पायथागॉरियन ट्रिपल और उनकी संख्या। पायथागॉरियन ट्रिपल के भाग के रूप में आधुनिक विज्ञान-गहन प्रौद्योगिकियां प्राइम नंबर

"क्षेत्रीय शिक्षा केंद्र"

पद्धतिगत विकास

हल करने में पायथागॉरियन ट्रिपल का उपयोग करना

ज्यामितीय समस्याओं और त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग

कलुगा, 2016

I. प्रस्तावना

पाइथागोरस प्रमेय मुख्य में से एक है और, कोई यह भी कह सकता है कि ज्यामिति का सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय है। इसका महत्व इस तथ्य में निहित है कि ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे या इसकी सहायता से निकाले जा सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय इस मायने में भी उल्लेखनीय है कि यह अपने आप में बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण सीधे आरेखण पर देखे जा सकते हैं। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक समकोण त्रिभुज को कैसे देखते हैं, आप कभी नहीं देखेंगे कि इसकी भुजाओं के बीच इतना सरल अनुपात है: ए2+बी2=सी 2. हालाँकि, यह पाइथागोरस नहीं था जिसने उस प्रमेय की खोज की थी जो उसके नाम पर है। यह पहले भी ज्ञात था, लेकिन शायद केवल माप से प्राप्त तथ्य के रूप में। संभवतः, पाइथागोरस यह जानते थे, लेकिन उन्हें इसका प्रमाण मिला।

अनंत संख्या में प्राकृतिक संख्याएँ हैं ए, बी, सी, संबंध को संतुष्ट करना ए2+बी2=सी 2.. उन्हें पायथागॉरियन संख्या कहा जाता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, ऐसी संख्याएँ किसी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के रूप में काम कर सकती हैं - हम उन्हें पाइथागोरस त्रिभुज कहेंगे।

कार्य का लक्ष्य:स्कूली गणित पाठ्यक्रम, यूएसई असाइनमेंट की समस्याओं को हल करने के लिए पायथागॉरियन ट्रिपल का उपयोग करने की संभावना और प्रभावशीलता का अध्ययन करने के लिए।

कार्य के उद्देश्य के आधार पर, निम्नलिखित कार्य:

पायथागॉरियन त्रिक के इतिहास और वर्गीकरण का अध्ययन करना। पायथागॉरियन ट्रिपल का उपयोग करके कार्यों का विश्लेषण करें जो स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में उपलब्ध हैं और परीक्षा की नियंत्रण और माप सामग्री में पाए जाते हैं। समस्याओं को हल करने के लिए पायथागॉरियन ट्रिपल और उनके गुणों का उपयोग करने की प्रभावशीलता का मूल्यांकन करें।

अध्ययन की वस्तु: पाइथागोरस की संख्याओं का त्रिक।

अध्ययन का विषय: त्रिकोणमिति और ज्यामिति के स्कूल पाठ्यक्रम के कार्य, जिसमें पायथागॉरियन ट्रिपल का उपयोग किया जाता है।

अनुसंधान की प्रासंगिकता. पायथागॉरियन ट्रिपल्स का उपयोग अक्सर ज्यामिति और त्रिकोणमिति में किया जाता है, उन्हें जानने से गणना में त्रुटियां समाप्त हो जाएंगी और समय की बचत होगी।

द्वितीय। मुख्य हिस्सा। पायथागॉरियन त्रिक का उपयोग करके समस्याओं को हल करना।

2.1. पायथागॉरियन संख्याओं के त्रिगुणों की तालिका (पेरेलमैन के अनुसार)

पायथागॉरियन संख्या का रूप है ए= एम एन, , जहाँ m और n कुछ सहअभाज्य विषम संख्याएँ हैं।

पायथागॉरियन नंबरों में कई दिलचस्प विशेषताएं हैं:

"पैरों" में से एक तीन का गुणक होना चाहिए।

"पैरों" में से एक चार का गुणक होना चाहिए।

पायथागॉरियन संख्याओं में से एक पाँच का गुणक होना चाहिए।

"एंटरटेनिंग अलजेब्रा" पुस्तक में पाइथागोरस के त्रिगुणों की एक तालिका है जिसमें एक सौ तक की संख्याएँ हैं, जिनमें सामान्य गुणनखंड नहीं हैं।

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2। पाइथागोरियन त्रिक का शुस्त्रोव का वर्गीकरण।

शस्ट्रोव ने निम्नलिखित पैटर्न की खोज की: यदि सभी पायथागॉरियन त्रिकोणों को समूहों में विभाजित किया जाता है, तो निम्नलिखित सूत्र विषम पैर x, सम y और कर्ण z के लिए मान्य हैं:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); वाई = 2एन (एन + 2एन -1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, जहाँ N परिवार की संख्या है और n परिवार में त्रिभुज की क्रमिक संख्या है।

N और n के स्थान पर किसी भी धनात्मक पूर्णांक के सूत्र में एक से शुरू करके, आप संख्याओं के सभी मुख्य पायथागॉरियन ट्रिपल, साथ ही एक निश्चित प्रकार के गुणक प्राप्त कर सकते हैं। आप प्रत्येक परिवार के लिए सभी पाइथागोरस के त्रिक की तालिका बना सकते हैं।

2.3। प्लैनिमेट्री कार्य

आइए ज्यामिति पर विभिन्न पाठ्यपुस्तकों से समस्याओं पर विचार करें और पता करें कि इन कार्यों में पायथागॉरियन ट्रिपल कितनी बार पाए जाते हैं। पायथागॉरियन ट्रिपल्स की तालिका में तीसरा तत्व खोजने की तुच्छ समस्याओं पर विचार नहीं किया जाएगा, हालांकि वे पाठ्यपुस्तकों में भी पाए जाते हैं। आइए हम दिखाते हैं कि उस समस्या के समाधान को कैसे कम किया जाए जिसका डेटा पाइथागोरस के त्रिक के लिए प्राकृतिक संख्याओं द्वारा व्यक्त नहीं किया गया है।

ग्रेड 7-9 के लिए ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक के कार्यों पर विचार करें।

№ 000. समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए ए=, बी=.

समाधान। पैरों की लंबाई को 7 से गुणा करने पर, हमें पायथागॉरियन ट्रिपल 3 और 4 से दो तत्व मिलते हैं। लापता तत्व 5 है, जिसे हम 7. उत्तर से विभाजित करते हैं।

№ 000. आयत एबीसीडी में बीसी खोजें अगर सीडी = 1.5, एसी = 2.5।

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

समाधान। आइए समकोण त्रिभुज ACD को हल करें। हम लंबाई को 2 से गुणा करते हैं, हमें पायथागॉरियन ट्रिपल 3 और 5 से दो तत्व मिलते हैं, लापता तत्व 4 है, जिसे हम 2 से विभाजित करते हैं। उत्तर: 2।

अगली संख्या को हल करते समय, अनुपात की जाँच करें ए2+बी2=सी 2यह पूरी तरह से वैकल्पिक है, यह पायथागॉरियन संख्याओं और उनके गुणों का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है।

№ 000. यदि त्रिभुज की भुजाओं को संख्याओं द्वारा व्यक्त किया जाता है, तो पता करें कि क्या एक त्रिभुज समकोण है:

ए) 6,8,10 (पायथागॉरियन ट्रिपल 3,4.5) - हाँ;

एक समकोण त्रिभुज का एक पाद 4 से विभाज्य होना चाहिए। उत्तर: नहीं।

सी) 9,12,15 (पायथागॉरियन ट्रिपल 3,4.5) - हाँ;

डी) 10,24,26 (पायथागॉरियन ट्रिपल 5,12.13) - हाँ;

पायथागॉरियन संख्याओं में से एक पाँच का गुणक होना चाहिए। उत्तर: नहीं।

जी) 15, 20, 25 (पायथागॉरियन ट्रिपल 3,4.5) - हाँ।

इस खंड (पाइथागोरस प्रमेय) में उनतालीस कार्यों में से, बाइस को पायथागॉरियन संख्याओं और उनके गुणों के ज्ञान का उपयोग करके मौखिक रूप से हल किया गया है।

समस्या #000 पर विचार करें ("अतिरिक्त कार्य" अनुभाग से):

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ AB = 5 सेमी, BC = 13 सेमी, CD = 9 सेमी, DA = 15 सेमी, AC = 12 सेमी।

कार्य अनुपात की जांच करना है ए2+बी2=सी 2और सिद्ध कीजिए कि दिए गए चतुर्भुज में दो समकोण त्रिभुज हैं (प्रतिलोम प्रमेय)। और पायथागॉरियन त्रिगुणों का ज्ञान: 3, 4, 5 और 5, 12, 13, गणना की आवश्यकता को समाप्त करता है।

आइए ग्रेड 7-9 के लिए ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक से कई समस्याओं का समाधान दें।

समस्या 156 (एच)। एक समकोण त्रिभुज के पाद 9 और 40 हैं। कर्ण के लिए खींची गई माध्यिका ज्ञात कीजिए।

समाधान . कर्ण के लिए खींची गई माध्यिका इसके आधे के बराबर है। पायथागॉरियन ट्रिपल 9.40 और 41 है। इसलिए, औसत 20.5 है।

समस्या 156 (i). त्रिभुज की भुजाएँ हैं: ए= 13 सेमी, ख = 20 सेमी और ऊंचाई एचएस = 12 सेमी. आधार ज्ञात कीजिए साथ।

कार्य (किम उपयोग)। एक तीव्र त्रिभुज ABC में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें यदि ऊँचाई BH 12 है और यह ज्ञात है पाप ए =,पाप सी \u003d छोड़ दिया "\u003e

समाधान।हम आयताकार ∆ ASC को हल करते हैं: sin A=, BH=12, इसलिए AB=13,AK=5 (पाइथागोरियन ट्रिपल 5,12,13)। आयताकार ∆ BCH को हल करें: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (पाइथागोरियन त्रिगुण 3,4,5)। त्रिज्या सूत्र r === 4 द्वारा पाया जाता है। उत्तर। 4।

2.4। त्रिकोणमिति में पायथागॉरियन ट्रिपल

मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान पायथागॉरियन प्रमेय का एक विशेष मामला है: sin2a + cos2a = 1; (ए/सी) 2 + (बी/सी)2 =1। इसलिए, कुछ त्रिकोणमितीय कार्यों को पाइथागोरियन ट्रिपल्स का उपयोग करके आसानी से मौखिक रूप से हल किया जाता है।

जिन समस्याओं में किसी फ़ंक्शन के दिए गए मान से अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के मानों को खोजने की आवश्यकता होती है, उन्हें वर्गमूल निकालने और वर्गमूल निकालने के बिना हल किया जा सकता है। बीजगणित (10-11) मोर्डकोविच (संख्या 000-संख्या 000) की स्कूल पाठ्यपुस्तक में इस प्रकार के सभी कार्यों को मौखिक रूप से हल किया जा सकता है, केवल कुछ पाइथागोरियन त्रिगुणों को जानकर: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . आइए दो कार्यों के समाधान पर विचार करें।

संख्या 000 ए)। पाप टी = 4/5, π/2< t < π.

समाधान. पायथागॉरियन ट्रिपल: 3, 4, 5. इसलिए, cos t = -3/5; टीजी टी = -4/3,

संख्या 000 बी)। टीजी टी = 2.4, π< t < 3π/2.

समाधान।टीजी टी \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5। पायथागॉरियन ट्रिपल 5,12,13। संकेतों को देखते हुए, हमें sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12 मिलता है।

3. परीक्षा की सामग्री का नियंत्रण और मापन

a) cos (आर्क्सिन 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) sin (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

सी) टीजी (आर्क्सिन 0.6) = 0.75 (6, 8, 10)

डी) सीटीजी (आर्कोस 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

ई) 4/3 tg (π-arcsin (-3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg आर्क्सिन 3/5=4/3 3/4=1

ई) समानता की वैधता की जाँच करें:

आर्क्सिन 4/5 + आर्क्सिन 5/13 + आर्क्सिन 16/65 = π/2.

समाधान। आर्क्सिन 4/5 + आर्क्सिन 5/13 + आर्क्सिन 16/65 = π/2

आर्क्सिन 4/5 + आर्क्सिन 5/13 = π/2 - आर्क्सिन 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

तृतीय। निष्कर्ष

ज्यामितीय समस्याओं में, अक्सर समकोण त्रिभुजों को हल करना पड़ता है, कभी-कभी कई बार। स्कूल की पाठ्यपुस्तकों और यूएसई सामग्री के कार्यों का विश्लेषण करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मुख्य रूप से ट्रिपल का उपयोग किया जाता है: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; जिन्हें याद रखना आसान है। कुछ त्रिकोणमितीय कार्यों को हल करते समय, त्रिकोणमितीय सूत्रों और बड़ी संख्या में गणनाओं का उपयोग करने वाले क्लासिक समाधान में समय लगता है, और पायथागॉरियन ट्रिपल का ज्ञान गणना में त्रुटियों को समाप्त करेगा और परीक्षा में अधिक कठिन समस्याओं को हल करने के लिए समय बचाएगा।

ग्रंथ सूची

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बेलोटेलोव वी. ए. पायथागॉरियन ट्रिपल और उनकी संख्या // नेस्टरोव्स का विश्वकोश

यह लेख एक प्रोफेसर - एक पिंचर का उत्तर है। देखो, प्रोफेसर, वे इसे हमारे गाँव में कैसे करते हैं।

निज़नी नोवगोरोड क्षेत्र, ज़ावोल्ज़ये।

डायोफैंटाइन समीकरणों (ADDE) को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म का ज्ञान और बहुपद प्रगति का ज्ञान आवश्यक है।

IF एक अभाज्य संख्या है।

एमएफ एक समग्र संख्या है।

मान लीजिए कि एक विषम संख्या N है। एक के अतिरिक्त किसी भी विषम संख्या के लिए आप एक समीकरण लिख सकते हैं।

पी 2 + एन \u003d क्यू 2,

जहाँ р + q = N, q - р = 1।

उदाहरण के लिए, संख्या 21 और 23 के लिए, समीकरण होंगे, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

यदि N अभाज्य है, तो यह समीकरण अद्वितीय है। यदि संख्या N संमिश्र है, तो इस संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले कारकों के जोड़े की संख्या के लिए समान समीकरण बनाना संभव है, जिसमें 1 x N शामिल है।

मान लीजिए संख्या N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45।

मैंने सपना देखा, लेकिन क्या यह संभव है, IF और MF के बीच इस अंतर से चिपके रहना, उनकी पहचान के लिए एक तरीका खोजना।

आइए हम संकेतन का परिचय दें;

आइए नीचे के समीकरण को बदलते हैं, -

एन \u003d 2 - ए 2 \u003d (बी - ए) (बी + ए) में।

आइए मानदंड के अनुसार एन के मूल्यों को समूहित करें - ए, यानी। चलो एक टेबल बनाते हैं।

संख्याओं N को एक आव्यूह में संक्षेपित किया गया, -

इसी कार्य के लिए मुझे बहुपदों और उनके आव्यूहों की प्रगति से निपटना था। सब कुछ व्यर्थ हो गया - पीसीएच सुरक्षा शक्तिशाली रूप से आयोजित की जाती है। आइए तालिका 1 में एक कॉलम दर्ज करें, जहाँ - a \u003d 1 (q - p \u003d 1)।

फिर एक बार। IF और MF की पहचान करने की समस्या को हल करने के प्रयास के परिणामस्वरूप तालिका 2 प्राप्त की गई थी। यह तालिका से इस प्रकार है कि किसी भी संख्या N के लिए, 2 में 2 + N \u003d के रूप में कई समीकरण हैं, संख्या N को कितने जोड़े में विभाजित किया जा सकता है, जिसमें कारक 1 x N भी शामिल है। संख्या एन \u003d ℓ 2, जहां

ℓ - एफसी। N = ℓ 2 के लिए, जहाँ ℓ IF है, एक अद्वितीय समीकरण p 2 + N = q 2 है। हम किस अतिरिक्त प्रमाण के बारे में बात कर सकते हैं यदि तालिका N बनाने वाले कारकों के जोड़े से छोटे कारकों को एक से ∞ तक सूचीबद्ध करती है। हम तालिका 2 को संदूक में रखेंगे, और सन्दूक को कोठरी में छिपा देंगे।

