उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों की डिग्री माप। वृत्त और खुदा हुआ कोण

कोण ABC एक खुदा हुआ कोण है। यह अपनी भुजाओं के बीच परिबद्ध चाप AC पर टिकी हुई है (चित्र 330)।

प्रमेय। एक खुदा हुआ कोण आधे चाप द्वारा मापा जाता है जो इसे इंटरसेप्ट करता है।

इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक उत्कीर्ण कोण में उतनी ही कोणीय डिग्री, मिनट और सेकंड होते हैं जितनी कि चाप की डिग्री, मिनट और सेकंड उस चाप के आधे हिस्से में समाहित होते हैं जिस पर वह टिका होता है।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए हमें तीन स्थितियों पर विचार करना होगा।

पहला मामला। वृत्त का केंद्र खुदे हुए कोण (चित्र 331) के किनारे स्थित है।

मान लीजिए ∠ABC एक खुदा हुआ कोण है और वृत्त O का केंद्र भुजा BC पर स्थित है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि इसे आधा चाप AC द्वारा मापा जाता है।

बिंदु A को वृत्त के केंद्र से जोड़ें। हमें समद्विबाहु \(\Delta\)AOB मिलता है, जिसमें AO = OB, उसी वृत्त की त्रिज्या के रूप में। इसलिए, ∠A = ∠B.

∠AOC त्रिभुज AOB से बाहर है, इसलिए ∠AOC = ∠A + ∠B, और चूंकि कोण A और B बराबर हैं, ∠B 1/2 ∠AOC है।

लेकिन ∠AOC को चाप AC द्वारा मापा जाता है, इसलिए ∠B को चाप AC के आधे भाग से मापा जाता है।

उदाहरण के लिए, अगर \(\breve(AC)\) में 60°18' होता है, तो ∠B में 30°9' होता है।

दूसरा मामला। वृत्त का केंद्र खुदे हुए कोण की भुजाओं के बीच स्थित है (चित्र 332)।

मान लीजिए ∠ABD एक खुदा हुआ कोण है। वृत्त O का केंद्र उसकी भुजाओं के बीच स्थित है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि ∠ABD चाप AD के आधे भाग द्वारा मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए व्यास BC खींचे। कोण ABD दो कोणों में विभाजित होता है: ∠1 और ∠2।

∠1 चाप AC के आधे भाग से मापा जाता है, और ∠2 चाप CD के आधे भाग से मापा जाता है, इसलिए, पूरे ∠ABD को 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), यानी चाप AD का आधा।

उदाहरण के लिए, अगर \(\breve(AD)\) में 124° है, तो ∠B में 62° है।

तीसरा मामला। वृत्त का केंद्र खुदे हुए कोण (चित्र 333) के बाहर स्थित है।

माना ∠MAD एक खुदा हुआ कोण है। वृत्त O का केंद्र कोने के बाहर है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि ∠MAD को चाप MD के आधे भाग द्वारा मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए आइए व्यास AB खींचें। ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB। लेकिन ∠MAB का माप 1/2 \(\breve(MB)\) और ∠DAB का माप 1/2 \(\breve(DB)\) है।

इसलिए, ∠MAD का माप 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), यानी 1/2 \(\breve(MD)\) है।

उदाहरण के लिए, अगर \(\breve(MD)\) में 48° 38" है, तो ∠MAD में 24° 19' 8" है।

नतीजे
1. एक ही चाप पर आधारित सभी खुदे हुए कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, क्योंकि उन्हें एक ही चाप के आधे हिस्से से मापा जाता है (अंजीर। 334, ए)।

2. एक व्यास पर आधारित एक खुदा हुआ कोण एक समकोण है क्योंकि यह आधे वृत्त पर आधारित है। वृत्त के आधे हिस्से में 180 चाप अंश होते हैं, जिसका अर्थ है कि व्यास पर आधारित कोण में 90 कोणीय अंश होते हैं (चित्र 334, ख)।

उत्कीर्ण और केंद्रीय कोण की अवधारणा

आइए पहले केंद्रीय कोण की अवधारणा से परिचित कराते हैं।

टिप्पणी 1

ध्यान दें कि एक केंद्रीय कोण का डिग्री माप उस चाप के डिग्री माप के बराबर होता है जिसे वह इंटरसेप्ट करता है.

