대수 정의는 무엇입니까? 대수 - 속성, 공식, 그래프

기본 속성.

1. logax + logay = log(xy);
2. logax - logay = log(x:y).

같은 근거

log6 4 + log6 9.

이제 작업을 조금 복잡하게 합시다.

대수 해결의 예

로그의 밑수나 인수에 도가 있으면 어떻게 됩니까? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

물론 이러한 모든 규칙은 ODZ 로그가 관찰되는 경우 의미가 있습니다: a > 0, a ≠ 1, x >

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

새로운 재단으로의 전환

대수 logax가 주어집니다. 그런 다음 c > 0 및 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

또한보십시오:

로그의 기본 속성

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

지수는 2.718281828… 지수를 기억하기 위해 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7이고 Leo Tolstoy의 출생 연도의 두 배입니다.

로그의 기본 속성

이 규칙을 알면 지수의 정확한 값과 레오 톨스토이의 생년월일을 모두 알 수 있습니다.

로그의 예

식의 로그를 취하십시오

예 1
ㅏ). x=10ac^2(a>0, c>0).

속성 3,5로 계산

2.

3.

4. 어디 .

예 2 x if 찾기

예 3. 대수 값을 지정하자

log(x)를 계산하면

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 일반적인 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 기본 속성.

이러한 규칙을 알아야 합니다. 이러한 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 수가 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그(logax 및 logay)를 고려하십시오. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

1. logax + logay = log(xy);
2. logax - logay = log(x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 참고: 여기서 핵심은 - 같은 근거. 기준이 다르면 이 규칙이 적용되지 않습니다!

이러한 공식은 개별 부분을 고려하지 않은 경우에도 로그 표현을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

로그의 밑이 같으므로 합계 공식을 사용합니다.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

일. 식의 값을 찾습니다: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
log248 - log23 = log2(48:3) = log216 = 4.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log3 135 − log3 5.

다시 말하지만 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
log3 135 - log3 5 = log3(135:5) = log3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜" 로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변환 후 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 많은 테스트가 이 사실을 기반으로 합니다. 예, 제어 - 모든 진지함에서 유사한 표현 (때로는 거의 변경되지 않음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따르는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 경우에 따라 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론 이러한 모든 규칙은 ODZ 대수(a > 0, a ≠ 1, x > 0)가 관찰되면 의미가 있습니다. 로그 자체에 로그 부호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log7 496.

첫 번째 공식에 따라 인수에서 학위를 제거합시다.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

분모는 밑과 인수가 정확한 거듭제곱인 로그입니다: 16 = 24; 49 = 72. 우리는:

마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 우리는 분모로만 작업합니다.

로그의 공식. 로그는 솔루션의 예입니다.

그들은 도의 형태로 거기에 서있는 로그의 밑과 인수를 제시하고 지표를 꺼 냈습니다. 그들은 "3 층"분수를 얻었습니다.

이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모의 숫자는 log2 7입니다. log2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남게 됩니다. 산술 규칙에 따라 4를 분자로 옮길 수 있습니다. 결과는 답입니다: 2.

새로운 재단으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 동일한 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌 경우에는 어떻게 됩니까?

새로운 기지로의 전환을 위한 공식이 도움이 됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

대수 logax가 주어집니다. 그런 다음 c > 0 및 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

특히 c = x를 넣으면 다음을 얻습니다.

두 번째 공식에서 로그의 밑과 인수를 교환할 수 있지만 이 경우 전체 표현이 "반복"됩니다. 로그는 분모에 있습니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 대수 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 옮기는 것 외에는 전혀 해결할 수 없는 과제가 있다. 다음 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log5 16 log2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 꺼내봅시다: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log225 = log252 = 2log25;

이제 두 번째 로그를 뒤집어 보겠습니다.

곱이 요인의 순열에서 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 로그를 계산했습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 그것을 적어두고 지표를 제거합시다.

