ഗ്രാഫിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും പ്ലോട്ടിംഗിന്റെയും പൂർണ്ണ പരിശോധന. സമ്പൂർണ്ണ പ്രവർത്തന പഠന ഉദാഹരണം ഓൺലൈനിൽ

വേണ്ടി മുഴുവൻ ഗവേഷണംപ്രവർത്തനവും അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതും, ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു:

1) ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക;

2) പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെയും വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ);

3) അനന്തതയിലെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവം അന്വേഷിക്കുക, തിരശ്ചീനവും ചരിഞ്ഞതുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക;

4) പാരിറ്റി (വിചിത്രത), ആനുകാലികത (ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്) എന്നിവയ്ക്കുള്ള ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുക;

5) ഫംഗ്ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെ തീവ്രതയും ഇടവേളകളും കണ്ടെത്തുക;

6) കോൺവെക്സിറ്റി ഇടവേളകളും ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളും നിർണ്ണയിക്കുക;

7) കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, സാധ്യമെങ്കിൽ, ഗ്രാഫ് വ്യക്തമാക്കുന്ന ചില അധിക പോയിന്റുകൾ.

ഫംഗ്ഷന്റെ പഠനം അതിന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ നിർമ്മാണത്തോടൊപ്പം ഒരേസമയം നടത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം 9ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

1. നിർവചനത്തിന്റെ വ്യാപ്തി:;

2. പോയിന്റുകളിൽ പ്രവർത്തനം നിർത്തലാക്കുന്നു
,
;

ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കുന്നു.

;
,
─ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട്.

;
,
─ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട്.

3. ചരിഞ്ഞതും തിരശ്ചീനവുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കുന്നു.

ഋജുവായത്
─ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട്, എങ്കിൽ
,
.

,
.

ഋജുവായത്
─ തിരശ്ചീന ലക്ഷണം.

4. ഫംഗ്ഷൻ കാരണം തുല്യമാണ്
. ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗ്രാഫിന്റെ സമമിതിയെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പാരിറ്റി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

5. ഫംഗ്‌ഷന്റെ മോണോടോണിസിറ്റി ഇടവേളകളും തീവ്രതയും കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം, അതായത്. ഡെറിവേറ്റീവ് 0 ആയതോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിന്റുകൾ:
;
. ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് പോയിന്റുണ്ട്
;

. ഈ പോയിന്റുകൾ മുഴുവൻ യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തെയും നാല് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു. നമുക്ക് അടയാളങ്ങൾ നിർവചിക്കാം അവയിൽ ഓരോന്നിനും.

ഇടവേളകളിൽ (-∞; -1), (-1; 0) പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, ഇടവേളകളിൽ (0; 1) (1; +∞) ─ കുറയുന്നു. ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ
ഡെറിവേറ്റീവ്, പ്ലസ് മുതൽ മൈനസ് വരെയുള്ള അടയാളം മാറ്റുന്നു, അതിനാൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്
.

6. കോൺവെക്സിറ്റിയുടെയും ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം 0 ആണ്, അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.
,
,

പോയിന്റുകൾ
ഒപ്പം
യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തെ മൂന്ന് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക. നമുക്ക് അടയാളം നിർവചിക്കാം ഓരോ ഇടവേളയിലും.

അങ്ങനെ, ഇടവേളകളിൽ വക്രം
ഒപ്പം
കുത്തനെ താഴേക്ക്, ഇടവേളയിൽ (-1;1) മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്; ഫംഗ്ഷൻ പോയിന്റുകളിലായതിനാൽ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല
ഒപ്പം
നിർണയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.

7. അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

അച്ചുതണ്ട് കൊണ്ട്
ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പോയിന്റിലും (0; -1) അച്ചുതണ്ടിലും വിഭജിക്കുന്നു
ഗ്രാഫ് വിഭജിക്കുന്നില്ല, കാരണം ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 1 ─ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ്

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തിന്റെ പ്രയോഗം. ഇലാസ്തികത പ്രവർത്തനം

സാമ്പത്തിക പ്രക്രിയകൾ പഠിക്കുന്നതിനും മറ്റ് പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത എന്ന ആശയം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.ഇലാസ്തികത പ്രവർത്തനം
ഫംഗ്ഷന്റെ ആപേക്ഷിക വർദ്ധനവിന്റെ അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു വേരിയബിളിന്റെ ആപേക്ഷിക ഇൻക്രിമെന്റിലേക്ക് ചെയ്തത്
, (VII)

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഇലാസ്തികത, ഫംഗ്‌ഷൻ ഏകദേശം എത്ര ശതമാനം മാറുമെന്ന് കാണിക്കുന്നു
സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ മാറുമ്പോൾ 1% പ്രകാരം.

