피타고라스의 삼중수와 그 수. 현대 과학 집약적 기술 피타고라스 삼중의 일부인 소수

"지역 교육 센터"

체계적인 개발

해결에 피타고라스 트리플 사용

기하학적 문제 및 삼각법 작업 사용

칼루가, 2016

나 소개

피타고라스 정리는 기하학의 주요 정리 중 하나이며 가장 중요한 정리라고 말할 수도 있습니다. 그것의 중요성은 대부분의 기하학 정리가 그것으로부터 또는 그것의 도움으로 추론될 수 있다는 사실에 있습니다. 피타고라스의 정리는 그 자체로는 전혀 명백하지 않다는 점에서도 주목할 만하다. 예를 들어 이등변 삼각형의 속성은 도면에서 직접 볼 수 있습니다. 그러나 직각삼각형을 어떻게 보든 그 변들 사이에 이렇게 단순한 비율이 있다는 것을 결코 볼 수 없을 것입니다: a2+b2=c2. 그러나 그의 이름을 딴 정리를 발견한 것은 피타고라스가 아니었다. 그것은 훨씬 더 일찍 알려졌지만 아마도 측정에서 파생된 사실로만 여겨졌을 것입니다. 아마도 피타고라스는 이것을 알고 있었지만 증거를 찾았습니다.

무한한 수의 자연수가 있습니다 아, 나, 다, 관계를 만족 a2+b2=c2.. 그들은 피타고라스 숫자라고합니다. 피타고라스 정리에 따르면 이러한 숫자는 직각 삼각형의 변의 길이 역할을 할 수 있습니다. 우리는 이를 피타고라스 삼각형이라고 부를 것입니다.

작업의 목표:학교 수학 과정, USE 과제의 문제를 해결하기 위해 피타고라스 트리플을 사용할 가능성과 효과를 연구합니다.

작업의 목적에 따라 아래와 같이 작업:

피타고라스 삼중법의 역사와 분류를 공부한다. 학교 교과서에서 사용 가능하고 시험의 제어 및 측정 자료에서 찾을 수 있는 피타고라스 트리플을 사용하여 작업을 분석합니다. 문제 해결을 위해 피타고라스 삼중수와 그 속성을 사용하는 효과를 평가합니다.

연구 대상: 숫자의 피타고라스 삼배.

연구 주제: 피타고라스의 삼중수를 사용하는 삼각법 및 기하학의 학교 과정 과제.

연구의 관련성. 피타고라스 삼중법은 종종 기하학과 삼각법에 사용되며 계산 오류를 제거하고 시간을 절약할 수 있습니다.

II. 주요 부분. 피타고라스 트리플을 사용하여 문제를 해결합니다.

2.1 피타고라스 수의 삼중수 표(Perelman에 따름)

피타고라스 숫자는 다음과 같은 형식을 갖습니다. ㅏ= mn, 여기서 m과 n은 서로소인 홀수입니다.

피타고라스 숫자에는 여러 가지 흥미로운 기능이 있습니다.

"다리" 중 하나는 3의 배수여야 합니다.

"다리" 중 하나는 4의 배수여야 합니다.

피타고라스 수 중 하나는 5의 배수여야 합니다.

"Entertaining Algebra"라는 책에는 공약수가 없는 최대 100개의 숫자를 포함하는 피타고라스의 삼중수 표가 포함되어 있습니다.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Shustrov의 피타고라스 삼중수 분류.

Shustrov는 다음 패턴을 발견했습니다. 모든 피타고라스 삼각형이 그룹으로 나뉘면 홀수 변 x, 짝수 y 및 빗변 z에 대해 다음 공식이 유효합니다.

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n(n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, 여기서 N은 패밀리 번호이고 n은 패밀리 내 삼각형의 서수입니다.

수식에서 N과 n 대신 양의 정수를 1부터 시작하여 모든 주요 피타고라스 삼중 수와 특정 유형의 배수를 얻을 수 있습니다. 각 가족에 대한 모든 피타고라스 삼중 테이블을 만들 수 있습니다.

2.3. 면적 측정 작업

기하학에 대한 다양한 교과서의 문제를 고려하고 이러한 작업에서 피타고라스 삼중이 얼마나 자주 발견되는지 알아봅시다. 피타고라스의 삼중수 표에서 세 번째 요소를 찾는 사소한 문제는 교과서에서도 찾을 수 있지만 고려하지 않습니다. 데이터가 자연수로 표현되지 않는 문제의 솔루션을 피타고라스 삼중으로 줄이는 방법을 보여드리겠습니다.

7-9학년을 위한 기하학 교과서의 작업을 고려하십시오.

№ 000. 직각 삼각형의 빗변 찾기 ㅏ=, 비=.

해결책. 다리 길이에 7을 곱하면 피타고라스의 삼중 3과 4에서 두 개의 요소를 얻습니다. 누락된 요소는 5이고 이를 7로 나눕니다. 답.

№ 000. 사각형 ABCD에서 CD=1.5, AC=2.5인 경우 BC를 찾습니다.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" 폭="240" 높이="139 src=">

해결책. 직각삼각형 ACD를 풀어봅시다. 길이에 2를 곱하면 피타고라스 삼중 3과 5에서 두 개의 요소를 얻고 누락된 요소는 4이며 이를 2로 나눕니다. 답: 2.

다음 수 풀 때 비율 확인 a2+b2=c2완전히 선택 사항이며 피타고라스 숫자와 그 속성을 사용하는 것으로 충분합니다.

№ 000. 삼각형의 변이 숫자로 표현되면 삼각형이 직각인지 알아보십시오.

a) 6,8,10 (피타고라스 트리플 3,4.5) - 예;

직각삼각형의 변 중 하나는 4로 나누어져야 합니다. 답: 아니오.

c) 9,12,15 (피타고라스 트리플 3,4.5) - 예;

d) 10,24,26 (피타고라스 트리플 5,12.13) - 예;

피타고라스 수 중 하나는 5의 배수여야 합니다. 답변: 아니요.

g) 15, 20, 25 (피타고라스 트리플 3,4.5) - 예.

이 섹션(피타고라스 정리)의 39개 작업 중 22개는 피타고라스 수와 속성에 대한 지식을 사용하여 구두로 해결됩니다.

문제 #000을 고려하십시오("추가 작업" 섹션에서).

AB=5cm, BC=13cm, CD=9cm, DA=15cm, AC=12cm인 사변형 ABCD의 넓이를 구하세요.

임무는 비율을 확인하는 것입니다 a2+b2=c2주어진 사변형이 두 개의 직각 삼각형으로 구성됨을 증명하십시오(역정리). 그리고 피타고라스의 삼중수인 3, 4, 5 및 5, 12, 13에 대한 지식은 계산할 필요가 없습니다.

7-9학년을 위한 기하학 교과서의 몇 가지 문제에 대한 해결책을 제시해 봅시다.

문제 156 (h). 직각 삼각형의 다리는 9와 40입니다. 빗변에 그려진 중앙값을 찾으십시오.

해결책 . 빗변에 그려진 중앙값은 그것의 절반과 같습니다. 피타고라스 삼중은 9.40과 41입니다. 따라서 중앙값은 20.5입니다.

문제 156 (i). 삼각형의 측면은 다음과 같습니다. ㅏ= 13cm, b= 20cm 높이 hс = 12cm 베이스 찾기 와 함께.

과제(김유즈). 높이 BH가 12일 때 예각삼각형 ABC에 내접하는 원의 반지름을 구하고 죄 A=,죄 C \u003d 왼쪽 "\u003e

해결책.우리는 직사각형 Δ ASC를 풉니다: sin A=, BH=12, 따라서 AB=13,AK=5(피타고라스 트리플 5,12,13). 직사각형 ∆ BCH 풀기: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (피타고라스식 트리플 3,4,5). 반지름은 공식 r === 4로 구합니다. Answer.4.

2.4. 삼각법의 피타고라스 트리플

주요 삼각 항등식은 피타고라스 정리의 특수한 경우입니다: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. 따라서 일부 삼각법 작업은 피타고라스 삼중법을 사용하여 구두로 쉽게 해결됩니다.

함수의 주어진 값에서 다른 삼각함수의 값을 구해야 하는 문제는 제곱근을 추출하지 않고 풀 수 있다. 학교 대수학 교과서 (10-11) Mordkovich (No. 000-No. 000)에서 이러한 유형의 모든 작업은 몇 가지 피타고라스 트리플 만 알고 구두로 해결할 수 있습니다. 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . 두 가지 작업의 솔루션을 고려해 봅시다.

000 a). 죄 t = 4/5, π/2< t < π.

해결책. 피타고라스 트리플: 3, 4, 5. 따라서 비용 t = -3/5; tg t = -4/3,

000 b). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.

해결책. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. 피타고라스 트리플 5,12,13. 부호가 주어지면 sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12를 얻습니다.

3. 시험의 제어 및 측정 재료

a) cos(arcsin 3/5)=4/5(3, 4, 5)

b) 죄(아르코스 5/13)=12/13(5, 12, 13)

c) tg(arcsin 0.6)=0.75(6, 8, 10)

d) ctg(아르코스 9/41) = 9/40(9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) 평등의 유효성을 확인하십시오.

아크사인 4/5 + 아크사인 5/13 + 아크사인 16/65 = π/2.

해결책. 아크사인 4/5 + 아크사인 5/13 + 아크사인 16/65 = π/2

아크사인 4/5 + 아크사인 5/13 = π/2 - 아크사인 16/65

죄(arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = 죄(arccos 16/65)

죄 (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. 결론

기하학적 문제에서 직각 삼각형을 자주, 때로는 여러 번 풀어야 합니다. 학교 교과서 및 USE 자료의 작업을 분석한 결과 주로 3, 4, 5의 세 가지가 사용된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; 기억하기 쉬운 것. 일부 삼각법 작업을 해결할 때 삼각법 공식과 많은 계산을 사용하는 고전적인 솔루션은 시간이 걸리며 피타고라스 트리플에 대한 지식은 계산 오류를 제거하고 시험에서 더 어려운 문제를 해결하는 데 시간을 절약합니다.

서지 목록

1. 대수학 및 분석의 시작. 10-11 등급. 2시간에 2부. 교육기관을 위한 과제집 / [기타]; 에드. . - 8th ed., Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : 아픈.

2. Perelman 대수학. - D.: VAP, 1994. - 200p.

3. 로가노프스키: Proc. 7-9 세포용. 깊은 수학 일반 교육의 연구. 학교 러시아어에서 랭. 학습, - 3판. - 망나니; 나르. Asveta, 2000. - 574 p.: 아프다.

4. 수학: 역사, 방법론, 교훈에 대한 독자. / 비교 . -M.: URAO 출판사, 2001. - 384p.

5. 저널 "학교에서의 수학" No. 1, 1965.

6. 시험의 통제 및 측정 자료.

7. 기하학, 7-9: 절차. 교육 기관 / 등 - 13th ed. - M .: Education, 2003. – 384p. : 아픈.

8. 기하학: Proc. 10-11 세포. 평균 학교 / 등 - 2nd ed. - M .: Education, 1993, - 207 p.: 아픈.

페렐만 대수학. - D.: VAP, 1994. - 200p.

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Belotelov V.A. 피타고라스의 삼중수와 그 수 // Nesterovs의 백과사전

이 기사는 한 교수인 핀처에 대한 답변입니다. 교수님, 우리 마을에서 어떻게 하는지 보세요.

Nizhny Novgorod 지역, Zavolzhye.

Diophantine 방정식(ADDE)을 풀기 위한 알고리즘에 대한 지식과 다항식 수열에 대한 지식이 필요합니다.

IF는 소수입니다.

MF는 합성수입니다.

홀수 N이 있다고 하자. 1이 아닌 홀수의 경우 방정식을 작성할 수 있습니다.

피 2 + N \u003d q 2,

여기서 р + q = N, q – р = 1입니다.

예를 들어 숫자 21과 23의 경우 등식은 다음과 같습니다.

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

N이 소수이면 이 방정식은 고유합니다. 숫자 N이 합성수이면 1 x N을 포함하여 이 숫자를 나타내는 인수 쌍의 수에 대해 유사한 방정식을 작성할 수 있습니다.

숫자 N = 45, -를 봅시다.

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

나는 꿈을 꾸었지만 IF와 MF의 차이점에 집착하여 식별 방법을 찾는 것이 가능합니까?

표기법을 소개하겠습니다.

낮은 방정식을 바꾸자 -

N \u003d in 2-a 2 \u003d (b-a) (b + a).

-a의 기준에 따라 N의 값을 그룹화합니다. 테이블을 만들어 봅시다.

숫자 N은 행렬로 요약되었습니다.

이 작업을 위해 다항식과 행렬의 진행을 다루어야 했습니다. 모든 것이 헛된 것으로 판명되었습니다. PCh 방어는 강력하게 유지됩니다. - a \u003d 1 (q - p \u003d 1) 인 표 1에 열을 입력합시다.

다시 한번. IF와 MF를 식별하는 문제를 해결하기 위해 노력한 결과 표 2를 얻었다. 임의의 숫자 N에 대해 a 2 + N \u003d in 2 형식의 방정식이 1 x N을 포함하여 숫자 N을 나눌 수 있는 요소 쌍 수에 따라 테이블에서 따릅니다. 숫자 N \u003d ℓ 2로, 여기서

ℓ-FC. ℓ이 IF인 N = ℓ 2 의 경우 고유 방정식 p 2 + N = q 2 가 있습니다. 테이블이 N을 형성하는 요소 쌍에서 1에서 ∞까지 더 작은 요소를 나열하는 경우 추가 증거에 대해 이야기할 수 있습니다. 표 2를 상자에 넣고 상자를 옷장에 숨길 것입니다.