이제 새 밑으로 이동하여 십진수 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 대수 항등식

푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 수식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 로그의 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 다음과 같이 불립니다.

실제로, 이 정도의 숫자 b가 숫자 a를 제공하는 정도로 숫자 b를 올리면 어떻게 될까요? 맞습니다. 이것은 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 주의 깊게 다시 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.

새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 가능한 유일한 솔루션입니다.

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 밑에서 제곱과 로그의 인수를 빼낸 것입니다. 밑이 같은 거듭제곱에 대한 규칙이 주어지면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 국가 시험의 실제 작업이었습니다 🙂

대수 단위 및 대수 0

결론적으로 속성을 호출하기 어려운 두 가지 항등식을 제공합니다. 오히려 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에서 발견되며 놀랍게도 "고급"학생에게도 문제를 일으 킵니다.

1. logaa = 1입니다. 한 번만 기억하세요: 이 밑 자체에서 어떤 밑 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
2. 로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 실천에 옮기는 연습을 꼭 하세요! 수업 시작 부분에 있는 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하고 문제를 해결하십시오.

또한보십시오:

밑수 a에 대한 숫자 b의 로그는 식을 나타냅니다. 대수를 계산한다는 것은 등식이 참인 거듭제곱 x()를 찾는 것을 의미합니다.

로그의 기본 속성

위의 속성은 기본적으로 거의 모든 문제와 예제가 로그를 기반으로 해결되기 때문에 알아야 합니다. 나머지 이국적인 속성은 다음 공식을 사용하여 수학적 조작으로 파생될 수 있습니다.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

대수(3.4)의 합과 차에 대한 공식을 계산할 때 매우 자주 발생합니다. 나머지는 다소 복잡하지만 여러 작업에서 복잡한 표현식을 단순화하고 해당 값을 계산하는 데 없어서는 안 될 요소입니다.

로그의 일반적인 경우

상용 로그 중 일부는 밑이 10, 지수 또는 듀스인 로그입니다.
밑이 10인 로그는 일반적으로 밑이 10인 로그라고 하며 간단히 lg(x)로 표시됩니다.

기록에 기본이 적혀 있지 않다는 것을 기록을 보면 알 수 있다. 예를 들어

자연 로그는 지수(ln(x)로 표시)를 기준으로 하는 로그입니다.

지수는 2.718281828… 지수를 기억하기 위해 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7이고 Leo Tolstoy의 출생 연도의 두 배입니다. 이 규칙을 알면 지수의 정확한 값과 레오 톨스토이의 생년월일을 모두 알 수 있습니다.

그리고 또 다른 중요한 밑이 2인 로그는

함수 로그의 도함수는 1을 변수로 나눈 값과 같습니다.

적분 또는 역도함수 로그는 종속성에 의해 결정됩니다.

위의 자료는 로그 및 로그와 관련된 다양한 문제를 해결하는 데 충분합니다. 자료를 동화하기 위해 학교 커리큘럼과 대학의 몇 가지 일반적인 예만 들겠습니다.

로그의 예

식의 로그를 취하십시오

예 1
ㅏ). x=10ac^2(a>0, c>0).

속성 3,5로 계산

2.
로그의 차이 속성에 의해, 우리는

3.
우리가 찾은 속성 3.5 사용

4. 어디 .

일련의 규칙을 사용하여 복잡해 보이는 표현을 다음과 같은 형식으로 단순화합니다.

대수 값 찾기

예 2 x if 찾기

해결책. 계산을 위해 속성 5와 13을 마지막 항까지 적용합니다.

기록으로 교체하고 애도

밑이 같기 때문에 식을 동일시합니다.

로그. 첫 번째 수준.

로그의 값을 주어 보자

log(x)를 계산하면

솔루션: 변수의 로그를 취하여 항의 합을 통해 로그를 작성합니다.

