പഠനത്തിന്റെ പൊതുവായ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക. പൂർണ്ണമായ പ്രവർത്തന പര്യവേക്ഷണവും പ്ലോട്ടിംഗും

വേണ്ടി പൂർണ്ണ പഠനംപ്രവർത്തനവും അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതും, ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു:

1) പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യാപ്തി കണ്ടെത്തുക;

2) പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെയും വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ);

3) അനന്തതയിലെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവം അന്വേഷിക്കുക, തിരശ്ചീനവും ചരിഞ്ഞതുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക;

4) തുല്യതയ്ക്കും (വിചിത്രത), ആനുകാലികതയ്ക്കും (ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്) ഫംഗ്ഷൻ അന്വേഷിക്കുക;

5) ഫംഗ്ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെ തീവ്രതയും ഇടവേളകളും കണ്ടെത്തുക;

6) കോൺവെക്സിറ്റിയുടെയും ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളുടെയും ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കുക;

7) സാധ്യമെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കവലയുടെ പോയിന്റുകളും ഗ്രാഫ് പരിഷ്‌ക്കരിക്കുന്ന ചില അധിക പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തുക.

ഫംഗ്ഷന്റെ പഠനം അതിന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ നിർമ്മാണത്തോടൊപ്പം ഒരേസമയം നടത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം 9ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

1. നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ: ;

2. ഫംഗ്ഷൻ പോയിന്റുകളിൽ തകരുന്നു
,
;

ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനം അന്വേഷിക്കുന്നു.

;
,
─ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട്.

;
,
─ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട്.

3. ചരിഞ്ഞതും തിരശ്ചീനവുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനം അന്വേഷിക്കുന്നു.

ഋജുവായത്
─ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട്, എങ്കിൽ
,
.

,
.

ഋജുവായത്
─ തിരശ്ചീന ലക്ഷണം.

4. ഫംഗ്ഷൻ കാരണം തുല്യമാണ്
. ഫംഗ്‌ഷന്റെ പാരിറ്റി y-അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഗ്രാഫിന്റെ സമമിതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

5. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെയും തീവ്രതയുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം, അതായത്. ഡെറിവേറ്റീവ് 0 അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ലാത്ത പോയിന്റുകൾ:
;
. ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് പോയിന്റുണ്ട്
;

. ഈ പോയിന്റുകൾ മുഴുവൻ യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തെയും നാല് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു. നമുക്ക് അടയാളങ്ങൾ നിർവചിക്കാം അവയിൽ ഓരോന്നിനും.

ഇടവേളകളിൽ (-∞; -1), (-1; 0) ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു, ഇടവേളകളിൽ (0; 1) (1; +∞) കുറയുന്നു. ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ
ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസ് വരെ മാറ്റുന്നു, അതിനാൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ, ഫംഗ്ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്
.

6. കോൺവെക്സിറ്റി ഇടവേളകൾ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം.

നമുക്ക് പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം 0 ആണ്, അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.
,
,

പോയിന്റുകൾ
ഒപ്പം
യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തെ മൂന്ന് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക. നമുക്ക് അടയാളം നിർവചിക്കാം ഓരോ ഇടവേളയിലും.

അങ്ങനെ, ഇടവേളകളിൽ വക്രം
ഒപ്പം
കുത്തനെ താഴേക്ക്, ഇടവേളയിൽ (-1;1) മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്; പോയിന്റുകളിലെ പ്രവർത്തനം ആയതിനാൽ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല
ഒപ്പം
നിർണയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.

7. അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

അച്ചുതണ്ട് കൊണ്ട്
ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പോയിന്റിലും (0; -1) അച്ചുതണ്ടിലും വിഭജിക്കുന്നു
ഗ്രാഫ് വിഭജിക്കുന്നില്ല, കാരണം ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 1 ─ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ്

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തിന്റെ പ്രയോഗം. ഫംഗ്ഷൻ ഇലാസ്തികത

സാമ്പത്തിക പ്രക്രിയകൾ പഠിക്കുന്നതിനും മറ്റ് പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും, ഫംഗ്ഷൻ ഇലാസ്തികത എന്ന ആശയം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.ഫംഗ്ഷൻ ഇലാസ്തികത
ഫംഗ്ഷന്റെ ആപേക്ഷിക വർദ്ധനവിന്റെ അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു വേരിയബിളിന്റെ ആപേക്ഷിക ഇൻക്രിമെന്റിലേക്ക് ചെയ്തത്
, (VII)

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഇലാസ്തികത, ഫംഗ്‌ഷൻ ഏകദേശം എത്ര ശതമാനം മാറുമെന്ന് കാണിക്കുന്നു
സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ മാറ്റുമ്പോൾ 1% പ്രകാരം.

ഡിമാൻഡിന്റെയും ഉപഭോഗത്തിന്റെയും വിശകലനത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഡിമാൻഡിന്റെ ഇലാസ്തികത (കേവല മൂല്യത്തിൽ)
, എങ്കിൽ ഡിമാൻഡ് ഇലാസ്റ്റിക് ആയി കണക്കാക്കുന്നു
─ ന്യൂട്രൽ എങ്കിൽ
─ വില (അല്ലെങ്കിൽ വരുമാനം) സംബന്ധിച്ച് ഇലാസ്റ്റിക്

ഉദാഹരണം 10ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത കണക്കാക്കുക
ഇലാസ്തികത സൂചികയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക = 3.

പരിഹാരം: ഫോർമുല (VII) അനുസരിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത:

അപ്പോൾ x=3 ആകട്ടെ
ഇതിനർത്ഥം സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ 1% വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആശ്രിത വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം 1.42% വർദ്ധിക്കും.

ഉദാഹരണം 11ആവശ്യം പ്രവർത്തിക്കട്ടെ വില സംബന്ധിച്ച് രൂപമുണ്ട്
, എവിടെ ─ സ്ഥിരമായ ഗുണകം. x = 3 den എന്ന വിലയിൽ ഡിമാൻഡ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത സൂചികയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക. യൂണിറ്റുകൾ

പരിഹാരം: ഫോർമുല (VII) ഉപയോഗിച്ച് ഡിമാൻഡ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഇലാസ്തികത കണക്കാക്കുക

അനുമാനിക്കുന്നു
പണ യൂണിറ്റുകൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
. ഇതിനർത്ഥം വിലയിൽ എന്നാണ്
പണ യൂണിറ്റ് 1% വില വർദ്ധനവ് ഡിമാൻഡ് 6% കുറയാൻ ഇടയാക്കും, അതായത്. ആവശ്യം ഇലാസ്റ്റിക് ആണ്.

ഞങ്ങളോടൊപ്പം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫ് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാനും പ്ലോട്ട് ചെയ്യാനും ഇന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പഠിച്ച ശേഷം, ഇത്തരത്തിലുള്ള ജോലി പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ വളരെക്കാലം വിയർക്കേണ്ടതില്ല. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുകയും നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് എളുപ്പമല്ല, ജോലി വളരെ വലുതാണ്, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ പരമാവധി ശ്രദ്ധയും കൃത്യതയും ആവശ്യമാണ്. മെറ്റീരിയലിന്റെ ധാരണ സുഗമമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അതേ പ്രവർത്തനം ക്രമേണ പഠിക്കുകയും ഞങ്ങളുടെ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും വിശദീകരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അതിശയകരവും ആകർഷകവുമായ ലോകത്തിലേക്ക് സ്വാഗതം! പോകൂ!

ഡൊമെയ്ൻ

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നതിനും പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിനും, നിങ്ങൾ കുറച്ച് നിർവചനങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന (അടിസ്ഥാന) ആശയങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് ഫംഗ്ഷൻ. നിരവധി വേരിയബിളുകൾ (രണ്ടോ മൂന്നോ അതിലധികമോ) മാറ്റങ്ങളോടെയുള്ള ആശ്രിതത്വത്തെ ഇത് പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ സെറ്റുകളുടെ ആശ്രിതത്വവും കാണിക്കുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത പരിധിയിലുള്ള മാറ്റങ്ങളുള്ള രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ നമുക്കുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. അതിനാൽ, y എന്നത് x ന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, രണ്ടാമത്തെ വേരിയബിളിന്റെ ഓരോ മൂല്യവും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഒരു മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വേരിയബിൾ y ആശ്രിതമാണ്, അതിനെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. x, y എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഈ ആശ്രിതത്വത്തിന്റെ കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് പറയുന്നത് പതിവാണ്. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് എന്താണ്? ഇത് കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിലെ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, ഇവിടെ x ന്റെ ഓരോ മൂല്യവും y യുടെ ഒരു മൂല്യവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും - ഒരു നേർരേഖ, ഹൈപ്പർബോള, പരാബോള, സിനുസോയിഡ് തുടങ്ങിയവ.

പര്യവേക്ഷണം കൂടാതെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് എങ്ങനെ ഗവേഷണം നടത്താമെന്നും പ്ലോട്ട് ചെയ്യാമെന്നും ഇന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും. പഠനസമയത്ത് കുറിപ്പുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. അതിനാൽ ചുമതലയെ നേരിടാൻ വളരെ എളുപ്പമായിരിക്കും. ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ പഠന പദ്ധതി:

1. ഡൊമെയ്ൻ.
2. തുടർച്ച.
3. ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ വിചിത്രം.
4. ആനുകാലികത.
5. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ.
6. പൂജ്യങ്ങൾ.
7. സ്ഥിരത.
8. ആരോഹണവും ഇറക്കവും.
9. അതിരുകൾ.
10. കൺവെക്സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും.

ആദ്യ പോയിന്റിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം. നമുക്ക് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്താം, അതായത്, ഏത് ഇടവേളകളിൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം നിലവിലുണ്ട്: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, x ന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷൻ നിലവിലുണ്ട്, അതായത്, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ R ആണ്. ഇത് xOR എന്ന് എഴുതാം.

തുടർച്ച

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ നിർത്തലാക്കൽ പ്രവർത്തനം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ പോകുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ചലന നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിന്റെ ഫലമായി "തുടർച്ച" എന്ന പദം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. എന്താണ് അനന്തം? സ്ഥലം, സമയം, ചില ഡിപൻഡൻസികൾ (ചലനപ്രശ്നങ്ങളിൽ S, t എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ ആശ്രിതത്വം ഒരു ഉദാഹരണമാണ്), ചൂടാക്കിയ വസ്തുവിന്റെ താപനില (വെള്ളം, ഫ്രൈയിംഗ് പാൻ, തെർമോമീറ്റർ മുതലായവ), തുടർച്ചയായ ഒരു ലൈൻ (അതായത് ഒന്ന് അത് ഷീറ്റ് പെൻസിലിൽ നിന്ന് എടുക്കാതെ തന്നെ വരയ്ക്കാം).

ഒരു ഗ്രാഫ് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തകർന്നില്ലെങ്കിൽ തുടർച്ചയായി കണക്കാക്കുന്നു. ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഒന്ന് നല്ല ഉദാഹരണങ്ങൾഅത്തരമൊരു ഗ്രാഫ് ഒരു സൈൻ തരംഗമാണ്, അത് നിങ്ങൾക്ക് ഈ വിഭാഗത്തിലെ ചിത്രത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും. നിരവധി നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ x0 പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായി തുടരും:

• ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു;
• ഒരു പോയിന്റിലെ വലത്, ഇടത് പരിധികൾ തുല്യമാണ്;
• പരിധി x0 പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു നിബന്ധനയെങ്കിലും പാലിച്ചില്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം തകരുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ ബ്രേക്ക് ചെയ്യുന്ന പോയിന്റുകളെ ബ്രേക്ക് പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗ്രാഫിക്കായി പ്രദർശിപ്പിക്കുമ്പോൾ "തകരുന്ന" ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാണ്: y=(x+4)/(x-3). മാത്രമല്ല, x = 3 എന്ന പോയിന്റിൽ y നിലവിലില്ല (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമായതിനാൽ).

ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) ഗ്രാഫ് തുടർച്ചയായിരിക്കുമെന്നതിനാൽ എല്ലാം ലളിതമായി മാറി.

ഇരട്ട, വിചിത്രം

ഇപ്പോൾ പാരിറ്റിക്കുള്ള പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കുക. നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. വേരിയബിളിന്റെ (മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന്) ഏത് മൂല്യത്തിനും f (-x) = f (x) എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ് ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇവയാണ്:

• മൊഡ്യൂൾ x (ഗ്രാഫ് ഒരു ജാക്ക്ഡോ പോലെ കാണപ്പെടുന്നു, ഗ്രാഫിന്റെ ഒന്നും രണ്ടും പാദങ്ങളുടെ ബൈസെക്ടർ);
• x സ്ക്വയർ (പരവല);
• കോസൈൻ x (കോസൈൻ തരംഗം).

ഈ ഗ്രാഫുകളെല്ലാം y-അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കാണുമ്പോൾ സമമിതിയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അപ്പോൾ എന്താണ് ഒരു വിചിത്ര പ്രവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്? വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഇവയാണ്: x വേരിയബിളിന്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും f (-x) \u003d - f (x). ഉദാഹരണങ്ങൾ:

• ഹൈപ്പർബോള;
• ക്യൂബിക് പരാബോള;
• sinusoid;
• ടാൻജെന്റ് തുടങ്ങിയവ.

ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പോയിന്റിന്റെ (0:0) സമമിതിയാണെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക, അതായത് ഉത്ഭവം. ലേഖനത്തിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനിൽ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ടായിരിക്കണം: x എന്നത് നിർവചന ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണ്, കൂടാതെ -x ഉം.

സമത്വത്തിനായുള്ള പ്രവർത്തനം നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഒരു വിവരണത്തിനും അവൾ യോജിക്കുന്നില്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനം ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.

അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ

നമുക്ക് ഒരു നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. ഗ്രാഫിനോട് കഴിയുന്നത്ര അടുത്ത് വരുന്ന ഒരു വക്രമാണ് അസിംപ്റ്റോട്ട്, അതായത്, ചില പോയിന്റുകളിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു. മൂന്ന് തരം അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ട്:

• ലംബമായ, അതായത്, y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി;
• തിരശ്ചീനമായി, അതായത് x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി;
• ചരിഞ്ഞ.

ആദ്യ തരത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഈ വരികൾ ചില പോയിന്റുകളിൽ നോക്കണം:

• വിടവ്;
• ഡൊമെയ്‌നിന്റെ അവസാനം.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായതാണ്, കൂടാതെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ R ആണ്. അതിനാൽ, ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഒന്നുമില്ല.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ട് ഉണ്ട്, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നു: x അനന്തതയിലേക്കോ മൈനസ് അനന്തതയിലേക്കോ പ്രവണത കാണിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പരിധി ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, a). IN ഈ കാര്യം y=a എന്നത് തിരശ്ചീനമായ ലക്ഷണമാണ്. നമ്മൾ പഠിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിൽ തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളൊന്നുമില്ല.

രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിച്ചാൽ മാത്രമേ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് നിലനിൽക്കൂ:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

അപ്പോൾ അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം: y=kx+b. വീണ്ടും, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളൊന്നുമില്ല.

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ

പൂജ്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പരിശോധിക്കുന്നതാണ് അടുത്ത ഘട്ടം. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചുമതല ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ പഠനത്തിലും നിർമ്മാണത്തിലും മാത്രമല്ല, ഒരു സ്വതന്ത്ര ചുമതലയായും അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമായും സംഭവിക്കുന്നു എന്നതും വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഒരു ഗ്രാഫിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയോ ഗണിത നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടി വന്നേക്കാം.

ഈ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഫംഗ്ഷൻ കൂടുതൽ കൃത്യമായി പ്ലോട്ട് ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. സംസാരിക്കണമെങ്കിൽ ലളിതമായ ഭാഷ, അപ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യം x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യമാണ്, അതിൽ y=0. നിങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾക്കായി തിരയുകയാണെങ്കിൽ, ഗ്രാഫ് x-അക്ഷവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിലേക്ക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തിയ ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉത്തരം ലഭിക്കും:

അടയാളം സ്ഥിരത

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ (ഗ്രാഫിക്സ്) പഠനത്തിന്റെയും നിർമ്മാണത്തിന്റെയും അടുത്ത ഘട്ടം ചിഹ്ന സ്ഥിരതയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഇതിനർത്ഥം, ഫംഗ്‌ഷൻ ഏത് ഇടവേളകളിൽ പോസിറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുന്നുവെന്നും ഏത് ഇടവേളകളിൽ അത് നെഗറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുന്നുവെന്നും ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കണം എന്നാണ്. മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ കാണുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പൂജ്യങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് പ്രത്യേകം) ഒപ്പം ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ ചെറുതും വലുതും വരെ ശരിയായ ക്രമത്തിൽ വിതരണം ചെയ്യണം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഏതാണ് “+” ചിഹ്നമുള്ളതെന്നും ഏതാണ് “-” എന്നും നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളകളിൽ പോസിറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുന്നു:

• 1 മുതൽ 4 വരെ;
• 9 മുതൽ അനന്തത വരെ.

നെഗറ്റീവ് അർത്ഥം:

• മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ 1 വരെ;
• 4 മുതൽ 9 വരെ.

ഇത് നിർണ്ണയിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ഉത്തരം എന്താണെന്ന് കാണുക (മൈനസ് അല്ലെങ്കിൽ പ്ലസ്).

പ്രവർത്തനം ആരോഹണവും കുറയുന്നതും

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നതിനും നിർമ്മിക്കുന്നതിനും, ഗ്രാഫ് എവിടെയാണ് വർദ്ധിക്കുന്നത് (Oy-ൽ മുകളിലേക്ക് പോകുക), അത് എവിടെ വീഴും (y-അക്ഷത്തിൽ താഴേക്ക് ഇഴയുക) എന്നിവ നമ്മൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ വലിയ മൂല്യം y യുടെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ മാത്രമേ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയുള്ളൂ. അതായത്, x2 x1 നേക്കാൾ വലുതാണ്, f(x2) f(x1) നേക്കാൾ വലുതാണ്. കുറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ തികച്ചും വിപരീതമായ ഒരു പ്രതിഭാസം ഞങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു (കൂടുതൽ x, കുറവ് y). വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

• വ്യാപ്തി (ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ഉണ്ട്);
• ഡെറിവേറ്റീവ് (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് ഫലം ലഭിക്കും:

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളകളിൽ മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ നിന്ന് 7/3 വരെയും 7 മുതൽ അനന്തത വരെയും വർദ്ധിക്കുകയും 7/3 മുതൽ 7 വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.

അതിരുകൾ

അന്വേഷണവിധേയമായ ഫംഗ്‌ഷൻ y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) തുടർച്ചയായതും x വേരിയബിളിന്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കും നിലവിലുണ്ട്. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ് ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി കുറഞ്ഞതും കാണിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, നിർമ്മാണ ചുമതല വളരെ ലളിതമാക്കുന്ന ഒന്നുമില്ല. അല്ലെങ്കിൽ, അവ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ചും കണ്ടെത്തുന്നു. കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, അവയെ ചാർട്ടിൽ അടയാളപ്പെടുത്താൻ മറക്കരുത്.

കൺവെക്‌സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും

ഞങ്ങൾ y(x) ഫംഗ്‌ഷൻ പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ അത് കൺവെക്സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ആശയങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം വിശകലനം ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്. പരിശോധനയ്ക്കായി: കുറയാത്ത ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ കോൺവെക്‌സ് ആണ്. സമ്മതിക്കുക, ഇത് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണ്!

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: y=1/3(6x-28). ഇപ്പോൾ നമ്മൾ വലത് വശം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുകയും സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഉത്തരം: x=14/3. ഞങ്ങൾ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തി, അതായത്, ഗ്രാഫ് കോൺവെക്സിൽ നിന്ന് കോൺകേവിലേക്ക് അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും മാറുന്ന സ്ഥലം. മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ 14/3 വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ, ഫംഗ്ഷൻ കുത്തനെയുള്ളതാണ്, 14/3 മുതൽ പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി വരെ, അത് കോൺകേവ് ആണ്. ചാർട്ടിലെ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ് സുഗമവും മൃദുവും ആയിരിക്കണം എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, ഇല്ല മൂർച്ചയുള്ള മൂലകൾഹാജരാകാൻ പാടില്ല.

അധിക പോയിന്റുകളുടെ നിർവ്വചനം

ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുകയും പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല. ഞങ്ങൾ പഠനം പൂർത്തിയാക്കി, ഇപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ഒരു കർവ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ കൂടുതൽ കൃത്യവും വിശദവുമായ പുനർനിർമ്മാണത്തിനായി, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി സഹായ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം. അവ കണക്കാക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ x=3 എടുത്ത്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് y=4 കണ്ടെത്തുക. അല്ലെങ്കിൽ x=5, y=-5 എന്നിങ്ങനെ. നിങ്ങൾക്ക് നിർമ്മിക്കേണ്ട അത്രയും അധിക പോയിന്റുകൾ എടുക്കാം. അവയിൽ കുറഞ്ഞത് 3-5 എണ്ണം കണ്ടെത്തി.

പ്ലോട്ടിംഗ്

ഞങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ അന്വേഷിക്കേണ്ടതുണ്ട് (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആവശ്യമായ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ചെയ്തു. ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് ചെയ്യേണ്ടത്, അതായത്, എല്ലാ പോയിന്റുകളും പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിക്കുക. ഡോട്ടുകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത് സുഗമവും കൃത്യവുമാണ്, ഇത് വൈദഗ്ധ്യത്തിന്റെ കാര്യമാണ് - കുറച്ച് പരിശീലനം, നിങ്ങളുടെ ഷെഡ്യൂൾ മികച്ചതായിരിക്കും.

നിർദ്ദേശം

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യാപ്തി കണ്ടെത്തുക. ഉദാഹരണത്തിന്, sin(x) ഫംഗ്‌ഷൻ -∞ മുതൽ +∞ വരെയുള്ള മുഴുവൻ ഇടവേളയിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ x = 0 എന്ന പോയിന്റ് ഒഴികെ 1/x ഫംഗ്‌ഷൻ -∞ മുതൽ +∞ വരെ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു.

തുടർച്ചയുടെയും ബ്രേക്ക് പോയിന്റുകളുടെയും മേഖലകൾ നിർവ്വചിക്കുക. സാധാരണയായി ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന അതേ ഡൊമെയ്‌നിൽ തുടർച്ചയായിരിക്കും. നിർത്തലാക്കലുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിനുള്ളിലെ ഒറ്റപ്പെട്ട പോയിന്റുകളെ ആർഗ്യുമെന്റ് സമീപിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്‌ഷൻ 1/x x→0+ ആകുമ്പോൾ അനന്തതയിലേക്കും x→0- ആയിരിക്കുമ്പോൾ മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിലേക്കും പ്രവണത കാണിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം x = 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ അതിന് രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഒരു വിരാമം ഉണ്ട് എന്നാണ്.
നിർത്തലാക്കൽ പോയിന്റിലെ പരിധികൾ പരിമിതമാണെങ്കിലും തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ആദ്യത്തെ തരത്തിലുള്ള ഒരു വിച്ഛേദമാണ്. അവ തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ തുടർച്ചയായി കണക്കാക്കുന്നു, അത് ഒരു ഒറ്റപ്പെട്ട പോയിന്റിൽ നിർവചിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിലും.

ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക. മുമ്പത്തെ ഘട്ടത്തിൽ നിന്നുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇവിടെ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും, കാരണം ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട് മിക്കവാറും എല്ലായ്‌പ്പോഴും രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള വിരാമ പോയിന്റിലാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ചിലപ്പോൾ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്ന വ്യക്തിഗത പോയിന്റുകളല്ല, മറിച്ച് പോയിന്റുകളുടെ മുഴുവൻ ഇടവേളകളും, തുടർന്ന് ഈ ഇടവേളകളുടെ അരികുകളിൽ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ സ്ഥിതിചെയ്യാം.

ഫംഗ്‌ഷന് പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക: ഇരട്ട, ഒറ്റ, ആനുകാലികം.
f(x) = f(-x) എന്ന ഡൊമെയ്‌നിലെ ഏതെങ്കിലും x ആണെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷൻ ആയിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, cos(x), x^2 എന്നിവ ഇരട്ട പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.

ഏത് x f(x) = f(x + T) എന്നതിന് പിരീഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ T ഉണ്ടെന്ന് പറയുന്ന ഒരു പ്രോപ്പർട്ടിയാണ് ആനുകാലികത. ഉദാഹരണത്തിന്, എല്ലാം പ്രധാനം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ(സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്) - ആനുകാലികം.

പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുകയും അത് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നിടത്ത് ആ x മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക. ഉദാഹരണത്തിന്, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 എന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് g(x) = 3x^2 + 18x ഉണ്ട്, അത് x = 0, x = -6 എന്നിവയിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു.

ഏതൊക്കെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ മാക്‌സിമയാണെന്നും ഏതൊക്കെ മിനിമയാണെന്നും നിർണ്ണയിക്കാൻ, കണ്ടെത്തിയ പൂജ്യങ്ങളിലെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങളിലെ മാറ്റം കണ്ടെത്തുക. g(x) ചിഹ്നം x = -6-ലും തിരികെ മൈനസിൽ നിന്ന് x = 0-ലും മാറ്റുന്നു. അതിനാൽ, f(x) ഫംഗ്‌ഷന് ആദ്യ പോയിന്റിൽ മിനിമം, രണ്ടാമത്തേതിൽ മിനിമം എന്നിവയുണ്ട്.

അങ്ങനെ, നിങ്ങൾ ഏകതാനതയുടെ മേഖലകളും കണ്ടെത്തി: f(x) -∞;-6 ഇടവേളയിൽ ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, -6;0-ൽ ഏകതാനമായി കുറയുകയും 0;+∞-ൽ വീണ്ടും വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക. തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് എവിടെയാണ് കുത്തനെയുള്ളതെന്നും എവിടെയാണ് കോൺകേവ് എന്നും അതിന്റെ വേരുകൾ കാണിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, f(x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് h(x) = 6x + 18 ആയിരിക്കും. ഇത് x = -3-ൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, അതിന്റെ ചിഹ്നം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. അതിനാൽ, ഈ പോയിന്റിന് മുമ്പുള്ള ഗ്രാഫ് f (x) കുത്തനെയുള്ളതായിരിക്കും, അതിനുശേഷം - കോൺകേവ്, ഈ പോയിന്റ് തന്നെ ഒരു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റായിരിക്കും.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിൽ ലംബമായവ ഒഴികെ മറ്റ് അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം, പക്ഷേ അതിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ മാത്രം. അവ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, x→∞ അല്ലെങ്കിൽ x→-∞ ആയിരിക്കുമ്പോൾ f(x) ന്റെ പരിധി കണക്കാക്കുക. ഇത് പരിമിതമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തി.

kx + b ഫോമിന്റെ നേർരേഖയാണ് ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട്. k കണ്ടെത്താൻ, f(x)/x ന്റെ പരിധി x→∞ ആയി കണക്കാക്കുക. ഒരേ x→∞ ഉപയോഗിച്ച് b - ലിമിറ്റ് (f(x) – kx) കണ്ടെത്താൻ.

