X सह समीकरणे सोडवणे. ऑनलाइन अतार्किक समीकरणे कॅल्क्युलेटर

गणित सोडवण्यासाठी. पटकन शोधा गणितीय समीकरण सोडवणेमोडमध्ये ऑनलाइन. वेबसाइट www.site परवानगी देते समीकरण सोडवाजवळजवळ कोणतीही दिलेली बीजगणित, त्रिकोणमितीयकिंवा ट्रान्सेंडेंटल समीकरण ऑनलाइन. गणिताच्या जवळपास कोणत्याही शाखेचा वेगवेगळ्या टप्प्यांवर अभ्यास करताना तुम्हाला निर्णय घ्यावा लागतो ऑनलाइन समीकरणे. ताबडतोब उत्तर मिळविण्यासाठी आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे अचूक उत्तर मिळविण्यासाठी, तुम्हाला हे करण्याची परवानगी देणारे संसाधन आवश्यक आहे. साइट www.site धन्यवाद ऑनलाइन समीकरणे सोडवाकाही मिनिटे लागतील. गणित सोडवताना www.site चा मुख्य फायदा ऑनलाइन समीकरणे- ही प्रदान केलेल्या प्रतिसादाची गती आणि अचूकता आहे. साइट कोणत्याही निराकरण करण्यास सक्षम आहे ऑनलाइन बीजगणितीय समीकरणे, त्रिकोणमितीय समीकरणे ऑनलाइन, अतींद्रिय समीकरणे ऑनलाइन, आणि समीकरणेमोडमध्ये अज्ञात पॅरामीटर्ससह ऑनलाइन. समीकरणेएक शक्तिशाली गणितीय उपकरण म्हणून काम करा उपायव्यावहारिक समस्या. च्या मदतीने गणितीय समीकरणेपहिल्या दृष्टीक्षेपात गोंधळात टाकणारी आणि गुंतागुंतीची वाटणारी तथ्ये आणि संबंध व्यक्त करणे शक्य आहे. अज्ञात प्रमाण समीकरणेमध्ये समस्या तयार करून शोधली जाऊ शकते गणितीयफॉर्ममध्ये भाषा समीकरणेआणि ठरवामोडमध्ये कार्य प्राप्त झाले ऑनलाइनवेबसाइट www.site वर. कोणतीही बीजगणितीय समीकरण, त्रिकोणमितीय समीकरणकिंवा समीकरणेसमाविष्टीत अतींद्रियवैशिष्ट्ये आपण सहजपणे करू शकता ठरवाऑनलाइन आणि अचूक उत्तर मिळवा. नैसर्गिक विज्ञानाचा अभ्यास करताना, आपल्याला अपरिहार्यपणे गरज भासते समीकरणे सोडवणे. या प्रकरणात, उत्तर अचूक असणे आवश्यक आहे आणि मोडमध्ये त्वरित प्राप्त करणे आवश्यक आहे ऑनलाइन. त्यामुळे साठी ऑनलाइन गणितीय समीकरणे सोडवणेआम्ही www.site साइटची शिफारस करतो, जी तुमचा अपरिहार्य कॅल्क्युलेटर बनेल ऑनलाइन बीजगणितीय समीकरणे सोडवा, त्रिकोणमितीय समीकरणे ऑनलाइन, आणि अतींद्रिय समीकरणे ऑनलाइनकिंवा समीकरणेअज्ञात पॅरामीटर्ससह. विविध मुळे शोधण्याच्या व्यावहारिक समस्यांसाठी गणितीय समीकरणेसंसाधन www.. सोडवणे ऑनलाइन समीकरणेस्वतः, वापरून प्राप्त उत्तर तपासणे उपयुक्त आहे ऑनलाइन समीकरण सोडवणेवेबसाइट www.site वर. आपण समीकरण योग्यरित्या लिहिणे आवश्यक आहे आणि त्वरित मिळवा ऑनलाइन उपाय, ज्यानंतर उरते ते उत्तराची तुलना समीकरणाशी तुमच्या समाधानाशी करणे. उत्तर तपासण्यासाठी एका मिनिटापेक्षा जास्त वेळ लागणार नाही, ते पुरेसे आहे ऑनलाइन समीकरण सोडवाआणि उत्तरांची तुलना करा. हे आपल्याला मध्ये चुका टाळण्यास मदत करेल निर्णयआणि वेळेत उत्तर दुरुस्त करा ऑनलाइन समीकरणे सोडवणेएकतर बीजगणित, त्रिकोणमितीय, अतींद्रियकिंवा समीकरणअज्ञात पॅरामीटर्ससह.

सेवेचा उद्देश. मॅट्रिक्स कॅल्क्युलेटर मॅट्रिक्स पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्यासाठी डिझाइन केलेले आहे (समान समस्या सोडवण्याचे उदाहरण पहा).

सूचना. ऑनलाइन निराकरण करण्यासाठी, तुम्हाला समीकरणाचा प्रकार निवडणे आणि संबंधित मॅट्रिक्सचे परिमाण सेट करणे आवश्यक आहे. जेथे A, B, C निर्दिष्ट मॅट्रिक्स आहेत, X इच्छित मॅट्रिक्स आहे. (1), (2) आणि (3) ची मॅट्रिक्स समीकरणे व्यस्त मॅट्रिक्स A -1 द्वारे सोडवली जातात. जर A·X - B = C ही अभिव्यक्ती दिली असेल, तर प्रथम मॅट्रिकेस C + B जोडणे आवश्यक आहे आणि A·X = D या अभिव्यक्तीसाठी उपाय शोधणे आवश्यक आहे, जेथे D = C + B. जर अभिव्यक्ती A*X = B 2 दिली असेल, तर प्रथम मॅट्रिक्स B चा वर्ग करणे आवश्यक आहे.

मॅट्रिक्सवरील मूलभूत ऑपरेशन्ससह स्वतःला परिचित करण्याची देखील शिफारस केली जाते.

उदाहरण क्रमांक १. व्यायाम करा. मॅट्रिक्स समीकरणाचे निराकरण शोधा
उपाय. चला सूचित करूया:
मग मॅट्रिक्स समीकरण फॉर्ममध्ये लिहिले जाईल: A·X·B = C.
मॅट्रिक्स A चा निर्धारक detA=-1 च्या बरोबरीचा आहे
A हे नॉन-एकवचनी मॅट्रिक्स असल्याने, तेथे व्यस्त मॅट्रिक्स A -1 आहे. डावीकडील समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना A -1 ने गुणा: या समीकरणाच्या डावीकडील दोन्ही बाजूंना A -1 आणि उजवीकडील B -1 ने गुणा: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . A A -1 = B B -1 = E आणि E X = X E = X असल्याने X = A -1 C B -1

व्यस्त मॅट्रिक्स A -1:
चला व्यस्त मॅट्रिक्स B -1 शोधू.
ट्रान्सपोज्ड मॅट्रिक्स बी टी:
व्यस्त मॅट्रिक्स B -1:
आपण सूत्र वापरून मॅट्रिक्स X शोधतो: X = A -1 ·C·B -1

उत्तर:

उदाहरण क्रमांक २. व्यायाम करा.मॅट्रिक्स समीकरण सोडवा
उपाय. चला सूचित करूया:
मग मॅट्रिक्स समीकरण फॉर्ममध्ये लिहिले जाईल: A·X = B.
मॅट्रिक्स A चा निर्धारक detA=0 आहे
A हा एकवचन मॅट्रिक्स असल्यामुळे (निर्धारक 0 आहे), म्हणून समीकरणाला कोणतेही समाधान नाही.

उदाहरण क्रमांक 3. व्यायाम करा. मॅट्रिक्स समीकरणाचे निराकरण शोधा
उपाय. चला सूचित करूया:
मग मॅट्रिक्स समीकरण फॉर्ममध्ये लिहिले जाईल: X A = B.
मॅट्रिक्स A चा निर्धारक detA=-60 आहे
A हे नॉन-एकवचनी मॅट्रिक्स असल्याने, तेथे व्यस्त मॅट्रिक्स A -1 आहे. उजवीकडील समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना A -1 ने गुणाकार करू या: X A A -1 = B A -1, जिथून आपल्याला आढळते की X = B A -1
चला व्यस्त मॅट्रिक्स A -1 शोधू.
ट्रान्सपोज्ड मॅट्रिक्स ए टी:
व्यस्त मॅट्रिक्स A -1:
आम्ही सूत्र वापरून मॅट्रिक्स X शोधतो: X = B A -1


उत्तर: >

8 व्या वर्गात चतुर्भुज समीकरणांचा अभ्यास केला जातो, त्यामुळे येथे काहीही क्लिष्ट नाही. त्यांचे निराकरण करण्याची क्षमता पूर्णपणे आवश्यक आहे.

