Pertidaksamaan pecahan dengan modulus pada penyebutnya. Persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus

Hari ini kawan, tidak akan ada ingus dan sentimentalitas. Sebaliknya, saya akan mengirim Anda, tanpa bertanya apa pun, ke dalam pertempuran dengan salah satu lawan paling tangguh dalam kursus aljabar kelas 8-9.

Ya, Anda memahami semuanya dengan benar: kita berbicara tentang pertidaksamaan dengan modulus. Kami akan melihat empat teknik dasar yang akan Anda pelajari untuk memecahkan sekitar 90% masalah tersebut. Bagaimana dengan 10% sisanya? Baiklah, kita akan membicarakannya di pelajaran terpisah. :)

Namun, sebelum menganalisis teknik apa pun, saya ingin mengingatkan Anda tentang dua fakta yang perlu Anda ketahui. Jika tidak, Anda berisiko tidak memahami materi pelajaran hari ini sama sekali.

Apa yang sudah perlu Anda ketahui

Captain Obviousness sepertinya mengisyaratkan bahwa untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan modulus Anda perlu mengetahui dua hal:

1. Bagaimana kesenjangan diselesaikan;
2. Apa itu modul?

Mari kita mulai dengan poin kedua.

Definisi Modul

Semuanya sederhana di sini. Ada dua definisi: aljabar dan grafis. Untuk memulainya - aljabar:

Definisi. Modulus suatu bilangan $x$ adalah bilangan itu sendiri, jika bilangan tersebut bukan negatif, atau bilangan yang berlawanan dengannya, jika $x$ aslinya masih negatif.

Ada tertulis seperti ini:

\[\kiri| x \kanan|=\kiri\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Secara sederhana, modulus adalah “angka tanpa minus.” Dan dalam dualitas ini (di beberapa tempat Anda tidak perlu melakukan apa pun dengan nomor aslinya, tetapi di tempat lain Anda harus menghilangkan semacam minus) di situlah letak kesulitan bagi siswa pemula.

Ada juga definisi geometris. Hal ini juga berguna untuk diketahui, tetapi kita akan membahasnya hanya dalam kasus yang kompleks dan beberapa kasus khusus, di mana pendekatan geometris lebih mudah digunakan daripada pendekatan aljabar (spoiler: tidak hari ini).

Definisi. Misalkan titik $a$ ditandai pada garis bilangan. Kemudian modul $\left| xa \right|$ adalah jarak dari titik $x$ ke titik $a$ pada garis ini.

Jika Anda menggambar, Anda akan mendapatkan sesuatu seperti ini:

Definisi modul grafis

Dengan satu atau lain cara, dari definisi modul, properti utamanya adalah sebagai berikut: modulus suatu bilangan selalu merupakan besaran non-negatif. Fakta ini akan menjadi benang merah dalam keseluruhan narasi kita hari ini.

Memecahkan kesenjangan. Metode interval

Sekarang mari kita lihat kesenjangannya. Ada banyak sekali masalah tersebut, namun tugas kita sekarang adalah mampu menyelesaikan setidaknya masalah yang paling sederhana. Yang direduksi menjadi pertidaksamaan linier, serta metode interval.

Saya memiliki dua pelajaran besar tentang topik ini (omong-omong, sangat, SANGAT berguna - saya sarankan mempelajarinya):

1. Metode interval untuk pertidaksamaan (terutama tonton videonya);
2. Pertidaksamaan rasional pecahan adalah pelajaran yang sangat luas, namun setelah itu Anda tidak akan memiliki pertanyaan sama sekali.

Jika Anda mengetahui semua ini, jika ungkapan “mari kita beralih dari ketimpangan ke persamaan” tidak membuat Anda memiliki keinginan yang samar-samar untuk membenturkan diri ke tembok, maka Anda siap: selamat datang di topik utama pelajaran. :)

1. Pertidaksamaan bentuk “Modulus lebih kecil dari fungsi”

Ini adalah salah satu masalah paling umum pada modul. Diperlukan penyelesaian pertidaksamaan yang berbentuk:

\[\kiri| benar| \ltg\]

Fungsi $f$ dan $g$ bisa berupa apa saja, tetapi biasanya berupa polinomial. Contoh ketidaksetaraan tersebut:

\[\mulai(sejajarkan) & \kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7; \\ & \kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri| ((x)^(2))-2\kiri| x \kanan|-3 \kanan| \lt 2. \\\end(sejajarkan)\]

Semuanya dapat diselesaikan secara harfiah dalam satu baris sesuai dengan skema berikut:

\[\kiri| benar| \lt g\Panah Kanan -g \lt f \lt g\quad \kiri(\Panah Kanan \kiri\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \benar, benar)\]

Sangat mudah untuk melihat bahwa kita menghilangkan modul tersebut, tetapi sebagai imbalannya kita mendapatkan pertidaksamaan ganda (atau, yang sama saja, sistem dua pertidaksamaan). Tetapi transisi ini benar-benar memperhitungkan semua kemungkinan masalah: jika angka di bawah modulus positif, metode ini berfungsi; jika negatif, masih berfungsi; dan bahkan dengan fungsi yang paling tidak memadai sebagai pengganti $f$ atau $g$, metode ini akan tetap berfungsi.

Tentu saja timbul pertanyaan: bukankah bisa lebih sederhana? Sayangnya, hal itu tidak mungkin. Inilah inti dari modul ini.

Namun, cukup dengan berfilsafat. Mari selesaikan beberapa masalah:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\]

Larutan. Jadi, di hadapan kita ada pertidaksamaan klasik dalam bentuk "modulusnya lebih kecil" - bahkan tidak ada yang perlu diubah. Kami bekerja sesuai dengan algoritma:

\[\mulai(sejajarkan) & \kiri| benar| \lt g\Panah Kanan -g \lt f \lt g; \\ & \kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\Panah Kanan -\kiri(x+7 \kanan) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(sejajarkan)\]

Jangan terburu-buru membuka tanda kurung yang diawali dengan “minus”: besar kemungkinan karena tergesa-gesa Anda akan membuat kesalahan yang menyinggung.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\kiri\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\kiri\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\kiri\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Masalahnya direduksi menjadi dua kesenjangan mendasar. Mari kita perhatikan penyelesaiannya pada garis bilangan paralel:

Persimpangan banyak

Perpotongan himpunan ini akan menjadi jawabannya.

Jawaban: $x\in \kiri(-\frac(10)(3);4 \kanan)$

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0\]

Larutan. Tugas ini sedikit lebih sulit. Pertama, mari kita isolasi modulnya dengan memindahkan suku kedua ke kanan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Jelasnya, kita kembali memiliki pertidaksamaan dalam bentuk “modul lebih kecil”, jadi kita menghilangkan modul tersebut menggunakan algoritma yang sudah diketahui:

\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Sekarang perhatian: seseorang akan mengatakan bahwa saya sedikit mesum dengan semua tanda kurung ini. Namun izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi bahwa tujuan utama kami adalah selesaikan pertidaksamaan dengan benar dan dapatkan jawabannya. Nanti, ketika Anda sudah menguasai dengan sempurna semua yang dijelaskan dalam pelajaran ini, Anda dapat memutarbalikkannya sendiri sesuai keinginan: buka tanda kurung, tambahkan tanda minus, dll.

Untuk memulainya, kita cukup menghilangkan tanda minus ganda di sebelah kiri:

\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan)=\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(x+1 \kanan) =3\kiri(x+1 \kanan)\]

Sekarang mari kita buka semua tanda kurung pada pertidaksamaan ganda:

Mari kita beralih ke pertidaksamaan ganda. Kali ini perhitungannya akan lebih serius:

\[\kiri\( \begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( rata kanan.\]

