Lygčių sprendimas su X. Internetinė neracionalių lygčių skaičiuoklė

matematikai spręsti. Raskite greitai sprendžiant matematinę lygtį režimu prisijungęs. Svetainė www.site leidžia išspręsti lygtį beveik bet kokia duota algebrinė, trigonometrinis arba transcendentinė lygtis internete. Studijuodami beveik bet kurią matematikos šaką skirtinguose etapuose turite nuspręsti lygtys internete. Norėdami gauti atsakymą iš karto, o svarbiausia – tikslų atsakymą, jums reikia šaltinio, leidžiančio tai padaryti. Ačiū svetainei www.site spręskite lygtis internete užtruks kelias minutes. Pagrindinis www.site privalumas sprendžiant matematinį lygtys internete– tai pateikiamo atsakymo greitis ir tikslumas. Svetainė gali išspręsti bet kurią Algebrinės lygtys internete, trigonometrinės lygtys internete, Transcendentinės lygtys internete, ir lygtys su nežinomais parametrais režime prisijungęs. Lygtys tarnauja kaip galingas matematinis aparatas sprendimus praktines problemas. Su pagalba matematines lygtis galima išsakyti faktus ir santykius, kurie iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti painūs ir sudėtingi. Nežinomi kiekiai lygtys galima rasti suformulavus problemą matematinės kalba formoje lygtys Ir nuspręsti gauta užduotis režimu prisijungęs svetainėje www.site. Bet koks algebrinė lygtis, trigonometrinė lygtis arba lygtys kuriuose yra transcendentinis funkcijas, kurias galite lengvai nuspręsti internete ir gaukite tikslų atsakymą. Studijuodamas gamtos mokslus neišvengiamai susiduri su poreikiu sprendžiant lygtis. Šiuo atveju atsakymas turi būti tikslus ir turi būti gaunamas nedelsiant režimu prisijungęs. Todėl už matematinių lygčių sprendimas internete Mes rekomenduojame svetainę www.site, kuri taps nepakeičiama jūsų skaičiuokle Išspręskite algebrines lygtis internete, trigonometrinės lygtys internete, ir Transcendentinės lygtys internete arba lygtys su nežinomais parametrais. Praktinėms problemoms ieškant įvairių šaknų matematines lygtisšaltinis www.. Spręsti lygtys internete patiems, naudinga gautą atsakymą patikrinti naudojant internetinis lygčių sprendimas svetainėje www.site. Turite teisingai parašyti lygtį ir iš karto gauti internetinis sprendimas, po to belieka palyginti atsakymą su savo lygties sprendimu. Atsakymo patikrinimas užtruks ne ilgiau kaip minutę, to pakanka Išspręskite lygtį internete ir palyginkite atsakymus. Tai padės išvengti klaidų sprendimą ir pataisyti atsakymą laiku, kai lygčių sprendimas internete arba algebrinė, trigonometrinis, transcendentinis arba lygtis su nežinomais parametrais.

Paslaugos paskirtis. Matricinis skaičiuotuvas skirtas tiesinių lygčių sistemoms spręsti matriciniu metodu (žr. panašių uždavinių sprendimo pavyzdį).

Instrukcijos. Norėdami išspręsti internetu, turite pasirinkti lygties tipą ir nustatyti atitinkamų matricų matmenis. kur A, B, C yra nurodytos matricos, X yra norima matrica. (1), (2) ir (3) formos matricos lygtys sprendžiamos per atvirkštinę matricą A -1. Jei pateikta išraiška A·X - B = C, tai pirmiausia reikia sudėti matricas C + B ir rasti išraiškos A·X = D sprendimą, kur D = C + B. Jei pateikta išraiška A*X = B 2, tai matrica B pirmiausia turi būti kvadratinė.

Taip pat rekomenduojama susipažinti su pagrindinėmis matricų operacijomis.

