Disuguaglianze logaritmiche - Ipermercato della conoscenza. Tutto sulle disuguaglianze logaritmiche

Tra l'intera varietà di disuguaglianze logaritmiche, le disuguaglianze con una base variabile sono studiate separatamente. Sono risolti secondo una formula speciale, che per qualche motivo viene raramente insegnata a scuola:

logaritmo k (x) f (x) ∨ logaritmo k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

Invece di una taccola "∨", puoi mettere qualsiasi segno di disuguaglianza: più o meno. La cosa principale è che in entrambe le disuguaglianze i segni sono gli stessi.

Quindi eliminiamo i logaritmi e riduciamo il problema a una disuguaglianza razionale. Quest'ultimo è molto più facile da risolvere, ma quando si scartano i logaritmi, possono apparire radici extra. Per tagliarli basta trovare l'intervallo di valori ammissibili. Se hai dimenticato l'ODZ del logaritmo, ti consiglio vivamente di ripeterlo - vedi "Cos'è un logaritmo".

Tutto ciò che riguarda l'intervallo di valori accettabili deve essere scritto e risolto separatamente:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Queste quattro disuguaglianze costituiscono un sistema e devono essere soddisfatte simultaneamente. Quando viene trovato l'intervallo di valori accettabili, resta da incrociare con la soluzione di una disuguaglianza razionale - e la risposta è pronta.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Innanzitutto, scriviamo l'ODZ del logaritmo:

Le prime due disuguaglianze vengono eseguite automaticamente e l'ultima dovrà essere scritta. Poiché il quadrato di un numero è zero se e solo se il numero stesso è zero, abbiamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Risulta che l'ODZ del logaritmo è composto da tutti i numeri tranne lo zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ora risolviamo la disequazione principale:

Eseguiamo la transizione dalla disuguaglianza logaritmica a quella razionale. Nella disuguaglianza originale c'è un segno "minore di", quindi anche la disuguaglianza risultante dovrebbe essere con un segno "minore di". Abbiamo:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zeri di questa espressione: x = 3; x = -3; x = 0. Inoltre, x = 0 è la radice della seconda molteplicità, il che significa che passando attraverso di essa, il segno della funzione non cambia. Abbiamo:

Otteniamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Questo insieme è completamente contenuto nell'ODZ del logaritmo, il che significa che questa è la risposta.

Trasformazione di disuguaglianze logaritmiche

Spesso la disuguaglianza originale differisce da quella precedente. Questo è facile da risolvere secondo le regole standard per lavorare con i logaritmi - vedi "Proprietà di base dei logaritmi". Vale a dire:

1. Qualsiasi numero può essere rappresentato come un logaritmo con una data base;
2. La somma e la differenza dei logaritmi con la stessa base possono essere sostituite da un singolo logaritmo.

Separatamente, voglio ricordarti l'intervallo di valori accettabili. Poiché nella disuguaglianza originale possono esserci diversi logaritmi, è necessario trovare il DPV di ciascuno di essi. Così, schema generale soluzione delle disuguaglianze logaritmiche è la seguente:

1. Trova l'ODZ di ogni logaritmo incluso nella disuguaglianza;
2. Riduci la disuguaglianza a quella standard usando le formule per aggiungere e sottrarre logaritmi;
3. Risolvi la disuguaglianza risultante secondo lo schema precedente.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Trova il dominio di definizione (ODZ) del primo logaritmo:

Risolviamo con il metodo dell'intervallo. Trovare gli zeri del numeratore:

3x-2 = 0;
x = 2/3.

Quindi - gli zeri del denominatore:

x-1 = 0;
x = 1.

Contrassegniamo zeri e segni sulla freccia delle coordinate:

Otteniamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Il secondo logaritmo dell'ODZ sarà lo stesso. Se non mi credi, puoi controllare. Ora trasformiamo il secondo logaritmo in modo che la base sia due:

Come puoi vedere, le triple alla base e prima del logaritmo si sono ridotte. Ottieni due logaritmi con la stessa base. Mettiamoli insieme:

logaritmo 2 (x − 1) 2< 2;
logaritmo 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Abbiamo ottenuto la disuguaglianza logaritmica standard. Eliminiamo i logaritmi con la formula. Poiché nella disuguaglianza originale è presente un segno minore di, anche l'espressione razionale risultante deve essere minore di zero. Abbiamo:

(f (x) - sol (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x2-2x+1-4< 0;
x2-2x-3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Abbiamo due set:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Candidato alla risposta: x ∈ (−1; 3).

Resta da attraversare questi set: otteniamo la vera risposta:

Siamo interessati all'intersezione degli insiemi, quindi scegliamo gli intervalli ombreggiati su entrambe le frecce. Otteniamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tutti i punti sono perforati.

Una disuguaglianza si dice logaritmica se contiene una funzione logaritmica.

I metodi per risolvere le disuguaglianze logaritmiche non sono diversi tranne che per due cose.

In primo luogo, passando dalla disuguaglianza logaritmica alla disuguaglianza delle funzioni sublogaritmiche, segue seguire il segno della disuguaglianza risultante. Obbedisce alla seguente regola.

Se la base della funzione logaritmica è maggiore di $1$, quando si passa dalla disuguaglianza logaritmica alla disuguaglianza delle funzioni sublogaritmiche, il segno di disuguaglianza viene conservato e se è minore di $1$, viene invertito.

In secondo luogo, la soluzione di ogni disuguaglianza è un intervallo e, quindi, alla fine della soluzione della disuguaglianza delle funzioni sublogaritmiche, è necessario comporre un sistema di due disuguaglianze: la prima disuguaglianza di questo sistema sarà la disuguaglianza di funzioni sublogaritmiche, e la seconda sarà l'intervallo del dominio di definizione delle funzioni logaritmiche incluse nella disuguaglianza logaritmica.

Pratica.

Risolviamo le disuguaglianze:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

La base del logaritmo è $2>1$, quindi il segno non cambia. Usando la definizione del logaritmo, otteniamo:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )