पायथागोरियन ट्रिपल्स आणि त्यांची संख्या. पायथागोरियन ट्रिपल्सचा भाग म्हणून आधुनिक विज्ञान-केंद्रित तंत्रज्ञान प्राइम नंबर

"शिक्षणाचे प्रादेशिक केंद्र"

पद्धतशीर विकास

सोडवण्यासाठी पायथागोरियन ट्रिपल्स वापरणे

भौमितिक समस्या आणि त्रिकोणमितीय कार्ये वापरा

कलुगा, २०१६

मी परिचय

पायथागोरियन प्रमेय हे मुख्यपैकी एक आहे आणि, कोणी म्हणू शकेल, भूमितीचे सर्वात महत्वाचे प्रमेय आहे. भूमितीची बहुतेक प्रमेये त्यातून किंवा त्याच्या मदतीने काढता येतात या वस्तुस्थितीत त्याचे महत्त्व आहे. पायथागोरियन प्रमेय देखील उल्लेखनीय आहे कारण ते स्वतःच स्पष्ट नाही. उदाहरणार्थ, समद्विभुज त्रिकोणाचे गुणधर्म थेट रेखांकनावर पाहिले जाऊ शकतात. परंतु आपण काटकोन त्रिकोणाकडे कसे पहात आहात हे महत्त्वाचे नाही, त्याच्या बाजूंमध्ये इतके साधे गुणोत्तर असल्याचे आपल्याला कधीही दिसणार नाही: a2+b2=c2. तथापि, पायथागोरसने त्याच्या नावाचा प्रमेय शोधला नाही. हे अगदी पूर्वीही ओळखले जात होते, परंतु कदाचित केवळ मोजमापांमधून मिळालेली वस्तुस्थिती म्हणून. बहुधा, पायथागोरसला हे माहित होते, परंतु पुरावा सापडला.

नैसर्गिक संख्या असीम आहेत a, b, c, संबंध समाधानी a2+b2=c2.. त्यांना पायथागोरियन संख्या म्हणतात. पायथागोरियन प्रमेयानुसार, अशा संख्या काही काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबी म्हणून काम करू शकतात - आम्ही त्यांना पायथागोरियन त्रिकोण म्हणू.

कामाचे ध्येय:शालेय गणित अभ्यासक्रमाच्या समस्या सोडवण्यासाठी पायथागोरियन ट्रिपल्स वापरण्याची शक्यता आणि परिणामकारकता अभ्यासण्यासाठी, असाइनमेंट वापरा.

कामाच्या उद्देशावर आधारित, खालील कार्ये:

पायथागोरियन ट्रिपल्सचा इतिहास आणि वर्गीकरण अभ्यासणे. शालेय पाठ्यपुस्तकांमध्ये उपलब्ध असलेल्या आणि परीक्षेच्या नियंत्रण आणि मोजमाप सामग्रीमध्ये आढळणाऱ्या पायथागोरियन ट्रिपल्सचा वापर करून कार्यांचे विश्लेषण करा. समस्या सोडवण्यासाठी पायथागोरियन ट्रिपल्स आणि त्यांचे गुणधर्म वापरण्याच्या प्रभावीतेचे मूल्यांकन करा.

अभ्यासाचा विषय: पायथागोरियन संख्येचे तिप्पट.

अभ्यासाचा विषय: त्रिकोणमिती आणि भूमितीच्या शालेय अभ्यासक्रमाची कार्ये, ज्यामध्ये पायथागोरियन ट्रिपल्स वापरले जातात.

संशोधनाची प्रासंगिकता. पायथागोरियन ट्रिपल्सचा वापर भूमिती आणि त्रिकोणमितीमध्ये केला जातो, ते जाणून घेतल्याने गणनांमधील त्रुटी दूर होतील आणि वेळेची बचत होईल.

II. मुख्य भाग. पायथागोरियन ट्रिपल्स वापरून समस्या सोडवणे.

2.1. पायथागोरियन संख्यांच्या तिप्पटांची सारणी (पेरेलमनच्या मते)

पायथागोरियन संख्यांचा फॉर्म असतो a= मी n, , जेथे m आणि n काही कॉप्राइम विषम संख्या आहेत.

पायथागोरियन संख्यांमध्ये अनेक मनोरंजक वैशिष्ट्ये आहेत:

"पाय" पैकी एक तीनचा गुणाकार असणे आवश्यक आहे.

"पाय" पैकी एक चारचा गुणाकार असणे आवश्यक आहे.

पायथागोरियन संख्यांपैकी एक पाचचा गुणाकार असणे आवश्यक आहे.

"मनोरंजक बीजगणित" या पुस्तकात पायथागोरियन ट्रिपल्सची एक सारणी आहे ज्यात शंभर पर्यंत संख्या आहेत, ज्यामध्ये सामान्य घटक नाहीत.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

२.२. शुस्ट्रोव्हचे पायथागोरियन ट्रिपल्सचे वर्गीकरण.

शुस्ट्रोव्हने खालील नमुना शोधून काढला: जर सर्व पायथागोरियन त्रिकोण गटांमध्ये विभागले गेले असतील, तर खालील सूत्रे विषम पाय x, सम y आणि कर्ण z साठी वैध आहेत:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, जेथे N ही कुटुंबाची संख्या आहे आणि n ही कुटुंबातील त्रिकोणाची क्रमिक संख्या आहे.

N आणि n च्‍या जागी फॉर्म्युला बदलून, एकापासून सुरू होणार्‍या, तुम्‍हाला सर्व मुख्‍य पायथागोरियन संख्‍येचे तिप्पट, तसेच एका विशिष्‍ट प्रकाराचे गुणाकार मिळू शकतात. आपण प्रत्येक कुटुंबासाठी सर्व पायथागोरियन ट्रिपल्सची टेबल बनवू शकता.

२.३. प्लॅनिमेट्री कार्ये

भूमितीवरील विविध पाठ्यपुस्तकांतील समस्यांचा विचार करूया आणि या कार्यांमध्ये पायथागोरियन ट्रिपल्स किती वेळा आढळतात ते शोधू या. पायथागोरियन ट्रिपल्सच्या टेबलमधील तिसरा घटक शोधण्याच्या क्षुल्लक समस्यांचा विचार केला जाणार नाही, जरी ते पाठ्यपुस्तकांमध्ये देखील आढळतात. ज्याचा डेटा नैसर्गिक संख्येने पायथागोरियन ट्रिपल्समध्ये व्यक्त केला जात नाही अशा समस्येचे निराकरण कसे कमी करायचे ते आपण दाखवू.

इयत्ते 7-9 साठी भूमिती पाठ्यपुस्तकातील कार्ये विचारात घ्या.

№ 000. काटकोन त्रिकोणाचे कर्ण शोधा ए=, b=.

उपाय. पायांच्या लांबीचा 7 ने गुणाकार करा, आपल्याला पायथागोरियन ट्रिपल 3 आणि 4 मधून दोन घटक मिळतात. गहाळ घटक 5 आहे, ज्याला आपण 7 ने भागतो. उत्तर द्या.

№ 000. ABCD आयतामध्ये CD=1.5, AC=2.5 असल्यास BC काढा.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

उपाय. काटकोन त्रिकोण ACD सोडवू. आपण लांबीला 2 ने गुणाकार करतो, आपल्याला पायथागोरियन ट्रिपल 3 आणि 5 मधून दोन घटक मिळतात, गहाळ घटक 4 आहे, ज्याला आपण 2 ने भागतो. उत्तर: 2.

पुढील संख्या सोडवताना गुणोत्तर तपासा a2+b2=c2हे पूर्णपणे पर्यायी आहे, पायथागोरियन संख्या आणि त्यांचे गुणधर्म वापरणे पुरेसे आहे.

№ 000. त्रिकोण काटकोन आहे की नाही ते शोधा जर त्याच्या बाजू संख्यांनी व्यक्त केल्या असतील:

अ) 6,8,10 (पायथागोरियन ट्रिपल 3,4.5) - होय;

काटकोन त्रिकोणाच्या पायांपैकी एक पाय 4 ने भाग जाऊ शकतो. उत्तर: नाही.

c) 9,12,15 (पायथागोरियन ट्रिपल 3,4.5) - होय;

ड) 10,24,26 (पायथागोरियन ट्रिपल 5,12.13) - होय;

पायथागोरियन संख्यांपैकी एक पाचचा गुणाकार असणे आवश्यक आहे. उत्तर: नाही.

g) 15, 20, 25 (पायथागोरियन ट्रिपल 3,4.5) - होय.

या विभागातील एकोणतीस कार्यांपैकी (पायथागोरियन प्रमेय), बावीस पायथागोरियन संख्या आणि त्यांच्या गुणधर्मांचे ज्ञान वापरून तोंडी सोडवल्या जातात.

समस्या #000 विचारात घ्या ("अतिरिक्त कार्य" विभागातून):

चौकोन ABCD चे क्षेत्रफळ शोधा जेथे AB=5 सेमी, BC=13 सेमी, CD=9 सेमी, DA=15 सेमी, AC=12 सेमी.

कार्य गुणोत्तर तपासणे आहे a2+b2=c2आणि सिद्ध करा की दिलेल्या चतुर्भुजात दोन काटकोन त्रिकोण आहेत (व्युत्क्रम प्रमेय). आणि पायथागोरियन ट्रिपल्सचे ज्ञान: 3, 4, 5 आणि 5, 12, 13, गणनाची आवश्यकता दूर करते.

इयत्ते 7-9 च्या भूमितीवरील पाठ्यपुस्तकातील अनेक समस्यांचे निराकरण करूया.

समस्या 156 (h). काटकोन त्रिकोणाचे पाय 9 आणि 40 आहेत. कर्णासाठी काढलेला मध्यक शोधा.

उपाय . कर्णावर काढलेला मध्यक त्याच्या अर्ध्या बरोबर असतो. पायथागोरियन तिहेरी 9.40 आणि 41 आहे. म्हणून, मध्यक 20.5 आहे.

समस्या 156 (i). त्रिकोणाच्या बाजू आहेत: ए= 13 सेमी, b= 20 सेमी आणि उंची hс = 12 सेमी. पाया शोधा सह.

कार्य (KIM वापर). उंची BH 12 असल्यास तीव्र त्रिकोण ABC मध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधा आणि हे ज्ञात आहे की पाप A =,sin C \u003d बाकी "\u003e

उपाय.आम्ही आयताकृती ∆ ASC: sin A=, BH=12, म्हणून AB=13,AK=5 (पायथागोरियन ट्रिपल 5,12,13) ​​सोडवतो. आयताकृती सोडवा ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (पायथागोरियन तिप्पट 3,4,5). त्रिज्या r === 4. उत्तर.4 सूत्राद्वारे आढळते.

२.४. त्रिकोणमिती मध्ये पायथागोरियन तिप्पट

मुख्य त्रिकोणमितीय ओळख ही पायथागोरियन प्रमेयाची एक विशेष बाब आहे: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. म्हणून, पायथागोरियन ट्रिपल्स वापरून काही त्रिकोणमितीय कार्ये तोंडीपणे सहजपणे सोडविली जातात.

फंक्शनच्या दिलेल्या मूल्यावरून इतर त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची मूल्ये शोधणे आवश्यक असलेल्या समस्या वर्गमूळ काढल्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकतात. बीजगणित (10-11) मॉर्डकोविच (क्रमांक 000-क्रमांक 000) च्या शालेय पाठ्यपुस्तकातील या प्रकारची सर्व कार्ये तोंडी सोडवल्या जाऊ शकतात, फक्त काही पायथागोरियन ट्रिपल्स जाणून घेतल्यास: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . दोन समस्यांवरील उपायांचा विचार करूया.

क्रमांक 000 अ). sin t = 4/5, π/2< t < π.

उपाय. पायथागोरियन ट्रिपल: 3, 4, 5. म्हणून, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

क्रमांक 000 ब). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.

उपाय. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. पायथागोरियन तिहेरी 5,12,13. चिन्हे दिल्यास, आपल्याला sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12 मिळेल.

3. परीक्षेचे नियंत्रण आणि मोजमाप साहित्य

अ) कॉस (आर्कसिन ३/५)=४/५ (३, ४, ५)

b) sin (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (आर्कसिन 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) ४/३ टीजी (π–आर्कसिन (–३/५))= ४/३ टीजी (π+आर्कसिन ३/५)= ४/३ टीजी आर्कसिन ३/५=४/३ ३/४=१

e) समानतेची वैधता तपासा:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

उपाय. आर्कसिन 4/5 + आर्कसिन 5/13 + आर्कसिन 16/65 = π/2

आर्कसिन 4/5 + आर्कसिन 5/13 = π/2 - आर्कसिन 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

४/५ १२/१३ + ३/५ ५/१३ = ६३/६५

III. निष्कर्ष

भौमितिक समस्यांमध्ये, एखाद्याला अनेकदा काटकोन त्रिकोण सोडवावे लागतात, कधीकधी अनेक वेळा. शालेय पाठ्यपुस्तके आणि वापर सामग्रीच्या कार्यांचे विश्लेषण केल्यावर, आम्ही असा निष्कर्ष काढू शकतो की तिप्पट प्रामुख्याने वापरली जातात: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; जे लक्षात ठेवणे सोपे आहे. काही त्रिकोणमितीय कार्ये सोडवताना, त्रिकोणमितीय सूत्रे आणि मोठ्या संख्येने गणने वापरून क्लासिक सोल्यूशनला वेळ लागतो आणि पायथागोरियन ट्रिपल्सचे ज्ञान गणनेतील त्रुटी दूर करेल आणि परीक्षेतील अधिक कठीण समस्या सोडवण्यासाठी वेळ वाचवेल.

ग्रंथसूची यादी

1. बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात. 10-11 ग्रेड. 2 तासांवर. भाग 2. शैक्षणिक संस्था / [आणि इतर] साठी टास्क बुक; एड . - 8वी आवृत्ती, श्रु. - एम. ​​: नेमोसिन, 2007. - 315 पी. : आजारी.

2. पेरेलमन बीजगणित. - डी.: व्हीएपी, 1994. - 200 पी.

3. रोगानोव्स्की: प्रोक. 7-9 पेशींसाठी. खोल सह गणिताच्या सामान्य शिक्षणाचा अभ्यास. शाळा रशियन पासून lang शिकणे, - 3री आवृत्ती. - Mn.; नार. अस्वेटा, 2000. - 574 पी.: आजारी.

4. गणित: इतिहास, कार्यपद्धती, उपदेशपर वाचक. / कॉम्प. . - एम.: पब्लिशिंग हाऊस ऑफ यूआरएओ, 2001. - 384 पी.

5. जर्नल "शाळेत गणित" क्रमांक 1, 1965.

6. परीक्षेचे नियंत्रण आणि मोजमाप साहित्य.

7. भूमिती, 7-9: Proc. शैक्षणिक संस्थांसाठी /, इ. - 13वी आवृत्ती - एम.: शिक्षण, 2003. - ३८४ पी. : आजारी.

8. भूमिती: Proc. 10-11 पेशींसाठी. सरासरी शाळा /, इ. - दुसरी आवृत्ती. - एम.: शिक्षण, 1993, - 207 पी.: आजारी.

पेरेलमन बीजगणित. - डी.: व्हीएपी, 1994. - 200 पी.

जर्नल "शाळेत गणित" क्रमांक 1, 1965.

भूमिती, 7-9: Proc. शैक्षणिक संस्थांसाठी /, इ. - 13वी आवृत्ती - एम.: शिक्षण, 2003. - ३८४ पी. : आजारी.

रोगनोव्स्की: प्रोक. 7-9 पेशींसाठी. खोल सह गणिताच्या सामान्य शिक्षणाचा अभ्यास. शाळा रशियन पासून lang शिकणे, - 3री आवृत्ती. - Mn.; नार. अस्वेटा, 2000. - 574 पी.: आजारी.

बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात. 10-11 ग्रेड. 2 तासांवर. भाग 2. शैक्षणिक संस्था / [आणि इतर] साठी टास्क बुक; एड . - 8वी आवृत्ती, श्रु. - एम. ​​: नेमोसिन, 2007. - 315 पी. : आजारी., p.18.

बेलोटेलोव्ह व्ही.ए. पायथागोरियन ट्रिपल्स आणि त्यांची संख्या // एनसायक्लोपीडिया ऑफ द नेस्टेरोव्ह

हा लेख एका प्रोफेसरला उत्तर आहे - पिंचर. बघा प्रोफेसर, ते आमच्या गावात कसे करतात.

निझनी नोव्हगोरोड प्रदेश, झावोल्झी.

डायओफँटिन समीकरण (ADDE) सोडवण्यासाठी अल्गोरिदमचे ज्ञान आणि बहुपदी प्रगतीचे ज्ञान आवश्यक आहे.

IF ही मूळ संख्या आहे.

MF ही संमिश्र संख्या आहे.

एक विषम संख्या N असू द्या. कोणत्याही विषम संख्येसाठी, एक वगळता, तुम्ही समीकरण लिहू शकता.

p 2 + N \u003d q 2,

जेथे р + q = N, q – р = 1.

उदाहरणार्थ, 21 आणि 23 संख्यांसाठी, समीकरणे असतील, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

N अविभाज्य असल्यास, हे समीकरण अद्वितीय आहे. जर N संख्या संमिश्र असेल, तर 1 x N सह या संख्येचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या घटकांच्या जोड्यांच्या संख्येसाठी समान समीकरणे तयार करणे शक्य आहे.

N = 45 ही संख्या घेऊ, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

मी स्वप्न पाहिले, परंतु IF आणि MF मधील या फरकाला चिकटून राहून, त्यांच्या ओळखीसाठी एक पद्धत शोधणे शक्य आहे का?

चला नोटेशन सादर करूया;

चला खालचे समीकरण बदलू, -

N \u003d in 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

मधील निकषानुसार N च्या मूल्यांचे गट करूया - a, i.e. चला एक टेबल बनवू.

N संख्या मॅट्रिक्समध्ये सारांशित केली होती, -

या कामासाठी मला बहुपदी आणि त्यांच्या मॅट्रिक्सच्या प्रगतीला सामोरे जावे लागले. सर्व काही व्यर्थ ठरले - पीसीएच संरक्षण शक्तिशालीपणे धरले जाते. चला टेबल 1 मध्ये एक स्तंभ प्रविष्ट करू, जिथे - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

पुन्हा एकदा. IF आणि MF ओळखण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्याच्या प्रयत्नाच्या परिणामी तक्ता 2 प्राप्त झाला. हे सारणीवरून असे दिसते की N कोणत्याही संख्येसाठी, 2 मध्ये 2 + N \u003d फॉर्मची अनेक समीकरणे आहेत, 1 x N या घटकासह N संख्या किती जोड्यांमध्ये विभागली जाऊ शकते. N \u003d ℓ 2 पर्यंत, कुठे

ℓ - FC. N = ℓ 2 साठी, जेथे ℓ IF आहे, तेथे एक अद्वितीय समीकरण p 2 + N = q 2 आहे. जर तक्त्यामध्ये N बनणाऱ्या घटकांच्या जोड्यांमधून एक ते ∞ पर्यंत लहान घटकांची यादी असेल तर आपण कोणत्या अतिरिक्त पुराव्याबद्दल बोलू शकतो. आम्ही टेबल 2 एका छातीत ठेवू आणि छाती एका कपाटात लपवू.

लेखाच्या शीर्षकात नमूद केलेल्या विषयाकडे परत जाऊया.

हा लेख एका प्रोफेसरला उत्तर आहे - पिंचर.

मी मदतीसाठी विचारले - मला इंटरनेटवर न सापडलेल्या क्रमांकांची मालिका हवी आहे. मला प्रश्न पडले - "कशासाठी?", "पण मला पद्धत दाखवा." विशेषतः, पायथागोरियन ट्रिपल्सची मालिका अनंत आहे का, "ते कसे सिद्ध करावे?" असा प्रश्न होता. त्याने मला मदत केली नाही. बघा प्रोफेसर, ते आमच्या गावात कसे करतात.

पायथागोरियन ट्रिपल्सचे सूत्र घेऊ, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (१)

चला ARDU मधून जाऊया.

तीन परिस्थिती शक्य आहेतः

I. x ही विषम संख्या आहे,

y एक सम संख्या आहे

z ही सम संख्या आहे.

आणि एक अट आहे x > y > z.

II. x ही विषम संख्या आहे

y एक सम संख्या आहे

z ही विषम संख्या आहे.

x > z > y.

III.x - सम संख्या,

y ही विषम संख्या आहे

z ही विषम संख्या आहे.

x > y > z.

चला I सह सुरुवात करूया.

चला नवीन व्हेरिएबल्स सादर करू

समीकरण (1) मध्ये बदला.

लहान व्हेरिएबल 2γ ने रद्द करू.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

चला 2β – 2γ हे व्हेरिएबल एका नवीन पॅरामीटर ƒ, - च्या एकाचवेळी परिचयाने लहान करून कमी करूया.

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

नंतर, 2α - 2β = x - y - 1.

समीकरण (2) फॉर्म घेईल, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

चला चौरस करू -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

एआरडीयू पॅरामीटर्सद्वारे समीकरणाच्या वरिष्ठ पदांमधील संबंध देते, म्हणून आम्हाला समीकरण (3) मिळाले.

सोल्यूशनच्या निवडीचा सामना करणे हे ठोस नाही. परंतु, प्रथम, तेथे जाण्यासाठी कोठेही नाही, आणि दुसरे म्हणजे, यापैकी अनेक उपायांची आवश्यकता आहे, आणि आम्ही असंख्य उपाय पुनर्संचयित करू शकतो.

ƒ = 1, k = 1 साठी, आपल्याकडे x – y = 1 आहे.

ƒ = 12, k = 16 सह, आपल्याकडे x - y = 9 आहे.

ƒ = 4, k = 32 सह, आपल्याकडे x - y = 25 आहे.

आपण ते बर्याच काळासाठी उचलू शकता, परंतु शेवटी मालिका फॉर्म घेईल -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

पर्याय II विचारात घ्या.

समीकरण (1) मध्ये नवीन व्हेरिएबल्स आणू.

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

आम्ही लहान व्हेरिएबल 2 β ने कमी करतो, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

लहान व्हेरिएबल 2α – 2β ने कमी करू.

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (४)

2α - 2γ = x - z आणि समीकरणामध्ये बदला (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4 सह, आपल्याकडे x - z = 2 आहे.

ƒ = 8, k = 14 सह, आपल्याकडे x - z = 8 आहे.

ƒ = 3, k = 24 सह, आपल्याकडे x - z = 18 आहे.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

चला ट्रॅपेझॉइड काढू -

चला एक सूत्र लिहूया.

जेथे n=1, 2,...∞.

प्रकरण III चे वर्णन केले जाणार नाही - तेथे कोणतेही उपाय नाहीत.

अट II साठी, तिप्पटांचा संच खालीलप्रमाणे असेल:

स्पष्टतेसाठी समीकरण (1) x 2 = z 2 + y 2 असे सादर केले आहे.

अटी I साठी, तिप्पटांचा संच खालीलप्रमाणे असेल:

एकूण, ट्रिपलचे 9 स्तंभ पेंट केले आहेत, प्रत्येकामध्ये पाच तिप्पट. आणि सादर केलेला प्रत्येक स्तंभ ∞ पर्यंत लिहिला जाऊ शकतो.

उदाहरण म्हणून, शेवटच्या स्तंभाच्या तिप्पटांचा विचार करा, जिथे x - y \u003d 81.

x च्या मूल्यांसाठी, आपण ट्रॅपेझॉइड लिहितो, -

चला सूत्र लिहूया

मूल्यांसाठी आम्ही ट्रॅपेझॉइड लिहितो, -

चला सूत्र लिहूया

z च्या मूल्यांसाठी, आम्ही ट्रॅपेझॉइड लिहितो, -

चला सूत्र लिहूया

जेथे n = 1 ÷ ∞.

वचन दिल्याप्रमाणे, x - y = 81 सह तिप्पटांची मालिका ∞ वर उडते.

प्रकरण I आणि II साठी x, y, z साठी मॅट्रिक्स तयार करण्याचा प्रयत्न होता.

वरच्या ओळींमधून x चे शेवटचे पाच स्तंभ लिहा आणि ट्रॅपेझॉइड तयार करा.

हे कार्य करत नाही, आणि नमुना चतुर्भुज असावा. ओपनवर्कमध्ये सर्वकाही तयार करण्यासाठी, असे दिसून आले की स्तंभ I आणि II एकत्र करणे आवश्यक आहे.

II मध्ये, मात्रा y, z पुन्हा अदलाबदल केली जातात.

आम्ही एका कारणास्तव विलीन होण्यास व्यवस्थापित केले - कार्ड या कार्यात चांगले बसतात - आम्ही भाग्यवान होतो.

आता तुम्ही x, y, z साठी मॅट्रिक्स लिहू शकता.

वरच्या ओळींतील x मूल्याचे शेवटचे पाच स्तंभ घेऊ आणि ट्रॅपेझॉइड बनवू.

सर्व काही ठीक आहे, तुम्ही मॅट्रिक्स तयार करू शकता आणि चला z साठी मॅट्रिक्ससह सुरुवात करूया.

मी छातीसाठी कपाटाकडे धावतो.

एकूण: एका व्यतिरिक्त, संख्यात्मक अक्षाची प्रत्येक विषम संख्या पायथागोरियन ट्रिपल्सच्या निर्मितीमध्ये भाग घेते आणि ही संख्या N बनवणाऱ्या घटकांच्या समान संख्येने जोडते, ज्यामध्ये घटक 1 x N समाविष्ट असतो.

संख्या N \u003d ℓ 2, जेथे ℓ - IF, एक पायथागोरियन ट्रिपल बनते, जर ℓ MF असेल, तर ℓхℓ घटकांवर तिप्पट नाही.

चला x, y साठी मॅट्रिक्स बनवू.

चला x साठी मॅट्रिक्सने सुरुवात करूया. हे करण्यासाठी, आम्ही त्यावर IF आणि MF ओळखण्याच्या समस्येपासून समन्वय ग्रिड काढू.

उभ्या पंक्तींची संख्या अभिव्यक्तीद्वारे सामान्य केली जाते

पहिला स्तंभ काढून टाकू, कारण

मॅट्रिक्स फॉर्म घेईल -

उभ्या पंक्तींचे वर्णन करूया, -

"a" वर गुणांकांचे वर्णन करूया, -

चला मुक्त सदस्यांचे वर्णन करूया, -

चला "x" साठी एक सामान्य सूत्र बनवू, -

जर आपण "y" साठी समान कार्य केले तर आम्हाला मिळेल -

तुम्ही दुसऱ्या बाजूने या निकालाकडे जाऊ शकता.

चला समीकरण घेऊ,

आणि 2 + N = 2 मध्ये .

चला थोडा बदलूया -

N \u003d 2 - a 2 मध्ये.

चला चौरस करू -

N 2 \u003d 4 - 2v 2 a 2 + a 4 मध्ये.

समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना, 4v 2 a 2, - परिमाण जोडा.

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d 4 + 2v 2 a 2 + a 4 मध्ये.

आणि शेवटी -

(2 + a 2 मध्ये) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

पायथागोरियन ट्रिपल्स खालीलप्रमाणे बनलेले आहेत:

N = 117 क्रमांकाचे उदाहरण विचारात घ्या.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

सारणी 2 चे अनुलंब स्तंभ - a मध्ये मूल्यांसह क्रमांकित केले आहेत, तर तक्ता 3 चे अनुलंब स्तंभ x - y मूल्यांसह क्रमांकित आहेत.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) २.

चला तीन समीकरणे बनवू.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

घटक 3 आणि 39 तुलनेने अविभाज्य संख्या नाहीत, म्हणून 9 च्या घटकासह एक तिप्पट निघाला.

वरील सामान्य चिन्हांमध्ये लिखित चित्रण करूया, -

या कामात, संख्येसह पायथागोरियन ट्रिपल्सची गणना करण्याच्या उदाहरणासह सर्वकाही

N = 117, मधील लहान घटकाशी जोडलेले - a. + a मधील घटकाच्या संबंधात स्पष्ट भेदभाव. चला हा अन्याय दुरुस्त करू - आपण + a मधील घटकासह तीन समीकरणे तयार करू.

IF आणि MF च्या ओळखीच्या प्रश्नाकडे परत जाऊया.

या दिशेने बरेच काही केले गेले आहे, आणि आज खालील विचार हाती आला आहे - ओळखीचे समीकरण नाही आणि घटक निश्चित करण्यासारखे काहीही नाही.

समजा आपल्याला F = a, b (N) संबंध सापडला आहे.

एक सूत्र आहे

तुम्‍ही फॉर्म्युला F पासून इनमधून मुक्त होऊ शकता आणि तुम्हाला a च्या संदर्भात nth अंशाचे एकसंध समीकरण मिळेल, i.e. F = a(N).

या समीकरणाच्या कोणत्याही अंश n साठी, m > n साठी, घटकांच्या m जोड्या असलेली संख्या N आहे.

आणि परिणामी, डिग्री n च्या एकसंध समीकरणात m मुळे असणे आवश्यक आहे.

होय, हे असू शकत नाही.

या पेपरमध्ये, संख्या N हे समीकरण x 2 = y 2 + z 2 साठी विचारात घेतले होते जेव्हा ते z या ठिकाणी समीकरणात असतात. जेव्हा x च्या जागी N असेल तेव्हा हे दुसरे कार्य आहे.

विनम्र, बेलोटेलोव्ह व्ही.ए.

पुढे, आम्ही प्रभावी पायथागोरियन ट्रिपल्स तयार करण्याच्या सुप्रसिद्ध पद्धतींचा विचार करतो. पायथागोरसच्या विद्यार्थ्यांनी पायथागोरस ट्रिपल व्युत्पन्न करण्याचा एक सोपा मार्ग तयार करणारे पहिले होते, एक सूत्र वापरून ज्याचे भाग पायथागोरियन ट्रिपलचे प्रतिनिधित्व करतात:

मी 2 + ((मी 2 − 1)/2) 2 = ((मी 2 + 1)/2) 2 ,

कुठे मी- अनपेअर, मी>2. खरंच,

4मी 2 + मी 4 − 2मी 2 + 1
मी 2 + ((मी 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((मी 2 + 1)/2) 2 .
4

प्राचीन ग्रीक तत्वज्ञानी प्लेटोने तत्सम सूत्र प्रस्तावित केले होते:

(2मी) 2 + (मी 2 − 1) 2 = (मी 2 + 1) 2 ,

कुठे मी- कोणतीही संख्या. च्या साठी मी= 2,3,4,5 खालील त्रिगुण निर्माण होतात:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

तुम्ही बघू शकता, ही सूत्रे सर्व संभाव्य आदिम तिहेरी देऊ शकत नाहीत.

खालील बहुपदी विचारात घ्या, जे बहुपदांच्या बेरीजमध्ये विघटित होते:

(2मी 2 + 2मी + 1) 2 = 4मी 4 + 8मी 3 + 8मी 2 + 4मी + 1 =
=4मी 4 + 8मी 3 + 4मी 2 + 4मी 2 + 4मी + 1 = (2मी(मी+1)) 2 + (2मी +1) 2 .

म्हणून आदिम तिहेरी प्राप्त करण्यासाठी खालील सूत्रे:

a = 2मी +1 , b = 2मी(मी+1) = 2मी 2 + 2मी , c = 2मी 2 + 2मी + 1.

ही सूत्रे तिप्पट व्युत्पन्न करतात ज्यात सरासरी संख्या सर्वात मोठ्या पेक्षा अगदी एकाने भिन्न असते, म्हणजेच सर्व संभाव्य तिप्पट देखील व्युत्पन्न होत नाहीत. येथे प्रथम तिप्पट आहेत: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

सर्व आदिम तिप्पट कसे निर्माण करायचे हे निर्धारित करण्यासाठी, एखाद्याने त्यांच्या गुणधर्मांचे परीक्षण केले पाहिजे. प्रथम, जर ( a,b,c) नंतर एक आदिम तिहेरी आहे aआणि b, bआणि c, एआणि c- coprime असणे आवश्यक आहे. द्या aआणि bमध्ये विभागले आहेत d. मग a 2 + b 2 ने देखील भाग जातो d. अनुक्रमे, c 2 आणि cमध्ये विभागले पाहिजे d. म्हणजेच ती आदिम त्रिगुण नाही.

दुसरे म्हणजे, संख्यांमध्ये a, bएक जोडलेले असणे आवश्यक आहे आणि दुसरे जोडलेले नाही. खरंच, जर aआणि b- जोडलेले, नंतर सहजोडली जाईल, आणि संख्यांना किमान 2 ने भागले जाऊ शकते. जर ते दोन्ही जोडलेले नसतील, तर ते 2 म्हणून दर्शविले जाऊ शकतात. k+1 आणि 2 l+1, कुठे k,l- काही संख्या. मग a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, म्हणजे, सह 2 , तसेच a 2 + b 2 ला 4 ने भागल्यावर 2 उरते.

द्या सह- कोणतीही संख्या, म्हणजे सह = 4k+i (i=0,…,3). मग सह 2 = (4k+i) 2 ला 0 किंवा 1 चा उरलेला भाग आहे आणि 2 चा उरलेला भाग असू शकत नाही. अशा प्रकारे, aआणि bअनपेअर करता येत नाही, म्हणजे a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 आणि उर्वरित सह 2 बाय 4 1 असावा, म्हणजे असा सह unpaired पाहिजे.

पायथागोरियन ट्रिपलच्या घटकांसाठी अशा आवश्यकता खालील संख्यांद्वारे पूर्ण केल्या जातात:

a = 2mn, b = मी 2 − n 2 , c = मी 2 + n 2 , मी > n, (2)

कुठे मीआणि nभिन्न जोड्यांसह coprime आहेत. प्रथमच, या अवलंबित्व युक्लिडच्या कार्यांवरून ओळखले गेले, जे 2300 आर जगले. परत

अवलंबित्वांची वैधता सिद्ध करूया (२). द्या ए- दुप्पट, मग bआणि c- अनपेअर. मग c + b i c − b- जोडपे. ते म्हणून प्रतिनिधित्व केले जाऊ शकते c + b = 2uआणि c − b = 2वि, कुठे u,विकाही पूर्णांक आहेत. म्हणून

a 2 = सह 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 वि = 4अतिनील

आणि म्हणून ( a/2) 2 = अतिनील.

हे विरोधाभासाने सिद्ध केले जाऊ शकते uआणि वि coprime आहेत. द्या uआणि वि- मध्ये विभागले आहेत d. मग ( c + b) आणि ( c − b) मध्ये विभागले आहेत d. आणि म्हणून cआणि bमध्ये विभागले पाहिजे d, आणि हे पायथागोरियन ट्रिपलच्या स्थितीचा विरोधाभास करते.

कारण अतिनील = (a/2) 2 आणि uआणि वि coprime, हे सिद्ध करणे सोपे आहे uआणि विकाही संख्यांचे वर्ग असणे आवश्यक आहे.

त्यामुळे धन पूर्णांक आहेत मीआणि n, असे की u = मी 2 आणि वि = n 2. मग

ए 2 = 4अतिनील = 4मी 2 n 2 तर
ए = 2mn; b = u − वि = मी 2 − n 2 ; c = u + वि = मी 2 + n 2 .

कारण b> 0, नंतर मी > n.

हे दर्शविणे बाकी आहे मीआणि nभिन्न जोड्या आहेत. तर मीआणि n- जोडलेले, नंतर uआणि विपेअर करणे आवश्यक आहे, परंतु हे अशक्य आहे, कारण ते कॉप्रिम आहेत. तर मीआणि n- unpaired, नंतर b = मी 2 − n 2 आणि c = मी 2 + n 2 जोडले जाईल, जे अशक्य आहे कारण cआणि b coprime आहेत.

अशा प्रकारे, कोणत्याही आदिम पायथागोरियन ट्रिपलने अटी पूर्ण केल्या पाहिजेत (2). त्याच वेळी, संख्या मीआणि nम्हणतात संख्या निर्माण करणेआदिम तिहेरी. उदाहरणार्थ, एक आदिम पायथागोरियन ट्रिपल (120,119,169) घेऊ. या प्रकरणात

ए= १२० = २ १२ ५, b= 119 = 144 − 25, आणि c = 144+25=169,

कुठे मी = 12, n= 5 - संख्या निर्माण करणे, 12 > 5; 12 आणि 5 coprime आणि भिन्न जोड्यांचे आहेत.

हे प्रमाण सिद्ध करता येते मी, nसूत्रे (2) एक आदिम पायथागोरियन ट्रिपल (a, b,c) देतात. खरंच,

ए 2 + b 2 = (2mn) 2 + (मी 2 − n 2) 2 = 4मी 2 n 2 + (मी 4 − 2मी 2 n 2 + n 4) =
= (मी 4 + 2मी 2 n 2 + n 4) = (मी 2 + n 2) 2 = c 2 ,

ते आहे ( a,b,c) एक पायथागोरियन ट्रिपल आहे. तेव्हा ते सिद्ध करूया a,b,cविरोधाभासानुसार कॉप्राइम संख्या आहेत. या संख्यांना भागाकार द्या p> 1. पासून मीआणि nनंतर भिन्न जोड्या आहेत bआणि c- unpaired, म्हणजे p≠ 2. पासून आरविभाजित करते bआणि c, ते आर 2 विभाजित करणे आवश्यक आहे मी 2 आणि 2 n 2 , जे अशक्य आहे कारण p≠ 2. म्हणून मी, n coprime आहेत आणि a,b,c coprime देखील आहेत.

तक्ता 1 सर्व आदिम पायथागोरियन तिप्पट दाखवते जे सूत्र (2) द्वारे व्युत्पन्न करते मी≤10.

सारणी 1. साठी आदिम पायथागोरियन तिप्पट मी≤10

मी	n	a	b	c	मी	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

या सारणीचे विश्लेषण खालील नमुन्यांची उपस्थिती दर्शवते:

• किंवा a, किंवा b 3 ने विभाजित केले आहेत;
• संख्यांपैकी एक a,b,c 5 ने विभाज्य आहे;
• संख्या ए 4 ने विभाज्य आहे;
• काम a· b 12 ने भाग जातो.

1971 मध्ये, अमेरिकन गणितज्ञ टेगॅन आणि हेडविन यांनी काटकोन त्रिकोणाची उंची (उंची) म्हणून त्रिगुण निर्माण करण्यासाठी असे अल्प-ज्ञात मापदंड प्रस्तावित केले. h = c- b आणि जादा (यश) e = a + b − c. Fig.1 मध्ये. हे प्रमाण एका विशिष्ट काटकोन त्रिकोणावर दाखवले आहे.

आकृती 1. काटकोन त्रिकोण आणि त्याची वाढ आणि जादा

"अतिरिक्त" हे नाव या वस्तुस्थितीवरून घेतले गेले आहे की हे अतिरिक्त अंतर आहे जे त्रिकोणाच्या पायांसह एका शिरोबिंदूपासून विरुद्ध दिशेने पार केले पाहिजे, जर तुम्ही त्याच्या कर्णाच्या बाजूने जात नाही.

जादा आणि वाढीद्वारे, पायथागोरियन त्रिकोणाच्या बाजू खालीलप्रमाणे व्यक्त केल्या जाऊ शकतात:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

सर्व संयोजन नाही hआणि eपायथागोरियन त्रिकोणाशी संबंधित असू शकतात. दिलेल्या साठी hसंभाव्य मूल्ये eकाही संख्येचे उत्पादन आहे d. हा क्रमांक dवाढ म्हणतात आणि संदर्भित करते hखालील प्रकारे: dसर्वात लहान धन पूर्णांक आहे ज्याचा वर्ग 2 ने भाग जातो h. कारण eएकाधिक d, नंतर असे लिहिले आहे e = kd, कुठे kसकारात्मक पूर्णांक आहे.

जोड्यांच्या मदतीने ( k,h) तुम्ही सर्व पायथागोरियन त्रिकोण व्युत्पन्न करू शकता, ज्यात नॉन-प्रिमिटिव्ह आणि सामान्यीकृत समाविष्ट आहे, खालीलप्रमाणे:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

शिवाय, ट्रिपल जर आदिम आहे kआणि h coprime आहेत आणि जर h =± q 2 वाजता q- अनपेअर.
शिवाय, ते अगदी पायथागोरियन ट्रिपल असेल तर k> √2 h/dआणि h > 0.

शोधण्यासाठी kआणि hपासून ( a,b,c) पुढील गोष्टी करा:

• h = c − b;
• लिहा hकसे h = pq 2, कुठे p> 0 आणि असा जो चौरस नाही;
• d = 2pqतर p- unpaired आणि d = pq, p जोडलेले असल्यास;
• k = (a − h)/d.

उदाहरणार्थ, तिहेरी (8,15,17) साठी आपल्याकडे आहे h= १७−१५ = २ १, तर p= 2 आणि q = 1, d= 2, आणि k= (8 − 2)/2 = 3. म्हणून ही तिप्पट दिली आहे ( k,h) = (3,2).

तिहेरीसाठी (459,1260,1341) आमच्याकडे आहे h= 1341 − 1260 = 81, तर p = 1, q= 9 आणि d= 18, म्हणून k= (459 − 81)/18 = 21, तर या तिहेरीचा कोड आहे ( k,h) = (21, 81).

सह तिप्पट निर्दिष्ट करणे hआणि kअनेक मनोरंजक गुणधर्म आहेत. पॅरामीटर kसमान

k = 4एस/(dP), (5)

कुठे एस = ab/2 हे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे आणि पी = a + b + cत्याची परिमिती आहे. हे समानतेतून येते eP = 4एस, जे पायथागोरियन प्रमेय पासून येते.

काटकोन त्रिकोणासाठी eत्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या व्यासाच्या बरोबरीचे. हे कर्ण या वस्तुस्थितीवरून येते सह = (ए − आर)+(b − आर) = a + b − 2आर, कुठे आरवर्तुळाची त्रिज्या आहे. येथून h = c − b = ए − 2आरआणि e = a − h = 2आर.

च्या साठी h> ० आणि k > 0, kत्रिगुणांची क्रमिक संख्या आहे a-b-cवाढत्या पायथागोरियन त्रिकोणांच्या क्रमाने h. टेबल 2 वरून, जे जोड्यांकडून व्युत्पन्न केलेल्या तिप्पटांसाठी अनेक पर्याय दर्शविते h, k, हे वाढत्या प्रमाणात दिसून येते kत्रिकोणाच्या बाजू वाढतात. अशा प्रकारे, शास्त्रीय क्रमांकाच्या विपरीत, जोड्यांमध्ये क्रमांकन h, kतिप्पटांच्या अनुक्रमांमध्ये उच्च क्रम आहे.

तक्ता 2. h, k जोड्यांद्वारे व्युत्पन्न पायथागोरियन तिप्पट.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

च्या साठी h > 0, dअसमानता पूर्ण करते 2√ h ≤ d ≤ 2h, ज्यामध्ये खालची सीमा येथे पोहोचली आहे p= 1, आणि वरचा एक, येथे q= 1. म्हणून, मूल्य d 2√ च्या संदर्भात hकिती हे मोजमाप आहे hकाही संख्येच्या वर्गापासून दूर.

गुणधर्म

समीकरण पासून x 2 + y 2 = z 2 एकसंध, जेव्हा गुणाकार केला जातो x , yआणि zत्याच संख्येसाठी तुम्हाला आणखी एक पायथागोरियन ट्रिपल मिळेल. पायथागोरियन ट्रिपल म्हणतात आदिम, जर ते अशा प्रकारे मिळवता येत नसेल, तर ते म्हणजे - तुलनेने अविभाज्य संख्या.

उदाहरणे

काही पायथागोरियन ट्रिपल्स (जास्तीत जास्त संख्येच्या चढत्या क्रमाने क्रमवारी लावलेले, आदिम हायलाइट केले जातात):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

फिबोनाची संख्यांच्या गुणधर्मांवर आधारित, आपण त्यांना बनवू शकता, उदाहरणार्थ, पायथागोरियन ट्रिपल्स:

.

कथा

पायथागोरियन ट्रिपल्स बर्याच काळापासून ओळखले जातात. प्राचीन मेसोपोटेमियन थडग्याच्या वास्तूमध्ये, एक समद्विभुज त्रिकोण सापडतो, जो 9, 12 आणि 15 हातांच्या बाजू असलेल्या दोन आयताकृतींनी बनलेला असतो. फारो स्नेफ्रूचे पिरॅमिड (XXVII शतक BC) 20, 21 आणि 29 बाजूंच्या त्रिकोणांचा वापर करून तसेच 18, 24 आणि 30 दहापट इजिप्शियन हात वापरून बांधले गेले.

देखील पहा

दुवे

• ई. ए. गोरीनपायथागोरियन ट्रिपल्समधील मूळ संख्यांची शक्ती // गणिताचे शिक्षण. - 2008. - व्ही. 12. - एस. 105-125.

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010

इतर शब्दकोशांमध्ये "पायथागोरियन संख्या" काय आहेत ते पहा:

नैसर्गिक संख्यांचे तिप्पट जसे की ज्या त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी या संख्यांच्या प्रमाणात (किंवा समान) असते ती काटकोन असते, उदा. तिप्पट संख्या: 3, 4, 5… मोठा विश्वकोशीय शब्दकोश

नैसर्गिक संख्यांचे तिप्पट जसे की ज्या त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी या संख्यांच्या प्रमाणात (किंवा समान) असते ती आयताकृती असते, उदाहरणार्थ, संख्यांचा तिप्पट: 3, 4, 5. * * * पायथागोरन संख्या पायथागोरन संख्या, नैसर्गिक संख्यांचे तिप्पट जसे की ते ... ... विश्वकोशीय शब्दकोश

नैसर्गिक संख्यांचे तिप्पट जसे की ज्या त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी या संख्यांच्या आनुपातिक (किंवा समान) असेल तो काटकोन त्रिकोण आहे. प्रमेयानुसार, पायथागोरियन प्रमेयचा व्यस्त (पायथागोरियन प्रमेय पहा), यासाठी ते पुरेसे आहे ... ...

x2+y 2=z2 या समीकरणाचे समाधान करणारे धनात्मक पूर्णांक x, y, z चे त्रिगुण. या समीकरणाची सर्व निराकरणे, आणि परिणामी, सर्व P. p., सूत्रांनी व्यक्त केले आहेत x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, जेथे a, b अनियंत्रित धन पूर्णांक आहेत (a>b). प.ह... गणितीय विश्वकोश

नैसर्गिक संख्यांचे तिप्पट जसे की त्रिकोण, ज्या बाजूंच्या लांबी या संख्यांच्या प्रमाणात (किंवा समान) आहेत, आयताकृती आहेत, उदाहरणार्थ. तिप्पट संख्या: 3, 4, 5… नैसर्गिक विज्ञान. विश्वकोशीय शब्दकोश

गणितात, पायथागोरियन संख्या (पायथागोरियन ट्रिपल) तीन पूर्णांकांचा ट्युपल आहे जो पायथागोरियन संबंध पूर्ण करतो: x2 + y2 = z2. सामग्री 1 गुणधर्म 2 उदाहरणे ... विकिपीडिया

कर्ली संख्या हे विशिष्ट भौमितिक आकृतीशी संबंधित संख्यांचे सामान्य नाव आहेत. ही ऐतिहासिक संकल्पना पायथागोरियन्सकडे परत जाते. बहुधा, "स्क्वेअर किंवा क्यूब" ही अभिव्यक्ती कुरळे संख्यांमधून उद्भवली आहे. सामग्री ... ... विकिपीडिया

कर्ली संख्या हे विशिष्ट भौमितिक आकृतीशी संबंधित संख्यांचे सामान्य नाव आहेत. ही ऐतिहासिक संकल्पना पायथागोरियन्सकडे परत जाते. कर्ली संख्यांचे खालील प्रकार आहेत: रेखीय संख्या ही अशा संख्या आहेत ज्यांचे घटकांमध्ये विघटन होत नाही, म्हणजेच त्यांचे ... ... विकिपीडिया

- "पाय विरोधाभास" हा गणित विषयावरील विनोद आहे, जो 80 च्या दशकापर्यंत विद्यार्थ्यांमध्ये प्रचलित होता (खरं तर, मायक्रोकॅल्क्युलेटरच्या वस्तुमान वितरणापूर्वी) आणि त्रिकोणमितीय कार्ये मोजण्याच्या मर्यादित अचूकतेशी संबंधित होता आणि ... ... विकिपीडिया

- (ग्रीक अंकगणित, अंकगणित क्रमांकावरून) संख्यांचे विज्ञान, प्रामुख्याने नैसर्गिक (धकारात्मक पूर्णांक) संख्या आणि (परिमेय) अपूर्णांक आणि त्यावरील क्रिया. नैसर्गिक संख्येची पुरेशी विकसित संकल्पना आणि क्षमता असणे ... ... ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया

पुस्तके

• आर्किमिडियन उन्हाळा किंवा तरुण गणितज्ञांच्या समुदायाचा इतिहास. बायनरी संख्या प्रणाली, बॉब्रोव्ह सेर्गेई पावलोविच. बायनरी संख्या प्रणाली, "हनोईचा टॉवर", नाइट्स मूव्ह, जादूचे चौरस, अंकगणित त्रिकोण, कुरळे संख्या, संयोजन, संभाव्यतेची संकल्पना, मोबियस पट्टी आणि क्लेन बाटली.…

» वॉरविक विद्यापीठातील गणिताचे सन्मानित प्राध्यापक, विज्ञानाचे प्रसिद्ध प्रसिद्धकर्ता इयान स्टीवर्ट, मानवजातीच्या इतिहासातील संख्यांची भूमिका आणि आमच्या काळातील त्यांच्या अभ्यासाच्या प्रासंगिकतेला समर्पित.

पायथागोरियन कर्ण

पायथागोरियन त्रिकोणांना काटकोन आणि पूर्णांक बाजू असतात. त्यापैकी सर्वात सोप्यामध्ये, सर्वात लांब बाजूची लांबी 5 आहे, उर्वरित 3 आणि 4 आहेत. एकूण 5 नियमित पॉलीहेड्रा आहेत. पाचव्या-अंशाचे समीकरण पाचव्या-अंश मूळ - किंवा इतर कोणत्याही मुळांनी सोडवले जाऊ शकत नाही. समतल आणि त्रि-आयामी जागेत लॅटिसेसमध्ये पाच-लोब रोटेशनल सममिती नसते; म्हणून, अशा सममिती क्रिस्टल्समध्ये देखील अनुपस्थित असतात. तथापि, ते चार-आयामी जागेत आणि क्वॅसिक्रिस्टल्स म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या मनोरंजक रचनांमध्ये जाळीमध्ये असू शकतात.

सर्वात लहान पायथागोरियन ट्रिपलचा हायपोटेन्युस

पायथागोरियन प्रमेय सांगतो की काटकोन त्रिकोणाची सर्वात लांब बाजू (कुख्यात कर्ण) या त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजूंशी अतिशय सोप्या आणि सुंदर पद्धतीने परस्परसंबंधित आहे: कर्णाचा वर्ग दुसऱ्याच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. दोन बाजू.

पारंपारिकपणे, आम्ही या प्रमेयाला पायथागोरस नंतर म्हणतो, परंतु प्रत्यक्षात त्याचा इतिहास अस्पष्ट आहे. मातीच्या गोळ्या असे सूचित करतात की पायथागोरसच्या खूप आधीपासून प्राचीन बॅबिलोनियन लोकांना पायथागोरसचे प्रमेय माहित होते; शोधकर्त्याचे वैभव त्याच्याकडे पायथागोरियन्सच्या गणितीय पंथाने आणले होते, ज्यांच्या समर्थकांचा असा विश्वास होता की विश्व संख्यात्मक नमुन्यांवर आधारित आहे. प्राचीन लेखकांनी पायथागोरस - आणि म्हणूनच पायथागोरस - विविध गणितीय प्रमेयांचे श्रेय दिले, परंतु प्रत्यक्षात पायथागोरस स्वतः कोणत्या प्रकारच्या गणितात गुंतले होते याची आम्हाला कल्पना नाही. पायथागोरियन लोक पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करू शकतील की नाही हे देखील आम्हाला माहित नाही किंवा त्यांचा विश्वास आहे की ते खरे आहे. किंवा, बहुधा, त्यांच्याकडे त्याच्या सत्याबद्दल खात्रीशीर डेटा होता, जो आज आपण पुरावा मानतो त्याकरिता पुरेसा नसता.

पायथागोरसचा पुरावा

पायथागोरियन प्रमेयाचा पहिला ज्ञात पुरावा युक्लिडच्या घटकांमध्ये आढळतो. व्हिक्टोरियन शाळकरी मुले ताबडतोब "पायथागोरियन पँट" म्हणून ओळखतील असे रेखाचित्र वापरून हा एक गुंतागुंतीचा पुरावा आहे; रेखाचित्र दोरीवर कोरड्या अंडरपॅन्टसारखे दिसते. अक्षरशः इतर शेकडो पुरावे ज्ञात आहेत, त्यापैकी बहुतेक हे विधान अधिक स्पष्ट करतात.

// तांदूळ. 33. पायथागोरियन पॅंट

सर्वात सोपा पुरावा म्हणजे एक प्रकारचे गणितीय कोडे. कोणताही काटकोन त्रिकोण घ्या, त्याच्या चार प्रती तयार करा आणि त्या चौकोनाच्या आत गोळा करा. एक बिछाना सह, आम्ही कर्ण वर एक चौरस पाहू; इतर सह - त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजूंचे चौरस. हे स्पष्ट आहे की दोन्ही प्रकरणांमध्ये क्षेत्र समान आहेत.

// तांदूळ. 34. डावीकडे: कर्णावर चौरस (अधिक चार त्रिकोण). उजवीकडे: इतर दोन बाजूंच्या चौरसांची बेरीज (अधिक समान चार त्रिकोण). आता त्रिकोण काढून टाका

पेरिगलचे विच्छेदन हा आणखी एक कोडे पुरावा आहे.

// तांदूळ. 35. पेरिगलचे विच्छेदन

प्लेनवर स्टॅकिंग स्क्वेअर वापरून प्रमेयाचा पुरावा देखील आहे. कदाचित अशा प्रकारे पायथागोरियन किंवा त्यांच्या अज्ञात पूर्ववर्तींनी हे प्रमेय शोधले असेल. तिरकस चौकोन इतर दोन चौरसांना कसे ओव्हरलॅप करतो हे तुम्ही पाहिल्यास, मोठ्या चौरसाचे तुकडे कसे करावे आणि नंतर त्यांना दोन लहान चौरसांमध्ये कसे ठेवावे ते तुम्ही पाहू शकता. तुम्ही काटकोन त्रिकोण देखील पाहू शकता, ज्याच्या बाजू तीन चौरसांची परिमाणे देतात.

// तांदूळ. 36. फरसबंदी करून पुरावा

त्रिकोणमितीमध्ये समान त्रिकोण वापरून मनोरंजक पुरावे आहेत. किमान पन्नास वेगवेगळे पुरावे ज्ञात आहेत.

पायथागोरियन तिहेरी

संख्या सिद्धांतामध्ये, पायथागोरियन प्रमेय फलदायी कल्पनेचा स्त्रोत बनला: बीजगणितीय समीकरणांवर पूर्णांक उपाय शोधण्यासाठी. पायथागोरियन ट्रिपल म्हणजे a, b आणि c अशा पूर्णांकांचा संच

भौमितिकदृष्ट्या, अशी तिहेरी पूर्णांक बाजूंसह काटकोन त्रिकोण परिभाषित करते.

पायथागोरियन ट्रिपलचे सर्वात लहान कर्ण 5 आहे.

या त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजू 3 आणि 4 आहेत. येथे

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

पुढील सर्वात मोठे कर्ण 10 आहे कारण

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

तथापि, हा मूलत: दुप्पट बाजू असलेला समान त्रिकोण आहे. पुढील सर्वात मोठा आणि खरोखर वेगळा कर्ण 13 आहे, ज्यासाठी

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

युक्लिडला माहित होते की पायथागोरियन ट्रिपल्समध्ये असंख्य भिन्न भिन्नता आहेत आणि त्यांनी त्या सर्व शोधण्यासाठी एक सूत्र दिले. नंतर, अलेक्झांड्रियाच्या डायओफंटसने एक सोपी रेसिपी दिली, मूलतः युक्लिडियन सारखीच.

कोणतीही दोन नैसर्गिक संख्या घ्या आणि गणना करा:

त्यांचे दुहेरी उत्पादन;

त्यांच्या चौरसांमधील फरक;

त्यांच्या वर्गांची बेरीज.

तीन परिणामी संख्या पायथागोरियन त्रिकोणाच्या बाजू असतील.

उदाहरणार्थ, संख्या 2 आणि 1 घ्या. गणना करा:

दुहेरी उत्पादन: 2 × 2 × 1 = 4;

चौरसांचा फरक: 22 - 12 = 3;

वर्गांची बेरीज: 22 + 12 = 5,

आणि आम्हाला प्रसिद्ध 3-4-5 त्रिकोण मिळाले. त्याऐवजी 3 आणि 2 क्रमांक घेतल्यास, आम्हाला मिळेल:

दुहेरी उत्पादन: 2 × 3 × 2 = 12;

चौरसांचा फरक: 32 - 22 = 5;

वर्गांची बेरीज: 32 + 22 = 13,

आणि आम्हाला पुढील प्रसिद्ध त्रिकोण 5 - 12 - 13 मिळेल. चला 42 आणि 23 क्रमांक घेण्याचा प्रयत्न करूया आणि मिळवा:

दुहेरी उत्पादन: 2 × 42 × 23 = 1932;

वर्गांमधील फरक: 422 - 232 = 1235;

वर्गांची बेरीज: 422 + 232 = 2293,

1235-1932-2293 त्रिकोणाबद्दल कोणीही ऐकले नाही.

परंतु या संख्या देखील कार्य करतात:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

डायओफँटाइन नियमात आणखी एक वैशिष्ट्य आहे ज्याकडे आधीच सूचित केले गेले आहे: तीन संख्या मिळाल्यानंतर, आपण आणखी एक अनियंत्रित संख्या घेऊ शकतो आणि त्या सर्वांचा गुणाकार करू शकतो. अशाप्रकारे, 3-4-5 त्रिकोणाचे सर्व बाजूंना 2 ने गुणाकार करून 6-8-10 त्रिकोणात किंवा प्रत्येक गोष्टीचा 5 ने गुणाकार करून 15-20-25 त्रिकोणात बदलता येतो.

जर आपण बीजगणिताच्या भाषेकडे वळलो, तर नियम खालील फॉर्म घेतो: u, v आणि k या नैसर्गिक संख्या असू द्या. नंतर बाजू असलेला काटकोन त्रिकोण

2kuv आणि k (u2 - v2) मध्ये कर्ण आहे

मुख्य कल्पना सादर करण्याचे इतर मार्ग आहेत, परंतु ते सर्व वर वर्णन केलेल्या एकावर उकळतात. ही पद्धत आपल्याला सर्व पायथागोरियन ट्रिपल्स मिळविण्यास अनुमती देते.

नियमित पॉलिहेड्रा

अगदी पाच नियमित पॉलिहेड्रा आहेत. नियमित पॉलिहेड्रॉन (किंवा पॉलीहेड्रॉन) ही एक त्रिमितीय आकृती आहे ज्यामध्ये मर्यादित संख्येने सपाट चेहरे आहेत. बाजू एकमेकांशी एकरूप होतात ज्याला किनार म्हणतात; कडा शिरोबिंदू नावाच्या बिंदूंवर भेटतात.

युक्लिडियन "तत्त्वे" चा कळस हा पुरावा आहे की फक्त पाच नियमित पॉलीहेड्रा असू शकतात, म्हणजेच पॉलिहेड्रा ज्यामध्ये प्रत्येक चेहरा नियमित बहुभुज (समान बाजू, समान कोन) आहे, सर्व चेहरे एकसारखे आहेत आणि सर्व शिरोबिंदू वेढलेले आहेत. समान अंतर असलेल्या चेहऱ्यांच्या समान संख्येने. येथे पाच नियमित पॉलिहेड्रा आहेत:

चार त्रिकोणी चेहरे, चार शिरोबिंदू आणि सहा कडा असलेले टेट्राहेड्रॉन;

घन, किंवा हेक्साहेड्रॉन, 6 चौरस चेहरे, 8 शिरोबिंदू आणि 12 कडा;

8 त्रिकोणी चेहरे, 6 शिरोबिंदू आणि 12 कडा असलेले अष्टाध्वनी;

12 पंचकोनी चेहरे, 20 शिरोबिंदू आणि 30 कडा असलेले dodecahedron;

20 त्रिकोणी चेहरे, 12 शिरोबिंदू आणि 30 कडा असलेले icosahedron.

// तांदूळ. 37. पाच नियमित पॉलिहेड्रा

नियमित पॉलिहेड्रा देखील निसर्गात आढळू शकते. 1904 मध्ये, अर्न्स्ट हेकेलने रेडिओलरियन म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या लहान जीवांची रेखाचित्रे प्रकाशित केली; त्यापैकी अनेकांचा आकार समान पाच नियमित पॉलिहेड्रासारखा असतो. कदाचित, तथापि, त्याने निसर्गात किंचित सुधारणा केली आणि रेखाचित्रे विशिष्ट सजीवांचे आकार पूर्णपणे प्रतिबिंबित करत नाहीत. पहिल्या तीन रचना क्रिस्टल्समध्ये देखील पाळल्या जातात. तुम्हाला स्फटिकांमध्ये डोडेकाहेड्रॉन आणि आयकोसेहेड्रॉन सापडणार नाहीत, जरी अनियमित डोडेकाहेड्रॉन आणि आयकोसेहेड्रॉन कधीकधी तिथे आढळतात. खरे डोडेकाहेड्रॉन क्वासिक्रिस्टल्स म्हणून दिसू शकतात, जे प्रत्येक प्रकारे स्फटिकांसारखे असतात, त्याशिवाय त्यांचे अणू नियतकालिक जाळी तयार करत नाहीत.

// तांदूळ. 38. हेकेल द्वारे रेखाचित्रे: रेग्युलर पॉलीहेड्राच्या स्वरूपात रेडिओलेरियन्स

// तांदूळ. 39. नियमित पॉलीहेड्राचा विकास

प्रथम परस्पर जोडलेल्या चेहऱ्यांचा संच कापून कागदाच्या बाहेर नियमित पॉलिहेड्राचे मॉडेल बनवणे मनोरंजक असू शकते - याला पॉलिहेड्रॉन स्वीप म्हणतात; स्कॅन काठावर दुमडलेला आहे आणि संबंधित कडा एकत्र चिकटलेल्या आहेत. अंजीर मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे अशा प्रत्येक जोडीच्या एका काठावर गोंद लावण्यासाठी अतिरिक्त क्षेत्र जोडणे उपयुक्त आहे. 39. असे कोणतेही व्यासपीठ नसल्यास, आपण चिकट टेप वापरू शकता.

पाचव्या पदवीचे समीकरण

5 व्या अंशाची समीकरणे सोडवण्यासाठी कोणतेही बीजगणितीय सूत्र नाही.

सर्वसाधारणपणे, पाचव्या पदवीचे समीकरण असे दिसते:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

समस्या अशी आहे की असे समीकरण सोडवण्यासाठी एक सूत्र शोधणे (त्यात पाच उपाय असू शकतात). चतुर्थांश आणि घन समीकरणांचा अनुभव, तसेच चौथ्या अंशाच्या समीकरणांसह, असे सुचविते की असे सूत्र पाचव्या अंशाच्या समीकरणांसाठी देखील अस्तित्त्वात असले पाहिजे आणि सिद्धांतानुसार, पाचव्या, तृतीय आणि द्वितीय अंशाची मुळे दिसली पाहिजेत. ते पुन्हा, कोणीही सुरक्षितपणे असे गृहीत धरू शकतो की असे सूत्र, जर ते अस्तित्वात असेल, तर ते खूप गुंतागुंतीचे होईल.