अब हम एक खुदे हुए कोण की अवधारणा से परिचित कराते हैं।

परिभाषा 2

एक कोण जिसका शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ एक ही वृत्त को काटती हैं, एक खुदा हुआ कोण कहलाता है (चित्र 2)।

चित्र 2. खुदा हुआ कोण

खुदा कोण प्रमेय

प्रमेय 1

एक खुदा हुआ कोण का माप उस चाप के माप का आधा होता है जिसे वह काटता है।

सबूत।

हमें बिंदु $O$ पर केंद्रित एक वृत्त दिया जाए। अंकित कोण $ACB$ (चित्र 2) को निरूपित करें। निम्नलिखित तीन मामले संभव हैं:

• किरण $CO$ कोण के कुछ पक्ष के साथ मेल खाता है। इसे CB पक्ष होने दें (चित्र 3)।

चित्र तीन

इस मामले में चाप $AB$ $(180)^(()^\circ )$ से कम है, इसलिए केंद्रीय कोण $AOB$ चाप $AB$ के बराबर है। चूँकि $AO=OC=r$, त्रिभुज $AOC$ समद्विबाहु है। इसलिए, आधार कोण $CAO$ और $ACO$ बराबर हैं। एक त्रिभुज के बाह्य कोण पर प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:

• रे $CO$ एक आंतरिक कोण को दो कोणों में विभाजित करता है। इसे बिंदु $D$ पर वृत्त को प्रतिच्छेद करने दें (चित्र 4)।

चित्रा 4

हम पाते हैं

• रे $CO$ एक आंतरिक कोण को दो कोणों में विभाजित नहीं करता है और इसके किसी भी पक्ष के साथ मेल नहीं खाता है (चित्र 5)।

चित्रा 5

कोणों $ACD$ और $DCB$ पर अलग से विचार करें। मद 1 में जो सिद्ध किया गया था, उससे हम प्राप्त करते हैं

हम पाते हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

ले आओ नतीजेइस प्रमेय से।

परिणाम 1:एक ही चाप को प्रतिच्छेद करने वाले कोण बराबर होते हैं।

परिणाम 2:एक खुदा हुआ कोण जो एक व्यास को रोकता है, एक समकोण है।

उत्कीर्ण और केंद्रीय कोण की अवधारणा

आइए पहले केंद्रीय कोण की अवधारणा से परिचित कराते हैं।

टिप्पणी 1

ध्यान दें कि एक केंद्रीय कोण का डिग्री माप उस चाप के डिग्री माप के बराबर होता है जिसे वह इंटरसेप्ट करता है.

अब हम एक खुदे हुए कोण की अवधारणा से परिचित कराते हैं।

परिभाषा 2

एक कोण जिसका शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ एक ही वृत्त को काटती हैं, एक खुदा हुआ कोण कहलाता है (चित्र 2)।

चित्र 2. खुदा हुआ कोण

खुदा कोण प्रमेय

प्रमेय 1

एक खुदा हुआ कोण का माप उस चाप के माप का आधा होता है जिसे वह काटता है।

सबूत।

हमें बिंदु $O$ पर केंद्रित एक वृत्त दिया जाए। अंकित कोण $ACB$ (चित्र 2) को निरूपित करें। निम्नलिखित तीन मामले संभव हैं:

• किरण $CO$ कोण के कुछ पक्ष के साथ मेल खाता है। इसे CB पक्ष होने दें (चित्र 3)।

चित्र तीन

इस मामले में चाप $AB$ $(180)^(()^\circ )$ से कम है, इसलिए केंद्रीय कोण $AOB$ चाप $AB$ के बराबर है। चूँकि $AO=OC=r$, त्रिभुज $AOC$ समद्विबाहु है। इसलिए, आधार कोण $CAO$ और $ACO$ बराबर हैं। एक त्रिभुज के बाह्य कोण पर प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:

• रे $CO$ एक आंतरिक कोण को दो कोणों में विभाजित करता है। इसे बिंदु $D$ पर वृत्त को प्रतिच्छेद करने दें (चित्र 4)।

चित्रा 4

हम पाते हैं

• रे $CO$ एक आंतरिक कोण को दो कोणों में विभाजित नहीं करता है और इसके किसी भी पक्ष के साथ मेल नहीं खाता है (चित्र 5)।

चित्रा 5

कोणों $ACD$ और $DCB$ पर अलग से विचार करें। मद 1 में जो सिद्ध किया गया था, उससे हम प्राप्त करते हैं

हम पाते हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

ले आओ नतीजेइस प्रमेय से।

परिणाम 1:एक ही चाप को प्रतिच्छेद करने वाले कोण बराबर होते हैं।

परिणाम 2:एक खुदा हुआ कोण जो एक व्यास को रोकता है, एक समकोण है।

खुदा कोण, समस्या सिद्धांत। दोस्त! इस लेख में हम उन कार्यों के बारे में बात करेंगे, जिनके समाधान के लिए एक उत्कीर्ण कोण के गुणों को जानना आवश्यक है। यह कार्यों का एक पूरा समूह है, वे परीक्षा में शामिल हैं। उनमें से अधिकांश को बहुत सरलता से, एक चरण में हल किया जाता है।

और भी मुश्किल काम हैं, लेकिन वे आपके लिए ज्यादा मुश्किल पेश नहीं करेंगे, आपको खुदा हुआ कोण के गुणों को जानने की जरूरत है। हम धीरे-धीरे कार्यों के सभी प्रोटोटाइप का विश्लेषण करेंगे, मैं आपको ब्लॉग पर आमंत्रित करता हूं!

अब आवश्यक सिद्धांत. याद रखें कि एक केंद्रीय और खुदा हुआ कोण, जीवा, चाप, जिस पर ये कोण निर्भर करते हैं:

एक वृत्त में केंद्रीय कोण को समतल कोण कहा जाता हैइसके केंद्र में शिखर.

एक वृत्त का वह भाग जो एक समतल कोने के अंदर होता हैवृत्त का चाप कहते हैं।

एक वृत्त के चाप का डिग्री माप डिग्री माप हैसंबंधित केंद्रीय कोण।

एक कोण को एक वृत्त में खुदा हुआ कहा जाता है यदि कोण का शीर्ष स्थित होएक वृत्त पर, और कोण की भुजाएँ इस वृत्त को काटती हैं।

एक रेखा खंड जो एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ता है, कहलाता हैतार. सबसे लंबी जीवा वृत्त के केंद्र से गुजरती है और कहलाती हैव्यास।

एक वृत्त में अंकित कोणों की समस्याओं को हल करने के लिए,आपको निम्नलिखित गुणों को जानने की आवश्यकता है:

1. खुदा हुआ कोण उसी चाप पर आधारित आधे केंद्रीय कोण के बराबर होता है।

2. एक ही चाप पर आधारित सभी अंतःकोण बराबर होते हैं।

3. एक ही जीवा पर आधारित सभी अंतःकोण, जिनके शीर्ष इस जीवा के एक ही ओर स्थित होते हैं, बराबर होते हैं।

4. एक ही जीवा पर आधारित कोणों का कोई भी युग्म, जिसके शीर्ष जीवा के विपरीत दिशा में स्थित हों, का योग 180° होता है।

उपप्रमेय: एक वृत्त में खुदे हुए चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री तक होता है।

5. व्यास पर आधारित सभी खुदे हुए कोण सीधे होते हैं।

सामान्य तौर पर, यह संपत्ति संपत्ति (1) का परिणाम है, यह इसकी है विशेष मामला. देखो - केंद्रीय कोण 180 डिग्री के बराबर है (और यह विकसित कोण एक व्यास के अलावा और कुछ नहीं है), जिसका अर्थ है कि पहली संपत्ति के अनुसार, खुदा हुआ कोण C इसके आधे के बराबर है, अर्थात 90 डिग्री।

इस संपत्ति का ज्ञान कई समस्याओं को हल करने में मदद करता है और अक्सर आपको अनावश्यक गणनाओं से बचने की अनुमति देता है। इसमें अच्छी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप इस प्रकार की आधे से अधिक समस्याओं को मौखिक रूप से हल करने में सक्षम होंगे। दो परिणाम जो किए जा सकते हैं:

उपप्रमेय 1: यदि एक त्रिभुज एक वृत्त में अंकित है और इसकी एक भुजा इस वृत्त के व्यास के साथ मेल खाती है, तो त्रिभुज समकोण है (समकोण का शीर्ष वृत्त पर स्थित है)।

उपप्रमेय 2: के बारे में वर्णित के केंद्र सही त्रिकोणवृत्त अपने कर्ण के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है।

