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연구의 일반적인 계획을 사용하여 함수 그래프를 구성하십시오. 전체 기능 탐색 및 플로팅

을 위한 전체 연구기능과 그래프를 구성하려면 다음 구성표를 사용하는 것이 좋습니다.

1) 함수의 범위를 찾습니다.

2) 함수와 수직 점근선(존재하는 경우)의 불연속점을 찾습니다.

3) 무한대에서 함수의 거동을 조사하고 수평 점근선과 경사 점근선을 찾습니다.

4) 짝수(이상함) 및 주기성(삼각 함수)에 대한 함수를 조사합니다.

5) 함수의 극한과 단조 구간을 찾습니다.

6) 볼록과 변곡점의 간격을 결정합니다.

7) 가능한 경우 좌표축과 교차점을 찾고 그래프를 구체화하는 몇 가지 추가 지점을 찾습니다.

함수 연구는 그래프 구성과 동시에 수행됩니다.

실시예 9함수를 탐색하고 그래프를 작성하십시오.

1. 정의 영역: ;

2. 기능이 포인트에서 중단됩니다.
,
;

우리는 수직 점근선의 존재에 대한 함수를 조사합니다.

;
,
─ 수직 점근선.

3. 사선 점근선과 수평 점근선의 존재에 대한 함수를 조사합니다.

똑바로
─ 사선 점근선, if
,
.

,
.

똑바로
─ 수평 점근선.

4. 함수가 균등하기 때문에
. 함수의 패리티는 y축에 대한 그래프의 대칭성을 나타냅니다.

5. 함수의 단조 구간과 극한 구간을 찾습니다.

중요한 점, 즉 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점:
;
. 우리는 세 가지 포인트가 있습니다
;

. 이 점은 전체 실제 축을 네 개의 간격으로 나눕니다. 기호를 정의하자 그들 각각에.

간격 (-∞; -1) 및 (-1; 0)에서 함수는 증가하고 간격 (0; 1) 및 (1; +∞)에서는 감소합니다. 포인트를 지날 때
도함수가 플러스에서 마이너스로 부호를 변경하므로 이 시점에서 함수는 최대값을 갖습니다.
.

6. 볼록성 간격, 변곡점을 찾아봅시다.

있는 지점을 찾아보자 0이거나 존재하지 않습니다.

진정한 뿌리가 없습니다.
,
,

포인트들
그리고
실제 축을 세 개의 간격으로 나눕니다. 기호를 정의하자 간격마다.

따라서 간격의 곡선
그리고
아래로 볼록, 간격 (-1;1)에서 위로 볼록; 변곡점은 존재하지 않습니다.
그리고
결정되지 않은.

7. 축과 교차점을 찾습니다.

축으로
함수의 그래프는 점 (0; -1)에서 교차하고 축과 교차합니다.
그래프가 교차하지 않기 때문에 이 함수의 분자에는 실근이 없습니다.

주어진 함수의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다.

그림 1 ─ 함수의 그래프

경제학에서 미분 개념의 적용. 기능 탄력성

경제적 과정을 연구하고 다른 응용 문제를 해결하기 위해 함수 탄력성 개념이 자주 사용됩니다.

정의.기능 탄력성
함수의 상대적 증분 비율의 한계라고합니다. 변수의 상대적 증분 ~에
, . (Ⅶ)

함수의 탄력성은 함수가 몇 퍼센트 변경되는지 대략적으로 보여줍니다.
독립 변수를 변경할 때 1%로.

함수의 탄력성은 수요와 소비의 분석에 사용됩니다. 수요의 탄력성(절대값)
, 다음과 같은 경우 수요가 탄력적인 것으로 간주됩니다.
─ 중립적인 경우
─ 가격(또는 소득)에 대해 비탄력적입니다.

실시예 10함수의 탄력성 계산
에 대한 탄력성 지수의 값을 찾으십시오. = 3.

솔루션: 공식 (VII)에 따라 함수의 탄력성:

x=3이라고 하면
즉, 독립변수가 1% 증가하면 종속변수의 값은 1.42% 증가한다.

실시예 11수요 기능을 보자 가격에 관하여 형태를 갖는다
, 어디 ─ 상수 계수. 가격 x = 3 den에서 수요 함수의 탄력성 지수 값을 찾으십시오. 단위

솔루션: 공식 (VII)를 사용하여 수요 함수의 탄력성을 계산합니다.

가정
화폐 단위, 우리는
. 즉, 가격에
화폐 단위 가격이 1% 상승하면 수요가 6% 감소합니다. 수요는 탄력적이다.

오늘 우리는 우리와 함께 함수 그래프를 탐색하고 플롯하도록 여러분을 초대합니다. 이 기사를 주의 깊게 연구한 후에는 이런 종류의 작업을 완료하기 위해 오랫동안 땀을 흘릴 필요가 없습니다. 함수 그래프를 탐색하고 작성하는 것은 쉽지 않으며 작업이 방대하여 최대한의주의와 계산 정확도가 필요합니다. 재료의 인식을 용이하게하기 위해 점차 동일한 기능을 연구하고 모든 작업과 계산을 설명합니다. 놀랍고 매혹적인 수학의 세계에 오신 것을 환영합니다! 가다!

도메인

함수를 탐색하고 플로팅하려면 몇 가지 정의를 알아야 합니다. 함수는 수학의 기본(기본) 개념 중 하나입니다. 변화에 따른 여러 변수(2개, 3개 이상) 간의 종속성을 반영합니다. 이 함수는 집합의 종속성도 보여줍니다.

특정 범위의 변화가 있는 두 개의 변수가 있다고 상상해 보십시오. 따라서 두 번째 변수의 각 값이 두 번째 변수의 한 값에 해당한다면 y는 x의 함수입니다. 이 경우 변수 y는 종속적이며 함수라고 합니다. 변수 x와 y가 다음과 같다고 말하는 것이 관례입니다. 이 종속성을 더 명확하게 하기 위해 함수의 그래프가 작성됩니다. 함수 그래프란? 이것은 각 x 값이 하나의 y 값에 해당하는 좌표 평면의 점 집합입니다. 그래프는 직선, 쌍곡선, 포물선, 정현파 등 다를 수 있습니다.

탐색 없이는 함수 그래프를 그릴 수 없습니다. 오늘 우리는 연구를 수행하고 함수 그래프를 그리는 방법을 배웁니다. 공부하는 동안 메모를 하는 것은 매우 중요합니다. 따라서 작업에 대처하는 것이 훨씬 쉬울 것입니다. 가장 편리한 학습 계획:

도메인.
연속성.
짝수 또는 홀수.
주기성.
점근선.
제로.
불변.
오름차순 및 내림차순.
과격한 수단.
볼록함과 오목함.

첫 번째 요점부터 시작하겠습니다. 정의 영역, 즉 우리 함수가 존재하는 간격을 찾아 봅시다 : y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). 우리의 경우 함수는 x의 모든 값에 대해 존재합니다. 즉, 정의 영역은 R입니다. 이것은 xОR로 쓸 수 있습니다.

연속성

이제 우리는 불연속 함수를 탐구할 것입니다. 수학에서 "연속성"이라는 용어는 운동 법칙에 대한 연구 결과로 나타났습니다. 무한이란 무엇입니까? 공간, 시간, 일부 종속성(예: 모션 문제에서 변수 S 및 t의 종속성), 가열된 물체의 온도(물, 프라이팬, 온도계 등), 연속선(즉, 시트 연필에서 떼지 않고 그릴 수 있는 것).

어떤 지점에서 끊어지지 않으면 그래프는 연속으로 간주됩니다. 가장 많은 것 중 하나 좋은 예이러한 그래프는 이 섹션의 그림에서 볼 수 있는 사인파입니다. 여러 조건이 충족되면 함수는 어떤 지점 x0에서 연속적입니다.

함수는 주어진 지점에서 정의됩니다.
한 지점에서 오른쪽 및 왼쪽 제한이 동일합니다.
한계는 점 x0에서 함수의 값과 같습니다.

하나 이상의 조건이 충족되지 않으면 함수가 중단되었다고 합니다. 그리고 함수가 중단되는 지점을 중단점이라고 합니다. 그래픽으로 표시될 때 "중단"되는 함수의 예는 다음과 같습니다. y=(x+4)/(x-3). 게다가 y는 x = 3 지점에 존재하지 않습니다(0으로 나누는 것은 불가능하기 때문입니다).

우리가 연구하는 함수(y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36))에서 그래프가 연속적이기 때문에 모든 것이 단순하다는 것이 밝혀졌습니다.

홀수

이제 패리티 기능을 검사하십시오. 약간의 이론으로 시작합시다. 짝수 함수는 변수 x의 모든 값(값 범위에서)에 대해 조건 f(-x) = f(x)를 만족하는 함수입니다. 예는 다음과 같습니다.

모듈 x(그래프는 그래프의 1/4분기와 2/4분기의 이등분선인 갈까마귀처럼 보입니다.)
x 제곱(포물선);
코사인 x(코사인파).

이러한 모든 그래프는 y축을 기준으로 볼 때 대칭입니다.

그러면 홀수 함수라고 하는 것은 무엇입니까? 이들은 변수 x의 모든 값에 대해 f (-x) \u003d-f (x) 조건을 충족하는 함수입니다. 예:

쌍곡선;
입방 포물선;
정현파;
탄젠트 등등.

이러한 함수는 점(0:0), 즉 원점을 기준으로 대칭입니다. 기사의 이 섹션에서 말한 내용에 따라 짝수 및 홀수 함수는 다음 속성을 가져야 합니다. x는 정의 집합에 속하고 -x도 마찬가지입니다.

패리티 기능을 살펴보겠습니다. 그녀가 어떤 설명에도 맞지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 우리의 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

점근선

정의부터 시작하겠습니다. 점근선은 가능한 한 그래프에 가까운 곡선, 즉 어떤 점으로부터의 거리가 0이 되는 경향이 있는 곡선입니다. 세 가지 유형의 점근선이 있습니다:

수직, 즉 y 축에 평행합니다.
수평, 즉 x축에 평행합니다.
비스듬한.

첫 번째 유형의 경우 일부 지점에서 다음 라인을 찾아야 합니다.

갭;
도메인 끝.

우리의 경우, 함수는 연속적이고 정의 영역은 R입니다. 따라서 수직 점근선이 없습니다.

함수의 그래프에는 다음 요구 사항을 충족하는 수평 점근선이 있습니다. x가 무한대 또는 마이너스 무한대 경향이 있고 극한이 특정 숫자(예: a)와 같은 경우. 안에 이 경우 y=a는 수평 점근선입니다. 우리가 연구하고 있는 함수에는 수평 점근선이 없습니다.

경사 점근선은 다음 두 조건이 충족되는 경우에만 존재합니다.

lim(f(x))/x=k;
한계 f(x)-kx=b.

그러면 y=kx+b 공식으로 구할 수 있습니다. 다시 말하지만, 우리의 경우에는 사선 점근선이 없습니다.

함수 제로

다음 단계는 0에 대한 함수 그래프를 검사하는 것입니다. 함수의 0을 찾는 것과 관련된 작업은 함수 그래프의 연구 및 구성에서 뿐만 아니라 독립적인 작업으로 부등식을 해결하는 방법으로도 발생한다는 점에 유의하는 것도 매우 중요합니다. 그래프에서 함수의 0을 찾거나 수학적 표기법을 사용해야 할 수도 있습니다.

이 값을 찾으면 함수를 더 정확하게 플롯하는 데 도움이 됩니다. 말할 경우 평이한 언어이면 함수의 0은 y=0인 변수 x의 값입니다. 그래프에서 함수의 0을 찾는 경우 그래프가 x축과 교차하는 지점에 주의해야 합니다.

함수의 영점을 찾으려면 다음 방정식을 풀어야 합니다. y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. 필요한 계산을 수행한 후 다음과 같은 답을 얻습니다.

부호 불변성

함수(그래픽) 연구 및 구성의 다음 단계는 부호 불변의 간격을 찾는 것입니다. 이는 함수가 양수 값을 취하는 구간과 음수 값을 취하는 구간을 결정해야 함을 의미합니다. 이전 섹션에서 찾은 함수의 0이 이를 수행하는 데 도움이 됩니다. 따라서 그래프와 별도로 직선을 만들고 이를 따라 함수의 0을 가장 작은 것부터 가장 큰 것까지 올바른 순서로 분배해야 합니다. 이제 "+" 기호가 있는 결과 간격과 "-"가 있는 간격을 결정해야 합니다.

우리의 경우 함수는 간격에서 양수 값을 취합니다.

1에서 4까지;
9에서 무한대로.

부정적인 의미:

마이너스 무한대에서 1로;
4시부터 9시까지.

이것은 결정하기가 상당히 쉽습니다. 간격의 숫자를 함수에 대입하고 답이 어떤 부호(빼기 또는 더하기)인지 확인합니다.

함수 오름차순 및 감소

함수를 탐색하고 구축하려면 그래프가 증가할 위치(Oy에서 위로 이동)와 그래프가 감소할 위치(y축을 따라 서서히 감소)를 알아야 합니다.

함수는 변수 x의 더 큰 값이 y의 더 큰 값에 해당하는 경우에만 증가합니다. 즉, x2는 x1보다 크고 f(x2)는 f(x1)보다 큽니다. 그리고 우리는 감소하는 함수(x가 많을수록 y가 적음)에서 완전히 반대되는 현상을 관찰합니다. 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음을 찾아야 합니다.

범위(우리는 이미 가지고 있습니다);
미분(우리의 경우: 1/3(3x^2-28x+49);
방정식 1/3(3x^2-28x+49)=0을 풉니다.

계산 후 결과를 얻습니다.

우리는 다음을 얻습니다: 함수는 음의 무한대에서 7/3까지 그리고 7에서 무한대까지의 간격에서 증가하고 7/3에서 7까지의 간격에서 감소합니다.

과격한 수단

조사된 함수 y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)은 연속적이며 변수 x의 모든 값에 대해 존재합니다. 극한점은 이 함수의 최대값과 최소값을 나타냅니다. 우리의 경우에는 건설 작업을 크게 단순화하는 것이 없습니다. 그렇지 않으면 미분 함수를 사용하여 찾을 수도 있습니다. 찾은 후에는 차트에 표시하는 것을 잊지 마십시오.

볼록함과 오목함

우리는 함수 y(x)를 계속 연구합니다. 이제 볼록함과 오목함을 확인해야 합니다. 이러한 개념의 정의는 인식하기가 매우 어려우므로 예를 들어 모든 것을 분석하는 것이 좋습니다. 테스트를 위해: 감소하지 않는 함수인 경우 함수는 볼록합니다. 동의합니다. 이해할 수 없습니다!

2차 함수의 도함수를 찾아야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다: y=1/3(6x-28). 이제 우변을 0과 동일시하고 방정식을 풉니다. 답변: x=14/3. 변곡점, 즉 그래프가 볼록에서 오목으로 또는 그 반대로 변하는 지점을 찾았습니다. 마이너스 무한대에서 14/3까지는 볼록함수이고, 14/3에서 플러스 무한대까지는 오목함수입니다. 차트의 변곡점이 매끄럽고 부드러워야 한다는 점에 유의하는 것도 매우 중요합니다. 날카로운 모서리존재해서는 안됩니다.

추가 포인트의 정의

우리의 임무는 함수 그래프를 탐색하고 플로팅하는 것입니다. 우리는 연구를 마쳤습니다. 이제 함수를 그리는 것이 어렵지 않을 것입니다. 곡선이나 좌표평면의 직선을 보다 정확하고 세밀하게 재현하기 위해 여러 보조점을 찾을 수 있습니다. 그것들을 계산하는 것은 꽤 쉽습니다. 예를 들어 x=3을 취하고 결과 방정식을 풀고 y=4를 찾습니다. 또는 x=5 및 y=-5 등등. 구축에 필요한 만큼 추가 점수를 얻을 수 있습니다. 적어도 3-5개가 발견됩니다.

플로팅

(x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y 함수를 조사해야 했습니다. 계산 과정에서 필요한 모든 표시는 좌표 평면에서 이루어졌습니다. 남은 작업은 그래프를 만드는 것, 즉 모든 점을 서로 연결하는 것입니다. 점을 연결하는 것은 부드럽고 정확하며 이것은 기술의 문제입니다. 약간의 연습과 일정이 완벽할 것입니다.

지침

함수의 범위를 찾습니다. 예를 들어 sin(x) 함수는 -∞에서 +∞까지 전체 구간에 대해 정의되고 함수 1/x는 점 x = 0을 제외하고 -∞에서 +∞까지 정의됩니다.

연속성 영역과 중단점을 정의합니다. 일반적으로 함수는 정의된 동일한 도메인에서 연속적입니다. 불연속성을 감지하려면 인수가 정의 영역 내에서 고립된 지점에 접근할 때를 계산해야 합니다. 예를 들어 함수 1/x는 x→0+일 때 무한대가 되고 x→0-일 때 마이너스 무한대가 됩니다. 이것은 점 x = 0에서 두 번째 종류의 불연속성을 갖는다는 것을 의미합니다.
불연속 점의 극한이 유한하지만 같지 않으면 이것은 제1종 불연속입니다. 동일하면 함수는 연속으로 간주되지만 격리된 지점에서 정의되지는 않습니다.

있는 경우 수직 점근선을 찾습니다. 수직 점근선은 거의 항상 두 번째 종류의 불연속점에 있기 때문에 이전 단계의 계산이 여기에서 도움이 될 것입니다. 그러나 때로는 정의 영역에서 제외되는 개별 점이 아니라 점의 전체 간격이며 수직 점근선은 이러한 간격의 가장자리에 위치할 수 있습니다.

함수에 특별한 속성(짝수, 홀수, 주기적)이 있는지 확인합니다.
함수는 도메인 f(x) = f(-x)의 임의 x에 대해 짝수입니다. 예를 들어 cos(x)와 x^2는 짝수 함수입니다.

주기성은 임의의 x f(x) = f(x + T)에 대해 주기라고 하는 특정 숫자 T가 있음을 나타내는 속성입니다. 예를 들어 모든 전공 삼각 함수(사인, 코사인, 탄젠트) - 주기적입니다.

포인트를 찾으십시오. 이를 위해 주어진 함수의 미분을 계산하고 그것이 사라지는 x 값을 찾으십시오. 예를 들어, 함수 f(x) = x^3 + 9x^2 -15는 x = 0 및 x = -6에서 사라지는 도함수 g(x) = 3x^2 + 18x를 가집니다.

최대값과 최소값을 결정하려면 찾은 0에서 도함수 부호의 변화를 추적합니다. g(x)는 x = -6에서 부호를 플러스에서 x = 0에서 마이너스에서 플러스로 변경합니다. 따라서 함수 f(x)는 첫 번째 지점에서 최소값을 가지며 두 번째 지점에서 최소값을 갖습니다.

따라서 f(x)는 간격 -∞;-6에서 단조롭게 증가하고 -6;0에서 단조롭게 감소하며 0;+∞에서 다시 증가합니다.

2차 도함수를 구합니다. 그것의 근은 주어진 함수의 그래프가 볼록한 곳과 오목한 곳을 보여줄 것입니다. 예를 들어 함수 f(x)의 2차 도함수는 h(x) = 6x + 18이 됩니다. x = -3에서 사라지고 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀝니다. 따라서이 점 앞의 그래프 f (x)는 볼록하고 그 후에는 오목하며이 점 자체가 변곡점이됩니다.

함수는 수직 점근선을 제외하고 다른 점근선을 가질 수 있지만 정의 영역이 를 포함하는 경우에만 가능합니다. 이를 찾으려면 x→∞ 또는 x→-∞일 때 f(x)의 극한을 계산하십시오. 유한한 경우 수평 점근선을 찾은 것입니다.

사선 점근선은 kx + b 형식의 직선입니다. k를 찾으려면 f(x)/x의 극한을 x→∞로 계산하십시오. 동일한 x→∞로 b - 극한(f(x) – kx)을 찾으려면.

계산된 데이터에 함수를 플로팅합니다. 있는 경우 점근선에 레이블을 지정합니다. 극한 지점과 함수 값을 표시하십시오. 그래프의 정확도를 높이려면 더 많은 중간 지점에서 함수 값을 계산하십시오. 연구가 완료되었습니다.

가장 중요한 작업 중 하나 미분학발전이다 일반적인 예기능의 행동에 대한 연구.

함수 y \u003d f (x)가 구간에서 연속적이고 그 도함수가 구간 (a, b)에서 양수이거나 0이면 y \u003d f (x)는 (f "(x) 0). 함수 y \u003d f (x)가 세그먼트에서 연속적이면 , 그 미분은 간격 (a,b)에서 음수이거나 0과 같으면 y=에프(엑스) 감소 (에프"( 엑스)0)

함수가 감소하거나 증가하지 않는 구간을 함수의 단조 구간이라고 합니다. 함수의 단조성 특성은 1차 미분의 부호가 변경되는 정의 영역의 해당 지점에서만 변경될 수 있습니다. 함수의 1차 도함수가 사라지거나 중단되는 지점을 임계점이라고 합니다.

정리 1(극값이 존재하기 위한 첫 번째 충분 조건).

함수 y=f(x)를 점 x 0에서 정의하고 이웃 δ>0이 있게 하여 함수가 구간 에서 연속이고 간격 (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , 그리고 그 도함수는 이러한 각 구간에서 일정한 부호를 유지합니다. 그런 다음 x 0 -δ, x 0) 및 (x 0, x 0 + δ)에서 도함수의 부호가 다른 경우 x 0은 극한점이며 일치하면 x 0은 극한점이 아닙니다. . 또한, 점 x0을 지날 때 미분의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면(x 0의 왼쪽으로 f"(x)> 0이 수행되면 x 0이 최대점, 미분의 부호가 바뀌면 마이너스에서 플러스로 (x 0의 오른쪽은 f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

최대값과 최소값을 함수의 극한값이라고 하고 함수의 최대값과 최소값을 극값이라고 합니다.

정리 2(국소 극값에 필요한 기준).

함수 y=f(x)가 현재 x=x 0에서 극값을 갖는 경우 f'(x 0)=0 또는 f'(x 0)이 존재하지 않습니다.
미분 가능 함수의 극한 지점에서 그래프의 접선은 Ox 축과 평행합니다.

극값에 대한 함수를 연구하기 위한 알고리즘:

1) 함수의 미분을 찾습니다.
2) 임계점 찾기, 즉 함수가 연속이고 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점.
3) 각 점의 이웃을 고려하고 이 점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 도함수의 부호를 조사합니다.
4) 극점의 좌표를 결정하고 이 임계점 값을 이 함수로 대체합니다. 충분한 극한 조건을 사용하여 적절한 결론을 도출합니다.

예 18. 함수 y=x 3 -9x 2 +24x를 조사합니다.

해결책.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) 도함수를 0으로 하면 x 1 =2, x 2 =4가 됩니다. 이 경우 미분은 모든 곳에서 정의됩니다. 따라서 발견된 두 지점 외에 다른 중요한 지점은 없습니다.
3) 미분 y"=3(x-2)(x-4)의 부호는 그림 1과 같이 구간에 따라 변한다. 점 x=2를 지날 때 미분은 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌고, 점을 통과할 때 x=4 - 마이너스에서 플러스로.
4) 포인트 x=2에서 함수는 최대 y max =20이고 포인트 x=4 - 최소 y min =16입니다.

정리 3. (극한값이 존재하기 위한 두 번째 충분 조건).

f "(x 0)과 f ""(x 0)이 점 x 0에 존재한다고 하자. 그러면 f ""(x 0)> 0이면 x 0이 최소점이고 f ""(x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

세그먼트에서 함수 y \u003d f(x)는 간격(a; b)에 있는 함수의 임계점 또는 끝에서 가장 작은(적어도) 또는 가장 큰(최대) 값에 도달할 수 있습니다. 세그먼트의.

세그먼트에서 연속 함수 y=f(x)의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘:

1) f "(x)를 찾으십시오.
2) f "(x) = 0 또는 f"(x)가 존재하지 않는 점을 찾아 세그먼트 내부에 있는 점을 선택합니다.
3) 단락 2)에서 얻은 점과 세그먼트 끝에서 함수 y \u003d f (x)의 값을 계산하고 그 중 가장 큰 것과 가장 작은 것을 선택하십시오. 각각 가장 큰 것입니다 ( 가장 큰 경우) 및 가장 작은 경우(가장 작은 경우) 간격의 함수 값 .

예 19. 세그먼트에서 연속 함수 y=x 3 -3x 2 -45+225의 가장 큰 값을 찾습니다.

1) 세그먼트에 y "=3x 2 -6x-45가 있습니다.
2) 미분 y"는 모든 x에 대해 존재합니다. y"=0인 점을 찾아봅시다. 우리는 얻는다:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
엑스 1 \u003d -3; x2=5
3) 점 x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63에서 함수 값을 계산합니다.
점 x=5만이 세그먼트에 속합니다. 함수에서 찾은 값 중 가장 큰 값은 225이고 가장 작은 값은 숫자 50입니다. 따라서 max = 225에서 max = 50입니다.

볼록성에 대한 함수 조사

그림은 두 함수의 그래프를 보여줍니다. 그 중 첫 번째는 팽창으로, 두 번째는 팽창으로 회전합니다.

함수 y=f(x)는 세그먼트에서 연속적이고 간격(a;b)에서 미분 가능하며, axb에 대한 그래프가 탄젠트보다 높지 않은(낮지 않은) 경우 이 세그먼트에서 볼록 업(아래)이라고 합니다. 임의의 점 M 0 (x 0 ;f(x 0))에 그려집니다. 여기서 axb.

정리 4. 함수 y=f(x)가 세그먼트의 내부 점 x에서 2차 도함수를 가지며 이 세그먼트의 끝에서 연속적이라고 가정합니다. 그런 다음 부등식 f""(x)0이 간격 (a;b)에서 충족되면 함수는 세그먼트에서 아래쪽으로 볼록합니다. 부등식 f""(x)0이 구간 (а;b)에서 충족되면 함수는 위쪽으로 볼록합니다.

정리 5. 함수 y=f(x)가 구간 (a;b)에서 2차 도함수를 가지며 점 x 0을 통과할 때 부호가 변경되면 M(x 0 ;f(x 0))는 변곡점.

변곡점을 찾는 규칙:

1) f""(x)가 존재하지 않거나 사라지는 지점을 찾습니다.
2) 첫 번째 단계에서 찾은 각 지점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 기호 f""(x)를 검사합니다.
3) 정리 4에 근거하여 결론을 도출한다.

예제 20. 함수 그래프 y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12의 극한점과 변곡점 찾기.

우리는 f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2를 가집니다. 분명히, x 1 =0, x 2 =1에 대해 f"(x)=0입니다. 도함수는 x=0점을 통과하면 마이너스에서 플러스로 부호가 바뀌고, x=1점을 통과하면 부호가 바뀌지 않는다. 이는 x=0이 최소점(y min =12)이고 점 x=1에 극값이 없음을 의미합니다. 다음으로 우리는 . 2차 도함수는 점 x 1 =1, x 2 =1/3에서 사라집니다. 2차 미분의 부호는 다음과 같이 변경됩니다. 광선(-∞;)에서 f""(x)>0이고 간격(;1)에서 f""(x)입니다.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. 따라서 x=는 함수 그래프의 변곡점(convexity에서 convexity up으로 전환)이고 x=1도 변곡점(convexity에서 convexity down으로 전환)입니다. x=이면 y= ; 그렇다면 x=1, y=13입니다.

그래프의 점근선을 찾는 알고리즘

I. y=f(x) as x → a 이면 x=a는 수직 점근선입니다.
II. y=f(x) as x → ∞ 또는 x → -∞이면 y=A는 수평 점근선입니다.
III. 경사 점근선을 찾기 위해 다음 알고리즘을 사용합니다.
1) 계산합니다. 극한이 존재하고 b와 같으면 y=b는 수평 점근선입니다. 이면 두 번째 단계로 이동합니다.
2) 계산합니다. 이 극한이 존재하지 않으면 점근선이 없습니다. 존재하고 k와 같으면 세 번째 단계로 이동합니다.
3) 계산합니다. 이 극한이 존재하지 않으면 점근선이 없습니다. 존재하고 b와 같으면 네 번째 단계로 이동합니다.
4) 사선 점근선 y=kx+b의 방정식을 적으십시오.

예제 21: 함수에 대한 점근선 찾기

1)
2)
3)
4) 비스듬한 점근선 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

함수 연구 계획 및 그래프 구성

I. 함수의 도메인을 찾습니다.
II. 함수 그래프와 좌표축의 교차점을 찾으십시오.
III. 점근선을 찾습니다.
IV. 가능한 극한 지점을 찾습니다.
V. 중요한 포인트를 찾습니다.
VI. 보조 그림을 사용하여 1차 미분과 2차 미분의 부호를 조사합니다. 함수의 증가 및 감소 영역을 결정하고 그래프의 볼록면 방향, 극한점 및 변곡점을 찾으십시오.
VII. 단락 1-6에서 수행된 연구를 고려하여 그래프를 작성하십시오.

예 22: 위의 구성표에 따라 함수 그래프를 플로팅합니다.

해결책.
I. 함수의 정의역은 x=1을 제외한 모든 실수의 집합입니다.
II. 방정식 x 2 +1=0에는 실근이 없기 때문에 함수의 그래프에는 Ox 축과의 교차점이 없지만 점 (0; -1)에서 Oy 축과 교차합니다.
III. 점근선의 존재에 대한 질문을 명확히 합시다. 불연속점 x=1 근처에서 함수의 동작을 조사합니다. x → -∞에 대해 y → ∞, x → 1+에 대해 y → +∞이므로 선 x=1은 함수 그래프의 수직 점근선입니다.
x → +∞(x → -∞)이면 y → +∞(y → -∞); 따라서 그래프에는 수평 점근선이 없습니다. 또한 한계의 존재로부터

방정식 x 2 -2x-1=0을 풀면 가능한 극한값의 두 지점을 얻습니다.
x 1 =1-√2 및 x 2 =1+√2

V. 임계점을 찾기 위해 2차 미분을 계산합니다.

f""(x)는 사라지지 않으므로 임계점이 없습니다.
VI. 1차 미분과 2차 미분의 부호를 조사합니다. 고려해야 할 가능한 극한점: x 1 =1-√2 및 x 2 =1+√2, 함수의 존재 영역을 간격(-∞;1-√2)으로 나눕니다.(1-√2 ;1+√2) 및 (1+√2;+∞).

이러한 각 간격에서 미분은 부호를 유지합니다. 첫 번째 - 더하기, 두 번째 - 빼기, 세 번째 - 더하기. 1차 미분 기호의 순서는 +, -, +로 작성됩니다.
(-∞;1-√2)에서는 함수가 증가하고, (1-√2;1+√2)에서는 감소하며, (1+√2;+∞)에서는 다시 증가합니다. 극한 지점: x=1-√2에서 최대, 더욱이 x=1+√2에서 최소 f(1-√2)=2-2√2, 더욱이 f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1)에서 그래프는 위로 볼록하고 (1;+∞)에서 - 아래로 볼록합니다.
VII 얻은 값의 표를 만들어 보자