Kaip parašyti harmoninių virpesių lygtį. Harmoninės vibracijos ir jų charakteristikos

Paprasčiausias virpesių tipas yra harmonines vibracijas- svyravimai, kurių metu svyruojančio taško poslinkis iš pusiausvyros padėties laikui bėgant kinta pagal sinuso arba kosinuso dėsnį.

Taigi, rutuliui tolygiai sukantis apskritime, jo projekcija (šešėlis lygiagrečiuose šviesos spinduliuose) atlieka harmoningą svyruojantį judesį vertikaliame ekrane (1 pav.).

Poslinkis iš pusiausvyros padėties harmoninių virpesių metu apibūdinamas lygtimi (ji vadinama harmoninio judėjimo kinematiniu dėsniu), kurios forma:

čia x yra poslinkis – dydis, apibūdinantis svyruojančio taško padėtį momentu t pusiausvyros padėties atžvilgiu ir matuojamas atstumu nuo pusiausvyros padėties iki taško padėties tam tikru metu; A - svyravimų amplitudė - didžiausias kūno poslinkis iš pusiausvyros padėties; T - svyravimų periodas - vieno pilno svyravimo laikas; tie. trumpiausias laikotarpis, po kurio kartojasi svyravimą apibūdinančių fizikinių dydžių reikšmės; - pradinė fazė;

Virpesių fazė momentu t. Virpesių fazė yra periodinės funkcijos argumentas, kuris, esant tam tikrai virpesių amplitudei, bet kuriuo metu nustato kūno svyravimo sistemos būseną (poslinkį, greitį, pagreitį).

Jei pradiniu laiko momentu svyruojantis taškas yra maksimaliai pasislinkęs iš pusiausvyros padėties, tada , ir taško poslinkis iš pusiausvyros padėties pasikeičia pagal dėsnį

Jei svyruojantis taškas yra stabilios pusiausvyros padėtyje, tai taško poslinkis iš pusiausvyros padėties keičiasi pagal dėsnį

Vertė V, atvirkštinė periodo vertė ir lygi pilnų svyravimų, baigtų per 1 s, skaičiui, vadinama virpesių dažniu:

Jei per laiką t kūnas padaro N pilnų svyravimų, tai

Dydis parodantis, kiek svyravimų kūnas atlieka per s, vadinamas ciklinis (apvalus) dažnis.

Harmoninio judėjimo kinematinį dėsnį galima parašyti taip:

Grafiškai svyruojančio taško poslinkio priklausomybė nuo laiko pavaizduota kosinuso banga (arba sinusine banga).

2 paveiksle a parodytas atvejo svyravimo taško poslinkio nuo pusiausvyros padėties priklausomybės nuo laiko grafikas.

Išsiaiškinkime, kaip laikui bėgant kinta svyruojančio taško greitis. Norėdami tai padaryti, randame šios išraiškos laiko išvestinę:

kur yra greičio projekcijos į x ašį amplitudė.

Ši formulė rodo, kad harmoninių virpesių metu kūno greičio projekcija į x ašį taip pat kinta pagal harmonikos dėsnį tuo pačiu dažniu, skirtinga amplitude ir yra lenkia fazės poslinkį (2 pav., b). ).

Norėdami išsiaiškinti pagreičio priklausomybę, randame greičio projekcijos laiko išvestinę:

kur yra pagreičio projekcijos į x ašį amplitudė.

Esant harmoniniams virpesiams, pagreičio projekcija lenkia fazės poslinkį k (2 pav., c).

Panašiai galite sukurti priklausomybės grafikus

Harmoninių virpesių lygtis

Harmoninių virpesių lygtis nustato kūno koordinačių priklausomybę nuo laiko

Pradiniu momentu kosinuso grafikas turi didžiausią reikšmę, o sinuso grafikas pradiniu momentu turi nulinę reikšmę. Jei pradėsime tirti svyravimą nuo pusiausvyros padėties, tai svyravimas kartos sinusoidę. Jei pradėsime svarstyti svyravimą nuo didžiausio nuokrypio padėties, tada svyravimas bus apibūdinamas kosinusu. Arba tokį svyravimą galima apibūdinti sinuso formule su pradine faze.