കമ്പ്യൂട്ട് ചെയ്ത ഡാറ്റയിൽ ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ ലേബൽ ചെയ്യുക. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളും അവയിലെ പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങളും അടയാളപ്പെടുത്തുക. ഗ്രാഫിന്റെ കൂടുതൽ കൃത്യതയ്ക്കായി, നിരവധി ഇന്റർമീഡിയറ്റ് പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക. ഗവേഷണം പൂർത്തിയായി.

ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ജോലികളിൽ ഒന്ന് ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ്വികസനമാണ് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾപ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം.

ഫംഗ്‌ഷൻ y \u003d f (x) ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ (a, b) 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y \u003d f (x) (f "(x) കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുന്നു 0) y \u003d f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ സെഗ്‌മെന്റിൽ തുടർച്ചയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ ഇടവേളയിൽ (a,b) 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=f(x) (f"(f") ആയി കുറയുന്നു. x)0)

ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുകയോ കൂടുകയോ ചെയ്യാത്ത ഇടവേളകളെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെ സ്വഭാവം അതിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ ആ പോയിന്റുകളിൽ മാത്രമേ മാറാൻ കഴിയൂ, അതിൽ ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം മാറുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുകയോ തകർക്കുകയോ ചെയ്യുന്ന പോയിന്റുകളെ ക്രിട്ടിക്കൽ പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 1 (ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് പര്യാപ്തമായ ആദ്യ വ്യവസ്ഥ).

x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കട്ടെ, കൂടാതെ ഒരു അയൽപക്കം δ>0 ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, അത്തരത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനം സെഗ്‌മെന്റിൽ തുടർച്ചയായും, ഇടവേളയിൽ (x 0 -δ,x 0)u(x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , കൂടാതെ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും ഒരു സ്ഥിരമായ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു. x 0 -δ, x 0), (x 0, x 0 + δ) എന്നിവയിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, x 0 ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിന്റാണ്, അവ പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, x 0 ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിന്റല്ല . കൂടാതെ, x0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ (x 0 ന്റെ ഇടതുവശത്ത്, f "(x)> 0 നിർവ്വഹിച്ചാൽ, x 0 ആണ് പരമാവധി പോയിന്റ്; ഡെറിവേറ്റീവ് മാറുകയാണെങ്കിൽ ചിഹ്നം മൈനസ് മുതൽ പ്ലസ് വരെ (x 0 ന്റെ വലതുവശത്ത് f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകളെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ എന്നും ഫംഗ്‌ഷന്റെ മാക്‌സിമയും മിനിമയും അതിന്റെ തീവ്ര മൂല്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2 (ഒരു പ്രാദേശിക എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ മാനദണ്ഡം).

y=f(x) ഫംഗ്‌ഷന് നിലവിലെ x=x 0-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ f'(x 0)=0 അല്ലെങ്കിൽ f'(x 0) നിലവിലില്ല.
ഒരു ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകളിൽ, അതിന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് ഓക്‌സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്.

ഒരു എക്സ്ട്രീമിനായുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
2) നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അതായത്. പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായതും ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിന്റുകൾ.
3) ഓരോ പോയിന്റിന്റെയും അയൽപക്കം പരിഗണിക്കുക, ഈ പോയിന്റിന്റെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം പരിശോധിക്കുക.
4) അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക, നിർണായക പോയിന്റുകളുടെ ഈ മൂല്യത്തിന്, ഈ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുക. മതിയായ തീവ്രമായ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഉചിതമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുക.

ഉദാഹരണം 18. ഫംഗ്‌ഷൻ y=x 3 -9x 2 +24x അന്വേഷിക്കുക

പരിഹാരം.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ x 1 =2, x 2 =4 കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് എല്ലായിടത്തും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു; അതിനാൽ, കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഒഴികെ, മറ്റ് നിർണായക പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല.
3) y "=3(x-2)(x-4) എന്ന ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഇടവേളയെ ആശ്രയിച്ച് മാറുന്നു. കൂടാതെ x=4 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ - മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസ് വരെ.
4) x=2 എന്ന പോയിന്റിൽ, ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി y max =20, x=4 എന്ന പോയിന്റിൽ - കുറഞ്ഞത് y മിനിറ്റ് =16.

സിദ്ധാന്തം 3. (ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ).

x 0 എന്ന പോയിന്റിൽ f "(x 0), f "" (x 0) നിലനിൽക്കട്ടെ. അപ്പോൾ f "" (x 0)> 0 ആണെങ്കിൽ, x 0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്, f "" (x 0) ആണെങ്കിൽ )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

സെഗ്‌മെന്റിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ y \u003d f (x) ഏറ്റവും ചെറിയ (കുറഞ്ഞത്) അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും വലിയ (കൂടുതൽ) മൂല്യത്തിൽ എത്താൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഇടവേളയിൽ (a; b) കിടക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകളിലോ അറ്റങ്ങളിലോ വിഭാഗത്തിന്റെ.

സെഗ്‌മെന്റിലെ y=f(x) എന്ന തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1) f "(x) കണ്ടെത്തുക.
2) f "(x) = 0 അല്ലെങ്കിൽ f" (x) - നിലവിലില്ലാത്ത പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അവയിൽ നിന്ന് സെഗ്‌മെന്റിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്നവ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
3) ഖണ്ഡിക 2-ൽ ലഭിച്ച പോയിന്റുകളിലും സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തും y \u003d f (x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക, അവയിൽ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതും തിരഞ്ഞെടുക്കുക: അവ യഥാക്രമം ഏറ്റവും വലുതാണ് ( സെഗ്‌മെന്റിലെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതും (ഏറ്റവും ചെറിയവയ്ക്ക്) ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 19. സെഗ്‌മെന്റിൽ y=x 3 -3x 2 -45+225 എന്ന തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

1) നമുക്ക് സെഗ്മെന്റിൽ y "=3x 2 -6x-45 ഉണ്ട്
2) എല്ലാ x-നും y" എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട്. നമുക്ക് y"=0 എന്ന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം; നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക
x=5 എന്ന പോയിന്റ് മാത്രമേ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഭാഗമാകൂ. ഫംഗ്‌ഷന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലുത് 225 ആണ്, ഏറ്റവും ചെറിയത് 50 ആണ്. അതിനാൽ, പരമാവധി = 225, പരമാവധി = 50.

കോൺവെക്സിറ്റിയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ അന്വേഷണം

ചിത്രം രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് ഒരു ബൾജ് മുകളിലേക്ക് തിരിയുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - ഒരു ബൾജ് താഴേക്ക്.

y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു സെഗ്‌മെന്റിൽ തുടർച്ചയായും (a;b) ഇടവേളയിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതുമാണ്, ഈ സെഗ്‌മെന്റിൽ കോൺവെക്‌സ് അപ്പ് (ഡൗൺ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, axb-ന് അതിന്റെ ഗ്രാഫ് ടാൻജെന്റിനേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ല (താഴ്‌ന്നതല്ല) ഏത് പോയിന്റിലും വരച്ച M 0 (x 0 ;f(x 0)), ഇവിടെ axb.

സിദ്ധാന്തം 4. y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഇന്റീരിയർ പോയിന്റിൽ x എന്ന രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്ത് തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ചെയ്യട്ടെ. അപ്പോൾ അസമത്വം f""(x)0 ഇടവേളയിൽ (a;b) തൃപ്തിപ്പെട്ടാൽ, ഫംഗ്ഷൻ സെഗ്മെന്റിൽ താഴോട്ട് കുത്തനെയുള്ളതാണ്; അസമത്വം f""(x)0 ഇടവേളയിൽ (a;b) പിടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ മുകളിലേയ്ക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.

സിദ്ധാന്തം 5. y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഇടവേളയിൽ (a;b) രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് x 0 പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ചിഹ്നം മാറുകയാണെങ്കിൽ, M(x 0 ;f(x 0)) ആണ് ഒരു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ്.

ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം:

1) f""(x) നിലവിലില്ലാത്ത അല്ലെങ്കിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
2) ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ കാണുന്ന ഓരോ പോയിന്റിന്റെയും ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും f""(x) ചിഹ്നം പരിശോധിക്കുക.
3) സിദ്ധാന്തം 4 അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുക.

ഉദാഹരണം 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകളും ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. വ്യക്തമായും, x 1 =0, x 2 =1 എന്നതിന് f"(x)=0. ഡെറിവേറ്റീവ്, x=0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ചിഹ്നം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറ്റുന്നു, കൂടാതെ x=1 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ അത് ചിഹ്നത്തെ മാറ്റില്ല. ഇതിനർത്ഥം x=0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് (y മിനിറ്റ് =12), കൂടാതെ x=1 എന്ന ബിന്ദുവിൽ എക്സ്ട്രീം ഇല്ല. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു . രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് x 1 =1, x 2 =1/3 എന്ന പോയിന്റുകളിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറുന്നു: കിരണത്തിൽ (-∞;) നമുക്ക് f""(x)>0 ഉണ്ട്, ഇടവേളയിൽ (;1) നമുക്ക് f""(x) ഉണ്ട്.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. അതിനാൽ, x= എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റാണ് (കൺവെക്‌സിറ്റിയിൽ നിന്ന് കോൺവെക്‌സിറ്റി മുകളിലേയ്‌ക്കുള്ള പരിവർത്തനം) കൂടാതെ x=1 ഒരു ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റും കൂടിയാണ് (കൺവെക്‌സിറ്റിയിൽ നിന്ന് കോൺവെക്‌സിറ്റി ഡൗൺ വരെയുള്ള സംക്രമണം). x= എങ്കിൽ y= ; എങ്കിൽ, x=1, y=13.

ഒരു ഗ്രാഫിന്റെ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

I. y=f(x) x → a ആയി ആണെങ്കിൽ, x=a എന്നത് ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.
II. y=f(x) x → ∞ അല്ലെങ്കിൽ x → -∞ ആണെങ്കിൽ y=A എന്നത് തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.
III. ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
1) കണക്കാക്കുക. പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അത് b ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=b എന്നത് തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്; എങ്കിൽ, രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
2) കണക്കാക്കുക. ഈ പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, ലക്ഷണമില്ല; അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ k ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മൂന്നാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
3) കണക്കാക്കുക. ഈ പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, ലക്ഷണമില്ല; അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ b ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
4) ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടിന്റെ സമവാക്യം എഴുതുക y=kx+b.

ഉദാഹരണം 21: ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി ഒരു അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തുക

1)
2)
3)
4) ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്

പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിന്റെ പദ്ധതിയും അതിന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ നിർമ്മാണവും

I. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ കണ്ടെത്തുക.
II. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
III. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക.
IV. സാധ്യമായ തീവ്രതയുടെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
വി. നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
VI. ഓക്സിലറി ഡ്രോയിംഗ് ഉപയോഗിച്ച്, ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അടയാളം അന്വേഷിക്കുക. ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും മേഖലകൾ നിർണ്ണയിക്കുക, ഗ്രാഫിന്റെ കോൺവെക്‌സിറ്റിയുടെ ദിശ, എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ, ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
VII. 1-6 ഖണ്ഡികകളിൽ നടത്തിയ പഠനം കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

ഉദാഹരണം 22: മുകളിലുള്ള സ്കീം അനുസരിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക

പരിഹാരം.
I. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ x=1 ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.
II. x 2 +1=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലാത്തതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഓക്സ് അക്ഷവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളില്ല, പക്ഷേ Oy അക്ഷത്തെ ബിന്ദുവിൽ (0; -1) വിഭജിക്കുന്നു.
III. അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം നമുക്ക് വ്യക്തമാക്കാം. x=1 വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റിന് സമീപമുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവം ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്നു. x → -∞ എന്നതിന് y → ∞, x → 1+ ന് y → +∞ ആയതിനാൽ, x=1 എന്ന വരി ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോറ്റാണ്.
x → +∞(x → -∞) ആണെങ്കിൽ y → +∞(y → -∞); അതിനാൽ, ഗ്രാഫിന് ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടില്ല. കൂടാതെ, പരിധികളുടെ അസ്തിത്വത്തിൽ നിന്ന്

x 2 -2x-1=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, സാധ്യമായ ഒരു എക്സ്ട്രീമിന്റെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും:
x 1 =1-√2, x 2 =1+√2

വി. നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നു:

f""(x) അപ്രത്യക്ഷമാകാത്തതിനാൽ, നിർണായക പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല.
VI. ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അടയാളം ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്നു. പരിഗണിക്കേണ്ട സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ: x 1 =1-√2, x 2 =1+√2, ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിലനിൽപ്പിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) കൂടാതെ (1+√2;+∞).

ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും, ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു: ആദ്യത്തേതിൽ - പ്ലസ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ - മൈനസ്, മൂന്നാമത്തേത് - പ്ലസ്. ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ക്രമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതപ്പെടും: +, -, +.
(-∞;1-√2) എന്നതിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയും (1-√2;1+√2)-ൽ അത് കുറയുകയും (1+√2;+∞)-ൽ അത് വീണ്ടും വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ: പരമാവധി x=1-√2, അതിലുപരി f(1-√2)=2-2√2 കുറഞ്ഞത് x=1+√2, കൂടാതെ f(1+√2)=2+2√2. ഓൺ (-∞;1) ഗ്രാഫ് മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്, കൂടാതെ (1;+∞) - താഴേക്ക്.
VII നമുക്ക് ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം

VIII ലഭിച്ച ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പഠനത്തിലെയും അവയുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ നിർമ്മാണത്തിലെയും റഫറൻസ് പോയിന്റുകൾ സ്വഭാവ പോയിന്റുകളാണ് - വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ, തീവ്രത, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായുള്ള വിഭജനം. ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിന്റെ സഹായത്തോടെ, ഫംഗ്ഷനുകളിലെ മാറ്റത്തിന്റെ സ്വഭാവ സവിശേഷതകൾ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും: വർദ്ധനവും കുറവും, മാക്സിമയും മിനിമയും, ഗ്രാഫിന്റെ കോൺവെക്സിറ്റിയുടെയും കോൺകാവിറ്റിയുടെയും ദിശ, അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യം.

ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു സ്കെച്ച് അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം സ്‌കെച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയും (കൂടാതെ വേണം), കൂടാതെ പഠന വേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിന്റെ സംഗ്രഹ പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

സാധാരണയായി, പ്രവർത്തന ഗവേഷണത്തിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

1.ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ, തുടർച്ചയായ ഇടവേളകൾ, ബ്രേക്ക്‌പോയിന്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

2.ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഒറ്റയ്‌ക്ക് (ഗ്രാഫിന്റെ അക്ഷീയ അല്ലെങ്കിൽ കേന്ദ്ര സമമിതി) ഫംഗ്‌ഷൻ പരിശോധിക്കുക.

3.അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ (ലംബമോ തിരശ്ചീനമോ ചരിഞ്ഞതോ) കണ്ടെത്തുക.

4.ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ, അതിന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തി പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക.

5.വക്രതയുടെ കോൺവെക്സിറ്റിയുടെയും കോൺകാവിറ്റിയുടെയും ഇടവേളകൾ, അതിന്റെ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

6.കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, വക്രത്തിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

7.പഠനത്തിന്റെ ഒരു സംഗ്രഹ പട്ടിക സമാഹരിക്കുക.

8.മേൽപ്പറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾക്കനുസരിച്ച് നടപ്പിലാക്കിയ ഫംഗ്ഷന്റെ പഠനം കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

ഉദാഹരണം.ഫംഗ്‌ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക

അത് തന്ത്രം ചെയ്യുക.

7. ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിന്റെ ഒരു സംഗ്രഹ പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം, അവിടെ ഞങ്ങൾ എല്ലാ സ്വഭാവ സവിശേഷതകളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഇടവേളകളും നൽകും. ഫംഗ്‌ഷന്റെ സമത്വം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക ലഭിക്കും: