Costruire un grafico della funzione utilizzando lo schema generale dello studio. Esplorazione e tracciamento delle funzioni complete

Per studio completo funzione e costruendo il suo grafico, si consiglia di utilizzare il seguente schema:

1) trovare l'ambito della funzione;

2) trovare i punti di discontinuità della funzione e gli asintoti verticali (se esistono);

3) indagare il comportamento della funzione all'infinito, trovare gli asintoti orizzontali e obliqui;

4) indagare la funzione per l'uniformità (stranezza) e per la periodicità (per le funzioni trigonometriche);

5) trovare gli estremi e gli intervalli di monotonia della funzione;

6) determinare gli intervalli di convessità e punti di flesso;

7) trovare punti di intersezione con gli assi coordinati, se possibile, e alcuni punti aggiuntivi che raffinino il grafico.

Lo studio della funzione viene effettuato contemporaneamente alla costruzione del suo grafico.

Esempio 9 Esplora la funzione e costruisci un grafico.

1. Dominio di definizione: ;

2. La funzione si interrompe in punti
,
;

Indaghiamo la funzione per la presenza di asintoti verticali.

;
,
─ asintoto verticale.

;
,
─ asintoto verticale.

3. Indaghiamo la funzione per la presenza di asintoti obliqui e orizzontali.

Dritto
─ asintoto obliquo, se
,
.

,
.

Dritto
─ asintoto orizzontale.

4. La funzione è anche perché
. La parità della funzione indica la simmetria del grafico rispetto all'asse y.

5. Trova gli intervalli di monotonia e gli estremi della funzione.

Troviamo i punti critici, ad es. punti in cui la derivata è 0 o non esiste:
;
. Abbiamo tre punti
;

. Questi punti dividono l'intero asse reale in quattro intervalli. Definiamo i segni su ciascuno di essi.

Sugli intervalli (-∞; -1) e (-1; 0) la funzione aumenta, sugli intervalli (0; 1) e (1; +∞) diminuisce. Quando si passa per un punto
la derivata cambia segno da più a meno, quindi, a questo punto, la funzione ha un massimo
.

6. Troviamo gli intervalli di convessità, i punti di flesso.

Troviamo i punti in cui è 0 o non esiste.

non ha radici reali.
,
,

punti
E
dividere l'asse reale in tre intervalli. Definiamo il segno ad ogni intervallo.

Quindi, la curva sugli intervalli
E
convesso verso il basso, sull'intervallo (-1;1) convesso verso l'alto; non ci sono punti di flesso, poiché la funzione nei punti
E
non determinato.

7. Trova i punti di intersezione con gli assi.

con assale
il grafico della funzione interseca nel punto (0; -1), e con l'asse
il grafico non si interseca, perché il numeratore di questa funzione non ha radici reali.

Il grafico della funzione data è mostrato in Figura 1.

Figura 1 ─ Grafico della funzione

Applicazione del concetto di derivata in economia. Elasticità della funzione

Per studiare i processi economici e risolvere altri problemi applicati, viene spesso utilizzato il concetto di elasticità della funzione.

Definizione. Elasticità della funzione
è chiamato il limite del rapporto dell'incremento relativo della funzione all'incremento relativo della variabile A
, . (VII)

L'elasticità di una funzione mostra approssimativamente la percentuale di variazione della funzione
quando si cambia la variabile indipendente dell'1%.

L'elasticità di una funzione viene utilizzata nell'analisi della domanda e del consumo. Se l'elasticità della domanda (in valore assoluto)
, allora la domanda è considerata elastica se
─ neutrale se
─ anelastico rispetto al prezzo (o reddito).

Esempio 10 Calcolare l'elasticità di una funzione
e trovare il valore dell'indice di elasticità per = 3.

Soluzione: secondo la formula (VII) l'elasticità della funzione:

Sia x=3 allora
Ciò significa che se la variabile indipendente aumenta dell'1%, il valore della variabile dipendente aumenterà dell'1,42%.

