3, 2 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം. പൊതു വിഭജനവും ഗുണിതവും

രണ്ടാമത്തെ നമ്പർ: b=

ഡിജിറ്റ് സെപ്പറേറ്റർസ്പെയ്സ് സെപ്പറേറ്റർ ഇല്ല "´

ഫലമായി:

ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം gcd( എ,ബി)=6

LCM-ന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം( എ,ബി)=468

എ, ബി എന്നീ സംഖ്യകൾ ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും വലിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനംഈ സംഖ്യകളുടെ (gcd). സൂചിപ്പിച്ചത് gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) അല്ലെങ്കിൽ hcf(a,b).

ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതം a, b എന്നീ രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ (LCM) ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, അവ ശേഷിക്കാതെ a, b എന്നിവ കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. LCM(a,b), അല്ലെങ്കിൽ lcm(a,b) എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

a, b എന്നീ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു കോപ്രൈംഅവയ്ക്ക് +1, −1 എന്നിവയല്ലാതെ പൊതുവായ വിഭജനങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ.

ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം

രണ്ടെണ്ണം കൊടുക്കട്ടെ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ എ 1 ഒപ്പം എ 2 1). ഈ സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്. അത്തരമൊരു നമ്പർ കണ്ടെത്തുക λ , ഇത് സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നു എ 1 ഒപ്പം എ 2 ഒരേ സമയം. അൽഗോരിതം വിവരിക്കാം.

1) ഈ ലേഖനത്തിൽ, നമ്പർ എന്ന വാക്കിന്റെ അർത്ഥം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

അനുവദിക്കുക എ 1 ≥ എ 2 ഒപ്പം അനുവദിക്കുക

എവിടെ എം 1 , എ 3 ചില പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, എ 3 <എ 2 (ഡിവിഷനിൽ നിന്ന് ബാക്കിയുള്ളത് എ 1 ഓൺ എ 2 കുറവായിരിക്കണം എ 2).

നമുക്ക് അങ്ങനെ നടിക്കാം λ വിഭജിക്കുന്നു എ 1 ഒപ്പം എ 2, പിന്നെ λ വിഭജിക്കുന്നു എം 1 എ 2 ഒപ്പം λ വിഭജിക്കുന്നു എ 1 −എം 1 എ 2 =എ 3 ("സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം. വിഭജനത്തിന്റെ അടയാളം" എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ അവകാശവാദം 2). എല്ലാ പൊതു വിഭജനവും പിന്തുടരുന്നു എ 1 ഒപ്പം എ 2 ഒരു പൊതു വിഭജനമാണ് എ 2 ഒപ്പം എ 3 . എങ്കിൽ വിപരീതവും ശരിയാണ് λ പൊതു വിഭജനം എ 2 ഒപ്പം എ 3, പിന്നെ എം 1 എ 2 ഒപ്പം എ 1 =എം 1 എ 2 +എ 3 എന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു λ . അതിനാൽ പൊതു വിഭജനം എ 2 ഒപ്പം എ 3 ഒരു പൊതു വിഭജനം കൂടിയാണ് എ 1 ഒപ്പം എ 2. കാരണം എ 3 <എ 2 ≤എ 1 , അപ്പോൾ നമുക്ക് സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം എന്ന് പറയാം എ 1 ഒപ്പം എസംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ലളിതമായ ഒരു പ്രശ്നമായി 2 ചുരുക്കി എ 2 ഒപ്പം എ 3 .

എങ്കിൽ എ 3 ≠0, അപ്പോൾ നമുക്ക് വിഭജിക്കാം എ 2 ഓൺ എ 3 . പിന്നെ

,

എവിടെ എം 1 ഒപ്പം എ 4 ചില പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, ( എവിഭജനത്തിന്റെ 4 ബാക്കി എ 2 ഓൺ എ 3 (എ 4 <എ 3)). സമാനമായ ന്യായവാദത്തിലൂടെ, സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനങ്ങൾ എന്ന നിഗമനത്തിൽ ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു എ 3 ഒപ്പം എ 4 എന്നത് സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഹരിച്ചുകൾക്ക് തുല്യമാണ് എ 2 ഒപ്പം എ 3 , കൂടാതെ പൊതുവായ വിഭജനങ്ങൾക്കൊപ്പം എ 1 ഒപ്പം എ 2. കാരണം എ 1 , എ 2 , എ 3 , എ 4 , ... നിരന്തരം കുറഞ്ഞുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ, കൂടാതെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു പരിമിത സംഖ്യ ഉള്ളതിനാൽ എ 2 ഉം 0 ഉം, പിന്നെ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ എൻ, ഡിവിഷന്റെ ബാക്കി എ n ന് എ n+1 പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും ( എ n+2=0).

.

ഓരോ പൊതു വിഭജനവും λ സംഖ്യകൾ എ 1 ഒപ്പം എ 2 എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഹരിക്കൽ കൂടിയാണ് എ 2 ഒപ്പം എ 3 , എ 3 ഒപ്പം എ 4 , .... എ n ഒപ്പം എ n+1. വിപരീതവും ശരിയാണ്, സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനം എ n ഒപ്പം എ n+1 എന്നിവയും സംഖ്യകളുടെ ഹരിച്ചാണ് എ n−1 ഒപ്പം എ n, ...., എ 2 ഒപ്പം എ 3 , എ 1 ഒപ്പം എ 2. എന്നാൽ പൊതു വിഭജനം എ n ഒപ്പം എ n+1 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയാണ് എ n+1, കാരണം എ n ഒപ്പം എ n+1 എന്നത് കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് എ n+1 (അത് ഓർക്കുക എ n+2=0). അതുകൊണ്ട് എ n+1 എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഹരിക്കൽ കൂടിയാണ് എ 1 ഒപ്പം എ 2 .

നമ്പർ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക എ n+1 ആണ് ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ വിഭജനം എ n ഒപ്പം എ n+1, ഏറ്റവും വലിയ വിഭജനം മുതൽ എ n+1 തന്നെ എ n+1. എങ്കിൽ എ n + 1 നെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ഗുണനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യകളും സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഹരിച്ചാണ്. എ 1 ഒപ്പം എ 2. നമ്പർ എ n+1 എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനംസംഖ്യകൾ എ 1 ഒപ്പം എ 2 .

നമ്പറുകൾ എ 1 ഒപ്പം എ 2 പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളാകാം. സംഖ്യകളിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം മറ്റേ സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. പൂജ്യം സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല.

മുകളിലുള്ള അൽഗോരിതം വിളിക്കുന്നു യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗോരിതംരണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്താൻ.

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

630, 434 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുക.

• ഘട്ടം 1. 630 എന്ന സംഖ്യയെ 434 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കിയുള്ളത് 196 ആണ്.
• ഘട്ടം 2. 434 എന്ന സംഖ്യയെ 196 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കിയുള്ളത് 42 ആണ്.
• ഘട്ടം 3. 196 എന്ന സംഖ്യയെ 42 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കിയുള്ളത് 28 ആണ്.
• ഘട്ടം 4. 42 എന്ന സംഖ്യയെ 28 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കിയുള്ളത് 14 ആണ്.
• ഘട്ടം 5. 28 എന്ന സംഖ്യയെ 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കിയുള്ളത് 0 ആണ്.

ഘട്ടം 5-ൽ, വിഭജനത്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം 0 ആണ്. അതിനാൽ, 630, 434 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം 14 ആണ്. 2, 7 എന്നീ സംഖ്യകളും 630, 434 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഹരിച്ചാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

കോപ്രൈം നമ്പറുകൾ

നിർവ്വചനം 1. സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം അനുവദിക്കുക എ 1 ഒപ്പം എ 2 എന്നത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. തുടർന്ന് ഈ നമ്പറുകളിലേക്ക് വിളിക്കുന്നു കോപ്രൈം നമ്പറുകൾഅതിന് ഒരു പൊതു വിഭജനം ഇല്ല.

സിദ്ധാന്തം 1. എങ്കിൽ എ 1 ഒപ്പം എ 2 താരതമ്യേന പ്രധാന സംഖ്യകൾ, കൂടാതെ λ കുറച്ച് സംഖ്യ, പിന്നെ സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും പൊതു വിഭജനം λa 1 ഒപ്പം എ 2 എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു വിഭജനം കൂടിയാണ് λ ഒപ്പം എ 2 .

തെളിവ്. സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗോരിതം പരിഗണിക്കുക എ 1 ഒപ്പം എ 2 (മുകളിൽ കാണുക).

.

സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു എ 1 ഒപ്പം എ 2, അതിനാൽ എ n ഒപ്പം എ n+1 എന്നത് 1 ആണ്. അതായത്. എ n+1=1.

ഈ സമത്വങ്ങളെല്ലാം നമുക്ക് ഗുണിക്കാം λ , പിന്നെ

.

പൊതു വിഭജനം അനുവദിക്കുക എ 1 λ ഒപ്പം എ 2 ആണ് δ . പിന്നെ δ ഒരു ഘടകമായി പ്രവേശിക്കുന്നു എ 1 λ , എം 1 എ 2 λ ഒപ്പം എ 1 λ -എം 1 എ 2 λ =എ 3 λ ("സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം", പ്രസ്താവന 2 കാണുക). കൂടുതൽ δ ഒരു ഘടകമായി പ്രവേശിക്കുന്നു എ 2 λ ഒപ്പം എം 2 എ 3 λ , അതിനാൽ ഒരു ഘടകമായി പ്രവേശിക്കുന്നു എ 2 λ -എം 2 എ 3 λ =എ 4 λ .

ഈ രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് അത് ബോധ്യപ്പെടുന്നു δ ഒരു ഘടകമായി പ്രവേശിക്കുന്നു എ n−1 λ ഒപ്പം എം n−1 എഎൻ λ , അതിനാൽ ഇൻ എ n−1 λ −എം n−1 എഎൻ λ =എ n+1 λ . കാരണം എ n+1 =1, അപ്പോൾ δ ഒരു ഘടകമായി പ്രവേശിക്കുന്നു λ . അതിനാൽ നമ്പർ δ സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു വിഭജനമാണ് λ ഒപ്പം എ 2 .

സിദ്ധാന്തം 1-ന്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക.