이것은 로그와 그 속성에 대한 지식의 시작일뿐입니다. 계산을 연습하고 실용적인 기술을 강화하십시오. 곧 대수 방정식을 풀기 위해 습득한 지식이 필요합니다. 이러한 방정식을 푸는 기본 방법을 연구한 후에는 똑같이 중요한 또 다른 주제인 대수 부등식에 대한 지식을 확장할 것입니다.

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 일반적인 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 기본 속성.

이러한 규칙을 알아야 합니다. 이러한 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 수가 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그(logax 및 logay)를 고려하십시오. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

1. logax + logay = log(xy);
2. logax - logay = log(x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 참고: 여기서 핵심은 - 같은 근거. 기준이 다르면 이 규칙이 적용되지 않습니다!

이러한 공식은 개별 부분을 고려하지 않은 경우에도 로그 표현을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

일. 식의 값을 찾으십시오: log6 4 + log6 9.

로그의 밑이 같으므로 합계 공식을 사용합니다.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

일. 식의 값을 찾습니다: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
log248 - log23 = log2(48:3) = log216 = 4.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log3 135 − log3 5.

다시 말하지만 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
log3 135 - log3 5 = log3(135:5) = log3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜" 로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변환 후 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 많은 테스트가 이 사실을 기반으로 합니다. 예, 제어 - 모든 진지함에서 유사한 표현 (때로는 거의 변경되지 않음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

이제 작업을 조금 복잡하게 합시다. 로그의 밑수나 인수에 도가 있으면 어떻게 됩니까? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따르는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 경우에 따라 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론 이러한 모든 규칙은 ODZ 대수(a > 0, a ≠ 1, x > 0)가 관찰되면 의미가 있습니다. 로그 자체에 로그 부호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log7 496.

첫 번째 공식에 따라 인수에서 학위를 제거합시다.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

분모는 밑과 인수가 정확한 거듭제곱인 로그입니다: 16 = 24; 49 = 72. 우리는:

마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 우리는 분모로만 작업합니다. 그들은 도의 형태로 거기에 서있는 로그의 밑과 인수를 제시하고 지표를 꺼 냈습니다. 그들은 "3 층"분수를 얻었습니다.

이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모의 숫자는 log2 7입니다. log2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남게 됩니다. 산술 규칙에 따라 4를 분자로 옮길 수 있습니다. 결과는 답입니다: 2.

새로운 재단으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 동일한 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌 경우에는 어떻게 됩니까?

새로운 기지로의 전환을 위한 공식이 도움이 됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

대수 logax가 주어집니다. 그런 다음 c > 0 및 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

특히 c = x를 넣으면 다음을 얻습니다.

두 번째 공식에서 로그의 밑과 인수를 교환할 수 있지만 이 경우 전체 표현이 "반복"됩니다. 로그는 분모에 있습니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 대수 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 옮기는 것 외에는 전혀 해결할 수 없는 과제가 있다. 다음 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log5 16 log2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 꺼내봅시다: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log225 = log252 = 2log25;

이제 두 번째 로그를 뒤집어 보겠습니다.

곱이 요인의 순열에서 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 로그를 계산했습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 그것을 적어두고 지표를 제거합시다.

이제 새 밑으로 이동하여 십진수 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 대수 항등식

푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 수식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 로그의 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 다음과 같이 불립니다.

실제로, 이 정도의 숫자 b가 숫자 a를 제공하는 정도로 숫자 b를 올리면 어떻게 될까요? 맞습니다. 이것은 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 주의 깊게 다시 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.

새로운 기본 변환 공식과 마찬가지로 기본 로그 항등식은 때때로 가능한 유일한 솔루션입니다.

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 밑에서 제곱과 로그의 인수를 빼낸 것입니다. 밑이 같은 거듭제곱에 대한 규칙이 주어지면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 국가 시험의 실제 작업이었습니다 🙂

대수 단위 및 대수 0

결론적으로 속성을 호출하기 어려운 두 가지 항등식을 제공합니다. 오히려 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에서 발견되며 놀랍게도 "고급"학생에게도 문제를 일으 킵니다.

1. logaa = 1입니다. 한 번만 기억하세요: 이 밑 자체에서 어떤 밑 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
2. 로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 실천에 옮기는 연습을 꼭 하세요! 수업 시작 부분에 있는 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하고 문제를 해결하십시오.

로그 정수 N을 베이스로(비> 0, 비 1 ) 지수라고 한다엑스 , 당신이 인상해야 할 b는 N을 얻기 위해 .

대수 표기법:

이 항목은 다음과 같습니다.bx=N .

예: 로그 3 81 \u003d 4, 34 \u003d 81이므로;

로그 1/3 27 = – 3 , 왜냐하면 (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

위의 로그 정의는 항등식으로 쓸 수 있습니다.

로그의 기본 속성.

1) 통나무 비= 1 , 왜냐하면 비 1 = 나.

비

2) 로그 1 = 0 , 왜냐하면 비 0 = 1 .

비

3) 제품의 로그는 인수 로그의 합과 같습니다.

통나무( ab) = 로그 ㅏ+로그 비.

4) 몫의 로그는 피제수의 로그와 제수의 차이와 같습니다.

통나무( ㅏ/비) = 로그 ㅏ-통나무 비.

5) 정도의 로그는 지수의 곱과 그 밑의 로그와 같습니다.

통나무 (비 케이 ) = 케이통나무 비.

이 속성의 결과는 다음과 같습니다.로그 루트 근수의 로그를 근의 거듭제곱으로 나눈 값과 같습니다.

6) 로그의 밑이 도이면 값 지수의 역수는 로그 부호에서 제거할 수 있습니다.운:

마지막 두 속성을 하나로 결합할 수 있습니다.

7) 전이 계수 공식(예:이자형 . 하나의 기지에서 전환다른 밑으로 로그):

특정한 경우에 엔 = 에이우리는:

십진수 로그 ~라고 불리는 밑이 로그 10. 지정된엘지 , 즉 로그 10 N = 엘지 N. 숫자 10, 100, 1000, ...의 로그피 는 각각 1, 2, 3, ...,저것들. 긍정적인 것이 너무 많다

단위, 1 다음에 로그 숫자에 몇 개의 0이 있는지. 숫자 0.1, 0.01, 0.001, ...의 로그피 avny 각각 -1, –2, -3, ..., 즉 1( 카운트 및 제로 정수). 대수 다른 숫자는 가수. 전체로그의 일부는 특성. 실용적인십진 로그가 가장 편리합니다.

자연 로그 ~라고 불리는 밑이 로그 이자형. 그것은 표시된다 ln , 즉 통나무 이자형N = 인 N. 숫자 이자형비합리적이다대략적인 값은 2.718281828입니다.그것 숫자가 향하는 한계입니다.(1 + 1 / N) N 무제한 증가N(센티미터. 첫 번째 놀라운 한계 ).
이상하게 들릴지 모르지만 자연 로그는 함수 분석과 관련된 다양한 작업을 수행할 때 매우 편리한 것으로 밝혀졌습니다.기본 로그 계산이자형그 어떤 기준보다 훨씬 빠릅니다.

밑수 a에 대한 숫자 b의 로그는 숫자 b를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 지수입니다.

그렇다면 .

대수는 매우 중요한 수학적 양, 대수 미적분을 사용하면 지수 방정식을 풀 수 있을 뿐만 아니라 지수를 사용하여 지수 함수와 대수 함수를 구별하고 통합하고 계산할 수 있는 더 수용 가능한 형식으로 가져올 수 있습니다.

접촉

로그의 모든 속성은 지수 함수의 속성과 직접 관련됩니다. 예를 들어, 다음을 의미합니다.

특정 문제를 풀 때 로그의 속성이 거듭제곱 규칙보다 더 중요하고 유용할 수 있다는 점에 유의해야 합니다.

다음은 몇 가지 ID입니다.

주요 대수식은 다음과 같습니다.

;

.

주목! x>0, x≠1, y>0인 경우에만 존재할 수 있습니다.

자연 로그가 무엇인지에 대한 질문을 이해하려고 노력합시다. 수학에 대한 별도의 관심 두 가지 유형을 나타냅니다- 첫 번째는 밑이 "10"인 숫자를 가지며 "소수 로그"라고 합니다. 두 번째는 자연이라고합니다. 자연 로그의 밑은 숫자 e입니다. 이 기사에서 자세히 이야기 할 것은 그에 관한 것입니다.

명칭:

• lg x - 십진법;
• ln x - 자연.

항등식을 사용하면 ln e = 1, lg 10=1임을 알 수 있습니다.

자연 로그 그래프

우리는 포인트에 의해 표준 고전 방식으로 자연 로그의 그래프를 구성합니다. 원하는 경우 함수를 검사하여 함수를 올바르게 빌드하고 있는지 확인할 수 있습니다. 그러나 로그를 올바르게 계산하는 방법을 알기 위해 "수동으로" 빌드하는 방법을 배우는 것이 좋습니다.

기능: y = 로그 x. 그래프가 통과할 점의 테이블을 작성해 보겠습니다.

인수 x의 이러한 값을 선택한 이유를 설명하겠습니다. 정체성에 관한 모든 것: 자연 로그의 경우 이 항등식은 다음과 같습니다.

편의상 다섯 가지 기준점을 취할 수 있습니다.

;

;

.

;

.

따라서 자연 로그를 세는 것은 상당히 간단한 작업이며, 또한 거듭 제곱으로 연산 계산을 단순화하여 정상적인 곱셈

포인트별로 그래프를 작성하면 대략적인 그래프를 얻습니다.

자연 로그의 도메인(즉, X 인수의 모든 유효한 값)은 0보다 큰 모든 숫자입니다.

주목!자연 로그의 영역에는 양수만 포함됩니다! 범위는 x=0을 포함하지 않습니다. 이것은 로그의 존재 조건에 따라 불가능합니다.

값의 범위(즉, 함수 y = ln x의 모든 유효한 값)는 간격의 모든 숫자입니다.

자연 로그 한계

그래프를 연구하면서 질문이 생깁니다. y일 때 함수가 어떻게 작동합니까?<0.

분명히 함수의 그래프는 y축을 가로지르는 경향이 있지만 x의 자연 로그가<0 не существует.

자연 한계 통나무다음과 같이 작성할 수 있습니다.

로그의 밑을 변경하는 공식

자연 로그를 다루는 것은 임의의 밑을 가진 로그를 다루는 것보다 훨씬 쉽습니다. 그래서 우리는 어떤 로그를 자연 로그로 줄이는 방법이나 자연 로그를 통해 임의의 밑으로 표현하는 방법을 배우려고 노력할 것입니다.

대수 항등식부터 시작해 봅시다:

그런 다음 임의의 숫자 또는 변수 y는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서 x는 임의의 숫자입니다(로그 속성에 따라 양수).

이 식은 양변에 대수화할 수 있습니다. 임의의 베이스 z로 이것을 해봅시다:

속성을 사용합시다("with" 대신에 표현식이 있습니다):

여기에서 우리는 보편적인 공식을 얻습니다.

.

특히 z=e인 경우:

.

우리는 두 개의 자연 로그의 비율을 통해 로그를 임의의 밑으로 나타낼 수 있었습니다.

우리는 문제를 해결합니다

자연 로그를 더 잘 탐색하려면 몇 가지 문제의 예를 고려하십시오.

작업 1. 방정식 ln x = 3을 풀 필요가 있습니다.

해결책:로그의 정의를 사용하여: if , then , 우리는 다음을 얻습니다.

작업 2. 방정식 (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3을 풉니다.

솔루션: 로그 정의 사용: if , then , 우리는 다음을 얻습니다.

.

다시 한 번 로그의 정의를 적용합니다.

.

따라서:

.

답을 대략적으로 계산하거나 이 양식에 그대로 둘 수 있습니다.

작업 3.방정식을 푸십시오.

해결책:대입을 해봅시다: t = ln x. 그러면 방정식은 다음 형식을 취합니다.

.

우리는 이차 방정식을 가지고 있습니다. 판별식을 찾아봅시다:

통계 및 확률 이론에서 로그 수량은 매우 일반적입니다. 숫자 e는 종종 지수 값의 증가율을 반영하기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

컴퓨터 과학, 프로그래밍 및 컴퓨터 이론에서 로그는 예를 들어 N 비트를 메모리에 저장하기 위해 매우 일반적입니다.

프랙탈 및 치수 이론에서 로그는 지속적으로 사용됩니다. 프랙탈의 치수는 도움을 통해서만 결정되기 때문입니다.

역학과 물리학에서로그가 사용되지 않은 섹션이 없습니다. 기압 분포, 통계 열역학의 모든 원리, Tsiolkovsky 방정식 등은 로그를 사용하여 수학적으로만 설명할 수 있는 과정입니다.

화학에서 대수는 Nernst 방정식, 산화환원 공정 설명에 사용됩니다.

놀랍게도 음악에서도 한 옥타브의 부분수를 알아내기 위해 로그를 사용합니다.

자연 로그 함수 y=ln x 속성

자연 로그의 주요 속성 증명

밑수 a에 대한 양수 b의 로그(a>0, a는 1이 아님)는 a c = b인 숫자 c입니다: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

양수가 아닌 숫자의 로그는 정의되지 않습니다. 또한 로그의 밑은 1이 아닌 양수여야 합니다. 예를 들어 -2를 제곱하면 숫자 4가 나오지만 이것이 4의 밑이 -2인 로그가 2라는 의미는 아닙니다.

기본 대수 항등식

로그 a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

이 공식의 오른쪽과 왼쪽 부분의 정의 영역이 다른 것이 중요합니다. 왼쪽은 b>0, a>0 및 a ≠ 1에 대해서만 정의됩니다. 오른쪽은 모든 b에 대해 정의되며 a에 전혀 의존하지 않습니다. 따라서 방정식과 부등식을 푸는 데 기본 로그 "항등식"을 적용하면 DPV가 변경될 수 있습니다.

로그 정의의 두 가지 명백한 결과

로그 a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
로그 a 1 = 0(a > 0, a ≠ 1) (4)

실제로 숫자 a를 1제곱으로 올리면 같은 숫자가 되고, 0으로 올리면 1이 됩니다.

곱의 로그와 몫의 로그

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

로그 a b c = 로그 a b − 로그 a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

대수 방정식과 부등식을 풀 때 이러한 공식을 무분별하게 사용하지 않도록 학생들에게 경고하고 싶습니다. "왼쪽에서 오른쪽으로" 사용하면 ODZ가 좁아지고 로그의 합 또는 차이에서 곱 또는 몫의 로그로 이동하면 ODZ가 확장됩니다.

실제로 log a (f (x) g (x))라는 표현은 두 가지 경우로 정의됩니다. 두 함수가 모두 양수이거나 f(x)와 g(x)가 둘 다 0보다 작은 경우입니다.

이 식을 합 log a f (x) + log a g (x)로 변환하면 f(x)>0 및 g(x)>0인 경우에만 제한해야 합니다. 허용 가능한 값의 범위가 좁아지고 이는 솔루션 손실로 이어질 수 있기 때문에 절대적으로 허용되지 않습니다. 공식 (6)에 대해서도 유사한 문제가 존재합니다.

로그의 부호에서 정도를 빼낼 수 있습니다.

로그 a b p = p 로그 a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

그리고 다시 정확성을 요구하고 싶습니다. 다음 예를 고려하십시오.

로그 a (f(x) 2 = 2 로그 a f(x)

평등의 왼쪽은 0을 제외한 f(x)의 모든 값에 대해 분명히 정의됩니다. 오른쪽은 f(x)>0 전용입니다! 대수의 힘을 빼고 다시 ODZ를 좁힙니다. 절차를 반대로 하면 허용 가능한 값의 범위가 확장됩니다. 이 모든 설명은 2의 거듭제곱뿐만 아니라 모든 짝수 거듭제곱에도 적용됩니다.

새로운 기지로 이동하는 공식

로그 a b = 로그 c b 로그 c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

변환 중에 ODZ가 변경되지 않는 드문 경우입니다. 베이스 c를 현명하게 선택한 경우(양수이고 1과 같지 않음) 새 베이스로 이동하는 공식은 완벽하게 안전합니다.

숫자 b를 새로운 밑수 c로 선택하면 공식 (8)의 중요한 특정 사례를 얻습니다.

로그 a b = 1 로그 b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

로그를 사용한 몇 가지 간단한 예

예 1 계산: lg2 + lg50.
해결책. lg2 + lg50 = lg100 = 2. 로그의 합(5)과 십진 로그의 정의에 대한 공식을 사용했습니다.

예 2 계산: lg125/lg5.
해결책. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. 새로운 기본 전이 공식(8)을 사용했습니다.

대수와 관련된 공식 표

로그 a b = b (a > 0, a ≠ 1)

로그 a a = 1(a > 0, a ≠ 1)

로그 a 1 = 0(a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

로그 a b p = p 로그 a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

로그 a b = 로그 c b 로그 c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

로그 a b = 1 로그 b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

정의에서 파생됩니다. 그래서 숫자의 로그 비이유에 의해 ㅏ숫자를 올려야 하는 지수로 정의 ㅏ번호를 얻기 위해 비(로그는 양수에만 존재합니다).

이 공식에서 계산은 다음과 같습니다. x=로그 a b, 방정식을 푸는 것과 같습니다. 도끼=b.예를 들어, 로그 2 8 = 3왜냐하면 8 = 2 3 . 로그의 공식화는 다음을 정당화하는 것을 가능하게 합니다. b=a c, 다음 숫자의 로그 비이유에 의해 ㅏ같음 와 함께. 로그의 주제가 숫자의 거듭제곱의 주제와 밀접한 관련이 있다는 것도 분명합니다.

모든 숫자와 마찬가지로 로그를 사용하여 다음을 수행할 수 있습니다. 더하기, 빼기 연산가능한 모든 방법으로 변형하십시오. 그러나 로그가 일반적인 숫자가 아니라는 사실을 고려하여 여기에는 고유한 특수 규칙이 적용됩니다. 기본 속성.

로그의 덧셈과 뺄셈.

밑이 같은 두 개의 로그를 취하십시오. 로그 x그리고 y를 기록하다. 그런 다음 더하기 및 빼기 작업을 수행할 수 있습니다.

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

로그(엑스 1 . 엑스 2 . 엑스 3 ... 엑스케이) = 로그 x 1 + 로그 x 2 + 로그 x 3 + ... + 로그 xk.

에서 몫 대수 정리로그의 또 다른 속성을 얻을 수 있습니다. 로그라는 것은 잘 알려져 있습니다. ㅏ 1= 0이므로,

통나무 ㅏ 1 /비= 로그 ㅏ 1 - 로그 a b= -로그 a b.

따라서 평등이 있습니다.

로그 a 1 / b = - 로그 a b.

두 상호 역수의 로그동일한 기준으로 기호만 서로 다를 것입니다. 그래서:

로그 3 9= - 로그 3 1/9 ; 로그 5 1/125 = -로그 5 125.