आइए लेख के शीर्षक में बताए गए विषय पर लौटते हैं।

यह लेख एक प्रोफेसर - एक पिंचर का उत्तर है।

मैंने मदद मांगी - मुझे संख्याओं की एक श्रृंखला की आवश्यकता थी जो मुझे इंटरनेट पर नहीं मिली। मुझे ऐसे प्रश्नों का सामना करना पड़ा, - "किस लिए?", "लेकिन मुझे विधि दिखाओ।" विशेष रूप से, एक प्रश्न था कि क्या पायथागॉरियन ट्रिपल की श्रृंखला अनंत है, "इसे कैसे साबित किया जाए?"। उसने मेरी मदद नहीं की। देखो, प्रोफेसर, वे इसे हमारे गाँव में कैसे करते हैं।

पाइथागोरस त्रिक का सूत्र लेते हैं, -

एक्स 2 \u003d वाई 2 + जेड 2। (1)

आइए ARDU से गुजरते हैं।

तीन स्थितियाँ संभव हैं:

I. x एक विषम संख्या है,

y एक सम संख्या है

z एक सम संख्या है।

और एक शर्त x > y > z है।

द्वितीय। x विषम संख्या है

y एक सम संख्या है

z विषम संख्या है।

एक्स> जेड> वाई।

III.x - एक सम संख्या,

y एक विषम संख्या है

z विषम संख्या है।

एक्स> वाई> जेड।

आई से शुरू करते हैं।

आइए नए चरों का परिचय दें

समीकरण (1) में स्थानापन्न करें।

आइए हम छोटे चर 2γ द्वारा रद्द करें।

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2।

आइए हम एक नए पैरामीटर ƒ के एक साथ परिचय के साथ चर 2β – 2γ को एक छोटे से कम करें, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

फिर, 2α - 2β = x - y - 1।

समीकरण (2) रूप लेगा, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

आइए इसे चौकोर करें -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

एआरडीयू मापदंडों के माध्यम से समीकरण की वरिष्ठ शर्तों के बीच संबंध देता है, इसलिए हमें समीकरण (3) मिला।

समाधानों के चयन से निपटना ठोस नहीं है। लेकिन, सबसे पहले, कहीं जाना नहीं है, और दूसरी बात, इनमें से कई समाधानों की आवश्यकता है, और हम अनंत संख्या में समाधानों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

ƒ = 1, k = 1 के लिए, हमारे पास x - y = 1 है।

ƒ = 12, k = 16 के साथ, हमारे पास x - y = 9 है।

ƒ = 4, k = 32 के साथ, हमारे पास x - y = 25 है।

आप इसे लंबे समय तक उठा सकते हैं, लेकिन अंत में श्रृंखला का रूप ले लेगी -

एक्स - वाई \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

विकल्प II पर विचार करें।

आइए हम समीकरण (1) में नए चरों का परिचय दें

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2।

हम एक छोटे चर 2 β से घटाते हैं, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2।

आइए हम छोटे चर 2α - 2β, - से कम करें

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2। (4)

2α - 2γ = x - z और समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करें।

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4 के साथ, हमारे पास x - z = 2 है।

ƒ = 8, k = 14 के साथ, हमारे पास x - z = 8 है।

ƒ = 3, k = 24 के साथ, हमारे पास x - z = 18 है।

एक्स - जेड \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

आइए एक चतुर्भुज बनाते हैं -

आइए एक सूत्र लिखते हैं।

जहाँ n=1, 2,...∞.

केस III का वर्णन नहीं किया जाएगा - वहां कोई समाधान नहीं है।

शर्त II के लिए, त्रिगुणों का समुच्चय इस प्रकार होगा:

स्पष्टता के लिए समीकरण (1) को x 2 = z 2 + y 2 के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

शर्त I के लिए, त्रिगुणों का समुच्चय इस प्रकार होगा:

कुल मिलाकर, त्रिगुणों के 9 स्तंभों को चित्रित किया गया है, प्रत्येक में पाँच त्रिगुण। और प्रस्तुत प्रत्येक कॉलम को ∞ तक लिखा जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में, अंतिम स्तंभ के त्रिगुणों पर विचार करें, जहाँ x - y \u003d 81।

x के मानों के लिए, हम एक समलम्बाकार लिखते हैं, -

आइए सूत्र लिखते हैं

हम के मूल्यों के लिए एक ट्रैपेज़ियम लिखते हैं, -

आइए सूत्र लिखते हैं

Z के मानों के लिए, हम एक समलम्बाकार लिखते हैं, -

आइए सूत्र लिखते हैं

जहाँ n = 1 ÷ ∞.

जैसा कि वादा किया गया है, x - y = 81 के साथ ट्रिपल की एक श्रृंखला ∞ तक जाती है।

केस I और II के लिए x, y, z के लिए मैट्रिसेस बनाने का प्रयास किया गया था।

शीर्ष पंक्तियों से x के अंतिम पाँच कॉलम लिखें और एक ट्रेपेज़ॉइड बनाएँ।

यह काम नहीं किया, और पैटर्न द्विघात होना चाहिए। ओपनवर्क में सब कुछ बनाने के लिए, यह पता चला कि कॉलम I और II को जोड़ना आवश्यक था।

स्थिति II में, मात्रा y, z को फिर से आपस में बदल दिया जाता है।

हम एक कारण से विलय करने में कामयाब रहे - कार्ड इस कार्य में अच्छी तरह फिट बैठते हैं - हम भाग्यशाली थे।

अब आप x, y, z के लिए आव्यूह लिख सकते हैं।

चलो ऊपर की पंक्तियों से x मान के अंतिम पाँच स्तंभों से लेते हैं और एक समलम्बाकार का निर्माण करते हैं।

सब कुछ ठीक है, आप मैट्रिसेस बना सकते हैं, और चलिए z के लिए मैट्रिक्स से शुरू करते हैं।

मैं छाती के लिए कोठरी में दौड़ता हूं।

कुल: एक के अलावा, संख्यात्मक अक्ष की प्रत्येक विषम संख्या इस संख्या N को बनाने वाले कारकों की एक समान संख्या के पाइथागोरियन ट्रिपल के गठन में भाग लेती है, जिसमें कारक 1 x N शामिल है।

संख्या N \u003d ℓ 2, जहां ℓ - IF, एक पायथागॉरियन ट्रिपल बनाता है, यदि ℓ एमएफ है, तो कारकों ℓхℓ पर कोई ट्रिपल नहीं है।

आइए x, y के लिए आव्यूह बनाएँ।

चलिए x के लिए मैट्रिक्स से शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम IF और MF की पहचान करने की समस्या से समन्वयित ग्रिड को खींचेंगे।

लंबवत पंक्तियों की संख्या अभिव्यक्ति द्वारा सामान्यीकृत होती है

आइए पहले कॉलम को हटा दें, क्योंकि

मैट्रिक्स फॉर्म लेगा -

आइए लंबवत पंक्तियों का वर्णन करें, -

आइए हम "ए" पर गुणांक का वर्णन करें -

आइए मुक्त सदस्यों का वर्णन करते हैं, -

चलिए "x" के लिए एक सामान्य सूत्र बनाते हैं -

यदि हम "y" के लिए समान कार्य करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं -

आप इस परिणाम को दूसरी तरफ से देख सकते हैं।

चलो समीकरण लेते हैं,

और 2 + एन = 2 में।

आइए इसे थोड़ा बदल दें -

एन \u003d 2 - ए 2 में।

आइए इसे चौकोर करें -

एन 2 \u003d 4 - 2 वी 2 ए 2 + ए 4 में।

समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में परिमाण 4v 2 a 2, - जोड़ें

एन 2 + 4 वी 2 ए 2 \u003d 4 + 2 वी 2 ए 2 + ए 4 में।

और अंत में -

(2 + 2 में) 2 \u003d (2वा) 2 + एन 2।

पायथागॉरियन ट्रिपल निम्नानुसार बनाये गये हैं:

संख्या N = 117 के साथ एक उदाहरण पर विचार करें।

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117।

टेबल 2 के वर्टिकल कॉलम में वैल्यू -ए के साथ गिने गए हैं, जबकि टेबल 3 के वर्टिकल कॉलम में वैल्यू x - y के साथ गिने गए हैं।

एक्स - वाई \u003d (सी - ए) 2,

एक्स \u003d वाई + (सी - ए) 2।

आइए तीन समीकरण बनाते हैं।

(वाई + 1 2) 2 \u003d वाई 2 + 117 2,

(वाई + 3 2) 2 \u003d वाई 2 + 117 2,

(वाई + 9 2) 2 \u003d वाई 2 + 117 2।

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117।

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13)।

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117।

कारक 3 और 39 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्या नहीं हैं, इसलिए 9 के कारक के साथ एक तिगुना निकला।