चतुर्भुज समीकरण हे ax 2 + bx + c = 0 या फॉर्मचे समीकरण आहे, जेथे a, b आणि c गुणांक अनियंत्रित संख्या आहेत आणि a ≠ 0.

विशिष्ट उपाय पद्धतींचा अभ्यास करण्यापूर्वी, लक्षात घ्या की सर्व द्विघात समीकरणे तीन वर्गांमध्ये विभागली जाऊ शकतात:

1. मुळे नाहीत;
2. अगदी एक मूळ असणे;
3. त्यांची दोन भिन्न मुळे आहेत.

चतुर्भुज समीकरणे आणि रेखीय समीकरणांमधील हा एक महत्त्वाचा फरक आहे, जेथे मूळ नेहमी अस्तित्त्वात असते आणि अद्वितीय असते. समीकरणाची मुळे किती आहेत हे कसे ठरवायचे? यासाठी एक अद्भुत गोष्ट आहे - भेदभाव करणारा.

भेदभाव करणारा

ax 2 + bx + c = 0 हे चतुर्भुज समीकरण देऊ. मग भेदक ही संख्या D = b 2 − 4ac आहे.

तुम्हाला हा फॉर्म्युला मनापासून माहित असणे आवश्यक आहे. ते कुठून आले हे आता महत्त्वाचे नाही. आणखी एक गोष्ट महत्त्वाची आहे: भेदभावाच्या चिन्हावरून तुम्ही ठरवू शकता की चतुर्भुज समीकरणाची किती मुळे आहेत. म्हणजे:

1. जर डी< 0, корней нет;
2. जर D = 0 असेल, तर नक्की एक रूट आहे;
3. D > 0 असल्यास, दोन मुळे असतील.

कृपया लक्षात ठेवा: भेदभाव मुळांची संख्या दर्शवितो, आणि त्यांची चिन्हे अजिबात नाही, कारण काही कारणास्तव बरेच लोक विश्वास ठेवतात. उदाहरणे पहा आणि तुम्हाला सर्वकाही समजेल:

कार्य. द्विघात समीकरणांची किती मुळे आहेत:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

चला पहिल्या समीकरणासाठी गुणांक लिहू आणि भेदभाव शोधू:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

तर भेदभाव सकारात्मक आहे, म्हणून समीकरणाची दोन भिन्न मुळे आहेत. आम्ही त्याच प्रकारे दुसऱ्या समीकरणाचे विश्लेषण करतो:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

भेदभाव नकारात्मक आहे, मुळे नाहीत. शेवटचे समीकरण बाकी आहे:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

भेदभाव शून्य आहे - मूळ एक असेल.

कृपया लक्षात घ्या की प्रत्येक समीकरणासाठी गुणांक लिहून ठेवले आहेत. होय, हे लांब आहे, होय, ते कंटाळवाणे आहे, परंतु आपण शक्यता मिसळणार नाही आणि मूर्ख चुका करणार नाही. स्वत: साठी निवडा: वेग किंवा गुणवत्ता.

तसे, जर तुम्हाला ते हँग झाले तर, थोड्या वेळाने तुम्हाला सर्व गुणांक लिहिण्याची गरज नाही. तुम्ही तुमच्या डोक्यात अशी ऑपरेशन कराल. बहुतेक लोक 50-70 सोडवलेल्या समीकरणांनंतर कुठेतरी हे करू लागतात - सर्वसाधारणपणे, इतके नाही.

द्विघात समीकरणाची मुळे

आता समाधानाकडेच वळूया. भेदभाव D > 0 असल्यास, सूत्रे वापरून मुळे शोधता येतील:

द्विघात समीकरणाच्या मुळांसाठी मूलभूत सूत्र

जेव्हा D = 0, तेव्हा तुम्ही यापैकी कोणतेही सूत्र वापरू शकता - तुम्हाला समान संख्या मिळेल, जी उत्तर असेल. शेवटी, जर डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

पहिले समीकरण:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ समीकरणाला दोन मुळे आहेत. चला त्यांना शोधूया:

दुसरे समीकरण:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ समीकरणाला पुन्हा दोन मुळे आहेत. चला त्यांना शोधूया

\[\begin(संरेखित) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(संरेखित)\]

शेवटी, तिसरे समीकरण:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ समीकरणाचे एक मूळ आहे. कोणतेही सूत्र वापरले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, पहिला:

जसे आपण उदाहरणांवरून पाहू शकता, सर्वकाही अगदी सोपे आहे. जर तुम्हाला सूत्रे माहित असतील आणि मोजता येत असतील तर कोणतीही अडचण येणार नाही. बहुतेकदा, सूत्रामध्ये नकारात्मक गुणांक बदलताना त्रुटी उद्भवतात. येथे पुन्हा, वर वर्णन केलेले तंत्र मदत करेल: सूत्र शब्दशः पहा, प्रत्येक चरण लिहा - आणि लवकरच आपण चुकांपासून मुक्त व्हाल.

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे

असे घडते की चतुर्भुज समीकरण हे व्याख्येमध्ये दिलेल्या पेक्षा थोडे वेगळे असते. उदाहरणार्थ:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

हे लक्षात घेणे सोपे आहे की या समीकरणांमध्ये अटींपैकी एक गहाळ आहे. अशी चतुर्भुज समीकरणे मानक समीकरणांपेक्षा सोडवणे अगदी सोपे आहे: त्यांना भेदभावाची गणना करणे देखील आवश्यक नाही. तर, एक नवीन संकल्पना सादर करूया:

ax 2 + bx + c = 0 या समीकरणाला b = 0 किंवा c = 0 असल्यास अपूर्ण द्विघात समीकरण म्हणतात. व्हेरिएबल x किंवा मुक्त घटकाचा गुणांक शून्याच्या बरोबरीचा आहे.

अर्थात, जेव्हा हे दोन्ही गुणांक शून्याच्या समान असतील तेव्हा खूप कठीण प्रकरण शक्य आहे: b = c = 0. या प्रकरणात, समीकरण ax 2 = 0 असे फॉर्म घेते. अर्थात, अशा समीकरणाचे एकच मूळ आहे: x = 0.

उर्वरित प्रकरणांचा विचार करूया. चला b = 0, नंतर आपल्याला ax 2 + c = 0 या फॉर्मचे एक अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण मिळेल. त्याचे थोडे रूपांतर करूया:

अंकगणित वर्गमूळ केवळ नकारात्मक नसलेल्या संख्येचे अस्तित्वात असल्याने, शेवटची समानता केवळ (−c /a) ≥ 0 साठी अर्थपूर्ण आहे. निष्कर्ष:

1. ax 2 + c = 0 फॉर्मच्या अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणामध्ये असमानता (−c /a) ≥ 0 समाधानी असल्यास, दोन मुळे असतील. सूत्र वर दिले आहे;
2. जर (−c /a)< 0, корней нет.

जसे तुम्ही बघू शकता, भेदभावाची आवश्यकता नव्हती - अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणांमध्ये कोणतीही जटिल गणना नाही. खरं तर, असमानता (−c /a) ≥ 0 लक्षात ठेवणे देखील आवश्यक नाही. x 2 हे मूल्य व्यक्त करणे आणि समान चिन्हाच्या दुसऱ्या बाजूला काय आहे ते पाहणे पुरेसे आहे. धन संख्या असल्यास, दोन मुळे असतील. जर ते नकारात्मक असेल तर मुळीच मुळीच राहणार नाही.

आता ax 2 + bx = 0 या फॉर्मची समीकरणे पाहू, ज्यामध्ये मुक्त घटक शून्य आहे. येथे सर्व काही सोपे आहे: नेहमी दोन मुळे असतील. बहुपदी घटक करण्यासाठी हे पुरेसे आहे:

सामान्य घटक कंसातून बाहेर काढणे

घटकांपैकी किमान एक शून्य असताना उत्पादन शून्य असते. येथूनच मुळे येतात. शेवटी, यापैकी काही समीकरणे पाहू:

कार्य. द्विघात समीकरणे सोडवा:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. मुळे नाहीत, कारण चौरस ऋण संख्येच्या बरोबरीचा असू शकत नाही.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.