असमानतेमध्ये मॉड्यूलस कसे काढायचे. मॉड्यूलससह समीकरणे

असमानता ऑनलाइन सोडवणे

असमानता सोडवण्याआधी, समीकरणे कशी सोडवली जातात याची चांगली समज असणे आवश्यक आहे.

असमानता कठोर () किंवा कठोर (≤, ≥) असली तरीही काही फरक पडत नाही, पहिली पायरी म्हणजे समानता (=) सह असमानता चिन्ह बदलून समीकरण सोडवणे.

विषमता सोडवणे म्हणजे काय ते समजावून सांगूया?

समीकरणांचा अभ्यास केल्यानंतर, विद्यार्थ्याच्या डोक्यात खालील चित्र येते: त्याला व्हेरिएबलची मूल्ये शोधणे आवश्यक आहे जसे की समीकरणाच्या दोन्ही बाजू समान मूल्ये घेतात. दुस-या शब्दात, समानता धारण करणारे सर्व बिंदू शोधा. सर्व काही बरोबर आहे!

जेव्हा आपण असमानतेबद्दल बोलतो, तेव्हा आमचा अर्थ असा आहे की असमानता धारण केलेले अंतराल (सेगमेंट) शोधणे. असमानतेमध्ये दोन व्हेरिएबल्स असल्यास, नंतर समाधान यापुढे मध्यांतर असेल, परंतु विमानातील काही क्षेत्रे असतील. तीन व्हेरिएबल्समधील असमानतेवर उपाय काय असेल ते स्वतःच अंदाज लावा?

असमानता कशी सोडवायची?

असमानता सोडवण्याचा सार्वत्रिक मार्ग म्हणजे मध्यांतरांची पद्धत (मध्यांतरांची पद्धत म्हणूनही ओळखली जाते) मानली जाते, ज्यामध्ये दिलेल्या असमानतेचे समाधान होईल अशा सीमांमधील सर्व मध्यांतरे निर्धारित करणे समाविष्ट असते.

असमानतेच्या प्रकारात न जाता, या प्रकरणात हा मुद्दा नाही, आपल्याला संबंधित समीकरण सोडवणे आणि त्याची मुळे निश्चित करणे आवश्यक आहे, त्यानंतर या सोल्यूशन्सची संख्या अक्षावर नियुक्त केली जाईल.

असमानतेचे निराकरण योग्यरित्या कसे लिहायचे?

एकदा तुम्ही असमानतेसाठी सोल्यूशन इंटरव्हल्स निर्धारित केल्यावर, तुम्हाला सोल्यूशन स्वतःच योग्यरित्या लिहावे लागेल. एक महत्त्वाची सूक्ष्मता आहे - सोल्यूशनमध्ये मध्यांतरांच्या सीमा समाविष्ट केल्या आहेत का?

येथे सर्व काही सोपे आहे. जर समीकरणाचे समाधान ODZ चे समाधान करत असेल आणि असमानता कठोर नसेल, तर मध्यांतराची सीमा असमानतेच्या समाधानामध्ये समाविष्ट केली जाते. अन्यथा, नाही.

प्रत्येक मध्यांतराचा विचार केल्यास, असमानतेचे निराकरण हे मध्यांतर किंवा अर्ध-मांतर (जेव्हा त्याच्या सीमांपैकी एक असमानतेचे समाधान करते), किंवा एक खंड - त्याच्या सीमांसह मध्यांतर असू शकते.

महत्वाचा मुद्दा

असे समजू नका की केवळ मध्यांतर, अर्ध-मांतर आणि खंड असमानता सोडवू शकतात. नाही, समाधानामध्ये वैयक्तिक मुद्दे देखील असू शकतात.

उदाहरणार्थ, असमानता |x|≤0 ला एकच उपाय आहे - हा पॉइंट 0 आहे.

आणि असमानता |x|

तुम्हाला असमानता कॅल्क्युलेटरची गरज का आहे?

असमानता कॅल्क्युलेटर योग्य अंतिम उत्तर देतो. बर्‍याच प्रकरणांमध्ये, संख्येच्या अक्षाचे किंवा समतलतेचे उदाहरण दिले जाते. मध्यांतरांच्या सीमा सोल्युशनमध्ये समाविष्ट केल्या आहेत की नाही हे दृश्यमान आहे - बिंदू छायांकित किंवा पंक्चर केलेले म्हणून प्रदर्शित केले जातात.

ऑनलाइन असमानता कॅल्क्युलेटरबद्दल धन्यवाद, तुम्ही समीकरणाची मुळे योग्यरित्या शोधली आहेत का, त्यांना संख्येच्या अक्षावर चिन्हांकित केले आहे का आणि मध्यांतरांवर (आणि सीमा) असमानतेच्या स्थितीची पूर्तता तपासली आहे का ते तपासू शकता?

तुमचे उत्तर कॅल्क्युलेटरच्या उत्तरापेक्षा वेगळे असल्यास, तुम्हाला तुमचे समाधान पुन्हा एकदा तपासावे लागेल आणि चूक ओळखावी लागेल.

एखादी व्यक्ती जितकी अधिक समजून घेते तितकी समजून घेण्याची त्याची तीव्र इच्छा

थॉमस ऍक्विनास

मध्यांतर पद्धत आपल्याला मॉड्यूलस असलेली कोणतीही समीकरणे सोडविण्यास अनुमती देते. या पद्धतीचे सार म्हणजे संख्या अक्ष अनेक विभागांमध्ये (अंतराल) विभाजित करणे आणि मॉड्यूलमधील अभिव्यक्तींच्या शून्याने अक्ष विभाजित करणे आवश्यक आहे. त्यानंतर, प्रत्येक परिणामी विभागांवर, प्रत्येक सबमॉड्युलर अभिव्यक्ती एकतर सकारात्मक किंवा नकारात्मक असते. म्हणून, प्रत्येक मॉड्यूल एकतर वजा चिन्हाने किंवा अधिक चिन्हासह उघडले जाऊ शकते. या चरणांनंतर, विचाराधीन मध्यांतरावरील प्रत्येक परिणामी साधी समीकरणे सोडवणे आणि मिळालेली उत्तरे एकत्र करणे बाकी आहे.

एक विशिष्ट उदाहरण वापरून ही पद्धत पाहू.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) मोड्यूल्समधील एक्सप्रेशन्सचे शून्य शोधू. हे करण्यासाठी, आपण त्यांना शून्यावर समान करणे आणि परिणामी समीकरणे सोडवणे आवश्यक आहे.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) परिणामी बिंदू समन्वय रेषेवर आवश्यक क्रमाने ठेवा. ते संपूर्ण अक्ष चार विभागांमध्ये विभाजित करतील.

३) मॉड्युलमधील अभिव्यक्तींची चिन्हे प्रत्येक परिणामी विभागांवर ठरवू. हे करण्यासाठी, आम्‍ही त्‍यांच्‍यामध्‍ये आम्‍हाला स्‍वारस्‍यच्‍या अंतरालमध्‍ये कोणतीही संख्‍या बदलतो. जर गणनेचा परिणाम सकारात्मक संख्या असेल तर आम्ही टेबलमध्ये “+” ठेवतो आणि जर संख्या ऋणात्मक असेल तर आपण “–” ठेवतो. हे असे चित्रित केले जाऊ शकते:

4) आता आपण सारणीमध्ये दर्शविलेल्या चिन्हांसह मॉड्यूल्स प्रकट करून, प्रत्येक चार मध्यांतरावरील समीकरण सोडवू. तर, पहिला अंतराल पाहू:

I मध्यांतर (-∞; -3). त्यावर, सर्व मॉड्यूल “–” चिन्हाने उघडले जातात. आम्हाला खालील समीकरण मिळते:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. चला समान संज्ञा सादर करू, प्रथम परिणामी समीकरणातील कंस उघडू:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

प्राप्त उत्तर विचारात घेतलेल्या मध्यांतरात समाविष्ट केलेले नाही, म्हणून ते अंतिम उत्तरात लिहिणे आवश्यक नाही.

II मध्यांतर [-3; -1). टेबलमध्ये या अंतराने “–”, “–”, “+” चिन्हे आहेत. आपण मूळ समीकरणाचे मॉड्यूल कसे उघडतो:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. चला कंस उघडून सोपे करूया:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. परिणामी समीकरणात सारखेच सादर करूया:

x = ६/५. परिणामी संख्या विचाराधीन अंतराशी संबंधित नाही, म्हणून ते मूळ समीकरणाचे मूळ नाही.

III मध्यांतर [-1; 2). आकृतीतील तिसऱ्या स्तंभात दिसणार्‍या चिन्हांसह आम्ही मूळ समीकरणाचे मॉड्यूल्स विस्तृत करतो. आम्हाला मिळते:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. चला कंस काढून टाकूया आणि x हे व्हेरिएबल असलेल्या संज्ञा समीकरणाच्या डाव्या बाजूला हलवू आणि ज्यामध्ये x नाही. अधिकार आहे:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

विचाराधीन अंतरामध्ये क्रमांक 2 समाविष्ट केलेला नाही.

IV मध्यांतर

सोप्या भाषेत, मॉड्यूलस म्हणजे "वजा नसलेली संख्या." आणि या द्वैततेमध्ये (काही ठिकाणी तुम्हाला मूळ संख्येसह काहीही करण्याची गरज नाही, परंतु काही ठिकाणी तुम्हाला एक प्रकारचा वजा काढावा लागेल) येथेच सुरुवातीच्या विद्यार्थ्यांसाठी संपूर्ण अडचण आहे.

भौमितिक व्याख्या देखील आहे. हे जाणून घेणे देखील उपयुक्त आहे, परंतु आम्ही फक्त जटिल आणि काही विशेष प्रकरणांमध्येच त्याकडे वळू, जेथे भूमितीय दृष्टिकोन बीजगणितापेक्षा अधिक सोयीस्कर आहे (स्पॉयलर: आज नाही).

व्याख्या. अंक रेषेवर $a$ बिंदू चिन्हांकित करू द्या. नंतर मॉड्यूल $\left| x-a \right|$ हे या रेषेवरील बिंदू $x$ पासून बिंदू $a$ पर्यंतचे अंतर आहे.

आपण चित्र काढल्यास, आपल्याला असे काहीतरी मिळेल:

ग्राफिकल मॉड्यूल व्याख्या

एक मार्ग किंवा दुसरा, मॉड्यूलच्या व्याख्येवरून त्याची मुख्य गुणधर्म त्वरित खालीलप्रमाणे आहे: संख्येचे मापांक हे नेहमी नॉन-ऋणात्मक प्रमाण असते. ही वस्तुस्थिती आज आपल्या संपूर्ण कथनात एक लाल धागा असेल.

असमानता सोडवणे. मध्यांतर पद्धत

आता असमानता पाहू. त्यापैकी बरेच आहेत, परंतु आमचे कार्य आता त्यापैकी कमीतकमी सोप्या सोडविण्यास सक्षम असणे आहे. जे रेखीय असमानता कमी करतात, तसेच मध्यांतर पद्धत.

माझ्याकडे या विषयावर दोन मोठे धडे आहेत (तसे, खूप, खूप उपयुक्त - मी त्यांचा अभ्यास करण्याची शिफारस करतो):

1. असमानतेसाठी मध्यांतर पद्धत (विशेषतः व्हिडिओ पहा);
2. फ्रॅक्शनल तर्कसंगत असमानता हा एक अतिशय विस्तृत धडा आहे, परंतु त्यानंतर तुम्हाला कोणतेही प्रश्न पडणार नाहीत.

जर तुम्हाला हे सर्व माहित असेल तर, "चला असमानतेपासून समीकरणाकडे वळू" या वाक्यांशामुळे तुम्हाला भिंतीवर आपटण्याची अस्पष्ट इच्छा होत नसेल, तर तुम्ही तयार आहात: धड्याच्या मुख्य विषयावर नरकात स्वागत आहे. :)

1. फॉर्मची असमानता "मॉड्युलस फंक्शनपेक्षा कमी आहे"

ही मॉड्यूल्समधील सर्वात सामान्य समस्यांपैकी एक आहे. फॉर्मची असमानता सोडवणे आवश्यक आहे:

\[\left| f\right| \ltg\]

फंक्शन्स $f$ आणि $g$ काहीही असू शकतात, परंतु सहसा ते बहुपदी असतात. अशा असमानतेची उदाहरणे:

\[\begin(संरेखित) आणि \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\शेवट(संरेखित)\]

खालील योजनेनुसार त्या सर्वांचे अक्षरशः एका ओळीत निराकरण केले जाऊ शकते:

\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(संरेखित) \योग्य.\योग्य)\]

हे पाहणे सोपे आहे की आपण मॉड्यूलपासून मुक्त होतो, परंतु त्या बदल्यात आपल्याला दुहेरी असमानता (किंवा, जी समान गोष्ट आहे, दोन असमानतेची प्रणाली) मिळते. परंतु हे संक्रमण पूर्णपणे सर्व संभाव्य समस्या विचारात घेते: जर मॉड्यूलस अंतर्गत संख्या सकारात्मक असेल तर पद्धत कार्य करते; नकारात्मक असल्यास, ते अद्याप कार्य करते; आणि $f$ किंवा $g$ च्या जागी सर्वात अपुरे फंक्शन असले तरीही, पद्धत कार्य करेल.

स्वाभाविकच, प्रश्न उद्भवतो: ते सोपे असू शकत नाही? दुर्दैवाने, ते शक्य नाही. हा मॉड्यूलचा संपूर्ण मुद्दा आहे.

तथापि, philosophizing सह पुरेशी. चला काही समस्या सोडवूया:

कार्य. असमानता सोडवा:

\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]

उपाय. तर, आमच्यासमोर “मॉड्युलस कमी आहे” या स्वरूपाची क्लासिक असमानता आहे - बदलण्यासाठी काहीही नाही. आम्ही अल्गोरिदमनुसार कार्य करतो:

\[\begin(संरेखित) आणि \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(संरेखित)\]

"वजा" च्या आधी असलेले कंस उघडण्यासाठी घाई करू नका: हे शक्य आहे की तुमच्या घाईमुळे तुम्ही आक्षेपार्ह चूक कराल.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(संरेखित) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \right.\]

समस्या दोन प्राथमिक असमानता कमी झाली. समांतर संख्या रेषांवर त्यांचे उपाय लक्षात घेऊया:

अनेकांचे छेदन

या संचांचे छेदन हे उत्तर असेल.

उत्तर: $x\in \left(-\frac(10)(3); 4 \right)$

कार्य. असमानता सोडवा:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

उपाय. हे काम थोडे अवघड आहे. प्रथम, दुसरी टर्म उजवीकडे हलवून मॉड्यूल वेगळे करू:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \उजवे)\]

अर्थात, आमच्याकडे पुन्हा “मॉड्यूल लहान आहे” या स्वरूपाची असमानता आहे, म्हणून आम्ही आधीच ज्ञात अल्गोरिदम वापरून मॉड्यूलपासून मुक्त होतो:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

आता लक्ष द्या: कोणी म्हणेल की या सर्व कंसांसह मी थोडा विकृत आहे. पण मी तुम्हाला पुन्हा एकदा आठवण करून देतो की आमचे मुख्य ध्येय आहे असमानता योग्यरित्या सोडवा आणि उत्तर मिळवा. नंतर, जेव्हा तुम्ही या धड्यात वर्णन केलेल्या प्रत्येक गोष्टीवर उत्तम प्रकारे प्रभुत्व मिळवता, तेव्हा तुम्ही तुमच्या इच्छेनुसार ते स्वतःच विकृत करू शकता: कंस उघडा, उणे जोडा इ.

सुरुवातीला, आम्ही फक्त डावीकडील दुहेरी वजापासून मुक्त होऊ:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\डावे(x+1 \उजवे)\]

आता दुहेरी असमानतेतील सर्व कंस उघडूया:

चला दुहेरी असमानतेकडे वळूया. यावेळी गणना अधिक गंभीर असेल:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( संरेखित)\उजवे.\]

दोन्ही असमानता चतुर्भुज आहेत आणि मध्यांतर पद्धतीद्वारे सोडवल्या जाऊ शकतात (म्हणूनच मी म्हणतो: हे काय आहे हे तुम्हाला माहिती नसल्यास, अद्याप मॉड्यूल न घेणे चांगले आहे). पहिल्या असमानतेच्या समीकरणाकडे वळूया:

\[\begin(संरेखित) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\शेवट(संरेखित)\]

तुम्ही बघू शकता, आउटपुट हे एक अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण आहे, जे प्राथमिक पद्धतीने सोडवले जाऊ शकते. आता व्यवस्थेची दुसरी असमानता पाहू. तेथे तुम्हाला व्हिएटाचे प्रमेय लागू करावे लागेल:

\[\begin(संरेखित) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\शेवट(संरेखित)\]

आम्ही परिणामी संख्या दोन समांतर रेषांवर चिन्हांकित करतो (पहिल्या असमानतेसाठी वेगळे आणि दुसऱ्यासाठी वेगळे):

पुन्हा, आम्ही असमानतेची प्रणाली सोडवत असल्याने, आम्हाला छायांकित संचांच्या छेदनबिंदूमध्ये रस आहे: $x\in \left(-5;-2 \right)$. हे उत्तर आहे.

उत्तर: $x\in \left(-5;-2 \right)$

मला वाटते की या उदाहरणांनंतर समाधान योजना अत्यंत स्पष्ट आहे:

1. इतर सर्व संज्ञा असमानतेच्या विरुद्ध बाजूला हलवून मॉड्यूल वेगळे करा. अशा प्रकारे आपल्याला $\left| फॉर्मची असमानता मिळते f\right| \ltg$.
2. वर वर्णन केलेल्या योजनेनुसार मॉड्यूलची सुटका करून ही असमानता सोडवा. काही क्षणी, दुहेरी असमानतेपासून दोन स्वतंत्र अभिव्यक्तींच्या प्रणालीकडे जाणे आवश्यक असेल, ज्यापैकी प्रत्येक आधीच स्वतंत्रपणे सोडवला जाऊ शकतो.
3. शेवटी, फक्त या दोन स्वतंत्र अभिव्यक्तींच्या समाधानांना छेदणे बाकी आहे - आणि इतकेच, आम्हाला अंतिम उत्तर मिळेल.

खालील प्रकारच्या असमानतेसाठी समान अल्गोरिदम अस्तित्वात आहे, जेव्हा मापांक फंक्शनपेक्षा मोठा असतो. तथापि, काही गंभीर "पण" आहेत. आपण आता या "पण" बद्दल बोलू.

2. फॉर्मची असमानता "मॉड्युलस कार्यापेक्षा मोठा आहे"

ते यासारखे दिसतात:

\[\left| f\right| \gtg\]

मागील एक समान? असे वाटते. आणि तरीही अशा समस्या पूर्णपणे वेगळ्या पद्धतीने सोडवल्या जातात. औपचारिकरित्या, योजना खालीलप्रमाणे आहे:

\[\left| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(संरेखित) \right.\]

दुसऱ्या शब्दांत, आम्ही दोन प्रकरणांचा विचार करतो:

1. प्रथम, आम्ही फक्त मॉड्यूलकडे दुर्लक्ष करतो आणि नेहमीच्या असमानतेचे निराकरण करतो;
2. नंतर, थोडक्यात, आम्ही वजा चिन्हाने मॉड्यूल विस्तृत करतो, आणि नंतर असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना −1 ने गुणाकार करतो, माझ्याकडे चिन्ह असताना.