Esempio 11 Lascia che la domanda funzioni per quanto riguarda il prezzo ha la forma
, Dove ─ coefficiente costante. Trovare il valore dell'indice di elasticità della funzione di domanda al prezzo x = 3 den. unità

Soluzione: calcolare l'elasticità della funzione di domanda utilizzando la formula (VII)

Supponendo
unità monetarie, otteniamo
. Ciò significa che al prezzo
unità monetaria un aumento del prezzo dell'1% causerà una diminuzione della domanda del 6%, cioè la domanda è elastica

Oggi ti invitiamo a esplorare e tracciare un grafico di funzione con noi. Dopo un attento studio di questo articolo, non dovrai sudare a lungo per completare questo tipo di attività. Non è facile esplorare e costruire un grafico di una funzione, il lavoro è voluminoso, richiede la massima attenzione e accuratezza dei calcoli. Per facilitare la percezione del materiale, studieremo gradualmente la stessa funzione, spiegheremo tutte le nostre azioni e calcoli. Benvenuti nel fantastico e affascinante mondo della matematica! Andare!

Dominio

Per esplorare e tracciare una funzione, è necessario conoscere alcune definizioni. Una funzione è uno dei concetti di base (di base) in matematica. Riflette la dipendenza tra diverse variabili (due, tre o più) con modifiche. La funzione mostra anche la dipendenza degli insiemi.

Immagina di avere due variabili che hanno un certo intervallo di cambiamento. Quindi, y è una funzione di x, a condizione che ogni valore della seconda variabile corrisponda a un valore della seconda. In questo caso, la variabile y è dipendente e si chiama funzione. È consuetudine dire che le variabili x e y sono in Per maggiore chiarezza su questa dipendenza, viene costruito un grafico della funzione. Cos'è un grafico di funzione? Questo è un insieme di punti sul piano delle coordinate, dove ogni valore di x corrisponde a un valore di y. I grafici possono essere diversi: una linea retta, un'iperbole, una parabola, una sinusoide e così via.

Un grafico di funzione non può essere tracciato senza esplorazione. Oggi impareremo come condurre ricerche e tracciare un grafico di funzione. È molto importante prendere appunti durante lo studio. Quindi sarà molto più facile far fronte al compito. Il piano di studi più conveniente:

1. Dominio.
2. Continuità.
3. Pari o dispari.
4. Periodicità.
5. Asintoti.
6. Zeri.
7. Costanza.
8. Ascendente e discendente.
9. Estremi.
10. Convessità e concavità.

Partiamo dal primo punto. Troviamo il dominio di definizione, cioè su quali intervalli esiste la nostra funzione: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Nel nostro caso, la funzione esiste per qualsiasi valore di x, ovvero il dominio di definizione è R. Questo può essere scritto come xОR.

Continuità

Ora esploreremo la funzione di discontinuità. In matematica, il termine "continuità" è apparso come risultato dello studio delle leggi del moto. Cos'è l'infinito? Spazio, tempo, alcune dipendenze (un esempio è la dipendenza delle variabili S e t nei problemi di moto), la temperatura dell'oggetto riscaldato (acqua, padella, termometro e così via), una linea continua (cioè una che si può disegnare senza toglierlo dalla matita del foglio).

Un grafico è considerato continuo se non si interrompe ad un certo punto. Una delle più buoni esempi tale grafico è un'onda sinusoidale, che puoi vedere nell'immagine in questa sezione. La funzione è continua ad un certo punto x0 se sono soddisfatte una serie di condizioni:

• una funzione è definita in un dato punto;
• i limiti destro e sinistro in un punto sono uguali;
• il limite è uguale al valore della funzione nel punto x0.

Se almeno una condizione non è soddisfatta, si dice che la funzione si interrompe. E i punti in cui la funzione si interrompe sono chiamati punti di interruzione. Un esempio di una funzione che "si interrompe" quando viene visualizzata graficamente è: y=(x+4)/(x-3). Inoltre, y non esiste nel punto x = 3 (poiché è impossibile dividere per zero).

Nella funzione che stiamo studiando (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) tutto si è rivelato semplice, poiché il grafico sarà continuo.

Pari dispari

Esaminiamo ora la funzione per la parità. Cominciamo con una piccola teoria. Una funzione pari è una funzione che soddisfa la condizione f (-x) = f (x) per qualsiasi valore della variabile x (dall'intervallo di valori). Esempi sono:

• modulo x (il grafico si presenta come una taccola, la bisettrice del primo e del secondo quarto del grafico);
• x al quadrato (parabola);
• coseno x (onda del coseno).

Si noti che tutti questi grafici sono simmetrici se visti rispetto all'asse y.

Cosa si chiama allora una funzione dispari? Queste sono quelle funzioni che soddisfano la condizione: f (-x) \u003d - f (x) per qualsiasi valore della variabile x. Esempi:

• iperbole;
• parabola cubica;
• sinusoidale;
• tangente e così via.

Si noti che queste funzioni sono simmetriche rispetto al punto (0:0), ovvero l'origine. In base a quanto detto in questa sezione dell'articolo, una funzione pari e dispari deve avere la proprietà: x appartiene all'insieme delle definizioni e anche -x.

Esaminiamo la funzione per la parità. Possiamo vedere che non corrisponde a nessuna delle descrizioni. Pertanto, la nostra funzione non è né pari né dispari.

Asintoti

Partiamo da una definizione. Un asintoto è una curva il più vicino possibile al grafico, ovvero la distanza da un punto tende a zero. Esistono tre tipi di asintoti:

• verticale, cioè parallelo all'asse y;
• orizzontale, cioè parallelo all'asse x;
• obliquo.

Per quanto riguarda il primo tipo, queste linee dovrebbero essere cercate in alcuni punti:

• spacco;
• estremità del dominio.

Nel nostro caso, la funzione è continua e il dominio di definizione è R. Pertanto, non ci sono asintoti verticali.

Il grafico di una funzione ha un asintoto orizzontale, che soddisfa il seguente requisito: se x tende all'infinito o meno infinito e il limite è uguale a un certo numero (ad esempio, a). IN questo caso y=a è l'asintoto orizzontale. Non ci sono asintoti orizzontali nella funzione che stiamo studiando.

Un asintoto obliquo esiste solo se sono soddisfatte due condizioni:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Quindi può essere trovato dalla formula: y=kx+b. Di nuovo, nel nostro caso non ci sono asintoti obliqui.

Funzione zeri

Il passo successivo consiste nell'esaminare il grafico della funzione per gli zeri. È anche molto importante notare che il compito associato alla ricerca degli zeri di una funzione si verifica non solo nello studio e nella costruzione di un grafico di funzione, ma anche come compito indipendente e come modo per risolvere le disuguaglianze. Potrebbe essere necessario trovare gli zeri di una funzione su un grafico o utilizzare la notazione matematica.

Trovare questi valori ti aiuterà a tracciare la funzione in modo più accurato. Se parlare linguaggio semplice, allora lo zero della funzione è il valore della variabile x, in cui y=0. Se stai cercando gli zeri di una funzione su un grafico, dovresti prestare attenzione ai punti in cui il grafico si interseca con l'asse x.

Per trovare gli zeri della funzione, devi risolvere la seguente equazione: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Dopo aver effettuato i calcoli necessari, otteniamo la seguente risposta:

costanza del segno

La fase successiva nello studio e nella costruzione di una funzione (grafica) consiste nel trovare intervalli di costanza di segno. Ciò significa che dobbiamo determinare su quali intervalli la funzione assume un valore positivo e su quali intervalli assume un valore negativo. Gli zeri delle funzioni trovate nella sezione precedente ci aiuteranno a farlo. Quindi, dobbiamo costruire una linea retta (separatamente dal grafico) e distribuire gli zeri della funzione lungo di essa nell'ordine corretto dal più piccolo al più grande. Ora devi determinare quale degli intervalli risultanti ha un segno "+" e quale ha un "-".