അനന്തരഫലം 1. അനുവദിക്കുക എഒപ്പം സിപ്രധാന സംഖ്യകൾ താരതമ്യേനയാണ് ബി. പിന്നെ അവരുടെ ഉൽപ്പന്നം acഎന്നത് സംബന്ധിച്ച് ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ് ബി.

ശരിക്കും. സിദ്ധാന്തം 1 ൽ നിന്ന് acഒപ്പം ബിസമാനമായ പൊതു വിഭജനങ്ങൾ ഉണ്ട് സിഒപ്പം ബി. എന്നാൽ അക്കങ്ങൾ സിഒപ്പം ബികോപ്രൈം, അതായത്. ഒരൊറ്റ പൊതു വിഭജനം ഉണ്ടായിരിക്കുക 1. പിന്നെ acഒപ്പം ബിഒരൊറ്റ പൊതു വിഭജനവും ഉണ്ട് 1. അതിനാൽ acഒപ്പം ബിപരസ്പരം ലളിതമാണ്.

അനന്തരഫലം 2. അനുവദിക്കുക എഒപ്പം ബികോപ്രൈം നമ്പറുകളും അനുവദിക്കുക ബിവിഭജിക്കുന്നു എകെ. പിന്നെ ബിവിഭജിക്കുന്നു ഒപ്പം കെ.

ശരിക്കും. അവകാശവാദ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് എകെഒപ്പം ബിഒരു പൊതു വിഭജനം ഉണ്ട് ബി. സിദ്ധാന്തം 1 പ്രകാരം, ബിഒരു പൊതു വിഭജനം ആയിരിക്കണം ബിഒപ്പം കെ. അതുകൊണ്ട് ബിവിഭജിക്കുന്നു കെ.

പരിണതഫലം 1 പൊതുവൽക്കരിക്കാം.

അനന്തരഫലം 3. 1. അക്കങ്ങൾ അനുവദിക്കുക എ 1 , എ 2 , എ 3 , ..., എ m ആണ് സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാനം ബി. പിന്നെ എ 1 എ 2 , എ 1 എ 2 · എ 3 , ..., എ 1 എ 2 എ 3 ··· എ m , ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പ്രൈം ആണ് ബി.

2. നമുക്ക് രണ്ട് വരി സംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകട്ടെ

ആദ്യ വരിയിലെ ഓരോ സംഖ്യയും രണ്ടാം നിരയിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുമായും പ്രധാനമാണ്. പിന്നെ ഉൽപ്പന്നം

ഈ ഓരോ സംഖ്യകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന അത്തരം സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

സംഖ്യയെ ഹരിച്ചാൽ എ 1, അപ്പോൾ അത് പോലെ തോന്നുന്നു സാ 1, എവിടെ എസ്കുറച്ച് നമ്പർ. എങ്കിൽ qസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനമാണ് എ 1 ഒപ്പം എ 2, പിന്നെ

എവിടെ എസ് 1 എന്നത് ചില പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. പിന്നെ

ആണ് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എ 1 ഒപ്പം എ 2 .

എ 1 ഒപ്പം എ 2 കോപ്രൈം, തുടർന്ന് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എ 1 ഒപ്പം എ 2:

ഈ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുക.

സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും ഗുണിതം എന്ന് മുകളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു എ 1 , എ 2 , എ 3 സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമായിരിക്കണം ε ഒപ്പം എ 3, തിരിച്ചും. സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം അനുവദിക്കുക ε ഒപ്പം എ 3 ആണ് ε 1 . കൂടാതെ, സംഖ്യകളുടെ ഒന്നിലധികം എ 1 , എ 2 , എ 3 , എ 4 സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമായിരിക്കണം ε 1 ഒപ്പം എ 4 . സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം അനുവദിക്കുക ε 1 ഒപ്പം എ 4 ആണ് ε 2. അങ്ങനെ, സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി എ 1 , എ 2 , എ 3 ,...,എ m ചില പ്രത്യേക സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ε n , നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ അക്കങ്ങൾ വരുമ്പോൾ എ 1 , എ 2 , എ 3 ,...,എ m coprime, തുടർന്ന് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എ 1 , എമുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ 2 ന് ഫോം (3) ഉണ്ട്. കൂടാതെ, മുതൽ എസംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് 3 പ്രൈം എ 1 , എ 2, പിന്നെ എ 3 ഒരു പ്രധാന ആപേക്ഷിക സംഖ്യയാണ് എ 1 · എ 2 (പരിഹാരം 1). അതിനാൽ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എ 1 ,എ 2 ,എ 3 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയാണ് എ 1 · എ 2 · എ 3 . സമാനമായ രീതിയിൽ വാദിച്ചുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന വാദങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു.

പ്രസ്താവന 1. കോപ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എ 1 , എ 2 , എ 3 ,...,എ m അവരുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് എ 1 · എ 2 · എ 3 ··· എഎം.

പ്രസ്താവന 2. ഓരോ കോപ്രൈം നമ്പറുകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന ഏത് സംഖ്യയും എ 1 , എ 2 , എ 3 ,...,എ m എന്നത് അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് എ 1 · എ 2 · എ 3 ··· എഎം.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണിതം എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യകൊണ്ട് ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്. ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം (LCM) ഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ സംഖ്യയും തുല്യമായി ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണ്. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം കണ്ടെത്താൻ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. കൂടാതെ, രണ്ടോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുള്ള ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ബാധകമായ മറ്റ് നിരവധി രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് LCM കണക്കാക്കാം.

പടികൾ

ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം

ഈ കണക്കുകൾ നോക്കൂ.ഇവിടെ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന രീതി 10-ൽ താഴെയുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകൾ നൽകുമ്പോൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. വലിയ സംഖ്യകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റൊരു രീതി ഉപയോഗിക്കുക.

• ഉദാഹരണത്തിന്, 5, 8 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുക. ഇവ ചെറിയ സംഖ്യകളാണ്, അതിനാൽ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കാം.

1. ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണിതം എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യകൊണ്ട് ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്. ഗുണന പട്ടികയിൽ ഒന്നിലധികം സംഖ്യകൾ കാണാം.

   • ഉദാഹരണത്തിന്, 5 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകൾ ഇവയാണ്: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി എഴുതുക.സംഖ്യകളുടെ രണ്ട് വരികൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ ഇത് ചെയ്യുക.

   • ഉദാഹരണത്തിന്, 8 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകൾ ഇവയാണ്: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64.

3. ഗുണിതങ്ങളുടെ രണ്ട് ശ്രേണിയിലും ദൃശ്യമാകുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക.ആകെ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിങ്ങൾ ഗുണിതങ്ങളുടെ നീണ്ട പരമ്പര എഴുതേണ്ടി വന്നേക്കാം. ഗുണിതങ്ങളുടെ രണ്ട് ശ്രേണിയിലും ദൃശ്യമാകുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതമാണ്.

   • ഉദാഹരണത്തിന്, 5, 8 എന്നിവയുടെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ 40 ആണ്. അതിനാൽ, 40 എന്നത് 5, 8 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഗുണിതമാണ്.

   പ്രൈം ഫാക്ടറൈസേഷൻ

   1. ഈ കണക്കുകൾ നോക്കൂ.ഇവിടെ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന രീതി 10-നേക്കാൾ വലുതായ രണ്ട് സംഖ്യകൾ നൽകുമ്പോൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. ചെറിയ സംഖ്യകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റൊരു രീതി ഉപയോഗിക്കുക.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 20, 84 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുക. ഓരോ സംഖ്യയും 10-ൽ കൂടുതലാണ്, അതിനാൽ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കാം.

   2. ആദ്യത്തെ നമ്പർ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുക.അതായത്, നിങ്ങൾ അത്തരം പ്രധാന സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ ലഭിക്കും. പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, അവയെ ഒരു സമത്വമായി എഴുതുക.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 2 × 10 = 20 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\mathbf (2) )\times 10=20)ഒപ്പം 2 × 5 = 10 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). അതിനാൽ, 20-ന്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ 2, 2, 5 എന്നീ സംഖ്യകളാണ്. അവയെ ഒരു പദപ്രയോഗമായി എഴുതുക: .

   3. രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക.നിങ്ങൾ ആദ്യ സംഖ്യയെ ഫാക്ടർ ചെയ്ത അതേ രീതിയിൽ തന്നെ ഇത് ചെയ്യുക, അതായത്, ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഈ സംഖ്യ ലഭിക്കുന്ന അത്തരം പ്രൈം നമ്പറുകൾ കണ്ടെത്തുക.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 2 × 42 = 84 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\mathbf (7) )\times 6=42)ഒപ്പം 3 × 2 = 6 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). അതിനാൽ, 84 എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ 2, 7, 3, 2 എന്നീ സംഖ്യകളാണ്. അവ ഒരു പദപ്രയോഗമായി എഴുതുക: .

   4. രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കും പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ എഴുതുക.ഒരു ഗുണന പ്രവർത്തനം പോലെയുള്ള ഘടകങ്ങൾ എഴുതുക. നിങ്ങൾ ഓരോ ഘടകങ്ങളും എഴുതുമ്പോൾ, രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളിലും (അക്കങ്ങളുടെ വിഘടനത്തെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിവരിക്കുന്ന എക്സ്പ്രഷനുകൾ) അതിനെ മറികടക്കുക.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും പൊതുവായ ഘടകം 2 ആണ്, അതിനാൽ എഴുതുക 2 × (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 2\ തവണ )രണ്ട് എക്‌സ്‌പ്രഷനുകളിലെയും 2-നെ മറികടക്കുക.
      • രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും പൊതുവായ ഘടകം 2 ന്റെ മറ്റൊരു ഘടകമാണ്, അതിനാൽ എഴുതുക 2 × 2 (\പ്രദർശന ശൈലി 2\തവണ 2)രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളിലും രണ്ടാമത്തെ 2 ക്രോസ് ചെയ്യുക.

   5. ഗുണന പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക.ഇവ രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളിലും കടന്നുപോകാത്ത ഘടകങ്ങളാണ്, അതായത്, രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കും പൊതുവായതല്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷനിൽ 20 = 2 × 2 × 5 (\പ്രദർശനശൈലി 20=2\തവണ 2\തവണ 5)രണ്ടും (2) പൊതുവായ ഘടകങ്ങളായതിനാൽ അവയെ മറികടക്കുന്നു. ഘടകം 5 മറികടന്നിട്ടില്ല, അതിനാൽ ഗുണന പ്രവർത്തനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുക: 2 × 2 × 5 (\പ്രദർശന ശൈലി 2\തവണ 2\തവണ 5)
      • എക്സ്പ്രഷനിൽ 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 84=2\തവണ 7\തവണ 3\തവണ 2)രണ്ട് ഡ്യൂസുകളും (2) പുറമേ കടന്നു. 7 ഉം 3 ഉം ഘടകങ്ങൾ മറികടന്നിട്ടില്ല, അതിനാൽ ഗുണന പ്രവർത്തനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുക: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 2\ തവണ 2\ തവണ 5\ തവണ 7\ തവണ 3).

   6. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം കണക്കാക്കുക.ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, എഴുതിയ ഗുണന പ്രവർത്തനത്തിലെ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 2\ തവണ 2\ തവണ 5\ തവണ 7\ തവണ 3=420). അതിനാൽ 20, 84 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം 420 ആണ്.

   പൊതുവായ വിഭജനങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

   1. ടിക്-ടാക്-ടോ ഗെയിമിനായി നിങ്ങളുടേത് പോലെ ഒരു ഗ്രിഡ് വരയ്ക്കുക.അത്തരമൊരു ഗ്രിഡിൽ രണ്ട് സമാന്തര രേഖകൾ കൂടിച്ചേർന്ന് (വലത് കോണിൽ) മറ്റ് രണ്ട് സമാന്തര രേഖകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഇത് മൂന്ന് വരികളും മൂന്ന് കോളങ്ങളും ഉണ്ടാക്കും (ഗ്രിഡ് # ചിഹ്നം പോലെ കാണപ്പെടുന്നു). ആദ്യ വരിയിലും രണ്ടാമത്തെ നിരയിലും ആദ്യ നമ്പർ എഴുതുക. ആദ്യ വരിയിലും മൂന്നാം നിരയിലും രണ്ടാമത്തെ നമ്പർ എഴുതുക.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 18-ന്റെയും 30-ന്റെയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുക. ആദ്യ വരിയിലും രണ്ടാമത്തെ നിരയിലും 18 എഴുതുക, ആദ്യ വരിയിലും മൂന്നാം നിരയിലും 30 എഴുതുക.

   2. രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കും പൊതുവായുള്ള വിഭജനം കണ്ടെത്തുക.ആദ്യ വരിയിലും ആദ്യ നിരയിലും ഇത് എഴുതുക. പ്രൈം ഡിവൈസറുകൾക്കായി നോക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, പക്ഷേ ഇത് ഒരു മുൻവ്യവസ്ഥയല്ല.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 18 ഉം 30 ഉം ഇരട്ട സംഖ്യകളാണ്, അതിനാൽ അവയുടെ പൊതു വിഭജനം 2 ആണ്. അതിനാൽ ആദ്യ വരിയിലും ആദ്യ നിരയിലും 2 എഴുതുക.

   3. ഓരോ സംഖ്യയും ആദ്യത്തെ വിഭജനം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.ഓരോ ഘടകവും അനുബന്ധ നമ്പറിന് കീഴിൽ എഴുതുക. രണ്ട് സംഖ്യകളെ ഹരിക്കുന്നതിന്റെ ഫലമാണ് ഘടകഭാഗം.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 18 ÷ 2 = 9 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 18\div 2=9), അതിനാൽ 18-ന് താഴെ 9 എഴുതുക.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 30\div 2=15), അതിനാൽ 30-ന് താഴെ 15 എഴുതുക.

   4. രണ്ട് ഘടകങ്ങൾക്കും പൊതുവായ ഒരു വിഭജനം കണ്ടെത്തുക.അത്തരം വിഭജനം ഇല്ലെങ്കിൽ, അടുത്ത രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുക. അല്ലെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ വരിയിലും ആദ്യ നിരയിലും വിഭജനം എഴുതുക.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 9 ഉം 15 ഉം 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ വരിയിലും ആദ്യ നിരയിലും 3 എഴുതുക.

   5. ഓരോ ഘടകത്തെയും രണ്ടാമത്തെ വിഭജനം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.ഓരോ ഡിവിഷൻ ഫലവും അനുബന്ധ ഘടകത്തിന് കീഴിൽ എഴുതുക.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 9 ÷ 3 = 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 9\div 3=3), അതിനാൽ 9-ന് താഴെ 3 എഴുതുക.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 15\div 3=5), അതിനാൽ 15-ന് താഴെ 5 എഴുതുക.

   6. ആവശ്യമെങ്കിൽ, അധിക സെല്ലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗ്രിഡ് സപ്ലിമെന്റ് ചെയ്യുക.ഘടകഭാഗങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു വിഭജനം ഉണ്ടാകുന്നത് വരെ മുകളിലുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുക.

   7. ഗ്രിഡിന്റെ ആദ്യ നിരയിലെയും അവസാന വരിയിലെയും നമ്പറുകൾ സർക്കിൾ ചെയ്യുക.തുടർന്ന് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്ത സംഖ്യകൾ ഒരു ഗുണന പ്രവർത്തനമായി എഴുതുക.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 2, 3 അക്കങ്ങൾ ആദ്യ നിരയിലും 3, 5 അക്കങ്ങൾ അവസാന വരിയിലുമാണ്, അതിനാൽ ഗുണന പ്രവർത്തനം ഇതുപോലെ എഴുതുക: 2 × 3 × 3 × 5 (\പ്രദർശനശൈലി 2\തവണ 3\തവണ 3\തവണ 5).

   8. സംഖ്യകളെ ഗുണിച്ചതിന്റെ ഫലം കണ്ടെത്തുക.നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം ഇത് കണക്കാക്കും.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 2\ തവണ 3\ തവണ 3\ തവണ 5=90). അതിനാൽ 18-ന്റെയും 30-ന്റെയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതം 90 ആണ്.

   യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗോരിതം

   1. ഡിവിഷൻ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പദങ്ങൾ ഓർക്കുക.ഡിവിഡന്റ് എന്നത് വിഭജിക്കപ്പെടുന്ന സംഖ്യയാണ്. വിഭജിക്കേണ്ട സംഖ്യയാണ് വിഭജനം. രണ്ട് സംഖ്യകളെ ഹരിക്കുന്നതിന്റെ ഫലമാണ് ഘടകഭാഗം. രണ്ട് സംഖ്യകൾ വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്ന സംഖ്യയാണ് ശേഷിക്കുന്നത്.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷനിൽ 15 ÷ 6 = 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 15\div 6=2)വിശ്രമം. 3:
        15 ആണ് വിഭജിക്കാവുന്നത്
        6 എന്നത് വിഭജനമാണ്
        2 സ്വകാര്യമാണ്
        3 ആണ് ബാക്കിയുള്ളത്.

എന്നാൽ പല സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും മറ്റ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാൽ തുല്യമായി ഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്:

സംഖ്യ 12, 1, 2, 3, 4, 6, 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു;

36 എന്ന സംഖ്യയെ 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

സംഖ്യയെ ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളെ (12-ന് ഇത് 1, 2, 3, 4, 6, 12 എന്നിങ്ങനെയാണ്) വിളിക്കുന്നത്. സംഖ്യ വിഭജനങ്ങൾ. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ വിഭജനം എനൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയെ ഹരിക്കുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് എഒരു തുമ്പും ഇല്ലാതെ. രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു സംയുക്തം .

12-ഉം 36-ഉം സംഖ്യകൾക്ക് പൊതുവായ വിഭജനങ്ങളുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇവയാണ് സംഖ്യകൾ: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ഈ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ വിഭജനം 12 ആണ്. ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും പൊതു വിഭജനം എഒപ്പം ബിനൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് സംഖ്യകളും ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യയാണ് എഒപ്പം ബി.

പൊതുവായ ഗുണിതംപല സംഖ്യകളെ ഈ ഓരോ സംഖ്യകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 9, 18, 45 എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് 180 ന്റെ ഒരു പൊതു ഗുണിതമുണ്ട്. എന്നാൽ 90, 360 എന്നിവയും അവയുടെ പൊതു ഗുണിതങ്ങളാണ്. എല്ലാ jcommon ഗുണിതങ്ങളിലും, എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഏറ്റവും ചെറിയ ഒന്ന് ഉണ്ടായിരിക്കും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് 90 ആണ്. ഈ സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു കുറഞ്ഞത്പൊതു ഗുണിതം (LCM).

LCM എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, അത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം (LCM). പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി:

സഹവാസം:

പ്രത്യേകിച്ചും, കോപ്രൈം നമ്പറുകൾ ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ:

രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം എംഒപ്പം എൻമറ്റെല്ലാ പൊതു ഗുണിതങ്ങളുടേയും വിഭജനമാണ് എംഒപ്പം എൻ. മാത്രമല്ല, പൊതുവായ ഗുണിതങ്ങളുടെ കൂട്ടം m,n LCM-നുള്ള ഗുണിതങ്ങളുടെ കൂട്ടവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു( m,n).

എന്നതിന്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടിക്സ് ചില സംഖ്യ-സിദ്ധാന്ത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം.

അതിനാൽ, ചെബിഷെവ് പ്രവർത്തനം. ഒപ്പം:

ലാൻഡൗ ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും ഗുണങ്ങളിൽ നിന്നും ഇത് പിന്തുടരുന്നു g(n).

പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ വിതരണ നിയമത്തിൽ നിന്ന് എന്താണ് പിന്തുടരുന്നത്.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം (LCM) കണ്ടെത്തുന്നു.

NOC( എ, ബി) പല തരത്തിൽ കണക്കാക്കാം:

1. ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം അറിയാമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് LCM-മായി അതിന്റെ ബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം:

2. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും കാനോനിക്കൽ വിഘടനം പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി അറിയപ്പെടട്ടെ:

എവിടെ p 1 ,...,p kവിവിധ അഭാജ്യ സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ d 1 ,...,d kഒപ്പം e 1 ,...,ekനോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് (അനുയോജ്യമായ പ്രൈം വിഘടനത്തിലല്ലെങ്കിൽ അവ പൂജ്യമാകാം).

