대수 부등식 - 지식 하이퍼마켓. 대수 부등식에 관한 모든 것
다양한 대수 부등식 중에서 변수 밑이 있는 부등식은 별도로 연구됩니다. 어떤 이유로 학교에서 거의 가르치지 않는 특별한 공식에 따라 해결됩니다.
로그 k(x) f(x) ∨ 로그 k(x) g(x) ⇒ (f(x) - g(x)) (k(x) - 1) ∨ 0
갈까마귀 "∨" 대신 부등식 기호를 넣을 수 있습니다. 가장 중요한 것은 두 부등식에서 부호가 동일하다는 것입니다.
그래서 우리는 대수를 제거하고 문제를 합리적인 부등식으로 줄입니다. 후자는 해결하기가 훨씬 쉽지만 로그를 버릴 때 추가 근이 나타날 수 있습니다. 잘라내려면 허용 가능한 값의 범위를 찾는 것으로 충분합니다. 로그의 ODZ를 잊은 경우 반복하는 것이 좋습니다. "로그란 무엇입니까?"를 참조하십시오.
허용 가능한 값의 범위와 관련된 모든 사항은 별도로 작성하고 해결해야 합니다.
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; 케이(엑스) ≠ 1.
이 네 가지 부등식은 시스템을 구성하며 동시에 충족되어야 합니다. 허용 가능한 값의 범위가 발견되면 합리적인 불평등의 솔루션과 교차해야하며 답변이 준비됩니다.
일. 부등식을 해결하십시오.
먼저 로그의 ODZ를 작성해 보겠습니다.
처음 두 부등식은 자동으로 수행되며 마지막 부등식은 작성해야 합니다. 숫자 자체가 0인 경우에만 숫자의 제곱이 0이므로 다음과 같습니다.
엑스 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
로그의 ODZ는 0을 제외한 모든 숫자인 것으로 밝혀졌습니다: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). 이제 주요 불평등을 해결합니다.
대수 부등식에서 합리적인 부등식으로의 전환을 수행합니다. 원래 부등식에는 "보다 작음" 기호가 있으므로 결과 부등식에도 "보다 작음" 기호가 있어야 합니다. 우리는:
(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − 엑스) (3 + 엑스) × 2< 0.
이 표현의 0: x = 3; x = -3; x = 0. 또한 x = 0은 두 번째 다중성의 근이므로 통과할 때 함수의 부호가 변경되지 않습니다. 우리는:
우리는 x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞)를 얻습니다. 이 집합은 로그의 ODZ에 완전히 포함되며 이는 이것이 답이라는 것을 의미합니다.
로그 부등식의 변환
종종 원래의 부등식은 위의 부등식과 다릅니다. 로그 작업에 대한 표준 규칙에 따라 쉽게 수정할 수 있습니다. "로그의 기본 속성"을 참조하세요. 즉:
- 모든 숫자는 주어진 밑을 가진 로그로 나타낼 수 있습니다.
- 밑이 같은 로그의 합과 차는 단일 로그로 대체될 수 있습니다.
이와 별도로 허용되는 값의 범위에 대해 상기시켜 드리고 싶습니다. 원래 부등식에는 여러 개의 로그가 있을 수 있으므로 각각의 DPV를 찾아야 합니다. 따라서, 일반 계획대수 부등식의 솔루션은 다음과 같습니다.
- 부등식에 포함된 각 로그의 ODZ를 찾으십시오.
- 대수를 더하고 빼는 공식을 사용하여 부등식을 표준 부등식으로 줄입니다.
- 위의 계획에 따라 결과 부등식을 해결하십시오.
일. 부등식을 해결하십시오.
첫 번째 로그의 정의 영역(ODZ)을 찾습니다.
간격 방법으로 해결합니다. 분자의 0 찾기:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
그런 다음 - 분모의 0:
x - 1 = 0;
x = 1.
좌표 화살표에 0과 기호를 표시합니다.
우리는 x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞)를 얻습니다. ODZ의 두 번째 로그는 동일합니다. 당신이 나를 믿지 않는다면, 당신은 확인할 수 있습니다. 이제 밑이 2가 되도록 두 번째 로그를 변환합니다.
보시다시피 밑과 로그 앞에 있는 삼중수는 줄어들었습니다. 밑이 같은 두 개의 로그를 얻습니다. 함께 넣어 봅시다:
로그 2 (x - 1) 2< 2;
로그 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
우리는 표준 대수 부등식을 얻었습니다. 공식으로 로그를 제거합니다. 원래 부등식에는 부호가 작기 때문에 결과 유리식도 0보다 작아야 합니다. 우리는:
(f(x) - g(x)) (k(x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
두 세트가 있습니다.
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- 답변 후보: x ∈ (−1; 3).
이 세트를 교차하는 것이 남아 있습니다. 실제 답변을 얻습니다.
집합의 교집합에 관심이 있으므로 두 화살표에 음영 처리된 간격을 선택합니다. 우리는 x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)을 얻습니다 - 모든 점이 뚫립니다.
부등식에 로그 함수가 포함되어 있으면 부등식을 로그라고 합니다.
대수 부등식을 푸는 방법은 두 가지를 제외하고는 다르지 않습니다.
첫째, 대수 부등식에서 부로그 함수의 부등식으로 넘어가면 다음과 같다. 결과 불평등의 신호를 따르십시오. 다음 규칙을 따릅니다.
대수함수의 밑이 $1$보다 크면 대수부등식에서 부로그함수의 부등식으로 넘어갈 때 부등호를 유지하고 $1$보다 작으면 역으로 한다.
둘째, 모든 부등식의 해는 구간이므로 부로그 함수의 부등식 해의 끝에서 두 부등식의 시스템을 구성해야 합니다. 이 시스템의 첫 번째 부등식은 다음의 부등식입니다. 서브 로그 함수, 두 번째는 로그 부등식에 포함된 로그 함수 정의 영역의 간격이 됩니다.
관행.
불평등을 해결합시다.
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
로그의 밑은 $2>1$이므로 부호는 변하지 않습니다. 로그의 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )
