Квадрат язгуур. Нарийвчилсан онолын жишээнүүд

Сөрөг бус тооны квадрат язгуурын тухай ойлголт

Тэгшитгэлийг авч үзье x2 = 4. Графикаар шийдье. Үүнийг хийхийн тулд нэг системд координатууд y = x2 парабол ба y = 4 шулуун шугам байгуулна (Зураг 74). Тэд A (- 2; 4) ба B (2; 4) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог. А ба В цэгүүдийн абсциссууд нь x2 = 4 тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгэхээр x1 = - 2, x2 = 2.

Үүнтэй адилаар бид x2 \u003d 9 тэгшитгэлийн үндсийг олдог (74-р зургийг үз): x1 \u003d - 3, x2 \u003d 3.

Тэгээд одоо x2 = 5 тэгшитгэлийг шийдэж үзье; геометрийн дүрслэлийг зурагт үзүүлэв. 75. Энэ тэгшитгэл нь x1 ба x2 хоёр язгууртай байх нь тодорхой бөгөөд өмнөх хоёр тохиолдлын адил эдгээр тоонууд нь үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү ба эсрэг тэмдгээр (x1 - - x2) - Гэхдээ өмнөх тохиолдлуудаас ялгаатай нь тэгшитгэлийн үндсийг ямар ч хүндрэлгүйгээр олсон (мөн тэдгээрийг график ашиглахгүйгээр олж болно), энэ нь x2 \u003d 5 тэгшитгэлийн хувьд тийм биш юм: зургийн дагуу бид язгуур утгыг зааж өгөх боломжгүй , бид зөвхөн үүнийг л тогтоож чадна үндэсцэгээс бага зэрэг зүүн талд - 2, хоёр дахь нь - 2-р цэгээс бага зэрэг баруун талд байрладаг.

Гэхдээ энд биднийг таагүй гэнэтийн бэлэг хүлээж байна. Ийм зүйл байхгүй болж байна бутархай DIV_ADBLOCK32">

Тэгш тэнцүү байх ийм бууруулж болшгүй бутархай байна гэж бодъё https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, өөрөөр хэлбэл, m2 = 5n2. Сүүлчийн тэгш байдал нь үүнийг илэрхийлдэг натурал тоо m2 нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана (хэрэгжилтэнд бид n2-ийг авна).

Үүний үр дүнд m2 тоо 5 эсвэл 0 тоогоор төгсдөг. Гэхдээ дараа нь натурал m тоо нь 5 эсвэл 0 тоогоор төгсдөг, өөрөөр хэлбэл m тоо 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв m тоог 5-д хуваавал энэ хэсэгт ямар нэгэн натурал k тоо гарч ирнэ. Энэ нь m = 5k гэсэн үг юм.

Тэгээд одоо хараарай:

Эхний тэгшитгэлд m-ийн оронд 5k-ийг орлуулна уу:

(5k)2 = 5n2, өөрөөр хэлбэл 25k2 = 5n2 эсвэл n2 = 5k2.

Сүүлийн тэгш байдал нь тоо гэсэн үг юм. 5n2 нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Дээр дурдсанчлан бид n тоо нь 5-д хуваагддаггүй гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ. үлдэгдэл.

Тэгэхээр m нь 5-д хуваагддаг, n нь 5-д хуваагддаг тул бутархайг (5-аар) багасгаж болно. Гэхдээ бид бутархайг багасгах боломжгүй гэж үзсэн. Юу болсон бэ? Яагаад бид зөв үндэслэлтэй, утгагүй зүйлд хүрэв, эсвэл математикчдын хэлдэгчлэн зөрчилдөөнтэй болсон юм бэ? ).

Хэрэв зөв үндэслэлийн үр дүнд бид нөхцөлтэй зөрчилдөж байвал бидний таамаглал буруу, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан зүйл үнэн гэсэн үг юм.

Тиймээс, зөвхөн байна рационал тоо(мөн бид бусад тоонуудыг хараахан мэдэхгүй), бид x2 \u003d 5 тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй.

Ийм нөхцөл байдалтай анх удаа тулгарсан математикчид үүнийг математикийн хэлээр дүрслэх арга бодож олох ёстойг ойлгосон. Тэд квадрат язгуур гэж нэрлэсэн шинэ тэмдэглэгээг авч үзсэн бөгөөд энэ тэмдгийн тусламжтайгаар x2 = 5 тэгшитгэлийн язгуурыг дараах байдлаар бичжээ. ). Одоо a\u003e O хэлбэрийн x2 \u003d a хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд та үндсийг нь олох боломжтой - тэдгээр нь тоонууд юм.https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}бүхэл эсвэл бутархай биш.
Энэ нь оновчтой тоо биш, шинэ шинж чанартай тоо гэсэн үг, бид дараа нь 5-р бүлэгт ийм тооны талаар тусгайлан ярих болно.
Одоохондоо шинэ тоо 2-оос 3-ын хооронд байгааг анхаарна уу, учир нь 22 = 4, энэ нь 5-аас бага; Z2 \u003d 9, энэ нь 5-аас их. Та тодруулж болно:

Энэ нь квадрат язгуурын тодорхойлолтод тусгагдсан тул хүснэгтэд зөвхөн эерэг тоо гарч байгааг дахин анхаарна уу. Жишээлбэл, \u003d 25 нь зөв тэгшитгэл боловч квадрат язгуур ашиглан тэмдэглэгээ рүү шилжинэ үү (жишээ нь, үүнийг бич. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}эерэг тоо, тиймээс https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg)" width="35" height="28">!}. 42 = 16 (энэ нь 17-оос бага), 52 = 25 (энэ нь 17-оос их) тул 4-өөс их боловч 5-аас бага гэдэг нь тодорхой юм.
Гэсэн хэдий ч тооны ойролцоо утгыг ашиглан олж болно тооцоолуур, квадрат язгуур үйлдлийг агуулсан; Энэ утга нь 4.123 байна.

Дээр дурдсан тоотой адил энэ тоо оновчтой биш байна.
e) Сөрөг тооны квадрат язгуур байхгүй тул тооцоолох боломжгүй; оруулга нь утгагүй юм. Санал болгож буй даалгавар нь буруу байна.
д) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Task" width="80" height="33 id=">!}, 75 > 0 ба 752 = 5625 тул.

Хамгийн энгийн тохиолдолд квадрат язгуур утгыг шууд тооцоолно.

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Task" width="65" height="42 id=">!}
Шийдэл.
Эхний шат.Хариулт нь "сүүлтэй" 50 болно гэдгийг таахад хэцүү биш юм. Үнэхээр 502 = 2500 ба 602 = 3600, 2809 нь 2500-аас 3600 хооронд байна.

x 2 = 4 тэгшитгэлийг авч үзье. Графикаар шийдье. Үүнийг хийхийн тулд нэг координатын системд бид y \u003d x 2 парабол ба y \u003d 4 шулуун шугамыг байгуулна (Зураг 74). Тэд A (- 2; 4) ба B (2; 4) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог. А ба В цэгүүдийн абсциссууд нь x 2 \u003d 4 тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгэхээр x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Үүнтэй адилаар бид x 2 \u003d 9 тэгшитгэлийн үндсийг олдог (74-р зургийг үз): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Одоо x 2 \u003d 5 тэгшитгэлийг шийдэхийг хичээцгээе; геометрийн дүрслэлийг зурагт үзүүлэв. 75. Энэ тэгшитгэл нь x 1 ба x 2 гэсэн хоёр язгууртай бөгөөд эдгээр тоо нь өмнөх хоёр тохиолдлын адил үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү, тэмдгээр эсрэгээрээ (x 1 - - x 2) - Гэхдээ өмнөхөөсөө ялгаатай нь тодорхой байна. тэгшитгэлийн үндсийг ямар ч хүндрэлгүйгээр олсон тохиолдолд (мөн тэдгээрийг график ашиглахгүйгээр олж болно) x 2 \u003d 5 тэгшитгэлийн хувьд тийм биш юм: зургийн дагуу бид утгыг зааж өгөх боломжгүй. Үндэсүүдийн хувьд бид зөвхөн нэг үндэс нь зүүн талд бага зэрэг байрладаг - 2, хоёр дахь нь - баруун тийшээ байгааг тогтоож чадна.

оноо 2.

2-р цэгийн баруун талд байрлах, 5-ын квадратыг өгдөг энэ тоо (цэг) хэд вэ? Энэ нь 3 биш гэдэг нь тодорхой байна, учир нь Z 2 \u003d 9, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай хэмжээнээс илүү гарч ирдэг (9\u003e 5).

Энэ нь бидний сонирхож буй тоо нь 2 ба 3 тоонуудын хооронд байрладаг гэсэн үг юм. Гэхдээ 2 ба 3 тоонуудын хооронд хязгааргүй тооны оновчтой тоо байдаг, жишээлбэл гэх мэт. Тэдний дунд ийм фракц байдаг болов уу? Дараа нь бид x 2 - 5 тэгшитгэлд ямар ч асуудал гарахгүй, бид үүнийг бичиж болно

Гэхдээ энд биднийг таагүй гэнэтийн бэлэг хүлээж байна. Тэгш тэнцүү байх тийм бутархай байдаггүй нь харагдаж байна
Энэхүү мэдэгдлийн нотолгоо нь нэлээд хэцүү юм. Гэсэн хэдий ч бид үүнийг үзэсгэлэнтэй, сургамжтай тул үүнийг ойлгохыг хичээх нь маш хэрэгтэй зүйл юм.

Тэгш байдал хангагдсан ийм бууруулж болохгүй бутархай байна гэж бодъё. Дараа нь, өөрөөр хэлбэл m 2 = 5n 2. Сүүлчийн тэгш байдал нь натурал тоо m 2 нь үлдэгдэлгүйгээр 5-д хуваагддаг (ялангуяа n2 гарч ирнэ) гэсэн үг юм.

Үүний үр дүнд m 2 тоо нь 5 эсвэл 0 тоогоор төгсдөг. Гэхдээ дараа нь натурал m тоо нь 5 эсвэл 0 тоогоор төгсдөг, өөрөөр хэлбэл. m тоо 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв m тоог 5-д хуваавал энэ хэсэгт ямар нэгэн натурал k тоо гарч ирнэ. Энэ нь,
тэр m = 5k.
Тэгээд одоо хараарай:
м 2 \u003d 5n 2;
Эхний тэгшитгэлд m-ийн оронд 5k-ийг орлуулна уу:

(5к) 2 = 5n 2, өөрөөр хэлбэл 25k 2 = 5n 2 эсвэл n 2 = 5k 2.
Сүүлийн тэгш байдал нь тоо гэсэн үг юм. 5n 2 нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Дээр дурдсанчлан маргаж, бид n тоо нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.
Тэгэхээр m нь 5-д хуваагддаг, n нь 5-д хуваагддаг тул бутархайг (5-аар) багасгаж болно. Гэхдээ бид бутархайг багасгах боломжгүй гэж үзсэн. Юу болсон бэ? Яагаад бид зөв үндэслэлтэй, утгагүй зүйлд хүрэв, эсвэл математикчдын хэлдэгчлэн зөрчилдөөнтэй болсон юм бэ?
Үүнээс бид дүгнэж байна: ийм фракц байхгүй.
Бидний саяхан хэрэглэсэн нотлох аргыг математикт зөрчилдөөнөөр нотлох арга гэж нэрлэдэг. Үүний мөн чанар нь дараах байдалтай байна. Бид тодорхой мэдэгдлийг нотлох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь тийм биш гэж бид таамаглаж байна (математикчид: "эсрэгээр нь гэж бодъё" гэж хэлдэг - "тааламжгүй" гэсэн утгаараа биш, харин "шаардлагатай зүйлийн эсрэг" гэсэн утгатай).
Хэрэв зөв үндэслэлийн үр дүнд бид нөхцөлтэй зөрчилдөж байвал бидний таамаглал буруу, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан зүйл үнэн гэсэн үг юм.

Тиймээс, зөвхөн оновчтой тоонуудтай (мөн бусад тоонуудыг бид хараахан мэдэхгүй) бид x 2 \u003d 5 тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй.
Ийм нөхцөл байдалтай анх удаа тулгарсан математикчид үүнийг математикийн хэлээр дүрслэх арга бодож олох ёстойг ойлгосон. Тэд квадрат язгуур гэж нэрлэсэн шинэ тэмдэгтийг харгалзан үзсэн бөгөөд энэ тэмдгийг ашиглан x 2 \u003d 5 тэгшитгэлийн үндсийг дараах байдлаар бичив.

"5-ын квадрат язгуур"). Одоо a\u003e O хэлбэрийн x 2 \u003d a хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд та үндсийг олох боломжтой - тэдгээр нь тоонууд юм. , (Зураг 76).

Энэ тоо нь бүхэл тоо биш, бутархай биш гэдгийг бид дахин онцолж байна.
Энэ нь оновчтой тоо биш, шинэ шинж чанартай тоо гэсэн үг, бид дараа нь 5-р бүлэгт ийм тооны талаар тусгайлан ярих болно.
Одоохондоо шинэ тоо 2-оос 3-ын хооронд байгааг анхаарна уу, учир нь 2 2 = 4, энэ нь 5-аас бага; Z 2 \u003d 9, энэ нь 5-аас их байна. Та дараахь зүйлийг тодруулж болно.

Үнэхээр 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Та чадна
зааж өгөх:

үнэхээр, 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Практикт энэ тоо нь ихэвчлэн 2.23-тай тэнцүү эсвэл 2.24-тэй тэнцүү гэж үздэг, зөвхөн энэ нь ердийн тэгшитгэл биш, харин ойролцоох тэгш байдал бөгөөд энэ нь тэмдгийг ашигладаг.
Тэгэхээр,

x 2 = a тэгшитгэлийн шийдлийн талаар ярилцахдаа бид математикийн хувьд нэлээд ердийн нөхцөл байдалтай тулгарсан. Стандарт бус, хэвийн бус (сансрын нисгэгчдийн хэлэх дуртай) нөхцөл байдалд орж, мэдэгдэж буй арга хэрэгслийн тусламжтайгаар үүнээс гарах арга замыг олохгүй байгаа тул математикчид математикийн шинэ нэр томъёо, шинэ тэмдэглэгээг (шинэ тэмдэг) гаргаж ирдэг. тэдний анх удаа тааралдсан загвар; Өөрөөр хэлбэл, тэд шинэ ойлголтыг нэвтрүүлж, дараа нь түүний шинж чанарыг судалдаг
үзэл баримтлал. Ийнхүү шинэ ойлголт, түүний тэмдэглэгээ нь математикийн хэлний өмч болж хувирдаг. Бид ижил аргаар ажилласан: бид "а тооны квадрат язгуур" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлж, үүнийг илэрхийлэх тэмдэгийг нэвтрүүлсэн бөгөөд бага зэрэг дараа бид шинэ ойлголтын шинж чанарыг судлах болно. Одоогоор бид нэг л зүйлийг мэдэж байгаа: хэрэв a > 0 бол,
тэгвэл x 2 = a тэгшитгэлийг хангасан эерэг тоо байна. Өөрөөр хэлбэл ийм эерэг тоо мөн үү, квадратыг нь авбал а тоо гарна.
x 2 \u003d 0 тэгшитгэл нь x \u003d 0 язгууртай тул бид тэгэхээр тохиролцсон.
Одоо бид хатуу тодорхойлолт өгөхөд бэлэн байна.
Тодорхойлолт. Сөрөг бус a тооны квадрат язгуур нь сөрөг бус тоо бөгөөд квадрат нь a.

Энэ тоог тэмдэглэсэн, тоо, нэгэн зэрэг эх тоо гэж нэрлэдэг.
Тэгэхээр, хэрэв а нь сөрөг биш тоо бол:

Хэрвээ< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Тиймээс a > 0 үед л илэрхийлэл утга учиртай болно.
Тэд ингэж хэлдэг - ижил математик загвар (сөрөг бус тоонуудын ижил хамаарал
(a ба b), гэхдээ зөвхөн хоёр дахь нь эхнийхээс илүү энгийн хэлээр дүрслэгдсэн байдаг (илүү энгийн тэмдэг ашигладаг).

Сөрөг бус тооны квадрат язгуурыг олох үйлдлийг квадрат язгуур гэж нэрлэдэг. Энэ үйлдэл нь квадратын урвуу үйлдэл юм. Харьцуулах:

Энэ нь квадрат язгуурын тодорхойлолтод тусгагдсан тул хүснэгтэд зөвхөн эерэг тоо гарч байгааг дахин анхаарна уу. Жишээлбэл, (- 5) 2 \u003d 25 нь зөв тэгшитгэл боловч квадрат язгуур ашиглан тэмдэглэгээ рүү шилжинэ үү (жишээ нь үүнийг бичнэ үү).
энэ нь хориотой. A-priory, . эерэг тоо, тиймээс .
Ихэнхдээ тэд "квадрат язгуур" биш, харин "арифметик квадрат язгуур" гэж хэлдэг. Товчхондоо бид "арифметик" гэсэн нэр томъёог орхигдуулсан.

D) Өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь бид тооны яг утгыг зааж өгөх боломжгүй. Энэ нь 4-өөс их, гэхдээ 5-аас бага байх нь тодорхой байна

4 2 = 16 (энэ нь 17-оос бага) ба 5 2 = 25 (энэ нь 17-оос их).
Гэсэн хэдий ч, тооны ойролцоо утгыг квадрат үндсийг задлах үйлдлийг агуулсан бичил тооцоолуур ашиглан олж болно; Энэ утга нь 4.123 байна.
Тэгэхээр,
Дээр дурдсан тоотой адил энэ тоо оновчтой биш байна.
e) Сөрөг тооны квадрат язгуур байхгүй тул тооцоолох боломжгүй; оруулга нь утгагүй юм. Санал болгож буй даалгавар нь буруу байна.
e), учир нь 31 > 0 ба 31 2 = 961. Ийм тохиолдолд та натурал тооны квадратуудын хүснэгт эсвэл микро тооцоолуур ашиглах хэрэгтэй.
g) 75 > 0 ба 75 2 = 5625 тул.
Хамгийн энгийн тохиолдолд квадрат язгуурын утгыг шууд тооцдог: гэх мэт. Илүү төвөгтэй тохиолдолд та тооны квадратуудын хүснэгтийг ашиглах эсвэл бичил тооцоолуур ашиглан тооцоо хийх хэрэгтэй. Гэхдээ гарт хүснэгт эсвэл тооны машин байхгүй бол яах вэ? Дараах жишээг шийдэж энэ асуултад хариулъя.

Жишээ 2Тооцоол
Шийдэл.
Эхний шат.Хариулт нь "сүүлтэй" 50 болно гэдгийг таахад хэцүү биш юм. Үнэхээр 50 2 = 2500, 60 2 = 3600, харин 2809 тоо нь 2500 ба 3600 тоонуудын хооронд байна.

Хоёр дахь үе шат."Сүүл" -ийг олъё, өөрөөр хэлбэл. хүссэн тооны сүүлийн орон. Хэрэв үндсийг нь авсан бол хариулт нь 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 байж болно гэдгийг бид мэдэж байгаа. Зөвхөн 53 ба 57 гэсэн хоёр тоог л шалгах шаардлагатай. , квадрат нь 2809-тэй ижил цифр болох 9-өөр төгссөн дөрвөн оронтой тоо гарна.
Бидэнд 532 = 2809 байна - энэ бол бидэнд хэрэгтэй зүйл юм (бид азтай байсан, бид тэр даруй "бухын нүд" -ийг цохисон). Тэгэхээр = 53.
Хариулт:

53
Жишээ 3Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл 1см ба 2см.Гурвалжны гипотенуз хэд вэ? (зураг 77)

Шийдэл.

Геометрээс мэдэгдэж байгаа Пифагорын теоремыг ашиглацгаая: тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүдийн уртын квадратуудын нийлбэр нь түүний гипотенузын уртын квадраттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a 2 + b 2 \u003d c 2, энд a, b нь хөл, в нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз юм.

гэсэн үг,

Энэ жишээ нь квадрат язгуурыг нэвтрүүлэх нь математикчдын дур сонирхол биш, харин объектив хэрэгцээ гэдгийг харуулж байна: бодит амьдрал дээр математик загварууд нь квадрат язгуур гаргаж авах үйлдлийг агуулсан нөхцөл байдал байдаг. Эдгээр нөхцөл байдлын хамгийн чухал нь магадгүй юм
квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Өнөөг хүртэл ax 2 + bx + c \u003d 0 квадрат тэгшитгэлтэй уулзахдаа бид зүүн талыг хүчин зүйл болгон хуваасан (энэ нь үргэлж үр дүнтэй байдаггүй), эсвэл график аргыг ашигласан (энэ нь тийм ч найдвартай биш боловч үзэсгэлэнтэй). Үнэндээ олохын тулд
Математикийн квадрат тэгшитгэлийн x 1 ба x 2 үндэс нь ax 2 + bx + c \u003d 0, томъёог ашигладаг

язгуурын тэмдгийг агуулсан бололтой Эдгээр томъёог практикт дараах байдлаар хэрэглэнэ. Жишээлбэл, 2x 2 + bx - 7 \u003d 0 тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай гэж үзье. Энд a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Тиймээс,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Дараа нь бид . гэсэн үг,

Энэ нь оновчтой тоо биш гэдгийг бид дээр дурдсан.
Математикчид ийм тоог иррациональ гэж нэрлэдэг. Хэрэв квадрат язгуурыг аваагүй бол маягтын аль ч тоо нь иррациональ болно. Жишээлбэл, гэх мэт. иррационал тоонууд. 5-р бүлэгт бид рационал ба иррационал тоонуудын талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих болно. Рационал ба иррационал тоо нь нийлээд бодит тоонуудын багцыг бүрдүүлдэг. бидний бодит амьдрал дээр ажилладаг бүх тоонуудын багц (үнэндээ
байх). Жишээлбэл, эдгээр нь бүгд бодит тоо юм.
Бид дээр квадрат язгуурын тухай ойлголтыг тодорхойлсон шиг бид шоо язгуурын тухай ойлголтыг мөн тодорхойлж болно: сөрөг биш a тооны шоо язгуур нь шоо нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм. Өөрөөр хэлбэл тэгш байдал нь b 3 = a гэсэн үг юм.

Энэ бүхнийг бид 11-р ангийн алгебрийн хичээлээр судална.

Энэ нийтлэлд бид танилцуулах болно тооны язгуурын тухай ойлголт. Бид дарааллаар ажиллах болно: бид квадрат язгуураас эхэлнэ, үүнээс бид шоо язгуурын тайлбар руу шилжинэ, дараа нь n-р зэргийн язгуурыг тодорхойлох замаар язгуурын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь өгнө. Үүний зэрэгцээ бид тодорхойлолт, тэмдэглэгээг танилцуулж, язгуурын жишээг өгч, шаардлагатай тайлбар, тайлбарыг өгөх болно.

Квадрат язгуур, арифметик квадрат язгуур

Тооны язгуур, ялангуяа квадрат язгуурын тодорхойлолтыг ойлгохын тулд . Энэ үед бид олон тооны хоёрдахь хүч болох тооны квадраттай тулгарах болно.

-ээс эхэлье квадрат язгуурын тодорхойлолтууд.

Тодорхойлолт

a-ийн квадрат язгуурквадрат нь a гэсэн тоо юм.

авчрахын тулд квадрат язгуурын жишээ, жишээлбэл, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 гэсэн хэд хэдэн тоог аваад квадрат болговол бид 25 , 0.09 , 0.09 ба 0 гэсэн тоонуудыг авна (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 ба 0 2 =0 0=0 ). Тэгвэл дээрх тодорхойлолтоор 5 нь 25-ын квадрат язгуур, −0.3 ба 0.3 нь 0.09-ийн квадрат язгуур, 0 нь тэгийн квадрат язгуур юм.

Квадрат нь a -тай тэнцүү ямар ч тооны хувьд a байхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тухайлбал, сөрөг а тооны хувьд квадрат нь a-тай тэнцүү бодит b тоо байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, a=b 2 тэнцүү байх нь ямар ч сөрөг a хувьд боломжгүй, учир нь b 2 нь аль ч b-ийн хувьд сөрөг бус тоо юм. Тиймээс, бодит тоонуудын олонлог дээр сөрөг тооны квадрат язгуур байдаггүй. Өөрөөр хэлбэл, бодит тооны олонлог дээр сөрөг тооны квадрат язгуур тодорхойлогдоогүй бөгөөд ямар ч утгагүй болно.

Энэ нь "А-д сөрөг биш а-д квадрат язгуур байдаг уу" гэсэн логик асуулт гарч ирнэ. Хариулт нь тийм. Энэ баримтын үндэслэлийг квадрат язгуурын утгыг олоход ашигладаг бүтээлч арга гэж үзэж болно.

Дараа нь дараах логик асуулт гарч ирнэ: "Өгөгдсөн сөрөг бус тооны бүх квадрат язгуурын тоо хэд вэ - нэг, хоёр, гурав, бүр түүнээс ч илүү"? Үүний хариулт энд байна: хэрэв a нь тэг бол тэгийн цорын ганц квадрат язгуур нь тэг болно; хэрэв а нь эерэг тоо бол a тооноос квадрат язгуурын тоо хоёртой тэнцүү ба язгуурууд нь . Үүнийг үндэслэлтэй болгоё.

a=0 тохиолдлоос эхэлье. Эхлээд тэг нь тэгийн квадрат язгуур гэдгийг харуулъя. Энэ нь 0 2 =0·0=0 илэрхий тэгшитгэл ба квадрат язгуурын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

Одоо 0 нь тэгийн цорын ганц квадрат язгуур гэдгийг баталъя. Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. Тэгийн квадрат язгуур болох тэгээс өөр b тоо байна гэж бодъё. Дараа нь b 2 =0 нөхцөл хангагдсан байх ёстой бөгөөд энэ нь ямар ч тэг биш b-ийн хувьд b 2 илэрхийллийн утга эерэг байдаг тул боломжгүй юм. Бид зөрчилдөж байна. Энэ нь 0 нь тэгийн цорын ганц квадрат язгуур гэдгийг баталж байна.

А нь эерэг тоо байх тохиолдлууд руу шилжье. Дээр бид аль ч сөрөг бус тооны квадрат язгуур байдаг гэж хэлсэн, b нь a-ийн квадрат язгуур байг. c тоо байгаа гэж бодъё, энэ нь мөн a -ийн квадрат язгуур юм. Дараа нь квадрат язгуурын тодорхойлолтоор b 2 =a ба c 2 =a тэнцүү байх бөгөөд үүнээс b 2 −c 2 =a−a=0, харин b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , дараа нь (b−c) (b+c)=0 . Үүний үр дүнд тэгш байдал хүчин төгөлдөр болно бодит тоо бүхий үйлдлийн шинж чанарууд b−c=0 эсвэл b+c=0 үед л боломжтой. Тиймээс b ба c тоонууд тэнцүү буюу эсрэг байна.

Хэрэв бид а тооны өөр квадрат язгуур болох d тоо байна гэж үзвэл өмнө нь өгөгдсөнтэй төстэй үндэслэлээр d нь b тоо эсвэл c тоотой тэнцүү болохыг баталж байна. Тэгэхээр эерэг тооны квадрат язгуурын тоо хоёр, квадрат язгуур нь эсрэг тоо байна.

Квадрат үндэстэй ажиллахад тохиромжтой байхын тулд сөрөг үндсийг эерэгээс "тусгаарлана". Энэ зорилгоор танилцуулж байна арифметик квадрат язгуурын тодорхойлолт.

Тодорхойлолт

Сөрөг бус тооны арифметик квадрат язгуур aквадрат нь a -тэй тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

a тооны арифметик квадрат язгуурын хувьд тэмдэглэгээг хүлээн авна. Тэмдгийг арифметик язгуур тэмдэг гэж нэрлэдэг. Үүнийг мөн радикал шинж тэмдэг гэж нэрлэдэг. Тиймээс та "үндэс" ба "радикал" хоёуланг нь хэсэгчлэн сонсож чадна, энэ нь ижил объект гэсэн үг юм.

Арифметик язгуур тэмдгийн доорх тоог дуудна язгуур дугаар, мөн үндсэн тэмдгийн доорх илэрхийлэл - радикал илэрхийлэл, харин "радикал тоо" гэсэн нэр томъёог ихэвчлэн "радикал илэрхийлэл" гэж сольдог. Жишээлбэл, тэмдэглэгээнд 151 тоо нь радикал тоо, тэмдэглэгээнд а илэрхийлэл нь радикал илэрхийлэл юм.

Уншихдаа "арифметик" гэдэг үгийг ихэвчлэн орхигдуулдаг, жишээлбэл, оруулгыг "долоон цэгийн хорин есөн зуутын язгуур" гэж уншдаг. "Арифметик" гэдэг үгийг бид тооны эерэг квадрат язгуурын тухай ярьж байна гэдгийг онцлон тэмдэглэхийг хүссэн үед л дуудагддаг.

Оруулсан тэмдэглэгээнээс харахад арифметик квадрат язгуурын тодорхойлолтоос үзэхэд ямар ч сөрөг бус тооны хувьд a .

Эерэг a тооны квадрат язгуурыг болон гэсэн арифметик язгуур тэмдгийг ашиглан бичнэ. Жишээлбэл, 13-ын квадрат язгуур нь ба . Тэгийн арифметик квадрат язгуур нь тэг, өөрөөр хэлбэл, . a сөрөг тоонуудын хувьд бид судлах хүртлээ бичилтүүдэд утгыг хавсаргахгүй нийлмэл тоо. Жишээлбэл, илэрхийлэл ба утгагүй байна.

Квадрат язгуурын тодорхойлолт дээр үндэслэн практикт ихэвчлэн ашигладаг квадрат язгуурын шинж чанарууд нотлогддог.

Энэ дэд хэсгийг дуусгахын тулд бид тооны квадрат язгуурууд нь x хувьсагчтай холбоотой x 2 =a хэлбэрийн шийдлүүд гэдгийг анхаарна уу.

шоо үндэс

Шоо язгуурын тодорхойлолт a тооны язгуурын тодорхойлолттой төстэй байдлаар өгөгдсөн. Зөвхөн энэ нь дөрвөлжин биш харин тооны шоо гэсэн ойлголт дээр суурилдаг.

Тодорхойлолт

a-ийн шоо үндэсшоо нь а-тай тэнцүү тоог дуудна.

авчиръя куб үндэсийн жишээ. Үүнийг хийхийн тулд хэд хэдэн тоог авч, жишээ нь 7 , 0 , −2/3 , тэдгээрийг куб болго: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Дараа нь шоо язгуурын тодорхойлолтод үндэслэн 7 тоо нь 343-ын шоо язгуур, 0 нь тэгийн шоо язгуур, −2/3 нь −8/27-ийн шоо үндэс гэж хэлж болно.

a тооны шоо язгуур нь квадрат язгуураас ялгаатай нь зөвхөн сөрөг бус a-д төдийгүй аливаа бодит а тоонд үргэлж байдаг гэдгийг харуулж болно. Үүнийг хийхийн тулд квадрат язгуурыг судлахдаа бидний дурдсан аргыг ашиглаж болно.

Түүнээс гадна өгөгдсөн a тооны зөвхөн нэг шоо язгуур байдаг. Сүүлийн мэдэгдлийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд гурван тохиолдлыг тусад нь авч үзье: a нь эерэг тоо, a=0, a нь сөрөг тоо.

Эерэг a-ийн хувьд a-ийн шоо язгуур нь сөрөг эсвэл тэг байж болохгүй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Үнэхээр b нь a -ийн шоо язгуур байг, тэгвэл тодорхойлолтоор бид b 3 =a тэгшитгэлийг бичиж болно. Эдгээр тохиолдолд b 3 =b·b·b нь сөрөг тоо эсвэл тэг байх тул сөрөг b ба b=0-ийн хувьд энэ тэгшитгэл үнэн байж болохгүй нь ойлгомжтой. Тэгэхээр эерэг тооны шоо язгуур нь эерэг тоо юм.

Одоо b тооноос гадна а тооноос нэг шоо язгуур байна гэж бодъё, үүнийг c гэж тэмдэглэе. Дараа нь c 3 = a. Иймд b 3 −c 3 =a−a=0 , гэхдээ b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(энэ нь үржүүлэх товчилсон томъёо юм кубын ялгаа), эндээс (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Үүссэн тэгш байдал нь b−c=0 эсвэл b 2 +b c+c 2 =0 үед л боломжтой. Эхний тэгшитгэлээс бид b=c байх ба хоёр дахь тэгшитгэл нь шийдэлгүй, учир нь түүний зүүн тал нь b 2, b c ба c 2 гэсэн гурван эерэг гишүүний нийлбэр болох дурын b ба c эерэг тоонуудын эерэг тоо юм. Энэ нь эерэг тооны шоо язгуурын өвөрмөц чанарыг баталж байна a.

a=0-ийн хувьд a-ийн цорын ганц шоо язгуур нь тэг болно. Үнэн хэрэгтээ, тэгээс өөр шоо язгуур болох b тоо байна гэж үзвэл b 3 =0 тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ нь зөвхөн b=0 үед л боломжтой юм.

Сөрөг a-ийн хувьд эерэг a-ийн тохиолдолтой төстэй маргаж болно. Нэгдүгээрт, сөрөг тооны шоо язгуур нь эерэг тоо эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэдгийг харуулж байна. Хоёрдугаарт, сөрөг тооны хоёр дахь шоо язгуур байна гэж бид таамаглаж, энэ нь эхнийхтэй заавал давхцах болно гэдгийг харуулж байна.

Тэгэхээр аливаа өгөгдсөн бодит тооны a шоо язгуур үргэлж байдаг ба зөвхөн нэг.

өгье арифметик шоо язгуурын тодорхойлолт.

Тодорхойлолт

Сөрөг бус тооны арифметик шоо язгуур aшоо нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоог дуудна.

Сөрөг бус a тооны арифметик шоо язгуурыг гэж тэмдэглэж, тэмдгийг арифметик шоо язгуурын тэмдэг, энэ тэмдэглэгээний 3-ын тоог гэнэ. үндсэн үзүүлэлт. Үндэс тэмдгийн доорх тоо нь байна язгуур дугаар, язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь радикал илэрхийлэл.

Хэдийгээр арифметик шоо язгуур нь зөвхөн сөрөг бус тоонуудад тодорхойлогддог боловч сөрөг тоонууд арифметик шоо язгуур тэмдгийн доор байгаа оруулгуудыг ашиглах нь бас тохиромжтой. Бид тэдгээрийг дараах байдлаар ойлгох болно: , энд a нь эерэг тоо юм. Жишээлбэл, .

Үндэсний ерөнхий өгүүлэлд бид шоо үндэсийн шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Шоо язгуурын утгыг тооцоолохыг шоо үндсийг задлах гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ үйлдлийг үндэс задлах нийтлэлд авч үзэх болно: арга, жишээ, шийдэл.

Энэ дэд хэсгийг дуусгахын тулд бид a-ийн шоо язгуурыг x 3 =a хэлбэрийн шийдэл гэж хэлье.

N-р үндэс, n-ийн арифметик үндэс

Бид тооноос үндэс гэсэн ойлголтыг ерөнхийд нь гаргадаг - бид танилцуулж байна n-р язгуурыг тодорхойлохтөлөө n.

Тодорхойлолт

a-ийн n-р үндэснь n-р зэрэглэл нь a-тай тэнцүү тоо юм.

Энэхүү тодорхойлолтоос харахад а тооноос нэгдүгээр зэргийн язгуур нь өөрөө а тоо болох нь тодорхой байна, учир нь натурал үзүүлэлттэй зэрэглэлийг судлахдаа бид 1 = a авсан.

Дээр бид n=2 ба n=3 - квадрат язгуур ба шоо язгуурын хувьд n-р зэргийн язгуурын онцгой тохиолдлуудыг авч үзсэн. Өөрөөр хэлбэл, квадрат язгуур нь хоёрдугаар зэргийн үндэс, шоо язгуур нь гуравдугаар зэргийн үндэс юм. n=4, 5, 6, ...-ийн хувьд n-р зэргийн язгуурыг судлахын тулд тэдгээрийг хоёр бүлэгт хуваах нь тохиромжтой: эхний бүлэг - тэгш градусын үндэс (өөрөөр хэлбэл n=4, 6-ийн хувьд). , 8, ...), хоёр дахь бүлэг - сондгой зэрэглэлийн үндэс (өөрөөр хэлбэл n=5, 7, 9, ... ). Энэ нь тэгш градусын үндэс нь квадрат язгууртай, сондгой градусын үндэс нь шоо язгууртай төстэй байдагтай холбоотой юм. Тэдэнтэй ээлжлэн харьцъя.

4, 6, 8, 4, 6, 8, тэгш тоонуудын зэрэглэл бүхий язгууруудаас эхэлцгээе ... Өмнө дурьдсанчлан тэдгээр нь a тооны квадрат язгууртай төстэй юм. Өөрөөр хэлбэл, а тооноос тэгш хэмийн язгуур нь зөвхөн сөрөг бус а-д оршино. Түүнчлэн хэрэв a=0 бол a-ийн язгуур нь өвөрмөц бөгөөд тэгтэй тэнцүү, хэрэв a>0 бол a тооноос тэгш зэрэгтэй хоёр язгуур байх ба тэдгээр нь эсрэг тоо юм.

Сүүлийн мэдэгдлийг зөвтгөж үзье. b нь тэгш зэрэгтэй язгуур (бид үүнийг 2·m гэж тэмдэглэдэг, энд m нь ямар нэг натурал тоо) a-аас. a-ийн өөр 2 м үндэс болох c тоо байна гэж бодъё. Дараа нь b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Гэхдээ бид b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) хэлбэрийг мэддэг. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), дараа нь (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Энэ тэгшитгэлээс b−c=0 , эсвэл b+c=0 , эсвэл гэж гарна b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Эхний хоёр тэгшитгэл нь b ба c тоонууд тэнцүү эсвэл b ба c нь эсрэг утгатай байна. Мөн сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн b=c=0-д хүчинтэй, учир нь түүний зүүн тал нь сөрөг бус тоонуудын нийлбэр болох дурын b ба c-ийн хувьд сөрөг бус илэрхийллийг агуулдаг.

Сондгой n-ийн n-р зэргийн язгууруудын хувьд тэдгээр нь шоо язгууртай төстэй. Өөрөөр хэлбэл, а тооноос ямар ч сондгой градусын язгуур нь ямар ч бодит а тоонд байдаг бөгөөд өгөгдсөн a тооны хувьд энэ нь өвөрмөц юм.

a тооноос 2·m+1 сондгой зэрэгтэй язгуурын давтагдашгүй байдлыг a -аас авсан шоо язгуурын давтагдашгүй байдлын нотолгоотой зүйрлэж нотолж байна. Зөвхөн энд тэгш байдлын оронд a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = хэлбэрийн тэгшитгэл (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 м). Сүүлийн хаалтанд байгаа илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 +) b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Жишээлбэл, m=2-ын хувьд бидэнд байна b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). a ба b аль аль нь эерэг эсвэл хоёулаа сөрөг байвал тэдгээрийн үржвэр нь эерэг тоо байвал хамгийн дээд зэрэглэлийн хаалтанд байгаа b 2 +c 2 +b·c илэрхийлэл эерэг үржвэрийн нийлбэрээр эерэг байна. тоо. Одоо, өмнөх зэрэглэлийн хаалтанд байгаа илэрхийллүүд рүү дараалан шилжихдээ бид эерэг тоонуудын нийлбэр шиг эерэг байгаа эсэхийг шалгаарай. Үүний үр дүнд бид b 2 m+1 −c 2 m+1 = тэгшитгэлийг олж авна (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 м)=0 b−c=0, өөрөөр хэлбэл b тоо нь c тоотой тэнцүү байх үед л боломжтой.

n-р зэргийн язгуурын тэмдэглэгээтэй харьцах цаг болжээ. Үүний тулд үүнийг өгдөг n-р зэргийн арифметик язгуурыг тодорхойлох.

Тодорхойлолт

Сөрөг бус тооны n-р зэргийн арифметик үндэс a n-р зэрэг нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоо гэж нэрлэдэг.

Би таваг руу дахин харлаа ... Тэгээд явцгаая!

Энгийн нэгээс эхэлье:

Түр хүлээнэ үү. Энэ нь бид үүнийг ингэж бичиж болно гэсэн үг юм:

Авчихсан? Дараачийнх нь танд:

Үүссэн тоонуудын үндсийг яг гаргаагүй байна уу? Санаа зоволтгүй, энд хэдэн жишээ байна:

Гэхдээ хоёр үржүүлэгч биш, харин түүнээс дээш байвал яах вэ? Үүнтэй адил! Үндэс үржүүлэх томъёо нь хэд хэдэн хүчин зүйлтэй ажилладаг:

Одоо бүрэн бие даасан:

Хариултууд:Сайн хийлээ! Зөвшөөрч байна, бүх зүйл маш хялбар, гол зүйл бол үржүүлэх хүснэгтийг мэдэх явдал юм!

Үндэс хуваагдал

Бид үндсийг үржүүлэхийг олж мэдсэн, одоо хуваах өмч рүү явцгаая.

Томъёо нь ерөнхийдөө дараах байдалтай байгааг сануулъя.

Тэгээд тэр гэсэн үг язгуурын язгуур нь язгуурын язгууртай тэнцүү байна.

За, жишээнүүдийг харцгаая:

Энэ бол бүх шинжлэх ухаан юм. Мөн энд нэг жишээ байна:

Бүх зүйл эхний жишээн дээрх шиг жигд биш боловч таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Хэрэв илэрхийлэл дараах байдалтай байвал яах вэ:

Та зүгээр л урвуу томъёог хэрэглэх хэрэгтэй:

Мөн энд нэг жишээ байна:

Та мөн энэ илэрхийлэлийг харж болно:

Бүх зүйл адилхан, зөвхөн энд та бутархайг хэрхэн орчуулахаа санах хэрэгтэй (хэрэв та санахгүй байгаа бол сэдвийг хараад буцаж ирээрэй!). Санаж байна уу? Одоо бид шийднэ!

Та бүх зүйлийг, бүх зүйлийг даван туулж чадсан гэдэгт би итгэлтэй байна, одоо үндсийг нь тодорхой хэмжээгээр бий болгохыг хичээцгээе.

Экспоненциал

Хэрэв квадрат язгуур нь квадрат бол яах вэ? Энэ нь энгийн, тооны квадрат язгуурын утгыг санаарай - энэ бол квадрат язгуур нь тэнцүү тоо юм.

Тэгэхээр квадрат язгуур нь тэнцүү тоог квадрат болговол юу гарах вэ?

За, мэдээжийн хэрэг!

Жишээнүүдийг харцгаая:

Бүх зүйл энгийн, тийм үү? Хэрэв үндэс нь өөр түвшинд байвал? Зүгээр дээ!

Ижил логикийг баримталж, шинж чанарууд болон боломжит үйлдлүүдийг эрх мэдэлтэйгээр санаарай.

"" сэдвээр онолыг уншаарай, тэгвэл бүх зүйл танд маш тодорхой болно.

Жишээлбэл, энд нэг илэрхийлэл байна:

Энэ жишээнд зэрэг нь тэгш байна, гэхдээ сондгой байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд, хүч чадлын шинж чанаруудыг хэрэглэж, бүх зүйлийг тооцно:

Ингэснээр бүх зүйл тодорхой болсон мэт боловч тооноос үндсийг хэрхэн градусаар гаргаж авах вэ? Жишээлбэл, энэ нь:

Маш энгийн, тийм үү? Хэрэв зэрэг нь хоёроос дээш байвал яах вэ? Бид градусын шинж чанарыг ашиглан ижил логикийг баримталдаг.

За, бүх зүйл тодорхой байна уу? Дараа нь өөрийнхөө жишээг шийд:

Мөн энд хариултууд байна:

Үндэсний тэмдгийн дор оршил

Бид үндэстэй юу хийж сураагүй юм бэ! Зөвхөн язгуур тэмдгийн дор тоог оруулах дасгал хийхэд л үлддэг!

Энэ нь маш амархан!

Бидэнд дугаар байна гэж бодъё

Үүнийг бид юу хийж чадах вэ? Мэдээжийн хэрэг, гурвалсан нь язгуурын язгуур гэдгийг санахын зэрэгцээ гурвыг үндэс дор нуу!

Бидэнд яагаад хэрэгтэй байна вэ? Тийм ээ, жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ өөрсдийн чадавхийг өргөжүүлэхийн тулд:

Үндэсний энэ өмч танд хэр таалагдаж байна вэ? Амьдралыг илүү хялбар болгодог уу? Миний хувьд энэ нь зөв! Зөвхөн Бид зөвхөн язгуур тэмдгийн дор эерэг тоонуудыг оруулж болно гэдгийг санах ёстой.

Энэ жишээг өөрөө туршаад үзээрэй:
Та удирдаж чадсан уу? Та юу авах ёстойг харцгаая:

Сайн хийлээ! Та үндсэн тэмдгийн доор дугаар оруулж чадсан! Үүнтэй адил чухал зүйл рүү шилжье - квадрат язгуур агуулсан тоог хэрхэн харьцуулах талаар бодож үзээрэй!

Үндэс харьцуулалт

Бид яагаад квадрат язгуур агуулсан тоог харьцуулж сурах ёстой вэ?

Маш энгийн. Ихэнхдээ шалгалтанд тааралдсан том, урт хэллэгүүдэд бид үндэслэлгүй хариулт авдаг (энэ нь юу болохыг та санаж байна уу? Бид өнөөдөр энэ талаар аль хэдийн ярьсан!)

Бид хүлээн авсан хариултуудыг координатын шугам дээр байрлуулах хэрэгтэй, жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд аль интервал тохиромжтой болохыг тодорхойлох хэрэгтэй. Эндээс л гацаа үүсдэг: шалгалтанд тооцоолуур байхгүй бөгөөд түүнгүйгээр аль тоо илүү, аль нь бага болохыг хэрхэн төсөөлөх вэ? Ингээд л болоо!

Жишээлбэл, аль нь илүү болохыг тодорхойлох: эсвэл?

Та шууд хэлэхгүй. За ингээд язгуур тэмдгийн доор тоо нэмэх задлан шинжлэгдсэн шинж чанарыг ашиглая?

Дараа нь урагшаа:

Мэдээжийн хэрэг, язгуурын тэмдгийн доор байгаа тоо их байх тусам үндэс нь өөрөө том байх болно!

Тэдгээр. гэсэн үг бол.

Эндээс бид баттай дүгнэлт хийж байна Хэн ч биднийг өөрөөр итгүүлэхгүй!

Олон тооноос үндэс гаргаж авах

Үүнээс өмнө бид язгуурын тэмдгийн дор хүчин зүйл нэвтрүүлсэн, гэхдээ үүнийг яаж гаргах вэ? Та зүгээр л үүнийг тооцож, гаргаж авсан зүйлийг нь гаргаж авах хэрэгтэй!

Энэ нь өөр замаар явж, бусад хүчин зүйлүүдэд задрах боломжтой байсан:

Муу биш, тийм үү? Эдгээр аргуудын аль нэг нь зөв тул та ямар тухтай байгаагаа шийдээрэй.

Факторинг нь дараах стандарт бус ажлуудыг шийдвэрлэхэд маш хэрэгтэй.

Бид айдаггүй, бид үйлддэг! Бид хүчин зүйл бүрийг тус тусад нь задалдаг.

Тэгээд одоо өөрөө туршаад үзээрэй (тооцоолуургүй! Шалгалтанд орохгүй):

Энэ төгсгөл мөн үү? Бид хагас замд зогсдоггүй!

Энэ бол тийм ч аймшигтай биш, тийм ээ?

Болсон уу? Сайн байна, чиний зөв!

Одоо энэ жишээг үзээрэй:

Үүний нэг жишээ бол хагарахад хэцүү самар тул та түүнд хэрхэн хандахаа шууд олж чадахгүй. Гэхдээ бид мэдээж шүдэнд байгаа.

За, факторинг эхлүүлье, тийм үү? Та тоог дараах байдлаар хувааж болно гэдгийг нэн даруй тэмдэглэж байна (хуваагдах шинж тэмдгийг санаарай):

Тэгээд одоо өөрөө оролдоод үз (дахин тооцоолуургүйгээр!):

За, бүтсэн үү? Сайн байна, чиний зөв!

Дүгнэх

1. Сөрөг бус тооны квадрат язгуур (арифметик квадрат язгуур) нь квадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм.
   .
2. Хэрэв бид зүгээр л ямар нэг зүйлийн квадрат язгуурыг авбал бид үргэлж нэг сөрөг бус үр дүнг авдаг.
3. Арифметик язгуур шинж чанарууд:
4. Квадрат язгуурыг харьцуулахдаа язгуурын тэмдгийн доор байгаа тоо их байх тусам үндэс нь өөрөө том болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Та квадрат язгуурт хэр дуртай вэ? Бүгд ойлгомжтой юу?

Квадрат язгуурын тухай шалгалтанд хэрэгтэй бүх зүйлийг бид танд усгүйгээр тайлбарлахыг хичээсэн.

Одоо чиний ээлж. Энэ сэдэв танд хэцүү байна уу, үгүй ​​юу гэдгийг бидэнд бичээрэй.

Та шинэ зүйл сурсан уу эсвэл бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болсон уу?

Сэтгэгдэл дээр бичээд шалгалтанд нь амжилт хүсье!

Нэг квадрат талбай нь 81 дм². Түүний талыг ол. Талбайн хажуугийн урт нь гэж бодъё Xдециметр. Дараа нь талбайн талбай байна X² квадрат дециметр. Учир нь нөхцөл байдлын дагуу энэ талбай 81 дм² байна X² = 81. Квадратын талын урт нь эерэг тоо. Квадрат нь 81 бол эерэг тоо нь 9. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат нь 81 байх х тоог олох шаардлагатай байсан, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг шийддэг. X² = 81. Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. x 1 = 9 ба x 2 \u003d - 9, учир нь 9² \u003d 81 ба (- 9)² \u003d 81. 9 ба - 9 тоог хоёуланг нь 81 тооны квадрат язгуур гэж нэрлэдэг.

Квадрат язгууруудын нэг гэдгийг анхаарна уу X= 9 бол эерэг тоо. Үүнийг 81-ийн арифметик квадрат язгуур гэж нэрлэдэг ба √81 гэж тэмдэглэсэн тул √81 = 9 байна.

Тооны арифметик квадрат язгуур Аквадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм А.

Жишээлбэл, 6 ба -6 тоо нь 36-ын квадрат язгуур юм. 6 нь сөрөг бус тоо бөгөөд 6² = 36 тул 6 тоо нь 36-ын арифметик квадрат язгуур юм. -6 тоо нь арифметик язгуур биш юм.

Тооны арифметик квадрат язгуур Адараах байдлаар тэмдэглэнэ: √ А.

Тэмдгийг арифметик язгуур тэмдэг гэж нэрлэдэг; Аязгуур илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Илэрхийлэл √ Аунших үүнтэй адил: тооны арифметик квадрат язгуур А.Жишээлбэл, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Хэрэв бид арифметик язгуурын тухай ярьж байгаа нь тодорхой байгаа тохиолдолд тэд товчхон хэлэхэд: "квадрат язгуур" А«.

Тооны язгуурыг олох үйлдлийг квадрат язгуур гэж нэрлэдэг. Энэ үйлдэл нь квадратын эсрэг үйлдэл юм.

Ямар ч тоог квадрат болгож болох ч тоо бүр квадрат язгуур байж болохгүй. Жишээлбэл, тооны язгуурыг гаргаж авах боломжгүй - 4. Хэрэв ийм язгуур байсан бол үүнийг үсгээр тэмдэглэнэ. X, зүүн талд сөрөг бус тоо, баруун талд сөрөг тоо байгаа тул бид буруу x² \u003d - 4 тэгшитгэлийг авах болно.

Илэрхийлэл √ Аүед л утга учиртай a ≥ 0. Квадрат язгуурын тодорхойлолтыг: √ гэж товч бичнэ a ≥ 0, (√А)² = А. Тэгш байдал (√ А)² = А-д хүчинтэй a ≥ 0. Тиймээс сөрөг бус тооны квадрат язгуурыг баталгаажуулах Атэнцүү байна б, өөрөөр хэлбэл, тэр √ А =б, та дараах хоёр нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй. b ≥ 0, б² = А.

Бутархайн квадрат язгуур

Тооцоолъё. √25 = 5, √36 = 6 гэдгийг анхаарч, тэгш байдал хангагдсан эсэхийг шалгана уу.

Учир нь ба , тэгвэл тэгш байдал үнэн болно. Тэгэхээр, .

Теорем:Хэрэв А≥ 0 ба б> 0, өөрөөр хэлбэл бутархайн язгуур нь хуваагчийн язгуурт хуваагдсан тооны язгууртай тэнцүү байна. Үүнийг батлах шаардлагатай: ба .

√ оноос хойш А≥0 ба √ б> 0, дараа нь .

Бутархайг зэрэглэлд хүргэх, квадрат язгуурыг тодорхойлох шинж чанараар теорем батлагдсан. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Батлагдсан теоремын дагуу тооцоол .

Хоёр дахь жишээ: Үүнийг батал , Хэрэв А ≤ 0, б < 0. .

Өөр нэг жишээ: Тооцоол.

.

Квадрат язгуурын хувиргалт

Үндэсний тэмдгийн доороос үржүүлэгчийг гаргаж авах. Илэрхийлэл өгье. Хэрэв А≥ 0 ба б≥ 0 байвал бүтээгдэхүүний үндэс дээрх теоремоор бид дараахийг бичиж болно.

Ийм хувиргалтыг язгуур тэмдгийг ялгах гэж нэрлэдэг. Жишээ авч үзье;

Тооцоолох X= 2. Шууд орлуулалт XРадикал илэрхийлэл дэх = 2 нь нарийн төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг. Хэрэв бид эхлээд язгуур тэмдгийн доорхи хүчин зүйлсийг хасвал эдгээр тооцоог хялбарчилж болно: . Одоо x = 2-ыг орлуулахад бид:.

Тиймээс, язгуур тэмдгийн доор хүчин зүйлийг гаргаж авахдаа радикал илэрхийлэл нь нэг буюу хэд хэдэн хүчин зүйл нь сөрөг бус тооны квадратууд болох бүтээгдэхүүнээр илэрхийлэгдэнэ. Дараа нь үндсэн үржвэрийн теоремыг хэрэглэж, хүчин зүйл бүрийн үндсийг авна. Нэг жишээг авч үзье: Эхний хоёр гишүүний язгуур тэмдгийн доор байгаа хүчин зүйлсийг гаргаж A = √8 + √18 - 4√2 илэрхийлэлийг хялбаршуулбал:. тэгш эрхтэй гэдгийг бид онцолж байна үед л хүчинтэй А≥ 0 ба б≥ 0. хэрэв А < 0, то .