Пифагорын гурвалсан ба тэдгээрийн тоо. Орчин үеийн шинжлэх ухаан эрчимтэй технологи Пифагорын гурвалсан хэсэг болох анхны тоонууд

"Бүсийн боловсролын төв"

Арга зүйн хөгжил

Шийдвэрлэхдээ Пифагорын гурвыг ашиглах

геометрийн бодлого, тригонометрийн даалгавар ХЭРЭГЛЭЭ

Калуга, 2016 он

I Танилцуулга

Пифагорын теорем бол геометрийн гол, тэр ч байтугай хамгийн чухал теоремуудын нэг юм. Үүний ач холбогдол нь геометрийн теоремуудын ихэнхийг үүнээс эсвэл түүний тусламжтайгаар гаргаж авах боломжтойд оршдог. Пифагорын теорем нь өөрөө огт илэрхий биш байдгаараа бас гайхалтай юм. Жишээлбэл, ижил өнцөгт гурвалжны шинж чанарыг зураг дээрээс шууд харж болно. Гэхдээ та тэгш өнцөгт гурвалжинг хэрхэн харав ч түүний талуудын хооронд ийм энгийн харьцаа байгааг та хэзээ ч харахгүй. a2+b2=c2. Гэсэн хэдий ч түүний нэрийг авсан теоремыг Пифагор нээсэнгүй. Энэ нь бүр эрт мэдэгдэж байсан, гэхдээ магадгүй зөвхөн хэмжилтээс үүдэлтэй баримт юм. Пифагор үүнийг мэддэг байсан ч нотлох баримт олсон байх.

Хязгааргүй олон натурал тоо байдаг a, b, c, харилцааг хангаж байна a2+b2=c2.. Тэдгээрийг Пифагорын тоо гэж нэрлэдэг. Пифагорын теоремын дагуу ийм тоонууд нь зарим тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын урт болж чаддаг - бид тэдгээрийг Пифагорын гурвалжин гэж нэрлэх болно.

Ажлын зорилго:Сургуулийн математикийн хичээл, USE даалгаврын асуудлыг шийдвэрлэхэд Пифагорын гурвалсан аргыг ашиглах боломж, үр нөлөөг судлах.

Ажлын зорилгод үндэслэн дараахь даалгавар:

Пифагорын гурвын түүх, ангиллыг судлах. Сургуулийн сурах бичигт байгаа, шалгалтын хяналтын болон хэмжих материалд байгаа Пифагорын гурвалсан даалгавруудыг ашиглан дүн шинжилгээ хийх. Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд Пифагорын гурвалсан тоо, тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах үр нөлөөг үнэлэх.

Судалгааны объект: Пифагорын гурвалсан тоо.

Судалгааны сэдэв: Пифагорын гурвалжинг ашигладаг тригонометр, геометрийн сургуулийн хичээлийн даалгавар.

Судалгааны хамаарал. Пифагор гурвыг ихэвчлэн геометр, тригонометрт ашигладаг бөгөөд үүнийг мэдэх нь тооцооллын алдааг арилгаж, цаг хугацаа хэмнэх болно.

II. Гол хэсэг. Пифагорын гурвалсан тоог ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх.

2.1.Пифагорын тооны гурвалсан хүснэгт (Перелманы хэлснээр)

Пифагорын тоонууд нь хэлбэртэй байдаг а= м н, , энд m ба n нь зарим нэг хувь сондгой тоо юм.

Пифагорын тоонууд нь хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг.

"Хөл" -ийн нэг нь гурвын үржвэр байх ёстой.

"Хөл" -ийн нэг нь дөрвийн үржвэр байх ёстой.

Пифагорын тоонуудын нэг нь тавын үржвэр байх ёстой.

"Хөгжилтэй алгебр" ном нь нийтлэг хүчин зүйлгүй нэг зуу хүртэлх тоог агуулсан Пифагорын гурвалсан хүснэгтийг агуулдаг.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Шустровын Пифагорын гурвалсан ангилал.

Шустров дараах загварыг нээсэн: хэрэв бүх Пифагор гурвалжинг бүлэгт хуваасан бол сондгой хөл x, тэгш у ба гипотенуз z-ийн хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, энд N нь гэр бүлийн тоо, n нь гэр бүлийн гурвалжны дарааллын дугаар юм.

Томъёонд N ба n-ийн оронд нэгээс эхлэн эерэг бүхэл тоог орлуулснаар та Пифагорын бүх үндсэн гурвалсан тоог, мөн тодорхой төрлийн үржвэрийг авч болно. Та бүх Пифагорын гурвалсан хүснэгтийг гэр бүл бүрт зориулж хийж болно.

2.3. Планиметрийн даалгавар

Геометрийн янз бүрийн сурах бичгүүдээс гарсан асуудлуудыг авч үзээд эдгээр даалгавруудад Пифагорын гурвалсан тоо хэр олон байдгийг олж мэдье. Пифагорын гурвалсан хүснэгтээс гуравдахь элементийг олоход зориулсан өчүүхэн асуудлыг авч үзэхгүй, гэхдээ тэдгээр нь сурах бичигт байдаг. Өгөгдөл нь натурал тоогоор илэрхийлэгдээгүй асуудлын шийдлийг Пифагорын гурвалсан болгож хэрхэн бууруулахыг үзүүлье.

7-9-р ангийн геометрийн сурах бичгийн даалгавруудыг авч үзье.

№ 000. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузыг ол А=, б=.

Шийдэл. Хөлний уртыг 7-оор үржүүлээрэй, бид Пифагорын гурвалсан 3 ба 4-ээс хоёр элементийг олж авдаг. Алга болсон элемент нь 5 бөгөөд бид 7-д хуваагдана. Хариулт.

№ 000. ABCD тэгш өнцөгт дээр CD=1.5, AC=2.5 бол BC-ийг ол.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" өргөн "240" өндөр "139 src=">

Шийдэл. ACD тэгш өнцөгт гурвалжинг шийдье. Бид уртыг 2-оор үржүүлж, Пифагорын гурвалсан 3 ба 5-аас хоёр элементийг олж авдаг, алга болсон элемент нь 4, бид 2-оор хуваагдана. Хариулт: 2.

Дараагийн тоог шийдэхдээ харьцааг шалгана уу a2+b2=c2Энэ нь бүрэн сонголттой тул Пифагорын тоо, тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглахад хангалттай.

№ 000. Гурвалжингийн талууд нь тоогоор илэрхийлэгдсэн бол гурвалжин тэгш өнцөгт эсэхийг олж мэд.

a) 6,8,10 (Пифагорын гурвалсан 3,4.5) - тийм;

Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл нь 4-т хуваагдах ёстой. Хариулт: үгүй.

в) 9,12,15 (Пифагорын гурвалсан 3,4.5) - тийм;

d) 10,24,26 (Пифагорын гурвалсан 5,12.13) - тийм;

Пифагорын тоонуудын нэг нь тавын үржвэр байх ёстой. Хариулт: үгүй.

g) 15, 20, 25 (Пифагорын гурвалсан 3,4.5) - тийм ээ.

Энэ хэсгийн гучин есөн даалгавраас (Пифагорын теорем) хорин хоёрыг нь Пифагорын тоо, тэдгээрийн шинж чанарын мэдлэгийг ашиглан амаар шийддэг.

№000 асуудлыг авч үзье ("Нэмэлт даалгавар" хэсгээс):

AB=5см, BC=13см, CD=9см, DA=15см, AC=12см байх ABCD дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Даалгавар бол харьцааг шалгах явдал юм a2+b2=c2өгөгдсөн дөрвөлжин нь хоёр тэгш өнцөгт гурвалжнаас (урвуу теорем) тогтдогийг батал. Мөн Пифагорын гурав дахин: 3, 4, 5 ба 5, 12, 13 гэсэн мэдлэг нь тооцооллын хэрэгцээг арилгадаг.

7-9-р ангийн геометрийн сурах бичгээс хэд хэдэн асуудлын шийдлийг өгье.

Бодлого 156 (h). Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүд нь 9 ба 40. Гипотенуз руу татсан медианыг ол.

Шийдэл . Гипотенуз руу татсан медиан нь түүний хагастай тэнцүү байна. Пифагорын гурвалсан нь 9.40 ба 41. Тиймээс медиан нь 20.5 байна.

Асуудал 156 (i). Гурвалжны талууд нь: А= 13 см, b= 20 см ба өндөр hс = 12 см Суурийг ол -тай.

Даалгавар (KIM ашиглах). BH өндөр нь 12 бөгөөд энэ нь мэдэгдэж байгаа бол ABC хурц гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиусыг ол. нүгэл А=,нүгэл C \u003d үлдсэн "\u003e

Шийдэл.Бид тэгш өнцөгт ∆ ASC-ийг шийднэ: sin A=, BH=12, иймээс AB=13,AK=5 (Пифагорын гурвалсан 5,12,13). Тэгш өнцөгт ∆ BCH-ийг шийдэх: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Пифагор гурвалсан 3,4,5).Радиусыг r === томъёогоор олно 4. Хариу.4.

2.4. Тригонометрт Пифагорын гурвалсан

Тригонометрийн үндсэн ижилсэл нь Пифагорын теоремын онцгой тохиолдол юм: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Тиймээс зарим тригонометрийн даалгавруудыг Пифагорын гурвалсан тоог ашиглан амаар амархан шийддэг.

Функцийн өгөгдсөн утгаас бусад тригонометрийн функцүүдийн утгыг олох шаардлагатай асуудлуудыг квадрат язгуур гаргаж авахгүйгээр шийдэж болно. Сургуулийн алгебрийн сурах бичиг (10-11) Мордкович (№ 000-№ 000) дээрх энэ төрлийн бүх ажлыг амаар шийдэж, хэдхэн Пифагорын гурвыг мэддэг: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Хоёр даалгаврын шийдлийг авч үзье.

дугаар 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Шийдэл. Пифагорын гурвалсан: 3, 4, 5. Тиймээс cos t = -3/5; tg t = -4/3,

дугаар 000 b). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.

Шийдэл. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Пифагорын гурвалсан 5,12,13. Тэмдгийг өгснөөр бид sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12 болно.

3. Шалгалтын хяналт, хэмжих материал

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

б) нүгэл (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 тг (π–арксин (–3/5))= 4/3 тг (π+арксин 3/5)= 4/3 тг арксин 3/5=4/3 3/4=1

д) тэгш байдлын үнэн зөвийг шалгах:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Шийдэл. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

нүгэл (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = нүгэл (arccos 16/65)

нүгэл (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Дүгнэлт

Геометрийн бодлогод ихэвчлэн тэгш өнцөгт гурвалжинг, заримдаа хэд хэдэн удаа шийдэх шаардлагатай болдог. Сургуулийн сурах бичиг, ашиглалтын материалын даалгаварт дүн шинжилгээ хийсний дараа гурвыг голчлон ашигладаг гэж дүгнэж болно: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; санахад хялбар байдаг. Зарим тригонометрийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ тригонометрийн томьёо, олон тооны тооцооллыг ашигладаг сонгодог шийдэл нь цаг хугацаа шаарддаг бөгөөд Пифагорын гурвалсан байдлын талаархи мэдлэг нь тооцооллын алдааг арилгаж, шалгалтанд илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд цаг хэмнэх болно.

Ном зүйн жагсаалт

1. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11 анги. 2 цаг. 2-р хэсэг. Боловсролын байгууллагад зориулсан даалгавар / [болон бусад]; ed. . - 8 дахь хэвлэл, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 х. : өвчтэй.

2. Перелман алгебр. - Д.: VAP, 1994. - 200 х.

3. Рогановский: Прок. 7-9 эсийн хувьд. гүнтэй ерөнхий боловсролын математикийн судалгаа. сургууль орос хэлнээс lang. суралцах, - 3-р хэвлэл. - Mn.; Нар. Асвета, 2000. - 574 х.: өвчтэй.

4. Математик: Түүх, арга зүй, дидактикийн чиглэлээр уншигч. / Comp. . - М.: URAO-ийн хэвлэлийн газар, 2001. - 384 х.

5. "Сургуулийн математик" сэтгүүл 1965 оны №1.

6. Шалгалтын хяналтын болон хэмжих материал.

7. Геометр, 7-9: Proc. боловсролын байгууллагуудад зориулсан / гэх мэт - 13-р хэвлэл - М .: Боловсрол, 2003. – 384 х. : өвчтэй.

8. Геометр: Proc. 10-11 эсийн хувьд. дундаж сургууль / гэх мэт - 2-р хэвлэл. - М .: Боловсрол, 1993, - 207 х.: өвчтэй.

Перелман алгебр. - Д.: VAP, 1994. - 200 х.

"Сургуулийн математик" сэтгүүл 1965 оны №1.

Геометр, 7-9: Proc. боловсролын байгууллагуудад зориулсан / гэх мэт - 13-р хэвлэл - М .: Боловсрол, 2003. – 384 х. : өвчтэй.

Рогановский: Прок. 7-9 эсийн хувьд. гүнтэй ерөнхий боловсролын математикийн судалгаа. сургууль орос хэлнээс lang. суралцах, - 3-р хэвлэл. - Mn.; Нар. Асвета, 2000. - 574 х.: өвчтэй.

Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11 анги. 2 цаг. 2-р хэсэг. Боловсролын байгууллагад зориулсан даалгавар / [болон бусад]; ed. . - 8 дахь хэвлэл, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 х. : өвчтэй, х.18.

Белотелов В.А. Пифагорын гурвалсан ба тэдгээрийн тоо // Нестеровын нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нийтлэл нь нэг профессорын хариулт юм - чимхэгч. Хараач, профессор аа, тэд манай тосгонд яаж үүнийг хийж байна.

Нижний Новгород муж, Заволжье.

Диофантийн тэгшитгэлийг (ADDE) шийдвэрлэх алгоритмын мэдлэг, олон гишүүнт прогрессийн талаархи мэдлэг шаардлагатай.

IF бол анхны тоо юм.

MF нь нийлмэл тоо юм.

N сондгой тоо байг. Нэгээс бусад сондгой тооны хувьд та тэгшитгэл бичиж болно.

p 2 + N \u003d q 2,

Энд р + q = N, q – р = 1 байна.

Жишээлбэл, 21 ба 23 тоонуудын хувьд тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Хэрэв N анхны бол энэ тэгшитгэл нь өвөрмөц юм. Хэрэв N тоо нь нийлмэл бол энэ тоог илэрхийлэх хос хүчин зүйлүүдийн тоо, түүний дотор 1 x N-ийн хувьд ижил төстэй тэгшитгэл зохиож болно.

N = 45 тоог авъя, -

1 х 45 = 45, 3 х 15 = 45, 5 х 9 = 45.

Би мөрөөдөж байсан, гэхдээ энэ нь IF болон MF хоёрын ялгааг дагаж, тэдгээрийг тодорхойлох аргыг олох боломжтой юу.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя;

Доод тэгшитгэлийг өөрчилье, -

N \u003d 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

N-ийн утгыг - a, i.e. дэх шалгуурын дагуу бүлэглэе. ширээ хийцгээе.

N тоонуудыг матрицад нэгтгэн харуулав, -

Энэ даалгаврын хувьд би олон гишүүнт болон тэдгээрийн матрицуудын прогрессийг судлах шаардлагатай болсон. Бүх зүйл дэмий хоосон болж хувирав - PCh хамгаалалт хүчтэй болсон. 1-р хүснэгтэд - a \u003d 1 (q - p \u003d 1) гэсэн баганыг оруулъя.

Дахин нэг удаа. IF болон MF-ийг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэх оролдлого хийсний үр дүнд 2-р хүснэгтийг олж авсан. Хүснэгтээс харахад дурын N тооны хувьд 2-т 2 + N \u003d хэлбэрийн олон тооны тэгшитгэлүүд байгаа бөгөөд N тоог хэдэн хос хүчин зүйлд хувааж болох бөгөөд үүнд 1 x N хүчин зүйл багтана. N \u003d ℓ 2 тоонууд руу, хаана

ℓ - FC. N = ℓ 2-ын хувьд ℓ нь IF бол p 2 + N = q 2 өвөрмөц тэгшитгэл байна. Хүснэгтэнд N-ийг бүрдүүлэгч хос хүчин зүйлсээс нэгээс ∞ хүртэлх жижиг хүчин зүйлсийг жагсаасан бол бид ямар нэмэлт нотолгооны талаар ярьж болох вэ? Бид 2-р хүснэгтийг цээжинд байрлуулж, цээжийг шүүгээнд нууна.

Өгүүллийн гарчигт дурдсан сэдэв рүү буцъя.

Энэ нийтлэл нь нэг профессорын хариулт юм - чимхэгч.

Би тусламж хүссэн - Интернетээс олж чадаагүй хэд хэдэн дугаар хэрэгтэй байсан. Би "юуны төлөө?", "Гэхдээ аргаа зааж өгөөч" гэх мэт асуултуудтай тулгарсан. Тэр дундаа Пифагорын гурвалсан цуваа хязгааргүй эсэх, "Үүнийг хэрхэн батлах вэ?" гэсэн асуулт гарч ирэв. Тэр надад тусалсангүй. Хараач, профессор аа, тэд манай тосгонд яаж үүнийг хийж байна.

Пифагорын гурвалсан томъёог авч үзье, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

ARDU-г дайран өнгөрье.

Гурван нөхцөл байдал боломжтой:

I. x бол сондгой тоо,

y бол тэгш тоо

z нь тэгш тоо юм.

Мөн x > y > z гэсэн нөхцөл бий.

II. x бол сондгой тоо

y бол тэгш тоо

z бол сондгой тоо.

x > z > y.

III.x - тэгш тоо,

y бол сондгой тоо

z бол сондгой тоо.

x > y > z.

Би-ээс эхэлье.

Шинэ хувьсагчдыг танилцуулъя

(1) тэгшитгэлд орлуулна уу.

2γ гэсэн жижиг хувьсагчаар цуцалъя.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

ƒ шинэ параметрийг нэгэн зэрэг оруулах замаар 2β – 2γ хувьсагчийг жижигрүүлье.

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Дараа нь 2α - 2β = x - y - 1.

Тэгшитгэл (2) нь дараах хэлбэртэй байна.

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2

Үүнийг квадрат болгоё -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU нь параметрүүдээр дамжуулан тэгшитгэлийн ахлах гишүүдийн хоорондын хамаарлыг өгдөг тул бид (3) тэгшитгэлийг авсан.

Шийдлийн сонголттой харьцах нь хатуу биш юм. Гэхдээ нэгдүгээрт, явах газар байхгүй, хоёрдугаарт, эдгээр шийдлүүдийн хэд хэдэн нь шаардлагатай бөгөөд бид хязгааргүй олон шийдлийг сэргээж чадна.

ƒ = 1, k = 1-ийн хувьд бид x – y = 1 байна.

ƒ = 12, k = 16 бол бид x - y = 9 байна.

ƒ = 4, k = 32 бол бид x - y = 25 байна.

Та үүнийг удаан хугацаанд авч болно, гэхдээ эцэст нь цуврал нь дараах хэлбэртэй болно.

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

II хувилбарыг авч үзье.

(1) тэгшитгэлд шинэ хувьсагчийг оруулъя.

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Бид 2 β-ийг бага хувьсагчаар бууруулна, -

(2α - 2β + 2к + 1) 2 = (2α - 2β + 2к+1) 2 + (2к) 2 .

2α – 2β, – жижиг хувьсагчаар бууруулъя.

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z ба (4) тэгшитгэлд орлуулна.

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2к) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2к + 1) (x - z) - (2к) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4 байхад бид x - z = 2 байна.

ƒ = 8, k = 14 бол бид x - z = 8 байна.

ƒ = 3, k = 24 бол бид x - z = 18 байна.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Трапецийг зурцгаая -

Томъёо бичье.

Энд n=1, 2,...∞.

III тохиолдлыг тайлбарлахгүй - тэнд ямар ч шийдэл байхгүй.

II нөхцөлийн хувьд гурвалсан багц дараах байдалтай байна.

Тодорхой болгох үүднээс (1) тэгшитгэлийг x 2 = z 2 + y 2 гэж үзүүлэв.

I нөхцөлийн хувьд гурвалсан багц дараах байдалтай байна.

Нийтдээ 9 багана гурвалсан, тус бүрдээ таван гурвалсан байна. Мөн танилцуулсан багана бүрийг ∞ хүртэл бичиж болно.

Жишээлбэл, сүүлийн баганын гурвалсан хэсгийг авч үзье, энд x - y \u003d 81 байна.

x-ийн утгуудын хувьд бид трапец бичнэ, -

Томьёог бичье

Бид утгуудын хувьд трапец бичдэг, -

Томьёог бичье

z-ийн утгуудын хувьд бид трапец бичнэ, -

Томьёог бичье

Энд n = 1 ÷ ∞ байна.

Амласан ёсоор x - y = 81-тэй гурвалсан цуваа ∞ руу ниснэ.

I, II тохиолдлуудад x, y, z-ийн матрицуудыг байгуулах оролдлого байсан.

Дээд талын мөрүүдээс х-ийн сүүлийн таван баганыг бичээд трапец барина.

Энэ нь ажиллахгүй байсан бөгөөд загвар нь квадрат байх ёстой. Бүх зүйлийг задгай хэлбэрээр хийхийн тулд I ба II баганыг нэгтгэх шаардлагатай болсон.

II тохиолдолд y, z хэмжигдэхүүнүүд дахин солигдоно.

Бид нэг шалтгаанаар нэгдэж чадсан - картууд энэ даалгаварт сайн тохирдог - бид азтай байсан.

Одоо та x, y, z матрицуудыг бичиж болно.

Дээд эгнээний х утгын сүүлийн таван баганаас аваад трапецын хэлбэрийг байгуулъя.

Бүх зүйл хэвийн байна, та матрицуудыг барьж болно, тэгээд z-ийн матрицаас эхэлье.

Би шүүгээ рүү гүйж авдар хайж байна.

Нийт: Нэгээс гадна тоон тэнхлэгийн сондгой тоо бүр нь Пифагорын гурвалсан тоо үүсэхэд энэ N тоог бүрдүүлдэг тэнцүү тооны хос хүчин зүйлүүд, үүнд 1 х N хүчин зүйл оролцдог.

N \u003d ℓ 2 тоо, энд ℓ - IF нь Пифагорын нэг гурвыг бүрдүүлдэг, хэрвээ ℓ нь MF бол ℓхℓ хүчин зүйл дээр гурвалсан байхгүй болно.

x,y-ийн матрицуудыг байгуулъя.

x-ийн матрицаас эхэлцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид IF ба MF-ийг тодорхойлох асуудлаас координатын сүлжээг татах болно.

Босоо эгнээний дугаарлалтыг илэрхийллээр хэвийн болгосон

Эхний баганыг хасъя, учир нь

Матриц нь дараах хэлбэртэй болно.

Босоо мөрүүдийг дүрсэлцгээе, -

"a" дээрх коэффициентүүдийг тайлбарлая.

Чөлөөт гишүүдийг тайлбарлая, -

"x"-ийн ерөнхий томьёог гаргая, -

Хэрэв бид "y" дээр ижил төстэй ажил хийвэл бид дараахь зүйлийг авна.

Та энэ үр дүнд нөгөө талаас хандаж болно.

Тэгшитгэлийг авч үзье,

ба 2-д 2 + N =.

Жаахан өөрчилье -

N \u003d 2 - a 2.

Үүнийг квадрат болгоё -

N 2 \u003d 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд 4v 2 a 2 магнитудыг нэмнэ.

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d 4 + 2v 2 a 2 + a 4-д.

Мөн эцэст нь -

(2 + a 2-д) 2 \u003d (2ва) 2 + N 2.

Пифагорын гурвалсан хэсгүүд нь дараах байдлаар бүрдэнэ.

N = 117 тоотой жишээг авч үзье.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Хүснэгт 2-ын босоо багануудыг - a гэсэн утгуудаар дугаарласан бол 3-р хүснэгтийн босоо багануудыг x - y утгуудаар дугаарлана.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Гурван тэгшитгэл хийцгээе.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

3 ба 39-р хүчин зүйлүүд нь харьцангуй анхны тоо биш тул 9-ийн хүчин зүйлээр нэг гурвалсан байна.

Дээр дурдсан зүйлийг ерөнхий тэмдэгтээр дүрсэлж үзье, -

Энэ ажилд бүх зүйл, түүний дотор Пифагорын гурвалсан тоог тоогоор тооцоолох жишээг оруулав

N = 117, жижиг хүчин зүйлтэй холбоотой - a. + a дахь хүчин зүйлтэй холбоотой илт ялгаварлан гадуурхах. Энэ шударга бус байдлыг засъя - бид + a гэсэн хүчин зүйлтэй гурван тэгшитгэл зохиоё.

IF ба MF-ийг тодорхойлох асуулт руу буцъя.

Энэ чиглэлд маш олон зүйл хийгдсэн бөгөөд өнөөдөр дараах бодол гарсаар ирсэн - таних тэгшитгэл байхгүй, хүчин зүйлийг тодорхойлох зүйл байхгүй.

Бид F = a, b (N) хамаарлыг олсон гэж бодъё.

Томьёо байдаг

Та F-ийн томъёоноос салж, a-тай холбоотой n-р зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авна, өөрөөр хэлбэл. F = a(N).

Энэ тэгшитгэлийн аль ч n зэрэгт m хос хүчин зүйлтэй N тоо байна, m > n хувьд.

Үүний үр дүнд n зэрэгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь m үндэстэй байх ёстой.

Тийм ээ, ийм байж болохгүй.

Энэ нийтлэлд N тоонуудыг тэгшитгэлд z байрлалд байх үед x 2 = y 2 + z 2 тэгшитгэлийн хувьд авч үзсэн. X-ийн оронд N байвал энэ нь өөр ажил юм.

Хүндэтгэсэн, Белотелов В.А.

Дараа нь бид Пифагорын гурвалсан үр дүнтэй үүсгэх алдартай аргуудыг авч үзье. Пифагорын оюутнууд анх удаа Пифагорын гурвалсан хэсгүүдийг илэрхийлдэг томьёог ашиглан Пифагорын гурвалсан тоог гаргах энгийн аргыг зохион бүтээжээ.

м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ((м 2 + 1)/2) 2 ,

Хаана м- хосгүй, м>2. Үнэхээр,

4м 2 + м 4 − 2м 2 + 1
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((м 2 + 1)/2) 2 .
4

Үүнтэй төстэй томъёог эртний Грекийн гүн ухаантан Платон санал болгосон:

(2м) 2 + (м 2 − 1) 2 = (м 2 + 1) 2 ,

Хаана м- дурын тоо. Учир нь м= 2,3,4,5-д дараах гурвалсанууд үүснэ.

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Таны харж байгаагаар эдгээр томьёо нь бүх боломжит анхдагч гурвыг өгч чадахгүй.

Олон гишүүнтийн нийлбэр болгон задалсан дараах олон гишүүнтийг авч үзье.

(2м 2 + 2м + 1) 2 = 4м 4 + 8м 3 + 8м 2 + 4м + 1 =
=4м 4 + 8м 3 + 4м 2 + 4м 2 + 4м + 1 = (2м(м+1)) 2 + (2м +1) 2 .

Тиймээс анхдагч гурвыг олж авах дараах томъёонууд:

а = 2м +1 , б = 2м(м+1) = 2м 2 + 2м , в = 2м 2 + 2м + 1.

Эдгээр томьёо нь дундаж тоо нь хамгийн томоос яг нэгээр ялгаатай гурвалсан тоог үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл бүх боломжит гурав дахин үүсдэггүй. Энд эхний гурвалсанууд нь: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Бүх анхдагч гурвыг хэрхэн үүсгэхийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн шинж чанарыг судлах хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, хэрэв ( a,b,c) нь анхдагч гурвалсан, тэгвэл аТэгээд б, бТэгээд в, АТэгээд в- дээд зэргийн байх ёстой. Болъё аТэгээд бгэж хуваагддаг г. Дараа нь а 2 + б 2 нь мөн хуваагдана г. тус тус, в 2 ба вгэж хуваах ёстой г. Энэ нь анхдагч гурвалсан зүйл биш юм.

Хоёрдугаарт, тоонуудын дунд а, бнэг нь хосолсон, нөгөө нь хосгүй байх ёстой. Үнэхээр, хэрэв аТэгээд б- тэгвэл хосолсон -тайхосолсон байх бөгөөд тоонуудыг дор хаяж 2-т хувааж болно. Хэрэв хоёулаа хосгүй бол 2-оор төлөөлж болно. к+1 би 2 л+1, хаана к,л- зарим тоо. Дараа нь а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+1+4л 2 +4л+1, өөрөөр хэлбэл, -тай 2, түүнчлэн а 2 + б 2-ыг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл гарна.

Болъё -тай- дурын тоо, өөрөөр хэлбэл -тай = 4к+би (би=0,…,3). Дараа нь -тай 2 = (4к+би) 2 нь 0 эсвэл 1-ийн үлдэгдэлтэй ба 2-ын үлдэгдэлтэй байж болохгүй. аТэгээд бсалгах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+4л 2 +4л+1 ба үлдэгдэл -тай 2-оос 4 нь 1 байх ёстой, энэ нь гэсэн үг -тайхосгүй байх ёстой.

Пифагорын гурвалсан элементүүдэд тавигдах ийм шаардлагыг дараахь тоонуудаар хангаж байна.

а = 2mn, б = м 2 − n 2 , в = м 2 + n 2 , м > n, (2)

Хаана мТэгээд nөөр өөр хослолуудтай нийцдэг. Эхний удаад эдгээр хамаарал нь 2300 r амьдарч байсан Евклидийн бүтээлүүдээс тодорхой болсон. буцаж.

(2) хамаарлын үнэн зөвийг баталцгаая. Болъё А- тэгвэл давхар бТэгээд в- хосгүй. Дараа нь в + бби в − б- хосууд. Тэдгээрийг төлөөлж болно в + б = 2уТэгээд в − б = 2v, Хаана у,vзарим бүхэл тоонууд юм. Тийм ч учраас

а 2 = -тай 2 − б 2 = (в + б)(в − б) = 2у 2 v = 4Хэт ягаан туяа

Тиймээс ( а/2) 2 = Хэт ягаан туяа.

Үүний эсрэгээр нотлогдож болно уТэгээд vхоёрдогч юм. Болъё уТэгээд v- гэж хуваагддаг г. Дараа нь ( в + б) ба ( в − б) гэж хуваагдана г. Тиймээс вТэгээд бгэж хуваах ёстой г, мөн энэ нь Пифагорын гурвалсан нөхцөлтэй зөрчилдөж байна.

Учир нь Хэт ягаан туяа = (а/2) 2 ба уТэгээд vҮүнийг батлахад амархан уТэгээд vзарим тооны квадратууд байх ёстой.

Тэгэхээр эерэг бүхэл тоонууд байна мТэгээд n, ийм у = м 2 ба v = n 2. Дараа нь

А 2 = 4Хэт ягаан туяа = 4м 2 n 2 тийм
А = 2mn; б = у − v = м 2 − n 2 ; в = у + v = м 2 + n 2 .

Учир нь б> 0, тэгвэл м > n.

Үүнийг харуулах л үлдлээ мТэгээд nөөр өөр хослолтой. Хэрэв мТэгээд n- тэгвэл хосолсон уТэгээд vхосолсон байх ёстой, гэхдээ энэ нь боломжгүй зүйл, учир нь тэдгээр нь хосолсон байдаг. Хэрэв мТэгээд n- хосгүй, тэгвэл б = м 2 − n 2 ба в = м 2 + n 2-ыг хослуулах болно, учир нь боломжгүй юм вТэгээд бхосолсон байдаг.