Kedua pertidaksamaan tersebut bersifat kuadrat dan dapat diselesaikan dengan menggunakan metode interval (itulah sebabnya saya katakan: jika Anda tidak tahu apa itu, lebih baik jangan menggunakan modul dulu). Mari kita beralih ke persamaan pada pertidaksamaan pertama:

\[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\kiri(x+5 \kanan)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, keluarannya adalah persamaan kuadrat tidak lengkap, yang dapat diselesaikan dengan cara dasar. Sekarang mari kita lihat pertidaksamaan kedua dari sistem tersebut. Di sana Anda harus menerapkan teorema Vieta:

\[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(x+2 \kanan)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(sejajarkan)\]

Kami menandai angka-angka yang dihasilkan pada dua garis sejajar (pisahkan untuk pertidaksamaan pertama dan pisahkan untuk pertidaksamaan kedua):

Sekali lagi, karena kita sedang menyelesaikan sistem pertidaksamaan, kita tertarik pada perpotongan himpunan yang diarsir: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Inilah jawabannya.

Jawaban: $x\di \kiri(-5;-2 \kanan)$

Saya pikir setelah contoh-contoh ini skema solusinya sangat jelas:

1. Pisahkan modul dengan memindahkan semua suku lainnya ke sisi pertidaksamaan yang berlawanan. Jadi kita mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk $\left| benar| \ltg$.
2. Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menghilangkan modul sesuai skema yang dijelaskan di atas. Pada titik tertentu, kita perlu beralih dari pertidaksamaan ganda ke sistem dua ekspresi independen, yang masing-masing sudah dapat diselesaikan secara terpisah.
3. Terakhir, yang tersisa hanyalah memotong solusi dari dua ekspresi independen ini - dan hanya itu, kita akan mendapatkan jawaban akhir.

Algoritma serupa ada untuk pertidaksamaan tipe berikut, ketika modulusnya lebih besar dari fungsinya. Namun, ada beberapa “tetapi” yang serius. Kita akan membicarakan “tetapi” ini sekarang.

2. Pertidaksamaan bentuk “Modulus lebih besar dari fungsi”

Mereka terlihat seperti ini:

\[\kiri| benar| \gtg\]

Mirip dengan yang sebelumnya? Kelihatannya. Namun masalah seperti itu diselesaikan dengan cara yang sangat berbeda. Secara formal, skemanya adalah sebagai berikut:

\[\kiri| benar| \gt g\Panah Kanan \kiri[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Dengan kata lain, kami mempertimbangkan dua kasus:

1. Pertama, kita mengabaikan modul tersebut dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa;
2. Kemudian, intinya, kita perluas modul dengan tanda minus, lalu mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan −1, selagi saya mendapatkan tandanya.

Dalam hal ini, opsi digabungkan dengan tanda kurung siku, mis. Di hadapan kita terdapat kombinasi dua persyaratan.

Harap dicatat lagi: ini bukan suatu sistem, tetapi suatu totalitas dalam jawabannya, himpunan tersebut digabungkan, bukan berpotongan. Ini perbedaan mendasar dari poin sebelumnya!

Secara umum, banyak siswa yang benar-benar bingung dengan serikat pekerja dan persimpangan, jadi mari kita selesaikan masalah ini untuk selamanya:

• "∪" adalah tanda gabungan. Sebenarnya, ini adalah huruf bergaya "U", yang berasal dari bahasa Inggris dan merupakan singkatan dari "Union", yaitu. "Asosiasi".
• "∩" adalah tanda persimpangan. Omong kosong ini tidak datang dari mana pun, tapi hanya muncul sebagai tandingan dari “∪”.

Agar lebih mudah diingat, cukup gambarkan kaki pada tanda-tanda ini untuk membuat kacamata (tapi jangan sekarang menuduh saya mempromosikan kecanduan narkoba dan alkoholisme: jika Anda serius mempelajari pelajaran ini, maka Anda sudah menjadi pecandu narkoba):

Perbedaan antara perpotongan dan gabungan himpunan

Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, artinya sebagai berikut: kesatuan (totalitas) mencakup unsur-unsur dari kedua himpunan, oleh karena itu ia tidak kurang dari masing-masing himpunan; tetapi perpotongan (sistem) hanya mencakup elemen-elemen yang secara simultan berada pada himpunan pertama dan himpunan kedua. Oleh karena itu, perpotongan himpunan tidak pernah lebih besar dari himpunan sumber.

Jadi menjadi lebih jelas? Itu hebat. Mari kita lanjutkan ke latihan.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\]

Larutan. Kami melanjutkan sesuai dengan skema:

\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\Panah Kanan \kiri[ \begin(sejajarkan) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \kanan) \\\end(sejajarkan) \ Kanan.\]

Kami menyelesaikan setiap ketimpangan dalam populasi:

\[\kiri[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\kiri[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\kiri[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Kami menandai setiap himpunan yang dihasilkan pada garis bilangan, lalu menggabungkannya:

Persatuan himpunan

Sangat jelas bahwa jawabannya adalah $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Jawaban: $x\in \kiri(\frac(4)(7);+\infty \kanan)$

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gtx\]

Larutan. Dengan baik? Tidak ada - semuanya sama. Kita beralih dari pertidaksamaan dengan modulus ke himpunan dua pertidaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Panah Kanan \kiri[ \begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Kami menyelesaikan setiap kesenjangan. Sayangnya, akarnya tidak terlalu bagus:

\[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(sejajarkan)\]

Ketimpangan kedua juga agak liar:

\[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(sejajarkan)\]

Sekarang Anda perlu menandai angka-angka ini pada dua sumbu - satu sumbu untuk setiap pertidaksamaan. Namun, Anda perlu menandai titik-titik tersebut dalam urutan yang benar: semakin besar angkanya, semakin jauh titik tersebut bergerak ke kanan.

Dan di sini sebuah pengaturan menanti kita. Jika semuanya jelas dengan angka $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (suku pada pembilang pertama pecahan lebih kecil dari suku pada pembilang kedua, sehingga jumlahnya juga lebih kecil), dengan bilangan $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ juga tidak akan ada kesulitan (angka positif jelas lebih besar dari angka negatif), maka dengan pasangan terakhir semuanya tidak begitu jelas. Mana yang lebih besar: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ atau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Penempatan titik-titik pada garis bilangan dan sebenarnya jawabannya akan bergantung pada jawaban pertanyaan tersebut.

Jadi mari kita bandingkan:

\[\begin(matriks) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriks)\]

Kami mengisolasi akarnya, mendapatkan bilangan non-negatif di kedua sisi pertidaksamaan, jadi kami berhak mengkuadratkan kedua sisi:

\[\begin(matriks) ((\left(2+\sqrt(13) \kanan))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \kanan))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriks)\]

Saya pikir tidak perlu khawatir bahwa $4\sqrt(13) \gt 3$, jadi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, titik akhir pada sumbu akan ditempatkan seperti ini:

Kasus akar yang jelek

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita sedang menyelesaikan suatu himpunan, jadi jawabannya adalah gabungan, bukan perpotongan himpunan yang diarsir.

Jawaban: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \kanan)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \kanan)$

Seperti yang Anda lihat, skema kami berfungsi baik untuk masalah sederhana dan sangat sulit. Satu-satunya “titik lemah” dalam pendekatan ini adalah Anda harus membandingkan bilangan irasional dengan benar (dan percayalah: ini bukan hanya akar). Namun pelajaran terpisah (dan sangat serius) akan dikhususkan untuk masalah perbandingan. Dan kami melanjutkan.

3. Ketimpangan dengan “ekor” non-negatif

Sekarang kita sampai pada bagian yang paling menarik. Ini adalah ketidaksetaraan bentuk:

\[\kiri| benar| \gt\kiri| benar|\]

Secara umum, algoritma yang akan kita bicarakan sekarang hanya benar untuk modulnya. Ia bekerja dalam semua ketidaksetaraan di mana terdapat jaminan ekspresi non-negatif di kiri dan kanan:

Apa yang harus dilakukan dengan tugas-tugas ini? Ingatlah:

Dalam ketidaksetaraan dengan “ekor” non-negatif, kedua belah pihak dapat diangkat ke kekuatan alam apa pun. Tidak akan ada batasan tambahan.

Pertama-tama, kita akan tertarik pada kuadrat - ini membakar modul dan akar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\kiri(\sqrt(f) \kanan))^(2))=f. \\\end(sejajarkan)\]

Hanya saja, jangan bingung membedakannya dengan mengambil akar kuadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\kiri| f \kanan|\ne f\]

Kesalahan yang tak terhitung jumlahnya terjadi ketika seorang siswa lupa memasang modul! Tapi ini adalah cerita yang sama sekali berbeda (ini seolah-olah merupakan persamaan irasional), jadi kita tidak akan membahasnya sekarang. Mari kita selesaikan beberapa masalah dengan lebih baik:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\kiri| x+2 \kanan|\ge \kiri| 1-2x \kanan|\]

Larutan. Mari kita segera perhatikan dua hal:

1. Hal ini bukanlah suatu ketimpangan yang tegas. Titik-titik pada garis bilangan akan tertusuk.
2. Kedua sisi pertidaksamaan jelas non-negatif (ini adalah properti modul: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Oleh karena itu, kita dapat mengkuadratkan kedua ruas pertidaksamaan untuk menghilangkan modulus dan menyelesaikan soal menggunakan metode interval biasa:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\kiri(x+2 \kanan))^(2))\ge ((\kiri(2x-1 \kanan))^(2)). \\\end(sejajarkan)\]

Pada langkah terakhir, saya sedikit curang: Saya mengubah urutan suku, memanfaatkan kemerataan modul (sebenarnya, saya mengalikan ekspresi $1-2x$ dengan −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)-\kiri(x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)+\kiri(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \kiri(2x-1-x-2 \kanan)\cdot \kiri(2x-1+x+2 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\cdot \kiri(3x+1 \kanan)\le 0. \\\end(sejajarkan)\]

Kami menyelesaikannya menggunakan metode interval. Mari beralih dari pertidaksamaan ke persamaan:

\[\begin(sejajarkan) & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(3x+1 \kanan)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(sejajarkan)\]

Kami menandai akar yang ditemukan pada garis bilangan. Sekali lagi: semua titik diarsir karena pertidaksamaan aslinya tidak tegas!

Menghilangkan tanda modulus

Izinkan saya mengingatkan Anda bagi mereka yang sangat keras kepala: kita mengambil tanda dari pertidaksamaan terakhir, yang telah ditulis sebelum melanjutkan ke persamaan. Dan kami mengecat area yang dibutuhkan dalam ketimpangan yang sama. Dalam kasus kita adalah $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Oke, semuanya sudah berakhir. Sekarang. Masalah terpecahkan.

Jawaban: $x\in \kiri[ -\frac(1)(3);3 \kanan]$.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan|\le \kiri| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Larutan. Kami melakukan semuanya dengan cara yang sama. Saya tidak akan berkomentar - lihat saja urutan tindakannya.

Kuadratkan:

\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan| \kanan))^(2))\le ((\kiri(\kiri | ((x)^(2))+3x+4 \kanan| \kanan))^(2)); \\ & ((\kiri(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))\le ((\kiri(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\kiri(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))-((\kiri(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \kiri(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kanan)\kali \\ & \kali \kiri(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(-2x-3 \kanan)\kiri(2((x)^(2))+4x+5 \kanan)\le 0. \\\end(sejajarkan)\]

Metode interval:

\[\begin(sejajarkan) & \kiri(-2x-3 \kanan)\kiri(2((x)^(2))+4x+5 \kanan)=0 \\ & -2x-3=0\ Panah kanan x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Panah Kanan D=16-40 \lt 0\Panah Kanan \varnothing . \\\end(sejajarkan)\]

Hanya ada satu akar pada garis bilangan:

Jawabannya adalah seluruh interval

Jawaban: $x\in \kiri[ -1,5;+\infty \kanan)$.

Catatan kecil tentang tugas terakhir. Seperti yang dicatat secara akurat oleh salah satu siswa saya, kedua ekspresi submodular dalam pertidaksamaan ini jelas positif, sehingga tanda modulus dapat dihilangkan tanpa membahayakan kesehatan.

Tapi ini adalah tingkat pemikiran yang sama sekali berbeda dan pendekatan yang berbeda - ini secara kondisional dapat disebut metode konsekuensi. Tentang itu - dalam pelajaran terpisah. Sekarang mari kita beralih ke bagian terakhir dari pelajaran hari ini dan melihat algoritma universal yang selalu berhasil. Bahkan ketika semua pendekatan sebelumnya tidak berdaya. :)

4. Metode pencacahan pilihan

Bagaimana jika semua teknik ini tidak membantu? Jika ketimpangan tidak bisa direduksi menjadi ekor non-negatif, apakah modulnya tidak mungkin diisolasi, apakah secara umum ada rasa sakit, kesedihan, melankolis?

Kemudian “artileri berat” dari semua matematika muncul—metode kekerasan. Sehubungan dengan pertidaksamaan dengan modulus terlihat seperti ini:

1. Tuliskan semua ekspresi submodular dan atur sama dengan nol;
2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dan tandai akar-akar yang ditemukan pada satu garis bilangan;
3. Garis lurus akan dibagi menjadi beberapa bagian, di mana setiap modul mempunyai tanda tetap dan oleh karena itu terungkap secara unik;
4. Selesaikan pertidaksamaan pada setiap bagian tersebut (Anda dapat mempertimbangkan secara terpisah batas akar yang diperoleh pada langkah 2 - untuk keandalan). Gabungkan hasilnya - inilah jawabannya. :)

Jadi bagaimana? Lemah? Mudah! Hanya untuk waktu yang lama. Mari kita lihat dalam praktiknya:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\kiri| x+2 \kanan| \lt \kiri| x-1 \kanan|+x-\frac(3)(2)\]

Larutan. Omong kosong ini tidak berujung pada kesenjangan seperti $\left| benar| \lt g$, $\kiri| benar| \gt g$ atau $\kiri| benar| \lt \kiri| g \kanan|$, jadi kita bertindak duluan.

Kami menulis ekspresi submodular, menyamakannya dengan nol dan menemukan akarnya:

\[\begin(sejajarkan) & x+2=0\Panah Kanan x=-2; \\ & x-1=0\Panah Kanan x=1. \\\end(sejajarkan)\]

Secara total, kami memiliki dua akar yang membagi garis bilangan menjadi tiga bagian, di mana setiap modul terungkap secara unik:

Mempartisi garis bilangan dengan nol fungsi submodular

Mari kita lihat setiap bagian secara terpisah.

1. Misalkan $x \lt -2$. Maka kedua ekspresi submodularnya negatif, dan pertidaksamaan aslinya akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(sejajarkan)\]

Kami mendapat batasan yang cukup sederhana. Mari kita potong dengan asumsi awal bahwa $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Jelasnya, variabel $x$ tidak boleh kurang dari −2 dan lebih besar dari 1,5 secara bersamaan. Tidak ada solusi di bidang ini.

1.1. Mari kita pertimbangkan secara terpisah kasus garis batas: $x=-2$. Mari kita substitusikan angka ini ke dalam pertidaksamaan awal dan periksa: apakah benar?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \kiri| -3\kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Panah Kanan \vartidak ada . \\\end(sejajarkan)\]

Jelas sekali bahwa rangkaian perhitungan tersebut telah membawa kita pada ketimpangan yang tidak tepat. Oleh karena itu, pertidaksamaan awal juga salah, dan $x=-2$ tidak disertakan dalam jawabannya.

2. Misalkan sekarang $-2 \lt x \lt 1$. Modul kiri sudah terbuka dengan "plus", tetapi modul kanan masih terbuka dengan "minus". Kita punya:

\[\begin(sejajarkan) & x+2 \lt -\left(x-1 \kanan)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(sejajarkan)\]

Sekali lagi kita bersinggungan dengan persyaratan awal:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Dan sekali lagi, himpunan solusinya kosong, karena tidak ada bilangan yang kurang dari −2,5 dan lebih besar dari −2.

2.1. Dan lagi kasus khusus: $x=1$. Kami mengganti ke dalam pertidaksamaan asli:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \kiri| 3\kanan| \lt \kiri| 0\kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Panah Kanan \vartidak ada . \\\end(sejajarkan)\]

Mirip dengan “kasus khusus” sebelumnya, angka $x=1$ jelas tidak disertakan dalam jawaban.

3. Bagian terakhir dari baris: $x \gt 1$. Di sini semua modul dibuka dengan tanda plus:

\[\begin(sejajarkan) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(sejajarkan)\ ]

Dan sekali lagi kita memotong himpunan yang ditemukan dengan batasan asli:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Akhirnya! Kami telah menemukan interval yang akan menjadi jawabannya.

Jawaban: $x\in \kiri(4,5;+\infty \kanan)$

Terakhir, satu komentar yang mungkin menyelamatkan Anda dari kesalahan bodoh saat memecahkan masalah nyata:

Penyelesaian pertidaksamaan dengan modulus biasanya merepresentasikan himpunan kontinu pada garis bilangan - interval dan segmen. Titik-titik terisolasi jauh lebih jarang terjadi. Dan bahkan lebih jarang lagi, batas solusi (ujung segmen) bertepatan dengan batas rentang yang dipertimbangkan.

Konsekuensinya, jika batas (“kasus khusus”) yang sama tidak dicantumkan dalam jawaban, maka area di kiri dan kanan batas tersebut hampir pasti tidak akan dicantumkan dalam jawaban. Begitu pula sebaliknya: perbatasan masuk ke dalam jawaban, artinya beberapa daerah disekitarnya juga akan menjadi jawaban.

Ingatlah hal ini saat meninjau solusi Anda.

solusi ketimpangan dalam mode on line larutan hampir semua ketimpangan tertentu on line. Matematis kesenjangan secara online untuk menyelesaikan matematika. Temukan dengan cepat solusi ketimpangan dalam mode on line. Situs web www.site memungkinkan Anda menemukan larutan hampir semua diberikan aljabar, trigonometri atau kesenjangan transendental secara online. Ketika mempelajari hampir semua cabang matematika pada tahapan yang berbeda, Anda harus memutuskan kesenjangan secara online. Untuk mendapatkan jawaban segera, dan yang terpenting jawaban akurat, Anda memerlukan sumber daya yang memungkinkan Anda melakukan hal tersebut. Berkat situs www.site menyelesaikan kesenjangan secara online akan memakan waktu beberapa menit. Keuntungan utama www.site saat menyelesaikan matematika kesenjangan secara online- ini adalah kecepatan dan keakuratan respon yang diberikan. Situs ini mampu menyelesaikan masalah apa pun pertidaksamaan aljabar online, pertidaksamaan trigonometri online, kesenjangan transendental secara online, Dan kesenjangan dengan parameter yang tidak diketahui dalam mode on line. Ketimpangan berfungsi sebagai alat matematika yang kuat solusi masalah praktis. Dengan bantuan ketidaksetaraan matematika adalah mungkin untuk mengungkapkan fakta dan hubungan yang mungkin tampak membingungkan dan rumit pada pandangan pertama. Jumlah yang tidak diketahui kesenjangan dapat ditemukan dengan merumuskan masalah pada matematis bahasa dalam bentuk kesenjangan Dan memutuskan menerima tugas dalam mode on line di situs web www.site. Setiap pertidaksamaan aljabar, pertidaksamaan trigonometri atau kesenjangan mengandung teramat fitur yang Anda dapat dengan mudah memutuskan online dan dapatkan jawaban pastinya. Saat mempelajari ilmu pengetahuan alam, mau tidak mau Anda akan menemui kebutuhan solusi terhadap kesenjangan. Dalam hal ini, jawabannya harus akurat dan harus segera diperoleh dalam mode tersebut on line. Oleh karena itu untuk menyelesaikan pertidaksamaan matematika secara online kami merekomendasikan situs www.site, yang akan menjadi kalkulator yang sangat diperlukan untuk Anda menyelesaikan pertidaksamaan aljabar secara online, pertidaksamaan trigonometri online, Dan kesenjangan transendental secara online atau kesenjangan dengan parameter yang tidak diketahui. Untuk masalah praktis menemukan solusi online yang beragam ketidaksetaraan matematika sumber www.. Pemecahan kesenjangan secara online sendiri, akan berguna untuk memeriksa jawaban yang diterima menggunakan penyelesaian kesenjangan secara online di situs web www.site. Anda perlu menulis pertidaksamaan dengan benar dan langsung mendapatkannya solusi daring, setelah itu yang tersisa hanyalah membandingkan jawabannya dengan solusi pertidaksamaan Anda. Mengecek jawabannya tidak lebih dari satu menit, itu sudah cukup menyelesaikan kesenjangan secara online dan bandingkan jawabannya. Ini akan membantu Anda menghindari kesalahan dalam keputusan dan perbaiki jawabannya pada waktunya menyelesaikan kesenjangan secara online salah satu aljabar, trigonometri, teramat atau ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui.

Semakin seseorang memahami, semakin kuat pula keinginannya untuk memahami

Thomas Aquinas

Metode interval memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan apa pun yang mengandung modulus. Inti dari metode ini adalah membagi sumbu bilangan menjadi beberapa bagian (interval), dan sumbu tersebut perlu dibagi dengan angka nol dari ekspresi dalam modul. Kemudian, pada setiap bagian yang dihasilkan, setiap ekspresi submodular bernilai positif atau negatif. Oleh karena itu, setiap modul dapat dibuka dengan tanda minus atau tanda plus. Setelah langkah-langkah ini, yang tersisa hanyalah menyelesaikan setiap persamaan sederhana yang dihasilkan pada interval yang dipertimbangkan dan menggabungkan jawaban yang diperoleh.

Mari kita lihat metode ini menggunakan contoh spesifik.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Temukan angka nol dari ekspresi dalam modul. Untuk melakukan ini, kita perlu menyamakannya dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Tempatkan titik-titik yang dihasilkan sesuai urutan yang diperlukan pada garis koordinat. Mereka akan membagi seluruh sumbu menjadi empat bagian.

3) Mari kita tentukan pada setiap bagian yang dihasilkan tanda-tanda ekspresi dalam modul. Untuk melakukan ini, kami mengganti nomor apa pun dari interval yang kami minati ke dalamnya. Jika hasil perhitungannya bilangan positif maka kita beri tanda “+” pada tabelnya, dan jika angkanya negatif maka kita beri tanda “–”. Hal ini dapat digambarkan seperti ini:

4) Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan pada masing-masing dari empat interval, memperlihatkan modul dengan tanda-tanda yang ditunjukkan dalam tabel. Jadi, mari kita lihat interval pertama:

interval saya (-∞; -3). Di atasnya, semua modul dibuka dengan tanda “–”. Kami mendapatkan persamaan berikut:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Mari kita sajikan suku-suku serupa, pertama-tama buka tanda kurung pada persamaan yang dihasilkan:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Jawaban yang diterima tidak termasuk dalam interval yang dipertimbangkan, sehingga tidak perlu dituliskan pada jawaban akhir.

interval II [-3; -1). Pada interval ini pada tabel terdapat tanda “–”, “–”, “+”. Beginilah cara kita membuka modul persamaan asli:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Sederhanakan dengan membuka tanda kurung:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Mari kita nyatakan persamaan serupa dalam persamaan yang dihasilkan:

x = 6/5. Bilangan yang dihasilkan tidak termasuk dalam interval yang ditinjau, oleh karena itu bukan merupakan akar persamaan awal.

interval III [-1; 2). Kami memperluas modul persamaan asli dengan tanda-tanda yang muncul di kolom ketiga pada gambar. Kita mendapatkan:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Hilangkan tanda kurung dan pindahkan suku-suku yang mengandung variabel x ke ruas kiri persamaan, dan suku-suku yang tidak mengandung x ke ruas kiri persamaan hak. Akan memiliki:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

Angka 2 tidak termasuk dalam interval yang dipertimbangkan.

interval IV)