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Cosa sono le definizioni dei logaritmi. Logaritmo - proprietà, formule, grafico

proprietà fondamentali.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

stessi motivi

log6 4 + log6 9.

Ora complichiamo un po 'il compito.

Esempi di risoluzione di logaritmi

Cosa succede se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere tolto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Passaggio a una nuova fondazione

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Guarda anche:

Proprietà fondamentali del logaritmo

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L'esponente è 2,718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Tolstoy.

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leo Tolstoy.

Esempi di logaritmi

Prendi il logaritmo delle espressioni

Esempio 1
UN). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Per le proprietà 3,5 calcoliamo

4. Dove .

Esempio 2 Trova x se

Esempio 3. Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Proprietà fondamentali dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere sommati, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri del tutto ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà fondamentali.

Devi conoscere queste regole: nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizione e sottrazione di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Si prega di notare: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non sono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Ancora una volta, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, controllo: durante l'esame vengono offerte espressioni simili in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche).

Rimozione dell'esponente dal logaritmo

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, ad es. puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio necessiti di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore.

Formule dei logaritmi. I logaritmi sono esempi di soluzioni.

Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno tolto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarrà nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, i quattro possono essere trasferiti al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per l'addizione e la sottrazione dei logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Li formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "capovolta", cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Prendiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora invertiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro per due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e liberiamoci degli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

In effetti, cosa accadrà se il numero b viene elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si bloccano" su di esso.

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo era un vero compito dell'Esame di Stato Unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità difficili da chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze della definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a da questa base stessa è uguale a uno.
loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Guarda anche:

Il logaritmo del numero b in base a denota l'espressione. Calcolare il logaritmo significa trovare una tale potenza x () in cui l'uguaglianza è vera

Proprietà fondamentali del logaritmo

Le proprietà di cui sopra devono essere note, poiché, sulla base di esse, quasi tutti i problemi e gli esempi vengono risolti sulla base dei logaritmi. Le restanti proprietà esotiche possono essere derivate da manipolazioni matematiche con queste formule

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Quando si calcolano le formule per la somma e la differenza dei logaritmi (3.4) si incontrano abbastanza spesso. Il resto è alquanto complesso, ma in una serie di attività sono indispensabili per semplificare espressioni complesse e calcolarne i valori.

Casi comuni di logaritmi

Alcuni dei logaritmi comuni sono quelli in cui la base è anche dieci, esponenziale o due.
Il logaritmo in base dieci è solitamente chiamato logaritmo in base dieci ed è semplicemente indicato con lg(x).

Si può vedere dal verbale che le basi non sono scritte nel verbale. Per esempio

Il logaritmo naturale è il logaritmo la cui base è l'esponente (indicato con ln(x)).

L'esponente è 2,718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Tolstoy. Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leo Tolstoy.

E un altro importante logaritmo in base due è

La derivata del logaritmo della funzione è uguale a uno diviso per la variabile

Il logaritmo integrale o antiderivato è determinato dalla dipendenza

Il materiale di cui sopra è sufficiente per risolvere un'ampia classe di problemi relativi a logaritmi e logaritmi. Per assimilare il materiale, fornirò solo alcuni esempi comuni dal curriculum scolastico e universitario.

Esempi di logaritmi

Prendi il logaritmo delle espressioni

Esempio 1
UN). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Per le proprietà 3,5 calcoliamo

2.
Per la proprietà differenza dei logaritmi, abbiamo

3.
Usando le proprietà 3.5 troviamo

4. Dove .

Un'espressione apparentemente complessa che utilizza una serie di regole viene semplificata nella forma

Trovare i valori logaritmici

Esempio 2 Trova x se

Soluzione. Per il calcolo applichiamo le proprietà 5 e 13 fino all'ultimo termine

Sostituisci nel registro e piangi

Poiché le basi sono uguali, uguagliamo le espressioni

Logaritmi. Primo livello.

Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Soluzione: Prendi il logaritmo della variabile per scrivere il logaritmo attraverso la somma dei termini

Questo è solo l'inizio della conoscenza dei logaritmi e delle loro proprietà. Esercitati con i calcoli, arricchisci le tue abilità pratiche: presto avrai bisogno delle conoscenze acquisite per risolvere equazioni logaritmiche. Dopo aver studiato i metodi di base per risolvere tali equazioni, amplieremo le tue conoscenze su un altro argomento altrettanto importante: le disuguaglianze logaritmiche ...

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Devi conoscere queste regole: nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizione e sottrazione di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non sono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log6 4 + log6 9.

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Ancora una volta, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Rimozione dell'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po 'il compito. Cosa succede se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere tolto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio necessiti di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno tolto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Passaggio a una nuova fondazione

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Li formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "capovolta", cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Prendiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora invertiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro per due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e liberiamoci degli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo era un vero compito dell'Esame di Stato Unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a da questa base stessa è uguale a uno.
loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

logaritmo numero positivo N alla base(B> 0, B 1 ) si chiama esponente X , a cui devi rilanciare b per ottenere N .

Notazione logaritmica:

Questa voce equivale alla seguente:b x = n .

ESEMPI: registro 3 81 \u003d 4, da 3 4 \u003d 81;

Ceppo 1/3 27 = – 3 , poiché (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

La definizione precedente del logaritmo può essere scritta come un'identità:

Proprietà fondamentali dei logaritmi.

1) tronco d'albero B= 1 , Perché B 1 = b.

2) registro 1 = 0 , Perché B 0 = 1 .

3) Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori:

tronco d'albero( ab) = registro UN+log B.

4) Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e il divisore:

tronco d'albero( UN/B) = registro UN-tronco d'albero B.

5) Il logaritmo del grado è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della sua base:

tronco d'albero (B K ) = K tronco d'albero B.

La conseguenza di questa proprietà è la seguente:radice logaritmica è uguale al logaritmo del numero radice diviso per la potenza della radice:

6) Se la base del logaritmo è un grado, allora il valore il reciproco dell'esponente può essere tolto dal segno del logaritmo rima:

Le ultime due proprietà possono essere combinate in una sola:

7) Formula del modulo di transizione (es. e . transizione da una baselogaritmo in un'altra base):

In un caso particolare, quando N = un abbiamo:

Logaritmo decimale chiamato logaritmo di base 10. È designato lg , cioè registro 10 N = LG N. Logaritmi dei numeri 10, 100, 1000, ... P sono rispettivamente 1, 2, 3, …,quelli. avere così tanti aspetti positivi

unità, quanti zeri ci sono nel numero logaritmico dopo uno. Logaritmi dei numeri 0.1, 0.01, 0.001, ... P avny rispettivamente –1, –2, –3, …, cioè avere tanti negativi quanti sono gli zeri nel numero logaritmico prima dell'uno ( conteggio e zero numeri interi). Logaritmi altri numeri hanno una parte frazionaria chiamata mantissa. Totaleviene chiamata una parte del logaritmo caratteristica. Per praticoi logaritmi decimali sono i più convenienti.

logaritmo naturale chiamato logaritmo di base e. È denotato ln , cioè tronco d'albero eN = ln N. Numero eè irrazionale,il valore approssimativo è 2,718281828. Esso è il limite verso cui tende il numero(1 + 1 / N) N con incremento illimitatoN(cm. primo meraviglioso limite ).
Per quanto strano possa sembrare, i logaritmi naturali si sono rivelati molto convenienti quando si eseguono varie operazioni relative all'analisi delle funzioni.Calcolo dei logaritmi in baseemolto più veloce di qualsiasi altra base.

Il logaritmo del numero b in base a è l'esponente a cui devi elevare il numero a per ottenere il numero b.

Se poi .

Il logaritmo è estremamente grande quantità matematica, poiché il calcolo logaritmico permette non solo di risolvere equazioni esponenziali, ma anche di operare con esponenti, differenziando funzioni esponenziali e logaritmiche, integrandole e portandole in una forma più accettabile per essere calcolate.

In contatto con

Tutte le proprietà dei logaritmi sono direttamente correlate alle proprietà delle funzioni esponenziali. Ad esempio, il fatto che significa che:

Va notato che quando si risolvono problemi specifici, le proprietà dei logaritmi possono essere più importanti e utili delle regole per lavorare con i poteri.

Ecco alcune identità:

Ecco le principali espressioni algebriche:

;

Attenzione! può esistere solo per x>0, x≠1, y>0.

Proviamo a capire la domanda su cosa siano i logaritmi naturali. Interesse separato per la matematica rappresentano due tipi- il primo ha alla base il numero "10", ed è detto "logaritmo decimale". Il secondo è chiamato naturale. La base del logaritmo naturale è il numero e. È di lui che parleremo in dettaglio in questo articolo.

Designazioni:

lg x - decimale;
ln x - naturale.

Usando l'identità, possiamo vedere che ln e = 1, così come che lg 10=1.

grafico logaritmico naturale

Costruiamo un grafico del logaritmo naturale nel modo classico standard per punti. Se lo desideri, puoi verificare se stiamo costruendo correttamente una funzione esaminando la funzione. Tuttavia, ha senso imparare a costruirlo "manualmente" per sapere come calcolare correttamente il logaritmo.

Funzione: y = log x. Scriviamo una tabella di punti attraverso i quali passerà il grafico:

Spieghiamo perché abbiamo scelto tali valori dell'argomento x. Si tratta di identità: Per un logaritmo naturale, questa identità sarà simile a questa:

Per comodità, possiamo prendere cinque punti di riferimento:

;

Pertanto, contare i logaritmi naturali è un compito abbastanza semplice, inoltre, semplifica il calcolo delle operazioni con potenze, trasformandole in moltiplicazione normale.

Avendo costruito un grafico per punti, otteniamo un grafico approssimativo:

Il dominio del logaritmo naturale (ovvero tutti i valori validi dell'argomento X) è costituito da tutti i numeri maggiori di zero.

Attenzione! Il dominio del logaritmo naturale include solo numeri positivi! L'ambito non include x=0. Ciò è impossibile in base alle condizioni per l'esistenza del logaritmo.

L'intervallo di valori (ovvero tutti i valori validi della funzione y = ln x) è costituito da tutti i numeri nell'intervallo .

limite logaritmico naturale

Studiando il grafico, sorge la domanda: come si comporta la funzione quando y<0.

Ovviamente il grafico della funzione tende ad incrociare l'asse delle ordinate, ma non potrà farlo, poiché il logaritmo naturale di x<0 не существует.

Limite naturale tronco d'albero si può scrivere così:

Formula per cambiare la base di un logaritmo

Trattare con un logaritmo naturale è molto più facile che trattare con un logaritmo che ha una base arbitraria. Ecco perché cercheremo di imparare come ridurre qualsiasi logaritmo a uno naturale o esprimerlo in una base arbitraria attraverso logaritmi naturali.

Iniziamo con l'identità logaritmica:

Quindi qualsiasi numero o variabile y può essere rappresentato come:

dove x è un numero qualsiasi (positivo secondo le proprietà del logaritmo).

Questa espressione può essere logaritmica su entrambi i lati. Facciamolo con una base arbitraria z:

Usiamo la proprietà (solo invece di "con" abbiamo un'espressione):

Da qui otteniamo la formula universale:

In particolare, se z=e, allora:

Siamo riusciti a rappresentare il logaritmo in una base arbitraria attraverso il rapporto di due logaritmi naturali.

Risolviamo problemi

Per navigare meglio nei logaritmi naturali, considera esempi di diversi problemi.

Compito 1. È necessario risolvere l'equazione ln x = 3.

Soluzione: Usando la definizione del logaritmo: se , allora , otteniamo:

Compito 2. Risolvi l'equazione (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluzione: Usando la definizione del logaritmo: se , allora , otteniamo:

Ancora una volta applichiamo la definizione di logaritmo:

Così:

Puoi calcolare approssimativamente la risposta o lasciarla in questo modulo.

Compito 3. Risolvi l'equazione.

Soluzione: Facciamo una sostituzione: t = ln x. Quindi l'equazione assumerà la seguente forma:

Abbiamo un'equazione quadratica. Troviamo il suo discriminante:

In statistica e teoria della probabilità, le quantità logaritmiche sono molto comuni. Questo non è sorprendente, perché il numero e - spesso riflette il tasso di crescita dei valori esponenziali.

In informatica, programmazione e teoria dei computer, i logaritmi sono abbastanza comuni, ad esempio, per memorizzare N bit in memoria.

Nelle teorie dei frattali e delle dimensioni, i logaritmi vengono costantemente utilizzati, poiché le dimensioni dei frattali sono determinate solo con il loro aiuto.

In meccanica e fisica non c'è sezione in cui non sono stati usati i logaritmi. La distribuzione barometrica, tutti i principi della termodinamica statistica, l'equazione di Tsiolkovsky e così via sono processi che possono essere descritti matematicamente solo usando i logaritmi.

In chimica, il logaritmo è usato nelle equazioni di Nernst, descrizioni dei processi redox.

Sorprendentemente, anche nella musica, per scoprire il numero di parti di un'ottava, si usano i logaritmi.

Logaritmo naturale Funzione y=ln x sue proprietà

Dimostrazione della proprietà principale del logaritmo naturale

Il logaritmo di un numero positivo b in base a (a>0, a non è uguale a 1) è un numero c tale che a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Si noti che il logaritmo di un numero non positivo non è definito. Inoltre, la base del logaritmo deve essere un numero positivo, diverso da 1. Ad esempio, se eleviamo al quadrato -2, otteniamo il numero 4, ma questo non significa che il logaritmo in base -2 di 4 sia 2.

Identità logaritmica di base

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

È importante che i domini di definizione delle parti destra e sinistra di questa formula siano diversi. Il lato sinistro è definito solo per b>0, a>0 e a ≠ 1. Il lato destro è definito per ogni b, e non dipende affatto da a. Pertanto, l'applicazione della "identità" logaritmica di base nella risoluzione di equazioni e disuguaglianze può portare a un cambiamento nel DPV.

Due ovvie conseguenze della definizione di logaritmo

logaritmo a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
logaritmo a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Infatti, elevando il numero a alla prima potenza, otteniamo lo stesso numero, e quando lo eleviamo alla potenza zero, otteniamo uno.

Logaritmo del prodotto e logaritmo del quoziente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Logaritmo a b c = logaritmo a b − logaritmo a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Vorrei mettere in guardia gli scolari dall'uso sconsiderato di queste formule quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche. Quando vengono utilizzati "da sinistra a destra", l'ODZ si restringe e quando si passa dalla somma o dalla differenza dei logaritmi al logaritmo del prodotto o del quoziente, l'ODZ si espande.

Infatti, l'espressione log a (f (x) g (x)) è definita in due casi: quando entrambe le funzioni sono strettamente positive o quando f(x) e g(x) sono entrambe minori di zero.

Trasformando questa espressione nella somma log a f (x) + log a g (x) , siamo costretti a limitarci solo al caso in cui f(x)>0 e g(x)>0. C'è un restringimento della gamma dei valori ammissibili, e questo è categoricamente inaccettabile, poiché può portare alla perdita di soluzioni. Un problema simile esiste per la formula (6).

Il grado può essere tolto dal segno del logaritmo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

E ancora una volta vorrei chiedere precisione. Considera il seguente esempio:

Logaritmo a (f (x) 2 = 2 logaritmico a f (x)

Il lato sinistro dell'uguaglianza è ovviamente definito per tutti i valori di f(x) tranne lo zero. Il lato destro è solo per f(x)>0! Togliendo la potenza dal logaritmo, restringiamo nuovamente l'ODZ. Il procedimento inverso porta ad un ampliamento del campo dei valori ammissibili. Tutte queste osservazioni si applicano non solo alla potenza di 2, ma anche a qualsiasi potenza pari.

Formula per trasferirsi in una nuova base

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Quel raro caso in cui l'ODZ non cambia durante la conversione. Se hai scelto saggiamente la base c (positiva e non uguale a 1), la formula per passare a una nuova base è perfettamente sicura.

Se scegliamo il numero b come nuova base c, otteniamo un importante caso particolare della formula (8):

Logaritmo a b = 1 logaritmo b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Alcuni semplici esempi con i logaritmi

Esempio 1 Calcolare: lg2 + lg50.
Soluzione. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Abbiamo usato la formula per la somma dei logaritmi (5) e la definizione del logaritmo decimale.

Esempio 2 Calcolare: lg125/lg5.
Soluzione. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Abbiamo usato la nuova formula di transizione di base (8).

Tabella delle formule relative ai logaritmi

un log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

logaritmo a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

deriva dalla sua definizione. E così il logaritmo del numero B per ragione UN definito come l'esponente al quale deve essere elevato un numero UN per ottenere il numero B(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

Da questa formulazione segue che il calcolo x=log a b, equivale a risolvere l'equazione ax=b. Per esempio, logaritmo 2 8 = 3 Perché 8 = 2 3 . La formulazione del logaritmo permette di giustificare che se b=a c, quindi il logaritmo del numero B per ragione UN equivale Con. È anche chiaro che l'argomento del logaritmo è strettamente correlato all'argomento della potenza di un numero.

Con i logaritmi, come con qualsiasi numero, puoi esibirti operazioni di addizione, sottrazione e trasformare in ogni modo possibile. Ma in considerazione del fatto che i logaritmi non sono numeri del tutto ordinari, qui si applicano le loro regole speciali, che vengono chiamate proprietà fondamentali.