Тиймээс ямар ч анхдагч Пифагорын гурвалсан нөхцөл (2) хангагдсан байх ёстой. Үүний зэрэгцээ тоонууд мТэгээд nдуудсан тоо үүсгэханхдагч гурван ихэрүүд. Жишээлбэл, анхдагч Пифагорын гурвалсан (120,119,169) байцгаая. Энэ тохиолдолд

А= 120 = 2 12 5, б= 119 = 144 − 25, мөн в = 144+25=169,

Хаана м = 12, n= 5 - тоо үүсгэх, 12 > 5; 12 ба 5 нь хосолсон бөгөөд өөр өөр хослолууд юм.

Энэ нь тоогоор нотлогдож болно м, nтомъёо (2) нь анхдагч Пифагорын гурвалсан (a,b,c)-ийг өгдөг. Үнэхээр,

А 2 + б 2 = (2mn) 2 + (м 2 − n 2) 2 = 4м 2 n 2 + (м 4 − 2м 2 n 2 + n 4) =
= (м 4 + 2м 2 n 2 + n 4) = (м 2 + n 2) 2 = в 2 ,

Тэр бол ( а,б,в) нь Пифагорын гурвалсан юм. Хэсэг хугацааны дараа үүнийг баталцгаая а,б,внь эсрэгээрээ анхны тоонууд юм. Эдгээр тоонуудыг хуваана х> 1. Түүнээс хойш мТэгээд nтэгвэл өөр өөр хосууд байна бТэгээд в- хосгүй, өөрөөр хэлбэл х≠ 2. Түүнээс хойш Рхуваадаг бТэгээд в, Тэр Р 2 хуваах ёстой м 2 ба 2 n 2, учир нь боломжгүй юм х≠ 2. Тиймээс м, nхоёрдогч ба а,б,вбас давуу талтай.

Хүснэгт 1-д (2)-ын томъёогоор үүсгэгдсэн бүх анхдагч Пифагор гурвыг харуулав м≤10.

Хүснэгт 1. Анхдагч Пифагорын гурвалсан м≤10

м	n	а	б	в	м	n	а	б	в
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Энэ хүснэгтийн дүн шинжилгээ нь дараахь цуврал хэв маяг байгааг харуулж байна.

• эсвэл а, эсвэл б 3-т хуваагдана;
• тоонуудын нэг а,б,в 5-д хуваагддаг;
• тоо А 4-т хуваагддаг;
• ажил а· б 12-т хуваагддаг.

1971 онд Америкийн математикч Тейган, Хедвин нар гурвалжинг үүсгэхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр (өндөр) гэх мэт бага мэддэг параметрүүдийг санал болгосон. h = в− b ба илүүдэл (амжилт) д = а + б − в. Зураг 1-д. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжин дээр харуулав.

Зураг 1. Тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний өсөлт ба илүүдэл

Хэрэв та диагональ дагуу явахгүй бол гурвалжны хөлийн дагуу нэг оройноос эсрэг тал хүртэл өнгөрөх ёстой нэмэлт зайг "илүүдэл" гэж нэрлэснээс үүдэлтэй.

Илүүдэл ба өсөлтөөр Пифагорын гурвалжны талуудыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

д 2 д 2
а = h + д, б = д + ——, в = h + д + ——, (3)
2h 2h

Бүх хослол биш hТэгээд дПифагорын гурвалжинтай тохирч болно. Өгөгдсөний төлөө hболомжит утгууд дтодорхой тооны үржвэр юм г. Энэ тоо гөсөлт гэж нэрлэдэг ба хамаарна hдараах байдлаар: гквадрат нь 2-т хуваагддаг хамгийн жижиг эерэг бүхэл тоо юм h. Учир нь долон г, дараа нь гэж бичнэ д = кд, Хаана кэерэг бүхэл тоо юм.

Хосуудын тусламжтайгаар ( к,h) та бүх Пифагор гурвалжныг, түүний дотор анхдагч бус ба ерөнхий гурвалжныг дараах байдлаар үүсгэж болно.

(dk) 2 (dk) 2
а = h + dk, б = dk + ——, в = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Түүнээс гадна хэрэв гурвалсан бол команд юм кТэгээд h coprime ба хэрэв h =± q 2 цагт q- хосгүй.
Түүнээс гадна, хэрэв энэ нь яг Пифагорын гурвалсан байх болно к> √2 h/гТэгээд h > 0.

Олох кТэгээд h-аас ( а,б,в) дараахь зүйлийг хий.

• h = в − б;
• бичих hХэрхэн h = pq 2, хаана х> 0 ба дөрвөлжин биш;
• г = 2pqХэрэв х- хосгүй ба г = pq, хэрэв p хосолсон бол;
• к = (а − h)/г.

Жишээлбэл, гурвалсан (8,15,17) хувьд бидэнд байна h= 17−15 = 2 1, тэгэхээр х= 2 ба q = 1, г= 2, ба к= (8 − 2)/2 = 3. Тэгэхээр энэ гурвалсан тоо нь ( к,h) = (3,2).

Гурвалсан (459,1260,1341) хувьд бидэнд байна h= 1341 − 1260 = 81, тэгэхээр х = 1, q= 9 ба г= 18, тиймээс к= (459 − 81)/18 = 21 тул энэ гурвалсан код нь ( к,h) = (21, 81).

-аар гурвыг зааж өгч байна hТэгээд кхэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Параметр ктэнцүү байна

к = 4С/(dP), (5)

Хаана С = ab/2 нь гурвалжны талбай, ба П = а + б + втүүний периметр юм. Энэ нь тэгш байдлаас үүдэлтэй eP = 4С, энэ нь Пифагорын теоремоос гаралтай.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дгурвалжинд сийлсэн тойргийн диаметртэй тэнцүү байна. Энэ нь гипотенузаас үүдэлтэй юм -тай = (А − r)+(б − r) = а + б − 2r, Хаана rнь тойргийн радиус юм. Эндээс h = в − б = А − 2rТэгээд д = а − h = 2r.

Учир нь h> 0 ба к > 0, кгурвалсаны дарааллын тоо юм а-б-внэмэгдэж байгаа Пифагор гурвалжны дарааллаар h. Хосоор үүсгэсэн гурвалсан хүүхдийн хэд хэдэн сонголтыг харуулсан 2-р хүснэгтээс h, к, нэмэгдэж байгаа нь харагдаж байна кгурвалжны талууд нэмэгдэнэ. Тиймээс сонгодог дугаарлалтаас ялгаатай нь хосоор дугаарлах h, кгурвалсан дарааллаар илүү өндөр дараалалтай байна.

Хүснэгт 2. h, k хосоор үүсгэгдсэн Пифагорын гурвалсан.

h	к	а	б	в	h	к	а	б	в
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Учир нь h > 0, г 2√ тэгш бус байдлыг хангана h ≤ г ≤ 2h, доод хязгаарт хүрсэн байна х= 1, дээд нь, at q= 1. Иймд утга г 2√-ийн хувьд hхэр их байгаагийн хэмжүүр юм hзарим тооны квадратаас хол.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Тэгшитгэлээс хойш x 2 + y 2 = z 2 нэг төрлийн, үржүүлбэл x , yТэгээд zижил тооны хувьд та өөр Пифагор гурвалсан болно. Пифагорын гурвалсан гэж нэрлэдэг Балар эртний, хэрэв энэ аргаар олж авах боломжгүй бол, өөрөөр хэлбэл - харьцангуй анхны тоонууд.

Жишээ

Пифагорын зарим гурвалсан (хамгийн их тоогоор өсөх дарааллаар эрэмбэлсэн, анхдагчуудыг тодруулсан):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Фибоначчийн тоонуудын шинж чанарт үндэслэн та тэдгээрийг жишээлбэл, Пифагорын гурвалсан болгож болно.

.

Өгүүллэг

Пифагорын гурвалсан нь маш удаан хугацаанд мэдэгдэж байсан. Эртний Месопотамийн булшны чулуунуудын архитектурт 9, 12, 15 тохой талуудтай хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг олжээ. Фараон Снефругийн пирамидуудыг (МЭӨ XXVII зуун) 20, 21, 29 талтай гурвалжин, түүнчлэн 18, 24, 30 арван Египетийн тохой ашиглан барьсан.