ഡിമാൻഡിന്റെയും ഉപഭോഗത്തിന്റെയും വിശകലനത്തിൽ ഇലാസ്തികത ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഡിമാൻഡിന്റെ ഇലാസ്തികത (കേവല മൂല്യത്തിൽ)
, എങ്കിൽ ഡിമാൻഡ് ഇലാസ്റ്റിക് ആയി കണക്കാക്കുന്നു
─ ന്യൂട്രൽ എങ്കിൽ
─ വിലയുമായി (അല്ലെങ്കിൽ വരുമാനം) ആപേക്ഷിക ഇലാസ്റ്റിക്

ഉദാഹരണം 10പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഇലാസ്തികത കണക്കാക്കുക
ഇലാസ്തികത സൂചികയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക = 3.

പരിഹാരം: ഫോർമുല (VII) അനുസരിച്ച്, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഇലാസ്തികത:

അപ്പോൾ x=3 ആകട്ടെ
.ഇതിനർത്ഥം സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ 1% വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആശ്രിത വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം 1.42% വർദ്ധിക്കും.

ഉദാഹരണം 11ആവശ്യം പ്രവർത്തിക്കട്ടെ വില സംബന്ധിച്ച് പോലെ തോന്നുന്നു
, എവിടെ ─ സ്ഥിരമായ ഗുണകം. വില x = 3 den എന്നതിൽ ഡിമാൻഡ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത സൂചകത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക. യൂണിറ്റുകൾ

പരിഹാരം: ഫോർമുല (VII) ഉപയോഗിച്ച് ഡിമാൻഡ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത കണക്കാക്കുക

വിശ്വസിക്കുന്നു
പണ യൂണിറ്റുകൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
. ഇതിനർത്ഥം ഒരു വിലയിൽ എന്നാണ്
പണ യൂണിറ്റുകൾ വിലയിലെ 1% വർദ്ധനവ് ഡിമാൻഡിൽ 6% കുറയുന്നതിന് കാരണമാകും, അതായത്. ആവശ്യം ഇലാസ്റ്റിക് ആണ്.

ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ജോലികളിൽ ഒന്ന് ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ്വികസനമാണ് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾപ്രവർത്തന സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങൾ.

ഫംഗ്‌ഷൻ y=f(x) ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ ഇടവേളയിൽ (a,b) 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=f(x) (f"(x)0) വർദ്ധിക്കുന്നു. y=f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ സെഗ്‌മെന്റിൽ തുടർച്ചയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ ഇടവേളയിൽ (a,b) 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=f(x) (f"(x)0 ആയി കുറയുന്നു. )

ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുകയോ കൂടുകയോ ചെയ്യാത്ത ഇടവേളകളെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം മാറുന്ന നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ പോയിന്റുകളിൽ മാത്രമേ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനത മാറാൻ കഴിയൂ. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകളെ ക്രിട്ടിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 1 (ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് പര്യാപ്തമായ ആദ്യ വ്യവസ്ഥ).

x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കട്ടെ, കൂടാതെ ഒരു അയൽപക്കം δ>0 ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, അതായത്, പ്രവർത്തനം ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായും ഇടവേളയിൽ (x 0 -δ,x 0)u(x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , കൂടാതെ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും ഒരു സ്ഥിരമായ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു. x 0 -δ,x 0), (x 0 , x 0 +δ) എന്നിവയിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്‌തമാണെങ്കിൽ, x 0 ഒരു എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റാണ്, അവ പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, x 0 ഒരു എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റല്ല . കൂടാതെ, x0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറ്റുന്നുവെങ്കിൽ (x 0 f"(x)>0 ന്റെ ഇടതുവശത്ത് തൃപ്തമായാൽ, x 0 ആണ് പരമാവധി പോയിന്റ്; ഡെറിവേറ്റീവ് മാറുകയാണെങ്കിൽ മൈനസ് മുതൽ പ്ലസ് വരെ (x 0 എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്ത f"(x) ന്റെ വലതുവശത്ത്<0, то х 0 - точка минимума.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി, മിനിമം പോയിന്റുകളെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ എന്നും ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി, മിനിമം എന്നിവയെ അതിന്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2 (ഒരു പ്രാദേശിക എക്സ്ട്രീമിന്റെ ആവശ്യമായ അടയാളം).

y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് നിലവിലെ x=x 0-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ f'(x 0)=0 അല്ലെങ്കിൽ f'(x 0) നിലവിലില്ല.
ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകളിൽ, അതിന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് ഓക്‌സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്.