തുടർന്ന് LCM ( എ,ബി) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, എൽസിഎം വിപുലീകരണത്തിൽ എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവ സംഖ്യാ വികാസങ്ങളിൽ ഒന്നിലെങ്കിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. എ, ബി, ഈ ഘടകത്തിന്റെ രണ്ട് എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിൽ ഏറ്റവും വലുത് എടുക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം:

നിരവധി സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ LCM-ന്റെ തുടർച്ചയായ നിരവധി കണക്കുകൂട്ടലുകളായി ചുരുക്കാം:

ഭരണം.സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയുടെ LCM കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

- സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക;

- ആവശ്യമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഏറ്റവും വലിയ വികാസം കൈമാറുക (നൽകിയവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം), തുടർന്ന് ആദ്യ സംഖ്യയിൽ സംഭവിക്കാത്തതോ അതിലുള്ളതോ ആയ മറ്റ് സംഖ്യകളുടെ വികാസത്തിൽ നിന്ന് ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക. ഒരു ചെറിയ എണ്ണം തവണ;

പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ LCM ആയിരിക്കും.

ഏതെങ്കിലും രണ്ടോ അതിലധികമോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് അവരുടേതായ LCM ഉണ്ട്. സംഖ്യകൾ പരസ്പരം ഗുണിതമല്ലെങ്കിലോ വികാസത്തിൽ സമാന ഘടകങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിലോ, അവയുടെ LCM ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

28 (2, 2, 7) എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ 3 (സംഖ്യ 21) കൊണ്ട് അനുബന്ധമായി നൽകി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം (84) 21 ഉം 28 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയായിരിക്കും.

ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയായ 30-ന്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ 25-ന്റെ 5-ന്റെ ഘടകം കൊണ്ട് അനുബന്ധമായി നൽകി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം 150 ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയായ 30-നേക്കാൾ വലുതാണ്, കൂടാതെ നൽകിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളാലും ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാനാകും. ഇത് സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ ഉൽപ്പന്നമാണ് (150, 250, 300...) നൽകിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളും ഗുണിതങ്ങളാണ്.

2,3,11,37 സംഖ്യകൾ പ്രൈം ആണ്, അതിനാൽ അവയുടെ LCM നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഭരണം. പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ LCM കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഈ സംഖ്യകളെല്ലാം ഒരുമിച്ച് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

മറ്റൊരു ഓപ്ഷൻ:

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള നിരവധി സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം (LCM) കണ്ടെത്താൻ:

1) ഓരോ സംഖ്യയെയും അതിന്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെയും ശക്തികൾ എഴുതുക:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) ഈ ഓരോ സംഖ്യകളുടെയും എല്ലാ പ്രൈം ഡിവൈസറുകളും (മൾട്ടിപ്ലയറുകൾ) എഴുതുക;

4) ഈ സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ വിപുലീകരണങ്ങളിലും കാണപ്പെടുന്ന അവയിൽ ഓരോന്നിന്റെയും ഏറ്റവും വലിയ ബിരുദം തിരഞ്ഞെടുക്കുക;

5) ഈ ശക്തികളെ ഗുണിക്കുക.

ഉദാഹരണം. സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്തുക: 168, 180, 3024.

പരിഹാരം. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

എല്ലാ പ്രൈം ഡിവൈസറുകളുടെയും ഏറ്റവും വലിയ ശക്തികൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുകയും അവയെ ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

"മൾട്ടിപ്പിൾ നമ്പറുകൾ" എന്ന വിഷയം ഒരു സമഗ്ര സ്കൂളിന്റെ അഞ്ചാം ക്ലാസ്സിൽ പഠിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ എഴുത്തും വാക്കാലുള്ള കഴിവുകളും മെച്ചപ്പെടുത്തുക എന്നതാണ് ഇതിന്റെ ലക്ഷ്യം. ഈ പാഠത്തിൽ, പുതിയ ആശയങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു - "മൾട്ടിപ്പിൾ നമ്പറുകൾ", "ഡിവൈസറുകൾ", ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ വിഭജനങ്ങളും ഗുണിതങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതികത, വിവിധ രീതികളിൽ LCM കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവ് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഈ വിഷയം വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം (എൽസിഎം) കണക്കാക്കി നിങ്ങൾ പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

A യുടെ ഗുണിതം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, അത് ശേഷിക്കാതെ A കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും അതിന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ട്. ഇത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു ഗുണിതം സംഖ്യയേക്കാൾ കുറവായിരിക്കരുത്.

125 എന്ന സംഖ്യ 5-ന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. 125-നെ ബാക്കിയില്ലാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതെ എന്നാണ് ഉത്തരം.

ചെറിയ സംഖ്യകൾക്ക് ഈ രീതി ബാധകമാണ്.

LCM കണക്കാക്കുമ്പോൾ, പ്രത്യേക കേസുകൾ ഉണ്ട്.

1. നിങ്ങൾക്ക് 2 സംഖ്യകൾക്കായി ഒരു പൊതു ഗുണിതം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, 80, 20), അവയിലൊന്ന് (80) മറ്റൊന്ന് (20) കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യ (80) ഏറ്റവും ചെറുതാണ് ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഒന്നിലധികം.

LCM (80, 20) = 80.

2. രണ്ടെണ്ണത്തിന് ഒരു പൊതു വിഭജനം ഇല്ലെങ്കിൽ, അവരുടെ LCM ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

LCM (6, 7) = 42.

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക. 42 മായി ബന്ധപ്പെട്ട് 6 ഉം 7 ഉം വിഭജനങ്ങളാണ്. അവ ഒരു ഗുണിതത്തെ ശേഷിക്കാതെ വിഭജിക്കുന്നു.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, 6 ഉം 7 ഉം ജോഡി വിഭജനങ്ങളാണ്. അവരുടെ ഉൽപ്പന്നം ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഒന്നിലധികം സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമാണ് (42).

ഒരു സംഖ്യ സ്വയം അല്ലെങ്കിൽ 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ (3:1=3; 3:3=1) അതിനെ പ്രൈം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ബാക്കിയുള്ളവയെ കോമ്പോസിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണത്തിൽ, 42 നെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം 9 ഒരു വിഭജനമാണോ എന്ന് നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

42:9=4 (ബാക്കി 6)

ഉത്തരം: ഉത്തരത്തിന് ശേഷിക്കുന്നതിനാൽ 9 42 ന്റെ ഹരിക്കുന്നതല്ല.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന സംഖ്യയാണ് വിഭജനം എന്നത് ഗുണിതത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഗുണിതം ആ സംഖ്യയാൽ ഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം എഒപ്പം ബി, അവയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഗുണിതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം തന്നെ നൽകും എഒപ്പം ബി.

അതായത്: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾക്കുള്ള പൊതു ഗുണിതങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 168, 180, 3024 എന്നതിനായുള്ള LCM കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾ ഈ സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു, അവയെ ശക്തികളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി എഴുതുക:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹x7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

LCM എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം "മൾട്ടിപ്പിൾ" എന്ന പദത്തിന്റെ അർത്ഥം നിർണ്ണയിക്കണം.

ശേഷിക്കാതെ A കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് A യുടെ ഗുണിതം. അങ്ങനെ, 15, 20, 25, മുതലായവ 5 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായി കണക്കാക്കാം.

ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയുടെ പരിമിതമായ എണ്ണം ഹരിക്കലുകൾ ഉണ്ടാകാം, എന്നാൽ അനന്തമായ ഗുണിതങ്ങൾ ഉണ്ട്.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു ഗുണിതം അവകൊണ്ട് അവശിഷ്ടങ്ങളില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്.

സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം (എൽസിഎം) (രണ്ടോ മൂന്നോ അതിലധികമോ) ഈ സംഖ്യകളാൽ തുല്യമായി ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

NOC കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി രീതികൾ ഉപയോഗിക്കാം.

ചെറിയ സംഖ്യകൾക്ക്, ഈ സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളും ഒരു വരിയിൽ എഴുതുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അവയിൽ പൊതുവായ ഒന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് വരെ. രേഖയിൽ K എന്ന വലിയ അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ചാണ് മൾട്ടിപ്പിൾസ് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 4 ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ ഇതുപോലെ എഴുതാം:

കെ(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

കെ(6) = (12, 18, 24, ...)

അതിനാൽ, 4, 6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതം 24 എന്ന സംഖ്യയാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ഈ എൻട്രി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടപ്പിലാക്കുന്നു:

LCM(4, 6) = 24

സംഖ്യകൾ വലുതാണെങ്കിൽ, മൂന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുക, LCM കണക്കാക്കാൻ മറ്റൊരു മാർഗം ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

ചുമതല പൂർത്തിയാക്കാൻ, നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു വരിയിലെ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യകളുടെ വികാസം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്, അതിനു താഴെ - ബാക്കിയുള്ളവ.

ഓരോ സംഖ്യയുടെയും വികാസത്തിൽ, വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 50, 20 എന്നീ സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാം.

ചെറിയ സംഖ്യയുടെ വികാസത്തിൽ, ആദ്യത്തെ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയുടെ വികാസത്തിൽ ഇല്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ അടിവരയിടണം, തുടർന്ന് അവയെ അതിൽ ചേർക്കുക. അവതരിപ്പിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു ഡ്യൂസ് കാണുന്നില്ല.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് 20, 50 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണക്കാക്കാം.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

അങ്ങനെ, വലിയ സംഖ്യയുടെ വിഘടനത്തിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത വലിയ സംഖ്യയുടെയും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെയും പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതമായിരിക്കും.

മൂന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അവയെല്ലാം മുമ്പത്തെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കണം.

ഉദാഹരണമായി, 16, 24, 36 സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

അങ്ങനെ, പതിനാറിന്റെ വിഘടനത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് ഡ്യൂസുകൾ മാത്രം ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ ഫാക്‌ടറൈസേഷനിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല (ഒന്ന് ഇരുപത്തിനാലിന്റെ വിഘടനത്തിലാണ്).

അതിനാൽ, അവ ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ വിഘടനത്തിലേക്ക് ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക കേസുകളുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ മറ്റൊന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകളിൽ വലുത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, പന്ത്രണ്ടിന്റെയും ഇരുപത്തിനാലിന്റെയും എൻ‌ഒ‌സികൾ ഇരുപത്തിനാലായിരിക്കും.

ഒരേ ഡിവൈസറുകൾ ഇല്ലാത്ത കോപ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ LCM അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, LCM(10, 11) = 110.