기사 제목에 명시된 주제로 돌아가 보겠습니다.

이 기사는 한 교수인 핀처에 대한 답변입니다.

도움을 요청했습니다. 인터넷에서 찾을 수 없는 일련의 번호가 필요했습니다. 나는 "무엇 때문에?", "하지만 방법을 보여줘"와 같은 질문에 부딪쳤습니다. 특히 피타고라스의 삼중수열이 무한대인지 "어떻게 증명할 것인가"라는 질문이 나왔다. 그는 나를 돕지 않았다. 교수님, 우리 마을에서 어떻게 하는지 보세요.

피타고라스 삼중의 공식을 봅시다.

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

ARDU를 통과합시다.

세 가지 상황이 가능합니다.

I. x는 홀수이고,

y는 짝수

z는 짝수입니다.

그리고 x > y > z라는 조건이 있습니다.

II. x는 홀수입니다.

y는 짝수

z는 홀수입니다.

x > z > y.

III.x - 짝수,

y는 홀수입니다.

z는 홀수입니다.

x > y > z.

I부터 시작하겠습니다.

새로운 변수를 도입하자

방정식 (1)에 대입하십시오.

더 작은 변수 2γ로 취소합시다.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

새 매개변수 ƒ, -를 동시에 도입하여 변수 2β – 2γ를 더 작은 값으로 줄입니다.

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

그러면 2α - 2β = x - y - 1이 됩니다.

방정식 (2)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

(x-y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

제곱하자 -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU는 매개변수를 통해 방정식의 상위 항 사이의 관계를 제공하므로 방정식 (3)을 얻습니다.

솔루션 선택을 다루는 것은 견고하지 않습니다. 그러나 첫째, 갈 곳이 없고 둘째, 이러한 솔루션 중 몇 가지가 필요하며 무한한 수의 솔루션을 복원할 수 있습니다.

ƒ = 1, k = 1인 경우 x – y = 1입니다.

ƒ = 12, k = 16이면 x - y = 9입니다.

ƒ = 4, k = 32인 경우 x - y = 25입니다.

오랫동안 집어들 수 있지만 결국 시리즈는 다음과 같은 형식을 취합니다.

x-y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

옵션 II를 고려하십시오.

방정식 (1)에 새로운 변수를 도입하자

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

우리는 더 작은 변수 2 β, -로 줄입니다.

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

더 작은 변수 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z이고 방정식 (4)에 대입합니다.

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4인 경우 x - z = 2입니다.

ƒ = 8, k = 14인 경우 x - z = 8입니다.

ƒ = 3, k = 24인 경우 x - z = 18입니다.

x-z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

사다리꼴을 그리자 -

수식을 작성해 봅시다.

여기서 n=1, 2,...∞입니다.

사례 III은 설명하지 않습니다. 거기에는 해결책이 없습니다.

조건 II의 경우 트리플 세트는 다음과 같습니다.

방정식 (1)은 명확성을 위해 x 2 = z 2 + y 2로 표시됩니다.

조건 I의 경우 트리플 세트는 다음과 같습니다.

총 9개의 트리플 열이 그려져 있으며 각 열에는 5개의 트리플이 있습니다. 그리고 제시된 각 열은 ∞까지 쓸 수 있습니다.

예를 들어 x - y \u003d 81인 마지막 열의 트리플을 고려하십시오.

x의 값에 대해 사다리꼴을 작성합니다. -

공식을 쓰자

우리가 사다리꼴을 쓰는 값에 대해-

공식을 쓰자

z 값에 대해 사다리꼴을 작성합니다. -

공식을 쓰자

여기서 n = 1 ÷ ∞입니다.

약속한 대로 x - y = 81인 일련의 세 쌍둥이는 ∞까지 날아갑니다.

사례 I과 II에서 x, y, z에 대한 행렬을 구성하려는 시도가 있었습니다.

맨 위 행에서 x의 마지막 5개 열을 쓰고 사다리꼴을 만듭니다.

작동하지 않았고 패턴이 2차여야 합니다. openwork에서 모든 것을 만들려면 열 I과 II를 결합해야한다는 것이 밝혀졌습니다.

II의 경우 수량 y, z가 다시 교환됩니다.

우리는 한 가지 이유로 병합할 수 있었습니다. 카드가 이 작업에 잘 맞고 운이 좋았습니다.

이제 x, y, z에 대한 행렬을 작성할 수 있습니다.

맨 위 행에서 x 값의 마지막 5개 열에서 가져와 사다리꼴을 만들어 봅시다.

모든 것이 좋습니다. 행렬을 만들 수 있습니다. z에 대한 행렬부터 시작하겠습니다.

나는 가슴을 위해 옷장으로 달려갑니다.

합계: 1에 더하여, 숫자 축의 각 홀수는 1 x N을 포함하여 이 숫자 N을 형성하는 동일한 수의 요인 쌍에 의해 피타고라스 삼중의 형성에 참여합니다.

숫자 N \u003d ℓ 2, 여기서 ℓ - IF는 하나의 피타고라스 삼중을 형성하고 ℓ이 MF이면 요인 ℓхℓ에 삼중이 없습니다.

x, y에 대한 행렬을 만들어 봅시다.

x에 대한 행렬부터 시작하겠습니다. 이를 위해 IF 및 MF 식별 문제에서 좌표 그리드를 가져옵니다.

세로 행의 번호 매기기는 다음 식으로 정규화됩니다.

첫 번째 열을 제거하겠습니다. 왜냐하면

행렬은 다음과 같은 형식을 취합니다.

세로 행을 설명하겠습니다. -

"a"에서 계수를 설명하겠습니다.

무료 회원에 대해 설명하자면, -

"x"에 대한 일반 공식을 만들어 봅시다.

"y"에 대해 유사한 작업을 수행하면 다음을 얻습니다.

다른 쪽에서 이 결과에 접근할 수 있습니다.

방정식을 봅시다.

그리고 2 + N = in 2 .

조금 바꿔보자 -

N \u003d in 2-a 2.

제곱하자 -

N 2 \u003d in 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

방정식의 왼쪽과 오른쪽에 크기 4v 2 a 2, -를 더합니다.

N 2 + 4v 2a 2 \u003d in 4 + 2v 2a 2 + a 4.

그리고 마지막으로 -

(2 + a 2에서) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

피타고라스 트리플은 다음과 같이 구성됩니다.

숫자 N = 117의 예를 고려하십시오.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

표 2의 세로 열은 -a의 값으로 번호가 매겨지고 표 3의 세로 열은 x - y의 값으로 번호가 매겨집니다.

x-y \u003d (c-a) 2,

x \u003d y + (c-a) 2.