Nel nostro caso, la funzione assume un valore positivo sugli intervalli:

• da 1 a 4;
• dalle 9 all'infinito.

Significato negativo:

• da meno infinito a 1;
• dalle 4 alle 9.

Questo è abbastanza facile da determinare. Sostituisci qualsiasi numero dall'intervallo nella funzione e guarda quale segno è la risposta (meno o più).

Funzione Crescente e Decrescente

Per esplorare e costruire una funzione, dobbiamo sapere dove aumenterà il grafico (salirà su Oy) e dove diminuirà (scorrerà lungo l'asse y).

La funzione aumenta solo se il valore maggiore della variabile x corrisponde al valore maggiore di y. Cioè, x2 è maggiore di x1 e f(x2) è maggiore di f(x1). E osserviamo un fenomeno completamente opposto in una funzione decrescente (più x, meno y). Per determinare gli intervalli di aumento e diminuzione, è necessario trovare quanto segue:

• portata (ce l'abbiamo già);
• derivata (nel nostro caso: 1/3(3x^2-28x+49);
• risolvi l'equazione 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Dopo i calcoli, otteniamo il risultato:

Otteniamo: la funzione aumenta sugli intervalli da meno infinito a 7/3 e da 7 a infinito e diminuisce sull'intervallo da 7/3 a 7.

Estremi

La funzione investigata y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) è continua ed esiste per qualsiasi valore della variabile x. Il punto estremo mostra il massimo e il minimo di questa funzione. Nel nostro caso non ce ne sono, il che semplifica enormemente il compito di costruzione. Altrimenti, si trovano anche usando la funzione derivata. Dopo aver trovato, non dimenticare di contrassegnarli sul grafico.

Convessità e concavità

Continuiamo a studiare la funzione y(x). Ora dobbiamo controllarne la convessità e la concavità. Le definizioni di questi concetti sono abbastanza difficili da percepire, è meglio analizzare tutto con esempi. Per il test: una funzione è convessa se è una funzione non decrescente. D'accordo, questo è incomprensibile!

Dobbiamo trovare la derivata della funzione di secondo ordine. Otteniamo: y=1/3(6x-28). Ora equipariamo il lato destro a zero e risolviamo l'equazione. Risposta: x=14/3. Abbiamo trovato il punto di flesso, cioè il punto in cui il grafico cambia da convesso a concavo o viceversa. Nell'intervallo da meno infinito a 14/3, la funzione è convessa e da 14/3 a più infinito è concava. È anche molto importante notare che il punto di flesso sul grafico dovrebbe essere liscio e morbido, no angoli acuti non dovrebbe essere presente.

Definizione di punti aggiuntivi

Il nostro compito è esplorare e tracciare il grafico della funzione. Abbiamo completato lo studio, non sarà difficile tracciare ora la funzione. Per una riproduzione più accurata e dettagliata di una curva o di una retta sul piano delle coordinate, puoi trovare diversi punti ausiliari. È abbastanza facile calcolarli. Ad esempio, prendiamo x=3, risolviamo l'equazione risultante e troviamo y=4. Oppure x=5 e y=-5 e così via. Puoi prendere tutti i punti aggiuntivi di cui hai bisogno per costruire. Ne vengono trovati almeno 3-5.

Trama

Avevamo bisogno di studiare la funzione (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Tutti i segni necessari nel corso dei calcoli sono stati effettuati sul piano delle coordinate. Non resta che costruire un grafico, ovvero collegare tra loro tutti i punti. Collegare i puntini è fluido e preciso, è una questione di abilità: un po' di pratica e il tuo programma sarà perfetto.

Istruzione

Trova l'ambito della funzione. Ad esempio, la funzione sin(x) è definita sull'intero intervallo da -∞ a +∞, e la funzione 1/x è definita da -∞ a +∞, ad eccezione del punto x = 0.

Definire aree di continuità e punti di rottura. Di solito una funzione è continua nello stesso dominio in cui è definita. Per rilevare le discontinuità, è necessario calcolare quando l'argomento si avvicina a punti isolati all'interno del dominio di definizione. Ad esempio, la funzione 1/x tende all'infinito quando x→0+ ea meno infinito quando x→0-. Ciò significa che nel punto x = 0 ha una discontinuità di seconda specie.
Se i limiti nel punto di discontinuità sono finiti ma non uguali, allora questa è una discontinuità del primo tipo. Se sono uguali, la funzione è considerata continua, sebbene non sia definita in un punto isolato.

Trova gli eventuali asintoti verticali. I calcoli del passaggio precedente ti aiuteranno qui, poiché l'asintoto verticale è quasi sempre nel punto di discontinuità del secondo tipo. Tuttavia, a volte non sono i singoli punti ad essere esclusi dal dominio di definizione, ma interi intervalli di punti, e quindi gli asintoti verticali possono essere localizzati ai bordi di questi intervalli.

Controlla se la funzione ha proprietà speciali: pari, dispari e periodiche.
La funzione sarà pari se per ogni x nel dominio f(x) = f(-x). Ad esempio, cos(x) e x^2 sono funzioni pari.

La periodicità è una proprietà che dice che esiste un certo numero T chiamato periodo, che per ogni x f(x) = f(x + T). Ad esempio, tutti i maggiori funzioni trigonometriche(seno, coseno, tangente) - periodico.

Trova punti. Per fare ciò, calcola la derivata della funzione data e trova quei valori x dove svanisce. Ad esempio, la funzione f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ha una derivata g(x) = 3x^2 + 18x che si annulla in x = 0 e x = -6.

Per determinare quali punti di estremo sono massimi e quali sono minimi, tracciare il cambiamento nei segni della derivata negli zeri trovati. g(x) cambia segno da più in x = -6 e viceversa da meno a più in x = 0. Pertanto, la funzione f(x) ha un minimo nel primo punto e un minimo nel secondo.

Quindi, hai trovato anche aree di monotonia: f(x) aumenta monotonicamente sull'intervallo -∞;-6, diminuisce monotonicamente su -6;0 e aumenta di nuovo su 0;+∞.

Trova la derivata seconda. Le sue radici mostreranno dove il grafico di una data funzione sarà convesso e dove sarà concavo. Ad esempio, la derivata seconda della funzione f(x) sarà h(x) = 6x + 18. Essa svanisce in x = -3, cambiando segno da meno a più. Pertanto, il grafico f (x) prima di questo punto sarà convesso, dopo di esso - concavo, e questo punto stesso sarà un punto di flesso.

Una funzione può avere altri asintoti, ad eccezione di quelli verticali, ma solo se il suo dominio di definizione include . Per trovarli, calcola il limite di f(x) quando x→∞ o x→-∞. Se è finito, allora hai trovato l'asintoto orizzontale.

L'asintoto obliquo è una retta della forma kx + b. Per trovare k, calcola il limite di f(x)/x come x→∞. Trovare b - limite (f(x) – kx) con lo stesso x→∞.

Tracciare la funzione sui dati calcolati. Etichetta gli asintoti, se presenti. Segna i punti estremi e i valori delle funzioni in essi contenuti. Per una maggiore precisione del grafico, calcolare i valori della funzione in più punti intermedi. Ricerca completata.

Uno dei compiti più importanti Calcolo differenzialeè lo sviluppo esempi comuni studi sul comportamento delle funzioni.

Se la funzione y \u003d f (x) è continua sull'intervallo e la sua derivata è positiva o uguale a 0 sull'intervallo (a, b), allora y \u003d f (x) aumenta di (f "(x) 0).Se la funzione y \u003d f (x) è continua sul segmento e la sua derivata è negativa o uguale a 0 sull'intervallo (a,b), quindi y=f(x) diminuisce di (f"( x)0)

Gli intervalli in cui la funzione non diminuisce né aumenta sono detti intervalli di monotonicità della funzione. La natura della monotonia di una funzione può cambiare solo in quei punti del suo dominio di definizione, in cui cambia il segno della derivata prima. I punti in cui la derivata prima di una funzione si annulla o si interrompe sono detti punti critici.

Teorema 1 (1a condizione sufficiente per l'esistenza di un estremo).

Sia definita la funzione y=f(x) nel punto x 0 e sia un intorno δ>0 tale che la funzione sia continua sul segmento , differenziabile sull'intervallo (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , e la sua derivata mantiene un segno costante su ciascuno di questi intervalli. Allora se su x 0 -δ, x 0) e (x 0, x 0 + δ) i segni della derivata sono diversi, allora x 0 è un punto di estremo, e se coincidono, allora x 0 non è un punto di estremo . Inoltre, se, passando per il punto x0, la derivata cambia segno da più a meno (a sinistra di x 0, si esegue f "(x)> 0, allora x 0 è il punto di massimo; se la derivata cambia segno da meno a più (a destra di x 0 è eseguito da f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

I punti di massimo e di minimo sono detti estremi della funzione, mentre i massimi e i minimi della funzione sono detti estremi.

Teorema 2 (criterio necessario per un estremo locale).

Se la funzione y=f(x) ha un estremo nell'attuale x=x 0, allora f'(x 0)=0 o f'(x 0) non esiste.
Nei punti estremi di una funzione differenziabile, la tangente al suo grafico è parallela all'asse Ox.

Algoritmo per lo studio di una funzione per un estremo:

1) Trova la derivata della funzione.
2) Trova i punti critici, ad es. punti in cui la funzione è continua e la derivata è zero o non esiste.
3) Considera l'intorno di ciascuno dei punti ed esamina il segno della derivata a sinistra ea destra di questo punto.
4) Determinare le coordinate dei punti estremi, per questo valore dei punti critici, sostituire in questa funzione. Utilizzando sufficienti condizioni estreme, trarre conclusioni appropriate.

Esempio 18. Analizzare la funzione y=x 3 -9x 2 +24x

Soluzione.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Uguagliando la derivata a zero, troviamo x 1 =2, x 2 =4. In questo caso la derivata è definita ovunque; quindi, oltre ai due punti rilevati, non ci sono altri punti critici.
3) Il segno della derivata y "=3(x-2)(x-4) cambia a seconda dell'intervallo come mostrato in Figura 1. Passando per il punto x=2, la derivata cambia segno da più a meno, e passando per il punto x=4 - da meno a più.
4) Nel punto x=2, la funzione ha un massimo y max =20, e nel punto x=4 - un minimo y min =16.

Teorema 3. (2a condizione sufficiente per l'esistenza di un estremo).

Lascia che f "(x 0) e f "" (x 0) esistano nel punto x 0. Allora se f "" (x 0)> 0, allora x 0 è il punto minimo, e se f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Sul segmento, la funzione y \u003d f (x) può raggiungere il valore più piccolo (almeno) o più grande (al massimo) nei punti critici della funzione che si trova nell'intervallo (a; b), o alle estremità del segmento.

L'algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua y=f(x) sul segmento :

1) Trova f "(x).
2) Trova i punti in cui f "(x) = 0 o f" (x) - non esiste e seleziona da essi quelli che si trovano all'interno del segmento.
3) Calcola il valore della funzione y \u003d f (x) nei punti ottenuti nel paragrafo 2), nonché alle estremità del segmento e scegli il più grande e il più piccolo di essi: sono, rispettivamente, il più grande ( per i valori di funzione più grandi) e più piccoli (per i più piccoli) sull'intervallo .

Esempio 19. Trova il valore più grande di una funzione continua y=x 3 -3x 2 -45+225 sul segmento .

