समस्या B15 - फंक्शनचे व्युत्पन्न वापरून तपास करा. व्युत्पन्न वापरून फंक्शनचा अभ्यास करणे व्युत्पन्न वापरून फंक्शनचा अभ्यास करणे

समस्या B15 मध्ये extrema च्या सूत्राद्वारे निर्दिष्ट केलेल्या कार्याचे परीक्षण करण्याचा प्रस्ताव आहे. ही एक मानक कॅल्क्युलस समस्या आहे आणि प्रश्नातील कार्यावर अवलंबून तिची अडचण मोठ्या प्रमाणात बदलते: काही शब्दशः तोंडी सोडवल्या जाऊ शकतात, तर इतरांना गंभीर विचार आवश्यक आहे.

उपाय पद्धतींचा अभ्यास करण्यापूर्वी, तुम्हाला गणितीय विश्लेषणाच्या क्षेत्रातील काही संज्ञा समजून घेणे आवश्यक आहे. तर, प्रॉब्लेम B15 मध्ये तुम्हाला व्युत्पन्न वापरून खालील प्रमाण शोधणे आवश्यक आहे:

1. स्थानिक कमाल (किमान) पॉइंट - व्हेरिएबलचे मूल्य ज्यावर फंक्शन त्याच्या सर्वात मोठ्या (सर्वात लहान) मूल्यापर्यंत पोहोचते. अशा बिंदूंना एक्स्ट्रीम पॉइंट्स देखील म्हणतात.
2. फंक्शनचे जागतिक कमाल (किमान) हे निर्दिष्ट निर्बंधांनुसार फंक्शनचे सर्वात मोठे (सर्वात लहान) मूल्य आहे. दुसरे नाव जागतिक टोकाचे आहे.

या प्रकरणात, ग्लोबल एक्सट्रीमा सामान्यतः फंक्शनच्या व्याख्येच्या संपूर्ण डोमेनवर नाही तर केवळ एका विशिष्ट विभागासाठी शोधला जातो. हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे की ग्लोबल एक्स्ट्रीमम आणि एक्स्ट्रीमम पॉइंटवरील फंक्शनचे मूल्य नेहमीच एकरूप होत नाही. हे एका विशिष्ट उदाहरणासह स्पष्ट करूया:

कार्य. y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 मध्यांतर [−3; 3].

प्रथम, आम्हाला किमान बिंदू सापडतो, ज्यासाठी आम्ही व्युत्पन्न गणना करतो:
y’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12.

y’ = 0 हे समीकरण सोडवून गंभीर बिंदू शोधू. आपल्याला मानक द्विघात समीकरण मिळते:
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.

चला हे बिंदू समन्वय रेषेवर चिन्हांकित करू, व्युत्पन्न चिन्हे आणि निर्बंध जोडा - विभागाचे टोक:

चित्राचे प्रमाण काही फरक पडत नाही. सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे बिंदू योग्य क्रमाने चिन्हांकित करणे. शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमावरून आपल्याला माहित आहे की किमान बिंदूवर व्युत्पन्न बदलांचे चिन्ह वजा ते अधिक होते. गणना नेहमी डावीकडून उजवीकडे जाते - सकारात्मक अर्ध-अक्षाच्या दिशेने. म्हणून, फक्त एक किमान बिंदू आहे: x = 2.

आता अंतराल [−3; वरील फंक्शनचे किमान मूल्य शोधू. 3]. हे एकतर किमान बिंदूवर (नंतर ते जागतिक किमान बिंदू बनते) किंवा विभागाच्या शेवटी प्राप्त केले जाते. लक्षात घ्या की मध्यांतरावर (2; 3) व्युत्पन्न सर्वत्र सकारात्मक आहे, ज्याचा अर्थ y(3) > y(2) आहे, त्यामुळे विभागाच्या उजव्या टोकाकडे दुर्लक्ष केले जाऊ शकते. फक्त x = −3 (सेगमेंटचे डावे टोक) आणि x = 2 (किमान बिंदू) बाकी आहेत. आमच्याकडे आहे:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.

तर, फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य सेगमेंटच्या शेवटी प्राप्त केले जाते आणि ते −44 च्या बरोबरीचे असते.

उत्तरः x मि = 2; y मि = −44

वरील तर्कावरून एक महत्त्वाची वस्तुस्थिती लक्षात येते जी बरेच लोक विसरतात. फंक्शन त्याचे कमाल (किमान) मूल्य घेते आवश्यक नाही की एक्स्ट्रीमम पॉइंटवर. काहीवेळा हे मूल्य सेगमेंटच्या शेवटी पोहोचले आहे आणि तेथील व्युत्पन्न शून्याच्या बरोबरीचे असणे आवश्यक नाही.

समस्या सोडवणे योजना B15

जर समस्या B15 मध्ये तुम्हाला मध्यांतरावर f(x) फंक्शनचे कमाल किंवा किमान मूल्य शोधायचे असेल, तर खालील पायऱ्या करा:

1. समीकरण f’(x) = 0 सोडवा. मुळे नसल्यास, तिसरी पायरी वगळा आणि थेट चौथ्या वर जा.
2. मुळांच्या परिणामी सेटमधून, विभागाच्या बाहेर असलेल्या सर्व गोष्टी ओलांडून टाका. चला उर्वरित संख्या x 1, x 2, ..., x n दर्शवू - नियम म्हणून, त्यापैकी काही असतील.
3. मूळ फंक्शनमध्ये खंडाचे टोक आणि बिंदू x 1, x 2, ..., x n बदलू. आम्हाला f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n) संख्यांचा संच मिळतो, ज्यामधून आम्ही सर्वात मोठे किंवा सर्वात लहान मूल्य निवडतो - हे असेल उत्तर.

जेव्हा मुळे एका खंडाच्या टोकाशी जुळतात तेव्हा ते ओलांडण्याबद्दल एक लहान स्पष्टीकरण. ते देखील ओलांडले जाऊ शकतात, कारण चौथ्या चरणात विभागाचे टोक अद्याप फंक्शनमध्ये बदलले आहेत - जरी f’(x) = 0 समीकरणाचे कोणतेही निराकरण नाही.

कार्य. मध्यांतर [−5; 0].

प्रथम, व्युत्पन्न शोधू: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x −9.

मग आपण समीकरण सोडवू: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

आम्ही मूळ x = 1 ओलांडतो, कारण ते विभागाशी संबंधित नाही [−5; 0].

सेगमेंटच्या शेवटी आणि x = −3 या बिंदूवर फंक्शनच्या मूल्याची गणना करणे बाकी आहे:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4 0 2 − 9 0 − 7 = −7.

अर्थात, सर्वात मोठे मूल्य 20 आहे - ते x = −3 या बिंदूवर प्राप्त होते.

आता जेव्हा तुम्हाला सेगमेंटवर f(x) फंक्शनचा कमाल किंवा किमान बिंदू शोधायचा असेल तेव्हा केस विचारात घ्या. सेगमेंट निर्दिष्ट न केल्यास, फंक्शन त्याच्या परिभाषाच्या डोमेनमध्ये मानले जाते. कोणत्याही परिस्थितीत, उपाय खालीलप्रमाणे आहे:

1. फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा: f’(x).
2. f’(x) = 0 हे समीकरण सोडवा. जर व्युत्पन्न हे फ्रॅक्शनल परिमेय फंक्शन असेल, तर त्याचा भाजक कधी शून्य असेल हे देखील आपण शोधू शकतो. परिणामी x 1 , x 2 , ..., x n ही मुळे दर्शवू.
3. निर्देशांक रेषेवर x 1, x 2, ..., x n चिन्हांकित करा आणि व्युत्पन्न या संख्यांमधील चिन्हे लावा. जर एखादा विभाग दिला असेल तर तो चिन्हांकित करा आणि त्याच्या बाहेर असलेल्या सर्व गोष्टी ओलांडून टाका.
4. उरलेल्या बिंदूंपैकी, आम्ही एक शोधत आहोत जिथे व्युत्पन्नाचे चिन्ह वजा ते अधिक (हा किमान बिंदू आहे) किंवा अधिक ते उणे (किमान बिंदू) मध्ये बदलतो. असा एकच मुद्दा असावा - हे उत्तर असेल.

विचारशील वाचकाच्या लक्षात येईल की काही कार्यांसाठी हे अल्गोरिदम कार्य करत नाही. खरंच, फंक्शन्सचा एक संपूर्ण वर्ग आहे ज्यासाठी एक्स्ट्रीम पॉइंट्स शोधण्यासाठी अधिक जटिल गणना आवश्यक आहे. तथापि, गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेत अशी कार्ये आढळत नाहीत.

x 1, x 2, ..., x n या बिंदूंमधील चिन्हांच्या स्थानाकडे काळजीपूर्वक लक्ष द्या. लक्षात ठेवा: सम गुणाकाराच्या मुळातून जात असताना, व्युत्पन्नाचे चिन्ह बदलत नाही. अत्यंत बिंदू शोधताना, चिन्हे नेहमी डावीकडून उजवीकडे पाहिली जातात, म्हणजे. संख्या अक्षाच्या दिशेने.

कार्य. फंक्शनचा कमाल बिंदू शोधा

विभागावर [−8; 8].

चला व्युत्पन्न शोधूया:

हे फ्रॅक्शनल परिमेय फंक्शन असल्याने, आम्ही व्युत्पन्न आणि त्याचा भाजक शून्याशी समतुल्य करतो:
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (दुसरा गुणाकार मूळ).

निर्देशांक रेषेवर x = −5, x = 0 आणि x = 5 हे बिंदू चिन्हांकित करू, चिन्हे आणि सीमा ठेवा:

अर्थात, x = −5 या खंडात फक्त एकच बिंदू शिल्लक आहे, ज्यावर व्युत्पन्नाचे चिन्ह अधिक ते वजा मध्ये बदलते. हा कमाल मुद्दा आहे.

एक्स्ट्रीमम पॉइंट्स स्वतःहून एक्स्ट्रीममपेक्षा कसे वेगळे आहेत हे पुन्हा एकदा स्पष्ट करूया. एक्स्ट्रीमम पॉइंट्स ही व्हेरिएबल्सची व्हॅल्यू आहेत ज्यावर फंक्शन सर्वात मोठे किंवा सर्वात लहान मूल्य घेते. एक्स्ट्रीमा ही फंक्शन्सची मूल्ये आहेत, त्यांच्या काही अतिपरिचित क्षेत्रांमध्ये जास्तीत जास्त किंवा किमान.

नेहमीच्या बहुपदी आणि अपूर्णांक परिमेय फंक्शन्स व्यतिरिक्त, समस्या B15 मध्ये खालील प्रकारचे अभिव्यक्ती आढळतात:

1. अतार्किक कार्ये
2. त्रिकोणमितीय कार्ये,
3. घातांकीय कार्ये,
4. लॉगरिदमिक कार्ये.

नियमानुसार, अतार्किक कार्यांसह कोणतीही समस्या उद्भवत नाही. उर्वरित प्रकरणे अधिक तपशीलाने विचारात घेण्यासारखे आहेत.

त्रिकोणमितीय कार्ये

त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची मुख्य अडचण ही आहे की समीकरणे सोडवताना, अनंत संख्येने मुळे उद्भवतात. उदाहरणार्थ, sin x = 0 या समीकरणाला x = πn मुळे आहेत, जेथे n ∈ Z. बरं, अशा असंख्य संख्या असल्‍यास ते समन्‍य रेषेवर कसे चिन्हांकित करायचे?

उत्तर सोपे आहे: तुम्हाला n ची विशिष्ट मूल्ये बदलण्याची आवश्यकता आहे. खरंच, त्रिकोणमितीय फंक्शन्ससह समस्या B15 मध्ये नेहमीच एक अडथळा असतो - एक विभाग. म्हणून, सुरुवातीला, आम्ही n = 0 घेतो, आणि नंतर विभागाच्या सीमांच्या पलीकडे संबंधित रूट "उडतो" तोपर्यंत n वाढवतो. त्याचप्रमाणे, n कमी केल्याने, आपण लवकरच खालच्या सीमेपेक्षा कमी असलेले रूट प्राप्त करू.

हे दर्शविणे सोपे आहे की विचारात घेतलेल्या प्रक्रियेत प्राप्त झालेल्या मुळे खंडावर अस्तित्वात नाहीत. आता विशिष्ट उदाहरणे वापरून या प्रक्रियेचा विचार करूया.

कार्य. y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, खंडाशी संबंधित असलेल्या फंक्शनचा कमाल बिंदू शोधा [−π/3; π/3].

आम्ही व्युत्पन्न गणना करतो: y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x.

मग आपण समीकरण सोडवू: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x) cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0.2 किंवा x = π/2 + πn, n ∈ Z.

रूट x = 0.2 सह सर्व काही स्पष्ट आहे, परंतु सूत्र x = π/2 + πn साठी अतिरिक्त प्रक्रिया आवश्यक आहे. आपण n = 0 पासून सुरू होणारी n ची भिन्न मूल्ये बदलू.

n = 0 ⇒ x = π/2. पण π/2 > π/3, त्यामुळे मूळ x = π/2 मूळ खंडात समाविष्ट नाही. तसेच, जितका मोठा n, तितका मोठा x, त्यामुळे n > 0 विचारात घेण्यात काही अर्थ नाही.

n = −1 ⇒ x = − π/2. पण −π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.

हे मध्यांतर [−π/3; π/3] फक्त x = 0.2 या मुळाशी आहे. निर्देशांक रेषेवरील चिन्हे आणि सीमांसह ते चिन्हांकित करू:

x = 0.2 च्या उजवीकडील व्युत्पन्न खरोखर ऋण आहे याची खात्री करण्यासाठी, x = π/4 मूल्याला y’ मध्ये बदलणे पुरेसे आहे. आपण फक्त लक्षात ठेवू की x = 0.2 बिंदूवर व्युत्पन्न बदलांचे चिन्ह अधिक ते वजा पर्यंत आहे आणि म्हणूनच हा कमाल बिंदू आहे.

कार्य. मध्यांतरावर y = 4tg x − 4x + π − 5 फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य शोधा [−π/4; π/4].

आम्ही व्युत्पन्न गणना करतो: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x −4.

मग आपण समीकरण सोडवू: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.

n = 0 पासून सुरू होणार्‍या विशिष्ट n च्या जागी आपण या सूत्रातून मुळे काढू.
n = 0 ⇒ x = 0. हे मूळ आपल्याला अनुकूल आहे.
n = 1 ⇒ x = π. परंतु π > π/4, म्हणून मूळ x = π आणि मूल्ये n > 1 ओलांडणे आवश्यक आहे.
n = −1 ⇒ x = −π. पण π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.

मुळांच्या संपूर्ण प्रकारांपैकी, फक्त एकच शिल्लक आहे: x = 0. म्हणून, आपण x = 0, x = π/4 आणि x = −π/4 साठी फंक्शनचे मूल्य मोजतो.
y(0) = 4tg 0 − 4 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4 π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4 (−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.

आता लक्षात घ्या की π = 3.14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.

लक्षात घ्या की शेवटच्या समस्येमध्ये एकमेकांशी संख्यांची तुलना न करणे शक्य होते. शेवटी, π − 5, 1 आणि 2π − 9 या संख्यांपैकी फक्त एकच उत्तर फॉर्मवर लिहिता येईल. खरंच, फॉर्मवर π ही संख्या कशी लिहायची, म्हणा? पण मार्ग नाही. गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या पहिल्या भागाचे हे महत्त्वाचे वैशिष्ट्य आहे, जे अनेक समस्यांचे निराकरण मोठ्या प्रमाणात सुलभ करते. आणि हे केवळ B15 मध्येच कार्य करत नाही.

कधी कधी फंक्शनचा अभ्यास करताना मुळे नसलेली समीकरणे निर्माण होतात. या प्रकरणात, कार्य आणखी सोपे होते, कारण केवळ विभागाचे टोक विचारात घेणे बाकी आहे.

कार्य. मध्यांतर [−3π/2; 0].

प्रथम आपण व्युत्पन्न शोधू: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x −8.

चला समीकरण सोडवण्याचा प्रयत्न करूया: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. पण cos x ची मूल्ये नेहमी मध्यांतरावर असतात [−1; 1], आणि 8/7 > 1. म्हणून, मुळे नाहीत.

जर मुळे नसतील तर काहीही ओलांडण्याची गरज नाही. चला शेवटच्या टप्प्यावर जाऊ - फंक्शनच्या मूल्याची गणना करा:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8 0 + 5 = 5.

12π + 12 ही संख्या उत्तरपत्रिकेवर लिहिता येत नसल्याने y = 5 उरते.

घातांकीय कार्ये

सर्वसाधारणपणे, घातांकीय कार्य हे y = a x या फॉर्मची अभिव्यक्ती असते, जेथे a > 0. परंतु समस्या B15 मध्ये फक्त y = e x फॉर्मची कार्ये असतात आणि अत्यंत प्रकरणांमध्ये, y = e kx + b. याचे कारण असे आहे की या फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह्ज अगदी सहजपणे मोजले जातात:

1. (e x)" = e x. काहीही बदललेले नाही.
2. (e kx + b)" = k·e kx + b. फक्त x च्या गुणांकाच्या बरोबरीचा घटक जोडा. हे जटिल कार्याच्या व्युत्पन्नाचे विशेष प्रकरण आहे.

बाकी सर्व काही अगदी मानक आहे. अर्थात, समस्या B15 मधील वास्तविक कार्ये अधिक गंभीर दिसतात, परंतु यामुळे समाधान योजना बदलत नाही. पूर्ण तर्क किंवा भाष्य न करता - समाधानाचे फक्त मुख्य मुद्दे हायलाइट करून दोन उदाहरणे पाहू.

कार्य. y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 मध्यांतर [−1; ५].

व्युत्पन्न: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x −3 .

मुळे शोधा: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.

दोन्ही मुळे या विभागावर आहेत [−1; ५]. सर्व बिंदूंवर फंक्शनचे मूल्य शोधणे बाकी आहे:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5 0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5 e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5 3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5 5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5 e 2 .

मिळालेल्या चार संख्यांपैकी फक्त y = −1 फॉर्मवर लिहिता येईल. याव्यतिरिक्त, ही एकमेव ऋण संख्या आहे - ती सर्वात लहान असेल.

कार्य. खंडावरील y = (2x − 7) e 8 − 2x फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य शोधा.

व्युत्पन्न: y’ = ((2x − 7) e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x) e 8 − 2x = 4(4 − x) e 8 − 2x .

मुळे शोधा: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x) e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.

मूळ x = 4 विभागाशी संबंधित आहे. आम्ही फंक्शन व्हॅल्यूज शोधत आहोत:
y(0) = (2 0 − 7)e 8 − 2 0 = ... = −7 e 8 ;
y(4) = (2 4 − 7)e 8 − 2 4 = ... = 1;
y(6) = (2 6 − 7)e 8 − 2 6 = ... = 5 e −4 .

अर्थात, फक्त y = 1 हेच उत्तर असू शकते.

लॉगरिदमिक कार्ये

घातांकीय फंक्शन्सच्या सादृश्यतेनुसार, B15 समस्येमध्ये फक्त नैसर्गिक लॉगरिदम येतात, कारण त्यांचे व्युत्पन्न सहजपणे मोजले जाते:

1. (ln x)’ = 1/x;
2. (ln(kx + b))’ = k/(kx + b). विशेषतः, जर b = 0, तर (ln(kx))’ = 1/x.

अशा प्रकारे, व्युत्पन्न हे नेहमीच अपूर्णांक परिमेय कार्य असेल. हे व्युत्पन्न आणि त्याचा भाजक शून्याशी समीकरण करणे आणि नंतर परिणामी समीकरणे सोडवणे हे बाकी आहे.

लॉगरिदमिक फंक्शनचे कमाल किंवा किमान मूल्य शोधण्यासाठी, लक्षात ठेवा: नैसर्गिक लॉगरिदम केवळ e n च्या बिंदूंवर "सामान्य" संख्या बनते. उदाहरणार्थ, ln 1 = ln e 0 = 0 हे लॉगरिदमिक शून्य आहे आणि बहुतेकदा त्याचे समाधान खाली येते. इतर प्रकरणांमध्ये, लॉगरिथमचे चिन्ह "काढणे" अशक्य आहे.

कार्य. खंडावरील y = x 2 − 3x + ln x या फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य शोधा.

आम्ही व्युत्पन्न गणना करतो:

आम्हाला व्युत्पन्न आणि त्याच्या भाजकाचे शून्य सापडतात:
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0.5; x = 1;
x = 0 - येथे निर्णय घेण्यासारखे काहीही नाही.

x = 0, x = 0.5 आणि x = 1 या तीन संख्यांपैकी फक्त x = 1 खंडात आहे आणि x = 0.5 ही संख्या त्याचा शेवट आहे. आमच्याकडे आहे:
y(0.5) = 0.5 2 − 3 0.5 + ln 0.5 = ln 0.5 − 1.25;
y(1) = 1 2 − 3 1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3 5 + ln 5 = 10 + ln 5.

मिळालेल्या तीन मूल्यांपैकी, फक्त y = −2 मध्ये लॉगरिथम चिन्ह नाही - हे उत्तर असेल.

कार्य. खंडावरील y = ln(6x) − 6x + 4 या फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य शोधा.

आम्ही व्युत्पन्न गणना करतो:

डेरिव्हेटिव्ह किंवा त्याचा भाजक शून्याच्या बरोबरीचा असतो तेव्हा आम्ही शोधतो:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - आधीच ठरवले आहे.

