Terne pitagoriche e loro numero. Tecnologie moderne ad alta intensità scientifica Numeri primi come parte delle terne pitagoriche

"Centro regionale di istruzione"

Sviluppo metodico

Utilizzo delle terne pitagoriche nella risoluzione

problemi geometrici e compiti trigonometrici USO

Kaluga, 2016

I. Introduzione

Il teorema di Pitagora è uno dei principali e, si potrebbe anche dire, il più importante teorema della geometria. Il suo significato sta nel fatto che la maggior parte dei teoremi della geometria possono essere dedotti da essa o con il suo aiuto. Il teorema di Pitagora è anche notevole in quanto di per sé non è affatto ovvio. Ad esempio, le proprietà di un triangolo isoscele possono essere visualizzate direttamente sul disegno. Ma non importa come guardi un triangolo rettangolo, non vedrai mai che esiste un rapporto così semplice tra i suoi lati: a2+b2=c2. Tuttavia, non fu Pitagora a scoprire il teorema che porta il suo nome. Era noto anche prima, ma forse solo come dato derivato da misurazioni. Presumibilmente, Pitagora lo sapeva, ma ne trovò la prova.

Esiste un numero infinito di numeri naturali a, b, c, soddisfacendo la relazione a2+b2=c2.. Sono chiamati numeri pitagorici. Secondo il teorema di Pitagora, tali numeri possono servire come lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo - li chiameremo triangoli pitagorici.

Obiettivo del lavoro: studiare la possibilità e l'efficacia dell'uso delle terne pitagoriche per risolvere i problemi di un corso di matematica scolastica, compiti USE.

In base allo scopo del lavoro, quanto segue compiti:

Studiare la storia e la classificazione delle terne pitagoriche. Analizza i compiti utilizzando le triple pitagoriche disponibili nei libri di testo scolastici e che si trovano nei materiali di controllo e misurazione dell'esame. Valutare l'efficacia dell'utilizzo delle terne pitagoriche e delle loro proprietà per la risoluzione dei problemi.

Oggetto di studio: Terne pitagoriche di numeri.

Materia di studio: compiti del corso scolastico di trigonometria e geometria, in cui vengono utilizzate le terne pitagoriche.

La rilevanza della ricerca. Le triple pitagoriche sono spesso utilizzate in geometria e trigonometria, conoscerle eliminerà gli errori nei calcoli e farà risparmiare tempo.

II. Parte principale. Risolvere problemi usando le terne pitagoriche.

2.1 Tavola delle terne dei numeri pitagorici (secondo Perelman)

I numeri pitagorici hanno la forma UN= nm, , dove m e n sono dei numeri dispari coprimi.

I numeri pitagorici hanno una serie di caratteristiche interessanti:

Una delle "gambe" deve essere un multiplo di tre.

Una delle "gambe" deve essere un multiplo di quattro.

Uno dei numeri pitagorici deve essere un multiplo di cinque.

Il libro "Entertaining Algebra" contiene una tabella di triple pitagoriche contenenti numeri fino a cento, che non hanno fattori comuni.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Classificazione di Shustrov delle terne pitagoriche.

Shustrov ha scoperto il seguente schema: se tutti i triangoli pitagorici sono divisi in gruppi, le seguenti formule sono valide per la gamba dispari x, pari y e ipotenusa z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, dove N è il numero della famiglia ed n è il numero ordinale del triangolo nella famiglia.

Sostituendo nella formula al posto di N e n qualsiasi numero intero positivo, a partire da uno, è possibile ottenere tutte le principali triple pitagoriche di numeri, nonché multipli di un certo tipo. Puoi fare una tabella di tutte le terne pitagoriche per ogni famiglia.

2.3. Attività di planimetria

Consideriamo i problemi di vari libri di testo sulla geometria e scopriamo quanto spesso si trovano triple pitagoriche in questi compiti. Non verranno considerati problemi banali di trovare il terzo elemento nella tavola delle terne pitagoriche, sebbene si trovino anche nei libri di testo. Mostriamo come ridurre a terne pitagoriche la soluzione di un problema i cui dati non sono espressi da numeri naturali.

Considera le attività di un libro di testo di geometria per i gradi 7-9.

№ 000. Trova l'ipotenusa di un triangolo rettangolo UN=, B=.

Soluzione. Moltiplicando le lunghezze delle gambe per 7, otteniamo due elementi dalla tripla pitagorica 3 e 4. L'elemento mancante è 5, che dividiamo per 7. Risposta.

№ 000. Nel rettangolo ABCD trova BC se CD=1.5, AC=2.5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Soluzione. Risolviamo il triangolo rettangolo ACD. Moltiplichiamo le lunghezze per 2, otteniamo due elementi dalla terna pitagorica 3 e 5, l'elemento mancante è 4, che dividiamo per 2. Risposta: 2.

Quando risolvi il numero successivo, controlla il rapporto a2+b2=c2è del tutto facoltativo, basta usare i numeri pitagorici e le loro proprietà.

№ 000. Scopri se un triangolo è rettangolo se i suoi lati sono espressi da numeri:

a) 6,8,10 (tripla pitagorica 3,4.5) - sì;

Uno dei cateti di un triangolo rettangolo deve essere divisibile per 4. Risposta: no.

c) 9,12,15 (tripla pitagorica 3,4.5) - sì;

d) 10,24,26 (tripla pitagorica 5,12.13) - sì;

Uno dei numeri pitagorici deve essere un multiplo di cinque. Risposta: no.

g) 15, 20, 25 (tripla pitagorica 3,4.5) - sì.

Dei trentanove compiti di questa sezione (teorema di Pitagora), ventidue vengono risolti oralmente utilizzando i numeri pitagorici e la conoscenza delle loro proprietà.

Considera il problema n. 000 (dalla sezione "Attività aggiuntive"):

Trova l'area del quadrilatero ABCD dove AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Il compito è controllare il rapporto a2+b2=c2 e dimostrare che il dato quadrilatero consiste di due triangoli rettangoli (il teorema inverso). E la conoscenza delle triple pitagoriche: 3, 4, 5 e 5, 12, 13, elimina la necessità di calcoli.