हे गृहीतक शेवटी चुकीचे ठरले. खरंच, असे कोणतेही सूत्र अस्तित्वात नाही; किमान ए, बी, सी, डी, ई आणि फ गुणांक असलेले कोणतेही सूत्र नाही, जे बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार तसेच मुळे घेऊन तयार केलेले आहे. अशा प्रकारे, 5 क्रमांकाबद्दल काहीतरी विशेष आहे. या पाच जणांच्या असामान्य वर्तनाची कारणे खूप खोलवर आहेत आणि ती शोधण्यात बराच वेळ गेला.

समस्येचे पहिले लक्षण असे होते की असे सूत्र शोधण्याचा गणितज्ञांनी कितीही प्रयत्न केला, कितीही हुशार असला तरी ते नेहमीच अपयशी ठरले. काही काळासाठी, प्रत्येकाचा असा विश्वास होता की कारणे सूत्राच्या अविश्वसनीय जटिलतेमध्ये आहेत. असे मानले जात होते की कोणीही हे बीजगणित योग्यरित्या समजू शकत नाही. तथापि, कालांतराने, काही गणितज्ञांनी असे सूत्र अस्तित्वात असल्याची शंका घेण्यास सुरुवात केली आणि 1823 मध्ये नील्स हेंड्रिक एबेल याच्या उलट सिद्ध करण्यास सक्षम होते. असे कोणतेही सूत्र नाही. त्यानंतर थोड्याच वेळात, Évariste Galois यांना या प्रकारच्या सूत्राचा वापर करून एका अंशाचे समीकरण - 5 वी, 6 वी, 7 वी, साधारणपणे कोणतीही - सोडवता येण्याजोगे आहे हे निर्धारित करण्याचा मार्ग सापडला.

या सर्वांमधून निष्कर्ष साधा आहे: संख्या 5 विशेष आहे. तुम्ही 1, 2, 3 आणि 4 च्या घातांसाठी बीजगणितीय समीकरणे (n च्या भिन्न मूल्यांसाठी nth मुळे वापरून) सोडवू शकता, परंतु 5 च्या घातांसाठी नाही. येथेच स्पष्ट नमुना संपतो.

5 पेक्षा जास्त शक्तींची समीकरणे आणखी वाईट वागतात याचे कोणालाच नवल नाही; विशेषतः, समान अडचण त्यांच्याशी जोडलेली आहे: त्यांच्या निराकरणासाठी कोणतीही सामान्य सूत्रे नाहीत. याचा अर्थ असा नाही की समीकरणांना काही उपाय नाहीत; याचा अर्थ असा नाही की या उपायांची अगदी अचूक संख्यात्मक मूल्ये शोधणे अशक्य आहे. हे सर्व पारंपारिक बीजगणित साधनांच्या मर्यादांबद्दल आहे. हे शासक आणि होकायंत्राच्या सहाय्याने कोन त्रिखंडित करण्याच्या अशक्यतेची आठवण करून देते. एक उत्तर आहे, परंतु सूचीबद्ध पद्धती पुरेशा नाहीत आणि ते काय आहे हे निर्धारित करण्याची परवानगी देत ​​​​नाही.

क्रिस्टलोग्राफिक मर्यादा

दोन आणि तीन मितींमधील क्रिस्टल्समध्ये 5-बीम रोटेशनल सममिती नसते.

क्रिस्टलमधील अणू एक जाळी बनवतात, म्हणजेच अशी रचना जी वेळोवेळी अनेक स्वतंत्र दिशानिर्देशांमध्ये पुनरावृत्ती होते. उदाहरणार्थ, वॉलपेपरवरील नमुना रोलच्या लांबीच्या बाजूने पुनरावृत्ती केला जातो; याव्यतिरिक्त, हे सहसा क्षैतिज दिशेने पुनरावृत्ती होते, काहीवेळा वॉलपेपरच्या एका तुकड्यातून दुसर्‍या भागात बदलते. मूलत:, वॉलपेपर एक द्विमितीय क्रिस्टल आहे.

विमानात वॉलपेपरचे 17 प्रकार आहेत (धडा 17 पहा). ते सममितीच्या प्रकारांमध्ये भिन्न आहेत, म्हणजे, नमुना कठोरपणे हलविण्याच्या मार्गांमध्ये जेणेकरून ते त्याच्या मूळ स्थितीत स्वतःवरच असते. सममितीच्या प्रकारांमध्ये, विशेषतः, रोटेशनल सममितीचे विविध प्रकार समाविष्ट आहेत, जेथे नमुना एका विशिष्ट बिंदूभोवती विशिष्ट कोनातून फिरवला जावा - सममितीचा केंद्र.

रोटेशनच्या सममितीचा क्रम म्हणजे तुम्ही शरीराला पूर्ण वर्तुळात किती वेळा फिरवू शकता जेणेकरून चित्राचे सर्व तपशील त्यांच्या मूळ स्थितीत परत येतील. उदाहरणार्थ, 90° रोटेशन ही चौथ्या क्रमाची रोटेशनल सममिती* आहे. क्रिस्टल जाळीतील संभाव्य प्रकारच्या रोटेशनल सममितीची यादी पुन्हा 5 क्रमांकाच्या असामान्यतेकडे निर्देश करते: ते तेथे नाही. 2रे, 3रे, 4थ्या आणि 6व्या ऑर्डरच्या रोटेशनल सममिती असलेले रूपे आहेत, परंतु कोणत्याही वॉलपेपर पॅटर्नमध्ये 5व्या क्रमाची रोटेशनल सममिती नाही. क्रिस्टल्समध्ये 6 पेक्षा जास्त ऑर्डरची रोटेशनल सममिती देखील नाही, परंतु अनुक्रमांचे पहिले उल्लंघन अद्याप 5 क्रमांकावर होते.

त्रिमितीय अवकाशातील क्रिस्टलोग्राफिक प्रणालींमध्येही असेच घडते. येथे जाळी स्वतःला तीन स्वतंत्र दिशांनी पुनरावृत्ती करते. 219 विविध प्रकारचे सममिती आहेत, किंवा 230 जर आपण पॅटर्नचे आरशातील प्रतिबिंब त्याची एक वेगळी आवृत्ती मानली तर - शिवाय, या प्रकरणात आरशाची सममिती नाही. पुन्हा, ऑर्डर 2, 3, 4, आणि 6 च्या रोटेशनल सममिती पाळल्या जातात, परंतु 5 नाही. या वस्तुस्थितीला क्रिस्टलोग्राफिक प्रतिबंध म्हणतात.

चार-आयामी जागेत, 5 व्या क्रमाच्या सममितीसह जाळी अस्तित्वात आहेत; सर्वसाधारणपणे, पुरेशा उच्च परिमाणांच्या जाळीसाठी, रोटेशनल सममितीचा कोणताही पूर्वनिर्धारित क्रम शक्य आहे.

// तांदूळ. 40. टेबल मीठ क्रिस्टल जाळी. गडद गोळे सोडियम अणूंचे प्रतिनिधित्व करतात, हलके गोळे क्लोरीन अणूंचे प्रतिनिधित्व करतात.

Quasicrystals

2D आणि 3D जाळींमध्ये 5व्या क्रमाची रोटेशनल सममिती शक्य नसली तरी ती क्वॅसिक्रिस्टल्स म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या किंचित कमी नियमित रचनांमध्ये अस्तित्वात असू शकते. केप्लरच्या स्केचेस वापरून, रॉजर पेनरोजने अधिक सामान्य प्रकारच्या पाचपट सममिती असलेल्या सपाट प्रणाली शोधल्या. त्यांना क्वासिक्रिस्टल म्हणतात.

Quasicrystals निसर्गात अस्तित्वात आहेत. 1984 मध्ये, डॅनियल शेचमनने शोधून काढले की अॅल्युमिनियम आणि मॅंगनीजच्या मिश्रधातूमुळे अर्ध-क्रिस्टल तयार होऊ शकतात; सुरुवातीला, क्रिस्टलोग्राफर्सनी त्याच्या संदेशाला काही संशयास्पदतेने अभिवादन केले, परंतु नंतर या शोधाची पुष्टी झाली आणि 2011 मध्ये शेटमन यांना रसायनशास्त्रातील नोबेल पारितोषिक देण्यात आले. 2009 मध्ये, लुका बिंडी यांच्या नेतृत्वाखालील शास्त्रज्ञांच्या चमूने रशियन कोर्याक हायलँड्समधील खनिजामध्ये अर्ध-क्रिस्टल्स शोधले - अॅल्युमिनियम, तांबे आणि लोह यांचे संयुग. आज या खनिजाला icosahedrite म्हणतात. मास स्पेक्ट्रोमीटरने खनिजातील विविध ऑक्सिजन समस्थानिकांची सामग्री मोजून, शास्त्रज्ञांनी दाखवले की हे खनिज पृथ्वीवर उद्भवलेले नाही. सूर्यमाला नुकतीच उदयास येत असताना सुमारे ४.५ अब्ज वर्षांपूर्वी त्याची स्थापना झाली आणि सूर्याभोवती प्रदक्षिणा घालत आपला बराचसा वेळ लघुग्रहाच्या पट्ट्यात घालवला, जोपर्यंत त्याची कक्षा बदलली आणि अखेरीस पृथ्वीवर आणले.

// तांदूळ. 41. डावीकडे: अचूक पाचपट सममिती असलेल्या दोन अर्ध-स्फटिक जाळींपैकी एक. उजवीकडे: आयकोसेहेड्रल अॅल्युमिनियम-पॅलेडियम-मॅंगनीज क्वासिक्रिस्टलचे अणू मॉडेल