इस संपत्ति और इन कोरोलरीज का उपयोग करके स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं के कई प्रोटोटाइप भी हल किए जाते हैं। स्वयं इस तथ्य को याद रखें: यदि एक वृत्त का व्यास एक खुदे हुए त्रिभुज की एक भुजा है, तो यह त्रिभुज समकोण है (व्यास के विपरीत कोण 90 डिग्री है)। आप अन्य सभी निष्कर्ष और परिणाम स्वयं निकाल सकते हैं, आपको उन्हें सिखाने की आवश्यकता नहीं है।

एक नियम के रूप में, एक उत्कीर्ण कोण के लिए आधी समस्याएं एक स्केच के साथ दी जाती हैं, लेकिन बिना अंकन के। समस्याओं को हल करते समय तर्क की प्रक्रिया को समझने के लिए (लेख में नीचे), कोने (कोनों) के पदनाम पेश किए गए हैं। परीक्षा में आप ऐसा नहीं कर सकते हैं।कार्यों पर विचार करें:

एक तीव्र खुदा हुआ कोण क्या है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर जीवा को काटता है? अपना उत्तर डिग्रियों में दें।

आइए दिए गए खुदे हुए कोण के लिए एक केंद्रीय कोण बनाएं, शीर्षों को निरूपित करें:

एक वृत्त में अंकित कोण के गुण के अनुसार:

कोण AOB 60 0 के बराबर है, चूँकि त्रिभुज AOB समबाहु है, और एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण 60 0 के बराबर हैं। त्रिभुज की भुजाएँ बराबर हैं, क्योंकि शर्त कहती है कि जीवा त्रिज्या के बराबर है।

इस प्रकार, खुदा हुआ कोण DIA 30 0 है।

उत्तर : 30

वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर कोण 30 0 टिका है, त्रिज्या 3 के एक वृत्त में अंकित है।

यह अनिवार्य रूप से उलटा समस्या है (पिछले एक की)। चलो एक केंद्रीय कोने का निर्माण करते हैं।

यह खुदे हुए से दोगुना बड़ा है, यानी कोण AOB 60 0 है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज AOB समबाहु है। इस प्रकार, जीवा त्रिज्या के बराबर है, अर्थात तीन।

उत्तर: 3

वृत्त की त्रिज्या 1 है। दो के मूल के बराबर एक जीवा पर आधारित अधिक कोण का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्रियों में दें।

आइए केंद्रीय कोण बनाएं:

त्रिज्या और जीवा को जानकर, हम केंद्रीय कोण DIA ज्ञात कर सकते हैं। यह कोसाइन के कानून का उपयोग करके किया जा सकता है। केंद्रीय कोण को जानने के बाद, हम खुदा हुआ कोण ACB आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

कोसाइन प्रमेय: किसी त्रिभुज की किसी भी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, बिना उन भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण के कोज्या से गुणा किए बिना।

इसलिए, दूसरा केंद्रीय कोण 360 0 है – 90 0 = 270 0 .

एक खुदे हुए कोण की संपत्ति के अनुसार, कोण DIA इसके आधे के बराबर है, अर्थात 135 डिग्री।

उत्तर: 135

वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर 120 अंश का कोण, तीन का मूल, त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित है।

बिंदु A और B को वृत्त के केंद्र से जोड़ें। आइए इसे ओ कहते हैं:

हम त्रिज्या और खुदा कोण DIA जानते हैं। हम केंद्रीय कोण AOB (180 डिग्री से अधिक) ज्ञात कर सकते हैं, फिर त्रिभुज AOB में कोण AOB ज्ञात कर सकते हैं। और फिर, कोज्या प्रमेय का उपयोग करके AB की गणना करें।

एक खुदे हुए कोण के गुण से, केंद्रीय कोण AOB (जो 180 डिग्री से अधिक है) खुदे हुए कोण के दोगुने के बराबर होगा, यानी 240 डिग्री। इसका अर्थ है कि त्रिभुज AOB में कोण AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 है।

कोसाइन के नियम के अनुसार:

उत्तर: 3

चाप के आधार पर खुदा हुआ कोण ज्ञात करें जो वृत्त का 20% है। अपना उत्तर डिग्रियों में दें।

एक खुदा हुआ कोण की संपत्ति के द्वारा, यह एक ही चाप पर आधारित केंद्रीय कोण का आधा आकार है इस मामले मेंहम चाप AB की बात कर रहे हैं।

ऐसा कहा जाता है कि चाप AB परिधि का 20 प्रतिशत है। इसका अर्थ है कि केंद्रीय कोण AOB भी 360 0 का 20 प्रतिशत है।* एक वृत्त 360 डिग्री का कोण है। साधन,

इस प्रकार, खुदा हुआ कोण ACB 36 डिग्री है।

उत्तर : 36

एक वृत्त का चाप एसी, जिसमें अंक नहीं हैं बी, 200 डिग्री है। और वृत्त BC का चाप, जिसमें बिंदु नहीं हैं ए, 80 डिग्री है। अंकित कोण ACB ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्रियों में दें।

आइए हम स्पष्टता के लिए उन चापों को निरूपित करें जिनके कोणीय माप दिए गए हैं। 200 डिग्री के संगत चाप - नीला रंग 80 डिग्री के अनुरूप चाप लाल है, शेष चक्र पीला है।

इस प्रकार, चाप AB (पीला) का डिग्री माप, और इसलिए केंद्रीय कोण AOB है: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

खुदा हुआ कोण DAB केंद्रीय कोण AOB का आधा है, यानी 40 डिग्री के बराबर है।

उत्तर : 40

वृत्त के व्यास के आधार पर खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर डिग्रियों में दें।

यह दो से बनने वाला कोण है कॉर्ड्सवृत्त के एक बिन्दु से प्रारम्भ होता है। एक खुदा हुआ कोण कहा जाता है निर्भर करता हैइसके किनारों के बीच घिरे एक चाप पर।

खुदा हुआ कोणउस चाप के आधे के बराबर जिस पर वह टिकी हुई है।

दूसरे शब्दों में, अंकित कोणजितने डिग्री, मिनट और सेकंड शामिल हैं चाप डिग्री, मिनट और सेकंड उस चाप के आधे हिस्से में बंद होते हैं जिस पर वह निर्भर करता है। औचित्य के लिए, हम तीन मामलों का विश्लेषण करते हैं:

पहला मामला:

केंद्र O किनारे पर स्थित है अंकित कोणएबीएस। त्रिज्या AO बनाने पर, हमें ΔABO प्राप्त होता है, जिसमें OA = OB (त्रिज्या के रूप में) और तदनुसार, ∠ABO = ∠BAO है। इसके संबंध में त्रिकोण, कोण AOC बाहरी है। और इसलिए, यह कोणों ABO और BAO के योग के बराबर है, या दोहरे कोण ABO के बराबर है। अतः ∠ABO आधा है केंद्रीय कोनाएओसी। लेकिन इस कोण को चाप एसी द्वारा मापा जाता है। अर्थात, खुदा हुआ कोण ABC आधा चाप AC द्वारा मापा जाता है।

दूसरा मामला:

केंद्र O पक्षों के बीच स्थित है अंकित कोणएबीसी व्यास बीडी खींचकर, हम कोण एबीसी को दो कोणों में विभाजित करेंगे, जिनमें से पहले मामले में स्थापित के अनुसार, एक को आधे से मापा जाता है आर्क्स AD, और चाप CD का दूसरा आधा भाग। और तदनुसार, कोण एबीसी को (एडी + डीसी) / 2, यानी द्वारा मापा जाता है। 1/2 ए.सी.

तीसरा मामला:

केंद्र O बाहर स्थित है अंकित कोणएबीएस। व्यास BD निकालने पर, हमारे पास होगा: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . लेकिन कोण एबीडी और सीबीडी को पहले से प्रमाणित हिस्सों के आधार पर मापा जाता है आर्क्सएडी और सीडी। और चूँकि ∠ABС को (AD-CD)/2 द्वारा मापा जाता है, अर्थात, AC चाप का आधा।

परिणाम 1.कोई भी , एक ही चाप पर आधारित समान हैं, अर्थात वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूंकि उनमें से प्रत्येक को उसी के आधे से मापा जाता है आर्क्स .

परिणाम 2. खुदा हुआ कोणव्यास के आधार पर - समकोण. चूँकि ऐसे प्रत्येक कोण को आधे अर्धवृत्त द्वारा मापा जाता है और तदनुसार, इसमें 90 ° होता है।