2 प्राकृतिक संख्याओं की तुलना कैसे करें। पूर्णांकों

यह स्पष्ट है कि 5, 7 से छोटा है, और 171, 19 से बड़ा है। यह तुलना परिणाम (से बड़ा) चिह्नों का उपयोग करके लिखा गया है: 5 19 ऐसे रिकॉर्ड को असमानताएं कहा जाता है 19 ऐसी प्रविष्टियों को असमानताएँ कहा जाता है"> 19 ऐसी प्रविष्टियों को असमानताएँ कहा जाता है"> 19 ऐसी प्रविष्टियों को असमानताएँ कहा जाता है" title=' यह स्पष्ट है कि 5, 7 से कम है, और 171, 19 से अधिक है। यह तुलना परिणाम (से अधिक) चिन्हों का उपयोग करके लिखा जाता है: 5 19 ऐसे अभिलेखों को असमानताएँ कहा जाता है"> title="यह स्पष्ट है कि 5, 7 से छोटा है, और 171, 19 से बड़ा है। यह तुलना परिणाम (से बड़ा) चिह्नों का उपयोग करके लिखा गया है: 5 19 ऐसे रिकॉर्ड को असमानताएं कहा जाता है"> !}

आप एक ही समय में तीन संख्याओं की तुलना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 17, 15 से बड़ी है, लेकिन 20 से कम है। इसे दोहरी असमानता का उपयोग करके लिखा गया है: 15।

1. प्रत्येक संख्या में अंकों की संख्या गिनें। जिस संख्या में अधिक अंक हों वह संख्या बड़ी होती है: > 99 124 396"> 99 124 396"> 99 124 396" title="1. प्रत्येक संख्या में अंकों की संख्या गिनें। अधिक अंकों वाली संख्या बड़ी है: 594 321 505 > 99 124 396"> title="1. प्रत्येक संख्या में अंकों की संख्या गिनें। अधिक अंकों वाली संख्या बड़ी है: 594,321,505 > 99,124,396"> !}

2. यदि दो बहु-अंकीय संख्याओं में अंकों की संख्या समान है, तो उनकी तुलना अंकों से की जानी चाहिए: 7256 > 7249 582 647 7249 582 647 7249 582 647 7249 582 647 title='2. यदि दो बहु-अंकीय हैं -अंकीय संख्याओं में अंकों की संख्या समान होती है, तो आपको अंकों के आधार पर उनकी तुलना करने की आवश्यकता है: 7256 > 7249 582 647

हम जीवन में हर समय तुलनाओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, लंबी या छोटी सड़क, लंबा या छोटा व्यक्ति, ढेर सारे खिलौने या कम, बड़ा कंटेनर या छोटा। तो, प्राकृतिक संख्याओं की तुलना क्या है?

प्राकृतिक संख्याओं की तुलना- यह निर्धारण है कि कौन अधिक है और कौन कम है।

प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करने के तरीके.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 ,10, 11, 12, 13, 14, 15, …

1) दाईं ओर की संख्याएँ हमेशा बाईं ओर की संख्याओं से अधिक होती हैं।
उदाहरण के लिए, आइए संख्या 7 और 9 की तुलना करें। संख्या 9, संख्या 7 के दाईं ओर है, इसलिए, संख्या 9, 7 से बड़ी है।

एक सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है.

कोई भी प्राकृत संख्या शून्य से बड़ी होती है।

2) जिस प्राकृतिक संख्या में अधिक होता है वह सदैव अधिक होती है।

आइए दो संख्याओं 45 और 190 की तुलना करें। यह तुरंत स्पष्ट है कि संख्या 190, संख्या 45 से बड़ी है। हमने यह निष्कर्ष इसलिए निकाला क्योंकि संख्या 190 तीन अंकों की संख्या है, और 45 दो अंकों की संख्या है। संख्या 190 में सैकड़ा, दहाई और इकाई का स्थान है, जबकि संख्या 45 में केवल दहाई और इकाई का स्थान है।

3) यदि अंकों की संख्या समान है, तो हम (बाएं से दाएं) शुरू करके अंकों के अंकों के मान की तुलना करेंगे।
उदाहरण के लिए, आइए संख्याओं 478 और 399 की तुलना करें। दोनों संख्याएँ तीन अंकों की संख्याएँ हैं, तो आइए सैकड़ों को विस्तार से देखें। पहली संख्या, 478, का सैकड़ा स्थान 4 है, और दूसरी संख्या, 399, का सैकड़ा स्थान 3 है। इसलिए, पहली संख्या, 478, दूसरी संख्या, 399 से बड़ी है, क्योंकि 4, 3 से बड़ा है। .

यदि वे समान हैं, तो हम अगले छोटे अंक की तुलना करते हैं।
आइए संख्याओं 7890 और 7860 की तुलना करें। हम हजारों की इकाइयों के उच्चतम अंक की तुलना करना शुरू करते हैं; दोनों संख्याओं के लिए यह 7 के बराबर है। दोनों संख्याओं के लिए सैकड़ों का अगला अंक भी 8 के बराबर है। लेकिन दहाई का अंक अलग है . पहली संख्या 7890 में दहाई का स्थान 9 है, और दूसरी संख्या 7860 में 6 है। इसके बाद हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि पहली संख्या 7890, 7860 से बड़ी है, क्योंकि पहली संख्या का दहाई का स्थान दूसरे से बड़ा है। सीधे शब्दों में कहें तो 9, 6 से बड़ा है।

\(\left(\begin(array)(c)78 \color(blue) (9)0\\ 78\color(red) (6)0\end(array)\right)\)

4) यदि तुलना करते समय दो प्राकृतिक संख्याओं के अंकों के सभी अंक समान हों, तो संख्याएँ बराबर होती हैं।
उदाहरण के लिए, आइए संख्याओं 4890765 और 4890765 की तुलना करें। यह देखा जा सकता है कि दोनों संख्याओं के अंक समान हैं, इसलिए वे समान हैं।

\(\left(\begin(array)(c)4890765\\ 4890765\end(array)\right)\)

असमानता और असमानता के संकेत.

इससे बड़े, उससे छोटे या बराबर शब्दों के साथ न लिखने के लिए गणित में नोटेशन का आविष्कार किया गया। अधिक (>), कम (<), равно (=) . उदाहरण के लिए, 3, 2 से बड़ा है, गणितीय अंकन 3>2 जैसा दिखेगा। अथवा 6, 10 से कम है तो हम इसे 6 लिखते हैं<10. 8 равно 8, запишем 8=8.

भाव 3>2, 6<10 и 8=8 называются в математики असमानताएँ

ऐसी प्रविष्टि 2<3<4 называется दोहरी असमानता.

विषय पर प्रश्न:
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या कौन सी है?
उत्तर: एक.

सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या कौन सी है?
उत्तर: संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला अनंत है, इसलिए कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है।

कौन सी संख्या बड़ी है, छह अंकों की संख्या या सात अंकों की संख्या?
उत्तर: सात अंकों की संख्या छह अंकों की संख्या से बड़ी होती है।

विषय के विशिष्ट कार्यों के उत्तर वाले उदाहरणों का विश्लेषण किया जाता है।
उदाहरण 1:
असमानता पढ़ें: ए) 5<12 б) 6>1 ग) 7=7
उत्तर: ए) पांच बारह से कम है बी) छह एक से अधिक है सी) सात सात के बराबर है।

उदाहरण #2:
असमानता लिखें: a) 4, 8 से कम है b) 10, 9 से अधिक है c) 11, 11 के बराबर है।
उत्तर: ए) 4<8 б) 10>9 ग) 11=11.

उदाहरण #3:
क्या असमानताएँ सत्य हैं? तुलना चिह्नों की जाँच करें: a) 5<6 б) 7<3 в) 22>23 ग्राम) 5=55
उत्तर: a) सत्य b) असत्य c) असत्य d) असत्य।

उदाहरण #4:
संख्याओं की तुलना करें, असमानता के चिह्नों को सही ढंग से लगाएं (<, >, =): ए) 3 और 3 बी) 4 और 9 सी) 8 और 3
उत्तर: ए) 3=3 बी) 4<9 в) 8>3

उदाहरण #5:

चित्र को देखें और असमानता को स्पष्ट करें।

गिनती करते समय, प्राकृतिक संख्याओं को क्रम में बुलाया जाता है: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...।

दो प्राकृतिक संख्याओं में से, छोटी वह है जिसे गिनती करते समय पहले कहा जाता है, और बड़ी वह है जिसे गिनती करते समय बाद में बुलाया जाता है। इकाई– सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या. संख्या 4 से कम है. 7, और संख्या 8, 7 से बड़ी है।

छोटे निर्देशांक वाला बिंदु बड़े निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर निर्देशांक किरण पर स्थित होता है।

उदाहरण के लिए, बिंदु A(4) बिंदु B(7) के बाईं ओर स्थित है (चित्र 16)। शून्य किसी भी प्राकृत संख्या से छोटा होता है।

चावल। 16. समन्वय किरण

दो संख्याओं की तुलना करने का परिणाम प्रपत्र में लिखा जाता है असमानता, संकेतों का उपयोग करना< (меньше) и >(अधिक)। उदाहरण के लिए, 4< 7, 8 >7. संख्या 3, 6 से छोटी और 2 से बड़ी है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है दोहरी असमानता 2 < 3 < 6. Так как нуль меньше, чем единица, то записывают 0 < 1.

बहु-अंकीय संख्याओं की तुलना इस प्रकार की जाती है। संख्या 2305, 984 से बड़ी है क्योंकि 2305 चार अंकों की संख्या है और 984 तीन अंकों की संख्या है। संख्याएँ 2305 और 1178 चार अंकों की संख्याएँ हैं, लेकिन 2305>1178 क्योंकि पहली संख्या में दूसरी की तुलना में हज़ार अधिक हैं। चार अंकों की संख्या 2305 और 2186 में हजारों की संख्या बराबर है, लेकिन पहली संख्या में सैकड़ों की संख्या अधिक है, और इसलिए 2305 > 2186 है।

लक्षण< и >खंडों की तुलना के परिणाम को भी निरूपित करें। यदि खंड AB खंड CD से छोटा है, तो लिखें:

यदि खंड AB खंड CD से लंबा है, तो लिखें:

असमानताओं को इस प्रकार पढ़ा जाता है: बायां पक्ष नाममात्र मामले में है, और दायां पक्ष जनन मामले में है।

उदाहरण के लिए: 55<128 – пятьдесят пять меньше ста двадцати восьми.

संख्याओं को लिखने के कई अलग-अलग तरीके लोगों द्वारा बनाए गए हैं। प्राचीन रूस में, संख्याओं को एक विशेष चिह्न "~" (शीर्षक) वाले अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता था, जो अक्षर के ऊपर लिखा होता था (चित्र 17)।

चावल। 17. प्राचीन रूस में संख्याओं की रिकॉर्डिंग

वर्णमाला के पहले नौ अक्षर इकाइयों का प्रतिनिधित्व करते हैं, अगले नौ अक्षर दहाई का प्रतिनिधित्व करते हैं, और अंतिम नौ अक्षर सैकड़ों का प्रतिनिधित्व करते हैं। दस हजार की संख्या को "अंधकार" शब्द कहा जाता था (और अब हम कहते हैं: "लोगों के लिए - अंधकार से परे अंधकार")।

संख्याओं को रिकॉर्ड करने के लिए आधुनिक, काफी सरल और सुविधाजनक दशमलव प्रणाली यूरोपीय लोगों ने अरबों से उधार ली थी, जिन्होंने बाद में इसे भारतीयों से अपनाया। इसलिए, अब हम जिन संख्याओं का उपयोग करते हैं उन्हें यूरोपीय लोग "अरब" और अरब लोग "भारतीय" कहते हैं। यह प्रणाली 1120 के आसपास एक अंग्रेजी खोजकर्ता द्वारा यूरोप में पेश की गई थी। एडेलार्ड . 1600 तक इसे दुनिया के अधिकांश देशों में स्वीकार कर लिया गया था।

संख्याओं के रूसी नाम दशमलव संख्या प्रणाली से निकटता से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, सत्रह का अर्थ है "सात गुना दस," सत्तर का अर्थ है "सात दहाई," और सात सौ का अर्थ है "सात सौ"।

रोमन अंक, जो लगभग 2600 साल पहले प्राचीन रोम में उपयोग किए जाते थे, आज भी उपयोग किए जाते हैं।

आई - 1, वी - 5, एक्स - 10, एल - 50, सी - 100, डी - 500, एम - 1000।

शेष संख्याएँ इन संख्याओं को जोड़ और घटाव का उपयोग करके लिखी जाती हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या XXVII का मतलब 27 है, क्योंकि

10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27.

यदि बड़ी संख्या से पहले छोटी संख्या (I, X, C) आती है तो उसका मान घटा दिया जाता है।

उदाहरण के लिए, IV का अर्थ है 4(5 - 1 = 4), IX का अर्थ है 9(10 – 1 = 9), XC का अर्थ है 90। इस प्रकार, संख्या MCMLXXXIX का अर्थ है 1989। चूँकि:

1000 + (1000 - 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (10 - 1) = 1989.

वर्तमान में, रोमन अंकों का उपयोग आमतौर पर पुस्तकों के अध्यायों और अनुभागों, वर्ष के महीनों, महत्वपूर्ण घटनाओं, वर्षगाँठ की तारीखों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है।

गणना के लिए, रोमन अंकों का उपयोग करके संख्याएँ लिखना असुविधाजनक है। यदि आप उदाहरण के लिए, संख्याओं CCXCVII और ХLIХ को जोड़ने या संख्या CCXCVII को संख्या IX से विभाजित करने का प्रयास करते हैं, तो आप इसे स्वयं देख सकते हैं।

पेज नेविगेशन:

परिभाषा। पूर्णांकों- ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग गिनती के लिए किया जाता है: 1, 2, 3, ..., n, ...

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है एन(अक्षांश से. नेचुरेलिस- प्राकृतिक)।

दशमलव संख्या प्रणाली में प्राकृतिक संख्याएँ दस अंकों का उपयोग करके लिखी जाती हैं:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है आदेशित सेट, अर्थात। किसी भी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए निम्नलिखित में से एक संबंध सत्य है:

• या एम = एन (एम बराबर एन),
• या m > n (m, n से बड़ा),
• या एम< n (m меньше n ).

• सबसे कम प्राकृतिकनंबर - एक (1)
• कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है.
• शून्य (0) कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है.

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है, क्योंकि किसी भी संख्या n के लिए हमेशा एक संख्या m होती है जो n से बड़ी होती है

पड़ोसी प्राकृत संख्याओं में से n के बायीं ओर की संख्या कहलाती है पिछला नंबर एन, और दाईं ओर जो संख्या है उसे कहा जाता है n के बाद अगला.

प्राकृतिक संख्याओं पर संचालन

प्राकृतिक संख्याओं पर बंद संक्रियाएँ (प्राकृतिक संख्याओं से उत्पन्न संक्रियाएँ) में निम्नलिखित अंकगणितीय संक्रियाएँ शामिल हैं:

• जोड़ना
• गुणा
• घातांक a b, जहां a आधार है और b घातांक है। यदि आधार और घातांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो परिणाम एक प्राकृतिक संख्या होगी।

इसके अतिरिक्त, दो और ऑपरेशनों पर विचार किया जा रहा है। औपचारिक दृष्टिकोण से, वे प्राकृतिक संख्याओं पर संक्रियाएँ नहीं हैं, क्योंकि उनका परिणाम हमेशा एक प्राकृतिक संख्या नहीं होगा।

• घटाव(इस मामले में, Minuend Subtrahend से बड़ा होना चाहिए)
• विभाजन

कक्षाएं और रैंक

स्थान किसी संख्या रिकार्ड में किसी अंक की स्थिति (स्थिति) है।

सबसे निचली रैंक दाहिनी ओर वाली है। सबसे महत्वपूर्ण अंक बायीं ओर वाला है।

उदाहरण:

5 - इकाइयाँ, 0 - दहाई, 7 - सैकड़ा,
2 - हज़ार, 4 - दसियों हज़ार, 8 - सैकड़ों हज़ार,
3 - मिलियन, 5 - दसियों मिलियन, 1 - सौ मिलियन

पढ़ने में आसानी के लिए, प्राकृतिक संख्याओं को दाईं ओर से शुरू करके तीन-तीन अंकों के समूहों में विभाजित किया गया है।

कक्षा- तीन अंकों का एक समूह जिसमें संख्या को दाईं ओर से शुरू करके विभाजित किया जाता है। अंतिम वर्ग तीन, दो या एक अंक का हो सकता है।

• प्रथम वर्ग इकाइयों का वर्ग है;
• दूसरा वर्ग हजारों का वर्ग है;
• तीसरा वर्ग लाखों लोगों का वर्ग है;
• चौथा वर्ग अरबों का वर्ग है;
• पाँचवीं कक्षा - खरबों की कक्षा;
• छठी कक्षा - क्वाड्रिलियन (क्वाड्रिलियन) का वर्ग;
• सातवाँ वर्ग क्विंटिलियन (क्विंटिलियन) का वर्ग है;
• आठवीं कक्षा - सेक्स्टिलियन कक्षा;
• नौवीं कक्षा - सेप्टिलियन कक्षा;

उदाहरण:

34 - अरब 456 मिलियन 196 हजार 45

प्राकृतिक संख्याओं की तुलना

1. विभिन्न अंकों की संख्याओं के साथ प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करना

   प्राकृतिक संख्याओं में, अधिक अंकों वाली संख्या बड़ी होती है

2. प्राकृतिक संख्याओं की समान संख्या वाले अंकों से तुलना करना

   सबसे महत्वपूर्ण अंक से प्रारंभ करते हुए संख्याओं की थोड़ा-थोड़ा करके तुलना करें। जिसके एक ही नाम के उच्चतम पद पर अधिक इकाइयाँ हों वह बड़ा है

उदाहरण:

3466 > 346 - चूँकि संख्या 3466 में 4 अंक होते हैं, और संख्या 346 में 3 अंक होते हैं।

34666 < 245784 - चूंकि संख्या 34666 में 5 अंक होते हैं, और संख्या 245784 में 6 अंक होते हैं।

उदाहरण:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

समान अंकों वाली दूसरी प्राकृतिक संख्या बड़ी है, क्योंकि 6 > 2.