आइए ऊपर लिखे गए सामान्य प्रतीकों को दर्शाते हैं, -

इस काम में, संख्या के साथ पायथागॉरियन ट्रिपल की गणना के लिए एक उदाहरण सहित सब कुछ

एन = 117, - ए में छोटे कारक से जुड़ा हुआ है। + ए में कारक के संबंध में स्पष्ट भेदभाव। आइए इस अन्याय को ठीक करें - हम + ए के एक कारक के साथ तीन समीकरणों की रचना करेंगे।

IF और MF की पहचान के सवाल पर वापस आते हैं।

इस दिशा में बहुत कुछ किया गया है और आज निम्नलिखित विचार हाथ से आया है - कोई पहचान समीकरण नहीं है, और कारकों को निर्धारित करने जैसी कोई बात नहीं है।

मान लीजिए कि हमने संबंध F = a, b (N) पाया है।

एक सूत्र है

आप सूत्र F से में से छुटकारा पा सकते हैं और आपको a, यानी के संबंध में nth डिग्री का एक सजातीय समीकरण मिलता है। एफ = ए (एन)।

इस समीकरण की किसी भी डिग्री n के लिए, m> n के लिए, कारकों के m जोड़े के साथ एक संख्या N है।

और इसके परिणामस्वरूप, डिग्री n के एक सजातीय समीकरण में m जड़ें होनी चाहिए।

हाँ, यह नहीं हो सकता।

इस पेपर में, संख्याओं N को समीकरण x 2 = y 2 + z 2 के लिए माना गया था जब वे समीकरण में z स्थान पर हों। जब N, x के स्थान पर हो, तो यह दूसरा कार्य है।

साभार, बेलोटेलोव वी. ए.

इसके बाद, हम प्रभावी पायथागॉरियन ट्रिपल उत्पन्न करने के लिए जाने-माने तरीकों पर विचार करते हैं। पाइथागोरस के छात्रों ने सबसे पहले पाइथागोरस के त्रिक उत्पन्न करने का एक सरल तरीका तैयार किया, एक सूत्र का उपयोग करते हुए जिसके भाग पाइथागोरस के त्रिक का प्रतिनिधित्व करते हैं:

एम 2 + ((एम 2 − 1)/2) 2 = ((एम 2 + 1)/2) 2 ,

कहाँ एम- अयुग्मित, एम> 2। वास्तव में,

4एम 2 + एम 4 − 2एम 2 + 1
एम 2 + ((एम 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((एम 2 + 1)/2) 2 .
4

इसी तरह का सूत्र प्राचीन यूनानी दार्शनिक प्लेटो द्वारा प्रस्तावित किया गया था:

(2एम) 2 + (एम 2 − 1) 2 = (एम 2 + 1) 2 ,

कहाँ एम- कोई संख्या। के लिए एम= 2,3,4,5 निम्नलिखित त्रिक उत्पन्न होते हैं:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये सूत्र सभी संभव आदिम त्रिगुण नहीं दे सकते।

निम्नलिखित बहुपद पर विचार करें, जो बहुपदों के योग में विघटित हो गया है:

(2एम 2 + 2एम + 1) 2 = 4एम 4 + 8एम 3 + 8एम 2 + 4एम + 1 =
=4एम 4 + 8एम 3 + 4एम 2 + 4एम 2 + 4एम + 1 = (2एम(एम+1)) 2 + (2एम +1) 2 .

इसलिए आदिम त्रिक प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित सूत्र:

ए = 2एम +1 , बी = 2एम(एम+1) = 2एम 2 + 2एम , सी = 2एम 2 + 2एम + 1.

ये सूत्र त्रिगुण उत्पन्न करते हैं जिसमें औसत संख्या सबसे बड़ी संख्या से ठीक एक से भिन्न होती है, अर्थात सभी संभव त्रिगुण भी उत्पन्न नहीं होते हैं। यहाँ पहले त्रिक हैं: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61)।

यह निर्धारित करने के लिए कि सभी आदिम त्रिगुणों को कैसे उत्पन्न किया जाए, किसी को उनके गुणों की जांच करनी चाहिए। सबसे पहले, अगर ( ए, बी, सी) तब एक आदिम ट्रिपल है एऔर बी, बीऔर सी, एऔर सी- कोप्राइम होना चाहिए। होने देना एऔर बीमें विभाजित हैं डी. तब ए 2 + बी 2 से विभाज्य भी है डी. क्रमश, सी 2 और सीमें बांटा जाना चाहिए डी. अर्थात् यह आदिम त्रिक नहीं है।

दूसरे, संख्याओं के बीच ए, बीएक जोड़ा जाना चाहिए और दूसरा अयुग्मित होना चाहिए। दरअसल, अगर एऔर बी- जोड़ा, फिर साथजोड़ा जाएगा, और संख्याओं को कम से कम 2 से विभाजित किया जा सकता है। यदि वे दोनों अयुग्मित हैं, तो उन्हें 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है क+1 मैं 2 एल+1, कहाँ क,एल- कुछ नंबर। तब ए 2 + बी 2 = 4क 2 +4क+1+4एल 2 +4एल+1, यानी, साथ 2, साथ ही ए 2 + बी 2 को 4 से विभाजित करने पर 2 शेष बचता है।

होने देना साथ- कोई भी संख्या, वह है साथ = 4क+मैं (मैं=0,…,3). तब साथ 2 = (4क+मैं) 2 का शेष 0 या 1 है और शेष 2 नहीं हो सकता। इस प्रकार, एऔर बीअयुग्मित नहीं किया जा सकता, अर्थात् ए 2 + बी 2 = 4क 2 +4क+4एल 2 +4एल+1 और शेष साथ 2 बटा 4 1 होना चाहिए, जिसका मतलब है कि साथअयुग्मित होना चाहिए।

पायथागॉरियन ट्रिपल के तत्वों के लिए ऐसी आवश्यकताएं निम्नलिखित संख्याओं से संतुष्ट हैं:

ए = 2एम.एन., बी = एम 2 − एन 2 , सी = एम 2 + एन 2 , एम > एन, (2)

कहाँ एमऔर एनविभिन्न जोड़ियों के साथ कोप्राइम हैं। पहली बार, ये निर्भरताएँ यूक्लिड के कार्यों से ज्ञात हुईं, जो 2300 आर रहते थे। पीछे।

आइए हम निर्भरताओं (2) की वैधता साबित करें। होने देना ए- डबल, फिर बीऔर सी- अयुग्मित। तब सी + बीमैं सी − बी- जोड़े। उन्हें के रूप में दर्शाया जा सकता है सी + बी = 2यूऔर सी − बी = 2वि, कहाँ यू,विकुछ पूर्णांक हैं। इसीलिए

ए 2 = साथ 2 − बी 2 = (सी + बी)(सी − बी) = 2यू 2 वि = 4यूवी

और इसलिए ( ए/2) 2 = यूवी.

यह विरोधाभास से सिद्ध किया जा सकता है कि यूऔर विकोप्राइम हैं। होने देना यूऔर वि- में विभाजित हैं डी. तब ( सी + बी) और ( सी − बी) में विभाजित हैं डी. और इसलिए सीऔर बीमें बांटा जाना चाहिए डी, और यह पायथागॉरियन ट्रिपल के लिए शर्त का खंडन करता है।

क्योंकि यूवी = (ए/2) 2 और यूऔर विकोप्राइम, यह साबित करना आसान है यूऔर विकुछ संख्याओं का वर्ग होना चाहिए।

अतः धनात्मक पूर्णांक हैं एमऔर एन, ऐसा है कि यू = एम 2 और वि = एन 2. तब

ए 2 = 4यूवी = 4एम 2 एन 2 तो
ए = 2एम.एन.; बी = यू − वि = एम 2 − एन 2 ; सी = यू + वि = एम 2 + एन 2 .

क्योंकि बी> 0, फिर एम > एन.

यह दिखाना बाकी है एमऔर एनअलग-अलग जोड़ियाँ हैं। अगर एमऔर एन- जोड़ा, फिर यूऔर विजोड़ा जाना चाहिए, लेकिन यह असंभव है, क्योंकि वे कोप्राइम हैं। अगर एमऔर एन- अयुग्मित, तब बी = एम 2 − एन 2 और सी = एम 2 + एन 2 जोड़ा जाएगा, जो असंभव है क्योंकि सीऔर बीकोप्राइम हैं।

इस प्रकार, किसी भी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल को शर्तों (2) को पूरा करना चाहिए। इसी समय, संख्याएँ एमऔर एनबुलाया संख्याएँ उत्पन्न करनाआदिम त्रिक। उदाहरण के लिए, आइए एक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल (120,119,169) लें। इस मामले में

ए= 120 = 2 12 5, बी= 119 = 144 − 25, और सी = 144+25=169,

कहाँ एम = 12, एन= 5 - संख्याएँ उत्पन्न करना, 12 > 5; 12 और 5 सहअभाज्य हैं और विभिन्न जोड़ियों के हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि संख्याएँ एम, एनसूत्र (2) एक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल (ए, बी, सी) देते हैं। वास्तव में,

ए 2 + बी 2 = (2एम.एन.) 2 + (एम 2 − एन 2) 2 = 4एम 2 एन 2 + (एम 4 − 2एम 2 एन 2 + एन 4) =
= (एम 4 + 2एम 2 एन 2 + एन 4) = (एम 2 + एन 2) 2 = सी 2 ,

वह है ( ए,बी,सी) एक पायथागॉरियन ट्रिपल है। आइए हम साबित करें कि जबकि ए,बी,सीविरोधाभास द्वारा कोप्राइम संख्याएँ हैं। मान लीजिए इन संख्याओं को विभाजित किया जाता है पी> 1. चूंकि एमऔर एनअलग-अलग जोड़ियां हैं, फिर बीऔर सी- अयुग्मित, अर्थात् पी≠ 2. क्योंकि आरविभाजित बीऔर सी, वह आरविभाजित होना चाहिए 2 एम 2 और 2 एन 2, जो असंभव है क्योंकि पी≠ 2. इसलिए एम, एनकोप्राइम और हैं ए,बी,सीकोप्राइम भी हैं।

तालिका 1 के लिए सूत्र (2) द्वारा उत्पन्न सभी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल दिखाता है एम≤10.

तालिका 1. के लिए आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल एम≤10

एम	एन	ए	बी	सी	एम	एन	ए	बी	सी
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

इस तालिका का विश्लेषण पैटर्न की निम्नलिखित श्रृंखला की उपस्थिति दर्शाता है:

• या ए, या बी 3 से विभाजित हैं;
• संख्याओं में से एक ए,बी,सी 5 से विभाज्य है;
• संख्या ए 4 से विभाज्य है;
• काम ए· बी 12 से विभाज्य है।

1971 में, अमेरिकी गणितज्ञ टीगन और हेडविन ने एक समकोण त्रिभुज के ऐसे अल्प-ज्ञात मापदंडों को प्रस्तावित किया, जैसे कि त्रिक उत्पन्न करने के लिए इसकी ऊंचाई (ऊंचाई) एच = सी- बी और अतिरिक्त (सफलता) इ = ए + बी − सी. चित्र 1 में। इन राशियों को एक निश्चित समकोण त्रिभुज पर दिखाया गया है।

चित्र 1. समकोण त्रिभुज और इसकी वृद्धि और अधिकता

"अतिरिक्त" नाम इस तथ्य से लिया गया है कि यह अतिरिक्त दूरी है जिसे त्रिभुज के पैरों के साथ एक शीर्ष से विपरीत तक पारित किया जाना चाहिए, यदि आप इसके विकर्ण के साथ नहीं जाते हैं।

अधिकता और वृद्धि के माध्यम से, पाइथागोरस त्रिभुज की भुजाओं को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

इ 2 इ 2
ए = एच + इ, बी = इ + ——, सी = एच + इ + ——, (3)
2एच 2एच

सभी संयोजन नहीं एचऔर इपायथागॉरियन त्रिकोण के अनुरूप हो सकता है। किसी प्रदत्त के लिए एचसंभावित मान इकिसी संख्या का गुणनफल है डी. यह नंबर डीविकास कहा जाता है और संदर्भित करता है एचइस अनुसार: डीसबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिसका वर्ग 2 से विभाज्य है एच. क्योंकि इएकाधिक डी, तो इसे लिखा जाता है इ = केडी, कहाँ कएक सकारात्मक पूर्णांक है।

जोड़े की मदद से ( क,एच) आप निम्नानुसार गैर-आदिम और सामान्यीकृत समेत सभी पायथागॉरियन त्रिकोण उत्पन्न कर सकते हैं:

(डीके) 2 (डीके) 2
ए = एच + डीके, बी = डीके + ——, सी = एच + डीके + ——, (4)
2एच 2एच

इसके अलावा, एक ट्रिपल आदिम है अगर कऔर एचकोप्राइम हैं और यदि एच =± क्यू 2 पर क्यू- अयुग्मित।
इसके अलावा, यह बिल्कुल पायथागॉरियन ट्रिपल होगा यदि क> √2 एच/डीऔर एच > 0.

ढूँढ़ने के लिए कऔर एचसे ( ए,बी,सी) निम्न कार्य करें:

• एच = सी − बी;
• लिखो एचकैसे एच = पी क्यू 2, जहां पी> 0 और ऐसा जो वर्ग नहीं है;
• डी = 2पी क्यूअगर पी- अयुग्मित और डी = पी क्यू, अगर पी बनती है;
• क = (ए − एच)/डी.

उदाहरण के लिए, ट्रिपल (8,15,17) के लिए हमारे पास है एच= 17−15 = 2 1, अतः पी= 2 और क्यू = 1, डी= 2, और क= (8 - 2)/2 = 3. तो यह ट्रिपल इस प्रकार दिया गया है ( क,एच) = (3,2).

ट्रिपल (459,1260,1341) के लिए हमारे पास है एच= 1341 − 1260 = 81, इसलिए पी = 1, क्यू= 9 और डी= 18, इसलिए क= (459 − 81)/18 = 21, अतः इस त्रिक का कूट है ( क,एच) = (21, 81).

के साथ ट्रिपल निर्दिष्ट करना एचऔर ककई दिलचस्प गुण हैं। पैरामीटर कके बराबर होती है

क = 4एस/(डी पी), (5)

कहाँ एस = अब/2 त्रिभुज का क्षेत्रफल है, और पी = ए + बी + सीइसकी परिधि है। यह समानता से आता है ईपी = 4एस, जो पायथागॉरियन प्रमेय से आता है।

एक समकोण त्रिभुज के लिए इत्रिभुज में अंकित वृत्त के व्यास के बराबर है। यह इस तथ्य से आता है कि कर्ण साथ = (ए − आर)+(बी − आर) = ए + बी − 2आर, कहाँ आरवृत्त की त्रिज्या है। यहाँ से एच = सी − बी = ए − 2आरऔर इ = ए − एच = 2आर.

के लिए एच> 0 और क > 0, कत्रिक की क्रमिक संख्या है ए-बी-सीबढ़ते हुए पाइथागोरस त्रिभुजों के क्रम में एच. तालिका 2 से, जो जोड़े द्वारा उत्पन्न ट्रिपलेट के लिए कई विकल्प दिखाती है एच, क, यह देखा जा सकता है कि वृद्धि के साथ कत्रिभुज की भुजाएँ बढ़ती हैं। इस प्रकार, शास्त्रीय नंबरिंग के विपरीत, जोड़े में नंबरिंग एच, कत्रिक के क्रम में उच्च क्रम है।

तालिका 2. जोड़े एच, के द्वारा उत्पन्न पायथागॉरियन ट्रिपल।

एच	क	ए	बी	सी	एच	क	ए	बी	सी
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

के लिए एच > 0, डीअसमानता 2√ को संतुष्ट करता है एच ≤ डी ≤ 2एच, जिसमें निचली सीमा पर पहुँच जाता है पी= 1, और ऊपर वाला, at क्यू= 1. इसलिए, मान डी 2√ के संबंध में एचकितना है इसका एक पैमाना है एचकिसी संख्या के वर्ग से दूर।

गुण

समीकरण के बाद से एक्स 2 + वाई 2 = जेड 2 सजातीय, जब गुणा किया जाता है एक्स , वाईऔर जेडसमान संख्या के लिए आपको एक और पायथागॉरियन ट्रिपल मिलता है। पाइथागोरस त्रिक कहा जाता है प्राचीन, अगर इसे इस तरह से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, तो वह है - अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ।

उदाहरण

कुछ पायथागॉरियन ट्रिपल (अधिकतम संख्या के आरोही क्रम में क्रमबद्ध, आदिम वाले हाइलाइट किए गए हैं):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

फाइबोनैचि संख्याओं के गुणों के आधार पर, आप उन्हें बना सकते हैं, उदाहरण के लिए, ऐसे पायथागॉरियन ट्रिपल:

.

कहानी

पायथागॉरियन ट्रिपल बहुत लंबे समय से ज्ञात हैं। प्राचीन मेसोपोटामिया के मकबरे की वास्तुकला में, एक समद्विबाहु त्रिभुज पाया जाता है, जो 9, 12 और 15 हाथ की भुजाओं वाले दो आयताकारों से बना होता है। फिरौन स्नेफ्रू (XXVII सदी ईसा पूर्व) के पिरामिड 20, 21 और 29 के साथ-साथ 18, 24 और 30 दसियों मिस्र के हाथ के त्रिकोणों का उपयोग करके बनाए गए थे।

यह सभी देखें

लिंक

• ई ए गोरिनपायथागॉरियन ट्रिपल्स में अभाज्य संख्याओं की शक्तियाँ // गणितीय शिक्षा. - 2008. - वी. 12. - एस. 105-125।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010।

अन्य शब्दकोशों में देखें "पाइथागोरस संख्याएँ" क्या हैं:

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पुस्तकें

• आर्किमिडीयन समर, या युवा गणितज्ञों के समुदाय का इतिहास। बाइनरी संख्या प्रणाली, बोब्रोव सर्गेई पावलोविच। बाइनरी नंबर सिस्टम, "टॉवर ऑफ हनोई", नाइट्स मूव, मैजिक स्क्वेयर, अंकगणितीय त्रिकोण, कर्ली संख्याएं, संयोजन, संभावनाओं की अवधारणा, मोबियस स्ट्रिप और क्लेन बोतल।…

» वारविक विश्वविद्यालय में गणित के सम्मानित प्रोफेसर, विज्ञान के प्रसिद्ध लोकप्रियकर्ता इयान स्टीवर्ट, मानव जाति के इतिहास में संख्याओं की भूमिका और हमारे समय में उनके अध्ययन की प्रासंगिकता के लिए समर्पित हैं।

पायथागॉरियन कर्ण

पायथागॉरियन त्रिभुजों में एक समकोण और पूर्णांक भुजाएँ होती हैं। उनमें से सबसे सरल में, सबसे लंबी भुजा की लंबाई 5 है, शेष 3 और 4 हैं। कुल 5 नियमित पॉलीहेड्रा हैं। पांचवीं डिग्री के समीकरण को पांचवीं डिग्री की जड़ों - या किसी अन्य जड़ों से हल नहीं किया जा सकता है। विमान में और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में जाली में पांच-लोब घूर्णी समरूपता नहीं होती है, इसलिए, ऐसी समरूपता क्रिस्टल में भी अनुपस्थित होती है। हालांकि, वे चार-आयामी अंतरिक्ष में और दिलचस्प संरचनाओं में जाली में हो सकते हैं जिन्हें क्वासिक क्रिस्टल के रूप में जाना जाता है।

सबसे छोटे पायथागॉरियन ट्रिपल का कर्ण

पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा (कुख्यात कर्ण) इस त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के साथ बहुत ही सरल और सुंदर तरीके से संबंध स्थापित करती है: कर्ण का वर्ग दूसरे के वर्गों के योग के बराबर होता है दो पक्षों।

परंपरागत रूप से, हम इस प्रमेय को पाइथागोरस के बाद कहते हैं, लेकिन वास्तव में इसका इतिहास अस्पष्ट है। मिट्टी की गोलियों से पता चलता है कि प्राचीन बेबीलोन के लोग पाइथागोरस प्रमेय को पाइथागोरस से बहुत पहले जानते थे; खोजकर्ता की महिमा उन्हें पाइथागोरस के गणितीय पंथ द्वारा लाई गई थी, जिनके समर्थकों का मानना ​​​​था कि ब्रह्मांड संख्यात्मक पैटर्न पर आधारित था। प्राचीन लेखकों ने पाइथागोरस को जिम्मेदार ठहराया - और इसलिए पाइथागोरस को - विभिन्न प्रकार के गणितीय प्रमेय, लेकिन वास्तव में हमें पता नहीं है कि पाइथागोरस खुद किस तरह के गणित में लगे हुए थे। हम यह भी नहीं जानते हैं कि क्या पाइथागोरस पायथागॉरियन प्रमेय को सिद्ध कर सकते थे, या यदि वे केवल यह मानते थे कि यह सत्य है। या, अधिक संभावना है, उनके पास इसकी सच्चाई के बारे में ठोस आंकड़े थे, जो कि आज हम सबूत मानते हैं, इसके लिए पर्याप्त नहीं होगा।

पाइथागोरस के साक्ष्य

पाइथागोरस प्रमेय का पहला ज्ञात प्रमाण यूक्लिड के तत्वों में पाया जाता है। यह एक ड्राइंग का उपयोग करके एक जटिल प्रमाण है जिसे विक्टोरियन स्कूली बच्चे तुरंत "पाइथागोरियन पैंट" के रूप में पहचान लेंगे; ड्राइंग वास्तव में रस्सी पर सूखने वाले जांघिया जैसा दिखता है। शाब्दिक रूप से सैकड़ों अन्य प्रमाण ज्ञात हैं, जिनमें से अधिकांश अभिकथन को अधिक स्पष्ट करते हैं।

// चावल। 33. पायथागॉरियन पैंट

सबसे सरल प्रमाणों में से एक एक प्रकार की गणितीय पहेली है। कोई भी समकोण त्रिभुज लीजिए, उसकी चार प्रतियाँ बनाइए और उन्हें वर्ग के अंदर एकत्रित कीजिए। एक बिछाने के साथ, हम कर्ण पर एक वर्ग देखते हैं; दूसरे के साथ - त्रिभुज के अन्य दो पक्षों पर वर्ग। यह स्पष्ट है कि दोनों स्थितियों में क्षेत्रफल बराबर हैं।

// चावल। 34. बायां: कर्ण पर वर्ग (प्लस चार त्रिकोण)। दाएं: अन्य दो पक्षों पर वर्गों का योग (साथ ही चार त्रिकोण)। अब त्रिभुजों को हटा दें

पेरिगल का विच्छेदन साक्ष्य का एक और पहेली टुकड़ा है।

// चावल। 35. पेरिगल का विच्छेदन

विमान पर स्टैकिंग वर्गों का उपयोग करते हुए प्रमेय का प्रमाण भी है। शायद इसी तरह पाइथागोरस या उनके अज्ञात पूर्ववर्तियों ने इस प्रमेय की खोज की। यदि आप देखते हैं कि तिरछा वर्ग अन्य दो वर्गों को कैसे ओवरलैप करता है, तो आप देख सकते हैं कि बड़े वर्ग को टुकड़ों में कैसे काटा जाए और फिर उन्हें दो छोटे वर्गों में एक साथ रखा जाए। आप समकोण त्रिभुज भी देख सकते हैं, जिसकी भुजाएँ शामिल तीन वर्गों के आयाम देती हैं।

// चावल। 36. पाश करके उपपत्ति

त्रिकोणमिति में समान त्रिभुजों का उपयोग करने वाले रोचक प्रमाण हैं। कम से कम पचास विभिन्न प्रमाण ज्ञात हैं।

पाइथागोरस त्रिक

संख्या सिद्धांत में, पाइथागोरस प्रमेय एक उपयोगी विचार का स्रोत बन गया: बीजगणितीय समीकरणों के पूर्णांक समाधान खोजने के लिए। एक पायथागॉरियन ट्रिपल पूर्णांक ए, बी और सी का एक सेट है जैसे कि

ज्यामितीय रूप से, ऐसा त्रिक पूर्णांक भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज को परिभाषित करता है।

पायथागॉरियन ट्रिपल का सबसे छोटा कर्ण 5 है।

इस त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ 3 और 4 हैं। यहाँ

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

अगला सबसे बड़ा कर्ण 10 है क्योंकि

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

हालाँकि, यह अनिवार्य रूप से एक ही त्रिभुज है जिसमें दोगुनी भुजाएँ हैं। अगला सबसे बड़ा और वास्तव में भिन्न कर्ण 13 है, जिसके लिए

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

यूक्लिड जानता था कि पाइथागोरस के त्रिगुणों की अनंत विविधताएँ हैं, और उसने वह दिया जिसे उन सभी को खोजने के लिए एक सूत्र कहा जा सकता है। बाद में, अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस ने एक साधारण नुस्खा पेश किया, जो मूल रूप से यूक्लिडियन के समान था।

कोई भी दो प्राकृतिक संख्याएँ लें और गणना करें:

उनका दोहरा उत्पाद;

उनके वर्गों का अंतर;

उनके वर्गों का योग।

तीन परिणामी संख्याएँ पाइथागोरस त्रिभुज की भुजाएँ होंगी।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 2 और 1 लें। गणना करें:

दोहरा उत्पाद: 2 × 2 × 1 = 4;

वर्गों का अंतर: 22 - 12 = 3;

वर्गों का योग: 22 + 12 = 5,

और हमें प्रसिद्ध 3-4-5 त्रिभुज मिला। यदि हम इसके स्थान पर संख्या 3 और 2 लेते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

दोहरा उत्पाद: 2 × 3 × 2 = 12;

वर्गों का अंतर: 32 - 22 = 5;

वर्गों का योग: 32 + 22 = 13,

और हमें अगला प्रसिद्ध त्रिकोण 5 - 12 - 13 मिलता है। आइए संख्या 42 और 23 लेने की कोशिश करें और प्राप्त करें:

दोहरा उत्पाद: 2 × 42 × 23 = 1932;

वर्गों का अंतर: 422 - 232 = 1235;

वर्गों का योग: 422 + 232 = 2293,

त्रिकोण 1235-1932-2293 के बारे में किसी ने कभी नहीं सुना।

लेकिन ये नंबर काम भी करते हैं:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

डायोफैंटाइन नियम में एक और विशेषता है जिसे पहले ही संकेत दिया जा चुका है: तीन नंबर प्राप्त करने के बाद, हम एक और मनमानी संख्या ले सकते हैं और उन सभी को इससे गुणा कर सकते हैं। इस प्रकार, एक 3-4-5 त्रिभुज को 6-8-10 त्रिभुज में सभी पक्षों को 2 से गुणा करके, या 15-20-25 त्रिभुज में सभी को 5 से गुणा करके बदला जा सकता है।

यदि हम बीजगणित की भाषा में स्विच करते हैं, तो नियम निम्न रूप लेता है: मान लीजिए u, v और k प्राकृतिक संख्याएँ हैं। फिर पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज

2kuv और k (u2 - v2) में एक कर्ण है

मुख्य विचार को प्रस्तुत करने के अन्य तरीके हैं, लेकिन वे सभी ऊपर वर्णित एक तक ही सीमित हैं। यह विधि आपको सभी पायथागॉरियन ट्रिपल प्राप्त करने की अनुमति देती है।

नियमित पॉलीहेड्रा

ठीक पाँच नियमित पॉलीहेड्रा हैं। एक नियमित पॉलीहेड्रॉन (या पॉलीहेड्रॉन) एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें फ्लैट चेहरों की सीमित संख्या होती है। पहलू किनारों नामक रेखाओं पर एक दूसरे के साथ अभिसरित होते हैं; किनारे बिन्दुओं पर मिलते हैं जिन्हें शीर्ष कहते हैं।

यूक्लिडियन "सिद्धांतों" की परिणति इस बात का प्रमाण है कि केवल पाँच नियमित पॉलीहेड्रा हो सकते हैं, यानी पॉलीहेड्रा जिसमें प्रत्येक चेहरा एक नियमित बहुभुज (समान भुजाएँ, समान कोण) हो, सभी चेहरे समान हों, और सभी कोने घिरे हों समान दूरी वाले चेहरों की समान संख्या से। यहाँ पाँच नियमित बहुफलक हैं:

टेट्राहेड्रॉन चार त्रिकोणीय चेहरे, चार कोने और छह किनारों के साथ;

घन, या षट्भुज, 6 वर्ग फलकों, 8 शीर्षों और 12 किनारों के साथ;

8 त्रिकोणीय फलक, 6 शीर्ष और 12 किनारों वाला अष्टफलक;

द्वादशफ़लक 12 पंचकोणीय फलकों, 20 शीर्षों और 30 किनारों के साथ;

20 त्रिकोणीय चेहरों, 12 कोने और 30 किनारों के साथ आईकोसाहेड्रॉन।

// चावल। 37. पांच नियमित पॉलीहेड्रा

प्रकृति में नियमित पॉलीहेड्रा भी पाया जा सकता है। 1904 में, अर्न्स्ट हेकेल ने छोटे जीवों के चित्र प्रकाशित किए जिन्हें रेडिओलेरियन कहा जाता है; उनमें से कई समान पांच नियमित पॉलीहेड्रा के आकार के हैं। शायद, हालाँकि, उन्होंने प्रकृति को थोड़ा ठीक किया, और चित्र विशिष्ट जीवित प्राणियों के आकार को पूरी तरह से प्रतिबिंबित नहीं करते हैं। क्रिस्टल में पहली तीन संरचनाएं भी देखी जाती हैं। आपको क्रिस्टल में डोडकाहेड्रॉन और आईकोसाहेड्रॉन नहीं मिलेगा, हालांकि अनियमित डोडकाहेड्रॉन और आईकोसाहेड्रॉन कभी-कभी वहां आते हैं। ट्रू डोडेकेहेड्रोन क्वैसिक क्रिस्टल के रूप में प्रकट हो सकते हैं, जो हर तरह से क्रिस्टल की तरह होते हैं, सिवाय इसके कि उनके परमाणु आवधिक जाली नहीं बनाते हैं।

// चावल। 38. हेकेल द्वारा चित्र: नियमित पॉलीहेड्रा के रूप में रेडिओलेरियन

// चावल। 39. नियमित पॉलीहेड्रा का विकास

पहले परस्पर जुड़े चेहरों के एक सेट को काटकर कागज से नियमित पॉलीहेड्रा के मॉडल बनाना दिलचस्प हो सकता है - इसे पॉलीहेड्रॉन स्वीप कहा जाता है; स्कैन को किनारों के साथ मोड़ा जाता है और संबंधित किनारों को आपस में चिपका दिया जाता है। इस तरह के प्रत्येक जोड़े के किनारों में से एक में गोंद के लिए एक अतिरिक्त क्षेत्र जोड़ना उपयोगी होता है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 39. यदि ऐसा कोई मंच नहीं है, तो आप चिपकने वाली टेप का उपयोग कर सकते हैं।

पांचवीं डिग्री का समीकरण

पाँचवीं डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए कोई बीजगणितीय सूत्र नहीं है।

सामान्य तौर पर, पाँचवीं डिग्री का समीकरण इस तरह दिखता है:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0।

समस्या इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र खोजने की है (इसमें पाँच समाधान तक हो सकते हैं)। द्विघात और घन समीकरणों के साथ-साथ चौथी डिग्री के समीकरणों के साथ अनुभव बताता है कि इस तरह के सूत्र को पांचवें डिग्री के समीकरणों के लिए भी मौजूद होना चाहिए, और सिद्धांत रूप में, पांचवीं, तीसरी और दूसरी डिग्री की जड़ें दिखाई देनी चाहिए यह। फिर से, कोई सुरक्षित रूप से यह मान सकता है कि यदि ऐसा कोई सूत्र मौजूद है, तो यह बहुत ही जटिल होगा।

यह धारणा अंततः गलत निकली। वास्तव में, ऐसा कोई सूत्र मौजूद नहीं है; कम से कम ए, बी, सी, डी, ई और एफ के गुणांक से मिलकर कोई सूत्र नहीं है, जो जोड़, घटाव, गुणा और भाग के साथ-साथ जड़ों को लेकर बना है। इसलिए अंक 5 में कुछ बहुत ही खास है। पांचों के इस असामान्य व्यवहार के कारण बहुत गहरे हैं और उन्हें समझने में काफी समय लगा।

किसी समस्या का पहला संकेत यह था कि गणितज्ञों ने इस तरह के फॉर्मूले को खोजने की कितनी भी कोशिश की हो, चाहे वे कितने ही स्मार्ट क्यों न हों, वे हमेशा असफल रहे। कुछ समय के लिए, सभी का मानना ​​​​था कि सूत्र की अविश्वसनीय जटिलता में कारण निहित हैं। ऐसा माना जाता था कि कोई भी इस बीजगणित को ठीक से समझ नहीं सकता था। हालाँकि, समय के साथ, कुछ गणितज्ञों को संदेह होने लगा कि ऐसा कोई सूत्र मौजूद भी है, और 1823 में नील्स हेंड्रिक एबेल इसके विपरीत साबित करने में सक्षम थे। ऐसा कोई सूत्र नहीं है। इसके तुरंत बाद, एवरिस्ट गैलोइस ने यह निर्धारित करने का एक तरीका खोजा कि क्या एक डिग्री या दूसरे का समीकरण - 5वां, 6वां, 7वां, आम तौर पर कोई भी - इस तरह के सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

इस सब से निष्कर्ष सरल है: संख्या 5 विशेष है। आप 1, 2, 3, और 4 की घातों के लिए बीजगणितीय समीकरणों (n के विभिन्न मानों के लिए nवें मूलों का उपयोग करके) को हल कर सकते हैं, लेकिन 5 की घातों के लिए नहीं। यहीं पर स्पष्ट पैटर्न समाप्त होता है।

किसी को आश्चर्य नहीं है कि 5 से अधिक शक्तियों के समीकरण और भी बदतर व्यवहार करते हैं; विशेष रूप से, उनके साथ एक ही कठिनाई जुड़ी हुई है: उनके समाधान के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं हैं। इसका अर्थ यह नहीं है कि समीकरणों का कोई हल नहीं है; इसका मतलब यह भी नहीं है कि इन समाधानों के बहुत सटीक संख्यात्मक मान प्राप्त करना असंभव है। यह पारंपरिक बीजगणित उपकरणों की सीमाओं के बारे में है। यह रूलर और कम्पास के साथ कोण को त्रिविभाजित करने की असंभवता की याद दिलाता है। एक उत्तर है, लेकिन सूचीबद्ध तरीके पर्याप्त नहीं हैं और आपको यह निर्धारित करने की अनुमति नहीं देते हैं कि यह क्या है।

क्रिस्टलोग्राफिक सीमा

दो और तीन आयामों में क्रिस्टल में 5-बीम घूर्णी समरूपता नहीं होती है।

एक क्रिस्टल में परमाणु एक जाली बनाते हैं, यानी एक संरचना जो समय-समय पर कई स्वतंत्र दिशाओं में दोहराती है। उदाहरण के लिए, वॉलपेपर पर पैटर्न रोल की लंबाई के साथ दोहराया जाता है; इसके अलावा, यह आमतौर पर क्षैतिज दिशा में दोहराया जाता है, कभी-कभी वॉलपेपर के एक टुकड़े से दूसरे में बदलाव के साथ। अनिवार्य रूप से, वॉलपेपर एक द्वि-आयामी क्रिस्टल है।

प्लेन पर वॉलपेपर पैटर्न की 17 किस्में हैं (अध्याय 17 देखें)। वे समरूपता के प्रकारों में भिन्न होते हैं, अर्थात्, पैटर्न को कठोर रूप से स्थानांतरित करने के तरीकों में ताकि यह अपनी मूल स्थिति में बिल्कुल अपने आप में हो। समरूपता के प्रकारों में, विशेष रूप से, घूर्णी समरूपता के विभिन्न रूप शामिल हैं, जहाँ पैटर्न को एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक निश्चित कोण के माध्यम से घुमाया जाना चाहिए - समरूपता का केंद्र।

रोटेशन की समरूपता का क्रम यह है कि आप कितनी बार शरीर को एक पूर्ण चक्र में घुमा सकते हैं ताकि चित्र के सभी विवरण अपनी मूल स्थिति में लौट आएं। उदाहरण के लिए, 90° का घूर्णन चौथा क्रम घूर्णन सममिति* है। क्रिस्टल जाली में संभावित प्रकार की घूर्णी समरूपता की सूची फिर से संख्या 5 की असामान्यता की ओर इशारा करती है: यह वहाँ नहीं है। दूसरे, तीसरे, चौथे और छठे क्रम के घूर्णी समरूपता वाले वेरिएंट हैं, लेकिन किसी भी वॉलपेपर पैटर्न में 5वें क्रम की घूर्णी समरूपता नहीं है। क्रिस्टल में 6 से अधिक क्रम की कोई घूर्णी समरूपता नहीं है, लेकिन अनुक्रम का पहला उल्लंघन अभी भी संख्या 5 पर होता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में क्रिस्टलोग्राफिक सिस्टम के साथ भी ऐसा ही होता है। यहाँ जाली स्वयं को तीन स्वतंत्र दिशाओं में दोहराती है। समरूपता के 219 विभिन्न प्रकार हैं, या 230 यदि हम पैटर्न के दर्पण प्रतिबिंब को इसके एक अलग संस्करण के रूप में मानते हैं - इसके अलावा, इस मामले में कोई दर्पण समरूपता नहीं है। पुनः, क्रम 2, 3, 4, और 6 की घूर्णी सममितियाँ देखी जाती हैं, लेकिन 5 नहीं। इस तथ्य को क्रिस्टलोग्राफिक बाधा कहा जाता है।

चार-आयामी अंतरिक्ष में, 5 वें क्रम की समरूपता वाले जाली मौजूद हैं; सामान्य तौर पर, पर्याप्त रूप से उच्च आयाम वाले जाली के लिए, घूर्णी समरूपता का कोई भी पूर्व निर्धारित क्रम संभव है।

// चावल। 40. टेबल नमक की क्रिस्टल जाली। डार्क बॉल्स सोडियम परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, लाइट बॉल्स क्लोरीन परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

क्वासिक क्रिस्टल

जबकि 2डी और 3डी जाली में 5वें क्रम की घूर्णी समरूपता संभव नहीं है, यह क्वासिक क्रिस्टल के रूप में जानी जाने वाली थोड़ी कम नियमित संरचनाओं में मौजूद हो सकती है। केप्लर के रेखाचित्रों का उपयोग करते हुए, रोजर पेनरोज़ ने पांच गुना समरूपता के अधिक सामान्य प्रकार के साथ फ्लैट सिस्टम की खोज की। उन्हें क्वासिक क्रिस्टल कहा जाता है।

क्वासिक क्रिस्टल प्रकृति में मौजूद हैं। 1984 में, डैनियल शेचमैन ने पाया कि एल्यूमीनियम और मैंगनीज का एक मिश्र धातु अर्ध-क्रिस्टल बना सकता है; प्रारंभ में, क्रिस्टलोग्राफर्स ने उनके संदेश को कुछ संदेह के साथ अभिवादन किया, लेकिन बाद में इस खोज की पुष्टि हुई और 2011 में शेख्टमैन को रसायन विज्ञान में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया। 2009 में, लुका बिंदी के नेतृत्व में वैज्ञानिकों की एक टीम ने रूसी कोर्यक हाइलैंड्स के एक खनिज में अर्ध-क्रिस्टल की खोज की - एल्यूमीनियम, तांबे और लोहे का एक यौगिक। आज इस खनिज को आईकोसाहेड्राइट कहा जाता है। मास स्पेक्ट्रोमीटर के साथ खनिज में विभिन्न ऑक्सीजन समस्थानिकों की सामग्री को मापकर, वैज्ञानिकों ने दिखाया कि यह खनिज पृथ्वी पर उत्पन्न नहीं हुआ था। यह लगभग 4.5 बिलियन साल पहले बना था, उस समय जब सौर मंडल अभी उभर रहा था, और अपना अधिकांश समय क्षुद्रग्रह बेल्ट में, सूर्य की परिक्रमा करते हुए बिताया, जब तक कि किसी प्रकार की गड़बड़ी ने इसकी कक्षा को बदल नहीं दिया और अंततः इसे पृथ्वी पर लाया।

// चावल। 41. वाम: सटीक पांच गुना समरूपता के साथ दो अर्ध-क्रिस्टलीय जाली में से एक। दाएं: आइकोसाहेड्रल एल्युमीनियम-पैलेडियम-मैंगनीज क्वासिक क्रिस्टल का परमाणु मॉडल