세 가지 방정식을 만들어 봅시다.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x1 = 6845, y1 = 6844, z1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117(x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

인수 3과 39는 상대적으로 소수가 아니므로 9의 인수로 삼중 하나가 나왔습니다.

위의 일반적인 기호로 쓰여진 것을 묘사합시다.

이 작업에서는 숫자로 피타고라스 트리플을 계산하는 예를 포함한 모든 것

N = 117, - a에서 더 작은 인수에 연결됨. + a의 요소와 관련된 명시적 차별. 이 부당함을 바로잡자 - 우리는 인수가 + a인 3개의 방정식을 구성할 것이다.

IF와 MF의 식별 문제로 돌아가 봅시다.

이 방향으로 많은 일이 이루어졌으며 오늘날 다음과 같은 생각이 손을 통해 왔습니다. 식별 방정식이 없으며 요소를 결정하는 것과 같은 것이 없습니다.

관계 F = a, b(N)를 찾았다고 가정합니다.

공식이 있습니다

당신은 공식 F에서 in을 제거할 수 있고 당신은 a에 대해 n차 동차 방정식을 얻습니다. 에프 = 에이(N).

이 방정식의 임의 차수 n에 대해 m > n에 대해 인수의 m 쌍을 갖는 숫자 N이 있습니다.

결과적으로 n차 동차 방정식은 m개의 근을 가져야 합니다.

예, 그럴 수 없습니다.

본 논문에서는 방정식의 z 위치에 있는 숫자 N을 방정식 x 2 = y 2 + z 2에 대해 고려하였다. N이 x 자리에 있을 때 이것은 또 다른 작업입니다.

진심으로, Belotelov V.A.

다음으로 효과적인 피타고라스 트리플을 생성하는 잘 알려진 방법을 고려합니다. 피타고라스의 학생들은 부분이 피타고라스 삼중을 나타내는 공식을 사용하여 피타고라스 삼중을 생성하는 간단한 방법을 처음으로 고안했습니다.

중 2 + ((중 2 − 1)/2) 2 = ((중 2 + 1)/2) 2 ,

어디 중- 페어링되지 않음, 중>2. 정말,

4중 2 + 중 4 − 2중 2 + 1
중 2 + ((중 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((중 2 + 1)/2) 2 .
4

비슷한 공식이 고대 그리스 철학자 플라톤에 의해 제안되었습니다.

(2중) 2 + (중 2 − 1) 2 = (중 2 + 1) 2 ,

어디 중- 아무 숫자나. 을 위한 중= 2,3,4,5 다음 삼중항이 생성됩니다.

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

보시다시피 이러한 공식은 가능한 모든 기본 트리플을 제공할 수 없습니다.

다항식의 합으로 분해되는 다음 다항식을 고려하십시오.

(2중 2 + 2중 + 1) 2 = 4중 4 + 8중 3 + 8중 2 + 4중 + 1 =
=4중 4 + 8중 3 + 4중 2 + 4중 2 + 4중 + 1 = (2중(중+1)) 2 + (2중 +1) 2 .

따라서 프리미티브 트리플을 얻기 위한 다음 공식은 다음과 같습니다.

ㅏ = 2중 +1 , 비 = 2중(중+1) = 2중 2 + 2중 , 씨 = 2중 2 + 2중 + 1.

이러한 수식은 평균 수가 가장 큰 수와 정확히 1만큼 다른 트리플을 생성합니다. 즉, 가능한 모든 트리플도 생성되지는 않습니다. 여기서 첫 번째 트리플은 (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61)입니다.

모든 프리미티브 트리플을 생성하는 방법을 결정하려면 해당 속성을 조사해야 합니다. 먼저, 만약 ( 알파벳)는 프리미티브 트리플이고, ㅏ그리고 비, 비그리고 씨, ㅏ그리고 씨— 서로소여야 합니다. 허락하다 ㅏ그리고 비로 나누어진다 디. 그 다음에 ㅏ 2 + 비 2는 다음으로도 나눌 수 있습니다. 디. 각기, 씨 2와 씨로 나누어야 한다 디. 즉, 기본 트리플이 아닙니다.

둘째, 숫자 중에서 ㅏ, 비하나는 페어링되고 다른 하나는 페어링되지 않아야 합니다. 과연, 만약 ㅏ그리고 비- 그럼 페어링 와 함께쌍을 이루며 숫자는 적어도 2로 나눌 수 있습니다. 둘 다 쌍을 이루지 않으면 2로 나타낼 수 있습니다. 케이+1 나는 2 엘+1, 여기서 케이,엘- 일부 숫자. 그 다음에 ㅏ 2 + 비 2 = 4케이 2 +4케이+1+4엘 2 +4엘+1 즉, 와 함께 2뿐만 아니라 ㅏ 2 + 비 2는 4로 나누면 2가 남습니다.

허락하다 와 함께- 임의의 숫자, 즉 와 함께 = 4케이+나 (나=0,…,3). 그 다음에 와 함께 2 = (4케이+나) 2는 나머지가 0 또는 1이고 나머지가 2일 수 없습니다. 따라서, ㅏ그리고 비페어링을 해제할 수 없습니다. ㅏ 2 + 비 2 = 4케이 2 +4케이+4엘 2 +4엘+1 및 나머지 와 함께 2 x 4는 1이어야 합니다. 와 함께페어링을 해제해야 합니다.

피타고라스 트리플 요소에 대한 이러한 요구 사항은 다음 숫자로 충족됩니다.

ㅏ = 2백만, 비 = 중 2 − N 2 , 씨 = 중 2 + N 2 , 중 > N, (2)

어디 중그리고 N서로 다른 쌍으로 서로 중요합니다. 처음으로 이러한 종속성은 2300 r에 살았던 Euclid의 작품에서 알려졌습니다. 뒤쪽에.

종속성의 유효성을 증명해 보겠습니다(2). 허락하다 ㅏ- 그럼 두 배 비그리고 씨- 페어링되지 않았습니다. 그 다음에 씨 + 비나 씨 − 비- 커플. 그들은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 씨 + 비 = 2유그리고 씨 − 비 = 2V, 어디 유,V일부 정수입니다. 그래서

ㅏ 2 = 와 함께 2 − 비 2 = (씨 + 비)(씨 − 비) = 2유 2 V = 4자외선

따라서 ( ㅏ/2) 2 = 자외선.

모순으로 증명할 수 있다. 유그리고 V서로 중요합니다. 허락하다 유그리고 V-로 나뉩니다 디. 그 다음에 ( 씨 + 비) 그리고 ( 씨 − 비)으로 나뉩니다. 디. 따라서 씨그리고 비로 나누어야 한다 디, 그리고 이것은 피타고라스 삼중의 조건과 모순됩니다.

