शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ. अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना

कोई भी भाषा समान जानकारी व्यक्त कर सकती है अलग-अलग शब्दों मेंऔर क्रांतियाँ. गणितीय भाषा कोई अपवाद नहीं है. लेकिन एक ही अभिव्यक्ति को समान रूप से अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है। और कुछ स्थितियों में, प्रविष्टियों में से एक सरल होती है। इस पाठ में हम भावों को सरल बनाने के बारे में बात करेंगे।

लोग संवाद करते हैं विभिन्न भाषाएं. हमारे लिए, एक महत्वपूर्ण तुलना "रूसी भाषा - गणितीय भाषा" जोड़ी है। एक ही जानकारी विभिन्न भाषाओं में संप्रेषित की जा सकती है। लेकिन इसके अलावा इसे एक ही भाषा में अलग-अलग तरह से उच्चारित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: "पेट्या वास्या की दोस्त है", "वास्या पेट्या की दोस्त है", "पेट्या और वास्या दोस्त हैं"। अलग-अलग कहा, लेकिन बात एक ही है। इनमें से किसी भी वाक्यांश से हम समझ जाएंगे कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।

आइए इस वाक्यांश को देखें: "लड़का पेट्या और लड़का वास्या दोस्त हैं।" हम समझते हैं कि हमारा क्या मतलब है हम बात कर रहे हैं. हालाँकि, हमें इस वाक्यांश की ध्वनि पसंद नहीं है। क्या हम इसे सरल नहीं बना सकते, वही बात नहीं कह सकते, लेकिन सरल? "लड़का और लड़का" - आप एक बार कह सकते हैं: "लड़के पेट्या और वास्या दोस्त हैं।"

"लड़के"... क्या उनके नाम से यह स्पष्ट नहीं है कि वे लड़कियाँ नहीं हैं? हम "लड़कों" को हटाते हैं: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" और "मित्र" शब्द को "मित्र" से बदला जा सकता है: "पेट्या और वास्या मित्र हैं।" परिणामस्वरूप, पहले, लंबे, बदसूरत वाक्यांश को एक समकक्ष कथन से बदल दिया गया जो कहने में आसान और समझने में आसान है। हमने इस वाक्यांश को सरल बना दिया है. सरलीकरण का अर्थ है किसी बात को अधिक सरलता से कहना, लेकिन अर्थ को खोना या बिगाड़ना नहीं।

गणितीय भाषा में कहें तो लगभग यही बात होती है. एक ही बात को अलग-अलग तरीके से कहा, लिखा जा सकता है। किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाने का क्या मतलब है? इसका मतलब यह है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए कई समकक्ष अभिव्यक्तियाँ हैं, यानी जिनका मतलब एक ही है। और इस सारी विविधता में से, हमारी राय में, हमें सबसे सरल या हमारे भविष्य के उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त चुनना होगा।

उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति पर विचार करें। के बराबर होगा.

यह भी पहले दो के बराबर होगा: .

यह पता चला है कि हमने अपनी अभिव्यक्तियों को सरल बना लिया है और सबसे छोटी समकक्ष अभिव्यक्ति ढूंढ ली है।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के लिए, आपको हमेशा सब कुछ करने और एकल संख्या के रूप में समतुल्य अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता होती है।

आइए शाब्दिक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण देखें . जाहिर है, यह आसान होगा.

शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय सभी संभव क्रियाएं करना आवश्यक है।

क्या किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाना हमेशा आवश्यक होता है? नहीं, कभी-कभी हमारे लिए समतुल्य लेकिन लंबी प्रविष्टि रखना अधिक सुविधाजनक होगा।

उदाहरण: आपको एक संख्या में से एक संख्या घटानी होगी।

गणना करना संभव है, लेकिन यदि पहली संख्या को इसके समकक्ष संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है:, तो गणना तात्कालिक होगी:।

यानी आगे की गणना के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति हमेशा हमारे लिए फायदेमंद नहीं होती है।

फिर भी, अक्सर हमें ऐसे कार्य का सामना करना पड़ता है जो बस "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं" जैसा लगता है।

अभिव्यक्ति को सरल कीजिये: .

समाधान

1) पहले और दूसरे कोष्ठक में क्रियाएँ करें:।

2) आइए उत्पादों की गणना करें: .

जाहिर है, अंतिम अभिव्यक्ति का रूप प्रारंभिक की तुलना में सरल है। हमने इसे सरल बनाया है.

अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, इसे समकक्ष (बराबर) से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

आपको आवश्यक समतुल्य अभिव्यक्ति निर्धारित करने के लिए:

1) सभी संभव कार्य करें,

2) गणना को सरल बनाने के लिए जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करें।

जोड़ और घटाव के गुण:

1. जोड़ का क्रमविनिमेय गुण: पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है।

2. जोड़ का संयुक्त गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए आप दूसरी और तीसरी संख्या का योग पहली संख्या में जोड़ सकते हैं।

3. किसी संख्या से योग घटाने का गुण: किसी संख्या से योग घटाने के लिए, आप प्रत्येक पद को अलग-अलग घटा सकते हैं।

गुणा और भाग के गुण

1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने से गुणनफल नहीं बदलता है।

2. संयोजन गुण: किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले कारक से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी उत्पाद को दूसरे कारक से गुणा कर सकते हैं।

3. गुणन का वितरणात्मक गुण: किसी संख्या को किसी योग से गुणा करने के लिए, आपको इसे प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा करना होगा।

आइए देखें कि हम वास्तव में मानसिक गणना कैसे करते हैं।

गणना करें:

समाधान

1) आइए कल्पना करें कैसे

2) आइए पहले कारक को बिट पदों के योग के रूप में कल्पना करें और गुणन करें:

3) आप कल्पना कर सकते हैं कि गुणा कैसे और कैसे किया जाता है:

4) पहले गुणनखंड को समतुल्य योग से बदलें:

वितरणात्मक कानून का भी उपयोग किया जा सकता है विपरीत पक्ष: .

इन चरणों का पालन करें:

1) 2)

समाधान

1) सुविधा के लिए, आप वितरण नियम का उपयोग कर सकते हैं, इसे केवल विपरीत दिशा में उपयोग करें - सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें।

2) आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें

रसोई और दालान के लिए लिनोलियम खरीदना आवश्यक है। रसोई क्षेत्र - , दालान - . लिनोलियम तीन प्रकार के होते हैं: के लिए, और रूबल के लिए। प्रत्येक की लागत कितनी होगी? तीन प्रकारलिनोलियम? (चित्र .1)

चावल। 1. समस्या कथन के लिए चित्रण

समाधान

विधि 1. आप अलग से पता लगा सकते हैं कि रसोई के लिए लिनोलियम खरीदने में कितना पैसा लगेगा, और फिर इसे दालान में रख दें और परिणामी उत्पादों को जोड़ दें।

पाठ की शुरुआत में हम वर्गमूलों के मूल गुणों की समीक्षा करेंगे, और फिर हम कई पर गौर करेंगे जटिल उदाहरणवर्गमूल वाले व्यंजकों को सरल बनाने के लिए।

विषय:समारोह. गुण वर्गमूल

पाठ:अधिक जटिल अभिव्यक्तियों को मूलों के साथ परिवर्तित और सरल बनाना

1. वर्गमूलों के गुणों की समीक्षा

आइए हम संक्षेप में सिद्धांत को दोहराएं और वर्गमूलों के मूल गुणों को याद करें।

वर्गमूलों के गुण:

1. इसलिए, ;

3. ;

4. .

2. जड़ों के साथ भावों को सरल बनाने के उदाहरण

आइए इन गुणों के उपयोग के उदाहरणों पर आगे बढ़ें।

उदाहरण 1: एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

समाधान। सरल बनाने के लिए, संख्या 120 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाना चाहिए:

हम उचित सूत्र का उपयोग करके योग का वर्ग प्रकट करेंगे:

उदाहरण 2: एक व्यंजक को सरल बनाएं .

समाधान। आइए ध्यान रखें कि यह अभिव्यक्ति चर के सभी संभावित मूल्यों के लिए कोई मतलब नहीं रखती है, क्योंकि इस अभिव्यक्ति में वर्गमूल और अंश शामिल हैं, जो अनुमेय मूल्यों की सीमा को "संकुचित" करता है। ओडीजेड: ().

आइए कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को सामान्य हर में लाएँ और अंतिम भिन्न के अंश को वर्गों के अंतर के रूप में लिखें:

उत्तर। पर।

उदाहरण 3: एक व्यंजक को सरल बनाएं .

समाधान। यह देखा जा सकता है कि दूसरे अंश कोष्ठक में असुविधाजनक उपस्थिति है और इसे सरल बनाने की आवश्यकता है; आइए समूहीकरण विधि का उपयोग करके इसे कारक बनाने का प्रयास करें।

एक सामान्य गुणनखंड प्राप्त करने में सक्षम होने के लिए, हमने मूलों को गुणनखंडित करके सरल बनाया। आइए परिणामी अभिव्यक्ति को मूल भिन्न में प्रतिस्थापित करें:

भिन्न को कम करने के बाद हम वर्गों के अंतर का फार्मूला लागू करते हैं।

3. अतार्किकता से मुक्ति का एक उदाहरण

उदाहरण 4. अपने आप को हर में अतार्किकता (मूल) से मुक्त करें: ए); बी) ।

समाधान। ए) हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने के लिए, भिन्न के अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी कारक से गुणा करने की मानक विधि का उपयोग किया जाता है (समान अभिव्यक्ति, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ)। यह भिन्न के हर को वर्गों के अंतर से पूरक करने के लिए किया जाता है, जो आपको हर में जड़ों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है। आइए हमारे मामले में ऐसा करें:

बी) समान क्रियाएं करें:

4. एक जटिल मूलांक में एक पूर्ण वर्ग के प्रमाण और पहचान के लिए उदाहरण

उदाहरण 5. समानता सिद्ध करें .

सबूत। आइए वर्गमूल की परिभाषा का उपयोग करें, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दाहिने हाथ की अभिव्यक्ति का वर्ग मूल अभिव्यक्ति के बराबर होना चाहिए:

. आइए योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके कोष्ठक खोलें:

, हमें सही समानता मिली।

सिद्ध किया हुआ।

उदाहरण 6. व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान। इस अभिव्यक्ति को आमतौर पर एक जटिल रेडिकल (जड़ के नीचे जड़) कहा जाता है। में इस उदाहरण मेंआपको एक पूर्ण वर्ग को मूल अभिव्यक्ति से अलग करने का अनुमान लगाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि दो शब्दों में से, यह वर्ग अंतर (अंतर, क्योंकि एक ऋण है) के सूत्र में दोहरे उत्पाद की भूमिका के लिए एक उम्मीदवार है। आइए इसे निम्नलिखित उत्पाद के रूप में लिखें: , फिर किसी एक पद की भूमिका पूर्ण वर्गदावे , और दूसरे की भूमिका के लिए - 1.

आइए इस अभिव्यक्ति को मूल के अंतर्गत प्रतिस्थापित करें।

धारा 5 भाव और समीकरण

इस अनुभाग में आप सीखेंगे:

ü o भाव और उनका सरलीकरण;

ü समानता के गुण क्या हैं;

ü समानता के गुणों के आधार पर समीकरणों को कैसे हल करें;

ü समीकरणों का उपयोग करके किस प्रकार की समस्याओं का समाधान किया जाता है; लंबवत रेखाएँ क्या हैं और उन्हें कैसे बनाया जाता है;

ü किन रेखाओं को समानांतर कहा जाता है और उन्हें कैसे बनाया जाए;

ü निर्देशांक तल क्या है?

ü किसी समतल पर किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे निर्धारित करें;

ü मात्राओं के बीच संबंध का ग्राफ क्या है और इसे कैसे बनाया जाए;

ü अध्ययन की गई सामग्री को व्यवहार में कैसे लागू करें

§ 30. भाव और उनका सरलीकरण

आप पहले से ही जानते हैं कि अक्षर अभिव्यक्ति क्या हैं और जानते हैं कि जोड़ और गुणा के नियमों का उपयोग करके उन्हें कैसे सरल बनाया जाए। उदाहरण के लिए, 2a ∙ (-4बी ) = -8 एबी . परिणामी अभिव्यक्ति में, संख्या -8 को अभिव्यक्ति का गुणांक कहा जाता है।

अभिव्यक्ति करता हैसीडी गुणांक? इसलिए। यह 1 के बराबर है क्योंकिसीडी - 1 ∙ सीडी .

याद रखें कि कोष्ठक वाले किसी व्यंजक को बिना कोष्ठक वाले व्यंजक में परिवर्तित करना कोष्ठक का विस्तार करना कहलाता है। उदाहरण के लिए: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

इस उदाहरण में विपरीत क्रिया सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना है।

समान अक्षर गुणनखंड वाले पद समान पद कहलाते हैं। सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालकर, समान पद उठाए जाते हैं:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

बी एक्स+ 7y - 5.

कोष्ठक खोलने के नियम

1. यदि कोष्ठक के सामने "+" चिन्ह है, तो कोष्ठक खोलने पर, कोष्ठक में शब्दों के चिन्ह संरक्षित रहते हैं;

2. यदि कोष्ठक के सामने “-” चिन्ह हो तो कोष्ठक खोलने पर कोष्ठक में शब्दों के चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाते हैं।

कार्य 1। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

समाधान। 1. कोष्ठक से पहले "+" चिन्ह होता है, इसलिए कोष्ठक खोलने पर सभी पदों के चिन्ह सुरक्षित रहते हैं:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. कोष्ठक से पहले एक "-" चिह्न होता है, इसलिए कोष्ठक खोलते समय: सभी पदों के चिह्न उलट दिए जाते हैं:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

कोष्ठक खोलने के लिए, गुणन के वितरण गुण का उपयोग करें: a(बी + सी ) = एबी + एसी. यदि a > 0, तो पदों के चिह्नबी और साथ मत बदलो. यदि एक< 0, то знаки слагаемых बी और विपरीत में बदलें।

कार्य 2. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 2(6 वर्ष -8) + 7 वर्ष ;

2)-5(2-5x) + 12.

समाधान। 1. कोष्ठक के सामने गुणनखंड 2 धनात्मक है, इसलिए कोष्ठक खोलते समय हम सभी पदों के चिह्न सुरक्षित रखते हैं: 2(6) y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. कोष्ठक के सामने गुणनखंड -5 ऋणात्मक है, इसलिए कोष्ठक खोलते समय, हम सभी पदों के चिह्नों को विपरीत में बदल देते हैं:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x।

और अधिक जानकारी प्राप्त करें

1. शब्द "सम" लैटिन से आया हैसुम्मा , जिसका अर्थ है "कुल", "कुल राशि"।

2. "प्लस" शब्द लैटिन से आया हैप्लस जिसका अर्थ है "अधिक" और "माइनस" शब्द लैटिन से हैऋण "कम" का क्या मतलब है? जोड़ और घटाव की संक्रियाओं को दर्शाने के लिए "+" और "-" चिन्हों का उपयोग किया जाता है। इन संकेतों को चेक वैज्ञानिक जे. विडमैन ने 1489 में "सभी व्यापारियों के लिए एक त्वरित और सुखद खाता" पुस्तक में पेश किया था।(चित्र 138)।

चावल। 138

महत्वपूर्ण बात याद रखें

1. किन शब्दों को समान कहा जाता है? समान पद कैसे बनाये जाते हैं?

2. आप "+" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलते हैं?

3. आप "-" चिह्न से पहले वाले कोष्ठक को कैसे खोलते हैं?

4. आप सकारात्मक कारक से पहले कोष्ठक कैसे खोलते हैं?

5. आप उन कोष्ठकों को कैसे खोलते हैं जिनके पहले कोई नकारात्मक कारक है?

1374"। अभिव्यक्ति के गुणांक का नाम बताइए:

1)12 ए; 3) -5.6 xy;

2)4 6; 4)-एस.

1375"। उन शब्दों के नाम बताइए जो केवल गुणांक द्वारा भिन्न होते हैं:

1) 10ए + 76-26 + ए; 3) 5 एन + 5 एम -4 एन + 4;

2) बीसी -4 डी - बीसी + 4 डी ; 4)5x + 4y-x + y.

इन शर्तों को क्या कहा जाता है?

1376"। क्या अभिव्यक्ति में कोई समान शब्द हैं:

1)11ए+10ए; 3)6 एन + 15 एन ; 5) 25आर - 10आर + 15आर;

2) 14s-12; 4)12 मी + मी ; 6)8 के +10 के - एन ?

1377"। क्या अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलकर कोष्ठक में शब्दों के चिह्नों को बदलना आवश्यक है:

1)4 + (ए+ 3 बी); 2)-सी +(5-डी); 3)16-(5 मीटर -8 एन)?

1378°. व्यंजक को सरल कीजिए और गुणांक को रेखांकित कीजिए:

1379°. व्यंजक को सरल कीजिए और गुणांक को रेखांकित कीजिए:

1380°. समान शब्दों को संयोजित करें:

1) 4ए - पीओ + 6ए - 2ए; 4)10 - 4डी - 12 + 4 डी ;

2) 4 बी - 5 बी + 4 + 5 बी ; 5) 5ए - 12 बी - 7ए + 5 बी;

3)-7 ang='EN-US'>c+ 5-3 c + 2; 6) 14 एन - 12 मीटर -4 एन -3 मीटर।

1381°. समान शब्दों को संयोजित करें:

1) 6ए - 5ए + 8ए -7ए; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 बी +12-8-46; 4) -7 एन + 8 मीटर - 13 एन - 3 मीटर।

1382°. कोष्ठक से सामान्य गुणनखंड निकालें:

1)1.2 ए +1.2 बी; 3) -3 एन - 1.8 मीटर; 5)-5 पी + 2.5 के -0.5 टी ;

2) 0.5 एस + 5 डी; 4) 1.2 एन - 1.8 मीटर; 6) -8आर - 10के - 6टी।

1383°. कोष्ठक से सामान्य गुणनखंड निकालें:

1) 6ए-12 बी; 3) -1.8 एन -3.6 मीटर;

2) -0.2 एस + 1 4 डी ; ए) 3पी - 0.9 के + 2.7 टी।

1384°. कोष्ठक खोलें और समान शब्दों को संयोजित करें;

1) 5 + (4ए -4); 4) -(5 सी - डी) + (4 डी + 5सी);

2) 17x-(4x-5); 5) (एन - एम) - (-2 एम - 3 एन);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. कोष्ठक खोलें और समान शब्दों को संयोजित करें:

1) 10ए + (4 - 4ए); 3) (एस - 5डी) - (- डी + 5सी);

2)-(46-10)+(4-56); 4)-(5 एन + एम) + (-4 एन + 8 एम)-(2 एम -5 एन)।

1386°. कोष्ठक खोलें और अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. कोष्ठक खोलें और अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. कोष्ठक खोलें:

1)0.5 ∙ (ए + 4); 4) (एन - एम) ∙ (-2.4 पी);

2)-एस ∙ (2.7-1.2 डी ); 5)3 ∙ (-1.5 आर + के - 0.2टी);

3) 1.6 ∙ (2 एन + एम); 6) (4.2 पी - 3.5 के -6 टी) ∙ (-2ए)।

1389°. कोष्ठक खोलें:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 सी - डी )∙(-0.5 y );

2) -2 ∙ (1.2 एन - एम); 4)6- (-पी + 0.3 के - 1.2 टी)।

1390. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये:

1391. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये:

1392. समान पदों को कम करें:

1393. समान शब्दों को संयोजित करें:

1394. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये:

1)2.8 - (0.5 ए + 4) - 2.5 ∙ (2ए - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, द्वारा ) + 4.5 ∙ (-6 y - 3.2);

4) (-12.8 मीटर + 24.8 एन) ∙ (-0.5)-(3.5 मीटर -4.05 मीटर) ∙ 2।

1395. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये:

1396. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें;

1) 4-(0.2 ए-3)-(5.8 ए-16), यदि ए = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), यदि = -0.8;

एम = 0.25, एन = 5.7.

1397. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), यदि x = -0.25;

1398*. समाधान में त्रुटि खोजें:

1)5- (ए-2.4)-7 ∙ (-ए+ 1.2) = 5ए - 12-7ए + 8.4 = -2ए-3.6;

2) -4 ∙ (2.3 ए - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3.5 ए) = -9.2 ए + 46 + 4.26 - 14.7 ए = -5.5 ए + 8.26।

1399*. कोष्ठक खोलें और अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 2एबी - 3(6(4ए - 1) - 6(6 - 10ए)) + 76;

1400*. सही समानता प्राप्त करने के लिए कोष्ठकों को व्यवस्थित करें:

1)ए-6-ए + 6 = 2ए; 2) ए -2 बी -2 ए + बी = 3 ए -3 बी।

1401*. इसे किसी भी संख्या a और के लिए सिद्ध करेंबी यदि ए > बी , तो समानता कायम है:

1) (ए + बी) + (ए-बी) = 2ए; 2) (ए + बी) - (ए - बी) = 2 बी।

क्या यह समानता सही होगी यदि: a) a< बी ; बी) ए = 6?

1402*. साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या a के लिए, पिछली और निम्नलिखित संख्याओं का अंकगणितीय माध्य संख्या a के बराबर है।

इसे व्यवहार में लाओ

1403. तीन लोगों के लिए एक फल मिठाई तैयार करने के लिए आपको चाहिए: 2 सेब, 1 संतरा, 2 केले और 1 कीवी। मेहमानों के लिए मिठाई तैयार करने के लिए आवश्यक फलों की मात्रा निर्धारित करने के लिए एक अक्षर अभिव्यक्ति कैसे बनाएं? मारिन को यह गणना करने में मदद करें कि उसे कितने फल खरीदने की आवश्यकता है यदि: 1) 5 दोस्त उससे मिलने आते हैं; 2) 8 दोस्त.

1404. अपना गणित का होमवर्क पूरा करने के लिए आवश्यक समय निर्धारित करने के लिए एक अक्षर अभिव्यक्ति बनाएं यदि:

1) समस्याओं को सुलझाने में एक मिनट खर्च हुआ; 2) समस्याओं को हल करने की तुलना में अभिव्यक्तियों का सरलीकरण 2 गुना अधिक है। इसे पूरा होने में कितना समय लगा गृहकार्यवासिल्को, अगर उसने समस्याओं को सुलझाने में 15 मिनट बिताए?

1405. स्कूल कैफेटेरिया में दोपहर के भोजन में सलाद, बोर्स्ट, पत्तागोभी रोल और कॉम्पोट शामिल होते हैं। सलाद की लागत 20%, बोर्स्ट - 30%, गोभी रोल - 45%, कॉम्पोट - पूरे दोपहर के भोजन की कुल लागत का 5% है। स्कूल कैंटीन में दोपहर के भोजन की लागत जानने के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें। यदि सलाद की कीमत 2 UAH है तो दोपहर के भोजन की लागत कितनी होगी?

समस्याओं की समीक्षा करें

1406. समीकरण हल करें:

1407. तान्या ने आइसक्रीम पर खर्च कियासभी उपलब्ध धन, और कैंडी के लिए -बाकी का। तान्या के पास कितना पैसा बचा है?

यदि कैंडी की कीमत 12 UAH है?

§ 1 शाब्दिक अभिव्यक्ति को सरल बनाने की अवधारणा

इस पाठ में, हम "समान शब्दों" की अवधारणा से परिचित होंगे और, उदाहरणों का उपयोग करके, हम सीखेंगे कि समान शब्दों की कमी कैसे करें, इस प्रकार शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल बनाया जाए।

आइए "सरलीकरण" की अवधारणा का अर्थ जानें। "सरलीकरण" शब्द की उत्पत्ति "सरलीकरण" शब्द से हुई है। सरलीकरण का अर्थ है सरल, सरल बनाना। इसलिए, किसी अक्षर अभिव्यक्ति को सरल बनाने का अर्थ उसे न्यूनतम क्रियाओं के साथ छोटा बनाना है।

अभिव्यक्ति 9x + 4x पर विचार करें। यह एक शाब्दिक अभिव्यक्ति है जो योग है। यहां शब्द एक संख्या और एक अक्षर के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं। ऐसे पदों के संख्यात्मक गुणनखंड को गुणांक कहा जाता है। इस अभिव्यक्ति में, गुणांक संख्या 9 और 4 होंगे। कृपया ध्यान दें कि अक्षर द्वारा दर्शाया गया कारक इस योग के दोनों पदों में समान है।

आइए हम गुणन के वितरण नियम को याद करें:

किसी योग को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को उस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणामी उत्पादों को जोड़ सकते हैं।

में सामान्य रूप से देखेंइस प्रकार लिखा गया है: (ए + बी) ∙ सी = एसी + बीसी।

यह नियम ac + bc = (a + b) ∙ c दोनों दिशाओं में सत्य है

आइए इसे अपनी शाब्दिक अभिव्यक्ति पर लागू करें: 9x और 4x के उत्पादों का योग एक उत्पाद के बराबर है जिसका पहला कारक 9 और 4 के योग के बराबर है, दूसरा कारक x है।

9 + 4 = 13, यानी 13x।

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

व्यंजक में तीन क्रियाओं के स्थान पर केवल एक ही क्रिया बची है - गुणन। इसका मतलब है कि हमने अपनी शाब्दिक अभिव्यक्ति को सरल बना दिया है, यानी। इसे सरल बनाया.

§ 2 समान पदों की कमी

पद 9x और 4x केवल उनके गुणांकों में भिन्न हैं - ऐसे पद समरूप कहलाते हैं। समान पदों का अक्षर भाग एक समान होता है। समान पदों में संख्याएँ और समान पद भी शामिल हैं।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 9a + 12 - 15 में समान पद संख्या 12 और -15 होंगे, और 12 और 6a के गुणनफल के योग में, संख्या 14 और 12 और 6a का गुणनफल (12 ∙ 6a + 14) होगा + 12 ∙ 6ए) 12 और 6ए के गुणनफल द्वारा दर्शाए गए समान पद।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वे पद जिनके गुणांक समान हैं, लेकिन जिनके अक्षर कारक भिन्न हैं, समान नहीं हैं, हालांकि कभी-कभी गुणन के वितरण नियम को लागू करना उपयोगी होता है, उदाहरण के लिए, उत्पादों का योग 5x और 5y है संख्या 5 के गुणनफल और x और y के योग के बराबर

5x + 5y = 5(x + y).

आइए व्यंजक -9a + 15a - 4 + 10 को सरल बनाएं।

में समान शब्द इस मामले मेंपद -9a और 15a हैं, क्योंकि वे केवल अपने गुणांकों में भिन्न हैं। उनका अक्षर गुणक समान है, और पद -4 और 10 भी समान हैं, क्योंकि वे संख्याएँ हैं। समान शब्द जोड़ें:

9ए + 15ए - 4 + 10

9ए + 15ए = 6ए;

हमें मिलता है: 6a + 6.

व्यंजक को सरल बनाकर हमने समान पदों का योग ज्ञात किया; गणित में इसे समान पदों का न्यूनीकरण कहते हैं।

यदि ऐसे शब्दों को जोड़ना कठिन है, तो आप उनके लिए शब्द बना सकते हैं और वस्तुएँ जोड़ सकते हैं।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति पर विचार करें:

प्रत्येक अक्षर के लिए हम अपना स्वयं का ऑब्जेक्ट लेते हैं: बी-सेब, सी-नाशपाती, फिर हमें मिलता है: 2 सेब शून्य से 5 नाशपाती प्लस 8 नाशपाती।

क्या हम सेब से नाशपाती घटा सकते हैं? बिल्कुल नहीं। लेकिन हम माइनस 5 नाशपाती में 8 नाशपाती जोड़ सकते हैं।

आइए हम समान पद -5 नाशपाती + 8 नाशपाती प्रस्तुत करें। समान शब्दों का अक्षर भाग समान होता है, इसलिए समान पद लाते समय गुणांक जोड़ने और परिणाम में अक्षर भाग जोड़ने के लिए पर्याप्त है:

(-5 + 8) नाशपाती - आपको 3 नाशपाती मिलती हैं।

अपनी शाब्दिक अभिव्यक्ति पर लौटते हुए, हमारे पास -5 s + 8 s = 3 s है। इस प्रकार, समान पदों को लाने के बाद, हमें अभिव्यक्ति 2b + 3c प्राप्त होती है।

तो, इस पाठ में आप "समान शब्दों" की अवधारणा से परिचित हुए और सीखा कि समान शब्दों को कम करके अक्षर अभिव्यक्तियों को कैसे सरल बनाया जाए।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. अंक शास्त्र। ग्रेड 6: आई.आई. की पाठ्यपुस्तक के लिए पाठ योजनाएँ। जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच // लेखक-संकलक एल.ए. टोपिलिना। निमोसिने 2009.
2. अंक शास्त्र। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। आई.आई. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच। - एम.: मेनेमोसिन, 2013।
3. अंक शास्त्र। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों/जी.वी. के लिए पाठ्यपुस्तक। डोरोफीव, आई.एफ. शैरगिन, एस.बी. सुवोरोव और अन्य/जी.वी. द्वारा संपादित। डोरोफीवा, आई.एफ. शैरीगिना; रूसी विज्ञान अकादमी, रूसी शिक्षा अकादमी। एम.: "ज्ञानोदय", 2010.
4. अंक शास्त्र। छठी कक्षा: सामान्य शैक्षणिक संस्थानों/एन.वाई.ए. के लिए अध्ययन। विलेनकिन, वी.आई. ज़ोखोव, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्टज़बर्ड। - एम.: मेनेमोसिन, 2013।
5. अंक शास्त्र। छठी कक्षा: पाठ्यपुस्तक/जी.के. मुराविन, ओ.वी. मुराविना. - एम.: बस्टर्ड, 2014।

प्रयुक्त छवियाँ:

प्रथम स्तर

अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना

हम अक्सर यह अप्रिय वाक्यांश सुनते हैं: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।" आमतौर पर हम कुछ इस तरह के राक्षस देखते हैं:

हम कहते हैं, "यह बहुत आसान है," लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो। इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को एक साधारण संख्या (हाँ, इन अक्षरों के साथ नरक) तक सरल बना देंगे।

लेकिन इस पाठ को शुरू करने से पहले, आपको भिन्नों और गुणनखंड बहुपदों को संभालने में सक्षम होना होगा। इसलिए, सबसे पहले, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

क्या आपने इसे पढ़ा है? अगर हां, तो अब आप तैयार हैं.

बुनियादी सरलीकरण संचालन

आइए अब उन बुनियादी तकनीकों पर नजर डालें जिनका उपयोग अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

सबसे सरल है

1. समान लाना

क्या समान हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में लिया था, जब गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर पहली बार सामने आए थे। समान अक्षर वाले भाग वाले पद (एकपदी) भी इसी प्रकार के होते हैं। उदाहरण के लिए, योग में, समान पद हैं और।

तुम्हे याद है?

समान लाने का अर्थ है कई समान पदों को एक-दूसरे में जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - आप पूछना।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करें कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, एक पत्र एक कुर्सी है। तो फिर अभिव्यक्ति किसके बराबर है? दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होंगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति को आज़माएँ: .

भ्रम से बचने के लिए, अलग-अलग अक्षरों को अलग-अलग वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने दें। उदाहरण के लिए, - (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - एक मेज है। तब:

कुर्सियाँ मेजें कुर्सी मेजें कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेजें

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और इसमें बराबर है.

तो, समान लाने का नियम यह है:

उदाहरण:

समान दो:

उत्तर:

2. (और समान, क्योंकि, इसलिए, इन शब्दों का अक्षर भाग एक ही है)।

2. गुणनखंडीकरण

यह आमतौर पर सबसे अधिक है महत्वपूर्ण भागअभिव्यक्ति को सरल बनाने में. आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करने की आवश्यकता होती है, अर्थात, उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। यह भिन्नों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: भिन्न को कम करने में सक्षम होने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में विस्तार से गुणनखंडन अभिव्यक्तियों के तरीकों के बारे में जाना, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा। ऐसा करने के लिए, कुछ निर्णय लें उदाहरण(गुणनखंडित करने की आवश्यकता है):

समाधान:

3. भिन्न को कम करना।

खैर, अंश और हर के कुछ हिस्सों को काटकर उन्हें अपने जीवन से बाहर फेंकने से ज्यादा सुखद क्या हो सकता है?

आकार घटाने की यही खूबसूरती है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें कम किया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

अर्थात् कटौती संक्रिया का सार यही है हम भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही अभिव्यक्ति से) से विभाजित करते हैं।

किसी अंश को कम करने के लिए आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें पार किया जा सकता है।

मुझे लगता है, सिद्धांत स्पष्ट है?

मैं संक्षिप्तीकरण करते समय एक सामान्य गलती की ओर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा। हालाँकि यह विषय सरल है, बहुत से लोग इसे न समझकर हर काम गलत करते हैं कम करना- इसका मतलब यह है विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या हैं।

यदि अंश या हर एक योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं।

उदाहरण के लिए: हमें सरलीकरण करने की आवश्यकता है।

कुछ लोग ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है.

दूसरा उदाहरण: कम करें.

"सबसे चतुर" यह करेगा:।

मुझे बताओ यहाँ क्या गड़बड़ है? ऐसा प्रतीत होगा:- यह एक गुणक है, जिसका अर्थ है कि इसे कम किया जा सकता है।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन संपूर्ण अंश स्वयं गुणनखंडित नहीं है।

यहाँ एक और उदाहरण है: .

यह अभिव्यक्ति गुणनखंडित है, जिसका अर्थ है कि आप इसे कम कर सकते हैं, यानी अंश और हर को इससे विभाजित कर सकते हैं, और फिर:

आप इसे तुरंत इसमें विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए याद रखें आसान तरीकायह कैसे निर्धारित करें कि कोई अभिव्यक्ति गुणनखंडित है:

किसी अभिव्यक्ति के मान की गणना करते समय जो अंकगणितीय ऑपरेशन सबसे अंत में किया जाता है वह "मास्टर" ऑपरेशन होता है। अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं और अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक उत्पाद है (अभिव्यक्ति गुणनखंडित है)। यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए इसे कम नहीं किया जा सकता है)।

समेकित करने के लिए, कुछ को स्वयं हल करें उदाहरण:

उत्तर:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने में जल्दबाजी नहीं करेंगे और? इस तरह की इकाइयों को "कम" करना अभी भी पर्याप्त नहीं था:

पहला कदम गुणनखंडन होना चाहिए:

4. भिन्नों को जोड़ना और घटाना। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना।

साधारण भिन्नों को जोड़ना और घटाना एक परिचित प्रक्रिया है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक भिन्न को लुप्त कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं। चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, अर्थात उनमें उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का LCM उनके उत्पाद के बराबर है। यह सामान्य भाजक होगा:

2. यहाँ सामान्य विभाजक है:

3. पहली बात यहां मिश्रित अंशहम उन्हें गलत में बदल देते हैं, और फिर सामान्य पैटर्न का पालन करते हैं:

यदि भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल अलग बात है, उदाहरण के लिए:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:

a) हर में अक्षर नहीं होते

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक भिन्नों जैसा ही है: हम सामान्य हर ढूंढते हैं, प्रत्येक भिन्न को लुप्त कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं:

अब अंश में आप समान, यदि कोई हो, दे सकते हैं और उनका गुणनखंड कर सकते हैं:

खुद कोशिश करना:

बी) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य हर खोजने के सिद्धांत को याद रखें:

· सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

· फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखते हैं;

· और उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें।

हर के सामान्य गुणनखंडों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं:

आइए हम सामान्य कारकों पर जोर दें:

आइए अब सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखें और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारकों को जोड़ें:

यह सामान्य विभाजक है.

चलिए पत्रों पर वापस आते हैं। हर बिल्कुल उसी तरह दिए गए हैं:

· हरों का गुणनखंड करें;

· सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें;

· सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें;

· उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें.

तो, क्रम में:

1) हरों का गुणनखंड करें:

2) सामान्य (समान) कारक निर्धारित करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (गैर-रेखांकित) कारकों से गुणा करें:

तो यहाँ एक सामान्य विभाजक है। पहले अंश को इससे गुणा किया जाना चाहिए, दूसरे को - से:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान गुणनखंड देखते हैं, केवल सभी अलग-अलग संकेतकों के साथ। सामान्य विभाजक होगा:

एक स्तर तक

एक स्तर तक

एक स्तर तक

एक स्तर तक।

आइए कार्य को जटिल बनाएं:

भिन्नों का हर समान कैसे बनाएं?

आइए भिन्न के मूल गुण को याद करें:

यह कहीं नहीं कहता कि भिन्न के अंश और हर में से समान संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

स्वयं देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए,। आपने क्या सीखा?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन क्या पाने के लिए आपको गुणा करने की आवश्यकता है?

तो गुणा करें. और इससे गुणा करें:

जिन अभिव्यक्तियों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें हम "प्राथमिक कारक" कहेंगे। उदाहरणार्थ, - यह एक प्राथमिक कारक है । - वही। लेकिन नहीं: इसे गुणनखंडित किया जा सकता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही विषय "" में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

तो, जिन प्राथमिक कारकों में आप अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, वे उन सरल कारकों के अनुरूप होते हैं जिनमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनसे वैसे ही निपटेंगे.

हम देखते हैं कि दोनों हरों में गुणक होता है। यह सामान्य भाजक से डिग्री तक जाएगा (याद रखें क्यों?)।

कारक प्राथमिक है, और उनके पास एक सामान्य कारक नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

समाधान:

इससे पहले कि आप इन हरों को घबराहट में गुणा करें, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे गुणनखंडित किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

महान! तब:

एक और उदाहरण:

समाधान:

हमेशा की तरह, आइए हरों का गुणनखंड करें। पहले हर में हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा प्रतीत होता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप बारीकी से देखें, तो वे समान हैं... और यह सच है:

तो चलिए लिखते हैं:

अर्थात्, यह इस प्रकार निकला: कोष्ठक के अंदर हमने पदों की अदला-बदली की, और उसी समय भिन्न के सामने का चिह्न विपरीत में बदल गया। ध्यान रखें, ऐसा आपको अक्सर करना होगा।

आइए अब इसे एक सामान्य विभाजक पर लाएँ:

समझ गया? आइए अब इसकी जाँच करें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी होगी - घनों का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे अंश के हर में "योग का वर्ग" सूत्र शामिल नहीं है! योग का वर्ग इस प्रकार दिखेगा:।

A योग का तथाकथित अपूर्ण वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोहरा गुणनफल। योग का आंशिक वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

यदि पहले से ही तीन भिन्न हों तो क्या करें?

हाँ, वही बात! सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि हर में कारकों की अधिकतम संख्या समान है:

कृपया ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिह्न फिर से विपरीत दिशा में बदल जाता है। परिणामस्वरूप, यह (अंश के सामने का चिह्न) नहीं बदला है।

हम पूरे पहले हर को सामान्य हर में लिखते हैं, और फिर इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक भिन्न हैं)। अर्थात्, यह इस प्रकार निकलता है:

हम्म... यह स्पष्ट है कि भिन्नों के साथ क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह सरल है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, हमें दो को भिन्न बनाना होगा! आइए याद रखें: भिन्न एक विभाजन संक्रिया है (यदि आप भूल गए हैं तो अंश को हर से विभाजित किया जाता है)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस स्थिति में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, बल्कि भिन्न में बदल जाएगी:

बिल्कुल वही जो आवश्यक है!

5. भिन्नों का गुणन और विभाजन।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण भी है:

प्रक्रिया

संख्यात्मक अभिव्यक्ति की गणना करने की प्रक्रिया क्या है? इस अभिव्यक्ति के अर्थ की गणना करके याद रखें:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिला दूं।

पहला कदम डिग्री की गणना करना है।

दूसरा है गुणा और भाग. यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हों तो उन्हें किसी भी क्रम में किया जा सकता है।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर, किसी भी क्रम में.

लेकिन: कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मूल्यांकन बारी-बारी से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक-दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

यदि कोष्ठक के अंदर अधिक कोष्ठक हों तो क्या होगा? खैर, आइए सोचें: कोष्ठक के अंदर कुछ अभिव्यक्ति लिखी हुई है। किसी व्यंजक की गणना करते समय, आपको सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सभी चीज़ों की।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति की प्रक्रिया इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, यानी वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूं):

ठीक है, यह सब सरल है.

लेकिन यह अक्षरों वाली अभिव्यक्ति के समान नहीं है?

नहीं, यह वैसा ही है! केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के बजाय, आपको बीजगणितीय संक्रियाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात, पिछले अनुभाग में वर्णित क्रियाएँ: समान ला रहा हूँ, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को कम करना, इत्यादि। एकमात्र अंतर बहुपदों के गुणनखंडन की क्रिया में होगा (हम अक्सर भिन्नों के साथ काम करते समय इसका उपयोग करते हैं)। अक्सर, गुणनखंड करने के लिए, आपको I का उपयोग करने की आवश्यकता होती है या बस सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना पड़ता है।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य अभिव्यक्ति को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले, हम कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और अधिक सरल बनाना असंभव है; यहां सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी याद है कि इसका क्या अर्थ है?)।

2) हमें मिलता है:

भिन्नों को गुणा करना: इससे अधिक सरल क्या हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। कुछ भी जटिल नहीं, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान पर विचार करें।

सबसे पहले, आइए कार्यों का क्रम निर्धारित करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, ताकि दो भिन्नों के बजाय हमें एक भिन्न प्राप्त हो। फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, आइए परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ें। मैं चरणों को योजनाबद्ध तरीके से क्रमांकित करूंगा:

अब मैं आपको वर्तमान क्रिया को लाल रंग में रंगते हुए प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी सुझाव दूंगा:

1. यदि समान हों तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे देश में जब भी ऐसी कोई बात सामने आती है, तो उन्हें तुरंत सामने लाने की सलाह दी जाती है।

2. यही बात भिन्नों को कम करने पर भी लागू होती है: जैसे ही कम करने का अवसर मिले, इसका लाभ उठाना चाहिए। अपवाद उन भिन्नों के लिए है जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि अब उनके हर समान हैं, तो कमी को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आपको स्वयं हल करना है:

और शुरुआत में ही क्या वादा किया गया था:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना कर लिया है, तो आपने विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने पर!

भावों को परिवर्तित करना। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान शब्दों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना, उसे लागू करना, आदि।
• एक अंश कम करना: भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हों, तो उन्हें काटा जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है!

• भिन्नों को जोड़ना और घटाना:
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• भिन्नों को गुणा और विभाजित करना:
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