Бодлого В15 - Функцийг дериватив ашиглан судал. Функцийг дериватив ашиглан судлах Функцийг дериватив ашиглан судлах
В15 асуудалд экстремумын томъёогоор тодорхойлсон функцийг судлахыг санал болгож байна. Энэ бол тооцооллын стандарт асуудал бөгөөд түүний хүндрэл нь тухайн функцээс хамааран ихээхэн ялгаатай байдаг: заримыг нь шууд утгаараа амаар шийдэж болох бөгөөд зарим нь нухацтай бодохыг шаарддаг.
Шийдлийн аргуудыг судлахын өмнө та математик анализын салбараас зарим нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй. Тиймээс В15 бодлогод дериватив ашиглан дараах хэмжигдэхүүнүүдийг олох хэрэгтэй.
- Орон нутгийн хамгийн их (хамгийн бага) цэгүүд - функц хамгийн их (хамгийн бага) утгад хүрэх хувьсагчийн утга. Ийм цэгүүдийг мөн экстремум цэг гэж нэрлэдэг.
- Функцийн дэлхийн хамгийн их (хамгийн бага) нь заасан хязгаарлалтын дагуу функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга юм. Өөр нэг нэр нь дэлхийн хэт туйлшрал юм.
Энэ тохиолдолд дэлхийн экстремумыг ихэвчлэн функцийн тодорхойлолтын бүх хүрээнд биш, харин зөвхөн тодорхой сегмент дээр эрэлхийлдэг. Глобал экстремум ба экстремум цэг дэх функцын утга нь үргэлж давхцдаггүй гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Үүнийг тодорхой жишээгээр тайлбарлая:
Даалгавар. [−3” интервал дээр y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 функцийн хамгийн бага цэг ба хамгийн бага утгыг ол; 3].
Нэгдүгээрт, бид деривативыг тооцоолох хамгийн бага цэгийг олно.
y’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12.
y’ = 0 тэгшитгэлийг шийдэж эгзэгтэй цэгүүдийг олцгооё. Бид стандарт квадрат тэгшитгэлийг авна.
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.
Эдгээр цэгүүдийг координатын шугам дээр тэмдэглэж, дериватив тэмдэг, хязгаарлалтуудыг нэмж оруулцгаая - сегментийн төгсгөлүүд:
Зургийн хэмжээ хамаагүй. Хамгийн чухал зүйл бол цэгүүдийг зөв дарааллаар тэмдэглэх явдал юм. Сургуулийн математикийн хичээлээс бид хамгийн бага цэг дээр дериватив нь хасахаас нэмэх тэмдэг рүү шилждэг гэдгийг бид мэднэ. Тоолох нь үргэлж зүүнээс баруун тийш - эерэг хагас тэнхлэгийн чиглэлд явагддаг. Тиймээс зөвхөн нэг хамгийн бага цэг байна: x = 2.
Одоо [−3; 3]. Энэ нь хамгийн бага цэг дээр (дараа нь дэлхийн хамгийн бага цэг болдог) эсвэл сегментийн төгсгөлд хүрдэг. (2; 3) интервал дээр дериватив нь хаа сайгүй эерэг байх ба энэ нь y(3) > y(2) гэсэн утгатай тул сегментийн баруун төгсгөлийг үл тоомсорлож болохыг анхаарна уу. Үлдсэн цорын ганц цэг нь x = −3 (сегментийн зүүн төгсгөл) ба x = 2 (хамгийн бага цэг). Бидэнд байгаа:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.
Тиймээс функцийн хамгийн бага утга нь сегментийн төгсгөлд −44-тэй тэнцүү байна.
Хариулт: x мин = 2; у мин = -44
Дээрх үндэслэлээс олон хүний мартдаг нэгэн чухал баримт гарч ирнэ. Функц нь экстремум цэг дээр байх албагүй хамгийн их (хамгийн бага) утгыг авдаг. Заримдаа энэ утга нь сегментийн төгсгөлд хүрдэг бөгөөд тэнд байгаа дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх албагүй.
Асуудлыг шийдвэрлэх схем B15
Хэрэв B15 асуудалд интервал дээрх f(x) функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай бол дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ.
- f’(x) = 0 тэгшитгэлийг шийд. Үндэс байхгүй бол гурав дахь алхамыг алгасаад шууд дөрөв дэх алхам руу яв.
- Үүссэн үндэснээс сегментийн гадна байгаа бүх зүйлийг хайчилж ав. Үлдсэн тоонуудыг x 1, x 2, ..., x n гэж тэмдэглэе - дүрмээр бол тэдгээр нь цөөхөн байх болно.
- Хэсгийн төгсгөлүүд болон x 1, x 2, ..., x n цэгүүдийг анхны функцэд орлуулъя. Бид f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n) тоонуудын багцыг авдаг бөгөөд үүнээс бид хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг сонгоно. хариулт.
Сегментийн төгсгөлтэй давхцаж байгаа үндсийг нь хасах тухай товч тайлбар. Дөрөв дэх алхамд f'(x) = 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй байсан ч сегментийн төгсгөлүүд функцэд орлуулсан хэвээр байгаа тул тэдгээрийг мөн зурж болно.
Даалгавар. y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 функцийн хамгийн том утгыг [−5; 0].
Эхлээд деривативыг олъё: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9.
Дараа нь бид тэгшитгэлийг шийднэ: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.
Бид x = 1 үндсийг таслав, учир нь энэ нь сегментэд хамаарахгүй [−5; 0].
Сегментийн төгсгөл ба x = −3 цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолоход л үлддэг.
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4 0 2 − 9 0 − 7 = −7.
Мэдээжийн хэрэг, хамгийн том утга нь 20 - энэ нь x = −3 цэг дээр хүрдэг.
Одоо сегмент дээрх f(x) функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэгийг олох шаардлагатай тохиолдлыг авч үзье. Хэрэв сегментийг заагаагүй бол функцийг түүний тодорхойлолтын хүрээнд авч үзнэ. Ямар ч тохиолдолд шийдэл нь дараах байдалтай байна.
- Функцийн деривативыг ол: f’(x).
- f’(x) = 0 тэгшитгэлийг шийд. Хэрэв дериватив нь бутархай рационал функц бол түүний хуваагч тэг байх үед бид нэмэлтээр олно. Үүссэн язгууруудыг x 1 , x 2 , ..., x n гэж тэмдэглэе.
- Координатын шулуун дээр x 1, x 2, ..., x n гэж тэмдэглээд эдгээр тоонуудын хооронд дериватив авах тэмдгүүдийг байрлуул. Хэрэв сегмент өгөгдсөн бол түүнийг тэмдэглээд гаднах бүх зүйлийг зур.
- Үлдсэн цэгүүдийн дотроос бид деривативын тэмдэг нь хасахаас нэмэх (энэ нь хамгийн бага цэг) эсвэл нэмэхээс хасах (хамгийн бага цэг) болж өөрчлөгддөг цэгийг хайж байна. Зөвхөн нэг ийм цэг байх ёстой - энэ нь хариулт байх болно.
Бодлоготой уншигч зарим функцэд энэ алгоритм ажиллахгүй байгааг анзаарах байх. Үнэн хэрэгтээ экстремум цэгүүдийг олоход илүү төвөгтэй тооцоолол шаардагддаг функцүүдийн бүхэл бүтэн анги байдаг. Гэсэн хэдий ч математикийн улсын нэгдсэн шалгалтад ийм функц байдаггүй.
x 1, x 2, ..., x n цэгүүдийн хооронд тэмдгүүдийг байрлуулахад анхаарлаа хандуулаарай. Санаж байна уу: тэгш олон тооны үндэс дамжин өнгөрөхөд деривативын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэт их цэгүүдийг хайхдаа тэмдгүүдийг үргэлж зүүнээс баруун тийш хардаг, өөрөөр хэлбэл. тооны тэнхлэгийн чиглэлд.
Даалгавар. Функцийн хамгийн их цэгийг ол
сегмент дээр [−8; 8].
Деривативыг олцгооё:
Энэ нь бутархай рационал функц тул дериватив ба түүний хуваагчийг тэгтэй тэнцүүлнэ.
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (хоёр дахь үржвэрийн үндэс).
Координатын шулуун дээр x = −5, x = 0, x = 5 цэгүүдийг тэмдэглэж, тэмдэг, хил хязгаарыг байрлуулцгаая.
Мэдээжийн хэрэг, x = −5 сегмент дотор зөвхөн нэг цэг үлдсэн бөгөөд энэ үед деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгддөг. Энэ бол хамгийн дээд цэг юм.
Экстремум цэгүүд нь экстремумуудаас юугаараа ялгаатай болохыг дахин нэг удаа тайлбарлая. Экстремум цэгүүд нь функц хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг авах хувьсагчийн утгууд юм. Экстрем гэдэг нь зарим хөршийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага функцүүдийн утгууд юм.
Б15 бодлогод ердийн олон гишүүнт ба бутархай рационал функцүүдээс гадна дараах төрлийн илэрхийллүүд олддог.
- Иррационал функцууд
- Тригонометрийн функцууд,
- экспоненциал функцууд,
- Логарифм функцууд.
Дүрмээр бол үндэслэлгүй функцтэй холбоотой асуудал гардаггүй. Үлдсэн тохиолдлуудыг илүү нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй.
Тригонометрийн функцууд
Тригонометрийн функцүүдийн гол бэрхшээл бол тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед хязгааргүй тооны үндэс үүсдэг. Жишээлбэл, sin x = 0 тэгшитгэл нь x = πn үндэстэй, энд n ∈ Z. За, ийм тоо хязгааргүй олон байвал координатын шулуун дээр хэрхэн тэмдэглэх вэ?
Хариулт нь энгийн: та n-ийн тодорхой утгыг орлуулах хэрэгтэй. Үнэн хэрэгтээ тригонометрийн функц бүхий B15 асуудалд үргэлж хязгаарлалт байдаг - сегмент. Тиймээс бид эхлээд n = 0-ийг аваад дараа нь харгалзах үндэс нь сегментийн хилээс "нисэх" хүртэл n-ийг нэмэгдүүлнэ. Үүний нэгэн адил n-ийг бууруулснаар бид тун удахгүй доод хязгаараас бага язгуурыг авах болно.
Тухайн сегмент дээр авч үзэх явцад олж авсан үндэснээс өөр үндэс байхгүй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Одоо энэ үйл явцыг тодорхой жишээн дээр авч үзье.
Даалгавар. [−π/3 хэрчимд хамаарах y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1 функцийн хамгийн их цэгийг ол; π/3].
Бид деривативыг тооцоолно: y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x.
Дараа нь бид тэгшитгэлийг шийднэ: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x) cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0.2 эсвэл x = π/2 + πn, n ∈ Z.
X = 0.2 үндэстэй бүх зүйл тодорхой боловч x = π/2 + πn томъёо нь нэмэлт боловсруулалт шаарддаг. Бид n = 0-ээс эхлэн n-ийн өөр утгыг орлуулах болно.
n = 0 ⇒ x = π/2. Харин π/2 > π/3 тул x = π/2 язгуур нь анхны сегментэд ороогүй болно. Мөн n том байх тусмаа х их байх тул n > 0 гэж үзэх нь утгагүй юм.
n = −1 ⇒ x = − π/2. Гэхдээ -π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.
Энэ нь [−π/3; π/3] нь зөвхөн x = 0.2 язгууртай байна. Үүнийг координатын шугам дээрх тэмдэг, хилийн хамт тэмдэглэе.
x = 0.2-ын баруун талд байгаа дериватив үнэхээр сөрөг байгаа эсэхийг шалгахын тулд x = π/4 утгыг y’ гэж орлуулахад хангалттай. Бид x = 0.2 цэг дээр дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг тул энэ нь хамгийн дээд цэг гэдгийг тэмдэглэх болно.
Даалгавар. [−π/4 интервал дээр y = 4tg x − 4x + π − 5 функцийн хамгийн том утгыг ол; π/4].
Бид деривативыг тооцоолно: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.
Дараа нь бид тэгшитгэлийг шийднэ: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.
n = 0-ээс эхлэн тодорхой n-ийг орлуулах замаар энэ томъёоноос үндсийг гаргаж авцгаая:
n = 0 ⇒ x = 0. Энэ үндэс нь бидэнд тохирно.
n = 1 ⇒ x = π. Харин π > π/4 тул x = π язгуур болон n > 1 утгыг хасах шаардлагатай.
n = −1 ⇒ x = −π. Гэхдээ π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.
Бүх төрлийн язгууруудаас зөвхөн нэг нь л үлддэг: x = 0. Иймээс бид функцийн утгыг x = 0, x = π/4 ба x = −π/4 гэж тооцдог.
y(0) = 4тг 0 − 4 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4тг (π/4) − 4 π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4 (−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.
Одоо π = 3.14 ... гэдгийг анхаарна уу.< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.
Сүүлийн асуудалд тоонуудыг хооронд нь харьцуулахгүй байх боломжтой байсныг анхаарна уу. Эцсийн эцэст хариултын хуудсан дээр π − 5, 1, 2π − 9 тоонуудаас зөвхөн нэгийг нь бичиж болно. Үнэхээр маягт дээр π тоог яаж бичих вэ? Гэхдээ арга ч үгүй. Энэ нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын эхний хэсгийн чухал шинж чанар бөгөөд олон асуудлын шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг. Мөн энэ нь зөвхөн B15 дээр ажилладаггүй.
Заримдаа функцийг судлах үед үндэсгүй тэгшитгэлүүд үүсдэг. Энэ тохиолдолд зөвхөн сегментийн төгсгөлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй тул даалгавар нь илүү хялбар болно.
Даалгавар. [−3π/2 интервал дээр y = 7sin x − 8x + 5 функцийн хамгийн бага утгыг ол; 0].
Эхлээд бид деривативыг олно: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8.
Тэгшитгэлийг шийдэж үзье: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Гэхдээ cos x-ийн утга нь үргэлж [−1; 1], мөн 8/7 > 1. Тиймээс үндэс байхгүй.
Хэрэв үндэс байхгүй бол юуг ч таслах шаардлагагүй болно. Сүүлийн алхам руу шилжье - функцийн утгыг тооцоолох:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8 0 + 5 = 5.
Хариултын хуудсан дээр 12π + 12 тоог бичих боломжгүй тул y = 5 л үлдэнэ.
Экспоненциал функцууд
Ерөнхийдөө экспоненциал функц нь y = a x хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд энд a > 0. Харин В15 бодлогод зөвхөн y = e x, онцгой тохиолдолд y = e kx + b хэлбэрийн функцууд байдаг. Үүний шалтгаан нь эдгээр функцүүдийн деривативуудыг маш амархан тооцдог.
- (e x)" = e x. Юу ч өөрчлөгдөөгүй.
- (e kx + b)" = k·e kx + b. Зүгээр л x хувьсагчийн коэффициенттэй тэнцэх хүчин зүйлийг нэмэхэд л хангалттай. Энэ нь нийлмэл функцийн деривативын онцгой тохиолдол юм.
Бусад бүх зүйл үнэхээр стандарт юм. Мэдээжийн хэрэг, В15 асуудлын бодит функцууд нь илүү ноцтой харагдаж байгаа ч энэ нь шийдлийн схемийг өөрчлөхгүй. Нарийвчилсан үндэслэл, тайлбаргүйгээр зөвхөн шийдлийн гол санааг онцолсон хэд хэдэн жишээг харцгаая.
Даалгавар. y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 функцийн хамгийн бага утгыг [−1; 5].
Дериватив: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .
Үндэсийг ол: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.
Хоёр үндэс нь [−1] сегмент дээр байрладаг; 5]. Бүх цэгүүдэд функцийн утгыг олоход л үлддэг.
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5 0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5 e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5 3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5 5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5 e 2 .
Олж авсан дөрвөн тооноос зөвхөн y = −1-ийг маягт дээр бичиж болно. Үүнээс гадна, энэ нь цорын ганц сөрөг тоо юм - энэ нь хамгийн бага байх болно.
Даалгавар. y = (2x − 7) e 8 − 2x функцийн хэрчим дээрх хамгийн том утгыг ол.
Дериватив: y’ = ((2x − 7) e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x) e 8 − 2x = 4(4 − x) e 8 − 2x .
Үндэсийг ол: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x) e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.
X = 4 үндэс нь сегментэд хамаарна. Бид функцийн утгуудыг хайж байна:
y(0) = (2 0 − 7)e 8 − 2 0 = ... = −7 e 8 ;
y(4) = (2 4 − 7)e 8 − 2 4 = ... = 1;
y(6) = (2 6 − 7)e 8 − 2 6 = ... = 5 e −4 .
Зөвхөн y = 1 хариулт байж болох нь ойлгомжтой.
Логарифм функцууд
Экспоненциал функцтэй зүйрлэвэл В15 асуудалд зөвхөн натурал логарифмууд л тааралдана, учир нь тэдгээрийн деривативыг хялбархан тооцдог.
- (ln x)’ = 1/x;
- (ln(kx + b))’ = k/(kx + b). Ялангуяа b = 0 бол (ln(kx))’ = 1/x.
Тиймээс дериватив нь үргэлж бутархай рационал функц байх болно. Үлдсэн зүйл бол энэ дериватив ба түүний хуваагчийг тэгтэй тэнцүүлж, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх явдал юм.
Логарифмын функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд: натурал логарифм нь зөвхөн e n хэлбэрийн цэгүүдэд "хэвийн" тоо болдог гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, ln 1 = ln e 0 = 0 нь логарифмын тэг бөгөөд ихэнхдээ шийдэл нь үүн дээр ирдэг. Бусад тохиолдолд логарифмын тэмдгийг "арилгах" боломжгүй юм.
Даалгавар. y = x 2 − 3x + ln x функцийн сегмент дээрх хамгийн бага утгыг ол.
Бид деривативыг тооцоолно:
Бид дериватив ба түүний хуваагчийн тэгийг олно.
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0.5; x = 1;
x = 0 - энд шийдэх зүйл алга.
x = 0, x = 0.5 ба x = 1 гэсэн гурван тооноос зөвхөн x = 1 нь сегмент дотор байрлах ба x = 0.5 тоо нь түүний төгсгөл юм. Бидэнд байгаа:
y(0.5) = 0.5 2 − 3 0.5 + ln 0.5 = ln 0.5 − 1.25;
y(1) = 1 2 − 3 1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3 5 + ln 5 = 10 + ln 5.
Олж авсан гурван утгын зөвхөн y = −2 нь логарифмын тэмдэг агуулаагүй - энэ нь хариулт байх болно.
Даалгавар. y = ln(6x) − 6x + 4 функцийн хэрчим дээрх хамгийн их утгыг ол.
Бид деривативыг тооцоолно:
Дериватив эсвэл түүний хуваагч тэгтэй тэнцүү байх үед бид олж мэднэ.
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - аль хэдийн шийдсэн.
Х = 0 тоо сегментийн гадна байрладаг тул бид таслав. Бид сегментийн төгсгөл ба x = 1/6 цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолно.
y(0.1) = ln(6 0.1) − 6 0.1 + 4 = ln 0.6 + 3.4;
y(1/6) = ln(6 1/6) − 6 1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6 3) − 6 3 + 4 = ln 18 − 14.
Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн y = 3 хариулт болж чадна - үлдсэн утгууд нь логарифмын тэмдгийг агуулсан бөгөөд хариултын хуудсан дээр бичих боломжгүй.
цэг гэж нэрлэдэг хамгийн их (хамгийн бага) цэг
функцууд, хэрэв байгаа бол энэ хөршийн хүн бүрт тэгш бус байдал ийм цэгийн хөрш 
(
).
Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг цэг гэж нэрлэдэг экстремум (Зураг 25).
Теорем 3.9 (экстремум цэгүүд байх зайлшгүй нөхцөл) . 1-р төрлийн эгзэгтэй цэгүүдэд функцийн дериватив нь аль аль нь байна
тэг эсвэл байхгүй
1-р төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийг ихэвчлэн энгийн чухал цэгүүд гэж нэрлэдэг.
Функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх эгзэгтэй цэгүүдийг дуудна хөдөлгөөнгүй байдлын цэгүүд
. Функц тасралтгүй байх боловч ялгах боломжгүй чухал цэгүүдийг дуудна булангийн цэгүүд
. Жишээлбэл, тухайн цэг дээрх функц тасралтгүй боловч деривативгүй, учир нь энэ үед функцийн графикт хязгааргүй тооны шүргэгч зурж болно (Зураг 26). Энэ тохиолдлыг теорем 3.3-ын эсрэг заалт худал гэдгийг батлах баталгаа гэж үзэж болно.
Функцийг дууддаг нэмэгдэх тодорхой интервал дээр, хэрэв энэ интервал дээр аргументийн том утга нь хувьсагчийн том утгатай тохирч байвал буурч байна , хэрэв аргументийн том утга нь хувьсагчийн бага утгатай тохирч байвал.
Цаашид судалгаа хийхийн тулд чухал цэгүүдийг тоон тэнхлэгт байрлуулж, эдгээр цэгүүдээр интервалд хувааж, дараа нь дараах хангалттай нөхцлийг баталгаажуулна.
Теорем 3.10 (функцийг нэмэгдүүлэх, бууруулах хангалттай нөхцөл).Хэрэв тодорхой интервал дээр функц дифференциалагдах ба түүний дериватив эерэг (сөрөг) байвал энэ интервал дээрх функц өснө (буурна)
Теорем 3.11 (функцийн экстремум цэгүүд байх хангалттай нөхцөл).Хэрэв функц нь эгзэгтэй цэгийн зарим хөршид тасралтгүй бөгөөд ялгагдах боломжтой бөгөөд түүгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл цэг нь хамгийн их цэг болно; хэрэв хасахаас нэмэх бол цэг нь функцийн хамгийн бага цэг болно
Хангалттай нөхцөл хангагдаагүй функцийн чухал цэгүүд нь 1-р төрлийн чухал цэгүүд хэвээр байна.
Дериватив байхгүй 1-р төрлийн чухал цэгүүдийг хоёр ангилалд хуваана.
- функц тасралтгүй байх цэгүүд (хэрэв теорем 3.11-ийг хангасан бол эдгээр цэгүүдийн функц нь "хурц" экстремумтай байна), эдгээр нь булан цэгүүд;
– функц тасалдсан цэгүүд (үргэлж 2-р төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийн ангилалд шилждэг).
Гэхдээ ийм байдлаар хийгдсэн судалгаа нь маш чухал асуултанд хариулдаггүй: функц хэрхэн өсдөг (буурдаг) - гүдгэр эсвэл хотгор уу? Хоёрдахь дериватив ашиглан функцийг цаашид судлах замаар тавьсан асуултын хариултыг өгнө. Шаардлагатай хэд хэдэн тодорхойлолтыг өгье.
Функцийг дууддаг гүдгэр (хотгор) Хэрэв энэ интервалын цэг бүрт функцийн график руу татсан шүргэгч нь тухайн функцийн график дээр (доор) байгаа бол тодорхой интервал дээр.
Функцийн гүдгэр хэсгүүдийг гүдгэр хэсгүүдээс тусгаарлах цэгүүдийг түүний гэж нэрлэдэг гулзайлтын цэгүүд (Зураг 27).
Теорем 3.12 (гулзайлтын цэг байх зайлшгүй нөхцөл). 2-р төрлийн эгзэгтэй цэгүүдэд функцийн хоёр дахь дериватив нь тэг эсвэл байхгүй байна
Цаашдын судалгаа хийхийн тулд 2-р төрлийн чухал цэгүүдийг тоон тэнхлэгт байрлуулж, эдгээр цэгүүдээр интервалд хувааж, дараа нь дараах хангалттай нөхцөлийг баталгаажуулна.
Теорем 3.13 (функцийн гүдгэр ба хонхор байдлын хангалттай нөхцөл).Хэрэв тодорхой интервал дээр функц хоёр дахин дифференциалагдах ба түүний хоёр дахь дериватив эерэг (сөрөг) байвал энэ интервал дээрх функц нь хотгор (гүдгэр) байна.
Хангалттай нөхцөл хангагдаагүй функцийн чухал цэгүүд нь 2-р төрлийн чухал цэгүүд хэвээр үлдэнэ.
Хоёрдахь дериватив байхгүй 2-р төрлийн чухал цэгүүдийг хоёр ангилалд хуваана.
– функц тасралтгүй байх цэгүүд, эдгээр нь "хурц" гулзайлтын цэгүүд юм - ийм цэгүүдэд функцийн графикт хязгааргүй тооны шүргэгчийг зурж болно (Зураг 28);
– функц тасалдсан цэгүүд (2-р төрлийн тасалдалтын цэгүүдэд функцийн график нь босоо асимптоттой байдаг).
Функцийн экстремум ба гулзайлтын цэгүүдийн эцсийн жагсаалтыг гаргахын тулд тэдгээрийн ординатыг олж, дараа нь заасан цэгүүдийг хоёр координатаар бичих шаардлагатай.
Өөрийгөө шалгах асуултууд.
1. Функцийн экстремум цэгүүд (хамгийн их ба минимум) гэж ямар цэгүүдийг нэрлэх вэ?
2. Ямар функцийг нэмэгдүүлэх (буурах) гэж нэрлэдэг вэ?
3. Функцийн экстремум цэгүүд байх зайлшгүй шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл юу вэ?
4. Функц нэмэгдэх (буурагдах) хангалттай нөхцөл юу вэ?
5. Функцийн гулзайлтын цэг гэж ямар цэгүүдийг нэрлэх вэ?
6. Аль функцийг гүдгэр (гүдгэр) гэж нэрлэдэг вэ?
7. Функцийн гулзайлтын цэгүүд байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл юу вэ?
8. Функцийн гүдгэр (гүдгэр) байх хангалттай нөхцөл юу вэ?
Хичээлийн зорилго:Функцийн судалгааг хэрхэн хийх талаар суралцах; тэдгээрийн графикийг бүтээх.
Маягт:хичээл-яриа.
Арга:харилцан яриа, үзүүлэн, слайд.
Тоног төхөөрөмж:МХТ, хүснэгт.
Хичээлийн үеэр
I. Гэрийн даалгавар шалгах.
Багш: - Залуус аа! Та "Функцийн чухал цэгүүд, максимум ба минимум" гэрийн даалгавартай байсан. Функцийн чухал цэгийг тодорхойлно уу.
Оюутан: - Чухал цэг гэдэг нь үүсмэл утга нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байх тодорхойлолтын хүрээний дотоод цэг юм.
Багш: - Чухал цэгүүдийг хэрхэн олох вэ?
Оюутан: - 1
) Функцийн деривативыг олох;
2) Тэгшитгэлийг шийд: f "(x) = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь критик цэгүүд юм.
Багш: - Функцийн чухал цэгүүдийг ол:
a) f(x)= 4 - 2x + 7x 2
b) f(x)= 4x - x 3 /3
a) 1) Энэ функцийн деривативыг ол:
f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x
2) f "(x)=0 тэгшитгэлийг шийд<=>-2+14x =0<=>x=1/7
3) f "(x) = 0 тэгшитгэл нь нэг үндэстэй тул энэ функц нь нэг чухал цэгтэй х = 1/7 байна.
b) 1) Энэ функцийн деривативыг ол: f "(x)= 4 - x 2
2) Тэгшитгэлийг шийд: f "(x)=0<=>4 - x 2 = 0<=>x = 2 эсвэл x = -2
3) f "(x) = 0 тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй тул энэ функц нь x 1 = 2 ба x 2 = -2 гэсэн хоёр чухал цэгтэй байна.
II.Аман ажил.
Багш: - Залуус аа! Шинэ сэдвийг судлахад шаардлагатай үндсэн асуултуудыг давтан хэлье. Үүнийг хийхийн тулд зурагтай хүснэгтүүдийг анхаарч үзээрэй ( Хавсралт 1).
Функц нэмэгдэх ба буурах цэгүүдийг заана уу. Эдгээр цэгүүдийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Сурагч: - Зураг дээр a) - K цэг нь хамгийн их цэг, зураг b) - М цэг нь хамгийн их цэг юм.
Багш: - Функцийн хамгийн бага цэгүүдийг нэрлэнэ үү.
Сурагч: - Зураг c) ба d) дээрх К цэг нь функцийн хамгийн бага цэг юм.
Багш: - Ямар цэгүүд функцийн экстремум цэг байж болох вэ?
Сурагч: - Чухал цэгүүд нь функцийн экстремум цэгүүд байж болно.
Багш: - Та ямар шаардлагатай нөхцлийг мэдэх вэ?
Сурагч: - Фермагийн теорем байна. Экстремумын зайлшгүй нөхцөл:Хэрэв x 0 цэг нь f функцийн экстремум цэг бөгөөд энэ үед f " дериватив байгаа бол энэ нь тэгтэй тэнцүү байна: f "(x) = 0.
Багш: - Функцийн чухал цэгүүдийг ол:
a) f(x) = | x |
б) f(x) = 2x + | x |
Сурагч: - f(x) = | функцийг авч үзье x | ( хавсралт 2). Энэ функц 0-д дериватив байхгүй. Энэ нь 0 нь чухал цэг гэсэн үг юм. Мэдээжийн хэрэг, 0 цэгт функц хамгийн бага байна.
Сурагч: - f(x) = 2x + | функцийг авч үзье x | ( Хавсралт 3). Графикаас харахад 0 цэгт энэ функц нь экстремумгүй байна. Энэ үед функц нь деривативгүй.
Үнэн хэрэгтээ f функцийг 0 цэгт дериватив гэж үзвэл f(x) - 2x нь мөн 0 цэгт деривативтэй байна. Гэхдээ f(x) - 2x = | x |, функц нь | x | 0 цэг дээр ялгах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл. бид зөрчилдөөнд хүрлээ.
Энэ нь 0 цэг дэх f функц нь деривативгүй гэсэн үг юм.
Багш: - Фермагийн теоремоос үзэхэд экстремум цэгүүдийг олохдоо чухал цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ авч үзсэн жишээнүүдээс харахад энэ чухал цэг нь экстремум цэг байхын тулд зарим нэмэлт нөхцөл шаардлагатай болох нь тодорхой байна.
Нэг цэгт экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөлийг та мэдэх вэ?
Оюутан: - Функцийн дээд тэмдэг: Хэрэв f функц нь x 0 цэг дээр тасралтгүй, f "(x)>0 (a; x 0) ба f "(x) интервал дээр байвал.<0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.
Өөрөөр хэлбэл, x 0 цэг дээр дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу өөрчлөгдвөл x 0 нь хамгийн их цэг болно.
Оюутан: - Хамгийн бага тэмдэг: Хэрэв f функц x 0 цэг дээр тасралтгүй байвал f "(x)<0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >0 интервал дээр (x 0 ; b), тэгвэл x 0 цэг нь f функцийн хамгийн бага цэг болно.
Өөрөөр хэлбэл, x 0 цэг дээр дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгдвөл x 0 нь хамгийн бага цэг болно.
Багш: - Та функцийн экстремум цэгийг олох ямар алгоритмыг мэдэх вэ?
Оюутан f функцийг экстремум хүртэл нь судлах алгоритмыг дериватив () ашиглан тайлбарлав. Хавсралт 4) ба функцийн экстремум цэгүүдийг олно:
f (x)= x 4 -2x 2
D (f) =IR ба f нь бүхэл бүтэн рационал функц шиг бүхэл тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.
2. f "(x) = 4x 3 -4x = 4x (x+1)(x-1).
3. f "(x)=0<=>x= -1 V x=0 V x=1.
Зураг 1 (f " тэмдэг)
f нь эгзэгтэй цэгүүдэд тасралтгүй байх тул Зураг 1-ээс ( Хавсралт 5) -1 ба 1 нь хамгийн бага цэг, 0 нь f функцийн хамгийн их цэг болох нь тодорхой байна.
f min = f (-1) = f (1) = -1, f max = f (0) =0.
Багш: - Залуус аа! f функцийн монотон байдлын интервалыг олох алгоритмыг санацгаая.
Оюутан f ( функцийн монотон байдлын интервалыг олох алгоритмыг санаж байна. Хавсралт 6).
Багш: - Томъёогоор өгөгдсөн f функцийн өсөлт буурах интервалыг ол
f (x)= x 3 -12x
Шийдэл:
1. f(x) олон гишүүнт тул D (f) =IR.
2. f функц нь бүхэл тооны шулуун дээр дифференциалагдах ба f "(x)= 3x 2 -12 = 3 (x+2) (x-2).
3. f функцийн критик цэгүүд нь зөвхөн f "(x) -ийн тэг байж болно.
f "(x) =0<=>x = -2 V x=2.
D (f)\ (-2; 2)= (-; -2) U (-2; 2) U (2; +).
Зураг 2 (f " тэмдэг).
Энэ функцийн тодорхойлолт ба утгыг олох f.
Функц нь судалгааг хөнгөвчлөх шинж чанартай эсэхийг олж мэдээрэй, өөрөөр хэлбэл f функц нь:
а) тэгш эсвэл сондгой;
б) үе үе.
3. Графикийн координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн координатыг тооцоол.
4. f функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг ол.
5. f функц аль интервалд нэмэгдэж, аль үед буурч байгааг ол.
6. Экстремум цэгүүдийг (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) олж, эдгээр цэгүүдэд f-ийн утгыг тооцоол.
7. Тодорхойлолтын мужид ороогүй шинж чанарын цэгүүдийн ойролцоо f функцийн зан төлөвийг судал.
8. Функцийн графикийг байгуул.
Энэ диаграм нь ойролцоо байна.
Дээр дурдсан бүх зүйлийг харгалзан үзээд f(x) = 3x 5 -5x 3 +2 функцийг судалж, графикийг нь байгуулъя.
Заасан схемийн дагуу судалгаа хийцгээе.
f (x) нь олон гишүүнт тул D (f ") =IR.
f функц нь тэгш, сондгой ч биш, учир нь
f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5x 3 +2= -(3x 5 -5x 3 -2) f(x)
Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн координатыг олъё.
a) 0X тэнхлэгийн хувьд бид тэгшитгэлийг шийднэ: 3x 5 -5x 3 +2 = 0.
Сонгох аргыг ашигласнаар та язгууруудын аль нэгийг олох боломжтой (x = 1). Бусад үндэсийг зөвхөн ойролцоогоор олж болно. Тиймээс энэ функцийн хувьд бид графикийн абсцисса тэнхлэг ба тогтмол тэмдгийн интервалтай огтлолцох үлдсэн цэгүүдийг олохгүй.
б) 0У тэнхлэгтэй: f(0)=2
А цэг (0; 2) нь функцийн графикийн 0Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм.
Бид тэмдгийн тогтмол байдлын интервалыг олохгүй гэдгийг тэмдэглэв.
Өсөх ба буурах функцийн интервалыг олъё
a) f "(x)= 15x 4 -15x 2 = 15x 2 (x 2 -1)
D (f ") =IR, тиймээс f "(x) байхгүй чухал цэг байхгүй.
b) f "(x) = 0, хэрэв x 2 (x 2 -1) = 0 бол<=>x = -1 V x = 0 V x = 1.
в) Бид гурван чухал цэгийг авдаг; тэдгээр нь координатын шугамыг дөрвөн интервалд хуваадаг. Эдгээр интервал дээр деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.
Зураг 3 (f " тэмдэг)
IV. Шинэ сэдвийг бэхлэх. Асуудал шийдэх.
Багш: - Функцийг судалж графикийг нь байгуул: f (x) = x 4 -2x 2 -3.
Сурагч: - 1) D (f) = R.
2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2x 2 -3; f(-x)= f(x),
Энэ нь f функц тэгш байна гэсэн үг. Үүний судалгааг функц нь --ээс -4 хүртэл өсөх интервал дээр хийж болох тул энэ интервал дээр f (x) = 0 тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.
b) интервал дээр [-1; 2] тэгшитгэл нь мөн үндэсгүй тул энэ интервал дээр функц нь -4-ээс -31 хүртэл буурдаг.
в) Интервал дээр ба [-∞;-1]-ээр буурна.
Экстремум цэгүүд: x мин = -1
Функцийн экстремум: y min =y(-1)=1-2= -1
III бүлэг. Функцийн судалгаа.
3.1. Функцийг судлах ерөнхий схем.
Функцийг шалгахдаа судалгааны ерөнхий схемийг мэдэх хэрэгтэй.
1) D(y) – тодорхойлолтын муж (х хувьсагчийн өөрчлөлтийн муж)
2) E(y) - x утгын талбай (y хувьсагчийн өөрчлөлтийн талбай)
3) Функцийн төрөл: тэгш, сондгой, үечилсэн эсвэл ерөнхий функц.
4) Функцийн графикийн Ohi O тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд (боломжтой бол).
5) Шинж тэмдгүүдийн тогтмол байдлын интервалууд:
a) функц эерэг утгыг авна: f(x)>0
б) сөрөг утга: f(x)<0.
6) Функцийн монотон байдлын интервалууд:
а) нэмэгдүүлэх;
б) буурах;
в) тогтмол байдал (f=const).
7) Экстремум оноо (хамгийн бага ба хамгийн их оноо)
8) Функцийн экстремум (хамгийн бага ба хамгийн их цэг дэх функцын утга)
9) Нэмэлт оноо.
Функцийн графикийг илүү нарийвчлалтай зурахын тулд тэдгээрийг авч болно.
f функцийн экстремумууд нь функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгатай үргэлж давхцдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
3.2. Өсөх, буурах функцүүдийн шинж тэмдэг.
Хэрэв та санамсаргүй байдлаар сонгосон зарим цэгүүдийг гөлгөр шугамаар холбосон функцийн графикийг бүтээвэл, дараа нь маш олон тооны санамсаргүй байдлаар сонгосон цэгүүдтэй байсан ч гэсэн ийм аргаар барьсан график нь өгөгдсөн графикаас эрс ялгаатай байх болно. Өгөгдсөн функцийн график.
Хэрэв та функцийг судлахдаа дериватив ашиглаж, "лавлагаа" гэж нэрлэгддэг цэгүүдийг олвол, i.e. завсарлагааны цэгүүд, хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд, функцийн монотон байдлын интервалууд, дараа нь цөөн тооны ийм "лавлагаа" цэгүүд байсан ч бид функцийн графикийн талаар зөв ойлголттой болно.
Жишээ рүү шилжихээсээ өмнө би шаардлагатай тодорхойлолт, теоремуудыг өгөх болно.
Интервал дахь функцийн монотон байдлыг тодорхойлох
y=f(x) функцийг x 1 нөхцлөөс энэ интервалын аль нэг x 1 ба x 2 цэгүүдэд байвал интервал дээр нэмэгдэж байна гэж хэлнэ.<х 2
следует, что f(x 1)
Интервал дахь функцийн монотон байдлын хангалттай шинж тэмдэг. Теорем: хэрэв функц нь интервалын цэг бүрт эерэг (сөрөг) деривативтай бол энэ интервал дээр функц нэмэгддэг (буурдаг).
Сургуулийн сурах бичигт энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг.
Хэрэв бид f ’(x)=tgα, α нь өгөгдсөн х цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчийн налуу гэдгийг санаж байвал теоремын геометрийн тайлбар маш энгийн. Жишээлбэл, тодорхой интервалын бүх цэг дээр f ‘ (x)>0 байвал абсцисса тэнхлэгтэй графикт шүргэгч нь хурц өнцөг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь x нэмэгдэх тусам f(x) мөн нэмэгдэнэ гэсэн үг юм. Хэрэв f '(x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.
3.3. Функцийн эгзэгтэй цэгүүд, максимум ба минимум.
Функцийн экстремум цэгүүдийг тодорхойлох . f(x) функцийн тодорхойлолтын мужаас х 0-г дотоод цэг гэж үзье. Дараа нь хэрэв ийм δ - хөрш байгаа бол ] x 0 - δ, x 0 + δ [ x 0 цэгүүд нь энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x)≤f(x0) тэгш бус байдал (f(x) тэгш бус байдал) )≥f (x 0)), x 0 цэгийг энэ функцийн хамгийн их цэг (хамгийн бага цэг) гэнэ.
Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд нь функцийн тодорхойлолтын хүрээний дотоод цэгүүд юм.
Ялгах функцийн экстремум байгаагийн зайлшгүй шинж тэмдэг .
Фермагийн теорем.
Хэрэв x 0 нь f(x) функцийн экстремум цэг бөгөөд энэ үед дериватив байгаа бол тэгтэй тэнцүү байна: f ’(x 0) = 0.
Энэ теорем нь дифференциалагдах функцийн экстремум байх хангалттай нөхцөл биш юм: хэрвээ x 0 цэгт дериватив алга болбол энэ функц x 0 цэгт экстремумтай байна гэсэн дүгнэлт гарахгүй.
Функцийн чухал цэгүүдийг тодорхойлох . Функцийн үүсмэл нь 0-тэй тэнцүү эсвэл байхгүй байгаа функцийн тодорхойлолтын хүрээний дотоод цэгүүдийг функцийн чухал цэгүүд гэнэ.
Экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл .
Теорем 1. Хэрэв f(x) функц x 0 цэг дээр тасралтгүй байвал интервал дээр f ‘(x)>0 ба f ‘(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).
Теорем 2. Хэрэв f(x) функц x 0 цэг дээр тасралтгүй байвал f ‘(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 интервал дээр байвал x 0 нь f(x) функцийн хамгийн бага цэг болно.
Функцийн туйлын цэгүүдийг олохын тулд түүний эгзэгтэй цэгүүдийг олох хэрэгтэй бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийн хувьд экстремумын хангалттай нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй.
3.4. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд.
Интервал дахь функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох дүрэм. Тодорхой интервалд ялгах функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд интервал дотор байрлах бүх чухал цэгүүдийг олох, эдгээр цэгүүд болон интервалын төгсгөлд функцийн утгыг тооцоолох, мөн ийм аргаар олж авсан функцийн бүх утгуудаас хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоно уу.
IV бүлэг. Функцийг судлахад дериватив ашиглах жишээ.
Жишээ 11. y=x 3 +6x 2 +9x функцийг судалж, график зур.
2) Функцийн төрлийг тодорхойлъё:
y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9х ерөнхий хэлбэрийн функц.
x=0 эсвэл x 2 +6x+9=0
D=0, тэгшитгэл нь нэг язгууртай.
(0;0) ба (-3;0) нь x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм.
y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9
y’=0, өөрөөр хэлбэл. 3x 2 +12x+9=0 3-аар буурна
D>0, тэгшитгэл нь 2 үндэстэй.
x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2, x 2 =(-4-2)/2
0 
-4
x=-4, y’=3*16-48+9=9>0
x=-2, y’=12-24+9=-3<0
x=0, y’=0+0+9=9>0
7) x min ба x max-ийг ол:
8) Функцийн экстремумыг ол:
y мин =y(-1)=-1+6-9=-4
y max =y(-3)=-27+54-27=0
9) Функцийн графикийг зурцгаая:
10) Нэмэлт оноо:
y(-4)=-64+96-36=-4
Жишээ 12. y=x 2 /(x-2) функцийг судалж, график зур
y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)
Функцийн асимптотуудыг олцгооё.
x≠ 2, x=2 – босоо асимптот
y=x+2 – ташуу асимптот, учир нь
Тодорхойлолтын домэйныг олъё.
2) Функцийн төрлийг тодорхойлъё.
y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), ерөнхий хэлбэрийн функц.
3) Тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
Oy: x=0, y=0 (0;0) – у тэнхлэгтэй огтлолцох цэг.
x=0 эсвэл x=2 (2;0) – х тэнхлэгтэй огтлолцох цэг
4) Функцийн деривативыг ол:
y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x) -2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2
5) Чухал цэгүүдийг тодорхойлъё:
x 2 -4x=0 x(x-4)=0
y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>
(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2
x 2 -4x=0, ба (x-2) 2 ≠ 0, i.e. x≠ 2
6) Координатын шулуун дээрх эгзэгтэй цэгүүдийг тодорхойлж, функцийн тэмдгийг тодорхойлъё.
0 8
x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0
x=1, y’=(1-4)/1=-3<0
x=3, y’=(9-12)/1=-3<0
x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0
7) Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг ол:
8) Функцийн экстремумыг ол:
y мин =y(4)=16/2=8
9) Функцийн графикийг зурцгаая:
10) Нэмэлт оноо:
y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9
y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9
Жишээ 13. y=(6(x-1))/(x 2 +3) функцийг судалж, график байгуул. 1) Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол:
2) Функцийн төрлийг тодорхойлъё:
y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) ерөнхий хэлбэрийн функц юм.
3) Тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол:
O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – у тэнхлэгтэй огтлолцох цэг.
(6(x-1))/(x 2 +3)=0
O x: y=0,<=>
4) Функцийн деривативыг ол:
y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x) -3)/(x 2 +3) 2
5) Чухал цэгүүдийг тодорхойлъё:
y’=0, өөрөөр хэлбэл. -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0
y’=0, хэрэв x 1 =-1 эсвэл x 2 =3 бол x=-1 ба x=3, критик цэгүүд.
6) Координатын шулуун дээрх эгзэгтэй цэгүүдийг тэмдэглэж, функцийн тэмдгийг тодорхойлъё.
-3 2
x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0
x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0
x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0
7) Хамгийн бага ба хамгийн их оноог ол:
8) Функцийн экстремумыг ол:
y мин =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3
y max =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1
9) Функцийн графикийг зурцгаая:
10) Нэмэлт оноо:
y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2
y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0.77
Жишээ 14. y=xlnx функцийг судалж, графикийг зур.
1) Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол:
D(y)=R + (зөвхөн эерэг утгууд)
2) Функцийн төрлийг тодорхойлъё:
y(-x)=-xlnx - ерөнхий хэлбэрийн.
3) Тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол:
O y, гэхдээ x≠ 0, энэ нь у тэнхлэгтэй огтлолцох цэг байхгүй гэсэн үг юм.
O x: y=0, энэ нь xlnx=0
x=0 эсвэл lnx=0
(1;0) – х тэнхлэгтэй огтлолцох цэг
4) Функцийн деривативыг ол:
y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1
5) Чухал цэгүүдийг тодорхойлъё:
y’=0, энэ нь lnx +1=0
y’=0, хэрэв x=1/e бол x=1/e нь критик цэг болно.
6) Координатын шулуун дээрх эгзэгтэй цэгүүдийг тэмдэглэж, функцийн тэмдгийг тодорхойлъё.
1/e 
x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0
x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0
7) 1/e – функцийн хамгийн бага цэг.
8) Функцийн экстремумыг ол:
y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0.4).
9) Функцийн графикийг зурцгаая:
Дүгнэлт.
Энэ сэдвээр олон эрдэмтэн, философичид ажилласан. Олон жилийн өмнө эдгээр нэр томъёонууд үүссэн: функц, график, функцийн судалгаа, шинэ шинж чанар, шинж чанарыг олж авсаар байна.
Би энэ сэдвийг сонгосон, учир нь би энэхүү судалгааны замыг функцээр судлах сонирхолтой байсан. Функц, түүний шинж чанар, хувиргалтын талаар илүү ихийг мэдэхийг олон хүн сонирхож байх шиг байна. Энэхүү эссэ бичиж дуусгаснаар би өөрийн ур чадвараа системчилж, энэ сэдвийн талаарх мэдлэгээ өргөжүүлсэн.
Би хүн бүрийг энэ сэдвийг цаашид судлахыг хүсч байна.
Ном зүй.
1. Башмаков, М.И. Алгебр ба анализын эхлэл. - М.: Боловсрол, 1992.
2. Глейзер, Г.И. Сургуулийн математикийн түүх. - М.: Боловсрол, 1983.
3. Гусев, В.А. Математик: Лавлах материал.- М.: Боловсрол, 1888.
4. Дорофеев, Г.В. Их, дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн гарын авлага. - М.: Наука, 1974.
5. Зорин, В.В. Их, дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн гарын авлага. - М.: Дээд сургууль, 1980 он.
6. Колмогоров А.Н. Алгебр ба анализын эхлэл. - М.: Боловсрол, 1993.