ഒരു എക്സ്ട്രീമിനായുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
2) നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അതായത്. ഫംഗ്ഷൻ തുടർച്ചയുള്ളതും ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമോ അല്ലാത്തതോ ആയ പോയിന്റുകൾ.
3) ഓരോ പോയിന്റിന്റെയും അയൽപക്കം പരിഗണിക്കുക, ഈ പോയിന്റിന്റെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം പരിശോധിക്കുക.
4) അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക; ഇതിനായി, നിർണായക പോയിന്റുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഉചിതമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുക.

ഉദാഹരണം 18. ഒരു എക്സ്ട്രീമിനായി y=x 3 -9x 2 +24x ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുക

പരിഹാരം.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ x 1 =2, x 2 =4 കണ്ടെത്തുന്നു. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഡെറിവേറ്റീവ് എല്ലായിടത്തും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു; ഇതിനർത്ഥം കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഒഴികെ, മറ്റ് നിർണായക പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല.
3) y"=3(x-2)(x-4) എന്ന ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നം ചിത്രം 1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഇടവേളയെ ആശ്രയിച്ച് മാറുന്നു. x=2 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറുന്നു, കൂടാതെ x=4 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ - മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസ് വരെ.
4) പോയിന്റ് x=2-ൽ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി y max =20, പോയിന്റ് x=4 - കുറഞ്ഞത് y മിനിറ്റ് =16.

സിദ്ധാന്തം 3. (ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ).

f"(x 0) എന്നും x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ f""(x 0) ഉണ്ടെന്നും അനുവദിക്കുക. അപ്പോൾ f""(x 0)>0 ആണെങ്കിൽ, x 0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്, എങ്കിൽ f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

ഒരു സെഗ്‌മെന്റിൽ, y=f(x) ഫംഗ്‌ഷന് ഏറ്റവും ചെറിയ (y ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്) അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും വലിയ (y ഏറ്റവും ഉയർന്ന) മൂല്യത്തിൽ എത്താൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഇടവേളയിൽ (a;b) കിടക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകളിൽ അല്ലെങ്കിൽ സെഗ്മെന്റിന്റെ അറ്റങ്ങൾ.

സെഗ്‌മെന്റിൽ y=f(x) എന്ന തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1) f"(x) കണ്ടെത്തുക.
2) f"(x)=0 അല്ലെങ്കിൽ f"(x) നിലവിലില്ലാത്ത പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തി അവയിൽ നിന്ന് സെഗ്‌മെന്റിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്നവ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
3) ഘട്ടം 2-ൽ ലഭിച്ച പോയിന്റുകളിലും സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തും y=f(x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക, അവയിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതും തിരഞ്ഞെടുക്കുക: അവ യഥാക്രമം ഏറ്റവും വലുത് (y) ഇടവേളയിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതും (y ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്) മൂല്യങ്ങളും.

ഉദാഹരണം 19. സെഗ്‌മെന്റിൽ y=x 3 -3x 2 -45+225 എന്ന തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

1) നമുക്ക് സെഗ്മെന്റിൽ y"=3x 2 -6x-45 ഉണ്ട്
2) എല്ലാ x-നും y" എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട്. നമുക്ക് y"=0 എന്ന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം; നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക
സെഗ്‌മെന്റിൽ x=5 എന്ന പോയിന്റ് മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ. ഫംഗ്‌ഷന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലുത് 225 ആണ്, ഏറ്റവും ചെറിയത് 50 ആണ്. അതിനാൽ, y max = 225, y മിനിറ്റ് = 50.

കോൺവെക്സിറ്റിയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം

ചിത്രം രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്, രണ്ടാമത്തേത് താഴേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.

y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായും (a;b) ഇടവേളയിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതുമാണ്, axb-ന്, അതിന്റെ ഗ്രാഫ്, axb-നേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ലെങ്കിൽ (താഴ്ന്നതല്ല) ഈ ഇടവേളയിൽ കോൺവെക്സ് മുകളിലേക്ക് (താഴേക്ക്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഏത് പോയിന്റിലും വരച്ച ടാൻജെന്റ് M 0 (x 0 ;f(x 0)), ഇവിടെ axb.

സിദ്ധാന്തം 4. y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഇന്റീരിയർ പോയിന്റിൽ x എന്ന രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്ത് തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ചെയ്യട്ടെ. അസമത്വം f""(x)0 ഇടവേളയിൽ (a;b) പിടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ താഴോട്ട് കുത്തനെയുള്ളതാണ്; അസമത്വം f""(x)0 ഇടവേളയിൽ (a;b) പിടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ മുകളിലേയ്ക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.

സിദ്ധാന്തം 5. y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഇടവേളയിൽ (a;b) രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് x 0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ചിഹ്നം മാറുകയാണെങ്കിൽ, M(x 0 ;f(x 0)) ആണ് ഒരു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ്.

ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം:

1) f""(x) നിലവിലില്ലാത്തതോ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതോ ആയ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
2) ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ കാണുന്ന ഓരോ പോയിന്റിന്റെയും ഇടത്തും വലത്തിലുമുള്ള f""(x) ചിഹ്നം പരിശോധിക്കുക.
3) സിദ്ധാന്തം 4 അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുക.

ഉദാഹരണം 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകളും ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. വ്യക്തമായും, f"(x)=0 എപ്പോൾ x 1 =0, x 2 =1. x=0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തെ മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറ്റുന്നു, എന്നാൽ x=1 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ അത് ചിഹ്നം മാറില്ല. ഇതിനർത്ഥം x=0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് (y മിനിറ്റ് =12), കൂടാതെ പോയിന്റ് x=1-ൽ എക്സ്ട്രീം ഇല്ല. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു . രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് x 1 =1, x 2 =1/3 എന്ന പോയിന്റുകളിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറുന്നു: കിരണത്തിൽ (-∞;) നമുക്ക് f""(x)>0 ഉണ്ട്, ഇടവേളയിൽ (;1) നമുക്ക് f""(x) ഉണ്ട്.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. അതിനാൽ, x= എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റാണ് (കോൺവെക്‌സിറ്റിയിൽ നിന്ന് താഴേക്കുള്ള കോൺവെക്‌സിറ്റി മുകളിലേയ്‌ക്കുള്ള പരിവർത്തനം) കൂടാതെ x=1 എന്നത് ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റുമാണ് (കൺവെക്‌സിറ്റിയിൽ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് കോൺവെക്‌സിറ്റി താഴേക്കുള്ള പരിവർത്തനം). x= എങ്കിൽ y=; എങ്കിൽ, x=1, y=13.

ഒരു ഗ്രാഫിന്റെ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

I. y=f(x) x → a ആണെങ്കിൽ, x=a ഒരു ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.
II. y=f(x) x → ∞ അല്ലെങ്കിൽ x → -∞ ആണെങ്കിൽ, y=A ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.
III. ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
1) കണക്കാക്കുക. പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ b ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=b ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോറ്റാണ്; എങ്കിൽ, രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
2) കണക്കാക്കുക. ഈ പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, ലക്ഷണമില്ല; അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ k ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മൂന്നാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
3) കണക്കാക്കുക. ഈ പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, ലക്ഷണമില്ല; അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ b ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
4) ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടിന്റെ സമവാക്യം എഴുതുക y=kx+b.

ഉദാഹരണം 21: ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തുക

1)
2)
3)
4) ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടിന്റെ സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനും അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുമുള്ള സ്കീം

I. ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ കണ്ടെത്തുക.
II. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
III. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക.
IV. സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
വി. നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
VI. ഓക്സിലറി ഫിഗർ ഉപയോഗിച്ച്, ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അടയാളം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക. വർദ്ധിച്ചുവരുന്നതും കുറയുന്നതുമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മേഖലകൾ നിർണ്ണയിക്കുക, ഗ്രാഫിന്റെ കോൺവെക്‌സിറ്റിയുടെ ദിശ, തീവ്രതയുടെ പോയിന്റുകൾ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
VII. 1-6 ഖണ്ഡികകളിൽ നടത്തിയ ഗവേഷണം കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

ഉദാഹരണം 22: മുകളിലുള്ള ഡയഗ്രം അനുസരിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക

പരിഹാരം.
I. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ x=1 ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.
II. x 2 +1=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലാത്തതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഓക്‌സ് അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകളില്ല, പക്ഷേ Oy അക്ഷത്തെ ബിന്ദുവിൽ (0;-1) വിഭജിക്കുന്നു.
III. അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം നമുക്ക് വ്യക്തമാക്കാം. x=1 എന്ന ഡിസ്‌കണ്ടിന്യുറ്റി പോയിന്റിന് സമീപമുള്ള ഫംഗ്‌ഷന്റെ സ്വഭാവം നമുക്ക് പഠിക്കാം. y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+ ആയതിനാൽ, x=1 എന്ന നേർരേഖ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോറ്റാണ്.
x → +∞(x → -∞) ആണെങ്കിൽ y → +∞(y → -∞); അതിനാൽ, ഗ്രാഫിന് ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടില്ല. കൂടാതെ, പരിധികളുടെ അസ്തിത്വത്തിൽ നിന്ന്

x 2 -2x-1=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് രണ്ട് എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കും:
x 1 =1-√2, x 2 =1+√2

വി. നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നു:

f""(x) അപ്രത്യക്ഷമാകാത്തതിനാൽ, നിർണായക പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല.
VI. ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അടയാളം നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. പരിഗണിക്കേണ്ട സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ: x 1 =1-√2, x 2 =1+√2, ഫംഗ്‌ഷന്റെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നെ ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) കൂടാതെ (1+√2;+∞).

ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും, ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു: ആദ്യത്തേതിൽ - പ്ലസ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ - മൈനസ്, മൂന്നാമത്തേത് - പ്ലസ്. ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ക്രമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതപ്പെടും: +,-,+.
ഫംഗ്‌ഷൻ (-∞;1-√2)-ൽ കൂടുകയും (1-√2;1+√2)-ൽ കുറയുകയും (1+√2;+∞)-ൽ വീണ്ടും വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ: പരമാവധി x=1-√2, ഒപ്പം f(1-√2)=2-2√2 കുറഞ്ഞത് x=1+√2, f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1)-ൽ ഗ്രാഫ് മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്, (1;+∞)-ൽ അത് താഴോട്ട് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.
VII നമുക്ക് ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം

VIII ലഭിച്ച ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു

ഞങ്ങളോടൊപ്പം ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാനും നിർമ്മിക്കാനും ഇന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പഠിച്ച ശേഷം, ഇത്തരത്തിലുള്ള ജോലി പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ദീർഘനേരം വിയർക്കേണ്ടതില്ല. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പഠിക്കുകയും നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് എളുപ്പമല്ല; കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ പരമാവധി ശ്രദ്ധയും കൃത്യതയും ആവശ്യമുള്ള ഒരു വലിയ സൃഷ്ടിയാണിത്. മെറ്റീരിയൽ മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അതേ പ്രവർത്തനം ഘട്ടം ഘട്ടമായി പഠിക്കുകയും ഞങ്ങളുടെ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും വിശദീകരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അതിശയകരവും ആകർഷകവുമായ ലോകത്തിലേക്ക് സ്വാഗതം! പോകൂ!

ഡൊമെയ്ൻ

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നതിനും ഗ്രാഫ് ചെയ്യുന്നതിനും, നിങ്ങൾ നിരവധി നിർവചനങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രധാന (അടിസ്ഥാന) ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഫംഗ്ഷൻ. മാറ്റങ്ങൾ സമയത്ത് നിരവധി വേരിയബിളുകൾ (രണ്ടോ മൂന്നോ അതിലധികമോ) തമ്മിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തെ ഇത് പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ സെറ്റുകളുടെ ആശ്രിതത്വവും കാണിക്കുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത പരിധിയിലുള്ള മാറ്റങ്ങളുള്ള രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ നമുക്കുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. അതിനാൽ, y എന്നത് x ന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, രണ്ടാമത്തെ വേരിയബിളിന്റെ ഓരോ മൂല്യവും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഒരു മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വേരിയബിൾ y ആശ്രിതമാണ്, അതിനെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. x, y എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഈ ആശ്രിതത്വത്തിന്റെ കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് പറയുന്നത് പതിവാണ്. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് എന്താണ്? ഇത് കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിലെ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, ഇവിടെ ഓരോ x മൂല്യവും ഒരു y മൂല്യവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും - നേർരേഖ, ഹൈപ്പർബോള, പരവലയം, സൈൻ വേവ് തുടങ്ങിയവ.

ഗവേഷണമില്ലാതെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് എങ്ങനെ ഗവേഷണം നടത്താമെന്നും നിർമ്മിക്കാമെന്നും ഇന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും. പഠന സമയത്ത് കുറിപ്പുകൾ എടുക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഇത് ചുമതലയെ നേരിടാൻ വളരെ എളുപ്പമാക്കും. ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ ഗവേഷണ പദ്ധതി:

1. ഡൊമെയ്ൻ.
2. തുടർച്ച.
3. ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ വിചിത്രം.
4. ആനുകാലികത.
5. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ.
6. പൂജ്യങ്ങൾ.
7. സ്ഥിരത അടയാളപ്പെടുത്തുക.
8. കൂടുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.
9. അതിരുകൾ.
10. കൺവെക്‌സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും.

ആദ്യ പോയിന്റിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം. നമുക്ക് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്താം, അതായത്, ഏത് ഇടവേളകളിൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം നിലവിലുണ്ട്: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, x ന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷൻ നിലവിലുണ്ട്, അതായത്, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ R ന് തുല്യമാണ്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം xÎR.

തുടർച്ച

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ നിർത്തലാക്കൽ പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ചലന നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിന്റെ ഫലമായി "തുടർച്ച" എന്ന പദം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. എന്താണ് അനന്തം? സ്ഥലം, സമയം, ചില ഡിപൻഡൻസികൾ (ചലനപ്രശ്നങ്ങളിൽ S, t എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ ആശ്രിതത്വം ഒരു ഉദാഹരണമാണ്), ചൂടായ വസ്തുവിന്റെ താപനില (വെള്ളം, ഫ്രൈയിംഗ് പാൻ, തെർമോമീറ്റർ മുതലായവ), തുടർച്ചയായ ഒരു ലൈൻ (അതായത് ഒന്ന് ഷീറ്റ് പെൻസിലിൽ നിന്ന് ഉയർത്താതെ തന്നെ വരയ്ക്കാം).

ഒരു ഗ്രാഫ് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തകർന്നില്ലെങ്കിൽ തുടർച്ചയായി കണക്കാക്കുന്നു. അത്തരമൊരു ഗ്രാഫിന്റെ ഏറ്റവും വ്യക്തമായ ഉദാഹരണം ഒരു sinusoid ആണ്, ഈ വിഭാഗത്തിലെ ചിത്രത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. നിരവധി നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ x0 തുടർച്ചയായി തുടരും:

• ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു;
• ഒരു പോയിന്റിലെ വലത്, ഇടത് പരിധികൾ തുല്യമാണ്;
• പരിധി x0 പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു നിബന്ധനയെങ്കിലും പാലിച്ചില്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം പരാജയപ്പെടുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ ബ്രേക്ക് ചെയ്യുന്ന പോയിന്റുകളെ സാധാരണയായി ബ്രേക്ക് പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗ്രാഫിക്കായി പ്രദർശിപ്പിക്കുമ്പോൾ "തകരുന്ന" ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാണ്: y=(x+4)/(x-3). മാത്രമല്ല, x = 3 എന്ന പോയിന്റിൽ y നിലവിലില്ല (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമായതിനാൽ).

ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) ഗ്രാഫ് തുടർച്ചയായിരിക്കുമെന്നതിനാൽ എല്ലാം ലളിതമായി മാറി.

ഇരട്ട, വിചിത്രം

ഇപ്പോൾ പാരിറ്റിക്കുള്ള പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കുക. ആദ്യം, ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം. x (മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന്) വേരിയബിളിന്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും f(-x)=f(x) എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒന്നാണ് ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ. ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

• മൊഡ്യൂൾ x (ഗ്രാഫ് ഒരു ഡാവ് പോലെ കാണപ്പെടുന്നു, ഗ്രാഫിന്റെ ഒന്നും രണ്ടും പാദങ്ങളുടെ ബൈസെക്ടർ);
• x സ്ക്വയർ (പരവല);
• കോസൈൻ x (കൊസൈൻ).

ഈ ഗ്രാഫുകളെല്ലാം y-അക്ഷവുമായി (അതായത്, y-അക്ഷം) കാണുമ്പോൾ സമമിതിയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അപ്പോൾ എന്താണ് ഒരു വിചിത്ര പ്രവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്? വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഇവയാണ്: x വേരിയബിളിന്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും f(-x)=-f(x). ഉദാഹരണങ്ങൾ:

• ഹൈപ്പർബോള;
• ക്യൂബിക് പരാബോള;
• sinusoid;
• ടാൻജെന്റ് തുടങ്ങിയവ.

ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പോയിന്റിന്റെ (0:0) സമമിതിയാണ്, അതായത് ഉത്ഭവം. ലേഖനത്തിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനിൽ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ടായിരിക്കണം: x എന്നത് നിർവചന ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണ്, കൂടാതെ -x കൂടി.

സമത്വത്തിനായുള്ള പ്രവർത്തനം നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഒരു വിവരണത്തിനും അവൾ യോജിക്കുന്നില്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനം ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.

അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ

നമുക്ക് ഒരു നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. ഗ്രാഫിനോട് കഴിയുന്നത്ര അടുത്ത് നിൽക്കുന്ന ഒരു വക്രമാണ് അസിംപ്റ്റോട്ട്, അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു. മൊത്തത്തിൽ, മൂന്ന് തരം അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ട്:

• ലംബമായ, അതായത്, y-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി;
• തിരശ്ചീനമായി, അതായത് x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി;
• ചായ്വുള്ള.

ആദ്യ തരത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഈ വരികൾ ചില പോയിന്റുകളിൽ നോക്കണം:

• വിടവ്;
• നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ അവസാനം.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായതാണ്, കൂടാതെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ R ന് തുല്യമാണ്. തത്ഫലമായി, ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഇല്ല.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ട് ഉണ്ട്, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നു: x അനന്തതയിലേക്കോ മൈനസ് അനന്തതയിലേക്കോ പ്രവണത കാണിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പരിധി ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, a). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, y=a എന്നത് തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. നമ്മൾ പഠിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിൽ തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളൊന്നുമില്ല.

രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിച്ചാൽ മാത്രമേ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് നിലനിൽക്കൂ:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

y=kx+b എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണ്ടെത്താം. വീണ്ടും, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളൊന്നുമില്ല.

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ

പൂജ്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പരിശോധിക്കുന്നതാണ് അടുത്ത ഘട്ടം. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചുമതല ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പഠിക്കുകയും നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ മാത്രമല്ല, ഒരു സ്വതന്ത്ര ചുമതലയായും അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമായും സംഭവിക്കുന്നു എന്നതും വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഒരു ഗ്രാഫിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയോ ഗണിത നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടി വന്നേക്കാം.

ഈ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഫംഗ്ഷൻ കൂടുതൽ കൃത്യമായി ഗ്രാഫ് ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യം എന്നത് y = 0 എന്ന വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യമാണ്. നിങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾക്കായി തിരയുകയാണെങ്കിൽ, ഗ്രാഫ് x-അക്ഷവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിലേക്ക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തിയ ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉത്തരം ലഭിക്കും:

സ്ഥിരത അടയാളപ്പെടുത്തുക

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ (ഗ്രാഫ്) ഗവേഷണത്തിന്റെയും നിർമ്മാണത്തിന്റെയും അടുത്ത ഘട്ടം സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഫംഗ്‌ഷൻ പോസിറ്റീവ് മൂല്യവും ഏത് ഇടവേളകളിൽ നെഗറ്റീവ് മൂല്യവും എടുക്കുന്നുവെന്നും നമ്മൾ നിർണ്ണയിക്കണം എന്നാണ്. അവസാന വിഭാഗത്തിൽ കാണുന്ന പൂജ്യം ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുക) ഒപ്പം ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ ചെറുതും വലുതും വരെ ശരിയായ ക്രമത്തിൽ വിതരണം ചെയ്യണം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഏതാണ് “+” ചിഹ്നമുള്ളതെന്നും അതിൽ “-” ഉണ്ടെന്നും നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളകളിൽ പോസിറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുന്നു:

• 1 മുതൽ 4 വരെ;
• 9 മുതൽ അനന്തത വരെ.

നെഗറ്റീവ് അർത്ഥം:

• മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ 1 വരെ;
• 4 മുതൽ 9 വരെ.

ഇത് നിർണ്ണയിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ഉത്തരത്തിന് എന്ത് ചിഹ്നമുണ്ടെന്ന് കാണുക (മൈനസ് അല്ലെങ്കിൽ പ്ലസ്).

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കൂടുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നതിനും നിർമ്മിക്കുന്നതിനുമായി, ഗ്രാഫ് എവിടെയാണ് വർദ്ധിക്കുന്നത് (Oy അക്ഷത്തിലൂടെ മുകളിലേക്ക് പോകുക), അത് എവിടെയാണ് വീഴുക (y-അക്ഷത്തിലൂടെ താഴേക്ക് ക്രാൾ ചെയ്യുക) എന്നിവ നമ്മൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ വലിയ മൂല്യം y യുടെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ മാത്രമേ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയുള്ളൂ. അതായത്, x2 x1 നേക്കാൾ വലുതാണ്, f(x2) f(x1) നേക്കാൾ വലുതാണ്. കുറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷനോടുകൂടിയ തികച്ചും വിപരീതമായ ഒരു പ്രതിഭാസം ഞങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു (കൂടുതൽ x, കുറവ് y). വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

• നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ (ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ഉണ്ട്);
• ഡെറിവേറ്റീവ് (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ശേഷം നമുക്ക് ഫലം ലഭിക്കും:

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളകളിൽ മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ നിന്ന് 7/3 വരെയും 7 മുതൽ അനന്തത വരെയും വർദ്ധിക്കുകയും 7/3 മുതൽ 7 വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.

അങ്ങേയറ്റം

y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) എന്ന പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ തുടർച്ചയായതും വേരിയബിളിന്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും നിലവിലുണ്ട്. എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റ് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി കുറഞ്ഞതും കാണിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, നിർമ്മാണ ചുമതല വളരെ ലളിതമാക്കുന്ന ഒന്നുമില്ല. അല്ലെങ്കിൽ, അവ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ചും കണ്ടെത്താനാകും. കണ്ടെത്തിക്കഴിഞ്ഞാൽ, അവയെ ചാർട്ടിൽ അടയാളപ്പെടുത്താൻ മറക്കരുത്.

കൺവെക്സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും

y(x) ഫംഗ്‌ഷൻ ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നത് തുടരുന്നു. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ അത് കൺവെക്സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ആശയങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്; ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം വിശകലനം ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്. പരിശോധനയ്ക്കായി: കുറയാത്ത ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ കോൺവെക്‌സ് ആണ്. സമ്മതിക്കുക, ഇത് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണ്!

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: y=1/3(6x-28). ഇനി വലതുഭാഗത്തെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കി സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം. ഉത്തരം: x=14/3. ഞങ്ങൾ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തി, അതായത്, ഗ്രാഫ് കോൺവെക്‌സിറ്റിയിൽ നിന്ന് കോൺകാവിറ്റിയിലേക്ക് അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും മാറുന്ന സ്ഥലം. മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ 14/3 വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷൻ കോൺവെക്സും 14/3 മുതൽ പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി വരെ കോൺകേവുമാണ്. ഗ്രാഫിലെ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ് സുഗമവും മൃദുവും ആയിരിക്കണം, മൂർച്ചയുള്ള കോണുകൾ ഉണ്ടാകരുത് എന്നതും വളരെ പ്രധാനമാണ്.

അധിക പോയിന്റുകൾ നിർവചിക്കുന്നു

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് അന്വേഷിക്കുകയും നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല. ഞങ്ങൾ പഠനം പൂർത്തിയാക്കി; ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നത് ഇപ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ഒരു കർവ് അല്ലെങ്കിൽ നേർരേഖയുടെ കൂടുതൽ കൃത്യവും വിശദവുമായ പുനർനിർമ്മാണത്തിനായി, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി സഹായ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം. അവ കണക്കുകൂട്ടാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ x=3 എടുത്ത്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് y=4 കണ്ടെത്തുക. അല്ലെങ്കിൽ x=5, y=-5 എന്നിങ്ങനെ. നിർമ്മാണത്തിനായി നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളത്ര അധിക പോയിന്റുകൾ എടുക്കാം. അവയിൽ കുറഞ്ഞത് 3-5 എണ്ണം കണ്ടെത്തി.

ഒരു ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു

ഞങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ അന്വേഷിക്കേണ്ടതുണ്ട് (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആവശ്യമായ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ചെയ്തു. ഇനി ചെയ്യേണ്ടത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്, അതായത്, എല്ലാ ഡോട്ടുകളും ബന്ധിപ്പിക്കുക. ഡോട്ടുകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത് സുഗമവും കൃത്യവുമായിരിക്കണം, ഇത് വൈദഗ്ധ്യത്തിന്റെ കാര്യമാണ് - കുറച്ച് പരിശീലനം, നിങ്ങളുടെ ഷെഡ്യൂൾ മികച്ചതായിരിക്കും.