Kaip lygčių sprendimas. Tiesinių lygčių sprendimas su pavyzdžiais

Pasiruošimo galutiniam testui etape aukštųjų mokyklų studentai turi patobulinti savo žinias tema „Eksponentinės lygtys“. Pastarųjų metų patirtis rodo, kad tokios užduotys moksleiviams kelia tam tikrų sunkumų. Todėl aukštųjų mokyklų studentai, nepaisant jų pasirengimo lygio, turi gerai įsisavinti teoriją, prisiminti formules ir suprasti tokių lygčių sprendimo principą. Išmokę susidoroti su tokio tipo problemomis, abiturientai gali tikėtis aukštų balų laikydami vieningą valstybinį matematikos egzaminą.

Pasiruoškite egzaminui su Shkolkovo!

Peržiūrėdami medžiagą, kurią jie apėmė, daugelis studentų susiduria su formulių, reikalingų lygtims spręsti, problema. Mokyklinis vadovėlis ne visada yra po ranka, o reikiamos informacijos apie temą atrinkimas internete užtrunka ilgai.

Švietimo portalas Shkolkovo kviečia studentus naudotis mūsų žinių baze. Diegiame visiškai naują pasiruošimo galutiniam testui metodą. Studijuodami mūsų svetainėje galėsite atpažinti žinių spragas ir atkreipti dėmesį į tas užduotis, kurios kelia daugiausiai sunkumų.

Shkolkovo mokytojai paprasčiausia ir prieinamiausia forma surinko, susistemino ir pateikė visą medžiagą, reikalingą sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą.

Pagrindiniai apibrėžimai ir formulės pateikiami skyriuje „Teorinis pagrindas“.

Norint geriau suprasti medžiagą, rekomenduojame pasipraktikuoti atliekant užduotis. Atidžiai peržiūrėkite šiame puslapyje pateiktus eksponentinių lygčių ir sprendimų pavyzdžius, kad suprastumėte skaičiavimo algoritmą. Po to atlikite užduotis skyriuje „Katalogai“. Galite pradėti nuo paprasčiausių užduočių arba pereiti tiesiai prie sudėtingų eksponentinių lygčių su keliais nežinomaisiais arba . Mūsų svetainėje esanti pratimų duomenų bazė nuolat pildoma ir atnaujinama.

Pavyzdžius su indikatoriais, kurie jums sukėlė sunkumų, galite įtraukti į „Mėgstamiausius“. Tokiu būdu galite greitai juos rasti ir aptarti sprendimą su savo mokytoju.

Norėdami sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą, kiekvieną dieną mokykitės Shkolkovo portale!

Paslaugos paskirtis. Matricinis skaičiuotuvas skirtas tiesinių lygčių sistemoms spręsti matriciniu metodu (žr. panašių uždavinių sprendimo pavyzdį).

Instrukcijos. Norėdami išspręsti internetu, turite pasirinkti lygties tipą ir nustatyti atitinkamų matricų matmenis. kur A, B, C yra nurodytos matricos, X yra norima matrica. (1), (2) ir (3) formos matricos lygtys sprendžiamos per atvirkštinę matricą A -1. Jei pateikta išraiška A·X - B = C, tai pirmiausia reikia sudėti matricas C + B ir rasti išraiškos A·X = D sprendimą, kur D = C + B. Jei pateikta išraiška A*X = B 2, tai matrica B pirmiausia turi būti kvadratinė.

Taip pat rekomenduojama susipažinti su pagrindinėmis matricų operacijomis.

1 pavyzdys. Pratimas. Raskite matricos lygties sprendimą
Sprendimas. Pažymime:
Tada matricos lygtis bus parašyta tokia forma: A·X·B = C.
Matricos A determinantas lygus detA=-1
Kadangi A yra nevienetinė matrica, yra atvirkštinė matrica A -1 . Abi kairėje esančios lygties puses padauginkite iš A -1: padauginkite abi šios lygties puses kairėje iš A -1, o dešinėje - iš B -1: A -1 ·A · X · B · B -1 = A -1 ·C · B -1 . Kadangi A A -1 = B B -1 = E ir E X = X E = X, tai X = A -1 C B -1

Atvirkštinė matrica A -1:
Raskime atvirkštinę matricą B -1.
Perkelta matrica B T:
Atvirkštinė matrica B -1:
Matricos X ieškome pagal formulę: X = A -1 ·C · B -1

Atsakymas:

2 pavyzdys. Pratimas. Išspręskite matricos lygtį
Sprendimas. Pažymime:
Tada matricos lygtis bus parašyta tokia forma: A·X = B.
Matricos A determinantas detA=0
Kadangi A yra vienaskaita matrica (determinantas yra 0), tai lygtis neturi sprendinio.

3 pavyzdys. Pratimas. Raskite matricos lygties sprendimą
Sprendimas. Pažymime:
Tada matricos lygtis bus parašyta tokia forma: X A = B.
Matricos A determinantas detA=-60
Kadangi A yra nevienetinė matrica, yra atvirkštinė matrica A -1 . Padauginkime abi dešinėje esančios lygties puses iš A -1: X A A -1 = B A -1, iš kur rastume, kad X = B A -1
Raskime atvirkštinę matricą A -1 .
Perkelta matrica A T:
Atvirkštinė matrica A -1:
Matricos X ieškome pagal formulę: X = B A -1


Atsakymas: >

matematikai spręsti. Raskite greitai sprendžiant matematinę lygtį režimu prisijungęs. Svetainė www.site leidžia išspręsti lygtį beveik bet kokia duota algebrinė, trigonometrinis arba transcendentinė lygtis internete. Studijuodami beveik bet kurią matematikos šaką skirtinguose etapuose turite nuspręsti lygtys internete. Norėdami gauti atsakymą iš karto, o svarbiausia – tikslų atsakymą, jums reikia šaltinio, leidžiančio tai padaryti. Ačiū svetainei www.site spręskite lygtis internete užtruks kelias minutes. Pagrindinis www.site privalumas sprendžiant matematinį lygtys internete– tai pateikiamo atsakymo greitis ir tikslumas. Svetainė gali išspręsti bet kurią Algebrinės lygtys internete, trigonometrinės lygtys internete, Transcendentinės lygtys internete, ir lygtys su nežinomais parametrais režime prisijungęs. Lygtys tarnauja kaip galingas matematinis aparatas sprendimus praktines problemas. Su pagalba matematines lygtis galima išsakyti faktus ir santykius, kurie iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti painūs ir sudėtingi. Nežinomi kiekiai lygtys galima rasti suformulavus problemą matematinės kalba formoje lygtys Ir nuspręsti gauta užduotis režimu prisijungęs svetainėje www.site. Bet koks algebrinė lygtis, trigonometrinė lygtis arba lygtys kuriuose yra transcendentinis funkcijas, kurias galite lengvai nuspręsti internete ir gaukite tikslų atsakymą. Studijuodamas gamtos mokslus neišvengiamai susiduri su poreikiu sprendžiant lygtis. Šiuo atveju atsakymas turi būti tikslus ir turi būti gaunamas nedelsiant režimu prisijungęs. Todėl už matematinių lygčių sprendimas internete Mes rekomenduojame svetainę www.site, kuri taps nepakeičiama jūsų skaičiuokle Išspręskite algebrines lygtis internete, trigonometrinės lygtys internete, ir Transcendentinės lygtys internete arba lygtys su nežinomais parametrais. Praktinėms problemoms ieškant įvairių šaknų matematines lygtisšaltinis www.. Spręsti lygtys internete patiems, naudinga gautą atsakymą patikrinti naudojant internetinis lygčių sprendimas svetainėje www.site. Turite teisingai parašyti lygtį ir iš karto gauti internetinis sprendimas, po to belieka palyginti atsakymą su savo lygties sprendimu. Atsakymo patikrinimas užtruks ne ilgiau kaip minutę, to pakanka Išspręskite lygtį internete ir palyginkite atsakymus. Tai padės išvengti klaidų sprendimą ir pataisyti atsakymą laiku, kai lygčių sprendimas internete arba algebrinė, trigonometrinis, transcendentinis arba lygtis su nežinomais parametrais.

Šiame vaizdo įraše analizuosime visą rinkinį tiesinių lygčių, kurios išsprendžiamos naudojant tą patį algoritmą – todėl jos vadinamos paprasčiausiomis.

Pirmiausia apibrėžkime: kas yra tiesinė lygtis ir kuri vadinama paprasčiausia?

Tiesinė lygtis yra ta, kurioje yra tik vienas kintamasis ir tik iki pirmojo laipsnio.

Paprasčiausia lygtis reiškia konstrukciją:

Visos kitos tiesinės lygtys sumažinamos iki paprasčiausių naudojant algoritmą:

1. Išskleiskite skliaustus, jei tokių yra;
2. Perkelkite terminus su kintamuoju į vieną lygybės ženklo pusę, o terminus be kintamojo į kitą;
3. Lygybės ženklo kairėje ir dešinėje nurodykite panašius terminus;
4. Gautą lygtį padalinkite iš kintamojo $x$ koeficiento.

Žinoma, šis algoritmas ne visada padeda. Faktas yra tas, kad kartais po visų šių machinacijų kintamojo $x$ koeficientas pasirodo lygus nuliui. Šiuo atveju galimi du variantai:

1. Lygtis apskritai neturi sprendinių. Pavyzdžiui, kai pasirodo kažkas panašaus į $0\cdot x=8$, t.y. kairėje yra nulis, o dešinėje yra skaičius, kuris nėra nulis. Žemiau esančiame vaizdo įraše apžvelgsime keletą priežasčių, kodėl tokia situacija yra įmanoma.
2. Sprendimas yra visi skaičiai. Vienintelis atvejis, kai tai įmanoma, yra tada, kai lygtis sumažinta iki konstrukcijos $0\cdot x=0$. Visai logiška, kad kad ir kokius $x$ pakeistume, vis tiek išeis „nulis lygus nuliui“, t.y. teisinga skaitinė lygybė.

Dabar pažiūrėkime, kaip visa tai veikia, naudodamiesi realaus gyvenimo pavyzdžiais.

Lygčių sprendimo pavyzdžiai

Šiandien mes susiduriame su tiesinėmis lygtimis ir tik pačiomis paprasčiausiomis. Apskritai tiesinė lygtis reiškia bet kokią lygybę, kurioje yra tiksliai vienas kintamasis, ir ji eina tik iki pirmojo laipsnio.

Tokios konstrukcijos sprendžiamos maždaug tokiu pačiu būdu:

1. Visų pirma, reikia išplėsti skliaustus, jei tokių yra (kaip paskutiniame pavyzdyje);
2. Tada derinkite panašius
3. Galiausiai išskirkite kintamąjį, t.y. perkelkite viską, kas susiję su kintamuoju – terminus, kuriuose jis yra – į vieną pusę, o viską, kas lieka be jo, perkelkite į kitą pusę.

Tada, kaip taisyklė, reikia pateikti panašius kiekvienoje gautos lygybės pusėje, o po to belieka padalyti iš koeficiento „x“, ir mes gausime galutinį atsakymą.

Teoriškai tai atrodo gražiai ir paprastai, tačiau praktiškai net patyrę aukštųjų mokyklų studentai gali padaryti įžeidžiančių klaidų gana paprastose tiesinėse lygtyse. Paprastai klaidos daromos atidarant skliaustus arba skaičiuojant „pliusus“ ir „minusus“.

Be to, pasitaiko, kad tiesinė lygtis apskritai neturi sprendinių arba sprendinys yra visa skaičių tiesė, t.y. bet koks skaičius. Šios subtilybės apžvelgsime šios dienos pamokoje. Bet pradėsime, kaip jau supratote, nuo paprasčiausių užduočių.

Paprastų tiesinių lygčių sprendimo schema

Pirmiausia leiskite man dar kartą parašyti visą paprasčiausių tiesinių lygčių sprendimo schemą:

1. Išplėskite skliaustus, jei tokių yra.
2. Išskiriame kintamuosius, t.y. Viską, kuriame yra „X“, perkeliame į vieną pusę, o viską be „X“ – į kitą.
3. Pateikiame panašias sąlygas.
4. Viską padaliname iš koeficiento „x“.

Žinoma, ši schema ne visada veikia, joje yra tam tikrų subtilybių ir gudrybių, ir dabar mes su jais susipažinsime.

Realių paprastų tiesinių lygčių pavyzdžių sprendimas

Užduotis Nr.1

Pirmas žingsnis reikalauja, kad atidarytume skliaustus. Tačiau šiame pavyzdyje jų nėra, todėl šį žingsnį praleidžiame. Antrame etape turime išskirti kintamuosius. Atkreipkite dėmesį: mes kalbame tik apie atskiras sąlygas. Užsirašykime:

Kairėje ir dešinėje pateikiame panašius terminus, tačiau tai jau buvo padaryta čia. Todėl pereiname prie ketvirto žingsnio: padalinkite iš koeficiento:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Taigi mes gavome atsakymą.

2 užduotis

Šioje užduotyje matome skliaustus, todėl išplėskime juos:

Ir kairėje, ir dešinėje matome maždaug vienodą dizainą, bet veikime pagal algoritmą, t.y. atskiriant kintamuosius:

Štai keletas panašių:

Kokiomis šaknimis tai veikia? Atsakymas: bet kokiam. Todėl galime parašyti, kad $x$ yra bet koks skaičius.

Užduotis Nr.3

Trečioji tiesinė lygtis įdomesnė:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Čia yra keli skliaustai, bet jie iš nieko nepadauginami, tiesiog prieš juos pateikiami skirtingi ženklai. Išskaidykime juos:

Atliekame antrą mums jau žinomą žingsnį:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Paskaičiuokime:

Atliekame paskutinį žingsnį - viską padaliname iš koeficiento „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ką reikia atsiminti sprendžiant tiesines lygtis

Jei ignoruosime pernelyg paprastas užduotis, norėčiau pasakyti:

• Kaip sakiau aukščiau, ne kiekviena tiesinė lygtis turi sprendimą – kartais tiesiog nėra šaknų;
• Net jei yra šaknų, tarp jų gali būti nulis – nieko blogo.

Nulis yra toks pat skaičius kaip ir kiti; jokiu būdu neturėtumėte jo diskriminuoti arba manyti, kad jei gavote nulį, vadinasi, padarėte kažką ne taip.

Kitas bruožas yra susijęs su skliaustų atidarymu. Atkreipkite dėmesį: kai prieš juos yra „minusas“, mes jį pašaliname, bet skliausteliuose keičiame ženklus į priešingas. Ir tada galime jį atidaryti naudodami standartinius algoritmus: gausime tai, ką matėme atlikdami aukščiau pateiktus skaičiavimus.

Šio paprasto fakto supratimas padės išvengti kvailų ir skaudžių klaidų vidurinėje mokykloje, kai tokie dalykai laikomi savaime suprantamu dalyku.

Sudėtingų tiesinių lygčių sprendimas

Pereikime prie sudėtingesnių lygčių. Dabar konstrukcijos taps sudėtingesnės ir atliekant įvairias transformacijas atsiras kvadratinė funkcija. Tačiau neturėtume to bijoti, nes jei pagal autoriaus planą sprendžiame tiesinę lygtį, tada transformacijos metu visi monomai, turintys kvadratinę funkciją, tikrai bus panaikinti.

1 pavyzdys

Akivaizdu, kad pirmasis žingsnis yra atidaryti skliaustus. Padarykime tai labai atsargiai:

Dabar pažvelkime į privatumą:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Štai keletas panašių:

Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendimų, todėl atsakyme parašysime tai:

\[\varnothing\]

arba nėra šaknų.

2 pavyzdys

Atliekame tuos pačius veiksmus. Pirmas žingsnis:

Viską perkelkime su kintamuoju į kairę, o be jo - į dešinę:

Štai keletas panašių:

Akivaizdu, kad ši tiesinė lygtis neturi sprendimo, todėl ją parašysime taip:

\[\varnothing\],

arba nėra šaknų.

Sprendimo niuansai

Abi lygtys yra visiškai išspręstos. Panaudoję šias dvi išraiškas kaip pavyzdį, dar kartą įsitikinome, kad net paprasčiausiose tiesinėse lygtyse viskas gali būti ne taip paprasta: gali būti arba viena, arba jų nėra, arba be galo daug šaknų. Mūsų atveju mes nagrinėjome dvi lygtis, abi tiesiog neturi šaknų.

Tačiau norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į kitą faktą: kaip dirbti su skliaustais ir kaip juos atidaryti, jei prieš juos yra minuso ženklas. Apsvarstykite šią išraišką:

Prieš atidarydami, turite viską padauginti iš „X“. Atkreipkite dėmesį: dauginasi kiekvienas atskiras terminas. Viduje yra du terminai - atitinkamai du terminai ir padauginti.

Ir tik atlikus šias iš pažiūros elementarias, bet labai svarbias ir pavojingas transformacijas, galima atversti skliaustą iš to, kad po jo yra minuso ženklas. Taip, taip: tik dabar, kai transformacijos baigtos, prisimename, kad prieš skliaustus yra minuso ženklas, o tai reiškia, kad viskas žemiau tiesiog keičia ženklus. Tuo pačiu metu dingsta patys laikikliai ir, svarbiausia, dingsta ir priekinis „minusas“.

Tą patį darome su antrąja lygtimi:

Neatsitiktinai atkreipiu dėmesį į šiuos mažus, atrodytų, nereikšmingus faktus. Nes lygčių sprendimas visada yra elementarių transformacijų seka, kai nesugebėjimas aiškiai ir kompetentingai atlikti nesudėtingų veiksmų lemia tai, kad pas mane ateina gimnazistai ir vėl mokosi spręsti tokias paprastas lygtis.

Žinoma, ateis diena, kai šiuos įgūdžius ištobulinsite iki automatizavimo. Jums nebereikės kiekvieną kartą atlikti tiek daug transformacijų, viską surašysite vienoje eilutėje. Bet kol jūs tik mokotės, kiekvieną veiksmą turite parašyti atskirai.

Dar sudėtingesnių tiesinių lygčių sprendimas

Tai, ką dabar spręsime, vargu ar galima pavadinti paprasčiausia užduotimi, tačiau prasmė išlieka ta pati.

Užduotis Nr.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Padauginkime visus pirmosios dalies elementus:

Pasirūpinkime privatumu:

Štai keletas panašių:

Užbaikime paskutinį žingsnį:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Štai mūsų galutinis atsakymas. Ir nepaisant to, kad spręsdami turėjome koeficientus su kvadratine funkcija, jie vienas kitą panaikino, todėl lygtis yra tiesinė, o ne kvadratinė.

2 užduotis

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Atsargiai atlikime pirmąjį veiksmą: padauginkite kiekvieną elementą iš pirmojo skliausto iš kiekvieno elemento iš antrojo. Po pakeitimų iš viso turėtų būti keturi nauji terminai:

Dabar atidžiai padauginkime kiekvieną terminą:

Perkelkime terminus su "X" į kairę, o tuos, kurių nėra - į dešinę:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Čia yra panašūs terminai:

Dar kartą gavome galutinį atsakymą.

Sprendimo niuansai

Svarbiausia pastaba apie šias dvi lygtis yra tokia: kai tik pradedame dauginti skliaustus, kuriuose yra daugiau nei vienas narys, tai daroma pagal tokią taisyklę: paimame pirmąjį narį iš pirmojo ir padauginame iš kiekvieno elemento iš Antras; tada paimame antrą elementą iš pirmojo ir panašiai padauginame su kiekvienu elementu iš antrojo. Dėl to turėsime keturias kadencijas.

Apie algebrinę sumą

Šiuo paskutiniu pavyzdžiu norėčiau priminti mokiniams, kas yra algebrinė suma. Klasikinėje matematikoje 1–7 USD turime omenyje paprastą konstrukciją: iš vieno atimti septynis. Algebroje tai reiškia: prie skaičiaus „vienas“ pridedame kitą skaičių, būtent „minus septyni“. Taip algebrinė suma skiriasi nuo įprastos aritmetinės sumos.

Kai tik atlikdami visas transformacijas, kiekvieną sudėjimą ir dauginimą pradėsite matyti konstrukcijas, panašias į aukščiau aprašytas, tiesiog neturėsite problemų algebroje dirbdami su daugianariais ir lygtimis.

Galiausiai pažvelkime į dar keletą pavyzdžių, kurie bus dar sudėtingesni nei tie, kuriuos ką tik pažvelgėme, ir norėdami juos išspręsti, turėsime šiek tiek išplėsti standartinį algoritmą.

Lygčių su trupmenomis sprendimas

Norėdami išspręsti tokias užduotis, prie algoritmo turėsime pridėti dar vieną žingsnį. Bet pirmiausia leiskite jums priminti mūsų algoritmą:

1. Atidarykite skliaustus.
2. Atskiri kintamieji.
3. Atsineškite panašių.
4. Padalinkite iš santykio.

Deja, šis nuostabus algoritmas, nepaisant viso savo efektyvumo, pasirodo, nėra visiškai tinkamas, kai prieš mus yra trupmenos. Ir tai, ką matysime toliau, abiejose lygtyse turime trupmeną tiek kairėje, tiek dešinėje.

Kaip tokiu atveju dirbti? Taip, tai labai paprasta! Norėdami tai padaryti, prie algoritmo turite pridėti dar vieną žingsnį, kurį galima atlikti tiek prieš, tiek po pirmojo veiksmo, būtent, atsikratyti trupmenų. Taigi algoritmas bus toks:

1. Atsikratykite frakcijų.
2. Atidarykite skliaustus.
3. Atskiri kintamieji.
4. Atsineškite panašių.
5. Padalinkite iš santykio.

Ką reiškia „atsikratyti trupmenų“? Ir kodėl tai galima padaryti ir po pirmojo standartinio žingsnio, ir prieš jį? Iš tikrųjų mūsų atveju visos trupmenos savo vardiklyje yra skaitinės, t.y. Visur vardiklis yra tik skaičius. Todėl, padauginus abi lygties puses iš šio skaičiaus, atsikratysime trupmenų.

1 pavyzdys

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Atsikratykime šios lygties trupmenų:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Atkreipkite dėmesį: viskas padauginama iš „keturių“ vieną kartą, t.y. vien todėl, kad turite du skliaustus, nereiškia, kad turite padauginti kiekvieną iš „keturių“. Užsirašykime:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Dabar išplėskime:

Išskiriame kintamąjį:

Atliekame panašių terminų sumažinimą:

\[-4x = -1\left| :\kairė(-4 \dešinė) \dešinė.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Gavome galutinį sprendimą, pereikime prie antrosios lygties.

2 pavyzdys

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Čia atliekame visus tuos pačius veiksmus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema išspręsta.

Tiesą sakant, tai yra viskas, ką šiandien norėjau jums pasakyti.

Pagrindiniai klausimai

Pagrindinės išvados yra šios:

• Žinoti tiesinių lygčių sprendimo algoritmą.
• Galimybė atidaryti skliaustus.
• Nesijaudinkite, jei kažkur turite kvadratinių funkcijų; greičiausiai jos bus sumažintos tolesnių transformacijų metu.
• Tiesinėse lygtyse yra trijų tipų šaknys, net ir pačios paprasčiausios: viena šaknis, visa skaičių eilutė yra šaknis, o šaknų visai nėra.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės jums įsisavinti paprastą, bet labai svarbią temą, kad galėtumėte geriau suprasti visą matematiką. Jei kažkas neaišku, eikite į svetainę ir išspręskite ten pateiktus pavyzdžius. Sekite naujienas, jūsų laukia dar daug įdomių dalykų!