бас үзнэ үү

Холбоосууд

• Е.А.ГоринПифагорын гурвалсан анхны тоонуудын зэрэглэл // Математикийн боловсрол. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдэд "Пифагорын тоо" гэж юу болохыг хараарай.

Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин тэгш өнцөгт байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо, жишээ нь. Гурвалсан тоо: 3, 4, 5… Том нэвтэрхий толь бичиг

Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурав дахин, жишээ нь: 3, 4, 5 тоонуудын гурав дахин. тэр ...... нэвтэрхий толь бичиг

Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин байхаар натурал тоонуудын гурвалжин. Пифагорын теоремын урвуу теоремын дагуу (Пифагорын теоремыг үзнэ үү), үүний тулд тэд ... ... хангалттай.

x2+y 2=z2 тэгшитгэлийг хангах x, y, z эерэг бүхэл тоонуудын гурвалсан тоо. Энэ тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд, улмаар бүх P. p. нь x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 томъёогоор илэрхийлэгдэх ба энд a, b нь дурын эерэг бүхэл тоонууд (a>b). P. h ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Талуудын урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Гурвалсан тоо: 3, 4, 5… Байгалийн шинжлэх ухаан. нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн хувьд Пифагорын тоонууд (Пифагорын гурвалсан) нь Пифагорын харьцааг хангадаг гурван бүхэл тооноос бүрддэг: x2 + y2 = z2. Агуулга 1 Properties 2 Жишээ ... Википедиа

Буржгар тоонууд нь тодорхой геометрийн дүрстэй холбоотой тоонуудын ерөнхий нэр юм. Энэхүү түүхэн үзэл баримтлал нь Пифагорчуудын үеэс эхэлдэг. "Квадрат эсвэл шоо" гэсэн илэрхийлэл нь буржгар тооноос үүссэн байх магадлалтай. Агуулга ...... Википедиа

Буржгар тоонууд нь тодорхой геометрийн дүрстэй холбоотой тоонуудын ерөнхий нэр юм. Энэхүү түүхэн үзэл баримтлал нь Пифагорчуудын үеэс эхэлдэг. Дараах төрлийн буржгар тоонууд байдаг: Шугаман тоонууд нь хүчин зүйлд задардаггүй тоонууд, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн ... ... Википедиа

- "Пи парадокс" бол 80-аад он хүртэл (үнэндээ микро тооцоолуур массын тархалтаас өмнө) оюутнуудын дунд эргэлдэж байсан математикийн сэдвээр онигоо бөгөөд тригонометрийн функцийг тооцоолох нарийвчлал хязгаарлагдмал, ... ... Википедиа

- (Грек арифметика, arifmys тоо гэсэн үг) тооны шинжлэх ухаан, үндсэндээ натурал (эерэг бүхэл тоо) болон (рационал) бутархай, тэдгээрт хийх үйлдлүүдийн тухай шинжлэх ухаан. Натурал тооны тухай хангалттай хөгжсөн ойлголттой байх, ... ... чадвартай байх. Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Архимедийн зун буюу залуу математикчдын нийгэмлэгийн түүх. Хоёртын тооллын систем, Бобров Сергей Павлович. Хоёртын тооллын систем, "Ханойн цамхаг", баатрын нүүдэл, шидэт квадратууд, арифметик гурвалжин, буржгар тоо, хослолууд, магадлалын тухай ойлголт, Мобиусын зурвас, Клейн сав....

» Уорвикийн их сургуулийн математикийн гавъяат профессор, шинжлэх ухааныг алдаршуулагч Иан Стюарт хүн төрөлхтний түүхэн дэх тоонуудын үүрэг, бидний цаг үед тэдний судалгааны хамааралд зориулсан.

Пифагорын гипотенуз

Пифагорын гурвалжин нь тэгш өнцөгт, бүхэл талтай. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь хамгийн урт тал нь 5 урттай, үлдсэн хэсэг нь 3 ба 4. Нийтдээ 5 энгийн олон талт байдаг. Тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийг тавдугаар зэрэглэлийн үндэс эсвэл бусад язгуураар шийдэж болохгүй. Хавтгай болон гурван хэмжээст орон зай дахь тор нь таван дэлбээнтэй эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаггүй тул талстуудад ийм тэгш хэм байдаггүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь дөрвөн хэмжээст орон зайд торонд байж, квазикристал гэж нэрлэгддэг сонирхолтой бүтэцтэй байж болно.

Хамгийн жижиг Пифагорын гурвалсан гипотенуз

Пифагорын теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал (муу нэртэй гипотенуз) нь энэ гурвалжны бусад хоёр талтай маш энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй хамааралтай байдаг: гипотенузын квадрат нь нөгөө гурвалжны квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. хоёр тал.

Уламжлал ёсоор бид энэ теоремыг Пифагорын нэрээр нэрлэдэг боловч үнэн хэрэгтээ түүний түүх нь бүрхэг байдаг. Шавар шахмалууд нь эртний Вавилончууд Пифагорын теоремыг Пифагороос хамаагүй өмнө мэддэг байсан гэж үздэг; нээлтийн алдрыг түүнд Пифагорчуудын математикийн шүтлэг авчирсан бөгөөд тэдний дэмжигчид орчлон ертөнц тоон хэв маяг дээр суурилдаг гэж үздэг байв. Эртний зохиолчид Пифагорчуудад, улмаар Пифагоруудад янз бүрийн математик теоремуудыг хамааруулдаг байсан боловч үнэндээ Пифагор өөрөө ямар математикийн чиглэлээр ажилладаг байсныг бид мэдэхгүй. Пифагорчууд Пифагорын теоремыг баталж чадсан уу, эсвэл зүгээр л үнэн гэж итгэсэн үү гэдгийг бид мэдэхгүй. Эсвэл тэд түүний үнэн байдлын талаархи итгэл үнэмшилтэй мэдээлэлтэй байсан ч өнөөдрийн бидний нотлох баримтад хангалтгүй байх байсан.

Пифагорын нотолгоо

Пифагорын теоремын мэдэгдэж буй анхны нотолгоог Евклидийн элементүүдээс олж болно. Энэ бол Викторийн сургуулийн сурагчид "Пифагорын өмд" гэж шууд таних зургийг ашигласан нэлээд төвөгтэй нотолгоо юм; Энэ зураг үнэхээр олсоор хатаж буй дотуур өмдтэй төстэй юм. Өөр олон зуун нотлох баримтууд мэдэгдэж байгаа бөгөөд ихэнх нь нотолгоог илүү тодорхой болгодог.

// будаа. 33. Пифагорын өмд

Хамгийн энгийн нотолгооны нэг бол нэг төрлийн математикийн оньсого юм. Ямар ч тэгш өнцөгт гурвалжинг аваад, дөрвөн хуулбарыг хийж, дөрвөлжин дотор цуглуул. Нэг тавихад бид гипотенуз дээр дөрвөлжин харагдаж байна; нөгөөтэй нь - гурвалжны нөгөө хоёр тал дээрх квадратууд. Энэ хоёр тохиолдолд талбай тэнцүү байх нь тодорхой байна.

// будаа. 34. Зүүн талд: гипотенуз дээрх дөрвөлжин (нэмэх дөрвөн гурвалжин). Баруун талд: нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэр (ижил дөрвөн гурвалжинг нэмсэн). Одоо гурвалжинг арилга

Перигалыг задлах нь бас нэг оньсого нотлох баримт юм.

// будаа. 35. Перигалийн задрал

Хавтгай дээр давхарласан квадратуудыг ашигласан теоремийн баталгаа бас бий. Пифагорчууд эсвэл тэдний үл мэдэгдэх өмнөх хүмүүс энэ теоремыг ингэж нээсэн байх. Хэрэв та ташуу дөрвөлжин нь нөгөө хоёр квадраттай хэрхэн давхцаж байгааг харвал том дөрвөлжин хэсгийг хэсэг болгон хувааж, дараа нь хоёр жижиг дөрвөлжин болгон нэгтгэхийг харж болно. Та мөн тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг харж болно, тэдгээрийн талууд нь оролцсон гурван квадратын хэмжээсийг өгдөг.

// будаа. 36. Хучилтаар нотлох

Тригонометрт ижил төстэй гурвалжинг ашигласан сонирхолтой нотолгоонууд байдаг. Наад зах нь тавин өөр нотолгоо мэдэгдэж байна.

Пифагорын гурван ихэр

Тооны онолын хувьд Пифагорын теорем нь алгебрийн тэгшитгэлийн бүхэл тоон шийдлийг олох гэсэн үр дүнтэй санааны эх сурвалж болсон юм. Пифагорын гурвалсан нь a, b, c бүхэл тоонуудын багц юм

Геометрийн хувьд ийм гурвалж нь бүхэл талтай тэгш өнцөгт гурвалжинг тодорхойлдог.

Пифагор гурвын хамгийн бага гипотенуз нь 5 байна.

Энэ гурвалжны нөгөө хоёр тал нь 3 ба 4. Энд

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Дараагийн хамгийн том гипотенуз нь 10, учир нь

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Гэсэн хэдий ч энэ нь үндсэндээ хоёр талтай ижил гурвалжин юм. Дараагийн хамгийн том бөгөөд үнэхээр ялгаатай гипотенуз бол 13 бөгөөд үүний төлөө

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклид Пифагорын гурвалсан тоонуудын хязгааргүй олон янзын хувилбар байдгийг мэдэж байсан бөгөөд тэр бүгдийг олох томьёог өгсөн. Хожим нь Александрийн Диофант нь Евклидийнхтэй адил энгийн жор санал болгосон.

Дурын хоёр натурал тоог аваад тооцоол:

тэдгээрийн давхар бүтээгдэхүүн;

тэдгээрийн квадратуудын ялгаа;

тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр.

Гарсан гурван тоо нь Пифагорын гурвалжны талууд болно.

Жишээлбэл, 2 ба 1 тоонуудыг ав. Тооцоол:

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 2 × 1 = 4;

квадратуудын ялгаа: 22 - 12 = 3;

квадратуудын нийлбэр: 22 + 12 = 5,

Тэгээд бид алдартай 3-4-5 гурвалжинг авсан. Хэрэв бид 3 ба 2-ын тоог авбал бид дараахь зүйлийг авна.

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 3 × 2 = 12;

квадратуудын ялгаа: 32 - 22 = 5;

квадратуудын нийлбэр: 32 + 22 = 13,

Тэгээд бид дараагийн алдартай гурвалжин 5 - 12 - 13-ыг авна. 42 ба 23 тоонуудыг авч үзье.

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 42 × 23 = 1932;

квадратуудын ялгаа: 422 - 232 = 1235;

квадратуудын нийлбэр: 422 + 232 = 2293,

1235-1932-2293 гурвалжингийн талаар хэн ч сонсож байгаагүй.

Гэхдээ эдгээр тоонууд бас ажилладаг:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Диофантийн дүрмийн өөр нэг шинж чанар нь аль хэдийн дурдсан байдаг: гурван тоог хүлээн авсны дараа бид өөр дурын тоог авч, бүгдийг нь үржүүлж болно. Тиймээс 3-4-5 гурвалжинг бүх талыг 2-оор үржүүлснээр 6-8-10 гурвалжин, эсвэл бүгдийг 5-аар үржүүлснээр 15-20-25 гурвалжин болж болно.

Хэрэв бид алгебрийн хэл рүү шилжих юм бол дүрэм дараах хэлбэрийг авна: u, v, k натурал тоонууд байг. Дараа нь талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжин

2kuv ба k (u2 - v2) нь гипотенузтай

Гол санааг илэрхийлэх өөр аргууд байдаг боловч бүгд дээр дурдсан нэгдлүүдийг нэгтгэдэг. Энэ арга нь бүх Пифагорын гурвыг авах боломжийг олгодог.

Ердийн олон талт

Яг таван ердийн олон өнцөгт байдаг. Ердийн олон өнцөгт (эсвэл полиэдрон) нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай нүүртэй гурван хэмжээст дүрс юм. Facets нь ирмэг гэж нэрлэгддэг шугамууд дээр бие биентэйгээ нийлдэг; ирмэгүүд нь орой гэж нэрлэгддэг цэгүүдэд нийлдэг.

Евклидийн "Зарчмууд"-ын оргил нь зөвхөн таван энгийн олон талт, өөрөөр хэлбэл нүүр бүр нь ердийн олон өнцөгт (тэнцүү талууд, тэгш өнцөгтүүд), бүх нүүр нь ижил, бүх орой нь хүрээлэгдсэн олон өнцөгтүүд байж болдгийн баталгаа юм. ижил тооны ижил зайтай нүүр царайгаар. Энд таван энгийн олон талт:

дөрвөн гурвалжин нүүр, дөрвөн орой, зургаан ирмэг бүхий тетраэдр;

шоо, эсвэл зургаан өнцөгт, 6 дөрвөлжин нүүр, 8 орой, 12 ирмэг;

8 гурвалжин нүүр, 6 орой, 12 ирмэг бүхий октаэдр;

12 таван өнцөгт нүүр, 20 орой, 30 ирмэг бүхий додекаэдр;

20 гурвалжин нүүр, 12 орой, 30 ирмэг бүхий икосаэдрон.

// будаа. 37. Таван ердийн олон талт

Ердийн олон талтуудыг мөн байгальд олж болно. 1904 онд Эрнст Геккель радиоляр гэж нэрлэгддэг жижиг биетүүдийн зургийг нийтэлсэн; Тэдний олонх нь ижил таван энгийн олон талт хэлбэртэй байдаг. Гэсэн хэдий ч тэрээр байгалийг бага зэрэг засч залруулсан байж магадгүй бөгөөд зураг нь тодорхой амьд биетүүдийн хэлбэрийг бүрэн тусгадаггүй. Эхний гурван бүтэц нь талстуудад бас ажиглагддаг. Талст дотроос та додекаэдр ба икосаэдрийг олохгүй, гэхдээ жигд бус додекаэдр ба икосаэдрүүд заримдаа тааралддаг. Жинхэнэ додекаэдрүүд нь бараг талстууд шиг харагдаж болох бөгөөд тэдгээр нь атомууд нь үечилсэн тор үүсгэдэггүйг эс тооцвол бүх талаараа талстууд шиг байдаг.

// будаа. 38. Геккелийн зурсан зургууд: ердийн олон талт хэлбэртэй радиолярчууд

// будаа. 39. Тогтмол олон талтуудын хөгжил

Эхлээд хоорондоо холбогдсон нүүр царайг хайчилж авснаар ердийн олон талтуудын загварыг цаасан дээрээс хийх нь сонирхолтой байж болох юм - үүнийг полиэдрон шүүр гэж нэрлэдэг; сканыг ирмэгийн дагуу нугалж, харгалзах ирмэгийг хооронд нь наасан байна. Зурагт үзүүлсэн шиг ийм хос бүрийн ирмэгийн аль нэгэнд цавуу хийх нэмэлт хэсгийг нэмэх нь ашигтай байдаг. 39. Хэрэв ийм тавцан байхгүй бол та наалдамхай туузыг ашиглаж болно.

Тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл

5-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх алгебрийн томъёо байхгүй.

Ерөнхийдөө тавдугаар зэргийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Асуудал нь ийм тэгшитгэлийг шийдэх томъёог олох явдал юм (энэ нь тав хүртэлх шийдэлтэй байж болно). Квадрат ба куб тэгшитгэл, түүнчлэн дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийн туршлагаас харахад ийм томьёо тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлд ч байх ёстой бөгөөд онолын хувьд тав, гурав, хоёрдугаар зэргийн язгуурууд гарч ирэх ёстой. тэр. Дахин хэлэхэд, хэрэв ийм томьёо байгаа бол маш нарийн төвөгтэй болж хувирна гэж баттай таамаглаж болно.

Энэ таамаг нь эцэстээ буруу болж хувирав. Үнэндээ ийм томъёо байхгүй; наад зах нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, түүнчлэн үндсийг авах замаар бүрдсэн a, b, c, d, e, f коэффициентуудаас бүрдэх томъёо байхгүй. Тиймээс 5-ын тоонд маш онцгой зүйл бий. Таван хүний ​​энэ ер бусын зан үйлийн шалтгаан нь маш гүн бөгөөд тэдгээрийг олоход маш их цаг зарцуулсан.

Математикчид ийм томьёог олох гэж хичнээн хичээсэн ч, хичнээн ухаалаг байсан ч бүтэлгүйтдэг нь асуудлын эхний шинж тэмдэг байв. Хэсэг хугацааны туршид хүн бүр шалтгаан нь томъёоны гайхалтай нарийн төвөгтэй байдалд оршдог гэдэгт итгэдэг. Энэ алгебрийг хэн ч зөв ойлгож чадахгүй гэж үздэг байсан. Гэсэн хэдий ч цаг хугацаа өнгөрөхөд зарим математикчид ийм томъёо байдаг гэдэгт эргэлзэж эхэлсэн бөгөөд 1823 онд Ниэлс Хендрик Абел эсрэгээр нь баталж чадсан юм. Ийм томъёо байхгүй. Үүний дараахан Эваристе Галуа ийм төрлийн томъёог ашиглан нэг буюу өөр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг 5, 6, 7, ерөнхийдөө аль нэг нь шийдвэрлэх боломжтой эсэхийг тодорхойлох аргыг олсон.

Энэ бүхнээс дүгнэлт нь энгийн: 5-ын тоо онцгой юм. Та 1, 2, 3, 4-ийн зэрэглэлийн хувьд алгебрийн тэгшитгэлийг (n-ийн өөр утгуудын хувьд n-р үндэс ашиглан) шийдэж болно, гэхдээ 5-ын зэрэглэлд зориулж болохгүй. Эндээс илэрхий загвар дуусна.

5-аас их чадлын тэгшитгэлүүд бүр ч муу ажиллаж байгаад хэн ч гайхахгүй; ялангуяа ижил хүндрэл нь тэдэнтэй холбоотой байдаг: тэдгээрийн шийдлийн ерөнхий томъёо байхгүй байна. Энэ нь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэсэн үг биш юм; Энэ нь эдгээр шийдлүүдийн маш нарийн тоон утгыг олох боломжгүй гэсэн үг биш юм. Энэ нь уламжлалт алгебрийн хэрэгслүүдийн хязгаарлалтын тухай юм. Энэ нь захирагч, луужин хоёрын тусламжтайгаар өнцгийг гурав хуваах боломжгүйг санагдуулдаг. Хариулт байгаа боловч жагсаасан аргууд нь хангалтгүй бөгөөд энэ нь юу болохыг тодорхойлох боломжийг танд олгодоггүй.

Кристаллографийн хязгаарлалт

Хоёр ба гурван хэмжээст талстууд нь 5 цацрагт эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаггүй.

Кристал дахь атомууд нь тор үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн бие даасан чиглэлд үе үе давтагддаг бүтэцтэй байдаг. Жишээлбэл, ханын цаасны хэв маяг нь өнхрөх уртын дагуу давтагддаг; Үүнээс гадна, энэ нь ихэвчлэн хэвтээ чиглэлд давтагддаг, заримдаа ханын цаасны нэг хэсгээс нөгөө рүү шилждэг. Үндсэндээ ханын цаас нь хоёр хэмжээст болор юм.

Онгоцонд 17 төрлийн ханын цаасны загвар байдаг (17-р бүлгийг үзнэ үү). Тэдгээр нь тэгш хэмийн төрлөөр, өөрөөр хэлбэл хэв маягийг хатуу шилжүүлэх арга замаар ялгаатай бөгөөд ингэснээр анхны байрлалдаа яг өөр дээрээ байрладаг. Тэгш хэмийн төрлүүдэд, ялангуяа эргэлтийн тэгш хэмийн янз бүрийн хувилбарууд багтдаг бөгөөд хэв маягийг тодорхой цэгийн эргэн тойронд тодорхой өнцгөөр эргүүлэх ёстой - тэгш хэмийн төв.

Эргэлтийн тэгш хэмийн дараалал нь зурагны бүх нарийн ширийн зүйлс анхны байрлалдаа буцаж очихын тулд биеийг бүтэн тойрог болгон хэдэн удаа эргүүлж чадахыг хэлнэ. Жишээлбэл, 90°-ийн эргэлт нь 4-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм юм*. Кристал тор дахь эргэлтийн тэгш хэмийн боломжит төрлүүдийн жагсаалт нь 5-ын тооны ер бусын байдлыг дахин харуулж байна: тэнд байхгүй. 2, 3, 4, 6-р зэрэглэлийн эргэлтийн тэгш хэмтэй хувилбарууд байдаг боловч ямар ч ханын цаасны 5-р зэрэглэлийн эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаггүй. Мөн талстуудад 6-аас дээш эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм байхгүй боловч дарааллын эхний зөрчил 5-ын тоонд тохиолддог.

Гурван хэмжээст орон зай дахь талстографийн системд мөн адил тохиолддог. Энд тор нь бие даасан гурван чиглэлд давтагдана. 219 өөр төрлийн тэгш хэм байдаг, эсвэл хээний толин тусгалыг тусдаа хувилбар гэж үзвэл 230 байдаг - үүнээс гадна энэ тохиолдолд толин тусгал тэгш хэм байхгүй болно. Дахин хэлэхэд 2, 3, 4, 6-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм ажиглагдаж байгаа боловч 5 биш. Энэ баримтыг кристаллографийн хязгаарлалт гэж нэрлэдэг.

Дөрвөн хэмжээст орон зайд 5-р дарааллын тэгш хэмтэй торууд байдаг; Ерөнхийдөө хангалттай өндөр хэмжээтэй торны хувьд эргэлтийн тэгш хэмийн урьдчилан тодорхойлсон дарааллыг хийх боломжтой.

// будаа. 40. Хоолны давсны болор тор. Харанхуй бөмбөлөг нь натрийн атомыг, цайвар бөмбөг нь хлорын атомыг илэрхийлдэг.

Квази талстууд

5-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм нь 2D болон 3D торонд боломжгүй боловч энэ нь бараг талст гэж нэрлэгддэг арай бага тогтмол бүтэцтэй байж болно. Кеплерийн тойм зургуудыг ашиглан Рожер Пенроуз илүү ерөнхий хэлбэрийн тав дахин тэгш хэмтэй хавтгай системийг нээсэн. Тэднийг квазикристал гэж нэрлэдэг.

Квазикристалууд байгальд байдаг. 1984 онд Даниел Шехтман хөнгөн цагаан ба манганы хайлш нь бараг талст үүсгэж болохыг олж мэдсэн; Эхэндээ кристаллографчид түүний захиасыг бага зэрэг эргэлзэж хүлээж авч байсан ч хожим энэ нээлт батлагдаж, 2011 онд Шехтман химийн салбарт Нобелийн шагнал хүртжээ. 2009 онд Лука Бинди тэргүүтэй эрдэмтдийн баг Оросын Коряк уулсаас гаралтай хөнгөн цагаан, зэс, төмрийн нэгдэл болох эрдэст хагас талстыг илрүүлжээ. Өнөөдөр энэ эрдэсийг икосаэдрит гэж нэрлэдэг. Эрдэс дэх төрөл бүрийн хүчилтөрөгчийн изотопын агуулгыг масс спектрометрээр хэмжсэнээр эрдэмтэд энэ эрдэс дэлхий дээр үүсээгүй болохыг харуулсан. Энэ нь ойролцоогоор 4.5 тэрбум жилийн өмнө буюу нарны аймаг дөнгөж шинээр гарч ирж байх үед үүссэн бөгөөд ямар нэгэн эвдрэл нь тойрог замаа өөрчилж, эцэст нь дэлхий рүү авчрах хүртэл ихэнх цагаа астероидын бүсэд, нарыг тойрон эргэлдэж өнгөрөөсөн.

// будаа. 41. Зүүн талд: яг тав дахин тэгш хэмтэй хоёр бараг талст торны нэг. Баруун талд: Икосаэдр хөнгөн цагаан-палладий-манганы квазикристалын атомын загвар