruz), x 2 \u003d 5 denklemini çözemeyeceğiz.
Böyle bir durumla ilk kez karşılaşan matematikçiler, bunu matematik dilinde açıklamanın bir yolunu bulmaları gerektiğini fark ettiler. Karekök adını verdikleri yeni bir sembolü dikkate aldılar ve bu sembolü kullanarak x 2 \u003d 5 denkleminin kökleri şu şekilde yazıldı:

okur: "5'in karekökü"). Şimdi x 2 \u003d a, burada a\u003e O şeklindeki herhangi bir denklem için kökleri bulabilirsiniz - bunlar sayılardır , (Şek. 76).

Sayının tam sayı ve kesir olmadığını tekrar vurguluyoruz.
Bu, onun rasyonel bir sayı olmadığı, yeni bir sayı olduğu anlamına gelir, bu tür sayılardan daha sonra, Bölüm 5'te özel olarak bahsedeceğiz.
Şimdilik, yeni sayının 2 ile 3 arasında olduğuna dikkat edin, çünkü 2 2 = 4, yani 5'ten küçüktür; Z 2 \u003d 9 ve bu 5'ten fazla. Açıklığa kavuşturabilirsiniz:

Gerçekten, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Hala yapabilirsiniz
belirtin:

gerçekten, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Uygulamada, genellikle sayının 2.23'e veya 2.24'e eşit olduğuna inanılır, ancak bu sıradan bir eşitlik değil, sembolün kullanıldığı yaklaşık bir eşitliktir.
Bu yüzden,

x 2 = a denkleminin çözümünü tartışırken, matematik için oldukça tipik bir durumla karşı karşıya kaldık. Standart olmayan, anormal (kozmonotların söylemekten hoşlandığı gibi) bir duruma giren ve bilinen araçların yardımıyla bundan bir çıkış yolu bulamayan matematikçiler, matematik için yeni bir terim ve yeni bir atama (yeni bir sembol) buldular. ilk kez karşılaştıkları model; başka bir deyişle, yeni bir kavram ortaya koyarlar ve ardından bu kavramın özelliklerini incelerler.
kavramlar. Böylece, yeni kavram ve tanımı matematik dilinin malı haline gelir. Biz de aynı şekilde hareket ettik: "a sayısının karekökü" terimini tanıttık, onu belirtmek için bir sembol ekledik ve biraz sonra yeni kavramın özelliklerini inceleyeceğiz. Şimdiye kadar tek bir şey biliyoruz: a > 0 ise,
o zaman x 2 = a denklemini sağlayan pozitif bir sayıdır. Yani böyle pozitif bir sayının karesi alındığında a sayısı elde edilir.
x 2 \u003d 0 denkleminin x \u003d 0 kökü olduğundan, şunu varsaymayı kabul ettik:
Artık kesin bir tanım vermeye hazırız.
Tanım. Negatif olmayan a sayısının karekökü, karesi a olan negatif olmayan bir sayıdır.

Bu sayı belirtilir, sayı ve aynı zamanda kök sayı olarak adlandırılır.
Yani, a negatif olmayan bir sayıysa, o zaman:

Eğer bir< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Bu nedenle, ifade yalnızca a > 0 olduğunda anlamlıdır.
öyle derler - aynı matematiksel model (negatif olmayan sayılar arasında aynı ilişki)
(a ve b), ancak yalnızca ikincisi birincisinden daha basit bir dille açıklanmıştır (daha basit semboller kullanır).

Negatif olmayan bir sayının karekökünü bulma işlemine karekök alma denir. Bu işlem, kare alma işleminin tersidir. Karşılaştırmak:

Bir kez daha, karekök tanımında şart koşulduğu için tabloda yalnızca pozitif sayıların göründüğüne dikkat edin. Ve örneğin, (- 5) 2 \u003d 25 doğru eşitlik olmasına rağmen, ondan karekökü kullanarak gösterime gidin (yani şunu yazın.)
yasaktır. A-rahip, . pozitif bir sayıdır, yani .
Genellikle "karekök" değil, "aritmetik karekök" derler. Kısa olması için "aritmetik" terimini çıkarıyoruz.

D) Önceki örneklerden farklı olarak sayının tam değerini belirleyemeyiz. Sadece 4'ten büyük ama 5'ten küçük olduğu açıktır, çünkü

4 2 = 16 (17'den küçük) ve 5 2 = 25 (17'den büyük).
Bununla birlikte, sayının yaklaşık değeri, karekök çıkarma işlemini içeren bir mikro hesap makinesi kullanılarak bulunabilir; bu değer 4.123'tür.
Bu yüzden,
Sayı, yukarıda ele alınan sayı gibi, rasyonel değildir.
e) Negatif bir sayının karekökü olmadığı için hesaplanamaz; giriş anlamsız. Önerilen görev yanlış.
e), 31 > 0 ve 31 2 = 961 olduğundan. Bu gibi durumlarda, doğal sayıların kareler tablosunu veya bir mikro hesap makinesini kullanmalısınız.
g) 75 > 0 ve 75 2 = 5625 olduğundan.
En basit durumlarda, karekökün değeri hemen hesaplanır: vb. Daha karmaşık durumlarda, sayıların karelerinden oluşan bir tablo kullanmanız veya bir mikro hesap makinesi kullanarak hesaplamalar yapmanız gerekir. Peki ya elinizde elektronik tablo veya hesap makinesi yoksa? Bu soruyu aşağıdaki örneği çözerek cevaplayalım.

Örnek 2 Hesaplamak
Çözüm.
İlk aşama. Cevabın “kuyruk” ile 50 olacağını tahmin etmek zor değil. Nitekim 50 2 = 2500 ve 60 2 = 3600 iken 2809 sayısı 2500 ile 3600 sayıları arasındadır.

İkinci aşama."Kuyruğu" bulalım, yani. istenen numaranın son rakamı. Şimdiye kadar biliyoruz ki kök alınırsa cevap 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 veya 59 olabilir. Yalnızca iki sayının kontrol edilmesi gerekir: 53 ve 57, çünkü yalnızca onlar , karesi alındığında, sonucu 2809 ile aynı rakam olan 9 ile biten dört basamaklı bir sayı verecektir.
532 = 2809'umuz var - ihtiyacımız olan şey bu (şanslıydık, hemen "hedefe ulaştık"). Yani = 53.
Cevap:

53
Örnek 3 Dik üçgenin kenarları 1 cm ve 2 cm'dir Üçgenin hipotenüsü nedir? (şek.77)

Çözüm.

Geometriden bilinen Pisagor teoremini kullanalım: bir dik üçgenin bacaklarının uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir, yani. a 2 + b 2 \u003d c 2, burada a, b bacaklar, c dik üçgenin hipotenüsüdür.

Araç,

Bu örnek, kareköklerin tanıtılmasının matematikçilerin bir hevesi değil, nesnel bir gereklilik olduğunu göstermektedir: gerçek hayatta, matematiksel modelleri karekök çıkarma işlemini içeren durumlar vardır. Bu durumlardan belki de en önemlisi
ikinci dereceden denklemleri çözme. Şimdiye kadar, ax 2 + bx + c \u003d 0 ikinci dereceden denklemlerle tanışırken, ya sol tarafı çarpanlara ayırdık (ki bu her zaman işe yaramadı) ya da grafik yöntemler kullandık (ki bu da güzel olmasına rağmen çok güvenilir değil). Aslında bulmak için
matematikte ikinci dereceden denklem ax 2 + bx + c \u003d 0'ın kökleri x 1 ve x 2, formüller kullanılır

görünüşe göre karekökün işaretini içeren Bu formüller pratikte aşağıdaki gibi uygulanır. Örneğin, 2x 2 + bx - 7 \u003d 0 denklemini çözmek gerekiyor. Burada a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Bu nedenle,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Sonra . Araç,

Rasyonel bir sayı olmadığını yukarıda belirtmiştik.
Matematikçiler bu tür sayılara irrasyonel diyorlar. Karekök alınmazsa, formun herhangi bir sayısı irrasyoneldir. Örneğin, vesaire. irrasyonel sayılardır. Bölüm 5'te, rasyonel ve irrasyonel sayılar hakkında daha fazla konuşacağız. Rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayılar kümesini oluşturur, yani. gerçek hayatta kullandığımız tüm sayıların kümesi (aslında,
ness). Örneğin, - bunların hepsi gerçek sayılardır.
Yukarıda karekök kavramını tanımladığımız gibi, küpkök kavramını da tanımlayabiliriz: negatif olmayan bir a sayısının küp kökü, küpü a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır. Başka bir deyişle eşitlik, b 3 = a anlamına gelir.

Bütün bunları 11. sınıf cebir dersinde işleyeceğiz.

Bu yazıda tanıtacağız bir sayının kökü kavramı. Sıralı hareket edeceğiz: karekök ile başlayacağız, ondan küp kökün tanımına geçeceğiz, ardından n'inci derecenin kökünü tanımlayarak kök kavramını genelleştireceğiz. Aynı zamanda tanımları, gösterimleri tanıtacağız, köklere örnekler vereceğiz ve gerekli açıklama ve yorumları yapacağız.

Karekök, aritmetik karekök

Bir sayının kökünün tanımını ve özellikle de karekökünü anlamak için . Bu noktada, genellikle bir sayının ikinci kuvveti olan bir sayının karesiyle karşılaşacağız.

İle başlayalım karekök tanımları.

Tanım

a'nın karekökü karesi a olan sayıdır.

getirmek için karekök örnekleri, birkaç sayı alın, örneğin, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 ve bunların karesini alın, sırasıyla 25 , 0.09 , 0.09 ve 0 sayılarını elde ederiz (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 ve 0 2 =0 0=0 ). O zaman yukarıdaki tanıma göre, 5, 25'in kareköküdür, -0,3 ve 0,3, 0,09'un kareköküdür ve 0, sıfırın kareköküdür.

Karesi a'ya eşit olan herhangi bir a sayısı için var olmadığına dikkat edilmelidir. Yani, herhangi bir a negatif sayısı için, karesi a'ya eşit olan b gerçek sayısı yoktur. Aslında a=b2 eşitliği herhangi bir negatif a için imkansızdır, çünkü b2 herhangi bir b için negatif olmayan bir sayıdır. Böylece, reel sayılar kümesinde negatif sayıların karekökü yoktur. Diğer bir deyişle, gerçek sayılar kümesinde negatif bir sayının karekökü tanımlanmamıştır ve bir anlamı yoktur.

Bu bizi mantıklı bir soruya götürür: "Negatif olmayan herhangi bir a için a'nın karekökü var mıdır?" Cevap Evet. Bu gerçeğin gerekçesi, karekökün değerini bulmak için kullanılan yapıcı bir yöntem olarak kabul edilebilir.

Sonra şu mantıksal soru ortaya çıkıyor: "Belirli bir negatif olmayan a sayısının tüm kareköklerinin sayısı nedir - bir, iki, üç veya daha fazla"? İşte cevabı: a sıfırsa, o zaman sıfırın tek karekökü sıfırdır; a bir pozitif sayı ise, o zaman a sayısından karekök sayısı ikiye eşittir ve kökler . Bunu kanıtlayalım.

a=0 durumuyla başlayalım. Önce sıfırın aslında sıfırın karekökü olduğunu gösterelim. Bu, 0 2 =0·0=0 eşitliğinden ve karekökün tanımından çıkar.

Şimdi sıfırın tek karekökünün 0 olduğunu kanıtlayalım. Ters yöntemi kullanalım. Sıfırın karekökü olan sıfır olmayan bir b sayısı olduğunu varsayalım. O zaman b 2 = 0 koşulu karşılanmalıdır ki bu imkansızdır, çünkü sıfır olmayan herhangi bir b için b 2 ifadesinin değeri pozitiftir. Bir çelişkiye geldik. Bu, 0'ın sıfırın tek karekökü olduğunu kanıtlar.

a'nın pozitif bir sayı olduğu durumlara geçelim. Yukarıda, negatif olmayan herhangi bir sayının her zaman bir karekökü olduğunu söyledik, a'nın karekökü b olsun. Diyelim ki a'nın da karekökü olan bir c sayısı var. O halde, karekökün tanımına göre, b 2 =a ve c 2 =a eşitlikleri geçerlidir, buradan b 2 −c 2 =a−a=0 çıkar, ancak b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , öyleyse (b−c) (b+c)=0 . Sonuç olarak yürürlükte olan eşitlik gerçek sayılarla eylemlerin özellikleri sadece b−c=0 veya b+c=0 olduğunda mümkündür. Böylece b ve c sayıları eşit veya zıttır.

a sayısının başka bir karekökü olan d sayısının olduğunu varsayarsak, daha önce verilenlere benzer bir akıl yürütme ile d'nin b sayısına veya c sayısına eşit olduğu kanıtlanır. Dolayısıyla, pozitif bir sayının karekök sayısı ikidir ve karekökler zıt sayılardır.

Kareköklerle çalışmanın rahatlığı için, negatif kök pozitif olandan "ayrılmıştır". Bu amaçla tanıttığı aritmetik karekök tanımı.

Tanım

Negatif olmayan bir a sayısının aritmetik karekökü karesi a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.

a sayısının aritmetik karekökü için gösterim kabul edilir. işaretine aritmetik karekök işareti denir. Aynı zamanda radikalin işareti olarak da adlandırılır. Bu nedenle, aynı nesne anlamına gelen hem "kök" hem de "radikal" i kısmen duyabilirsiniz.

Aritmetik karekök işaretinin altındaki sayıya denir kök numarası ve kök işareti altındaki ifade - radikal ifade"köklü sayı" terimi genellikle "köklü ifade" ile değiştirilirken. Örneğin notasyonda 151 sayısı bir kök sayıdır ve notasyonda a ifadesi bir kök ifadedir.

Okurken, "aritmetik" kelimesi genellikle atlanır, örneğin, giriş "yedi virgül yirmi dokuz yüzde birinin karekökü" olarak okunur. "Aritmetik" kelimesi, yalnızca bir sayının pozitif karekökünden bahsettiğimizi vurgulamak istediklerinde telaffuz edilir.

Girilen gösterimin ışığında, aritmetik karekökün tanımından, negatif olmayan herhangi bir sayı için a .

Pozitif bir a sayısının karekökleri aritmetik karekök işareti kullanılarak ve olarak yazılır. Örneğin, 13'ün karekökleri ve'dir. Sıfırın aritmetik karekökü sıfırdır, yani . Negatif a sayıları için, çalışma yapana kadar girişlere anlam vermeyeceğiz. Karışık sayılar. Örneğin, ve ifadeleri anlamsızdır.

Karekökün tanımına dayanarak, pratikte sıklıkla kullanılan kareköklerin özellikleri kanıtlanmıştır.

Bu alt bölümü bitirmek için, bir sayının kareköklerinin x değişkenine göre x 2 =a formunun çözümleri olduğunu not ediyoruz.

küp kökü

küp kökün tanımı a sayısının karekök tanımına benzer şekilde verilir. Sadece kare değil, bir sayının küpü kavramına dayanmaktadır.

Tanım

a'nın küp kökü küpü a'ya eşit olan bir sayı denir.

hadi getirelim küp kök örnekleri. Bunu yapmak için birkaç sayı alın, örneğin 7 , 0 , −2/3 ve bunların küpünü alın: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . O zaman küp kökün tanımına dayanarak 7 sayısının 343'ün küp kökü, 0'ın sıfırın küp kökü ve -2/3'ün -8/27'nin küp kökü olduğunu söyleyebiliriz.

Karekökten farklı olarak a sayısının küp kökünün her zaman var olduğu gösterilebilir ve yalnızca negatif olmayan a için değil, aynı zamanda herhangi bir gerçek sayı a için de vardır. Bunu yapmak için, karekökü incelerken bahsettiğimiz yöntemi kullanabilirsiniz.

Ayrıca, belirli bir a sayısının yalnızca bir küp kökü vardır. Son iddiayı kanıtlayalım. Bunu yapmak için üç durumu ayrı ayrı ele alın: a pozitif bir sayıdır, a=0 ve a negatif bir sayıdır.

Pozitif a için a'nın küp kökünün negatif veya sıfır olamayacağını göstermek kolaydır. Aslında, b a'nın küp kökü olsun, o zaman tanım gereği b 3 =a eşitliğini yazabiliriz. Bu eşitliğin negatif b ve b=0 için doğru olamayacağı açıktır, çünkü bu durumlarda b 3 =b·b·b sırasıyla negatif bir sayı veya sıfır olacaktır. Yani pozitif bir a sayısının küp kökü pozitif bir sayıdır.

Şimdi a sayısından b sayısına ek olarak bir küp kök daha olduğunu varsayalım, onu c olarak gösterelim. O zaman c 3 = a. Bu nedenle, b 3 −c 3 =a−a=0 , ancak b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(bu kısaltılmış çarpma formülüdür küp farkı), bu nedenle (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Ortaya çıkan eşitlik yalnızca b−c=0 veya b 2 +b c+c 2 =0 olduğunda mümkündür. Birinci eşitlikten b=c elde ederiz ve ikinci eşitliğin çözümü yoktur, çünkü sol tarafı b2 , bc ve c2 pozitif üç pozitif terimin toplamı olarak b ve c pozitif sayıları için pozitif bir sayıdır. Bu, pozitif bir a sayısının küp kökünün benzersizliğini kanıtlar.

a=0 için, a'nın tek küp kökü sıfırdır. Aslında, sıfırın sıfır olmayan bir küp kökü olan bir b sayısının olduğunu varsayarsak, o zaman b 3 = 0 eşitliğinin sağlanması gerekir, bu yalnızca b=0 olduğunda mümkündür.

Negatif a için, pozitif a için olan duruma benzer bir tartışma yapılabilir. İlk olarak, negatif bir sayının küpkökünün pozitif bir sayıya veya sıfıra eşit olamayacağını gösteriyoruz. İkinci olarak, negatif bir sayının ikinci bir küpkökü olduğunu varsayar ve bunun birincisiyle zorunlu olarak çakışacağını gösteririz.

Yani, verilen herhangi bir a gerçek sayısının her zaman bir küp kökü vardır ve yalnızca bir tane vardır.

hadi verelim aritmetik küp kök tanımı.

Tanım

Negatif olmayan bir sayının aritmetik küp kökü a küpü a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayı denir.

Negatif olmayan a sayısının aritmetik küpkökü olarak gösterilir, işarete aritmetik küpkökün işareti denir, bu gösterimdeki 3 sayısına denir. kök göstergesi. Kök işaretinin altındaki sayı kök numarası, kök işaretinin altındaki ifade radikal ifade.

Aritmetik küp kök yalnızca negatif olmayan a sayıları için tanımlanmış olsa da, negatif sayıların aritmetik küp kök işareti altında olduğu girişleri kullanmak da uygundur. Bunları şu şekilde anlayacağız: , burada a pozitif bir sayıdır. Örneğin, .

Köklerin genel özellikleri yazımızda küp köklerin özelliklerinden bahsedeceğiz.

Bir küp kökün değerinin hesaplanmasına bir küp kökün çıkarılması denir, bu eylem köklerin çıkarılması makalesinde tartışılmaktadır: yöntemler, örnekler, çözümler.

Bu alt bölümü bitirmek için, a'nın küp kökünün x 3 =a formunun bir çözümü olduğunu söylüyoruz.

N'inci kök, n'nin aritmetik kökü

Bir sayıdan kök kavramını genelleştiriyoruz - tanıtıyoruz n'inci kökün belirlenmesi n için

Tanım

a'nın n'inci kökü n'inci kuvveti a'ya eşit olan bir sayıdır.

Bu tanımdan, a sayısından birinci derecenin kökünün a sayısının kendisi olduğu açıktır, çünkü dereceyi doğal bir göstergeyle incelerken 1 = a aldık.

Yukarıda, n=2 ve n=3 için n'inci derecenin kökünün özel durumlarını ele aldık - karekök ve küpkök. Yani karekök ikinci derecenin kökü, küpkök ise üçüncü derecenin köküdür. n=4, 5, 6, ... için n'inci derecenin köklerini incelemek için onları iki gruba ayırmak uygundur: birinci grup - çift derecelerin kökleri (yani n=4, 6 için) , 8, ...), ikinci grup - tek kuvvetlerin kökleri (yani n=5, 7, 9, ... için). Bunun nedeni, çift derecelerin köklerinin kareköke ve tek derecelerin köklerinin kübik köke benzer olmasından kaynaklanmaktadır. Sırayla onlarla ilgilenelim.

Kuvvetleri çift sayılar olan 4, 6, 8, ... olan köklerle başlayalım. Daha önce de söylediğimiz gibi, a sayısının kareköküne benzerler. Yani, a sayısından herhangi bir çift derecenin kökü yalnızca negatif olmayan a için mevcuttur. Ayrıca a=0 ise a'nın kökü tektir ve sıfıra eşittir ve a>0 ise a sayısından çift dereceli iki kök vardır ve bunlar zıt sayılardır.

Son iddiayı doğrulayalım. b, a'dan bir çift derecenin (m'nin bir doğal sayı olduğu 2 m olarak gösteriyoruz) bir kökü olsun. Diyelim ki c sayısı var - a sayısından 2 m derecesinin başka bir kökü. O zaman b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ancak b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) biçimini biliyoruz. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), sonra (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Bu eşitlikten, b−c=0 , veya b+c=0 , veya b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. İlk iki eşitlik, b ve c sayılarının eşit veya b ve c zıt olduğu anlamına gelir. Ve son eşitlik sadece b=c=0 için geçerlidir, çünkü sol tarafı negatif olmayan sayıların toplamı olarak herhangi bir b ve c için negatif olmayan bir ifade içerir.

Tek n için n'inci derecenin kökleri ise küp köke benzer. Yani, a sayısından herhangi bir tek derecenin kökü, herhangi bir a gerçek sayısı için mevcuttur ve belirli bir a sayısı için benzersizdir.

2·m+1 tek dereceli kökünün a sayısından benzersizliği, a'dan küpkökünün benzersizliğinin kanıtına benzetme yoluyla kanıtlanır. Eşitlik yerine sadece burada a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = biçiminde bir eşitlik (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Son parantez içindeki ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Örneğin, m=2 için elimizdeki b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). a ve b'nin her ikisi de pozitif veya her ikisi de negatif olduğunda, çarpımları pozitif bir sayıdır, o zaman en yüksek iç içe geçme derecesinin parantezleri içindeki b 2 +c 2 +b·c ifadesi, pozitifin toplamı kadar pozitiftir. sayılar. Şimdi, art arda önceki iç içe geçme derecelerinin parantez içindeki ifadelerine geçerek, bunların da pozitif sayıların toplamı olarak pozitif olduklarından emin oluyoruz. Sonuç olarak, b 2 m+1 −c 2 m+1 = eşitliğini elde ederiz. (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 sadece b−c=0 olduğunda, yani b sayısı c sayısına eşit olduğunda mümkündür.

n'inci derecenin köklerinin gösterimiyle uğraşmanın zamanı geldi. Bunun için verilen n'inci derecenin aritmetik kökünün belirlenmesi.

Tanım

Negatif olmayan bir a sayısının n'inci derecesinin aritmetik kökü n'inci kuvveti a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayı denir.

Plakaya tekrar baktım ... Ve gidelim!

Basit bir tanesiyle başlayalım:

Bir dakika bekle. bu, şu şekilde yazabileceğimiz anlamına gelir:

Anladım? İşte sizin için bir sonraki:

Ortaya çıkan sayıların kökleri tam olarak çıkarılmıyor mu? Endişelenmeyin, işte bazı örnekler:

Peki ya iki değil de daha fazla çarpan varsa? Aynısı! Kök çarpma formülü herhangi bir sayıda faktörle çalışır:

Artık tamamen bağımsız:

Yanıtlar: Tebrikler! Katılıyorum, her şey çok kolay, asıl mesele çarpım tablosunu bilmek!

Kök bölümü

Köklerin çarpmasını bulduk, şimdi bölme özelliğine geçelim.

Formülün genel olarak şöyle göründüğünü hatırlatmama izin verin:

Ve bu şu anlama gelir: bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.

Peki, örneklere bakalım:

Tüm bilim bu. İşte bir örnek:

Her şey ilk örnekteki kadar pürüzsüz değil ama gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok.

Ya ifade şöyle görünürse:

Formülü tersten uygulamanız yeterlidir:

İşte bir örnek:

Bu ifadeyi de görebilirsiniz:

Her şey aynı, sadece burada kesirleri nasıl çevireceğinizi hatırlamanız gerekiyor (hatırlamıyorsanız konuya bakın ve geri gelin!). Hatırladı? Şimdi karar veriyoruz!

Her şeyin, her şeyin üstesinden geldiğinizden eminim, şimdi bir dereceye kadar kök salmaya çalışalım.

üs alma

Karekökün karesi alınırsa ne olur? Çok basit, bir sayının karekökünün anlamını hatırlayın - bu, karekökü eşit olan bir sayıdır.

Peki, karekökü eşit olan bir sayının karesini alırsak ne elde ederiz?

Peki, tabii ki!

Örneklere bakalım:

Her şey basit, değil mi? Ve eğer kök farklı bir derecedeyse? Önemli değil!

Aynı mantığa bağlı kalın ve özellikleri ve olası eylemleri derecelerle hatırlayın.

"" Konulu teoriyi okuyun ve her şey sizin için son derece netleşecektir.

Örneğin, işte bir ifade:

Bu örnekte derece çifttir, peki ya tek ise? Yine, güç özelliklerini uygulayın ve her şeyi çarpanlara ayırın:

Bununla her şey açık görünüyor, ancak bir dereceden bir sayıdan kök nasıl çıkarılır? Burada, örneğin, şudur:

Oldukça basit, değil mi? Ya derece ikiden büyükse? Derecelerin özelliklerini kullanarak aynı mantığı takip ediyoruz:

Peki, her şey açık mı? Ardından kendi örneklerinizi çözün:

İşte cevaplar:

Kök işareti altında giriş

Köklerle yapmayı henüz öğrenmediğimiz şey! Sadece sayıyı kök işaretinin altına girme alıştırması yapmak için kalır!

Oldukça kolay!

Diyelim ki bir numaramız var

Bununla ne yapabiliriz? Pekala, tabii ki, üçlünün karekökü olduğunu hatırlayarak, üçlüyü kökün altına saklayın!

Neden buna ihtiyacımız var? Evet, sadece örnekleri çözerken yeteneklerimizi genişletmek için:

Köklerin bu özelliğini nasıl buldunuz? Hayatı çok mu kolaylaştırıyor? Benim için bu doğru! Sadece karekök işaretinin altına yalnızca pozitif sayılar girebileceğimizi unutmamalıyız.

Bu örneği kendiniz deneyin:
Becerebildin mi? Bakalım ne almanız gerekiyor:

Tebrikler! Kök işaretinin altına bir sayı girmeyi başardınız! Aynı derecede önemli bir şeye geçelim - karekök içeren sayıları nasıl karşılaştıracağınızı düşünün!

Kök Karşılaştırma

Karekök içeren sayıları karşılaştırmayı neden öğrenmeliyiz?

Çok basit. Genellikle sınavda karşılaşılan büyük ve uzun ifadelerde mantıksız bir cevap alırız (bunun ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bunu bugün zaten konuşmuştuk!)

Örneğin denklemi çözmek için hangi aralığın uygun olduğunu belirlemek için alınan cevapları koordinat satırına yerleştirmemiz gerekir. Ve burada pürüz ortaya çıkıyor: sınavda hesap makinesi yok ve onsuz hangi sayının daha büyük ve hangisinin daha küçük olduğunu nasıl hayal edebilirsiniz? Bu kadar!

Örneğin, hangisinin daha büyük olduğunu belirleyin: veya?

Hemen söylemeyeceksin. Kök işaretinin altına bir sayı eklemenin ayrıştırılmış özelliğini kullanalım mı?

Sonra ileri:

Açıkçası, kökün işaretinin altındaki sayı ne kadar büyükse, kökün kendisi de o kadar büyük olur!

Onlar. eğer demektir.

Bundan kesinlikle şu sonuca varıyoruz Ve kimse bizi aksi yönde ikna edemez!

Büyük sayılardan kök çıkarma

Bundan önce, kökün işareti altında bir faktör tanıttık, ama onu nasıl çıkaracağız? Sadece çarpanlara ayırmanız ve çıkarılanı çıkarmanız gerekiyor!

Diğer yöne gitmek ve diğer faktörlere ayrıştırmak mümkündü:

Fena değil, değil mi? Bu yaklaşımlardan herhangi biri doğrudur, kendinizi nasıl rahat hissedeceğinize karar verin.

Faktoring, bunun gibi standart dışı görevleri çözerken çok yararlıdır:

Korkmuyoruz, harekete geçiyoruz! Kök altındaki her faktörü ayrı faktörlere ayırırız:

Ve şimdi kendiniz deneyin (hesap makinesi olmadan! Sınavda olmayacak):

Bu son mu? Yarı yolda durmuyoruz!

Hepsi bu, o kadar da korkutucu değil, değil mi?

Olmuş? Aferin, haklısın!

Şimdi şu örneği deneyin:

Ve bir örnek, kırılması zor bir cevizdir, bu yüzden ona nasıl yaklaşacağınızı hemen anlayamazsınız. Ama biz, elbette, dişlerdeyiz.

Pekala, faktoringe başlayalım mı? Hemen, bir sayıyı şuna bölebileceğinizi not ediyoruz (bölünebilirlik işaretlerini hatırlayın):

Ve şimdi kendiniz deneyin (yine, hesap makinesi olmadan!):

Peki işe yaradı mı? Aferin, haklısın!

Özetliyor

1. Negatif olmayan bir sayının karekökü (aritmetik karekök), karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.
   .
2. Bir şeyin karekökünü alırsak, her zaman negatif olmayan bir sonuç elde ederiz.
3. Aritmetik kök özellikleri:
4. Karekökleri karşılaştırırken, kökün işaretinin altındaki sayı ne kadar büyükse, kökün kendisinin de o kadar büyük olduğu unutulmamalıdır.

Karekökü nasıl seversin? Temiz?

Karekök ile ilgili sınavda bilmeniz gereken her şeyi sizlere susuz anlatmaya çalıştık.

Senin sıran. Bu konunun size zor gelip gelmediğini bize yazın.

Yeni bir şey mi öğrendin yoksa her şey çok açıktı.

Yorumlara yazın ve sınavlarda bol şans!

Kare bir arsanın alanı 81 dm²'dir. Onun tarafını bul. Diyelim ki karenin bir kenarının uzunluğu X desimetre. O zaman arsanın alanı X² desimetrekare. Duruma göre bu alan 81 dm² olduğuna göre, X² = 81. Karenin kenar uzunluğu pozitif bir sayıdır. Karesi 81 olan pozitif bir sayı 9 sayısıdır. Problemi çözerken karesi 81 olan x sayısını bulmak yani denklemi çözmek istenmiştir. X² = 81. Bu denklemin iki kökü vardır: X 1 = 9 ve X 2 \u003d - 9, çünkü 9² \u003d 81 ve (- 9)² \u003d 81. Hem 9 hem de - 9 sayılarına 81 sayısının karekökleri denir.

Dikkat edin, kareköklerden biri X= 9 pozitif bir sayıdır. 81'in aritmetik karekökü olarak adlandırılır ve √81 ile gösterilir, dolayısıyla √81 = 9'dur.

Bir sayının aritmetik karekökü A karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır A.

Örneğin, 6 ve -6 sayıları 36'nın kareköküdür. 6 sayısı 36'nın aritmetik kareköküdür, çünkü 6 negatif olmayan bir sayıdır ve 6² = 36'dır. -6 sayısı aritmetik kök değildir.

Bir sayının aritmetik karekökü A aşağıdaki gibi gösterilir: √ A.

İşarete aritmetik karekök işareti denir; A kök ifadesi denir. İfade √ A Okumak bunun gibi: bir sayının aritmetik karekökü A.Örneğin, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Bir aritmetik kökten bahsettiğimizin açık olduğu durumlarda kısaca şöyle derler: "kökün karekökü A«.

Bir sayının karekökünü bulma işlemine karekök alma denir. Bu eylem, kare almanın tersidir.

Herhangi bir sayının karesi alınabilir, ancak her sayının karekökü olamaz. Örneğin, - 4 sayısının karekökünü çıkarmak imkansızdır. Eğer böyle bir kök varsa, o zaman onu harfle belirtmek X, solda negatif olmayan bir sayı ve sağda negatif bir sayı olduğu için yanlış x² \u003d - 4 eşitliğini alırdık.

İfade √ A sadece ne zaman mantıklı bir ≥ 0. Karekökün tanımı kısaca şu şekilde yazılabilir: √ bir ≥ 0, (√A)² = A. Eşitlik (√ A)² = AŞunun için geçerli bir ≥ 0. Böylece, negatif olmayan bir sayının karekökünün olduğundan emin olmak için A eşittir B, yani bu √ A =B, aşağıdaki iki koşulun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir: b ≥ 0, B² = A.

Bir kesrin karekökü

Hesaplayalım. √25 = 5, √36 = 6 olduğuna dikkat edin ve eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin.

Çünkü ve , o zaman eşitlik doğrudur. Bu yüzden, .

teorem: Eğer A≥ 0 ve B> 0, yani kesrin kökü, payın kökü bölü paydanın köküne eşittir. Aşağıdakileri kanıtlamak gerekir: ve .

√'den beri A≥0 ve √ B> 0, ardından .

Bir kesri bir kuvvete yükseltme ve karekökü belirleme özelliği ile teorem kanıtlanmıştır. Birkaç örneğe bakalım.

Kanıtlanmış teoreme göre hesaplayın .

İkinci örnek: Bunu kanıtlayın , Eğer A ≤ 0, B < 0. .

Başka bir örnek: Hesapla .

.

Karekök dönüşümü

Çarpanı kökün işaretinin altından çıkarmak. Bir ifade verilsin. Eğer A≥ 0 ve B≥ 0, o zaman çarpımın köküne ilişkin teorem ile şunu yazabiliriz:

Böyle bir dönüşüme kök işaretinin çarpanlarına ayrılması denir. Bir örnek düşünün;

hesapla X= 2. Doğrudan ikame X= 2 radikal ifadesinde karmaşık hesaplamalara yol açar. Bu hesaplamalar, önce kök işaretinin altındaki faktörleri kaldırırsak basitleştirilebilir: . Şimdi x = 2'yi yerine koyarsak: elde ederiz.

Bu nedenle, kök işaretinin altından çarpanı çıkarırken, kök ifadesi, bir veya daha fazla çarpanın negatif olmayan sayıların kareleri olduğu bir çarpım olarak temsil edilir. Daha sonra kök çarpım teoremi uygulanır ve her faktörün kökü alınır. Bir örnek ele alalım: A = √8 + √18 - 4√2 ifadesini ilk iki terimde kök işaretinin altındaki çarpanları çıkararak sadeleştirirsek şunu elde ederiz:. eşitliği vurguluyoruz. sadece ne zaman geçerlidir A≥ 0 ve B≥ 0. eğer A < 0, то .