왜냐하면 자외선 = (ㅏ/2) 2 및 유그리고 V coprime, 그것을 증명하는 것은 쉽습니다 유그리고 V어떤 숫자의 제곱이어야 합니다.

따라서 양의 정수가 있습니다. 중그리고 N, 그런 유 = 중 2와 V = N 2. 그 다음에

ㅏ 2 = 4자외선 = 4중 2 N 2 그래서
ㅏ = 2백만; 비 = 유 − V = 중 2 − N 2 ; 씨 = 유 + V = 중 2 + N 2 .

왜냐하면 비> 0이면 중 > N.

그것을 보여주는 것이 남아있다. 중그리고 N서로 다른 페어링을 가지고 있습니다. 만약에 중그리고 N- 그럼 페어링 유그리고 V쌍을 이루어야 하지만 서로소(coprime)이기 때문에 불가능합니다. 만약에 중그리고 N- 페어링되지 않은 경우 비 = 중 2 − N 2와 씨 = 중 2 + N 2개는 짝이 될 것이므로 불가능합니다. 씨그리고 비서로 중요합니다.

따라서 모든 원시 피타고라스 트리플은 조건 (2)를 충족해야 합니다. 동시에 숫자는 중그리고 N~라고 불리는 숫자 생성원시 삼인조. 예를 들어 원시 피타고라스 삼중(120,119,169)이 있다고 합시다. 이 경우

ㅏ= 120 = 2125, 비= 119 = 144 - 25, 그리고 씨 = 144+25=169,

어디 중 = 12, N= 5 - 숫자 생성, 12 > 5; 12와 5는 서로소(coprime)이고 짝이 다릅니다.

숫자로 증명할 수 있습니다. 중, N공식 (2)는 기본 피타고라스 트리플(a,b,c)을 제공합니다. 정말,

ㅏ 2 + 비 2 = (2백만) 2 + (중 2 − N 2) 2 = 4중 2 N 2 + (중 4 − 2중 2 N 2 + N 4) =
= (중 4 + 2중 2 N 2 + N 4) = (중 2 + N 2) 2 = 씨 2 ,

그건 ( ㅏ,비,씨)는 피타고라스의 삼중수입니다. 그동안 증명하자 ㅏ,비,씨는 모순에 의해 서로소수입니다. 이 숫자를 피> 1. 이후 중그리고 N서로 다른 페어링이 있는 경우 비그리고 씨- 페어링되지 않음, 즉 피≠ 2. 이후 아르 자형나누다 비그리고 씨, 저것 아르 자형 2를 나누어야 함 중 2와 2 N 2 때문에 불가능하다. 피≠ 2. 그러므로 중, N서로 중요하고 ㅏ,비,씨또한 공동 프라임입니다.

표 1은 다음에 대한 공식 (2)에 의해 생성된 모든 기본 피타고라스 트리플을 보여줍니다. 중≤10.

표 1. 다음에 대한 기본 피타고라스식 삼중 중≤10

중	N	ㅏ	비	씨	중	N	ㅏ	비	씨
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

이 표를 분석하면 다음과 같은 일련의 패턴이 있음을 알 수 있습니다.

• 또는 ㅏ, 또는 비 3으로 나뉩니다.
• 숫자 중 하나 ㅏ,비,씨 5로 나눌 수 있습니다.
• 숫자 ㅏ 4로 나눌 수 있습니다.
• 일하다 ㅏ· 비 12로 나누어집니다.

1971년 미국의 수학자 테이건과 헤드윈은 직각삼각형의 잘 알려지지 않은 매개변수를 높이(높이)로 제안하여 삼중항을 생성했습니다. 시간 = 씨- b 및 초과(성공) 이자형 = ㅏ + 비 − 씨. 그림 1에서. 이러한 수량은 특정 직각 삼각형에 표시됩니다.

그림 1. 직각삼각형의 성장과 초과

"초과"라는 이름은 대각선을 따라 가지 않으면 삼각형의 다리를 따라 한 정점에서 반대쪽으로 통과해야하는 추가 거리라는 사실에서 파생됩니다.

초과와 성장을 통해 피타고라스 삼각형의 측면은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

이자형 2 이자형 2
ㅏ = 시간 + 이자형, 비 = 이자형 + ——, 씨 = 시간 + 이자형 + ——, (3)
2시간 2시간

모든 조합이 아님 시간그리고 이자형피타고라스 삼각형에 해당할 수 있습니다. 주어진 시간가능한 값 이자형어떤 수의 곱이다 디. 이 번호 디성장이라고 하며 다음을 가리킨다. 시간다음과 같은 방법으로: 디제곱을 2로 나눌 수 있는 가장 작은 양의 정수 시간. 왜냐하면 이자형다수의 디, 다음과 같이 작성됩니다 이자형 = kd, 어디 케이양의 정수입니다.

쌍의 도움으로 ( 케이,시간) 다음과 같이 기본이 아닌 일반화를 포함하여 모든 피타고라스 삼각형을 생성할 수 있습니다.

(dk) 2 (dk) 2
ㅏ = 시간 + dk, 비 = dk + ——, 씨 = 시간 + dk + ——, (4)
2시간 2시간

또한, 트리플은 다음과 같은 경우 원시적입니다. 케이그리고 시간서로소(coprime)이고 만약 시간 =± 큐 2시에 큐- 페어링되지 않았습니다.
또한 다음과 같은 경우 정확히 피타고라스 트리플이 됩니다. 케이> √2 시간/디그리고 시간 > 0.

찾다 케이그리고 시간에서 ( ㅏ,비,씨) 다음을 수행합니다.

• 시간 = 씨 − 비;
• 써 내려 가다 시간어떻게 시간 = pq 2 , 여기서 피> 0이고 정사각형이 아닙니다.
• 디 = 2pq만약에 피- 페어링되지 않은 및 디 = pq, p가 쌍을 이루는 경우;
• 케이 = (ㅏ − 시간)/디.

예를 들어, 트리플(8,15,17)의 경우 시간= 17−15 = 2 1이므로 피= 2 및 큐 = 1, 디= 2, 그리고 케이= (8 − 2)/2 = 3. 따라서 이 트리플은 ( 케이,시간) = (3,2).

트리플(459,1260,1341)의 경우 시간= 1341 - 1260 = 81이므로 피 = 1, 큐= 9 및 디= 18, 따라서 케이= (459 - 81)/18 = 21이므로 이 트리플의 코드는 ( 케이,시간) = (21, 81).

트리플 지정 시간그리고 케이여러 가지 흥미로운 속성이 있습니다. 모수 케이같음

케이 = 4에스/(DP), (5)

어디 에스 = ab/2는 삼각형의 면적이고, 피 = ㅏ + 비 + 씨그 둘레입니다. 이것은 평등에서 다음과 같습니다 eP = 4에스, 이것은 피타고라스의 정리에서 나옵니다.

직각삼각형의 경우 이자형삼각형에 새겨진 원의 지름과 같습니다. 이것은 빗변이 와 함께 = (ㅏ − 아르 자형)+(비 − 아르 자형) = ㅏ + 비 − 2아르 자형, 어디 아르 자형원의 반지름입니다. 여기에서 시간 = 씨 − 비 = ㅏ − 2아르 자형그리고 이자형 = ㅏ − 시간 = 2아르 자형.

을 위한 시간> 0 및 케이 > 0, 케이세 쌍둥이의 서수 ㅏ-비-씨증가하는 피타고라스 삼각형의 시퀀스에서 시간. 쌍으로 생성된 삼중 항에 대한 몇 가지 옵션을 보여주는 표 2에서 시간, 케이, 증가함에 따라 케이삼각형의 변이 증가합니다. 따라서 고전적인 번호 매기기와 달리 쌍으로 번호 매기기 시간, 케이삼중 항 시퀀스에서 더 높은 순서를 갖습니다.

표 2. 쌍 h, k에 의해 생성된 피타고라스 트리플.

시간	케이	ㅏ	비	씨	시간	케이	ㅏ	비	씨
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

을 위한 시간 > 0, 디부등식 2√를 만족합니다. 시간 ≤ 디 ≤ 2시간, 여기서 하한은 피= 1, 위쪽은 큐= 1. 따라서 값 디 2√에 대하여 시간정도의 척도이다. 시간어떤 숫자의 제곱에서 멀리 떨어져 있습니다.

속성

방정식 이후 엑스 2 + 와이 2 = 지 2 균질, 곱했을 때 엑스 , 와이그리고 지같은 숫자에 대해 또 다른 피타고라스 트리플을 얻습니다. 피타고라스의 삼중이라고 합니다. 원어, 이런 식으로 얻을 수 없다면, 즉 상대적으로 소수입니다.

예

일부 피타고라스식 트리플(최대 수의 오름차순으로 정렬, 기본 항목이 강조 표시됨):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

피보나치 수의 속성에 따라 예를 들어 다음과 같은 피타고라스 트리플을 만들 수 있습니다.

.

이야기

피타고라스의 삼중수는 아주 오랫동안 알려져 왔습니다. 고대 메소포타미아 묘비의 건축 양식에는 9, 12, 15 큐빗의 변을 가진 두 개의 직사각형 삼각형으로 구성된 이등변 삼각형이 있습니다. 파라오 스네프루(기원전 XXVII 세기)의 피라미드는 측면이 20, 21, 29인 삼각형과 18, 24, 30개의 이집트 큐빗을 사용하여 지어졌습니다.

또한보십시오

연결

• E. A. 고린피타고라스 삼중수에서 소수의 거듭제곱 // 수학 교육. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

위키미디어 재단. 2010.

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서적

• 아르키메데스 여름, 또는 젊은 수학자 공동체의 역사. 이진수 체계, Bobrov Sergey Pavlovich. 이진수 체계, "하노이의 탑", 기사의 움직임, 마방진, 산술 삼각형, 곱슬 숫자, 조합, 확률의 개념, 뫼비우스의 띠와 클라인 병…

» 유명한 과학 대중화자인 Ian Stewart인 워릭 대학교의 명예 수학 교수로서 인류 역사에서 숫자의 역할과 우리 시대 연구의 관련성에 전념했습니다.

피타고라스 빗변

피타고라스 삼각형은 직각과 정수 변을 가집니다. 가장 단순한 것에서 가장 긴 변의 길이는 5이고 나머지는 3과 4입니다. 총 5개의 정다면체가 있습니다. 5차 방정식은 5차 근 또는 다른 근으로 풀 수 없습니다. 평면 및 3차원 공간의 격자에는 5엽 회전 대칭이 없으므로 이러한 대칭은 결정에도 없습니다. 그러나 그들은 4차원 공간의 격자와 준결정으로 알려진 흥미로운 구조에 있을 수 있습니다.

가장 작은 피타고라스 삼중의 사변

피타고라스의 정리는 직각 삼각형(악명 높은 빗변)의 가장 긴 변이 이 삼각형의 다른 두 변과 매우 간단하고 아름다운 방식으로 상관관계가 있다고 말합니다. 빗변의 제곱은 다른 변의 제곱의 합과 같습니다. 두가지면.

전통적으로 우리는 이 정리를 피타고라스 이후라고 부르지만 사실 그 역사는 다소 모호합니다. 점토판은 고대 바빌로니아인들이 피타고라스 자신보다 오래 전에 피타고라스의 정리를 알고 있었음을 암시합니다. 발견자의 영광은 피타고라스 학파의 수학적 숭배에 의해 그에게 주어졌는데, 그의 지지자들은 우주가 숫자 패턴에 기초하고 있다고 믿었습니다. 피타고라스에 기인한 고대 작가들 - 따라서 피타고라스 - 다양한 수학적 정리, 그러나 사실 우리는 피타고라스 자신이 어떤 종류의 수학에 관여했는지 전혀 모릅니다. 우리는 피타고라스 학파가 피타고라스 정리를 증명할 수 있었는지, 아니면 단순히 그것이 사실이라고 믿었는지도 모릅니다. 또는 아마도 그들은 그 진실에 대한 설득력 있는 데이터를 가지고 있었지만 그럼에도 불구하고 오늘날 우리가 증거로 간주하는 것에 충분하지 않았을 것입니다.

피타고라스의 증거

피타고라스 정리의 알려진 첫 번째 증명은 유클리드의 원소에서 찾을 수 있습니다. 이것은 빅토리아 시대 학생들이 즉시 "피타고라스 바지"로 인식할 그림을 사용한 다소 복잡한 증명입니다. 그림은 밧줄로 말리는 속옷과 정말 비슷합니다. 말 그대로 수백 가지의 다른 증명이 알려져 있으며, 그 중 대부분은 주장을 더 분명하게 만듭니다.

// 쌀. 33. 피타고라스 바지

가장 간단한 증명 중 하나는 일종의 수학적 퍼즐입니다. 임의의 직각 삼각형을 선택하여 4개의 복사본을 만들어 사각형 안에 모읍니다. 한 번 놓으면 빗변에 정사각형이 보입니다. 다른 하나는 삼각형의 다른 두 변에 있는 사각형입니다. 두 경우 모두 영역이 동일하다는 것이 분명합니다.

// 쌀. 34. 왼쪽: 빗변의 정사각형(삼각형 4개 추가). 오른쪽: 다른 두 변에 있는 사각형의 합(동일한 삼각형 4개 포함). 이제 삼각형을 제거하십시오.

Perigal의 해부는 증거의 또 다른 퍼즐 조각입니다.

// 쌀. 35. 페리갈의 해부

평면에 쌓인 사각형을 사용하여 정리의 증명도 있습니다. 아마도 이것이 피타고라스학파나 그들의 알려지지 않은 선조들이 이 정리를 발견한 방법일 것입니다. 비스듬한 사각형이 다른 두 개의 사각형과 겹치는 방식을 보면 큰 사각형을 조각으로 자른 다음 두 개의 작은 사각형으로 합치는 방법을 알 수 있습니다. 직각삼각형도 볼 수 있는데, 그 변은 관련된 세 정사각형의 치수를 나타냅니다.

// 쌀. 36. 포장으로 증명

삼각법에서 유사한 삼각형을 사용하는 흥미로운 증명이 있습니다. 적어도 50개의 서로 다른 증명이 알려져 있습니다.

피타고라스의 세쌍둥이

정수론에서 피타고라스의 정리는 대수 방정식에 대한 정수 해를 찾는 유익한 아이디어의 원천이 되었습니다. 피타고라스 트리플은 다음과 같은 정수 a, b 및 c의 집합입니다.

기하학적으로 이러한 트리플은 변이 정수인 직각 삼각형을 정의합니다.

피타고라스 삼중의 가장 작은 빗변은 5입니다.

이 삼각형의 다른 두 변은 3과 4입니다. 여기서

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

다음으로 큰 빗변은 10입니다.

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

그러나 이것은 본질적으로 변이 두 배인 동일한 삼각형입니다. 다음으로 가장 크고 완전히 다른 빗변은 13입니다.

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclid는 피타고라스의 삼중수에 무한한 수의 다양한 변형이 있다는 것을 알고 있었고, 그것들 모두를 찾기 위한 공식이라고 불릴 수 있는 것을 제시했습니다. 나중에 알렉산드리아의 디오판토스는 기본적으로 유클리드와 같은 간단한 요리법을 제안했습니다.

임의의 두 자연수를 취하여 다음을 계산합니다.

이중 제품;

그들의 제곱의 차이;

그들의 제곱의 합.

세 개의 결과 숫자는 피타고라스 삼각형의 변이 됩니다.

예를 들어 숫자 2와 1을 생각해 보십시오. 계산:

이중 곱: 2 × 2 × 1 = 4;

제곱의 차이: 22 - 12 = 3;

제곱합: 22 + 12 = 5,

유명한 3-4-5 삼각형이 있습니다. 대신 숫자 3과 2를 취하면 다음을 얻습니다.

이중 곱: 2 × 3 × 2 = 12;

제곱의 차이: 32 - 22 = 5;

제곱합: 32 + 22 = 13,

다음으로 유명한 삼각형 5 - 12 - 13을 얻습니다. 숫자 42와 23을 가져와 다음을 얻도록 합시다.

이중 곱: 2 × 42 × 23 = 1932;

제곱의 차이: 422 - 232 = 1235;

제곱합: 422 + 232 = 2293,

아무도 삼각형 1235-1932-2293에 대해 들어 본 적이 없습니다.

하지만 다음 숫자도 작동합니다.

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Diophantine 규칙에는 이미 암시된 또 다른 기능이 있습니다. 세 개의 숫자를 받으면 다른 임의의 숫자를 가져와서 모두 곱할 수 있습니다. 따라서 3-4-5 삼각형은 모든 변에 2를 곱하면 6-8-10 삼각형이 되고 모든 변에 5를 곱하면 15-20-25 삼각형이 됩니다.

대수 언어로 전환하면 규칙은 다음과 같은 형식을 취합니다. u, v 및 k는 자연수입니다. 그런 다음 변이 있는 직각 삼각형

2kuv 및 k(u2 - v2)에는 빗변이 있습니다.

주요 아이디어를 표현하는 다른 방법이 있지만 모두 위에서 설명한 방법으로 요약됩니다. 이 방법을 사용하면 모든 피타고라스 트리플을 얻을 수 있습니다.

정다면체

정다면체는 정확히 5개입니다. 정다면체(또는 다면체)는 유한한 수의 평평한 면을 가진 3차원 도형입니다. 패싯은 모서리라는 선에서 서로 수렴합니다. 모서리는 정점이라는 점에서 만납니다.

유클리드의 "원리"의 정점은 5개의 정다면체, 즉 각 면이 정다각형(동일한 변, 동일한 각도)이고 모든 면이 동일하며 모든 정점이 둘러싸인 다면체만 있을 수 있다는 증거입니다. 동일한 수의 동일한 간격의 면으로. 다음은 5개의 정다면체입니다.

4개의 삼각형 면, 4개의 정점 및 6개의 모서리가 있는 사면체;

6개의 정사각형 면, 8개의 꼭지점 및 12개의 모서리가 있는 정육면체 또는 육면체;

8개의 삼각형 면, 6개의 꼭지점 및 12개의 모서리가 있는 8면체;

12개의 오각형 면, 20개의 꼭지점 및 30개의 모서리가 있는 12면체;

20개의 삼각형 면, 12개의 꼭지점 및 30개의 모서리가 있는 20면체.

// 쌀. 37. 5개의 정다면체

정다면체는 자연에서도 찾을 수 있습니다. 1904년에 Ernst Haeckel은 방사능충으로 알려진 작은 유기체의 그림을 출판했습니다. 그들 중 다수는 동일한 5개의 정규 다면체 모양입니다. 그러나 아마도 그는 자연을 약간 수정했으며 그림은 특정 생명체의 모양을 완전히 반영하지 않습니다. 처음 세 가지 구조는 결정에서도 관찰됩니다. 불규칙한 12 면체와 20 면체가 때때로 거기에 있지만 결정에서 12 면체와 20 면체를 찾을 수 없습니다. 진정한 12면체는 원자가 주기적 격자를 형성하지 않는다는 점을 제외하면 모든 면에서 결정과 같은 준결정으로 나타날 수 있습니다.

// 쌀. 38. Haeckel의 그림: 정다면체 형태의 방산충

// 쌀. 39. 정다면체의 발달

먼저 서로 연결된 일련의 면을 잘라내어 정다면체 모델을 종이로 만드는 것은 흥미로울 수 있습니다. 이를 다면체 스윕이라고합니다. 스캔은 가장자리를 따라 접히고 해당 가장자리는 서로 접착됩니다. 그림과 같이 각 쌍의 가장자리 중 하나에 접착제를 위한 추가 영역을 추가하는 것이 유용합니다. 39. 그러한 플랫폼이 없으면 접착 테이프를 사용할 수 있습니다.

5차 방정식

5차 방정식을 풀기 위한 대수 공식은 없습니다.

일반적으로 5차 방정식은 다음과 같습니다.

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

문제는 이러한 방정식을 풀기 위한 공식을 찾는 것입니다(최대 5개의 솔루션이 있을 수 있음). 4차 방정식뿐만 아니라 2차 및 3차 방정식에 대한 경험은 그러한 공식이 5차 방정식에도 존재해야 하며 이론적으로 5차, 3차 및 2차 방정식의 근이 다음에 나타나야 함을 시사합니다. 그것. 다시 말하지만, 그러한 공식이 존재한다면 매우 매우 복잡한 것으로 판명될 것이라고 안전하게 가정할 수 있습니다.

이 가정은 결국 잘못된 것으로 판명되었습니다. 실제로 그러한 공식은 존재하지 않습니다. 적어도 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을 사용하고 근을 취하여 구성된 계수 a, b, c, d, e 및 f로 구성된 공식은 없습니다. 따라서 숫자 5에는 매우 특별한 것이 있습니다. 다섯 사람의 비정상적인 행동에 대한 이유는 매우 깊으며 이를 파악하는 데 많은 시간이 걸렸습니다.

문제의 첫 징후는 수학자들이 그러한 공식을 찾으려고 아무리 노력해도, 아무리 똑똑해도 항상 실패했다는 것입니다. 얼마 동안 모든 사람들은 그 이유가 공식의 엄청난 복잡성에 있다고 믿었습니다. 아무도 단순히 이 대수학을 제대로 이해할 수 없다고 믿었습니다. 그러나 시간이 지남에 따라 일부 수학자들은 그러한 공식이 존재하는지조차 의심하기 시작했고 1823년 Niels Hendrik Abel은 그 반대를 증명할 수 있었습니다. 그런 공식은 없습니다. 그로부터 얼마 지나지 않아 Évariste Galois는 5도, 6도, 7도, 일반적으로 아무거나 등의 방정식이 이러한 종류의 공식을 사용하여 풀 수 있는지 여부를 결정하는 방법을 찾았습니다.

이 모든 것의 결론은 간단합니다. 숫자 5는 특별합니다. 1, 2, 3, 4의 거듭제곱에 대해서는 대수 방정식(n의 다른 값에 n제곱근 사용)을 풀 수 있지만 5의 거듭제곱에 대해서는 풀 수 없습니다. 이것은 명백한 패턴이 끝나는 곳입니다.

5보다 큰 거듭제곱 방정식이 더 나쁘게 작동한다는 사실에 놀라는 사람은 아무도 없습니다. 특히 동일한 어려움이 그들과 연결되어 있습니다. 솔루션에 대한 일반 공식이 없습니다. 이것은 방정식에 해가 없다는 것을 의미하지 않습니다. 이러한 솔루션의 매우 정확한 수치를 찾는 것이 불가능하다는 의미도 아닙니다. 전통적인 대수 도구의 한계에 관한 것입니다. 이것은 자와 나침반으로 각도를 삼등분할 수 없음을 연상시킵니다. 답변이 있지만 나열된 방법으로는 충분하지 않으며 그것이 무엇인지 결정할 수 없습니다.

결정학적 한계

2차원과 3차원의 결정은 5빔 회전 대칭을 갖지 않습니다.

결정의 원자는 격자, 즉 여러 독립적인 방향으로 주기적으로 반복되는 구조를 형성합니다. 예를 들어 벽지의 패턴은 롤 길이에 따라 반복됩니다. 또한 일반적으로 가로 방향으로 반복되며 때로는 한 벽지에서 다음 벽지로 이동합니다. 기본적으로 벽지는 2차원 크리스탈입니다.

비행기에는 17가지 종류의 벽지 패턴이 있습니다(17장 참조). 그들은 대칭 유형, 즉 원래 위치에 정확히 놓이도록 패턴을 엄격하게 이동시키는 방식이 다릅니다. 대칭 유형에는 특히 패턴이 특정 지점(대칭 중심)을 중심으로 특정 각도로 회전되어야 하는 회전 대칭의 다양한 변형이 포함됩니다.

회전 대칭의 순서는 그림의 모든 세부 사항이 원래 위치로 돌아가도록 몸을 완전한 원으로 몇 번 회전시킬 수 있는지입니다. 예를 들어, 90° 회전은 4차 회전 대칭입니다*. 결정 격자에서 가능한 회전 대칭 유형 목록은 다시 숫자 5의 특이성을 지적합니다. 2차, 3차, 4차 및 6차 회전 대칭을 갖는 변형이 있지만 5차 회전 대칭을 갖는 벽지 패턴은 없습니다. 또한 결정에서 6보다 큰 회전 대칭은 없지만 수열의 첫 번째 위반은 여전히 ​​숫자 5에서 발생합니다.

3차원 공간의 결정학적 시스템에서도 마찬가지입니다. 여기서 격자는 독립적인 세 방향으로 반복됩니다. 대칭에는 219가지 유형이 있으며 패턴의 거울 반사를 별도의 버전으로 간주하는 경우 230가지가 있습니다. 또한 이 경우에는 거울 대칭이 없습니다. 다시, 차수 2, 3, 4, 6의 회전 대칭이 관찰되지만 5차는 아닙니다. 이 사실을 결정학적 제약이라고 합니다.

4차원 공간에서는 5차 대칭을 갖는 격자가 존재합니다. 일반적으로 충분히 높은 차원의 격자에 대해 미리 결정된 회전 대칭 순서가 가능합니다.

// 쌀. 40. 식탁용 소금의 결정 격자. 어두운 공은 나트륨 원자를 나타내고 밝은 공은 염소 원자를 나타냅니다.

준결정

5차 회전 대칭은 2D 및 3D 격자에서는 불가능하지만 준결정으로 알려진 약간 덜 규칙적인 구조에서는 존재할 수 있습니다. 케플러의 스케치를 사용하여 Roger Penrose는 보다 일반적인 유형의 5중 대칭을 가진 평면 시스템을 발견했습니다. 그들은 준결정이라고합니다.

준결정은 자연계에 존재합니다. 1984년 Daniel Shechtman은 알루미늄과 망간의 합금이 준결정을 형성할 수 있음을 발견했습니다. 처음에 결정학자들은 다소 회의적으로 그의 메시지를 받아들였지만 나중에 발견이 확인되었고 2011년 Shechtman은 노벨 화학상을 수상했습니다. 2009년 Luca Bindi가 이끄는 과학자 팀은 러시아 Koryak 고원의 광물에서 알루미늄, 구리 및 철의 화합물인 준결정을 발견했습니다. 오늘날 이 광물은 20면체라고 불립니다. 질량 분석기로 광물에 포함된 다양한 산소 동위원소의 함량을 측정함으로써 과학자들은 이 광물이 지구에서 기원한 것이 아님을 보여주었습니다. 그것은 약 45억년 전에 태양계가 막 등장할 때 형성되었으며 어떤 종류의 교란이 궤도를 바꾸어 결국 지구로 가져올 때까지 태양 주위를 도는 소행성대에서 대부분의 시간을 보냈습니다.

// 쌀. 41. 왼쪽: 정확한 5중 대칭을 갖는 두 개의 준결정 격자 중 하나. 오른쪽: 20면체 알루미늄-팔라듐-망간 준결정의 원자 모델