Greičio ir pagreičio pokytis harmoninių virpesių metu

Laikui bėgant pagal sinuso arba kosinuso dėsnį kinta ne tik kūno koordinatė. Tačiau tokie dydžiai kaip jėga, greitis ir pagreitis taip pat keičiasi panašiai. Jėga ir pagreitis yra didžiausi, kai svyruojantis kūnas yra kraštutinėse padėtyse, kur poslinkis yra didžiausias, ir yra lygus nuliui, kai kūnas eina per pusiausvyros padėtį. Greitis, priešingai, ekstremaliose padėtyse yra lygus nuliui, o kai kūnas praeina per pusiausvyros padėtį, jis pasiekia maksimalią vertę.

Jeigu svyravimas apibūdinamas kosinuso dėsniu

Jeigu svyravimas aprašomas pagal sinuso dėsnį

Didžiausio greičio ir pagreičio vertės

Išanalizavę priklausomybės v(t) ir a(t) lygtis, galime spėti, kad greitis ir pagreitis įgauna didžiausias reikšmes tuo atveju, kai trigonometrinis koeficientas lygus 1 arba -1. Nustatoma pagal formulę

Mechaninės vibracijos. Virpesių parametrai. Harmoninės vibracijos.

Dvejojimas yra procesas, kuris kartojasi tiksliai arba apytiksliai tam tikrais intervalais.

Virpesių ypatumas yra privalomas stabilios pusiausvyros padėties buvimas trajektorijoje, kai visų kūną veikiančių jėgų suma yra lygi nuliui, vadinama pusiausvyros padėtimi.

Matematinė švytuoklė – tai materialus taškas, pakabintas ant plono, nesvario ir netampančio sriegio.

Svyruojamojo judėjimo parametrai.

1. Poslinkis arba koordinatė (x) – nukrypimas nuo pusiausvyros padėties duotoje vietoje

laiko momentas.	[x ]=m

2. Amplitudė ( Xm) – didžiausias nuokrypis nuo pusiausvyros padėties.

[ X m ]=m

3. Virpesių periodas ( T) - laikas, kurio reikia vienam visiškam virpesiui užbaigti.

[T ]=c.

0 " style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">

Matematinė švytuoklė

Spyruoklinė švytuoklė

m

https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src="> Dažnis (linijinis) ( n ) – pilnų svyravimų skaičius per 1 s.

[n]= Hz

5. Ciklinis dažnis ( w ) – pilnų svyravimų skaičius per 2p sekundes, t.y. per maždaug 6,28 s.

w = 2 pn ; [w] =0 " style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">

https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">

Šešėlis ekrane banguoja.

Harmoninių virpesių lygtis ir grafikas.

Harmoninės vibracijos - tai svyravimai, kurių koordinatė laikui bėgant kinta pagal sinuso arba kosinuso dėsnį.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src="> x=Xmnuodėmė(w t+j 0 )

x=Xmcos(w t+j 0 )

x – koordinatė,

Xm – vibracijos amplitudė,

w – ciklinis dažnis,

wt +j 0 = j – virpesių fazė,

j 0 – pradinė svyravimų fazė.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">

Grafikai skirtingi tik amplitudė

Grafikai skiriasi tik periodu (dažniu)

https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">

Jei svyravimų amplitudė laikui bėgant nekinta, svyravimai vadinami neslopinamas.

Natūralioje vibracijoje neatsižvelgiama į trintį, bendra mechaninė sistemos energija išlieka pastovi: E k + E n = E kailis = konst.

Natūralūs svyravimai neslopinami.

Su priverstiniais svyravimais nuolat arba periodiškai iš išorinio šaltinio tiekiama energija kompensuoja nuostolius, atsirandančius dėl trinties jėgos darbo, o svyravimai gali būti neslopinami.

Vibracijų metu kūno kinetinė ir potencinė energija virsta viena į kitą. Kai sistemos nuokrypis nuo pusiausvyros padėties yra didžiausias, potenciali energija yra didžiausia, o kinetinė energija lygi nuliui. Einant per pusiausvyros padėtį, yra atvirkščiai.

Laisvųjų svyravimų dažnis nustatomas pagal virpesių sistemos parametrus.

Priverstinių svyravimų dažnis nustatomas pagal išorinės jėgos dažnį. Priverstinių svyravimų amplitudė priklauso ir nuo išorinės jėgos.

Rezonansas c

Rezonansas vadinamas staigiu priverstinių virpesių amplitudės padidėjimu, kai išorinės jėgos dažnis sutampa su sistemos natūraliųjų virpesių dažniu.

Kai jėgos kitimo dažnis w sutampa su sistemos svyravimų savuoju dažniu w0, jėga visą laiką atlieka teigiamą darbą, padidindama kūno svyravimų amplitudę. Bet kuriuo kitu dažniu per vieną periodo dalį jėga atlieka teigiamą, o kitą periodo dalį – neigiamą darbą.

Rezonanso metu svyravimų amplitudės padidėjimas gali sukelti sistemos sunaikinimą.

1905 metais po sargybos kavalerijos eskadrono kanopomis Sankt Peterburge sugriuvo Egipto tiltas per Fontankos upę.

Savaiminiai svyravimai.

Savaiminiai svyravimai yra neslopinami svyravimai sistemoje, palaikomi vidiniais energijos šaltiniais, kai nėra įtakos išoriniam jėgos pokyčiui.

Skirtingai nuo priverstinių virpesių, savaiminių virpesių dažnį ir amplitudę lemia pačios virpesių sistemos savybės.

Savaiminiai svyravimai nuo laisvųjų svyravimų skiriasi amplitudės nepriklausomumu nuo laiko ir nuo pradinės trumpalaikės įtakos, sužadinančios virpesių procesą. Savaime svyruojančią sistemą paprastai galima suskirstyti į tris elementus:

1) svyravimo sistema;

2) energijos šaltinis;

3) grįžtamojo ryšio įtaisas, reguliuojantis energijos srautą iš šaltinio į virpesių sistemą.

Energija, gaunama iš šaltinio per tam tikrą laikotarpį, yra lygi energijai, prarastai virpesių sistemoje per tą patį laiką.

Ištyrėme kelias fiziškai visiškai skirtingas sistemas ir įsitikinome, kad judesio lygtys yra redukuotos į tą pačią formą

Fizinių sistemų skirtumai išryškėja tik skirtinguose kiekio apibrėžimuose ir įvairiomis fizinėmis kintamojo prasmėmis x: tai gali būti koordinatė, kampas, krūvis, srovė ir tt Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju, kaip matyti iš pačios (1.18) lygties struktūros, dydis visada turi atvirkštinio laiko matmenį.

(1.18) lygtis apibūdina vadinamąją harmonines vibracijas.

Harmoninių virpesių lygtis (1.18) yra antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis (nes joje yra antroji kintamojo išvestinė x). Lygties tiesiškumas reiškia tai

jei kokia nors funkcija x(t) yra šios lygties sprendimas, tada funkcija Cx(t) taip pat bus jo sprendimas ( C– savavališka konstanta);

jei funkcijos x 1 (t) Ir x 2 (t) yra šios lygties sprendiniai, tada jų suma x 1 (t) + x 2 (t) taip pat bus tos pačios lygties sprendimas.

Taip pat įrodyta matematinė teorema, pagal kurią antros eilės lygtis turi du nepriklausomus sprendinius. Visi kiti sprendimai pagal tiesiškumo savybes gali būti gauti kaip jų tiesiniai deriniai. Tiesioginės diferenciacijos būdu nesunku patikrinti, ar nepriklausomos funkcijos ir tenkina (1.18) lygtį. Tai reiškia, kad bendras šios lygties sprendimas turi tokią formą:

Kur C 1,C 2- savavališkos konstantos. Šis sprendimas gali būti pateiktas kita forma. Įveskime vertę

ir kampą nustatykite pagal santykius:

Tada bendrasis sprendimas (1.19) rašomas kaip

Pagal trigonometrijos formules išraiška skliausteliuose yra lygi

Pagaliau priėjome harmoninių virpesių lygties bendrasis sprendimas kaip:

Neneigiama vertė A paskambino vibracijos amplitudė, - pradinė virpesių fazė. Visas kosinuso argumentas – derinys – vadinamas svyravimo fazė.

Išraiškos (1.19) ir (1.23) yra visiškai lygiavertės, todėl, atsižvelgdami į paprastumą, galime naudoti bet kurią iš jų. Abu sprendimai yra periodinės laiko funkcijos. Iš tiesų sinusas ir kosinusas yra periodiški su tašku . Todėl įvairios harmoninius virpesius atliekančios sistemos būsenos po tam tikro laiko kartojasi t*, kurio metu svyravimo fazė gauna prieaugį, kuris yra kartotinis :

Tai seka

Mažiausiai iš šių kartų

paskambino svyravimų periodas (1.8 pav.), ir - jo apskritas (ciklinis) dažnis.

Ryžiai. 1.8.

Jie taip pat naudoja dažnis svyravimai

Atitinkamai, apskritimo dažnis yra lygus virpesių skaičiui per sekundžių

Taigi, jei sistema laiku t apibūdinamas kintamojo reikšme x(t), tada kintamasis po tam tikro laiko turės tokią pačią reikšmę (1.9 pav.), t.y

Natūralu, kad laikui bėgant ta pati reikšmė kartosis 2T, ZT ir tt

Ryžiai. 1.9. Virpesių laikotarpis

Bendrasis sprendimas apima dvi savavališkas konstantas ( C 1, C 2 arba A, a), kurių reikšmės turi būti nustatytos dviem pradines sąlygas. Paprastai (nors nebūtinai) jų vaidmenį atlieka pradinės kintamojo reikšmės x(0) ir jo vedinys.

Pateikime pavyzdį. Tegul harmoninių virpesių lygties sprendinys (1.19) nusako spyruoklės švytuoklės judėjimą. Savavališkų konstantų reikšmės priklauso nuo to, kaip mes ištraukėme švytuoklę iš pusiausvyros. Pavyzdžiui, mes ištraukėme spyruoklę į atstumą ir paleido kamuolį be pradinio greičio. Tokiu atveju

Pakeičiant t = 0(1.19) randame konstantos reikšmę C 2

Taigi sprendimas atrodo taip:

Apkrovos greitį randame diferencijuodami laiko atžvilgiu

Pakeičiamas čia t = 0, raskite konstantą C 1:

Pagaliau

Palyginus su (1.23), matome, kad yra svyravimų amplitudė, o jo pradinė fazė lygi nuliui: .

Dabar išbalansuokime švytuoklę kitu būdu. Pataikykime į krovinį taip, kad jis įgautų pradinį greitį, bet smūgio metu praktiškai nejudėtų. Tada turime kitas pradines sąlygas:

mūsų sprendimas atrodo taip

Krovinio greitis keisis pagal įstatymą:

Pakeiskime čia:

Vieningo valstybinio egzamino kodifikatoriaus temos: harmoniniai virpesiai; svyravimų amplitudė, periodas, dažnis, fazė; laisvosios vibracijos, priverstinės vibracijos, rezonansas.

Virpesiai – Tai sistemos būklės pokyčiai, kurie laikui bėgant kartojasi. Svyravimų sąvoka apima labai platų reiškinių spektrą.

Mechaninių sistemų virpesiai arba mechaninės vibracijos- tai mechaninis kūno ar kūnų sistemos judėjimas, pasikartojantis laike ir vykstantis arti pusiausvyros padėties. Pusiausvyros padėtis yra sistemos būsena, kurioje ji gali išlikti neribotą laiką nepatirdama išorinių poveikių.

Pavyzdžiui, jei švytuoklė nukrypsta ir atleidžiama, ji pradės svyruoti. Pusiausvyros padėtis yra švytuoklės padėtis, kai nėra nuokrypio. Švytuoklė, jei netrukdoma, gali likti tokioje padėtyje tiek, kiek norisi. Švytuoklei svyruodama ji daug kartų pereina pusiausvyros padėtį.

Iškart po to, kai nukrypusi švytuoklė buvo atleista, ji pradėjo judėti, perėjo pusiausvyros padėtį, pasiekė priešingą kraštutinę padėtį, trumpam sustojo, pajudėjo priešinga kryptimi, vėl perėjo pusiausvyros padėtį ir grįžo atgal. Atsitiko vienas dalykas pilnu tempu. Tada šis procesas bus kartojamas periodiškai.

Kūno virpesių amplitudė yra jo didžiausio nukrypimo nuo pusiausvyros padėties dydis.

Virpesių laikotarpis – tai vieno pilno svyravimo laikas. Galima sakyti, kad per tam tikrą laikotarpį kūnas nukeliauja keturių amplitudių keliu.

Virpesių dažnis yra laikotarpio reciprokas: . Dažnis matuojamas hercais (Hz) ir parodo, kiek pilnų virpesių įvyksta per vieną sekundę.

Harmoninės vibracijos.

Darysime prielaidą, kad svyruojančio kūno padėtį lemia viena koordinatė. Pusiausvyros padėtis atitinka reikšmę . Pagrindinis mechanikos uždavinys šiuo atveju yra surasti funkciją, kuri bet kuriuo metu duoda kūno koordinates.

Svyravimų matematiniam apibūdinimui natūralu naudoti periodines funkcijas. Tokių funkcijų yra daug, tačiau dvi iš jų – sinusas ir kosinusas – yra svarbiausios. Jie turi daug gerų savybių ir yra glaudžiai susiję su įvairiais fiziniais reiškiniais.

Kadangi sinuso ir kosinuso funkcijos gaunamos viena iš kitos perkeliant argumentą , galime apsiriboti tik vienu iš jų. Tikslumui naudosime kosinusą.

Harmoninės vibracijos- tai virpesiai, kurių koordinatė priklauso nuo laiko pagal harmonikų dėsnį:

(1)

Išsiaiškinkime į šią formulę įtrauktų dydžių reikšmę.

Teigiama reikšmė yra didžiausia koordinatės modulio reikšmė (nes didžiausia kosinuso modulio reikšmė lygi vienetui), t.y. didžiausias nuokrypis nuo pusiausvyros padėties. Todėl – svyravimų amplitudė.

Kosinuso argumentas vadinamas fazė dvejonės. Vertė, lygi fazės reikšmei, vadinama pradine faze. Pradinė fazė atitinka pradinę kūno koordinatę: .

Kiekis vadinamas ciklinis dažnis. Raskime jo ryšį su svyravimo periodu ir dažniu. Vienas pilnas svyravimas atitinka fazės prieaugį, lygų radianams: , iš kur

(2)

(3)

Ciklinis dažnis matuojamas rad/s (radianais per sekundę).

Pagal (2) ir (3) išraiškas gauname dar dvi harmoninio dėsnio (1) rašymo formas:

Funkcijos (1) grafikas, išreiškiantis koordinatės priklausomybę nuo laiko harmoninių virpesių metu, parodytas fig. 1 .

(1) tipo harmoninis dėsnis yra bendriausio pobūdžio. Ji reaguoja, pavyzdžiui, į situacijas, kai su švytuokle vienu metu buvo atliekami du pradiniai veiksmai: ji buvo nukreipta tam tikra suma ir jai suteikiamas tam tikras pradinis greitis. Yra du svarbūs ypatingi atvejai, kai vienas iš šių veiksmų nebuvo atliktas.

Tegul švytuoklė nukrypsta, bet nepranešė apie pradinį greitį (paleido be pradinio greičio). Akivaizdu, kad šiuo atveju galime įdėti . Gauname kosinuso dėsnį:

Harmoninių virpesių grafikas šiuo atveju parodytas fig. 2.

Ryžiai. 2. Kosinuso dėsnis

Tarkime, kad švytuoklė nebuvo nukreipta, o pradinis greitis iš pusiausvyros padėties jai buvo suteiktas smūgiu. Tokiu atveju galite įdėti . Gauname sinuso dėsnį:

Virpesių grafikas parodytas fig. 3.

Ryžiai. 3. Sinuso dėsnis

Harmoninių virpesių lygtis.

Grįžkime prie bendrojo harmonikų dėsnio (1). Išskirkime šią lygybę:

. (4)

Dabar išskiriame gautą lygybę (4):

. (5)

Palyginkime koordinatės išraišką (1) ir pagreičio projekcijos išraišką (5). Matome, kad pagreičio projekcija nuo koordinatės skiriasi tik vienu veiksniu:

. (6)

Šis santykis vadinamas harmoninė lygtis. Jis taip pat gali būti perrašytas tokia forma:

. (7)

Matematiniu požiūriu (7) lygtis yra diferencialinė lygtis. Diferencialinių lygčių sprendiniai yra funkcijos (ne skaičiai, kaip įprastoje algebroje).
Taigi, galima įrodyti, kad:

(7) lygties sprendimas yra bet kokia (1) formos funkcija su savavališka ;

Jokia kita funkcija nėra šios lygties sprendimas.

Kitaip tariant, ryšiai (6), (7) apibūdina harmoninius virpesius su cikliniu dažniu ir tik juos. Dvi konstantos nustatomos iš pradinių sąlygų - iš pradinių koordinatės ir greičio verčių.

Spyruoklinė švytuoklė.

Spyruoklinė švytuoklė yra apkrova, pritvirtinta prie spyruoklės, kuri gali svyruoti horizontalia arba vertikalia kryptimi.

Raskime spyruoklės švytuoklės mažų horizontalių svyravimų periodą (4 pav.). Svyravimai bus nedideli, jei spyruoklės deformacijos dydis bus daug mažesnis už jos matmenis. Mažoms deformacijoms galime naudoti Huko dėsnį. Dėl to svyravimai bus harmoningi.

Mes nepaisome trinties. Apkrova turi masę, o spyruoklės standumas lygus .

Koordinatė atitinka pusiausvyros padėtį, kurioje spyruoklė nėra deformuota. Vadinasi, spyruoklės deformacijos dydis yra lygus apkrovos koordinačių moduliui.

Ryžiai. 4. Spyruoklinė švytuoklė

Horizontalia kryptimi apkrovą veikia tik spyruoklės tamprumo jėga. Antrasis Niutono dėsnis apkrovai projekcijai į ašį yra tokia:

. (8)

Jei (apkrova perkeliama į dešinę, kaip paveikslėlyje), tada tamprumo jėga nukreipta priešinga kryptimi ir . Ir atvirkščiai, jei , tada . Ženklai ir visą laiką yra priešingi, todėl Huko dėsnį galima parašyti taip:

Tada santykis (8) įgauna tokią formą:

Gavome (6) formos harmoninių virpesių lygtį, kurioje

Taigi spyruoklinės švytuoklės ciklinis virpesių dažnis yra lygus:

. (9)

Iš čia ir iš santykio randame spyruoklės švytuoklės horizontalių svyravimų periodą:

. (10)

Jei pakabinate krovinį ant spyruoklės, gaunate spyruoklinę švytuoklę, kuri svyruoja vertikalia kryptimi. Galima parodyti, kad šiuo atveju formulė (10) galioja svyravimo periodui.

Matematinė švytuoklė.

Matematinė švytuoklė yra mažas korpusas, pakabintas ant nesvario netiesiamo sriegio (5 pav.). Matematinė švytuoklė gravitacijos lauke gali svyruoti vertikalioje plokštumoje.

Ryžiai. 5. Matematinė švytuoklė

Raskime matematinės švytuoklės mažųjų svyravimų periodą. Siūlo ilgis yra. Mes nepaisome oro pasipriešinimo.

Užrašykime antrąjį Niutono švytuoklės dėsnį:

ir projektuokite jį į ašį:

Jei švytuoklė užima tokią padėtį, kaip parodyta paveikslėlyje (t. y.), tada:

Jei švytuoklė yra kitoje pusiausvyros padėties pusėje (t. y.), tada:

Taigi, bet kuriai švytuoklės padėčiai turime:

. (11)

Kai švytuoklė stovi pusiausvyros padėtyje, lygybė tenkinama. Esant nedideliems svyravimams, kai švytuoklės nuokrypiai nuo pusiausvyros padėties nedideli (palyginti su sriegio ilgiu), tenkinama apytikslė lygybė. Panaudokime jį formulėje (11):

Tai (6) formos harmoninių virpesių lygtis, kurioje

Todėl matematinės švytuoklės ciklinis virpesių dažnis yra lygus:

. (12)

Taigi matematinės švytuoklės svyravimo laikotarpis:

. (13)

Atkreipkite dėmesį, kad į formulę (13) neįtraukta krovinio masė. Skirtingai nuo spyruoklinės švytuoklės, matematinės švytuoklės svyravimo laikotarpis nepriklauso nuo jos masės.

Laisvos ir priverstinės vibracijos.

Jie sako, kad sistema tai daro laisvos vibracijos, jei jis vieną kartą pašalinamas iš pusiausvyros padėties ir vėliau paliekamas sau. Jokio periodinio išorinio
Šiuo atveju sistema nepatiria jokios įtakos, taip pat nėra vidinių energijos šaltinių, kurie palaikytų sistemos virpesius.

Aukščiau aptarti spyruoklės ir matematinių švytuoklių svyravimai yra laisvųjų svyravimų pavyzdžiai.

Laisvųjų virpesių dažnis vadinamas natūralus dažnis svyravimo sistema. Taigi (9) ir (12) formulės pateikia natūraliuosius (ciklinius) spyruoklių ir matematinių švytuoklių virpesių dažnius.

Idealizuotoje situacijoje, kai nėra trinties, laisvieji svyravimai yra neslopinami, tai yra, turi pastovią amplitudę ir trunka neribotą laiką. Realiose virpesių sistemose visada yra trintis, todėl laisvosios vibracijos palaipsniui išnyksta (6 pav.).

Priverstinės vibracijos- tai svyravimai, kuriuos sukuria sistema veikiant išorinei jėgai, kuri laikui bėgant periodiškai kinta (vadinamoji varomoji jėga).

Tarkime, kad sistemos natūralusis virpesių dažnis yra lygus , o varomoji jėga priklauso nuo laiko pagal harmonikų dėsnį:

Per tam tikrą laiką susidaro priverstiniai svyravimai: sistema atlieka sudėtingą judesį, kuris yra priverstinių ir laisvųjų virpesių superpozicija. Laisvieji svyravimai palaipsniui išnyksta, o pastovioje būsenoje sistema atlieka priverstinius virpesius, kurie taip pat pasirodo harmoningi. Pastovios būsenos priverstinių svyravimų dažnis sutampa su dažniu
verčianti jėga (išorinė jėga tarsi primeta sistemai savo dažnį).

Nustatytų priverstinių svyravimų amplitudė priklauso nuo varomosios jėgos dažnio. Šios priklausomybės grafikas parodytas fig. 7.

Ryžiai. 7. Rezonansas

Matome, kad šalia dažnio atsiranda rezonansas – priverstinių virpesių amplitudės padidėjimo reiškinys. Rezonansinis dažnis yra maždaug lygus natūraliam sistemos virpesių dažniui: , ir ši lygybė įvykdoma tiksliau, tuo mažesnė trintis sistemoje. Nesant trinties, rezonansinis dažnis sutampa su natūraliu virpesių dažniu, o svyravimų amplitudė padidėja iki begalybės ties .