आम्ही x = 0 ही संख्या ओलांडतो, कारण ती विभागाच्या बाहेर आहे. आम्ही सेगमेंटच्या शेवटी आणि x = 1/6 बिंदूवर फंक्शनच्या मूल्याची गणना करतो:
y(0.1) = ln(6 0.1) − 6 0.1 + 4 = ln 0.6 + 3.4;
y(1/6) = ln(6 1/6) − 6 1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6 3) − 6 3 + 4 = ln 18 − 14.

अर्थात, फक्त y = 3 उत्तर म्हणून कार्य करू शकते - उर्वरित मूल्यांमध्ये लॉगरिदमिक चिन्ह असते आणि ते उत्तरपत्रिकेवर लिहिता येत नाही.

बिंदू म्हणतात कमाल (किमान) पॉइंट फंक्शन्स, जर बिंदूचे अतिपरिचित क्षेत्र असेल जसे की या शेजारच्या प्रत्येकासाठी असमानता ().

फंक्शनच्या कमाल आणि किमान बिंदूंना बिंदू म्हणतात extremum (अंजीर 25).

प्रमेय 3.9 (अतिरिक्त बिंदूंच्या अस्तित्वासाठी आवश्यक अटी) . 1ल्या प्रकारच्या गंभीर बिंदूंवर, फंक्शनचे व्युत्पन्न एकतर आहे

शून्य आहे किंवा अस्तित्वात नाही

1ल्या प्रकारच्या गंभीर बिंदूंना सामान्यतः फक्त गंभीर बिंदू म्हणतात.

ज्या क्रिटिकल पॉइंट्सवर फंक्शनचे व्युत्पन्न शून्य असते त्यांना म्हणतात स्थिरतेचे बिंदू . ज्या क्रिटिकल पॉईंट्सवर फंक्शन सतत असते परंतु वेगळे करता येत नाही त्यांना म्हणतात कोपरा बिंदू . उदाहरणार्थ, एका बिंदूवरील फंक्शन सतत असते, परंतु त्याचे कोणतेही व्युत्पन्न नसते, कारण या बिंदूवर फंक्शनच्या आलेखावर अनंत संख्येने स्पर्शिका काढता येतात (चित्र 26). हे प्रकरण प्रमेय 3.3 चे संभाषण खोटे असल्याची पुष्टी म्हणून मानले जाऊ शकते.

फंक्शन म्हणतात वाढत आहे ठराविक अंतरावर, जर या मध्यांतरावर वितर्काचे मोठे मूल्य व्हेरिएबलच्या मोठ्या मूल्याशी संबंधित असेल, आणि कमी होत आहे , जर वितर्काचे मोठे मूल्य व्हेरिएबलच्या लहान मूल्याशी संबंधित असेल.

पुढील संशोधनासाठी, गंभीर बिंदू संख्यात्मक अक्षावर ठेवलेले आहेत, जे या बिंदूंद्वारे मध्यांतरांमध्ये विभागले जातात, त्यानंतर खालील पुरेशा अटी सत्यापित केल्या जातात.

प्रमेय 3.10 (फंक्शन वाढवण्यासाठी आणि कमी करण्यासाठी पुरेशी स्थिती).जर एखाद्या ठराविक अंतरावर फंक्शन वेगळे करण्यायोग्य असेल आणि त्याचे व्युत्पन्न सकारात्मक (ऋण) असेल, तर या मध्यांतरावरील कार्य वाढते (कमी होते)

प्रमेय 3.11 (फंक्शनच्या एक्स्ट्रीम पॉइंट्सच्या अस्तित्वासाठी पुरेशी स्थिती).जर क्रिटिकल पॉईंटच्या काही शेजारी फंक्शन सतत आणि भिन्न असेल आणि, त्यातून जात असताना, व्युत्पन्न बदलांचे चिन्ह प्लस ते मायनसमध्ये असेल, तर बिंदू हा कमाल बिंदू आहे; जर वजा ते अधिक असेल, तर बिंदू हा फंक्शनचा किमान बिंदू आहे

फंक्शनचे ते गंभीर मुद्दे ज्यासाठी पुरेशी स्थिती समाधानी नाही ते फक्त 1ल्या प्रकारचे गंभीर मुद्दे राहतात.

पहिल्या प्रकारचे गंभीर मुद्दे, ज्यावर व्युत्पन्न अस्तित्वात नाही, ते दोन वर्गांमध्ये विभागले गेले आहेत:

- ज्या बिंदूंवर फंक्शन सतत असते (जर प्रमेय 3.11 त्यांच्यासाठी समाधानी असेल, तर या बिंदूंवरील फंक्शनचा "शार्प" एक्स्ट्रीमम असतो), हे आहेत कोपरा ठिपके;

- ज्या पॉइंट्सवर फंक्शनमध्ये खंड पडतो (नेहमी दुसऱ्या प्रकारच्या गंभीर बिंदूंच्या वर्गात जातो).

परंतु अशाप्रकारे केलेला अभ्यास एका महत्त्वाच्या प्रश्नाचे उत्तर देत नाही: कार्य कसे वाढते (कमी होते) - उत्तल किंवा अवतल? विचारलेल्या प्रश्नाचे उत्तर दुसरे व्युत्पन्न वापरून कार्याचा पुढील अभ्यास करून दिले जाते. चला अनेक आवश्यक व्याख्या देऊ.

फंक्शन म्हणतात उत्तल (अवतल) या मध्यांतराच्या प्रत्येक बिंदूवर फंक्शनच्या आलेखावर काढलेली स्पर्शिका फंक्शनच्या आलेखाच्या वर (खाली) असल्यास विशिष्ट अंतरावर.

फंक्शनच्या अवतलतेच्या क्षेत्रांपासून उत्तलतेचे क्षेत्र वेगळे करणाऱ्या बिंदूंना त्याचे म्हणतात वळण बिंदू (अंजीर 27).

प्रमेय 3.12 (इन्फ्लेक्शन पॉइंट्सच्या अस्तित्वासाठी आवश्यक अट). 2र्‍या प्रकारच्या गंभीर बिंदूंवर, फंक्शनचे दुसरे व्युत्पन्न एकतर शून्य आहे किंवा अस्तित्वात नाही

पुढील संशोधनासाठी, 2 र्या प्रकारचे गंभीर बिंदू संख्यात्मक अक्षावर ठेवलेले आहेत, जे या बिंदूंद्वारे मध्यांतरांमध्ये विभागले जातात, त्यानंतर खालील पुरेशी परिस्थिती सत्यापित केली जाते.

प्रमेय ३.१३ (फंक्शनच्या उत्तलता आणि अवतलतेसाठी पुरेशी स्थिती).जर एका ठराविक अंतरावर फंक्शन दोनदा भिन्न असेल आणि त्याचे दुसरे व्युत्पन्न धन (ऋण) असेल, तर या मध्यांतरावरील कार्य अवतल (उत्तल) असेल.

फंक्शनचे ते गंभीर बिंदू ज्यासाठी पुरेशी स्थिती समाधानी नाही ते फक्त 2 ऱ्या प्रकारचे गंभीर मुद्दे राहतात.

2 र्या प्रकारचे गंभीर मुद्दे, ज्यावर दुसरा व्युत्पन्न अस्तित्वात नाही, ते दोन वर्गांमध्ये विभागले गेले आहेत:

- ज्या बिंदूंवर फंक्शन सतत चालू असते, ते "तीक्ष्ण" वळणाचे तथाकथित बिंदू आहेत - अशा बिंदूंवर फंक्शनच्या आलेखावर अनंत संख्येने स्पर्शिका काढता येतात (चित्र 28);

– ज्या बिंदूंवर फंक्शनला खंडितपणा येतो (दुसऱ्या प्रकारातील खंडितता बिंदूंवर, फंक्शनच्या आलेखाला अनुलंब अॅसिम्प्टोट असते).

फंक्शनच्या एक्स्ट्रीमम आणि इन्फ्लेक्शन पॉइंट्सच्या अंतिम सूचीसाठी, त्यांचे निर्देशांक शोधणे आवश्यक आहे आणि नंतर दोन निर्देशांकांसह सूचित बिंदू लिहा.

स्वयं-चाचणी प्रश्न.

1. कोणत्या बिंदूंना फंक्शनचे एक्स्ट्रीमम पॉइंट (कमाल आणि कमाल) म्हणतात?

2. कोणत्या फंक्शनला वाढते (कमी होणे) म्हणतात?

3. फंक्शनच्या एक्स्ट्रीमम पॉइंट्सच्या अस्तित्वासाठी आवश्यक आणि पुरेशी परिस्थिती काय आहे?

4. फंक्शनच्या वाढीसाठी (कमी) पुरेशी स्थिती काय आहे?

5. कोणत्या बिंदूंना फंक्शनचे इन्फ्लेक्शन पॉइंट म्हणतात?

6. कोणत्या कार्याला उत्तल (अवतल) म्हणतात?

7. फंक्शनच्या इन्फ्लेक्शन पॉइंट्सच्या अस्तित्वासाठी आवश्यक आणि पुरेशी परिस्थिती काय आहे?

8. फंक्शनच्या उत्तलता (अवतलत्व) साठी पुरेशी स्थिती काय आहे?

धड्याचा उद्देश:फंक्शन्सवर संशोधन कसे करावे ते शिका; त्यांचे आलेख तयार करा.

फॉर्म:धडा-संभाषण.

पद्धती:संवाद, व्हिज्युअल एड्स आणि स्लाइड्स.

उपकरणे:आयसीटी, टेबल.

वर्ग दरम्यान

I. गृहपाठ तपासत आहे.

शिक्षक:- मित्रांनो! तुमच्याकडे गृहपाठ होता "कार्यक्रमाचे गंभीर मुद्दे, कमाल आणि मिनिमा." फंक्शनचा गंभीर बिंदू परिभाषित करा.

विद्यार्थी: - एक गंभीर बिंदू हा परिभाषेच्या क्षेत्राचा अंतर्गत बिंदू आहे ज्यावर व्युत्पन्न एकतर शून्याच्या बरोबरीचे आहे किंवा अस्तित्वात नाही.

शिक्षक:- गंभीर मुद्दे कसे शोधायचे?

विद्यार्थी :- १

) फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा;

2) समीकरण सोडवा: f "(x) = 0. या समीकरणाची मुळे गंभीर बिंदू आहेत.

शिक्षक: - फंक्शन्सचे महत्त्वपूर्ण मुद्दे शोधा:

अ) f(x)= 4 - 2x + 7x 2

b) f(x)= 4x - x 3/3

a) 1) या फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा:

f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x

2) समीकरण f "(x)=0 सोडवा<=>-2+14x =0<=>x=1/7

3) समीकरण f "(x) = 0 मध्ये एक मूळ असल्याने, या फंक्शनमध्ये एक गंभीर बिंदू x = 1/7 आहे.

b) 1) या फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा: f "(x)= 4 - x 2

2) समीकरण सोडवा: f "(x)=0<=>4 - x 2 = 0<=>x = 2 किंवा x = -2

3) समीकरण f "(x) = 0 मध्ये दोन मुळे असल्याने, या फंक्शनमध्ये x 1 = 2 आणि x 2 = -2 दोन गंभीर बिंदू आहेत.

II.तोंडी काम.

शिक्षक:- अगं! नवीन विषयाचा अभ्यास करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या मूलभूत प्रश्नांची पुनरावृत्ती करूया. हे करण्यासाठी, चित्रांसह सारण्यांचा विचार करा ( परिशिष्ट १).

ज्या बिंदूंवर कार्य वाढते आणि कमी होते ते दर्शवा. या बिंदूंना काय म्हणतात?

विद्यार्थी: - आकृती a) - बिंदू K हा कमाल बिंदू आहे, आकृती b) - बिंदू M हा कमाल बिंदू आहे.

शिक्षक:- फंक्शनच्या किमान गुणांची नावे सांगा.

विद्यार्थी:- आकृती c) आणि d) मधील बिंदू K हा फंक्शनचा किमान बिंदू आहे.

शिक्षक:- फंक्शनचे टोकाचे बिंदू कोणते असू शकतात?

विद्यार्थी:- क्रिटिकल पॉइंट्स हे फंक्शनचे एक्स्ट्रीम पॉइंट असू शकतात.

शिक्षक:- तुम्हाला कोणत्या आवश्यक अटी माहित आहेत?

विद्यार्थी:- फर्मॅटचे प्रमेय आहे. एक्स्ट्रीममसाठी आवश्यक अट:जर x 0 हा बिंदू f फंक्शनचा टोकाचा बिंदू असेल आणि या बिंदूवर f " व्युत्पन्न असेल, तर ते शून्य: f "(x) = 0 च्या बरोबरीचे आहे.

शिक्षक:- फंक्शनसाठी महत्त्वाचे मुद्दे शोधा:

a) f(x) = | x |

b) f(x) = 2x + | x |

विद्यार्थी:- फंक्शन f(x) = | विचारात घ्या x | ( परिशिष्ट 2). या फंक्शनमध्ये 0 वर डेरिव्हेटिव्ह नाही. याचा अर्थ 0 हा एक गंभीर बिंदू आहे. अर्थात, बिंदू 0 वर फंक्शन किमान आहे.

विद्यार्थी:- फंक्शन f(x) = 2x + | विचारात घ्या x | ( परिशिष्ट 3). आलेख दर्शवितो की पॉइंट 0 वर या फंक्शनला एक्स्ट्रीमम नाही. या टप्प्यावर फंक्शनला डेरिव्हेटिव्ह नाही.

खरं तर, फंक्शन f चे बिंदू 0 वर व्युत्पन्न आहे असे गृहीत धरल्यास, f(x) - 2x चे देखील 0 वर व्युत्पन्न आहे. परंतु f(x) - 2x = | x |, आणि कार्य | x | बिंदू 0 मध्ये भिन्नता नाही, म्हणजे आम्ही एका विरोधाभासावर आलो आहोत.

याचा अर्थ बिंदू 0 वरील फंक्शनचे कोणतेही व्युत्पन्न नाही.

शिक्षक:- फर्मॅटच्या प्रमेयावरून असे दिसून येते की टोकाचे बिंदू शोधताना, आपल्याला गंभीर बिंदू शोधणे आवश्यक आहे. परंतु विचारात घेतलेल्या उदाहरणांवरून, हे स्पष्ट होते की हा गंभीर बिंदू एक टोकाचा बिंदू होण्यासाठी, काही अतिरिक्त अटी आवश्यक आहेत.

एखाद्या बिंदूवर एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वासाठी कोणत्या पुरेशा परिस्थिती आहेत हे तुम्हाला माहिती आहे?

विद्यार्थी:- फंक्शन कमाल चिन्ह: फंक्शन x 0 बिंदूवर निरंतर असल्यास, आणि मध्यांतरावर f "(x)>0 (a; x 0) आणि f "(x)<0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.

म्हणजेच, जर x 0 या बिंदूवर व्युत्पन्न बदलाचे चिन्ह अधिक ते वजा असेल, तर x 0 हा कमाल बिंदू आहे.

विद्यार्थी:- किमान चिन्ह: फंक्शन f हे बिंदू x 0 वर सतत असल्यास, आणि f "(x)<0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >मध्यांतरावर 0 (x 0 ; b), नंतर बिंदू x 0 हा फंक्शनचा किमान बिंदू आहे.

म्हणजेच, जर x 0 या बिंदूवर व्युत्पन्न बदलाचे चिन्ह वजा ते अधिक असेल, तर x 0 हा किमान बिंदू आहे.

शिक्षक:- फंक्शनचे एक्स्ट्रीम पॉइंट्स शोधण्यासाठी तुम्हाला कोणता अल्गोरिदम माहित आहे?

विद्यार्थी डेरिव्हेटिव्ह ( परिशिष्ट ४) आणि फंक्शनचे टोकाचे बिंदू शोधते:

f (x) = x 4 -2x 2

D (f) = IR आणि f संपूर्ण संख्या रेषेवर सतत असतात, संपूर्ण परिमेय कार्याप्रमाणे.

2. f "(x) = 4x 3 -4x = 4x (x+1)(x-1).

३. f "(x)=0<=>x= -1 V x=0 V x=1.

Fig.1 (चिन्हे f ")

गंभीर बिंदूंवर f सतत असल्याने, आकृती 1 पासून ( परिशिष्ट 5) हे स्पष्ट आहे की -1 आणि 1 हे किमान बिंदू आहेत आणि 0 हा फंक्शनचा कमाल बिंदू आहे.

f मि = f (-1) = f (1) = -1, f कमाल = f (0) =0.

शिक्षक:- अगं! फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे अंतर शोधण्यासाठी अल्गोरिदम लक्षात ठेवूया.

फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे अंतर शोधण्यासाठी विद्यार्थ्याला अल्गोरिदम आठवतो ( परिशिष्ट 6).

शिक्षक:- सूत्राने दिलेल्या फंक्शनचे वाढ आणि घट यांचे अंतर शोधा

f (x) = x 3 -12x

उपाय:

1. f(x) ही बहुपदी असल्याने D(f) =IR.

2. फंक्शन f संपूर्ण संख्या रेषेवर भिन्न आहे आणि f "(x) = 3x 2 -12 = 3 (x+2) (x-2).

3. फंक्शन f चे गंभीर बिंदू फक्त f "(x) चे शून्य असू शकतात.

f "(x) =0<=>x = -2 V x=2.

D (f)\ (-2; 2)= (-; -2) U (-2; 2) U (2; +).

Fig.2 (चिन्हे f ").

या फंक्शनची व्याख्या आणि मूल्यांची डोमेन शोधा.

फंक्शनमध्ये संशोधनाची सुविधा देणारी वैशिष्ट्ये आहेत की नाही ते शोधा, म्हणजे फंक्शन f:

अ) सम किंवा विषम;

ब) नियतकालिक.

3. आलेखाच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंचे समन्वय अक्षांसह मोजा.

4. फंक्शनच्या स्थिर चिन्हाचे मध्यांतर शोधा.

5. फंक्शन कोणत्या अंतराने वाढते आणि कोणत्या अंतराने कमी होते ते शोधा.

6. टोकाचे बिंदू (कमाल किंवा कमाल) शोधा आणि या बिंदूंवर f ची मूल्ये काढा.

7. व्याख्येच्या क्षेत्रामध्ये समाविष्ट नसलेल्या वैशिष्ट्यपूर्ण बिंदूंच्या परिसरातील फंक्शनच्या वर्तनाची तपासणी करा.

8. फंक्शनचा आलेख तयार करा.

हा आकृती अंदाजे आहे.

जे सांगितले आहे ते लक्षात घेऊन, फंक्शन तपासूया: f(x) = 3x 5 -5x 3 +2 आणि त्याचा आलेख तयार करू.

सूचित योजनेनुसार अभ्यास करूया:

D (f ") =IR, कारण f (x) ही बहुपदी आहे.

फंक्शन f सम किंवा विषम नाही, कारण

f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5x 3 +2= -(3x 5 -5x 3 -2) f(x)

चला समन्वय अक्षांसह आलेखाच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंचे निर्देशांक शोधूया:

a) 0X अक्षासह, यासाठी आपण समीकरण सोडवू: 3x 5 -5x 3 +2 = 0.

निवड पद्धतीचा वापर करून, तुम्ही मुळांपैकी एक (x = 1) शोधू शकता. इतर मुळे फक्त अंदाजे आढळू शकतात. म्हणून, या फंक्शनसाठी, आम्‍हाला आलेखाच्‍या छेदनबिंदूचे उरलेले बिंदू abscissa अक्षासह आणि स्थिर चिन्हाचे अंतराल सापडणार नाहीत.

b) अक्ष 0U: f(0)=2 सह

बिंदू A (0; 2) हा 0Y अक्षासह फंक्शन आलेखाच्या छेदनबिंदूचा बिंदू आहे.

आम्‍ही नमूद केले आहे की आम्‍हाला चिन्हाच्या स्थिरतेचे अंतराल सापडणार नाही.

वाढत्या आणि कमी होणार्‍या फंक्शनचे अंतराल शोधू

अ) f "(x)= 15x 4 -15x 2 = 15x 2 (x 2 -1)

D (f ") =IR, म्हणून कोणतेही गंभीर बिंदू नाहीत ज्यासाठी f "(x) अस्तित्वात नाही.

b) f "(x) = 0, जर x 2 (x 2 -1) = 0<=>x = -1 V x = 0 V x = 1.

c) आपल्याला तीन गंभीर बिंदू मिळतात; ते समन्वय रेषेला चार मध्यांतरांमध्ये विभाजित करतात. या मध्यांतरांवर व्युत्पन्नाचे चिन्ह निश्चित करूया:

Fig.3 (चिन्हे f ")

IV. नवीन विषय पिन करत आहे. समस्या सोडवणे.

शिक्षक:- फंक्शन एक्सप्लोर करा आणि त्याचा आलेख तयार करा: f (x) = x 4 -2x 2 -3.

विद्यार्थी:- 1) D (f) = R.

2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2x 2 -3; f(-x)= f(x),

याचा अर्थ फंक्शन सम आहे. फंक्शन - ते -4 पर्यंत वाढते त्या मध्यांतरावर त्याचा अभ्यास केला जाऊ शकतो, म्हणून या मध्यांतरावर समीकरण f(x) = 0 ला मूळ नाही.

b) मध्यांतरावर [-1; 2] समीकरणाला मुळेही नाहीत, कारण या मध्यांतरावर कार्य -4 ते -31 पर्यंत कमी होते.

c) मध्यांतरावर आणि [-∞;-1] ने कमी होते.

एक्स्ट्रीम पॉइंट्स: x मि = -1

फंक्शन एक्सट्रीमा: y min =y(-1)=1-2= -1

धडा तिसरा. फंक्शन्सचे संशोधन.

३.१. फंक्शन्सचा अभ्यास करण्यासाठी सामान्य योजना.

फंक्शनचे परीक्षण करताना, आपल्याला सामान्य संशोधन योजना माहित असणे आवश्यक आहे:

1) D(y) - परिभाषेचे डोमेन (व्हेरिएबल x च्या बदलाची श्रेणी)

2) E(y) – x मूल्याचे क्षेत्रफळ (व्हेरिएबलच्या बदलाचे क्षेत्रफळ)

3) कार्याचा प्रकार: सम, विषम, नियतकालिक किंवा सामान्य कार्य.

4) Ohi O अक्षांसह फंक्शन आलेखाच्या छेदनबिंदूचे बिंदू (शक्य असल्यास).

५) चिन्हांच्या स्थिरतेचे मध्यांतर:

a) फंक्शन एक सकारात्मक मूल्य घेते: f(x)>0

b) ऋण मूल्य: f(x)<0.

6) फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे अंतराल:

अ) वाढ;

ब) कमी होत आहे;

c) स्थिरता (f=const).

7) एक्स्ट्रीम पॉइंट्स (किमान आणि कमाल गुण)

8) फंक्शन एक्स्ट्रेमा (किमान आणि कमाल बिंदूंवर फंक्शन मूल्य)

9) अतिरिक्त गुण.

फंक्शन आलेख अधिक अचूकपणे प्लॉट करण्यासाठी ते घेतले जाऊ शकतात.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की फंक्शनचा टोकाचा भाग नेहमी फंक्शनच्या सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्यांशी जुळत नाही.

३.२. वाढत्या आणि कमी होणार्‍या कार्यांचे लक्षण.

जर तुम्ही काही यादृच्छिकपणे निवडलेल्या बिंदूंचा वापर करून, त्यांना एका गुळगुळीत रेषेने जोडून फंक्शनचा आलेख तयार केला, तर यादृच्छिकपणे निवडलेल्या बिंदूंच्या खूप मोठ्या संख्येने देखील, असे दिसून येईल की अशा प्रकारे तयार केलेला आलेख यापेक्षा खूप वेगळा असेल. दिलेल्या फंक्शनचा आलेख.

आपण फंक्शनचा अभ्यास करताना व्युत्पन्न वापरल्यास आणि तथाकथित "संदर्भ" बिंदू शोधल्यास, उदा. ब्रेक पॉइंट्स, जास्तीत जास्त आणि किमान पॉइंट्स, फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे अंतराल, मग अशा "संदर्भ" पॉइंट्सच्या थोड्या संख्येने देखील आपल्याला फंक्शनच्या आलेखाची योग्य कल्पना मिळेल.

उदाहरणांकडे वळण्यापूर्वी, मी आवश्यक व्याख्या आणि प्रमेये देईन.

मध्यांतरावर फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे निर्धारण y=f(x) फंक्शन x 1 मधील या मध्यांतरातील कोणत्याही बिंदू x 1 आणि x 2 साठी मध्यांतराने वाढते असे म्हटले जाते.<х 2 следует, что f(x 1)f(x 2), तर फंक्शन या मध्यांतरावर कमी होत आहे असे म्हटले जाते.

मध्यांतरातील फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे पुरेसे चिन्ह. प्रमेय: जर एखाद्या फंक्शनमध्ये मध्यांतराच्या प्रत्येक बिंदूवर सकारात्मक (ऋण) व्युत्पन्न असेल, तर या मध्यांतरावर फंक्शन वाढते (कमी होते).

हे प्रमेय शालेय पाठ्यपुस्तकांमध्ये पुराव्याशिवाय स्वीकारले जाते.

f’(x)=tgα, α हा दिलेल्या बिंदू x वरील फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिकेचा उतार आहे हे लक्षात ठेवल्यास प्रमेयाचे भौमितीय व्याख्या अगदी सोपे आहे. जर, उदाहरणार्थ, ठराविक अंतराच्या सर्व बिंदूंवर f ‘ (x)>0 असेल, तर abscissa अक्षासह आलेखाची स्पर्शिका तीव्र कोन बनवते, याचा अर्थ x जसजसा वाढतो तसतसे f(x) देखील वाढते. जर f ‘ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

३.३. फंक्शनचे गंभीर बिंदू, कमाल आणि मिनिमा.

फंक्शनचे टोकाचे बिंदू निश्चित करणे . f(x) फंक्शनच्या व्याख्येच्या डोमेनमधून x 0 हा अंतर्गत बिंदू असू द्या. मग, जर असा δ - शेजार ] x 0 - δ, x 0 + δ [ गुण x 0 असेल तर या शेजारच्या सर्व x साठी असमानता f(x)≤f(x 0) (असमानता f(x) )≥f (x 0)), बिंदू x 0 या कार्याचा कमाल बिंदू (किमान बिंदू) म्हणतात.

कमाल आणि किमान गुण हे फंक्शनच्या परिभाषेच्या डोमेनचे अंतर्गत बिंदू आहेत.

भिन्न कार्याच्या टोकाच्या अस्तित्वाचे आवश्यक चिन्ह .

फर्मेटचे प्रमेय.

जर x 0 हा f(x) फंक्शनचा एक्स्ट्रीमम पॉइंट असेल आणि या बिंदूवर डेरिव्हेटिव्ह अस्तित्वात असेल, तर ते शून्याच्या बरोबरीचे आहे: f’ (x 0) = 0.

हे प्रमेय भिन्नता असलेल्या फंक्शनच्या एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वासाठी पुरेशी अट नाही: जर एखाद्या बिंदूवर x 0 व्युत्पन्न नाहीसे झाले, तर यावरून फंक्शनचा एक्स 0 बिंदूवर एक टोक आहे असे समजत नाही.

फंक्शनचे गंभीर बिंदू निर्धारित करणे . फंक्शनच्या व्याख्येच्या डोमेनचे अंतर्गत बिंदू ज्यावर त्याचे व्युत्पन्न शून्य असते किंवा अस्तित्वात नसते त्यांना फंक्शनचे गंभीर बिंदू म्हणतात.

एक्स्ट्रीममच्या अस्तित्वासाठी पुरेशी परिस्थिती .

प्रमेय १. जर f(x) फंक्शन x 0 बिंदूवर सतत असेल, f ‘(x)>0 मध्यांतरावर आणि f ‘(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).

प्रमेय 2. फंक्शन f(x) x 0 बिंदूवर सतत असल्यास, f ‘(x)<0 на интервале и f ‘(x)>मध्यांतरावर 0, नंतर x 0 हा f(x) फंक्शनचा किमान बिंदू आहे.

फंक्शनचे अत्यंत बिंदू शोधण्यासाठी, आपल्याला त्याचे गंभीर बिंदू शोधणे आवश्यक आहे आणि त्या प्रत्येकासाठी एक्स्ट्रीममसाठी पुरेशी परिस्थिती पूर्ण झाली आहे की नाही हे तपासा.

३.४. फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये.

मध्यांतरातील फंक्शन्सची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधण्याचे नियम. ठराविक अंतरालमध्ये भिन्नता असलेल्या फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये शोधण्यासाठी, तुम्हाला मध्यांतराच्या आत असलेले सर्व गंभीर बिंदू शोधणे आवश्यक आहे, या बिंदूंवर आणि मध्यांतराच्या शेवटी फंक्शनच्या मूल्यांची गणना करणे आवश्यक आहे, आणि अशा प्रकारे मिळवलेल्या फंक्शनच्या सर्व व्हॅल्यूमधून सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान निवडा.

अध्याय IV. फंक्शनच्या अभ्यासासाठी व्युत्पन्न लागू करण्याची उदाहरणे.

उदाहरण 11. y=x 3 +6x 2 +9x फंक्शन एक्सप्लोर करा आणि आलेख काढा.

२) फंक्शनचा प्रकार ठरवू.

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x सामान्य स्वरूपाचे कार्य.

x=0 किंवा x 2 +6x+9=0

D=0, समीकरणाचे एक मूळ आहे.

(0;0) आणि (-3;0) हे x-अक्षासह छेदनबिंदू आहेत.

y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9

y’=0, म्हणजे 3x 2 +12x+9=0 3 ने कमी करा

D>0, समीकरणाला 2 मुळे आहेत.

x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2, x 2 =(-4-2)/2

0
-4

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7) x मिनिट आणि x कमाल शोधा:

8) फंक्शनची टोके शोधा:

y मि =y(-1)=-1+6-9=-4

y कमाल =y(-3)=-27+54-27=0

९) फंक्शन प्लॉट करूया:

10) अतिरिक्त मुद्दे:

y(-4)=-64+96-36=-4

उदाहरण 12. y=x 2 /(x-2) फंक्शन एक्सप्लोर करा आणि आलेख प्लॉट करा

y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)

चला फंक्शनची लक्षणे शोधूया:

x≠ 2, x=2 – अनुलंब लक्षण

y=x+2 – तिरकस अॅसिम्प्टोट, कारण

चला परिभाषाचे डोमेन शोधू.

२) फंक्शनचा प्रकार ठरवू.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), सामान्य स्वरूपाचे कार्य.

3) अक्षांसह छेदनबिंदू शोधा.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – y-अक्षासह छेदनबिंदू.

x=0 किंवा x=2 (2;0) – x अक्षासह छेदनबिंदू

4) फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा:

y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x -2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2

5) चला गंभीर मुद्दे निश्चित करूया:

x 2 -4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>

(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2

x 2 -4x=0, आणि (x-2) 2 ≠ 0, i.e. x≠ २

6) समन्वय रेषेवरील गंभीर बिंदू निर्दिष्ट करू आणि कार्याचे चिन्ह निश्चित करू.

0 8

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

7) फंक्शनचे किमान आणि कमाल गुण शोधा:

8) फंक्शनची टोके शोधा:

y मि =y(4)=16/2=8

९) फंक्शन प्लॉट करूया:

10) अतिरिक्त मुद्दे:

y(-3)=9/-5=-1.8 y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9

उदाहरण 13. y=(6(x-1))/(x 2 +3) फंक्शन एक्सप्लोर करा आणि आलेख तयार करा. 1) फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन शोधा:

२) फंक्शनचा प्रकार ठरवू.

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) हे सामान्य स्वरूपाचे कार्य आहे.

3) अक्षांसह छेदनबिंदू शोधा:

O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – y अक्षासह छेदनबिंदू.

(6(x-1))/(x 2 +3)=0

O x: y=0,<=>

4) फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा:

y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -३)/(x २ +३) २

5) चला गंभीर मुद्दे निश्चित करूया:

y’=0, म्हणजे -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0

y’=0, जर x 1 =-1 किंवा x 2 =3, तर x=-1 आणि x=3, गंभीर बिंदू.

6) समन्वय रेषेवरील गंभीर बिंदू दर्शवू आणि फंक्शनचे चिन्ह निश्चित करू या:

-3 2

x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0

x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0

x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0

7) किमान आणि कमाल गुण शोधा:

8) फंक्शनची टोके शोधा:

y मि =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

y कमाल =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

९) फंक्शन प्लॉट करूया:

10) अतिरिक्त मुद्दे:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0.77

उदाहरण 14. y=xlnx फंक्शन एक्सप्लोर करा आणि प्लॉट करा:

1) फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन शोधा:

D(y)=R + (केवळ सकारात्मक मूल्ये)

२) फंक्शनचा प्रकार ठरवू.

y(-x)=-xlnx - सामान्य स्वरूपाचे.

3) अक्षांसह छेदनबिंदू शोधा:

O y, परंतु x≠ 0, याचा अर्थ y अक्षासह छेदनबिंदूचे कोणतेही बिंदू नाहीत.

O x: y=0, म्हणजे xlnx=0

x=0 किंवा lnx=0

(1;0) – x अक्षासह छेदनबिंदू

4) फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) चला गंभीर मुद्दे निश्चित करूया:

y’=0, म्हणजे lnx +1=0

y’=0, जर x=1/e असेल, तर x=1/e हा महत्त्वाचा बिंदू आहे.

6) समन्वय रेषेवरील गंभीर बिंदू दर्शवू आणि फंक्शनचे चिन्ह निश्चित करू या:

१/ई

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) 1/e - फंक्शनचा किमान बिंदू.

8) फंक्शनची टोके शोधा:

y मि =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0.4).

९) फंक्शन प्लॉट करूया:

निष्कर्ष.

अनेक शास्त्रज्ञ आणि तत्त्वज्ञांनी या विषयावर काम केले आहे. बर्‍याच वर्षांपूर्वी या संज्ञांचा उगम झाला: फंक्शन, आलेख, फंक्शनचा अभ्यास आणि ते अजूनही जतन केले गेले आहेत, नवीन वैशिष्ट्ये आणि वैशिष्ट्ये आत्मसात करतात.

मी हा विषय निवडला कारण मला संशोधनाच्या या मार्गावरून कार्यामध्ये जाण्यात खूप रस होता. मला असे दिसते की अनेकांना कार्य, त्याचे गुणधर्म आणि परिवर्तनांबद्दल अधिक जाणून घेण्यात रस असेल. हा निबंध पूर्ण करून, मी माझी कौशल्ये व्यवस्थित केली आणि या विषयाबद्दल माझे ज्ञान वाढवले.

मी सर्वांना या विषयाचा अधिक अभ्यास करण्यास प्रोत्साहित करू इच्छितो.

संदर्भग्रंथ.

1. बाश्माकोव्ह, एम.आय. बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात. - एम.: शिक्षण, 1992.

2. ग्लेझर, G.I. शाळेतील गणिताचा इतिहास. - एम.: शिक्षण, 1983.

3. गुसेव, व्ही.ए. गणित: संदर्भ साहित्य. - एम.: शिक्षण, 1888.

4. डोरोफीव, जी.व्ही. विद्यापीठांमध्ये प्रवेश घेणाऱ्यांसाठी गणितावरील पुस्तिका. - एम.: नौका, 1974.

5. झोरिन, व्ही.व्ही. विद्यापीठांमध्ये प्रवेश घेणाऱ्यांसाठी गणितावरील पुस्तिका. - एम.: हायर स्कूल, 1980.

6. कोल्मोगोरोव ए.एन. बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात. - एम.: शिक्षण, 1993.