1 pavyzdys. Pratimas. Raskite matricos lygties sprendimą
Sprendimas. Pažymime:
Tada matricos lygtis bus parašyta tokia forma: A·X·B = C.
Matricos A determinantas lygus detA=-1
Kadangi A yra nevienetinė matrica, yra atvirkštinė matrica A -1 . Abi kairėje esančios lygties puses padauginkite iš A -1: padauginkite abi šios lygties puses kairėje iš A -1, o dešinėje - iš B -1: A -1 ·A · X · B · B -1 = A -1 ·C · B -1 . Kadangi A A -1 = B B -1 = E ir E X = X E = X, tai X = A -1 C B -1

Atvirkštinė matrica A -1:
Raskime atvirkštinę matricą B -1.
Perkelta matrica B T:
Atvirkštinė matrica B -1:
Matricos X ieškome pagal formulę: X = A -1 ·C · B -1

Atsakymas:

2 pavyzdys. Pratimas. Išspręskite matricos lygtį
Sprendimas. Pažymime:
Tada matricos lygtis bus parašyta tokia forma: A·X = B.
Matricos A determinantas detA=0
Kadangi A yra vienaskaita matrica (determinantas yra 0), tai lygtis neturi sprendinio.

3 pavyzdys. Pratimas. Raskite matricos lygties sprendimą
Sprendimas. Pažymime:
Tada matricos lygtis bus parašyta tokia forma: X A = B.
Matricos A determinantas detA=-60
Kadangi A yra nevienetinė matrica, yra atvirkštinė matrica A -1 . Padauginkime abi dešinėje esančios lygties puses iš A -1: X A A -1 = B A -1, iš kur rastume, kad X = B A -1
Raskime atvirkštinę matricą A -1 .
Perkelta matrica A T:
Atvirkštinė matrica A -1:
Matricos X ieškome pagal formulę: X = B A -1


Atsakymas: >

Kvadratinės lygtys mokomos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.

Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a, b ir c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.

Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, atkreipkite dėmesį, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:

1. Neturi šaknų;
2. turėti tiksliai vieną šaknį;
3. Jie turi dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas tarp kvadratinių lygčių ir tiesinių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.

Diskriminuojantis

Tegu kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0. Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac.

Šią formulę turite žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:

1. Jeigu D< 0, корней нет;
2. Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
3. Jei D > 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis žmonių tiki. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:

Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:

1. x 2 – 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Išrašykime pirmosios lygties koeficientus ir raskime diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Taigi diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame panašiai:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė likusi lygtis yra tokia:
a = 1; b = –6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantas yra nulis – šaknis bus viena.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienos lygties koeficientai buvo užrašyti. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus, bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.

Beje, jei susigausite, po kurio laiko nereikės visų koeficientų užrašinėti. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50–70 išspręstų lygčių – apskritai ne tiek daug.

Kvadratinės lygties šaknys

Dabar pereikime prie paties sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:

Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris ir bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = –3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:

Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda pakeičiant neigiamus koeficientus į formulę. Čia vėl padės aukščiau aprašyta technika: pažvelkite į formulę pažodžiui, užsirašykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratysite klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi, pristatykime naują koncepciją:

Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.

Žinoma, galimas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai lygūs nuliui: b = c = 0. Šiuo atveju lygtis įgauna formą ax 2 = 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknį: x = 0.

Panagrinėkime likusius atvejus. Tegu b = 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį formos ax 2 + c = 0. Truputį transformuokime:

Kadangi aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus, paskutinė lygybė turi prasmę tik tada, kai (-c /a) ≥ 0. Išvada:

1. Jeigu nepilnoje kvadratinėje lygtyje ax 2 + c = 0 tenkinama nelygybė (−c /a) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
2. Jei (-c /a)< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminanto neprireikė – neišsamiose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingų skaičiavimų. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c /a) ≥ 0. Pakanka išreikšti reikšmę x 2 ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei jis neigiamas, šaknų iš viso nebus.

Dabar pažiūrėkime į ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka įskaičiuoti daugianarį:

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Produktas lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, pažvelkime į kelias iš šių lygčių:

Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = –1,5.