1) Abbiamo y "=3x 2 -6x-45 sul segmento
2) La derivata y" esiste per ogni x. Troviamo i punti dove y"=0; noi abbiamo:
3x2-6x-45=0
x2-2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calcolare il valore della funzione nei punti x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Solo il punto x=5 appartiene al segmento. Il più grande dei valori trovati della funzione è 225 e il più piccolo è il numero 50. Quindi, a max = 225, a max = 50.

Studio di una funzione sulla convessità

La figura mostra i grafici di due funzioni. Il primo è girato con un rigonfiamento verso l'alto, il secondo con un rigonfiamento verso il basso.

La funzione y=f(x) è continua sul segmento e differenziabile nell'intervallo (a;b), si dice convessa su (giù) su questo segmento, se per axb il suo grafico giace non più in alto (non più in basso) della tangente disegnato in qualsiasi punto M 0 (x 0 ;f(x 0)), dove axb.

Teorema 4. Sia la funzione y=f(x) avere una derivata seconda in qualsiasi punto interno x del segmento ed essere continua agli estremi di questo segmento. Allora se la disuguaglianza f""(x)0 è soddisfatta sull'intervallo (a;b), allora la funzione è convessa verso il basso sul segmento ; se la disuguaglianza f""(x)0 è soddisfatta sull'intervallo (à;b), allora la funzione è convessa verso l'alto su .

Teorema 5. Se la funzione y=f(x) ha derivata seconda sull'intervallo (a;b) e cambia segno passando per il punto x 0 , allora M(x 0 ;f(x 0)) è un punto di flesso.

Regola per trovare i punti di flesso:

1) Trova i punti in cui f""(x) non esiste o si annulla.
2) Esaminare il segno f""(x) a sinistra ea destra di ogni punto trovato al primo gradino.
3) Sulla base del Teorema 4, trarre una conclusione.

Esempio 20. Trova punti estremi e punti di flesso del grafico della funzione y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Abbiamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Ovviamente, f"(x)=0 per x 1 =0, x 2 =1. La derivata, passando per il punto x=0, cambia segno da meno a più, e quando passa per il punto x=1, non cambia segno. Ciò significa che x=0 è il punto minimo (y min =12) e non c'è estremo nel punto x=1. Successivamente, troviamo . La derivata seconda si annulla nei punti x 1 =1, x 2 =1/3. I segni della derivata seconda cambiano come segue: Sulla semiretta (-∞;) si ha f""(x)>0, sull'intervallo (;1) si ha f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Pertanto, x= è il punto di flesso del grafico della funzione (transizione dalla convessità in basso alla convessità in alto) e x=1 è anche un punto di flesso (transizione dalla convessità in alto alla convessità in basso). Se x=, allora y= ; se, allora x=1, y=13.

Un algoritmo per trovare l'asintoto di un grafico

I. Se y=f(x) come x → a , allora x=a è l'asintoto verticale.
II. Se y=f(x) come x → ∞ o x → -∞ allora y=A è l'asintoto orizzontale.
III. Per trovare l'asintoto obliquo, utilizziamo il seguente algoritmo:
1) Calcola. Se il limite esiste ed è uguale a b, allora y=b è l'asintoto orizzontale; if , quindi vai al secondo passaggio.
2) Calcola. Se questo limite non esiste, allora non c'è asintoto; se esiste ed è uguale a k, vai al terzo passaggio.
3) Calcola. Se questo limite non esiste, allora non c'è asintoto; se esiste ed è uguale a b, vai al quarto passaggio.
4) Scrivi l'equazione dell'asintoto obliquo y=kx+b.

Esempio 21: trovare un asintoto per una funzione

1)
2)
3)
4) L'equazione asintoto obliqua ha la forma

Lo schema dello studio della funzione e la costruzione del suo grafico

I. Trova il dominio della funzione.
II. Trova i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi delle coordinate.
III. Trova gli asintoti.
IV. Trova i punti di possibile estremo.
V. Trova i punti critici.
VI. Usando il disegno ausiliario, studia il segno delle derivate prima e seconda. Determina le aree di aumento e diminuzione della funzione, trova la direzione della convessità del grafico, i punti di estremo e i punti di flesso.
VII. Costruisci un grafico, tenendo conto dello studio condotto nei paragrafi 1-6.

Esempio 22: Tracciare un grafico di funzione secondo lo schema precedente

Soluzione.
I. Il dominio della funzione è l'insieme di tutti i numeri reali, eccetto x=1.
II. Poiché l'equazione x 2 +1=0 non ha radici reali, allora il grafico della funzione non ha punti di intersezione con l'asse Ox, ma interseca l'asse Oy nel punto (0; -1).
III. Cerchiamo di chiarire la questione dell'esistenza degli asintoti. Indaghiamo il comportamento della funzione vicino al punto di discontinuità x=1. Poiché y → ∞ per x → -∞, y → +∞ per x → 1+, allora la retta x=1 è un asintoto verticale del grafico della funzione.
Se x → +∞(x → -∞), allora y → +∞(y → -∞); pertanto, il grafico non ha un asintoto orizzontale. Inoltre, dall'esistenza di limiti

Risolvendo l'equazione x 2 -2x-1=0, otteniamo due punti di un possibile estremo:
x 1 =1-√2 e x 2 =1+√2

V. Per trovare i punti critici, calcoliamo la derivata seconda:

Poiché f""(x) non si annulla, non ci sono punti critici.
VI. Studiamo il segno delle derivate prima e seconda. Possibili punti di estremo da considerare: x 1 =1-√2 e x 2 =1+√2, dividere l'area di esistenza della funzione in intervalli (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) e (1+√2;+∞).

In ciascuno di questi intervalli, la derivata conserva il suo segno: nel primo - più, nel secondo - meno, nel terzo - più. La sequenza di segni della derivata prima sarà scritta come segue: +, -, +.
Otteniamo che la funzione su (-∞;1-√2) aumenta, su (1-√2;1+√2) diminuisce, e su (1+√2;+∞) aumenta di nuovo. Punti estremi: massimo in x=1-√2, inoltre f(1-√2)=2-2√2 minimo in x=1+√2, inoltre f(1+√2)=2+2√2. Su (-∞;1) il grafico è convesso verso l'alto e su (1;+∞) - verso il basso.
VII Facciamo una tabella dei valori ottenuti

VIII Sulla base dei dati ottenuti, costruiamo uno schizzo del grafico della funzione

I punti di riferimento nello studio delle funzioni e nella costruzione dei loro grafici sono punti caratteristici: punti di discontinuità, estremo, flesso, intersezione con gli assi coordinati. Con l'aiuto del calcolo differenziale è possibile stabilire i tratti caratteristici del cambio di funzioni: aumento e diminuzione, massimi e minimi, direzione della convessità e concavità del grafico, presenza di asintoti.

Uno schizzo del grafico della funzione può (e dovrebbe) essere abbozzato dopo aver trovato gli asintoti ei punti estremi, ed è conveniente compilare la tabella riassuntiva dello studio della funzione nel corso dello studio.

Di solito viene utilizzato il seguente schema di ricerca funzionale.

1.Trova il dominio, gli intervalli di continuità e i breakpoint di una funzione.

2.Esaminare la funzione per pari o dispari (simmetria assiale o centrale del grafico.

3.Trova gli asintoti (verticali, orizzontali o obliqui).

4.Trova e studia gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione, i suoi punti estremi.

5.Trova gli intervalli di convessità e concavità della curva, i suoi punti di flesso.

6.Trova i punti di intersezione della curva con gli assi coordinati, se esistono.

7.Compilare una tabella riassuntiva dello studio.

8.Costruisci un grafico, tenendo conto dello studio della funzione, effettuato secondo i punti precedenti.

Esempio. Esplora la funzione

e traccialo.

7. Facciamo una tabella riassuntiva dello studio della funzione, dove inseriremo tutti i punti caratteristici e gli intervalli tra di essi. Data la parità della funzione, otteniamo la seguente tabella: