Radice quadrata. Teoria dettagliata con esempi

Il concetto di radice quadrata di un numero non negativo

Considera l'equazione x2 = 4. Risolviamola graficamente. Per fare questo, in un unico sistema coordinate costruire una parabola y = x2 e una retta y = 4 (Fig. 74). Si intersecano in due punti A (- 2; 4) e B (2; 4). Le ascisse dei punti A e B sono le radici dell'equazione x2 = 4. Quindi, x1 = - 2, x2 = 2.

Discutendo allo stesso modo, troviamo le radici dell'equazione x2 \u003d 9 (vedi Fig. 74): x1 \u003d - 3, x2 \u003d 3.

E ora proviamo a risolvere l'equazione x2 = 5; l'illustrazione geometrica è mostrata in fig. 75. È chiaro che questa equazione ha due radici x1 e x2, e questi numeri, come nei due casi precedenti, sono uguali in valore assoluto e opposti nel segno (x1 - - x2) - Ma a differenza dei casi precedenti, dove il le radici dell'equazione sono state trovate senza difficoltà (e si potevano trovare anche senza usare grafici), questo non è il caso dell'equazione x2 \u003d 5: secondo il disegno non possiamo indicare i valori delle radici , possiamo solo stabilire quello radice situato leggermente a sinistra del punto - 2, e il secondo - leggermente a destra del punto 2.

Ma qui ci attende una spiacevole sorpresa. Si scopre che non esiste frazioni DIV_ADBLOCK32">

Supponiamo che esista una tale frazione irriducibile per la quale l'uguaglianza https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, cioè m2 = 5n2. L'ultima uguaglianza significa che numero naturale m2 è divisibile per 5 senza resto (nel quoziente otteniamo n2).

Di conseguenza, il numero m2 termina o con il numero 5 o con il numero 0. Ma allora anche il numero naturale m termina con il numero 5 o con il numero 0, cioè il numero m è divisibile per 5 senza resto. In altre parole, se il numero m è diviso per 5, nel quoziente si otterrà un numero naturale k. Ciò significa che m = 5k.

E ora guarda:

Sostituisci 5k per m nella prima equazione:

(5k)2 = 5n2, cioè 25k2 = 5n2 o n2 = 5k2.

L'ultima uguaglianza significa che il numero. 5n2 è divisibile per 5 senza resto. Argomentando come sopra, arriviamo alla conclusione che il numero n è anche divisibile per 5 senza resto.

Quindi, m è divisibile per 5, n è divisibile per 5, quindi la frazione può essere ridotta (di 5). Ma supponiamo che la frazione sia irriducibile. Qual è il problema? Perché, ragionando correttamente, siamo giunti a un'assurdità o, come dicono spesso i matematici, abbiamo ottenuto una contraddizione "! Sì, perché la premessa originale era errata, come se esistesse una frazione così irriducibile, per la quale l'uguaglianza ).

Se, come risultato di un ragionamento corretto, arriviamo a una contraddizione con la condizione, allora concludiamo: la nostra ipotesi è errata, il che significa che ciò che doveva essere dimostrato è vero.

Quindi, avendo solo numeri razionali(e non conosciamo ancora altri numeri), non saremo in grado di risolvere l'equazione x2 \u003d 5.

Avendo incontrato una situazione del genere per la prima volta, i matematici si sono resi conto che dovevano trovare un modo per descriverla in linguaggio matematico. Hanno introdotto un nuovo simbolo in considerazione, che hanno chiamato la radice quadrata, e con l'aiuto di questo simbolo, le radici dell'equazione x2 = 5 sono state scritte come segue: ). Ora per qualsiasi equazione della forma x2 \u003d a, dove a\u003e O, puoi trovare le radici: sono numerihttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} non un intero o una frazione.
Ciò significa che non è un numero razionale, è un numero di nuova natura, parleremo in particolare di tali numeri più avanti, nel capitolo 5.
Per ora, basta notare che il nuovo numero è compreso tra 2 e 3, poiché 22 = 4, che è minore di 5; Z2 \u003d 9, che è più di 5. Puoi chiarire:

Ancora una volta, si noti che nella tabella compaiono solo numeri positivi, poiché ciò è stabilito nella definizione della radice quadrata. E sebbene, ad esempio, \u003d 25 sia l'uguaglianza corretta, passa da essa alla notazione usando la radice quadrata (cioè, scrivi quella. .jpg" alt="(!ITA:.jpg" width="42" height="30">!}è un numero positivo, quindi https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Ciò che è chiaro è che è maggiore di 4 ma minore di 5, poiché 42 = 16 (che è minore di 17) e 52 = 25 (che è maggiore di 17).
Tuttavia, è possibile trovare un valore approssimativo del numero utilizzando calcolatrice, che contiene l'operazione radice quadrata; questo valore è 4.123.

Il numero , come il numero considerato sopra, non è razionale.
e) Non può essere calcolato perché la radice quadrata di un numero negativo non esiste; la voce è priva di significato. L'attività proposta non è corretta.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Attività" width="80" height="33 id=">!}, poiché 75 > 0 e 752 = 5625.

Nei casi più semplici, il valore della radice quadrata viene calcolato immediatamente:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Attività" width="65" height="42 id=">!}
Soluzione.
Primo stadio. Non è difficile indovinare che la risposta sarà 50 con una "coda". Infatti, 502 = 2500 e 602 = 3600, mentre 2809 è compreso tra 2500 e 3600.

Considera l'equazione x 2 = 4. Risolviamola graficamente. Per fare ciò, in un sistema di coordinate, costruiamo una parabola y \u003d x 2 e una linea retta y \u003d 4 (Fig. 74). Si intersecano in due punti A (- 2; 4) e B (2; 4). Le ascisse dei punti A e B sono le radici dell'equazione x 2 \u003d 4. Quindi, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Discutendo allo stesso modo, troviamo le radici dell'equazione x 2 \u003d 9 (vedi Fig. 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

E ora proviamo a risolvere l'equazione x 2 \u003d 5; l'illustrazione geometrica è mostrata in fig. 75. È chiaro che questa equazione ha due radici x 1 e x 2, e questi numeri, come nei due casi precedenti, sono uguali in valore assoluto e opposti nel segno (x 1 - - x 2) - Ma a differenza del precedente casi , in cui le radici dell'equazione sono state trovate senza difficoltà (e si potevano trovare anche senza usare grafici), questo non è il caso dell'equazione x 2 \u003d 5: secondo il disegno non possiamo indicare i valori \u200b\u200bdelle radici, possiamo solo stabilire che una radice si trova leggermente a sinistra dei punti - 2, e la seconda - un po 'a destra

punti 2.

Qual è questo numero (punto), che si trova appena a destra del punto 2 e che dà 5 al quadrato? È chiaro che questo non è 3, poiché Z 2 \u003d 9, cioè risulta più del necessario (9\u003e 5).

Ciò significa che il numero che ci interessa si trova tra i numeri 2 e 3. Ma tra i numeri 2 e 3 c'è un insieme infinito di numeri razionali, ad esempio ecc. Forse tra loro c'è una tale frazione che ? Quindi non avremo problemi con l'equazione x 2 - 5, possiamo scriverlo

Ma qui ci attende una spiacevole sorpresa. Si scopre che non esiste una tale frazione per la quale l'uguaglianza
La prova dell'affermazione dichiarata è piuttosto difficile. Tuttavia lo diamo perché è bello e istruttivo, è molto utile per cercare di capirlo.

Supponiamo che esista una tale frazione irriducibile , per la quale vale l'uguaglianza. Allora , cioè m 2 = 5n 2 . L'ultima uguaglianza significa che il numero naturale m 2 è divisibile per 5 senza resto (in particolare, risulterà n2).

Di conseguenza, il numero m 2 termina o con il numero 5 o con il numero 0. Ma allora anche il numero naturale m termina con il numero 5 o con il numero 0, cioè il numero m è divisibile per 5 senza resto. In altre parole, se il numero m è diviso per 5, nel quoziente si otterrà un numero naturale k. Questo significa,
che m = 5k.
E ora guarda:
m 2 \u003d 5n 2;
Sostituisci 5k per m nella prima equazione:

(5k) 2 = 5n 2 , cioè 25k 2 = 5n 2 o n 2 = 5k 2 .
L'ultima uguaglianza significa che il numero. 5n 2 è divisibile per 5 senza resto. Argomentando come sopra, arriviamo alla conclusione che il numero n è anche divisibile per 5 senza resto.
Quindi, m è divisibile per 5, n è divisibile per 5, quindi la frazione può essere ridotta (di 5). Ma supponiamo che la frazione sia irriducibile. Qual è il problema? Perché, ragionando correttamente, siamo giunti a un'assurdità o, come dicono spesso i matematici, abbiamo ottenuto una contraddizione "! Sì, perché la premessa originale era errata, come se esistesse una frazione così irriducibile, per la quale l'uguaglianza
Da ciò concludiamo: non esiste una tale frazione.
Il metodo di dimostrazione che abbiamo appena applicato è chiamato in matematica metodo di dimostrazione per assurdo. La sua essenza è la seguente. Dobbiamo dimostrare una certa affermazione e supponiamo che non sia valida (i matematici dicono: "supponiamo il contrario" - non nel senso di "spiacevole", ma nel senso di "l'opposto di ciò che è richiesto").
Se, come risultato di un ragionamento corretto, arriviamo a una contraddizione con la condizione, allora concludiamo: la nostra ipotesi è errata, il che significa che ciò che doveva essere dimostrato è vero.

Quindi, avendo solo numeri razionali (e non conosciamo ancora altri numeri), non saremo in grado di risolvere l'equazione x 2 \u003d 5.
Avendo incontrato una situazione del genere per la prima volta, i matematici si sono resi conto che dovevano trovare un modo per descriverla in linguaggio matematico. Hanno introdotto un nuovo simbolo in considerazione, che hanno chiamato la radice quadrata, e usando questo simbolo, le radici dell'equazione x 2 \u003d 5 sono state scritte come segue:

legge: "radice quadrata di 5"). Ora per qualsiasi equazione della forma x 2 \u003d a, dove a\u003e O, puoi trovare le radici: sono numeri , (figura 76).

Ancora una volta, sottolineiamo che il numero non è un numero intero e non una frazione.
Ciò significa che non è un numero razionale, è un numero di nuova natura, parleremo in particolare di tali numeri più avanti, nel capitolo 5.
Per ora, basta notare che il nuovo numero è compreso tra 2 e 3, poiché 2 2 = 4, che è minore di 5; Z 2 \u003d 9, e questo è più di 5. Puoi chiarire:

Infatti, 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Puoi ancora
specificare:

infatti, 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
In pratica, di solito si ritiene che il numero sia uguale a 2,23 o sia uguale a 2,24, solo che questa non è un'uguaglianza ordinaria, ma un'uguaglianza approssimativa, per la quale viene utilizzato il simbolo.
COSÌ,

Discutendo la soluzione dell'equazione x 2 = a, ci siamo trovati di fronte a uno stato di cose piuttosto tipico per la matematica. Entrando in una situazione non standard, anormale (come piace dire ai cosmonauti) e non trovando una via d'uscita con l'aiuto di mezzi noti, i matematici escogitano un nuovo termine e una nuova designazione (un nuovo simbolo) per il matematico modello che hanno incontrato per la prima volta; in altre parole, introducono un nuovo concetto e poi ne studiano le proprietà
concetti. Pertanto, il nuovo concetto e la sua designazione diventano proprietà del linguaggio matematico. Abbiamo agito allo stesso modo: abbiamo introdotto il termine "radice quadrata del numero a", introdotto un simbolo per denotarlo, e poco dopo studieremo le proprietà del nuovo concetto. Finora sappiamo solo una cosa: se a > 0,
allora è un numero positivo che soddisfa l'equazione x 2 = a. In altre parole, è un numero così positivo che, al quadrato, si ottiene il numero a.
Poiché l'equazione x 2 \u003d 0 ha una radice x \u003d 0, abbiamo deciso di assumerlo
Siamo ora pronti a dare una definizione rigorosa.
Definizione. La radice quadrata di un numero non negativo a è un numero non negativo il cui quadrato è a.

Questo numero è indicato, il numero e allo stesso tempo è chiamato il numero radice.
Quindi, se a è un numero non negativo, allora:

Se un< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Pertanto, l'espressione ha senso solo quando a > 0.
Dicono che - lo stesso modello matematico (la stessa relazione tra numeri non negativi
(a e b), ma solo il secondo è descritto in un linguaggio più semplice del primo (usa caratteri più semplici).

L'operazione per trovare la radice quadrata di un numero non negativo si chiama prendere la radice quadrata. Questa operazione è l'inverso della quadratura. Confrontare:

Ancora una volta, si noti che nella tabella compaiono solo numeri positivi, poiché ciò è stabilito nella definizione della radice quadrata. E sebbene, ad esempio, (- 5) 2 \u003d 25 sia l'uguaglianza corretta, passa da essa alla notazione usando la radice quadrata (cioè scrivila).
è vietato. A-priorato, . è un numero positivo, quindi .
Spesso non dicono "radice quadrata", ma "radice quadrata aritmetica". Omettiamo il termine "aritmetica" per brevità.

D) A differenza degli esempi precedenti, non possiamo specificare il valore esatto del numero . È chiaro solo che è maggiore di 4 ma minore di 5, poiché

4 2 = 16 (è meno di 17) e 5 2 = 25 (è più di 17).
Tuttavia, il valore approssimato del numero può essere trovato utilizzando un microcalcolatore, che contiene l'operazione di estrazione della radice quadrata; questo valore è 4.123.
COSÌ,
Il numero , come il numero considerato sopra, non è razionale.
e) Non può essere calcolato perché la radice quadrata di un numero negativo non esiste; la voce è priva di significato. L'attività proposta non è corretta.
e), poiché 31 > 0 e 31 2 = 961. In questi casi, devi usare una tabella dei quadrati dei numeri naturali o un microcalcolatore.
g) poiché 75 > 0 e 75 2 = 5625.
Nei casi più semplici si calcola subito il valore della radice quadrata: ecc. Nei casi più complessi bisogna utilizzare una tabella di quadrati di numeri o effettuare calcoli con una microcalcolatrice. Ma cosa succede se non ci sono fogli di calcolo o calcolatrici a portata di mano? Rispondiamo a questa domanda risolvendo il seguente esempio.

Esempio 2 Calcolare
Soluzione.
Primo stadio. Non è difficile indovinare che la risposta sarà 50 con una "coda". Infatti, 50 2 = 2500, e 60 2 = 3600, mentre il numero 2809 è compreso tra i numeri 2500 e 3600.

Seconda fase. Troviamo la "coda", ad es. l'ultima cifra del numero desiderato. Finora sappiamo che se viene presa la radice, la risposta può essere 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 o 59. Devono essere controllati solo due numeri: 53 e 57, poiché solo loro , quando viene elevato al quadrato, darà come risultato un numero di quattro cifre che termina con 9, la stessa cifra di 2809.
Abbiamo 532 = 2809: questo è ciò di cui abbiamo bisogno (siamo stati fortunati, abbiamo subito colpito il "bersaglio"). Quindi = 53.
Risposta:

53
Esempio 3 I cateti di un triangolo rettangolo misurano 1 cm e 2 cm Qual è l'ipotenusa del triangolo? (fig.77)

Soluzione.

Usiamo il teorema di Pitagora noto dalla geometria: la somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato della lunghezza della sua ipotenusa, ad es. a 2 + b 2 \u003d c 2, dove a, b sono le gambe, c è l'ipotenusa del triangolo rettangolo.

Significa,

Questo esempio mostra che l'introduzione delle radici quadrate non è un capriccio dei matematici, ma una necessità oggettiva: nella vita reale, ci sono situazioni i cui modelli matematici contengono l'operazione di estrazione di una radice quadrata. Forse la più importante di queste situazioni è
risolvere equazioni di secondo grado. Fino ad ora, incontrando le equazioni quadratiche ax 2 + bx + c \u003d 0, abbiamo scomposto il lato sinistro (che non sempre ha funzionato) o utilizzato metodi grafici (che non è anche molto affidabile, sebbene bello). In effetti, da trovare
radici x 1 e x 2 dell'equazione quadratica ax 2 + bx + c \u003d 0 in matematica, vengono utilizzate formule

contenente, apparentemente, il segno della radice quadrata Queste formule sono applicate in pratica come segue. Ad esempio, è necessario risolvere l'equazione 2x 2 + bx - 7 \u003d 0. Qui a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Pertanto,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Quindi troviamo . Significa,

Abbiamo notato sopra che non è un numero razionale.
I matematici chiamano tali numeri irrazionali. Qualsiasi numero della forma è irrazionale se non si prende la radice quadrata. Per esempio, eccetera. sono numeri irrazionali. Nel capitolo 5 parleremo più approfonditamente di numeri razionali e irrazionali. I numeri razionali e irrazionali insieme costituiscono l'insieme dei numeri reali, cioè l'insieme di tutti quei numeri con cui operiamo nella vita reale (infatti,
ness). Ad esempio, tutti questi sono numeri reali.
Proprio come abbiamo definito sopra il concetto di radice quadrata, possiamo anche definire il concetto di radice cubica: la radice cubica di un numero non negativo a è un numero non negativo il cui cubo è uguale a a. In altre parole, uguaglianza significa che b 3 = a.

Studieremo tutto questo nel corso di algebra dell'undicesimo anno.

In questo articolo, introdurremo il concetto di radice di un numero. Agiremo in sequenza: inizieremo con la radice quadrata, da essa passeremo alla descrizione della radice cubica, dopodiché generalizzeremo il concetto di radice definendo la radice dell'ennesimo grado. Allo stesso tempo, introdurremo definizioni, notazioni, forniremo esempi di radici e forniremo le spiegazioni e i commenti necessari.

Radice quadrata, radice quadrata aritmetica

Per capire la definizione della radice di un numero, e la radice quadrata in particolare, bisogna avere . A questo punto, incontreremo spesso la seconda potenza di un numero: il quadrato di un numero.

Iniziamo con definizioni di radice quadrata.

Definizione

La radice quadrata di aè il numero il cui quadrato è a .

Per portare esempi di radici quadrate, prendiamo diversi numeri, ad esempio 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , e li eleviamo al quadrato, otteniamo rispettivamente i numeri 25 , 0.09 , 0.09 e 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 e 0 2 =0 0=0 ). Quindi, per la definizione di cui sopra, 5 è la radice quadrata di 25, −0,3 e 0,3 sono le radici quadrate di 0,09 e 0 è la radice quadrata di zero.

Si noti che non esiste per nessun numero a il cui quadrato sia uguale a a. Vale a dire, per ogni numero negativo a, non esiste un numero reale b il cui quadrato sia uguale ad a. Infatti, l'uguaglianza a=b 2 è impossibile per ogni negativo a , poiché b 2 è un numero non negativo per ogni b . Così, sull'insieme dei numeri reali non esiste la radice quadrata di un numero negativo. In altre parole, nell'insieme dei numeri reali, la radice quadrata di un numero negativo non è definita e non ha significato.

Questo porta a una domanda logica: "Esiste una radice quadrata di a per ogni a non negativo"? La risposta è si. La logica di questo fatto può essere considerata un metodo costruttivo utilizzato per trovare il valore della radice quadrata.

Quindi sorge la seguente domanda logica: "Qual è il numero di tutte le radici quadrate di un dato numero non negativo a - uno, due, tre o anche di più"? Ecco la risposta: se a è zero, allora l'unica radice quadrata di zero è zero; se a è un numero positivo, allora il numero di radici quadrate del numero a è uguale a due e le radici sono . Sostanziamo questo.

Iniziamo con il caso a=0 . Dimostriamo prima che zero è davvero la radice quadrata di zero. Ciò deriva dall'ovvia uguaglianza 0 2 =0·0=0 e dalla definizione della radice quadrata.

Ora dimostriamo che 0 è l'unica radice quadrata di zero. Usiamo il metodo opposto. Supponiamo che esista un numero b diverso da zero che sia la radice quadrata di zero. Allora deve essere soddisfatta la condizione b 2 =0, il che è impossibile, poiché per ogni b diverso da zero il valore dell'espressione b 2 è positivo. Siamo giunti a una contraddizione. Questo dimostra che 0 è l'unica radice quadrata di zero.

Passiamo ai casi in cui a è un numero positivo. Sopra abbiamo detto che c'è sempre una radice quadrata di qualsiasi numero non negativo, sia b la radice quadrata di a. Diciamo che esiste un numero c , che è anche la radice quadrata di a . Allora, per la definizione della radice quadrata, valgono le uguaglianze b 2 =a e c 2 =a, da cui segue che b 2 −c 2 =a−a=0, ma poiché b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , allora (b−c) (b+c)=0 . L'uguaglianza risultante in vigore proprietà delle azioni con numeri reali possibile solo quando b−c=0 o b+c=0 . Quindi i numeri b e c sono uguali o opposti.

Se assumiamo che esista un numero d, che è un'altra radice quadrata del numero a, allora con ragionamenti simili a quelli già dati, si dimostra che d è uguale al numero b o al numero c. Quindi, il numero di radici quadrate di un numero positivo è due e le radici quadrate sono numeri opposti.

Per comodità di lavorare con le radici quadrate, la radice negativa è "separata" da quella positiva. A tal fine, introduce definizione di radice quadrata aritmetica.

Definizione

Radice quadrata aritmetica di un numero non negativo aè un numero non negativo il cui quadrato è uguale a .

Per la radice quadrata aritmetica del numero a, la notazione è accettata. Il segno è chiamato il segno della radice quadrata aritmetica. È anche chiamato il segno del radicale. Pertanto, puoi sentire in parte sia "radice" che "radicale", che significa lo stesso oggetto.

Viene chiamato il numero sotto il segno della radice quadrata aritmetica numero di radice, e l'espressione sotto il segno radice - espressione radicale, mentre il termine "numero radicale" è spesso sostituito da "espressione radicale". Ad esempio, nella notazione, il numero 151 è un numero radicale e nella notazione l'espressione a è un'espressione radicale.

Durante la lettura, la parola "aritmetica" viene spesso omessa, ad esempio, la voce viene letta come "la radice quadrata di sette virgola ventinove centesimi". La parola "aritmetica" si pronuncia solo quando si vuole sottolineare che si tratta della radice quadrata positiva di un numero.

Alla luce della notazione introdotta, dalla definizione di radice quadrata aritmetica segue che per ogni numero non negativo a .

Le radici quadrate di un numero positivo a sono scritte usando il segno della radice quadrata aritmetica come e . Ad esempio, le radici quadrate di 13 sono e . La radice quadrata aritmetica di zero è zero, cioè . Per i numeri negativi a, non attribuiremo significato alle voci fino a quando non studieremo numeri complessi. Ad esempio, le espressioni e sono prive di significato.

Sulla base della definizione di radice quadrata, vengono dimostrate le proprietà delle radici quadrate, che vengono spesso utilizzate nella pratica.

Per concludere questa sottosezione, notiamo che le radici quadrate di un numero sono soluzioni della forma x 2 =a rispetto alla variabile x .

radice cubica di

Definizione della radice cubica del numero a è dato in modo simile alla definizione della radice quadrata. Solo che si basa sul concetto di un cubo di un numero, non di un quadrato.

Definizione

La radice cubica di a viene chiamato un numero il cui cubo è uguale ad a.

Portiamo esempi di radici cubiche. Per fare ciò, prendi diversi numeri, ad esempio 7 , 0 , −2/3 , e mettili al cubo: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Quindi, in base alla definizione della radice cubica, possiamo dire che il numero 7 è la radice cubica di 343, 0 è la radice cubica di zero e −2/3 è la radice cubica di −8/27.

Si può dimostrare che la radice cubica del numero a, a differenza della radice quadrata, esiste sempre, e non solo per a non negativo, ma anche per qualsiasi numero reale a. Per fare questo, puoi usare lo stesso metodo che abbiamo menzionato studiando la radice quadrata.

Inoltre, esiste una sola radice cubica di un dato numero a. Dimostriamo l'ultima affermazione. Per fare ciò, considera tre casi separatamente: a è un numero positivo, a=0 e a è un numero negativo.

È facile dimostrare che per a positivo, la radice cubica di a non può essere né negativa né nulla. Infatti, sia b la radice cubica di a , allora per definizione possiamo scrivere l'uguaglianza b 3 =a . È chiaro che questa uguaglianza non può essere vera per b negativo e per b=0, poiché in questi casi b 3 =b·b·b sarà rispettivamente un numero negativo o zero. Quindi la radice cubica di un numero positivo a è un numero positivo.

Supponiamo ora che oltre al numero b ci sia un'altra radice cubica dal numero a, indichiamola con c. Allora c 3 = a. Pertanto, b 3 −c 3 =a−a=0 , ma b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(questa è la formula di moltiplicazione abbreviata differenza di cubi), da cui (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . L'uguaglianza risultante è possibile solo quando b−c=0 o b 2 +b c+c 2 =0 . Dalla prima uguaglianza abbiamo b=c, e la seconda uguaglianza non ha soluzioni, poiché il suo lato sinistro è un numero positivo per qualsiasi numero positivo b e c come somma di tre termini positivi b 2 , b c e c 2 . Ciò dimostra l'unicità della radice cubica di un numero positivo a.

Per a=0, l'unica radice cubica di a è zero. Infatti, se assumiamo che esista un numero b , che è una radice cubica diversa da zero di zero, allora deve valere l'uguaglianza b 3 =0 , che è possibile solo quando b=0 .

Per negativo a , si può ragionare in modo simile al caso per positivo a . Innanzitutto, mostriamo che la radice cubica di un numero negativo non può essere uguale né a un numero positivo né a zero. In secondo luogo, assumiamo che esista una seconda radice cubica di un numero negativo e dimostriamo che coinciderà necessariamente con la prima.

Quindi, c'è sempre una radice cubica di un dato numero reale a, e solo una.

Diamo definizione di radice cubica aritmetica.

Definizione

Radice cubica aritmetica di un numero non negativo a viene chiamato un numero non negativo il cui cubo è uguale a a.

La radice cubica aritmetica di un numero non negativo a è indicata come , il segno è chiamato il segno della radice cubica aritmetica, il numero 3 in questa notazione è chiamato indicatore di radice. Il numero sotto il segno della radice è numero di radice, l'espressione sotto il segno radice è espressione radicale.

Sebbene la radice cubica aritmetica sia definita solo per i numeri non negativi a, è anche conveniente utilizzare le voci in cui i numeri negativi sono sotto il segno della radice cubica aritmetica. Li capiremo come segue: , dove a è un numero positivo. Per esempio, .

Parleremo delle proprietà delle radici cubiche nell'articolo generale proprietà delle radici.

Il calcolo del valore di una radice cubica si chiama estrazione di una radice cubica, questa azione è discussa nell'articolo estrarre radici: metodi, esempi, soluzioni.

Per concludere questa sottosezione, diciamo che la radice cubica di a è una soluzione della forma x 3 =a.

Radice ennesima, radice aritmetica di n

Generalizziamo il concetto di radice da un numero - introduciamo determinazione della radice n-esima per n.

Definizione

ennesima radice di aè un numero la cui potenza n-esima è uguale a a.

Da questa definizione è chiaro che la radice del primo grado dal numero a è il numero a stesso, poiché studiando il grado con un indicatore naturale, abbiamo preso a 1 = a.

Sopra, abbiamo considerato casi speciali della radice dell'ennesimo grado per n=2 e n=3 - la radice quadrata e la radice cubica. Cioè, la radice quadrata è la radice del secondo grado e la radice cubica è la radice del terzo grado. Per studiare le radici dell'ennesimo grado per n=4, 5, 6, ..., conviene dividerle in due gruppi: il primo gruppo - le radici dei gradi pari (cioè per n=4, 6 , 8, ...), il secondo gruppo - le radici gradi dispari (cioè, per n=5, 7, 9, ... ). Ciò è dovuto al fatto che le radici dei gradi pari sono simili alla radice quadrata e le radici dei gradi dispari sono simili alla radice cubica. Affrontiamoli a turno.

Cominciamo con le radici, le cui potenze sono i numeri pari 4, 6, 8, ... Come abbiamo già detto, sono simili alla radice quadrata del numero a. Cioè, la radice di qualsiasi grado pari dal numero a esiste solo per a non negativo. Inoltre, se a=0, allora la radice di a è unica e uguale a zero, e se a>0, allora ci sono due radici di grado pari dal numero a, e sono numeri opposti.

Giustifichiamo l'ultima affermazione. Sia b una radice di grado pari (la indichiamo come 2·m, dove m è un numero naturale) da a. Supponiamo che ci sia un numero c - un'altra radice di 2 m di a . Allora b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ma conosciamo la forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), quindi (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Da questa uguaglianza segue che b−c=0 , o b+c=0 , o b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Le prime due uguaglianze indicano che i numeri b e c sono uguali oppure b e c sono opposti. E l'ultima uguaglianza è valida solo per b=c=0 , poiché il suo lato sinistro contiene un'espressione non negativa per ogni b e c come somma di numeri non negativi.

Per quanto riguarda le radici dell'ennesimo grado per n dispari, sono simili alla radice cubica. Cioè, la radice di qualsiasi grado dispari dal numero a esiste per qualsiasi numero reale a, e per un dato numero a è unica.

L'unicità della radice di grado dispari 2·m+1 dal numero a è dimostrata per analogia con la dimostrazione dell'unicità della radice cubica da a . Solo qui invece dell'uguaglianza un 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) un'uguaglianza della forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). L'espressione nell'ultima parentesi può essere riscritta come b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Ad esempio, per m=2 abbiamo b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Quando a e b sono entrambi positivi o entrambi negativi, il loro prodotto è un numero positivo, allora l'espressione b 2 +c 2 +b·c , che è tra parentesi del più alto grado di annidamento, è positiva come somma di positivi numeri. Ora, passando successivamente alle espressioni tra parentesi dei precedenti gradi di annidamento, ci assicuriamo che siano positive anche come somme di numeri positivi. Come risultato, otteniamo che l'uguaglianza b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 possibile solo quando b−c=0 , cioè quando il numero b è uguale al numero c .

È tempo di occuparsi della notazione delle radici dell'ennesima potenza. Per questo, è dato determinazione della radice aritmetica dell'ennesimo grado.

Definizione

La radice aritmetica dell'ennesimo grado di un numero non negativo a viene chiamato un numero non negativo, la cui n-esima potenza è uguale a a.

Ho guardato di nuovo il piatto ... E andiamo!

Cominciamo con uno semplice:

Apetta un minuto. this, il che significa che possiamo scriverlo così:

Fatto? Ecco il prossimo per te:

Le radici dei numeri risultanti non sono esattamente estratte? Non preoccuparti, ecco alcuni esempi:

Ma cosa succede se non ci sono due moltiplicatori, ma di più? Lo stesso! La formula della moltiplicazione delle radici funziona con qualsiasi numero di fattori:

Ora completamente indipendente:

Risposte: Ben fatto! D'accordo, tutto è molto semplice, l'importante è conoscere la tavola pitagorica!

Divisione delle radici

Abbiamo capito la moltiplicazione delle radici, ora procediamo alla proprietà della divisione.

Lascia che ti ricordi che la formula in generale è simile a questa:

E questo significa che la radice del quoziente è uguale al quoziente delle radici.

Bene, diamo un'occhiata agli esempi:

Questa è tutta scienza. Ed ecco un esempio:

Non tutto è così fluido come nel primo esempio, ma come puoi vedere, non c'è niente di complicato.

Cosa succede se l'espressione è simile a questa:

Devi solo applicare la formula al contrario:

Ed ecco un esempio:

Puoi anche vedere questa espressione:

È tutto uguale, solo qui devi ricordare come tradurre le frazioni (se non ricordi, guarda l'argomento e torna indietro!). Ricordato? Ora decidiamo!

Sono sicuro che hai affrontato tutto, tutto, ora proviamo a mettere radici in una laurea.

Esponenziamento

Cosa succede se la radice quadrata è al quadrato? È semplice, ricorda il significato della radice quadrata di un numero: questo è un numero la cui radice quadrata è uguale a.

Quindi, se eleviamo al quadrato un numero la cui radice quadrata è uguale, cosa otteniamo?

Beh, certo, !

Diamo un'occhiata agli esempi:

Tutto è semplice, vero? E se la radice è in un grado diverso? Va bene!

Attenersi alla stessa logica e ricordare le proprietà e le possibili azioni con gradi.

Leggi la teoria sull'argomento "" e tutto ti sarà estremamente chiaro.

Ad esempio, ecco un'espressione:

In questo esempio, il grado è pari, ma cosa succede se è dispari? Ancora una volta, applica le proprietà di potenza e calcola tutto:

Con questo tutto sembra essere chiaro, ma come estrarre la radice da un numero in un grado? Ecco, ad esempio, questo:

Abbastanza semplice, vero? E se il grado è maggiore di due? Seguiamo la stessa logica usando le proprietà dei gradi:

Bene, è tutto chiaro? Quindi risolvi i tuoi esempi:

Ed ecco le risposte:

Introduzione sotto il segno della radice

Quello che non abbiamo imparato a fare con le radici! Resta solo da esercitarsi a inserire il numero sotto il segno della radice!

È abbastanza facile!

Diciamo che abbiamo un numero

Cosa possiamo fare con esso? Beh, certo, nascondi la tripla sotto la radice, ricordando che la tripla è la radice quadrata di!

Perchè ne abbiamo bisogno? Sì, solo per espandere le nostre capacità durante la risoluzione di esempi:

Ti piace questa proprietà delle radici? Rende la vita molto più facile? Per me, è giusto! Soltanto dobbiamo ricordare che possiamo inserire solo numeri positivi sotto il segno della radice quadrata.

Prova tu stesso questo esempio:
Sei riuscito? Vediamo cosa dovresti ottenere:

Ben fatto! Sei riuscito a inserire un numero sotto il segno della radice! Passiamo a qualcosa di altrettanto importante: considera come confrontare i numeri contenenti una radice quadrata!

Confronto radice

Perché dovremmo imparare a confrontare i numeri contenenti una radice quadrata?

Molto semplice. Spesso, nelle espressioni grandi e lunghe incontrate durante l'esame, otteniamo una risposta irrazionale (ricordi cos'è? Ne abbiamo già parlato oggi!)

Dobbiamo posizionare le risposte ricevute sulla linea delle coordinate, ad esempio, per determinare quale intervallo è adatto per risolvere l'equazione. Ed è qui che sorge l'intoppo: non c'è calcolatrice sull'esame, e senza di essa, come immaginare quale numero è più grande e quale è più piccolo? Questo è tutto!

Ad esempio, determina quale è maggiore: o?

Non dirai subito. Bene, usiamo la proprietà parsed di aggiungere un numero sotto il segno della radice?

Poi avanti:

Beh, ovviamente, più grande è il numero sotto il segno della radice, più grande è la radice stessa!

Quelli. se significa .

Da ciò concludiamo fermamente che E nessuno ci convincerà del contrario!

Estrazione di radici da grandi numeri

Prima di allora, abbiamo introdotto un fattore sotto il segno della radice, ma come eliminarlo? Devi solo scomporlo ed estrarre ciò che viene estratto!

Era possibile andare dall'altra parte e scomporre in altri fattori:

Non male, vero? Ognuno di questi approcci è corretto, decidi come ti senti a tuo agio.

Il factoring è molto utile quando si risolvono compiti non standard come questo:

Non ci spaventiamo, agiamo! Scomponiamo ogni fattore sotto la radice in fattori separati:

E ora provalo tu stesso (senza calcolatrice! Non sarà sull'esame):

È questa la fine? Non ci fermiamo a metà!

Questo è tutto, non è poi così spaventoso, giusto?

Accaduto? Bravo, hai ragione!

Ora prova questo esempio:

E un esempio è un osso duro da spezzare, quindi non puoi capire immediatamente come affrontarlo. Ma noi, ovviamente, siamo nei denti.

Bene, iniziamo a fare factoring, va bene? Immediatamente, notiamo che puoi dividere un numero per (ricorda i segni di divisibilità):

E ora, prova tu stesso (di nuovo, senza calcolatrice!):

Bene, ha funzionato? Bravo, hai ragione!

Riassumendo

1. La radice quadrata (radice quadrata aritmetica) di un numero non negativo è un numero non negativo il cui quadrato è uguale.
   .
2. Se prendiamo solo la radice quadrata di qualcosa, otteniamo sempre un risultato non negativo.
3. Proprietà della radice aritmetica:
4. Quando si confrontano le radici quadrate, va ricordato che maggiore è il numero sotto il segno della radice, maggiore è la radice stessa.

Ti piace la radice quadrata? Tutto chiaro?

Abbiamo provato a spiegarti senz'acqua tutto quello che c'è da sapere nell'esame sulla radice quadrata.

È il tuo turno. Scrivici se questo argomento è difficile per te o no.

Hai imparato qualcosa di nuovo o tutto era già così chiaro.

Scrivi nei commenti e in bocca al lupo per gli esami!

L'area di un appezzamento di terreno quadrato è di 81 dm². Trova la sua parte. Supponiamo che la lunghezza del lato del quadrato sia X decimetri. Quindi l'area della trama è X² decimetri quadrati. Poiché, secondo la condizione, quest'area è di 81 dm², quindi X² = 81. La lunghezza del lato di un quadrato è un numero positivo. Un numero positivo il cui quadrato è 81 è il numero 9. Per risolvere il problema, era necessario trovare il numero x, il cui quadrato è 81, ad es. risolvere l'equazione X² = 81. Questa equazione ha due radici: X 1 = 9 e X 2 \u003d - 9, poiché 9² \u003d 81 e (- 9)² \u003d 81. Entrambi i numeri 9 e - 9 sono chiamati radici quadrate del numero 81.

Si noti che una delle radici quadrate X= 9 è un numero positivo. Si chiama radice quadrata aritmetica di 81 ed è indicato con √81, quindi √81 = 9.

Radice quadrata aritmetica di un numero UNè un numero non negativo il cui quadrato è uguale a UN.

Ad esempio, i numeri 6 e -6 sono le radici quadrate di 36. Il numero 6 è la radice quadrata aritmetica di 36, poiché 6 è un numero non negativo e 6² = 36. Il numero -6 non è una radice aritmetica.

Radice quadrata aritmetica di un numero UN indicato come segue: √ UN.

Il segno è chiamato il segno della radice quadrata aritmetica; UNè chiamata espressione radice. Espressione √ UN Leggere così: la radice quadrata aritmetica di un numero UN. Ad esempio, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Nei casi in cui è chiaro che stiamo parlando di una radice aritmetica, dicono brevemente: "la radice quadrata di UN«.

L'atto di trovare la radice quadrata di un numero si chiama prendere la radice quadrata. Questa azione è l'inverso della quadratura.

Qualsiasi numero può essere elevato al quadrato, ma non tutti i numeri possono essere radici quadrate. Ad esempio, è impossibile estrarre la radice quadrata del numero - 4. Se esisteva una tale radice, indicandola con la lettera X, otterremmo l'uguaglianza sbagliata x² \u003d - 4, poiché c'è un numero non negativo a sinistra e un numero negativo a destra.

Espressione √ UN ha senso solo quando un ≥ 0. La definizione della radice quadrata può essere brevemente scritta come: √ un ≥ 0, (√UN)² = UN. Uguaglianza (√ UN)² = UN valido per un ≥ 0. Quindi, per assicurarsi che la radice quadrata di un numero non negativo UN equivale B, cioè che √ UN =B, è necessario verificare che siano soddisfatte le seguenti due condizioni: b ≥ 0, B² = UN.

La radice quadrata di una frazione

Calcoliamo. Nota che √25 = 5, √36 = 6, e controlla se l'uguaglianza vale.

Perché e , allora l'uguaglianza è vera. COSÌ, .

Teorema: Se UN≥ 0 e B> 0, ovvero la radice della frazione è uguale alla radice del numeratore divisa per la radice del denominatore. È necessario dimostrare che: e .

Poiché √ UN≥0 e √ B> 0, quindi .

Dalla proprietà di elevare una frazione a potenza e determinare la radice quadrata il teorema è dimostrato. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Calcola , secondo il teorema provato .

Secondo esempio: dimostralo , Se UN ≤ 0, B < 0. .

Un altro esempio: Calcola .

.

Trasformazione della radice quadrata

Togliendo il moltiplicatore da sotto il segno della radice. Si dia un'espressione. Se UN≥ 0 e B≥ 0, allora per il teorema sulla radice del prodotto, possiamo scrivere:

Tale trasformazione si chiama fattorizzazione del segno radice. Considera un esempio;

Calcola a X= 2. Sostituzione diretta X= 2 nell'espressione radicale porta a calcoli complicati. Questi calcoli possono essere semplificati se prima rimuoviamo i fattori da sotto il segno della radice: . Ora sostituendo x = 2, otteniamo:.

Quindi, quando si estrae il fattore da sotto il segno della radice, l'espressione radicale è rappresentata come un prodotto in cui uno o più fattori sono i quadrati di numeri non negativi. Viene quindi applicato il teorema del prodotto radice e viene presa la radice di ciascun fattore. Considera un esempio: Semplifica l'espressione A = √8 + √18 - 4√2 eliminando i fattori sotto il segno della radice nei primi due termini, otteniamo:. Sottolineiamo che l'uguaglianza valido solo quando UN≥ 0 e B≥ 0. se UN < 0, то .