Diamo soluzioni a diversi problemi da un libro di testo sulla geometria per i gradi 7-9.

Problema 156 (h). I cateti di un triangolo rettangolo sono 9 e 40. Trova la mediana disegnata sull'ipotenusa.

Soluzione . La mediana disegnata sull'ipotenusa è uguale alla metà di essa. La terna pitagorica è 9,40 e 41. Pertanto, la mediana è 20,5.

Problema 156 (i). I lati del triangolo sono: UN= 13 centimetri, b= 20 cm e altezza hñ = 12 cm Trova la base Con.

Compito (USO KIM). Trova il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo acuto ABC se l'altezza BH è 12 e si sa che peccato A=,peccato C \u003d sinistra "\u003e

Soluzione. Risolviamo il rettangolo ∆ ASC: sin A=, BH=12, quindi AB=13,AK=5 (terna pitagorica 5,12,13). Risolvere rettangolare ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (pitagorico triplo 3,4,5).Il raggio si trova con la formula r === 4. Risposta.4.

2.4. Terne pitagoriche in trigonometria

La principale identità trigonometrica è un caso speciale del teorema di Pitagora: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Pertanto, alcuni compiti trigonometrici possono essere facilmente risolti oralmente utilizzando le terne pitagoriche.

I problemi in cui è necessario trovare i valori di altre funzioni trigonometriche da un dato valore di una funzione possono essere risolti senza elevare al quadrato ed estrarre una radice quadrata. Tutti i compiti di questo tipo nel libro di testo scolastico di algebra (10-11) Mordkovich (n. 000-n. 000) possono essere risolti oralmente, conoscendo solo alcune triple pitagoriche: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Consideriamo le soluzioni di due compiti.

N. 000 a). peccato t = 4/5, π/2< t < π.

Soluzione. Terna pitagorica: 3, 4, 5. Pertanto, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

N. 000 b). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.

Soluzione. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Tripla pitagorica 5,12,13. Dati i segni, otteniamo sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Controllo e misurazione dei materiali dell'esame

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) peccato (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (arcos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) verificare la validità dell'uguaglianza:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Soluzione. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Conclusione

Nei problemi geometrici, spesso si devono risolvere triangoli rettangoli, a volte più volte. Dopo aver analizzato i compiti dei libri di testo scolastici e dei materiali USE, possiamo concludere che vengono utilizzate principalmente terzine: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; che sono facili da ricordare. Quando si risolvono alcuni compiti trigonometrici, la soluzione classica che utilizza formule trigonometriche e un gran numero di calcoli richiede tempo e la conoscenza delle triple pitagoriche eliminerà gli errori nei calcoli e farà risparmiare tempo per risolvere problemi più difficili durante l'esame.

Elenco bibliografico

1. L'algebra e gli inizi dell'analisi. 10-11 gradi. Alle ore 2. Parte 2. Un libro delle attività per le istituzioni educative / [e altri]; ed. . - 8a ed., Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : malato.

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3. Roganovsky: Proc. Per 7-9 celle. con un profondo lo studio dell'educazione matematica generale. scuola dal russo lang. apprendimento, - 3a ed. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 p.: riprod.

4. Matematica: Lettore di storia, metodologia, didattica. / comp. . - M.: Casa editrice di URAO, 2001. - 384 p.

5. Rivista "Matematica a scuola" n. 1, 1965.

6. Controllo e misurazione dei materiali dell'esame.

7. Geometria, 7-9: proc. per le istituzioni educative /, ecc. - 13a edizione - M.: Education, 2003. – 384 pag. : malato.

8. Geometria: Proc. per 10-11 celle. media scuola /, ecc. - 2a ed. - M .: Istruzione, 1993, - 207 p .: ill.

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Algebra e gli inizi dell'analisi. 10-11 gradi. Alle ore 2. Parte 2. Un libro delle attività per le istituzioni educative / [e altri]; ed. . - 8a ed., Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : ill., p.18.

Belotlov V.A. Terne pitagoriche e il loro numero // Enciclopedia dei Nesterov

Questo articolo è una risposta a un professore: un pincher. Guardi, professore, come lo fanno nel nostro villaggio.

Regione di Nizhny Novgorod, Zavolzhye.

È richiesta la conoscenza dell'algoritmo per la risoluzione delle equazioni diofantee (ADDE) e la conoscenza delle progressioni polinomiali.

SE è un numero primo.

MF è un numero composto.

Sia un numero dispari N. Per qualsiasi numero dispari diverso da uno, puoi scrivere un'equazione.

p 2 + N \u003d q 2,

dove ð + q = N, q – ð = 1.

Ad esempio, per i numeri 21 e 23, le equazioni sarebbero, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Se N è primo, questa equazione è unica. Se il numero N è composto, allora è possibile comporre equazioni simili per il numero di coppie di fattori che rappresentano questo numero, incluso 1 x N.

Prendiamo il numero N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Ho sognato, ma è possibile, aggrappandosi a questa differenza tra IF e MF, di trovare un metodo per la loro identificazione.

Introduciamo la notazione;

Cambiamo l'equazione inferiore, -

N \u003d in 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Raggruppiamo i valori di N secondo il criterio in - a, cioè facciamo una tabella.

I numeri N sono stati riassunti in una matrice, -

Fu per questo compito che dovetti occuparmi delle progressioni dei polinomi e delle loro matrici. Tutto si è rivelato vano: le difese del PCH sono tenute con forza. Inseriamo una colonna nella tabella 1, dove in - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Di nuovo. La tabella 2 è stata ottenuta come risultato di un tentativo di risolvere il problema dell'identificazione di IF e MF. Dalla tabella risulta che per qualsiasi numero N ci sono tante equazioni della forma a 2 + N \u003d in 2, in quante coppie di fattori può essere diviso il numero N, incluso il fattore 1 x N. Inoltre ai numeri N \u003d ℓ 2, dove

ℓ - FC. Per N = ℓ 2 , dove ℓ è IF, esiste un'unica equazione p 2 + N = q 2 . Di quale ulteriore prova possiamo parlare se la tabella elenca fattori più piccoli da coppie di fattori che formano N, da uno a ∞. Metteremo il tavolo 2 in una cassa e nasconderemo la cassa in un armadio.

Torniamo all'argomento indicato nel titolo dell'articolo.

Questo articolo è una risposta a un professore: un pincher.

Ho chiesto aiuto: avevo bisogno di una serie di numeri che non riuscivo a trovare su Internet. Mi sono imbattuto in domande del tipo: "per cosa?", "Ma mostrami il metodo". In particolare, c'era la questione se la serie di triple pitagoriche fosse infinita, "come dimostrarlo?". Non mi ha aiutato. Guardi, professore, come lo fanno nel nostro villaggio.

Prendiamo la formula delle terne pitagoriche, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Passiamo attraverso ARDU.

Sono possibili tre situazioni:

I. x è un numero dispari,

y è un numero pari

z è un numero pari.

E c'è una condizione x > y > z.

II. x è un numero dispari

y è un numero pari

z è un numero dispari.

x > z > y.

III.x - un numero pari,

y è un numero dispari

z è un numero dispari.

x > y > z.

Cominciamo con io.

Introduciamo nuove variabili

Sostituire nell'equazione (1).

Cancelliamo con la variabile più piccola 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Riduciamo la variabile 2β – 2γ di una più piccola con la contemporanea introduzione di un nuovo parametro ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Quindi, 2α - 2β = x - y - 1.

L'equazione (2) assumerà la forma, –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Facciamo quadrato -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU fornisce attraverso i parametri la relazione tra i termini senior dell'equazione, quindi abbiamo ottenuto l'equazione (3).

Non è solido affrontare la selezione delle soluzioni. Ma, in primo luogo, non c'è nessun posto dove andare e, in secondo luogo, sono necessarie molte di queste soluzioni e possiamo ripristinare un numero infinito di soluzioni.

Per ƒ = 1, k = 1, abbiamo x – y = 1.

Con ƒ = 12, k = 16, abbiamo x - y = 9.

Con ƒ = 4, k = 32, abbiamo x - y = 25.

Puoi prenderlo per molto tempo, ma alla fine la serie prenderà la forma -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Prendere in considerazione l'opzione II.

Introduciamo nuove variabili nell'equazione (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Riduciamo di una variabile più piccola 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Riduciamo della variabile più piccola 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - ze sostituire nell'equazione (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Con ƒ = 3, k = 4, abbiamo x - z = 2.

Con ƒ = 8, k = 14, abbiamo x - z = 8.

Con ƒ = 3, k = 24, abbiamo x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Disegniamo un trapezio -

Scriviamo una formula.

dove n=1, 2,...∞.

Il caso III non verrà descritto: non ci sono soluzioni lì.

Per la condizione II, l'insieme delle triple sarà il seguente:

L'equazione (1) è presentata come x 2 = z 2 + y 2 per chiarezza.

Per la condizione I, l'insieme delle triple sarà il seguente:

In totale, sono dipinte 9 colonne di triple, cinque triple ciascuna. E ciascuna delle colonne presentate può essere scritta fino a ∞.

Ad esempio, considera le triple dell'ultima colonna, dove x - y \u003d 81.

Per i valori di x, scriviamo un trapezio, -

Scriviamo la formula

Per i valori di scriviamo un trapezio, -

Scriviamo la formula

Per i valori di z, scriviamo un trapezio, -

Scriviamo la formula

Dove n = 1 ÷ ∞.

Come promesso, una serie di terzine con x - y = 81 vola a ∞.

C'è stato un tentativo per i casi I e II di costruire matrici per x, y, z.

Scrivi le ultime cinque colonne di x dalle righe superiori e costruisci un trapezio.

Non ha funzionato e il modello dovrebbe essere quadratico. Per rendere tutto traforato, si è scoperto che era necessario combinare le colonne I e II.

Nel caso II, le quantità y, z vengono nuovamente scambiate.

Siamo riusciti a fonderci per un motivo - le carte si adattano bene a questo compito - siamo stati fortunati.

Ora puoi scrivere matrici per x, y, z.

Prendiamo dalle ultime cinque colonne del valore x dalle righe superiori e costruiamo un trapezio.

Va tutto bene, puoi costruire matrici e iniziamo con una matrice per z.

Corro all'armadio per una cassa.

Totale: oltre a uno, ogni numero dispari dell'asse numerico partecipa alla formazione delle terne pitagoriche per un numero uguale di coppie di fattori che formano questo numero N, compreso il fattore 1 x N.

Il numero N \u003d ℓ 2, dove ℓ - IF, forma una tripla pitagorica, se ℓ è MF, allora non c'è tripla sui fattori ℓхℓ.

Costruiamo matrici per x, y.

Iniziamo con la matrice per x. Per fare ciò, tireremo su di esso la griglia delle coordinate dal problema dell'identificazione di IF e MF.

La numerazione delle righe verticali è normalizzata dall'espressione

Rimuoviamo la prima colonna, perché

La matrice assumerà la forma -

Descriviamo le righe verticali, -

Descriviamo i coefficienti in "a", -

Descriviamo i membri gratuiti, -

Facciamo una formula generale per "x", -

Se facciamo un lavoro simile per "y", otteniamo -

Puoi avvicinarti a questo risultato dall'altra parte.

Prendiamo l'equazione,

e 2 + N = in 2 .

Cambiamo un po' -

N \u003d in 2 - a 2.

Facciamo quadrato -

N 2 \u003d in 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Ai lati sinistro e destro dell'equazione, aggiungi in grandezza 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d in 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

E infine -

(in 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Le terne pitagoriche sono così composte:

Considera un esempio con il numero N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Le colonne verticali della Tabella 2 sono numerate con valori in - a, mentre le colonne verticali della Tabella 3 sono numerate con valori x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Facciamo tre equazioni.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

I fattori 3 e 39 non sono numeri primi relativamente, quindi una tripla è risultata con un fattore 9.

Descriviamo quanto sopra scritto in simboli generali, -

In questo lavoro, tutto, compreso un esempio per il calcolo delle terne pitagoriche con il numero

N = 117, legato al fattore minore in - a. Discriminazione esplicita rispetto al fattore in + a. Correggiamo questa ingiustizia: comporremo tre equazioni con un fattore in + a.

Torniamo alla questione dell'identificazione di IF e MF.

Sono state fatte molte cose in questa direzione, e oggi è venuto in mente il seguente pensiero: non esiste un'equazione di identificazione e non esiste una cosa che determini i fattori.

Supponiamo di aver trovato la relazione F = a, b (N).

C'è una formula

Puoi sbarazzarti di nella formula F da in e ottieni un'equazione omogenea dell'ennesimo grado rispetto ad a, cioè F = a(N).

Per ogni grado n di questa equazione, esiste un numero N con m coppie di fattori, per m > n.

E di conseguenza, un'equazione omogenea di grado n deve avere m radici.

Sì, questo non può essere.

In questo documento, i numeri N sono stati considerati per l'equazione x 2 = y 2 + z 2 quando sono nell'equazione al posto z. Quando N è al posto di x, questo è un altro compito.

Cordiali saluti, Belotelov V.A.

Successivamente, consideriamo i metodi ben noti per generare terne pitagoriche efficaci. Gli studenti di Pitagora furono i primi a escogitare un modo semplice per generare terne pitagoriche, utilizzando una formula le cui parti rappresentano una terna pitagorica:

M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ((M 2 + 1)/2) 2 ,

Dove M- spaiato, M>2. Veramente,

4M 2 + M 4 − 2M 2 + 1
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((M 2 + 1)/2) 2 .
4

Una formula simile fu proposta dall'antico filosofo greco Platone:

(2M) 2 + (M 2 − 1) 2 = (M 2 + 1) 2 ,

Dove M- qualsiasi numero. Per M= 2,3,4,5 si generano le seguenti terzine:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Come puoi vedere, queste formule non possono dare tutte le possibili triple primitive.

Considera il seguente polinomio, che viene scomposto in una somma di polinomi:

(2M 2 + 2M + 1) 2 = 4M 4 + 8M 3 + 8M 2 + 4M + 1 =
=4M 4 + 8M 3 + 4M 2 + 4M 2 + 4M + 1 = (2M(M+1)) 2 + (2M +1) 2 .

Da qui le seguenti formule per ottenere triple primitive:

UN = 2M +1 , B = 2M(M+1) = 2M 2 + 2M , C = 2M 2 + 2M + 1.

Queste formule generano triple in cui il numero medio differisce dal più grande esattamente di uno, cioè non vengono generate anche tutte le possibili triple. Qui le prime triple sono: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Per determinare come generare tutte le triple primitive, è necessario esaminare le loro proprietà. Innanzitutto, se ( a,b,c) è una tripla primitiva, quindi UN E B, B E C, UN E C- deve essere coprimo. Permettere UN E B sono divisi in D. Poi UN 2 + B 2 è anche divisibile per D. Rispettivamente, C 2 e C dovrebbe essere suddiviso in D. Cioè, non è una tripla primitiva.

In secondo luogo, tra i numeri UN, B uno deve essere abbinato e l'altro non abbinato. Infatti, se UN E B- accoppiato, quindi Con saranno accoppiati e i numeri possono essere divisi per almeno 2. Se sono entrambi non accoppiati, possono essere rappresentati come 2 K+1 e 2 l+1, dove K,l- alcuni numeri. Poi UN 2 + B 2 = 4K 2 +4K+1+4l 2 +4l+1, cioè Con 2, così come UN 2 + B 2 ha resto di 2 quando diviso per 4.

Permettere Con- qualsiasi numero, cioè Con = 4K+io (io=0,…,3). Poi Con 2 = (4K+io) 2 ha resto di 0 o 1 e non può avere resto di 2. Pertanto, UN E B non può essere disaccoppiato, cioè UN 2 + B 2 = 4K 2 +4K+4l 2 +4l+1 e resto Con 2 per 4 dovrebbe essere 1, il che significa che Con dovrebbe essere spaiato.

Tali requisiti per gli elementi della terna pitagorica sono soddisfatti dai seguenti numeri:

UN = 2mn, B = M 2 − N 2 , C = M 2 + N 2 , M > N, (2)

Dove M E N sono coprimi con abbinamenti diversi. Per la prima volta queste dipendenze divennero note dalle opere di Euclide, che visse 2300 r. Indietro.

Proviamo la validità delle dipendenze (2). Permettere UN- doppio, allora B E C- spaiato. Poi C + B io C − B- coppie. Possono essere rappresentati come C + B = 2tu E C − B = 2v, Dove tu,v sono alcuni numeri interi. Ecco perché

UN 2 = Con 2 − B 2 = (C + B)(C − B) = 2tu 2 v = 4UV

E quindi ( UN/2) 2 = UV.

Si può dimostrare per assurdo che tu E v sono coprimi. Permettere tu E v- sono divisi in D. Poi ( C + B) E ( C − B) sono suddivise in D. E quindi C E B dovrebbe essere suddiviso in D, e questo contraddice la condizione per la terna pitagorica.

Perché UV = (UN/2) 2 e tu E v coprimo, è facile dimostrarlo tu E v devono essere quadrati di alcuni numeri.

Quindi ci sono numeri interi positivi M E N, tale che tu = M 2 e v = N 2. Poi

UN 2 = 4UV = 4M 2 N 2 così
UN = 2mn; B = tu − v = M 2 − N 2 ; C = tu + v = M 2 + N 2 .

Perché B> 0, quindi M > N.

Resta da dimostrarlo M E N hanno abbinamenti diversi. Se M E N- accoppiato, quindi tu E v devono essere accoppiati, ma questo è impossibile, poiché sono coprimi. Se M E N- spaiato, quindi B = M 2 − N 2 e C = M 2 + N 2 sarebbe accoppiato, il che è impossibile perché C E B sono coprimi.

Pertanto, qualsiasi terna pitagorica primitiva deve soddisfare le condizioni (2). Allo stesso tempo, i numeri M E N chiamato generare numeri triplette primitive. Ad esempio, prendiamo una terna pitagorica primitiva (120,119,169). In questo caso

UN= 120 = 2 12 5, B= 119 = 144 − 25, e C = 144+25=169,

Dove M = 12, N= 5 - generando numeri, 12 > 5; 12 e 5 sono coprimi e di accoppiamenti diversi.

Si può dimostrare che i numeri M, N le formule (2) danno una terna pitagorica primitiva (a,b,c). Veramente,

UN 2 + B 2 = (2mn) 2 + (M 2 − N 2) 2 = 4M 2 N 2 + (M 4 − 2M 2 N 2 + N 4) =
= (M 4 + 2M 2 N 2 + N 4) = (M 2 + N 2) 2 = C 2 ,

Questo è ( UN,B,C) è una terna pitagorica. Proviamo che mentre UN,B,C sono numeri coprimi per assurdo. Lascia che questi numeri siano divisi per P> 1. Da M E N avere abbinamenti diversi, quindi B E C- spaiato, cioè P≠ 2. Perché R divide B E C, Quello R deve dividere 2 M 2 e 2 N 2 , che è impossibile perché P≠ 2. Pertanto M, N sono coprimi e UN,B,C sono anche coprimi.

La tabella 1 mostra tutte le terne pitagoriche primitive generate dalle formule (2) per M≤10.

Tabella 1. Terne pitagoriche primitive per M≤10

M	N	UN	B	C	M	N	UN	B	C
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

L'analisi di questa tabella mostra la presenza delle seguenti serie di pattern:

• O UN, O B sono divisi per 3;
• uno dei numeri UN,B,Cè divisibile per 5;
• numero UNè divisibile per 4;
• lavoro UN· Bè divisibile per 12.

Nel 1971, i matematici americani Teigan e Hedwin proposero parametri così poco conosciuti di un triangolo rettangolo come la sua altezza (altezza) per generare terzine H = C− b e eccesso (successo) e = UN + B − C. Nella figura 1. queste quantità sono mostrate su un certo triangolo rettangolo.

Figura 1. Triangolo rettangolo e sua crescita ed eccesso

Il nome "eccesso" deriva dal fatto che questa è la distanza aggiuntiva che deve essere fatta passare lungo le gambe del triangolo da un vertice all'altro, se non si percorre la sua diagonale.

Attraverso l'eccesso e la crescita, i lati del triangolo pitagorico possono essere espressi come:

e 2 e 2
UN = H + e, B = e + ——, C = H + e + ——, (3)
2H 2H

Non tutte le combinazioni H E e può corrispondere a triangoli pitagorici. Per una data H valori possibili eè il prodotto di un certo numero D. Questo numero D si chiama crescita e si riferisce a H nel seguente modo: Dè il più piccolo intero positivo il cui quadrato è divisibile per 2 H. Perché e multiplo D, allora si scrive come e = kd, Dove Kè un numero intero positivo.

Con l'aiuto di coppie ( K,H) puoi generare tutti i triangoli pitagorici, compresi quelli non primitivi e generalizzati, come segue:

(sa) 2 (sa) 2
UN = H + sa, B = sa + ——, C = H + sa + ——, (4)
2H 2H

Inoltre, una tripla è primitiva se K E H sono coprimi e se H =± Q 2 a Q- spaiato.
Inoltre, sarà esattamente una terna pitagorica se K> √2 H/D E H > 0.

Trovare K E H da ( UN,B,C) Fai quanto segue:

• H = C − B;
• scrivi H Come H = pq 2, dove P> 0 e tale che non sia un quadrato;
• D = 2pq Se P- spaiato e D = pq, se p è accoppiato;
• K = (UN − H)/D.

Ad esempio, per la tripla (8,15,17) abbiamo H= 17−15 = 2 1, quindi P= 2 e Q = 1, D= 2, e K= (8 − 2)/2 = 3. Quindi questa tripla è data come ( K,H) = (3,2).

Per il triplo (459,1260,1341) abbiamo H= 1341 − 1260 = 81, quindi P = 1, Q= 9 e D= 18, quindi K= (459 − 81)/18 = 21, quindi il codice di questa terna è ( K,H) = (21, 81).

Specificare le triple con H E K ha una serie di proprietà interessanti. Parametro K equivale

K = 4S/(dP), (5)

Dove S = ab/2 è l'area del triangolo e P = UN + B + Cè il suo perimetro. Questo deriva dall'uguaglianza EP = 4S, che deriva dal teorema di Pitagora.

Per un triangolo rettangolo eè uguale al diametro del cerchio inscritto nel triangolo. Ciò deriva dal fatto che l'ipotenusa Con = (UN − R)+(B − R) = UN + B − 2R, Dove Rè il raggio del cerchio. Da qui H = C − B = UN − 2R E e = UN − H = 2R.

Per H> 0 e K > 0, Kè il numero ordinale di terzine UN-B-C in una sequenza di triangoli pitagorici con crescente H. Dalla tabella 2, che mostra diverse opzioni per terzine generate da coppie H, K, si può vedere che con l'aumentare K i lati del triangolo aumentano. Pertanto, a differenza della numerazione classica, la numerazione a coppie H, K ha un ordine superiore nelle sequenze di terzine.

Tabella 2. Terne pitagoriche generate dalle coppie h, k.

H	K	UN	B	C	H	K	UN	B	C
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Per H > 0, D soddisfa la disuguaglianza 2√ H ≤ D ≤ 2H, in cui si raggiunge il limite inferiore P= 1, e quello superiore, a Q= 1. Pertanto, il valore D rispetto a 2√ Hè una misura di quanto H lontano dal quadrato di un certo numero.

Proprietà

Poiché l'equazione X 2 + si 2 = z.z 2 omogeneo, quando moltiplicato X , si E z.z per lo stesso numero si ottiene un'altra terna pitagorica. Si chiama la terna pitagorica primitivo, se non può essere ottenuto in questo modo, cioè numeri relativamente primi.

Esempi

Alcune terne pitagoriche (ordinate in ordine crescente di numero massimo, quelle primitive sono evidenziate):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Sulla base delle proprietà dei numeri di Fibonacci, puoi renderli, ad esempio, tali triple pitagoriche:

.

Storia

Le terne pitagoriche sono note da molto tempo. Nell'architettura delle antiche lapidi mesopotamiche si ritrova un triangolo isoscele, formato da due rettangoli con lati di 9, 12 e 15 cubiti. Le piramidi del faraone Snefru (XXVII secolo aC) furono costruite utilizzando triangoli di lati di 20, 21 e 29, oltre a 18, 24 e 30 decine di cubiti egiziani.

Guarda anche

Collegamenti

• E. A. Gorin Potenze dei numeri primi nelle terne pitagoriche // Educazione matematica. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Fondazione Wikimedia. 2010 .

Guarda cosa sono i "numeri pitagorici" in altri dizionari:

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Libri

• L'estate di Archimede, ovvero la storia della comunità dei giovani matematici. Sistema numerico binario, Bobrov Sergey Pavlovich. Sistema numerico binario, "Torre di Hanoi", mossa del cavaliere, quadrati magici, triangolo aritmetico, numeri ricci, combinazioni, concetto di probabilità, nastro di Möbius e bottiglia di Klein.…

» Professore onorato di matematica presso l'Università di Warwick, un noto divulgatore della scienza Ian Stewart, dedicato al ruolo dei numeri nella storia dell'umanità e alla rilevanza del loro studio nel nostro tempo.

Ipotenusa pitagorica

I triangoli pitagorici hanno un angolo retto e lati interi. Nel più semplice di essi, il lato più lungo ha una lunghezza di 5, gli altri sono 3 e 4. Ci sono 5 poliedri regolari in totale. Un'equazione di quinto grado non può essere risolta con radici di quinto grado o con qualsiasi altra radice. I reticoli nel piano e nello spazio tridimensionale non hanno una simmetria rotazionale a cinque lobi; pertanto, tali simmetrie sono assenti anche nei cristalli. Tuttavia, possono trovarsi in reticoli nello spazio quadridimensionale e in strutture interessanti note come quasicristalli.

Ipotenusa della terna pitagorica più piccola

Il teorema di Pitagora afferma che il lato più lungo di un triangolo rettangolo (la famigerata ipotenusa) correla con gli altri due lati di questo triangolo in un modo molto semplice e bello: il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dell'altro due lati.

Tradizionalmente, chiamiamo questo teorema dopo Pitagora, ma in realtà la sua storia è piuttosto vaga. Le tavolette d'argilla suggeriscono che gli antichi babilonesi conoscevano il teorema di Pitagora molto prima dello stesso Pitagora; la gloria dello scopritore gli fu portata dal culto matematico dei Pitagorici, i cui sostenitori credevano che l'universo fosse basato su schemi numerici. Gli autori antichi attribuivano ai Pitagorici - e quindi a Pitagora - una varietà di teoremi matematici, ma in realtà non abbiamo idea di quale tipo di matematica fosse impegnato lo stesso Pitagora. Non sappiamo nemmeno se i Pitagorici potessero dimostrare il Teorema di Pitagora, o se semplicemente credessero che fosse vero. O, più probabilmente, avevano dati convincenti sulla sua verità, che tuttavia non sarebbero stati sufficienti per quella che oggi consideriamo una prova.

Testimonianze di Pitagora

La prima dimostrazione conosciuta del teorema di Pitagora si trova negli Elementi di Euclide. Questa è una dimostrazione piuttosto complicata usando un disegno che gli scolari vittoriani riconoscerebbero immediatamente come "pantaloni pitagorici"; il disegno ricorda davvero le mutande che si asciugano su una corda. Sono note letteralmente centinaia di altre prove, la maggior parte delle quali rende l'affermazione più ovvia.

// Riso. 33. Pantaloni pitagorici

Una delle dimostrazioni più semplici è una specie di rompicapo matematico. Prendi un triangolo rettangolo qualsiasi, fanne quattro copie e raccoglile all'interno del quadrato. Con una posa, vediamo un quadrato sull'ipotenusa; con l'altro - quadrati sugli altri due lati del triangolo. È chiaro che le aree in entrambi i casi sono uguali.

// Riso. 34. A sinistra: quadrato sull'ipotenusa (più quattro triangoli). A destra: la somma dei quadrati degli altri due lati (più gli stessi quattro triangoli). Ora elimina i triangoli

La dissezione di Perigal è un'altra prova del puzzle.

// Riso. 35. Dissezione di Perigal

C'è anche una dimostrazione del teorema usando i quadrati sovrapposti sul piano. Forse è così che i Pitagorici oi loro sconosciuti predecessori scoprirono questo teorema. Se guardi come il quadrato obliquo si sovrappone agli altri due quadrati, puoi vedere come tagliare a pezzi il quadrato grande e poi unirli in due quadrati più piccoli. Puoi anche vedere triangoli rettangoli, i cui lati danno le dimensioni dei tre quadrati coinvolti.

// Riso. 36. Prova mediante pavimentazione

Ci sono dimostrazioni interessanti utilizzando triangoli simili in trigonometria. Si conoscono almeno cinquanta diverse prove.

Terze pitagoriche

Nella teoria dei numeri, il teorema di Pitagora divenne la fonte di un'idea fruttuosa: trovare soluzioni intere alle equazioni algebriche. Una terna pitagorica è un insieme di numeri interi a, b e c tali che

Geometricamente, una tale tripla definisce un triangolo rettangolo con lati interi.

L'ipotenusa più piccola di una terna pitagorica è 5.

Gli altri due lati di questo triangolo sono 3 e 4. Qui

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

La prossima ipotenusa più grande è 10 perché

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Tuttavia, questo è essenzialmente lo stesso triangolo con i lati raddoppiati. La prossima ipotenusa più grande e veramente diversa è 13, per la quale

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclide sapeva che esisteva un numero infinito di variazioni diverse delle terne pitagoriche e fornì quella che si potrebbe chiamare una formula per trovarle tutte. Successivamente, Diofanto di Alessandria offrì una ricetta semplice, sostanzialmente uguale a quella euclidea.

Prendi due numeri naturali qualsiasi e calcola:

il loro doppio prodotto;

differenza dei loro quadrati;

la somma dei loro quadrati.

I tre numeri risultanti saranno i lati del triangolo pitagorico.

Prendi, ad esempio, i numeri 2 e 1. Calcola:

doppio prodotto: 2 × 2 × 1 = 4;

differenza di quadrati: 22 - 12 = 3;

somma dei quadrati: 22 + 12 = 5,

e abbiamo ottenuto il famoso triangolo 3-4-5. Se prendiamo invece i numeri 3 e 2 otteniamo:

doppio prodotto: 2 × 3 × 2 = 12;

differenza di quadrati: 32 - 22 = 5;

somma dei quadrati: 32 + 22 = 13,

e otteniamo il prossimo famoso triangolo 5 - 12 - 13. Proviamo a prendere i numeri 42 e 23 e ottenere:

doppio prodotto: 2 × 42 × 23 = 1932;

differenza di quadrati: 422 - 232 = 1235;

somma dei quadrati: 422 + 232 = 2293,

nessuno ha mai sentito parlare del triangolo 1235-1932-2293.

Ma anche questi numeri funzionano:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

C'è un'altra caratteristica nella regola diofantina che è già stata accennata: avendo ricevuto tre numeri, possiamo prendere un altro numero arbitrario e moltiplicarli tutti per esso. Così, un triangolo 3-4-5 può essere trasformato in un triangolo 6-8-10 moltiplicando tutti i lati per 2, o in un triangolo 15-20-25 moltiplicando tutto per 5.

Se passiamo al linguaggio dell'algebra, la regola assume la seguente forma: siano u, vek numeri naturali. Quindi un triangolo rettangolo con i lati

2kuv ek (u2 - v2) ha un'ipotenusa

Esistono altri modi per presentare l'idea principale, ma si riducono tutti a quello sopra descritto. Questo metodo ti consente di ottenere tutte le triple pitagoriche.

Poliedri regolari

Ci sono esattamente cinque poliedri regolari. Un poliedro regolare (o poliedro) è una figura tridimensionale con un numero finito di facce piane. Le sfaccettature convergono tra loro su linee chiamate spigoli; i bordi si incontrano in punti chiamati vertici.

Il culmine dei "Principi" euclidei è la prova che possono esistere solo cinque poliedri regolari, cioè poliedri in cui ogni faccia è un poligono regolare (lati uguali, angoli uguali), tutte le facce sono identiche e tutti i vertici sono circondati da un numero uguale di facce equidistanti. Ecco cinque poliedri regolari:

tetraedro con quattro facce triangolari, quattro vertici e sei spigoli;

cubo, o esaedro, con 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli;

ottaedro con 8 facce triangolari, 6 vertici e 12 spigoli;

dodecaedro con 12 facce pentagonali, 20 vertici e 30 spigoli;

icosaedro con 20 facce triangolari, 12 vertici e 30 spigoli.

// Riso. 37. Cinque poliedri regolari

I poliedri regolari si possono trovare anche in natura. Nel 1904 Ernst Haeckel pubblicò disegni di minuscoli organismi noti come radiolari; molti di loro hanno la forma degli stessi cinque poliedri regolari. Forse, tuttavia, ha leggermente corretto la natura ei disegni non riflettono completamente la forma di specifici esseri viventi. Le prime tre strutture si osservano anche nei cristalli. Non troverai un dodecaedro e un icosaedro nei cristalli, anche se a volte si incontrano dodecaedri e icosaedri irregolari. I veri dodecaedri possono apparire come quasicristalli, che sono simili ai cristalli in ogni modo, tranne per il fatto che i loro atomi non formano un reticolo periodico.

// Riso. 38. Disegni di Haeckel: radiolari in forma di poliedri regolari

// Riso. 39. Sviluppi di poliedri regolari

Può essere interessante creare modelli di poliedri regolari dalla carta ritagliando prima un insieme di facce interconnesse - questo è chiamato sweep poliedrico; la scansione viene piegata lungo i bordi e i bordi corrispondenti vengono incollati tra loro. È utile aggiungere un'area aggiuntiva per la colla a uno dei bordi di ciascuna di queste coppie, come mostrato in Fig. 39. Se non esiste tale piattaforma, è possibile utilizzare del nastro adesivo.

Equazione di quinto grado

Non esiste una formula algebrica per risolvere equazioni di 5° grado.

In generale, l'equazione del quinto grado si presenta così:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Il problema è trovare una formula per risolvere tale equazione (può avere fino a cinque soluzioni). L'esperienza con le equazioni quadratiche e cubiche, così come con le equazioni di quarto grado, suggerisce che tale formula dovrebbe esistere anche per le equazioni di quinto grado e, in teoria, le radici di quinto, terzo e secondo grado dovrebbero apparire in Esso. Ancora una volta, si può tranquillamente presumere che una tale formula, se esiste, risulterà molto, molto complessa.

Questa ipotesi alla fine si è rivelata sbagliata. In effetti, tale formula non esiste; almeno non esiste una formula composta dai coefficienti a, b, c, d, e ed f, composti usando addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni, oltre che prendendo radici. Quindi, c'è qualcosa di molto speciale nel numero 5. Le ragioni di questo insolito comportamento dei cinque sono molto profonde e ci è voluto molto tempo per capirle.

Il primo segno di un problema era che, per quanto i matematici si sforzassero di trovare una formula del genere, per quanto intelligenti fossero, fallivano sempre. Da tempo tutti credevano che le ragioni risiedessero nell'incredibile complessità della formula. Si credeva che nessuno potesse semplicemente comprendere correttamente questa algebra. Tuttavia, nel tempo, alcuni matematici iniziarono a dubitare che esistesse una tale formula e nel 1823 Niels Hendrik Abel fu in grado di dimostrare il contrario. Non esiste una formula del genere. Poco dopo, Évariste Galois ha trovato un modo per determinare se un'equazione di un grado o di un altro - 5°, 6°, 7°, generalmente qualsiasi - è risolvibile usando questo tipo di formula.

La conclusione di tutto questo è semplice: il numero 5 è speciale. Puoi risolvere equazioni algebriche (usando radici n-esime per diversi valori di n) per potenze di 1, 2, 3 e 4, ma non per potenze di 5. È qui che finisce lo schema ovvio.

Nessuno è sorpreso che le equazioni di potenze maggiori di 5 si comportino anche peggio; in particolare, ad essi è connessa la stessa difficoltà: non esistono formule generali per la loro soluzione. Ciò non significa che le equazioni non abbiano soluzioni; non significa inoltre che sia impossibile trovare valori numerici molto precisi di queste soluzioni. Riguarda i limiti degli strumenti di algebra tradizionali. Questo ricorda l'impossibilità di trisecare un angolo con righello e compasso. C'è una risposta, ma i metodi elencati non sono sufficienti e non ti consentono di determinare di cosa si tratta.

Limitazione cristallografica

I cristalli in due e tre dimensioni non hanno simmetria rotazionale a 5 raggi.

Gli atomi in un cristallo formano un reticolo, cioè una struttura che si ripete periodicamente in diverse direzioni indipendenti. Ad esempio, il motivo sulla carta da parati viene ripetuto per tutta la lunghezza del rotolo; inoltre, di solito viene ripetuto in direzione orizzontale, a volte con uno spostamento da un pezzo di carta da parati all'altro. In sostanza, la carta da parati è un cristallo bidimensionale.

Ci sono 17 varietà di modelli di carta da parati sull'aereo (vedi capitolo 17). Differiscono nei tipi di simmetria, cioè nei modi di spostare rigidamente il modello in modo che giaccia esattamente su se stesso nella sua posizione originale. I tipi di simmetria includono, in particolare, varie varianti della simmetria rotazionale, in cui il motivo dovrebbe essere ruotato di un certo angolo attorno a un certo punto: il centro di simmetria.

L'ordine di rotazione della simmetria è il numero di volte in cui è possibile ruotare il corpo di un cerchio completo in modo che tutti i dettagli dell'immagine tornino alle loro posizioni originali. Ad esempio, una rotazione di 90° è una simmetria rotazionale del 4° ordine*. L'elenco dei possibili tipi di simmetria rotazionale nel reticolo cristallino indica ancora una volta l'insolita presenza del numero 5: non c'è. Esistono varianti con simmetria rotazionale di 2°, 3°, 4° e 6° ordine, ma nessun motivo di carta da parati ha una simmetria rotazionale di 5° ordine. Non esiste inoltre simmetria rotazionale di ordine maggiore di 6 nei cristalli, ma la prima violazione della sequenza si verifica ancora al numero 5.

Lo stesso accade con i sistemi cristallografici nello spazio tridimensionale. Qui il reticolo si ripete in tre direzioni indipendenti. Esistono 219 diversi tipi di simmetria, o 230 se consideriamo il riflesso speculare del motivo come una sua versione separata - inoltre, in questo caso non esiste simmetria speculare. Di nuovo, si osservano simmetrie rotazionali di ordine 2, 3, 4 e 6, ma non 5. Questo fatto è chiamato vincolo cristallografico.

Nello spazio quadridimensionale esistono reticoli con simmetria del 5° ordine; in generale, per reticoli di dimensioni sufficientemente elevate, è possibile qualsiasi ordine predeterminato di simmetria rotazionale.

// Riso. 40. Reticolo cristallino di sale da tavola. Le sfere scure rappresentano gli atomi di sodio, le sfere chiare rappresentano gli atomi di cloro.

Quasicristalli

Sebbene la simmetria rotazionale del 5° ordine non sia possibile nei reticoli 2D e 3D, può esistere in strutture leggermente meno regolari note come quasicristalli. Usando gli schizzi di Keplero, Roger Penrose scoprì sistemi piatti con un tipo più generale di simmetria quintuplice. Si chiamano quasicristalli.

I quasicristalli esistono in natura. Nel 1984, Daniel Shechtman ha scoperto che una lega di alluminio e manganese può formare quasi cristalli; Inizialmente, i cristallografi hanno accolto il suo messaggio con un certo scetticismo, ma in seguito la scoperta è stata confermata e nel 2011 Shechtman ha ricevuto il Premio Nobel per la Chimica. Nel 2009, un team di scienziati guidato da Luca Bindi ha scoperto i quasi-cristalli in un minerale delle montagne russe di Koryak, un composto di alluminio, rame e ferro. Oggi questo minerale è chiamato icosaedrite. Misurando il contenuto di vari isotopi di ossigeno nel minerale con uno spettrometro di massa, gli scienziati hanno dimostrato che questo minerale non ha avuto origine sulla Terra. Si è formato circa 4,5 miliardi di anni fa, in un momento in cui il sistema solare stava appena emergendo, e ha trascorso la maggior parte del suo tempo nella fascia degli asteroidi, in orbita attorno al sole, fino a quando una sorta di disturbo ha cambiato la sua orbita e alla fine l'ha portato sulla Terra.

// Riso. 41. A sinistra: uno dei due reticoli quasi cristallini con esatta simmetria quintupla. A destra: modello atomico di un quasicristallo icosaedrico di alluminio-palladio-manganese