Minimo comune multiplo di 3 e 2. Comune divisore e multiplo

Secondo numero: b=

Separatore di cifre Nessun separatore di spazi " ´

Risultato:

Massimo comune divisore MCD( UN,B)=6

Minimo comune multiplo di MCM( UN,B)=468

Si chiama il numero naturale più grande per il quale i numeri a e b sono divisibili senza resto massimo comun divisore(mcd) di questi numeri. Denotato mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) o hcf(a,b).

Minimo comune multiplo(LCM) di due numeri interi a e b è il più piccolo numero naturale divisibile per a e b senza resto. Denotato LCM(a,b), o lcm(a,b).

Vengono chiamati gli interi a e b coprimo se non hanno divisori comuni diversi da +1 e −1.

Massimo comun divisore

Si diano due numeri positivi UN 1 e UN 2 1). È necessario trovare un divisore comune di questi numeri, ad es. trovare un tale numero λ , che divide i numeri UN 1 e UN 2 contemporaneamente. Descriviamo l'algoritmo.

1) In questo articolo, la parola numero indicherà un numero intero.

Permettere UN 1 ≥ UN 2 e lascia

Dove M 1 , UN 3 sono alcuni numeri interi, UN 3 <UN 2 (resto dalla divisione UN 1 su UN 2 dovrebbe essere inferiore UN 2).

Facciamo finta che λ divide UN 1 e UN 2, quindi λ divide M 1 UN 2 e λ divide UN 1 −M 1 UN 2 =UN 3 (Asserzione 2 dell'articolo "Divisibilità dei numeri. Segno di divisibilità"). Ne consegue che ogni comune divisore UN 1 e UN 2 è un divisore comune UN 2 e UN 3 . Vale anche il contrario se λ divisore comune UN 2 e UN 3, quindi M 1 UN 2 e UN 1 =M 1 UN 2 +UN 3 sono anche divisi in λ . Da qui il divisore comune UN 2 e UN 3 è anche un divisore comune UN 1 e UN 2. Perché UN 3 <UN 2 ≤UN 1 , allora possiamo dire che la soluzione al problema di trovare un divisore comune di numeri UN 1 e UN 2 ridotto a un problema più semplice di trovare un divisore comune di numeri UN 2 e UN 3 .

Se UN 3 ≠0, allora possiamo dividere UN 2 su UN 3 . Poi

,

Dove M 1 e UN 4 sono alcuni numeri interi, ( UN 4 resto della divisione UN 2 su UN 3 (UN 4 <UN 3)). Con un ragionamento simile, arriviamo alla conclusione che i divisori comuni dei numeri UN 3 e UN 4 è uguale ai divisori comuni dei numeri UN 2 e UN 3 , e anche con divisori comuni UN 1 e UN 2. Perché UN 1 , UN 2 , UN 3 , UN 4 , ... numeri che sono in costante diminuzione, e poiché c'è un numero finito di numeri interi in mezzo UN 2 e 0, quindi ad un certo punto N, resto della divisione UN n su UN n+1 sarà uguale a zero ( UN n+2=0).

.

Ogni comune divisore λ numeri UN 1 e UN 2 è anche un divisore di numeri UN 2 e UN 3 , UN 3 e UN 4 , .... UN n e UN n+1. È vero anche il contrario, divisori comuni di numeri UN n e UN n+1 sono anche divisori di numeri UN n−1 e UN N , .... , UN 2 e UN 3 , UN 1 e UN 2. Ma il divisore comune UN n e UN n+1 è un numero UN n+1 , perché UN n e UN n+1 sono divisibili per UN n+1 (ricorda che UN n+2=0). Quindi UN n+1 è anche un divisore di numeri UN 1 e UN 2 .

Si noti che il numero UN n+1 è il massimo divisore di numeri UN n e UN n+1 , dal massimo divisore UN n+1 è se stesso UN n+1. Se UN n + 1 può essere rappresentato come un prodotto di numeri interi, quindi questi numeri sono anche divisori comuni di numeri UN 1 e UN 2. Numero UN n+1 sono chiamati massimo comun divisore numeri UN 1 e UN 2 .

Numeri UN 1 e UN 2 può essere sia un numero positivo che un numero negativo. Se uno dei numeri è uguale a zero, il massimo comune divisore di questi numeri sarà uguale al valore assoluto dell'altro numero. Il massimo comune divisore di numeri zero non è definito.

Viene chiamato l'algoritmo di cui sopra Algoritmo di Euclide trovare il massimo comune divisore di due numeri interi.

Un esempio di come trovare il massimo comune divisore di due numeri

Trova il massimo comune divisore di due numeri 630 e 434.

• Passaggio 1. Dividi il numero 630 per 434. Il resto è 196.
• Passaggio 2. Dividi il numero 434 per 196. Il resto è 42.
• Passaggio 3. Dividi il numero 196 per 42. Il resto è 28.
• Passaggio 4. Dividi il numero 42 per 28. Il resto è 14.
• Passaggio 5. Dividi il numero 28 per 14. Il resto è 0.

Al passaggio 5, il resto della divisione è 0. Pertanto, il massimo comune divisore dei numeri 630 e 434 è 14. Nota che i numeri 2 e 7 sono anche divisori dei numeri 630 e 434.

Numeri coprimi

Definizione 1. Sia il massimo comune divisore di numeri UN 1 e UN 2 è uguale a uno. Quindi questi numeri vengono chiamati numeri coprimi che non hanno un divisore comune.

Teorema 1. Se UN 1 e UN 2 numeri relativamente primi, e λ qualche numero, quindi qualsiasi divisore comune di numeri λa 1 e UN 2 è anche un comune divisore di numeri λ E UN 2 .

Prova. Considera l'algoritmo di Euclide per trovare il massimo comune divisore di numeri UN 1 e UN 2 (vedi sopra).

.

Dalle condizioni del teorema risulta che il massimo comune divisore di numeri UN 1 e UN 2, e quindi UN n e UN n+1 è 1. Cioè UN n+1=1.

Moltiplichiamo tutte queste uguaglianze per λ , Poi

.

Sia il comune divisore UN 1 λ E UN 2 è δ . Poi δ entra come un fattore in UN 1 λ , M 1 UN 2 λ e dentro UN 1 λ -M 1 UN 2 λ =UN 3 λ (Vedi "Divisibilità dei numeri", Affermazione 2). Ulteriore δ entra come un fattore in UN 2 λ E M 2 UN 3 λ , e quindi entra come fattore in UN 2 λ -M 2 UN 3 λ =UN 4 λ .

Ragionando in questo modo, ne siamo convinti δ entra come un fattore in UN n−1 λ E M n−1 UN N λ , e quindi dentro UN n−1 λ −M n−1 UN N λ =UN n+1 λ . Perché UN n+1 =1, quindi δ entra come un fattore in λ . Da qui il numero δ è un divisore comune di numeri λ E UN 2 .

Consideriamo casi speciali del Teorema 1.

Conseguenza 1. Permettere UN E C i numeri primi sono relativamente B. Quindi il loro prodotto ACè un numero primo rispetto a B.

Veramente. Dal Teorema 1 AC E B hanno gli stessi divisori comuni di C E B. Ma i numeri C E B coprimo, cioè avere un unico divisore comune 1. Allora AC E B hanno anche un unico divisore comune 1. Quindi AC E B reciprocamente semplice.

Conseguenza 2. Permettere UN E B numeri coprimi e let B divide ak. Poi B divide e K.

Veramente. Dalla condizione di asserzione ak E B hanno un divisore comune B. In virtù del Teorema 1, B deve essere un divisore comune B E K. Quindi B divide K.

Il Corollario 1 può essere generalizzato.

Conseguenza 3. 1. Facciamo i numeri UN 1 , UN 2 , UN 3 , ..., UN m sono primi rispetto al numero B. Poi UN 1 UN 2 , UN 1 UN 2 · UN 3 , ..., UN 1 UN 2 UN 3 ··· UN m , il prodotto di questi numeri è primo rispetto al numero B.

2. Diamo due righe di numeri

tale che ogni numero della prima riga sia primo rispetto a ogni numero della seconda riga. Poi il prodotto

È necessario trovare tali numeri che sono divisibili per ciascuno di questi numeri.

Se il numero è divisibile per UN 1 , quindi sembra sa 1, dove S qualche numero. Se Qè il massimo comune divisore di numeri UN 1 e UN 2, quindi

Dove S 1 è un numero intero. Poi

È minimo comune multiplo di numeri UN 1 e UN 2 .

UN 1 e UN 2 coprimo, quindi il minimo comune multiplo dei numeri UN 1 e UN 2:

Trova il minimo comune multiplo di questi numeri.

Ne consegue da quanto sopra che qualsiasi multiplo dei numeri UN 1 , UN 2 , UN 3 deve essere un multiplo di numeri ε E UN 3 e viceversa. Sia il minimo comune multiplo dei numeri ε E UN 3 è ε 1 . Inoltre, un multiplo di numeri UN 1 , UN 2 , UN 3 , UN 4 deve essere un multiplo di numeri ε 1 e UN 4 . Sia il minimo comune multiplo dei numeri ε 1 e UN 4 è ε 2. Quindi, abbiamo scoperto che tutti i multipli di numeri UN 1 , UN 2 , UN 3 ,...,UN m coincidono con multipli di un numero specifico ε n , che è chiamato il minimo comune multiplo dei numeri dati.

Nel caso particolare in cui i numeri UN 1 , UN 2 , UN 3 ,...,UN m coprimo, quindi il minimo comune multiplo dei numeri UN 1 , UN 2 come mostrato sopra ha la forma (3). Inoltre, poiché UN 3 primo rispetto ai numeri UN 1 , UN 2, quindi UN 3 è un numero primo relativo UN 1 · UN 2 (Corollario 1). Quindi il minimo comune multiplo dei numeri UN 1 ,UN 2 ,UN 3 è un numero UN 1 · UN 2 · UN 3 . Ragionando in modo simile, arriviamo alle seguenti asserzioni.

Dichiarazione 1. Minimo comune multiplo di numeri coprimi UN 1 , UN 2 , UN 3 ,...,UN m è uguale al loro prodotto UN 1 · UN 2 · UN 3 ··· UN M .

Dichiarazione 2. Qualsiasi numero divisibile per ciascuno dei numeri coprimi UN 1 , UN 2 , UN 3 ,...,UN m è anche divisibile per il loro prodotto UN 1 · UN 2 · UN 3 ··· UN M .

Un multiplo di un numero è un numero divisibile per un dato numero senza resto. Il minimo comune multiplo (MCM) di un gruppo di numeri è il numero più piccolo divisibile uniformemente per ogni numero del gruppo. Per trovare il minimo comune multiplo, devi trovare i fattori primi dei numeri dati. Inoltre, LCM può essere calcolato utilizzando una serie di altri metodi applicabili a gruppi di due o più numeri.

Passi

Una serie di multipli

Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto è meglio utilizzato quando vengono forniti due numeri che sono entrambi inferiori a 10. Se vengono forniti numeri grandi, utilizzare un metodo diverso.

• Ad esempio, trova il minimo comune multiplo dei numeri 5 e 8. Questi sono numeri piccoli, quindi è possibile utilizzare questo metodo.

1. Un multiplo di un numero è un numero divisibile per un dato numero senza resto. Più numeri possono essere trovati nella tavola pitagorica.

   • Ad esempio, i numeri multipli di 5 sono: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Scrivi una serie di numeri che sono multipli del primo numero. Fai questo sotto multipli del primo numero per confrontare due righe di numeri.

   • Ad esempio, i numeri multipli di 8 sono: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.

3. Trova il numero più piccolo che appare in entrambe le serie di multipli. Potrebbe essere necessario scrivere lunghe serie di multipli per trovare il totale. Il numero più piccolo che appare in entrambe le serie di multipli è il minimo comune multiplo.

   • Ad esempio, il numero più piccolo che appare nella serie di multipli di 5 e 8 è 40. Pertanto, 40 è il minimo comune multiplo di 5 e 8.

   fattorizzazione in numeri primi

   1. Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto è meglio utilizzato quando vengono forniti due numeri che sono entrambi maggiori di 10. Se vengono forniti numeri più piccoli, utilizzare un metodo diverso.

      • Ad esempio, trova il minimo comune multiplo dei numeri 20 e 84. Ciascuno dei numeri è maggiore di 10, quindi è possibile utilizzare questo metodo.

   2. Fattorizzare il primo numero. Cioè, devi trovare tali numeri primi, quando moltiplicati, ottieni un dato numero. Dopo aver trovato i fattori primi, scrivili come uguaglianza.

      • Per esempio, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) E 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Pertanto, i fattori primi del numero 20 sono i numeri 2, 2 e 5. Scrivili come espressione: .

   3. Fattorizzare il secondo numero in fattori primi. Fallo nello stesso modo in cui hai fattorizzato il primo numero, cioè trova quei numeri primi che, una volta moltiplicati, otterranno questo numero.

      • Per esempio, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) E 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ volte (\ mathbf (2)) = 6). Pertanto, i fattori primi del numero 84 sono i numeri 2, 7, 3 e 2. Scrivili come espressione: .

   4. Scrivi i fattori comuni a entrambi i numeri. Scrivi tali fattori come un'operazione di moltiplicazione. Mentre annoti ogni fattore, cancellalo in entrambe le espressioni (espressioni che descrivono la scomposizione dei numeri in fattori primi).

      • Ad esempio, il fattore comune per entrambi i numeri è 2, quindi scrivi 2 × (\displaystyle 2\times ) e cancella il 2 in entrambe le espressioni.
      • Il fattore comune per entrambi i numeri è un altro fattore di 2, quindi scrivi 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) e cancella il secondo 2 in entrambe le espressioni.

   5. Aggiungi i restanti fattori all'operazione di moltiplicazione. Questi sono fattori che non sono barrati in entrambe le espressioni, cioè fattori che non sono comuni a entrambi i numeri.

      • Ad esempio, nell'espressione 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\2 volte\5 volte) entrambi i due (2) sono barrati perché sono fattori comuni. Il fattore 5 non è barrato, quindi scrivi l'operazione di moltiplicazione come segue: 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 2 \ volte 2 \ volte 5)
      • Nell'espressione 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\7 volte\3 volte\2 volte) anche entrambi i due (2) sono barrati. I fattori 7 e 3 non sono cancellati, quindi scrivi l'operazione di moltiplicazione come segue: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ Displaystyle 2 \ volte 2 \ volte 5 \ volte 7 \ volte 3).

   6. Calcola il minimo comune multiplo. Per fare ciò, moltiplica i numeri nell'operazione di moltiplicazione scritta.

      • Per esempio, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Quindi il minimo comune multiplo di 20 e 84 è 420.

   Trovare divisori comuni

   1. Disegna una griglia come faresti per un gioco di tris. Tale griglia consiste di due linee parallele che si intersecano (ad angolo retto) con altre due linee parallele. Ciò si tradurrà in tre righe e tre colonne (la griglia assomiglia molto al segno #). Scrivi il primo numero nella prima riga e nella seconda colonna. Scrivi il secondo numero nella prima riga e nella terza colonna.

      • Ad esempio, trova il minimo comune multiplo di 18 e 30. Scrivi 18 nella prima riga e nella seconda colonna e 30 nella prima riga e nella terza colonna.

   2. Trova il divisore comune a entrambi i numeri. Scrivilo nella prima riga e nella prima colonna. È meglio cercare divisori primi, ma questo non è un prerequisito.

      • Ad esempio, 18 e 30 sono numeri pari, quindi il loro divisore comune è 2. Quindi scrivi 2 nella prima riga e nella prima colonna.

   3. Dividi ogni numero per il primo divisore. Scrivi ogni quoziente sotto il numero corrispondente. Il quoziente è il risultato della divisione di due numeri.

      • Per esempio, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), quindi scrivi 9 sotto 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), quindi scrivi 15 sotto 30.

   4. Trova un divisore comune a entrambi i quozienti. Se non esiste tale divisore, saltare i due passaggi successivi. Altrimenti, scrivi il divisore nella seconda riga e nella prima colonna.

      • Ad esempio, 9 e 15 sono divisibili per 3, quindi scrivi 3 nella seconda riga e nella prima colonna.

   5. Dividi ogni quoziente per il secondo divisore. Scrivi il risultato di ogni divisione sotto il quoziente corrispondente.

      • Per esempio, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), quindi scrivi 3 sotto 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), quindi scrivi 5 sotto 15.

   6. Se necessario, integrare la griglia con celle aggiuntive. Ripeti i passaggi precedenti finché i quozienti non hanno un divisore comune.

   7. Cerchia i numeri nella prima colonna e nell'ultima riga della griglia. Quindi scrivi i numeri evidenziati come un'operazione di moltiplicazione.

      • Ad esempio, i numeri 2 e 3 sono nella prima colonna e i numeri 3 e 5 sono nell'ultima riga, quindi scrivi l'operazione di moltiplicazione in questo modo: 2 × 3 × 3 × 5 (\ Displaystyle 2 \ volte 3 \ volte 3 \ volte 5).

   8. Trova il risultato della moltiplicazione dei numeri. Questo calcolerà il minimo comune multiplo dei due numeri dati.

      • Per esempio, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Quindi il minimo comune multiplo di 18 e 30 è 90.

   Algoritmo di Euclide

   1. Ricorda la terminologia associata all'operazione di divisione. Il dividendo è il numero che viene diviso. Il divisore è il numero per cui dividere. Il quoziente è il risultato della divisione di due numeri. Il resto è il numero rimasto quando due numeri vengono divisi.

      • Ad esempio, nell'espressione 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) riposo. 3:
        15 è il divisibile
        6 è il divisore
        2 è privato
        3 è il resto.

Ma molti numeri naturali sono equamente divisibili per altri numeri naturali.

Per esempio:

Il numero 12 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12;

Il numero 36 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12, per 18, per 36.

I numeri per i quali il numero è divisibile (per 12 è 1, 2, 3, 4, 6 e 12) sono chiamati divisori numerici. Divisore di un numero naturale UNè il numero naturale che divide il numero dato UN senza traccia. Si chiama un numero naturale che ha più di due divisori composito .

Nota che i numeri 12 e 36 hanno divisori comuni. Questi sono i numeri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Il più grande divisore di questi numeri è 12. Il comune divisore di questi due numeri UN E Bè il numero per il quale entrambi i numeri dati sono divisibili senza resto UN E B.

multiplo comune più numeri è chiamato il numero che è divisibile per ciascuno di questi numeri. Per esempio, i numeri 9, 18 e 45 hanno un multiplo comune di 180. Ma 90 e 360 ​​sono anche i loro multipli comuni. Tra tutti i multipli jcomuni c'è sempre il più piccolo, in questo caso è 90. Questo numero si chiama menomultiplo comune (LCM).

MCM è sempre un numero naturale, che deve essere maggiore del più grande dei numeri per i quali è definito.

Minimo comune multiplo (LCM). Proprietà.

Commutatività:

Associatività:

In particolare, se e sono numeri coprimi, allora:

Minimo comune multiplo di due numeri interi M E Nè un divisore di tutti gli altri multipli comuni M E N. Inoltre, l'insieme dei multipli comuni m, n coincide con l'insieme dei multipli per MCM( m, n).

Gli asintotici per possono essere espressi in termini di alcune funzioni di teoria dei numeri.

COSÌ, Funzione di Chebyshev. E:

Ciò deriva dalla definizione e dalle proprietà della funzione di Landau sol(n).

Cosa segue dalla legge di distribuzione dei numeri primi.

Trovare il minimo comune multiplo (LCM).

NOC( a, b) può essere calcolato in diversi modi:

1. Se si conosce il massimo comune divisore, è possibile utilizzare la sua relazione con l'LCM:

2. Sia nota la scomposizione canonica di entrambi i numeri in fattori primi:

Dove p 1 ,...,p k sono vari numeri primi, e d 1 ,...,dk E e 1 ,...,ek sono numeri interi non negativi (possono essere zero se il numero primo corrispondente non è nell'espansione).

Quindi LCM ( UN,B) è calcolato dalla formula:

In altre parole, l'espansione MCM contiene tutti i fattori primi inclusi in almeno una delle espansioni numeriche a, b, e si prende il più grande dei due esponenti di questo fattore.

Esempio:

Il calcolo del minimo comune multiplo di più numeri può essere ridotto a diversi calcoli successivi del LCM di due numeri:

Regola. Per trovare l'LCM di una serie di numeri, è necessario:

- scomporre i numeri in fattori primi;

- trasferire la massima espansione ai fattori del prodotto desiderato (il prodotto dei fattori del maggior numero di quelli dati), quindi aggiungere fattori dall'espansione di altri numeri che non si verificano nel primo numero o sono in esso un minor numero di volte;

- il risultante prodotto di fattori primi sarà il MCM dei numeri dati.

Qualsiasi due o più numeri naturali hanno il proprio MCM. Se i numeri non sono multipli l'uno dell'altro o non hanno gli stessi fattori nell'espansione, allora il loro MCM è uguale al prodotto di questi numeri.

I fattori primi del numero 28 (2, 2, 7) sono stati integrati con un fattore 3 (il numero 21), il prodotto risultante (84) sarà il numero più piccolo divisibile per 21 e 28.

I fattori primi del numero più grande 30 sono stati integrati con un fattore 5 del numero 25, il prodotto risultante 150 è maggiore del numero più grande 30 ed è divisibile per tutti i numeri dati senza resto. Questo è il prodotto più piccolo possibile (150, 250, 300...) di cui tutti i numeri dati sono multipli.

I numeri 2,3,11,37 sono primi, quindi il loro MCM è uguale al prodotto dei numeri dati.

regola. Per calcolare il MCM dei numeri primi, devi moltiplicare tutti questi numeri insieme.

Un'altra opzione:

Per trovare il minimo comune multiplo (MCM) di più numeri è necessario:

1) rappresentare ciascun numero come prodotto dei suoi fattori primi, ad esempio:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) scrivi le potenze di tutti i fattori primi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) annotare tutti i divisori primi (moltiplicatori) di ciascuno di questi numeri;

4) scegli il grado più grande di ciascuno di essi, che si trova in tutte le espansioni di questi numeri;

5) moltiplicare questi poteri.

Esempio. Trova l'LCM dei numeri: 168, 180 e 3024.

Soluzione. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Scriviamo le maggiori potenze di tutti i divisori primi e le moltiplichiamo:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

L'argomento "Numeri multipli" è studiato nella quinta elementare di una scuola comprensiva. Il suo obiettivo è migliorare le abilità scritte e orali dei calcoli matematici. In questa lezione vengono introdotti nuovi concetti: "numeri multipli" e "divisori", viene elaborata la tecnica per trovare divisori e multipli di un numero naturale, viene elaborata la capacità di trovare LCM in vari modi.

Questo argomento è molto importante. La conoscenza su di esso può essere applicata quando si risolvono esempi con frazioni. Per fare ciò, devi trovare il denominatore comune calcolando il minimo comune multiplo (LCM).

Un multiplo di A è un numero intero divisibile per A senza resto.

Ogni numero naturale ha un numero infinito di multipli di esso. È considerato il minimo. Un multiplo non può essere minore del numero stesso.

È necessario dimostrare che il numero 125 è un multiplo del numero 5. Per fare ciò, devi dividere il primo numero per il secondo. Se 125 è divisibile per 5 senza resto, allora la risposta è sì.

Questo metodo è applicabile per piccoli numeri.

Quando si calcola l'LCM, ci sono casi speciali.

1. Se devi trovare un multiplo comune per 2 numeri (ad esempio, 80 e 20), dove uno di essi (80) è divisibile senza resto per l'altro (20), allora questo numero (80) è il più piccolo multiplo di questi due numeri.

MC (80, 20) = 80.

2. Se due non hanno un divisore comune, allora possiamo dire che il loro MCM è il prodotto di questi due numeri.

MC (6, 7) = 42.

Considera l'ultimo esempio. 6 e 7 in relazione a 42 sono divisori. Dividono un multiplo senza resto.

In questo esempio, 6 e 7 sono divisori di coppia. Il loro prodotto è uguale al numero più multiplo (42).

Un numero è detto primo se è divisibile solo per se stesso o per 1 (3:1=3; 3:3=1). Il resto è chiamato composito.

In un altro esempio, devi determinare se 9 è un divisore rispetto a 42.

42:9=4 (resto 6)

Risposta: 9 non è un divisore di 42 perché la risposta ha resto.

Un divisore differisce da un multiplo in quanto il divisore è il numero per cui sono divisi i numeri naturali e il multiplo è esso stesso divisibile per quel numero.

Massimo comune divisore di numeri UN E B, moltiplicato per il loro multiplo più piccolo, darà il prodotto dei numeri stessi UN E B.

Vale a dire: MCD (a, b) x MCM (a, b) = a x b.

I multipli comuni per i numeri più complessi si trovano nel modo seguente.

Ad esempio, trova l'LCM per 168, 180, 3024.

Scomponiamo questi numeri in fattori primi, li scriviamo come prodotto di potenze:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

MCM (168, 180, 3024) = 15120.

Per capire come calcolare l'LCM, dovresti prima determinare il significato del termine "multiplo".

Un multiplo di A è un numero naturale divisibile senza resto per A. Pertanto, 15, 20, 25 e così via possono essere considerati multipli di 5.

Può esserci un numero limitato di divisori di un numero particolare, ma esiste un numero infinito di multipli.

Un multiplo comune di numeri naturali è un numero divisibile per essi senza resto.

Come trovare il minimo comune multiplo di numeri

Il minimo comune multiplo (MCM) di numeri (due, tre o più) è il più piccolo numero naturale divisibile uniformemente per tutti questi numeri.

Per trovare il NOC, puoi utilizzare diversi metodi.

Per i numeri piccoli, è conveniente scrivere in una riga tutti i multipli di questi numeri fino a trovarne uno comune. I multipli sono indicati nel registro con la lettera maiuscola K.

Ad esempio, i multipli di 4 possono essere scritti in questo modo:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Quindi, puoi vedere che il minimo comune multiplo dei numeri 4 e 6 è il numero 24. Questa voce viene eseguita come segue:

MCM(4, 6) = 24

Se i numeri sono grandi, trova il multiplo comune di tre o più numeri, quindi è meglio usare un altro modo per calcolare l'LCM.

Per completare l'attività, è necessario scomporre i numeri proposti in fattori primi.

Per prima cosa devi scrivere l'espansione del più grande dei numeri in una riga, e sotto di essa - il resto.

Nell'espansione di ciascun numero, potrebbe esserci un numero diverso di fattori.

Ad esempio, scomponiamo i numeri 50 e 20 in fattori primi.

Nell'espansione del numero più piccolo, bisogna sottolineare i fattori che mancano nell'espansione del primo numero più grande, e poi aggiungerli ad esso. Nell'esempio presentato manca un due.

Ora possiamo calcolare il minimo comune multiplo di 20 e 50.

MCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Pertanto, il prodotto dei fattori primi del numero maggiore e dei fattori del secondo numero, che non sono inclusi nella scomposizione del numero maggiore, sarà il minimo comune multiplo.

Per trovare il mcm di tre o più numeri occorre scomporli tutti in fattori primi, come nel caso precedente.

Ad esempio, puoi trovare il minimo comune multiplo dei numeri 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Pertanto, solo due due dalla scomposizione di sedici non sono stati inclusi nella fattorizzazione di un numero maggiore (uno è nella scomposizione di ventiquattro).

Pertanto, devono essere aggiunti alla decomposizione di un numero maggiore.

MCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ci sono casi speciali di determinazione del minimo comune multiplo. Quindi, se uno dei numeri può essere diviso senza resto per un altro, allora il più grande di questi numeri sarà il minimo comune multiplo.

Ad esempio, i NOC di dodici e ventiquattro sarebbero ventiquattro.

Se è necessario trovare il minimo comune multiplo di numeri coprimi che non hanno gli stessi divisori, allora il loro MCM sarà uguale al loro prodotto.

Ad esempio, LCM(10, 11) = 110.