या प्रकरणात, पर्याय चौरस ब्रॅकेटसह एकत्र केले जातात, म्हणजे. आमच्यासमोर दोन आवश्यकतांचे संयोजन आहे.

कृपया पुन्हा लक्षात घ्या: ही एक प्रणाली नाही, तर संपूर्णता आहे उत्तरामध्ये संच एकमेकांना छेदण्याऐवजी एकत्र केले जातात. मागील मुद्द्यापेक्षा हा मूलभूत फरक आहे!

सर्वसाधारणपणे, अनेक विद्यार्थी युनियन्स आणि छेदनबिंदूंमध्ये पूर्णपणे गोंधळलेले असतात, म्हणून या समस्येचे एकदा आणि सर्वांसाठी निराकरण करूया:

• "∪" हे संघाचे चिन्ह आहे. खरं तर, हे एक शैलीकृत अक्षर "यू" आहे, जे आमच्याकडे इंग्रजी भाषेतून आले आहे आणि "युनियन" चे संक्षिप्त रूप आहे, म्हणजे. "संघटना".
• "∩" हे छेदनबिंदू चिन्ह आहे. हे बकवास कोठूनही आलेले नाही, परंतु फक्त "∪" चे प्रतिरूप म्हणून दिसून आले.

हे लक्षात ठेवणे आणखी सोपे करण्यासाठी, चष्मा बनविण्यासाठी फक्त या चिन्हेकडे पाय काढा (फक्त आता माझ्यावर अंमली पदार्थांचे व्यसन आणि मद्यपानाचा प्रचार केल्याचा आरोप करू नका: जर तुम्ही या धड्याचा गांभीर्याने अभ्यास करत असाल, तर तुम्ही आधीच ड्रग व्यसनी आहात):

छेदनबिंदू आणि संचांचे एकत्रीकरण यातील फरक

रशियन भाषेत अनुवादित, याचा अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: युनियन (संपूर्णता) मध्ये दोन्ही संचांचे घटक समाविष्ट आहेत, म्हणून ते त्या प्रत्येकापेक्षा कमी नाही; परंतु छेदनबिंदू (सिस्टम) मध्ये फक्त ते घटक समाविष्ट आहेत जे पहिल्या सेटमध्ये आणि दुसऱ्या दोन्हीमध्ये एकाच वेळी असतात. म्हणून, संचांचे छेदनबिंदू स्त्रोत संचांपेक्षा कधीही मोठे नसते.

त्यामुळे ते स्पष्ट झाले? खूप छान. चला सरावाकडे वळूया.

कार्य. असमानता सोडवा:

\[\left| 3x+1 \right| \gt ५-४x\]

उपाय. आम्ही योजनेनुसार पुढे जाऊ:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \उजवे) \\\end(संरेखित) \ बरोबर.\]

आम्ही लोकसंख्येतील प्रत्येक असमानता सोडवतो:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(संरेखित) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(संरेखित) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(संरेखित) \right.\]

आम्ही प्रत्येक परिणामी संच क्रमांक रेषेवर चिन्हांकित करतो आणि नंतर त्यांना एकत्र करतो:

संचांचे संघटन

हे अगदी स्पष्ट आहे की उत्तर $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ असेल

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

कार्य. असमानता सोडवा:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

उपाय. बरं? काहीही नाही - सर्व काही समान आहे. आम्ही मॉड्यूलससह असमानतेपासून दोन असमानतेच्या संचाकडे जातो:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\शेवट(संरेखित) \योग्य.\]

आम्ही प्रत्येक असमानता सोडवतो. दुर्दैवाने, तेथील मुळे फार चांगली नसतील:

\[\begin(संरेखित) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\शेवट(संरेखित)\]

दुसरी असमानता देखील थोडी जंगली आहे:

\[\begin(संरेखित) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\शेवट(संरेखित)\]

आता तुम्हाला ही संख्या दोन अक्षांवर चिन्हांकित करणे आवश्यक आहे - प्रत्येक असमानतेसाठी एक अक्ष. तथापि, आपल्याला बिंदू योग्य क्रमाने चिन्हांकित करणे आवश्यक आहे: संख्या जितकी मोठी असेल तितका बिंदू उजवीकडे जाईल.

आणि इथे एक सेटअप आमची वाट पाहत आहे. जर सर्व काही $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहिल्या अंशातील संज्ञांसह स्पष्ट असेल तर अपूर्णांक हे दुसऱ्याच्या अंशातील संज्ञांपेक्षा कमी आहेत, त्यामुळे बेरीज देखील कमी आहे, संख्या $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ देखील कोणतीही अडचण येणार नाही (सकारात्मक संख्या स्पष्टपणे अधिक नकारात्मक), नंतर शेवटच्या जोडप्यासह सर्व काही इतके स्पष्ट नाही. कोणते मोठे आहे: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ किंवा $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेषांवर बिंदूंची नियुक्ती आणि खरेतर, उत्तर या प्रश्नाच्या उत्तरावर अवलंबून असेल.

तर तुलना करूया:

\[\begin(मॅट्रिक्स) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(मॅट्रिक्स)\]

आम्ही मूळ वेगळे केले, असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना नकारात्मक नसलेल्या संख्या मिळाल्या, म्हणून आम्हाला दोन्ही बाजूंना वर्ग करण्याचा अधिकार आहे:

\[\begin(मॅट्रिक्स) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(मॅट्रिक्स)\]

मला वाटते की $4\sqrt(13) \gt 3$, त्यामुळे $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, अक्षांवर अंतिम बिंदू असे ठेवले जातील:

कुरुप मुळे एक केस

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की आम्ही एक संच सोडवत आहोत, म्हणून उत्तर एक युनियन असेल, छायांकित सेटचे छेदनबिंदू नाही.

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

तुम्ही बघू शकता, आमची योजना साध्या आणि अतिशय कठीण अशा दोन्ही समस्यांसाठी उत्तम काम करते. या दृष्टिकोनातील एकमेव "कमकुवत मुद्दा" हा आहे की तुम्हाला अपरिमेय संख्यांची अचूक तुलना करणे आवश्यक आहे (आणि माझ्यावर विश्वास ठेवा: ही केवळ मुळे नाहीत). परंतु तुलनात्मक मुद्द्यांसाठी एक वेगळा (आणि अतिशय गंभीर) धडा दिला जाईल. आणि आम्ही पुढे जातो.

3. गैर-नकारात्मक "पुच्छ" सह असमानता

आता आपण सर्वात मनोरंजक भागाकडे जातो. या फॉर्मच्या असमानता आहेत:

\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]

सर्वसाधारणपणे, आपण आता ज्या अल्गोरिदमबद्दल बोलू ते फक्त मॉड्यूलसाठी योग्य आहे. हे सर्व असमानतेमध्ये कार्य करते जेथे डावीकडे आणि उजवीकडे गॅरंटीड नॉन-नकारात्मक अभिव्यक्ती आहेत:

या कामांचे काय करायचे? फक्त लक्षात ठेवा:

गैर-नकारात्मक "पुच्छ" असलेल्या असमानतेमध्ये, दोन्ही बाजू कोणत्याही नैसर्गिक शक्तीपर्यंत वाढवल्या जाऊ शकतात. कोणतेही अतिरिक्त निर्बंध नसतील.

सर्व प्रथम, आम्हाला स्क्वेअरिंगमध्ये स्वारस्य असेल - ते मॉड्यूल आणि मुळे बर्न करते:

\[\begin(संरेखित) आणि ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\शेवट(संरेखित)\]

चौरसाचे मूळ घेऊन हे गोंधळात टाकू नका:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

एक विद्यार्थी मॉड्यूल स्थापित करण्यास विसरला तेव्हा असंख्य चुका झाल्या! परंतु ही एक पूर्णपणे वेगळी कथा आहे (ही, असमंजस समीकरणे आहेत), म्हणून आम्ही आता यात जाणार नाही. चला काही समस्या चांगल्या प्रकारे सोडवूया:

कार्य. असमानता सोडवा:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \योग्य|\]

उपाय. चला लगेच दोन गोष्टी लक्षात घेऊया:

1. ही कठोर असमानता नाही. क्रमांक रेषेवरील बिंदू पंक्चर केले जातील.
2. असमानतेच्या दोन्ही बाजू स्पष्टपणे गैर-नकारात्मक आहेत (हा मॉड्यूलचा गुणधर्म आहे: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

म्हणून, आम्ही मॉड्यूलसपासून मुक्त होण्यासाठी असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना चौरस करू शकतो आणि नेहमीच्या मध्यांतर पद्धतीचा वापर करून समस्या सोडवू शकतो:

\[\begin(संरेखित) आणि ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\शेवट(संरेखित)\]

शेवटच्या टप्प्यावर, मी थोडी फसवणूक केली: मी मॉड्यूलच्या समानतेचा फायदा घेऊन संज्ञांचा क्रम बदलला (खरं तर, मी अभिव्यक्ती $1-2x$ −1 ने गुणाकार केली).

\[\begin(संरेखित) आणि ((\left(2x-1 \right))^(2))-(\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \\ उजवे)\उजवे)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

आम्ही मध्यांतर पद्धत वापरून निराकरण करतो. चला असमानतेकडून समीकरणाकडे जाऊया:

\[\begin(संरेखित) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\शेवट(संरेखित)\]

आम्ही संख्या रेषेवर सापडलेल्या मुळे चिन्हांकित करतो. पुन्हा एकदा: सर्व बिंदू छायांकित आहेत कारण मूळ असमानता कठोर नाही!

मॉड्यूलस चिन्हापासून मुक्त होणे

जे विशेषतः हट्टी आहेत त्यांच्यासाठी मी तुम्हाला आठवण करून देतो: आम्ही शेवटच्या असमानतेची चिन्हे घेतो, जी समीकरणाकडे जाण्यापूर्वी लिहिली होती. आणि आम्ही समान असमानतेमध्ये आवश्यक असलेल्या क्षेत्रांवर पेंट करतो. आमच्या बाबतीत ते $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ आहे.

ठीक आहे आता सर्व संपले आहे. समस्या सुटली आहे.

उत्तर: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

कार्य. असमानता सोडवा:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

उपाय. आम्ही सर्वकाही समान करतो. मी टिप्पणी करणार नाही - फक्त क्रियांचा क्रम पहा.

त्याचे चौरस करा:

\[\begin(संरेखित) आणि ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right)^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right)^(2))-(\left(((x)^(2))+3x+4 \\ उजवीकडे))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

मध्यांतर पद्धत:

\[\begin(संरेखित) आणि \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ राईटरो x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\शेवट(संरेखित)\]

संख्या रेषेवर फक्त एकच मूळ आहे:

उत्तर संपूर्ण मध्यांतर आहे

उत्तर: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

शेवटच्या कार्याबद्दल एक छोटी टीप. माझ्या एका विद्यार्थ्याने अचूकपणे नोंदवल्याप्रमाणे, या असमानतेतील दोन्ही सबमॉड्युलर अभिव्यक्ती स्पष्टपणे सकारात्मक आहेत, त्यामुळे आरोग्यास हानी न होता मापांक चिन्ह वगळले जाऊ शकते.

परंतु ही एक पूर्णपणे भिन्न विचारसरणी आणि भिन्न दृष्टीकोन आहे - याला सशर्त परिणामांची पद्धत म्हटले जाऊ शकते. त्याबद्दल - वेगळ्या धड्यात. आता आजच्या धड्याच्या शेवटच्या भागाकडे वळूया आणि नेहमी कार्य करणारे सार्वत्रिक अल्गोरिदम पाहू. जरी मागील सर्व दृष्टीकोन शक्तीहीन होते. :)

4. पर्यायांच्या गणनेची पद्धत

ही सर्व तंत्रे मदत करत नसतील तर? जर असमानता गैर-नकारात्मक शेपटीत कमी केली जाऊ शकत नाही, जर मॉड्यूल वेगळे करणे अशक्य असेल, जर सर्वसाधारणपणे वेदना, दुःख, उदासीनता असेल तर?

मग सर्व गणिताचा “भारी तोफखाना” दृश्यावर येतो—ब्रूट फोर्स पद्धत. मॉड्यूलससह असमानतेच्या संबंधात हे असे दिसते:

1. सर्व सबमॉड्युलर अभिव्यक्ती लिहा आणि त्यांना शून्यावर सेट करा;
2. परिणामी समीकरणे सोडवा आणि एका संख्या रेषेवर आढळलेल्या मुळे चिन्हांकित करा;
3. सरळ रेषा अनेक विभागांमध्ये विभागली जाईल, ज्यामध्ये प्रत्येक मॉड्यूलमध्ये एक निश्चित चिन्ह आहे आणि म्हणून ते अद्वितीयपणे प्रकट केले आहे;
4. अशा प्रत्येक विभागावरील असमानता सोडवा (विश्वासार्हतेसाठी आपण चरण 2 मध्ये प्राप्त केलेल्या मुळे-सीमांचा स्वतंत्रपणे विचार करू शकता). परिणाम एकत्र करा - हे उत्तर असेल. :)

हे कसे? कमकुवत? सहज! फक्त बराच काळ. चला सराव मध्ये पाहू:

कार्य. असमानता सोडवा:

\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

उपाय. हे बकवास $\left| सारख्या असमानतेवर उकळत नाही f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ किंवा $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, म्हणून आम्ही पुढे कार्य करतो.

आम्ही सबमॉड्युलर अभिव्यक्ती लिहितो, त्यांना शून्याशी समतुल्य करतो आणि मुळे शोधतो:

\[\begin(संरेखित) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\शेवट(संरेखित)\]

एकूण, आमच्याकडे दोन मुळे आहेत जी संख्या रेषेला तीन विभागांमध्ये विभाजित करतात, ज्यामध्ये प्रत्येक मॉड्यूल अद्वितीयपणे प्रकट होतो:

सबमॉड्युलर फंक्शन्सच्या शून्यानुसार संख्या रेषेचे विभाजन करणे

चला प्रत्येक विभाग स्वतंत्रपणे पाहू.

1. चला $x \lt -2$. नंतर दोन्ही सबमॉड्युलर अभिव्यक्ती नकारात्मक आहेत आणि मूळ असमानता खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिली जाईल:

\[\begin(संरेखित) आणि -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(संरेखित)\]

आम्हाला बर्‍यापैकी साधी मर्यादा मिळाली. चला याला $x \lt -2$ या प्रारंभिक गृहीतकाने छेदू या:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(संरेखित) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

अर्थात, $x$ व्हेरिएबल एकाच वेळी −2 पेक्षा कमी आणि 1.5 पेक्षा जास्त असू शकत नाही. या क्षेत्रात कोणतेही उपाय नाहीत.

१.१. बॉर्डरलाइन केसचा स्वतंत्रपणे विचार करूया: $x=-2$. चला ही संख्या मूळ असमानतेमध्ये बदलू आणि तपासा: ते खरे आहे का?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\उजवे|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\शेवट(संरेखित)\]

गणनेच्या साखळीमुळे आपण चुकीच्या असमानतेकडे नेले आहे हे उघड आहे. म्हणून, मूळ असमानता देखील खोटी आहे, आणि $x=-2$ उत्तरामध्ये समाविष्ट नाही.

2. चला आता $-2 \lt x \lt 1$. डावे मॉड्यूल आधीपासूनच “प्लस” ने उघडेल, परंतु उजवे मॉड्यूल अजूनही “वजा” ने उघडेल. आमच्याकडे आहे:

\[\begin(संरेखित) आणि x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - २.५ \\\शेवट(संरेखित)\]

पुन्हा आम्ही मूळ गरजेला छेदतो:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

आणि पुन्हा, सोल्यूशनचा संच रिकामा आहे, कारण −2.5 पेक्षा कमी आणि −2 पेक्षा जास्त अशा कोणत्याही संख्या नाहीत.

२.१. आणि पुन्हा एक विशेष केस: $x=1$. आम्ही मूळ असमानतेमध्ये बदलतो:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\उजवे| \lt \left| 0\उजवे|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\शेवट(संरेखित)\]

मागील "विशेष केस" प्रमाणेच, $x=1$ ही संख्या स्पष्टपणे उत्तरामध्ये समाविष्ट केलेली नाही.

3. ओळीचा शेवटचा भाग: $x \gt 1$. येथे सर्व मॉड्यूल अधिक चिन्हासह उघडले आहेत:

\[\begin(संरेखित) आणि x+2 \\ x-1+x-1.5 \\ & x+2 \\ x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(संरेखित)\ ]

आणि पुन्हा आम्ही मूळ निर्बंधासह सापडलेल्या संचाला छेदतो:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(संरेखित) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

शेवटी! आम्हाला एक मध्यांतर सापडले आहे जे उत्तर असेल.

उत्तर: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

शेवटी, एक टिप्पणी जी तुम्हाला वास्तविक समस्या सोडवताना मूर्ख चुकांपासून वाचवू शकते:

मोड्युलीसह असमानतेचे निराकरण सामान्यत: संख्या रेषेवर सतत सेट दर्शवितात - मध्यांतर आणि खंड. विलग बिंदू खूपच कमी सामान्य आहेत. आणि अगदी कमी वेळा, असे घडते की सोल्यूशनची सीमा (सेगमेंटचा शेवट) विचाराधीन श्रेणीच्या सीमेशी एकरूप होतो.

परिणामी, सीमा (समान "विशेष प्रकरणे") उत्तरामध्ये समाविष्ट न केल्यास, या सीमांच्या डावीकडे आणि उजवीकडील क्षेत्रे जवळजवळ निश्चितपणे उत्तरामध्ये समाविष्ट केली जाणार नाहीत. आणि त्याउलट: उत्तरामध्ये सीमा प्रविष्ट केली आहे, याचा अर्थ असा आहे की त्याच्या सभोवतालचे काही क्षेत्र देखील उत्तरे असतील.

तुमच्या उपायांचे पुनरावलोकन करताना हे लक्षात ठेवा.

असमानता उपायमोडमध्ये ऑनलाइन उपायजवळजवळ कोणतीही दिलेली असमानता ऑनलाइन. गणिती असमानता ऑनलाइनगणित सोडवण्यासाठी. पटकन शोधा असमानता उपायमोडमध्ये ऑनलाइन. www.site ही वेबसाइट तुम्हाला शोधण्याची परवानगी देते उपायजवळजवळ कोणतीही दिलेली बीजगणित, त्रिकोणमितीयकिंवा अतींद्रिय असमानता ऑनलाइन. गणिताच्या जवळपास कोणत्याही शाखेचा वेगवेगळ्या टप्प्यांवर अभ्यास करताना तुम्हाला निर्णय घ्यावा लागतो असमानता ऑनलाइन. ताबडतोब उत्तर मिळविण्यासाठी आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे अचूक उत्तर मिळविण्यासाठी, तुम्हाला हे करण्याची परवानगी देणारे संसाधन आवश्यक आहे. साइट www.site धन्यवाद असमानता ऑनलाइन सोडवाकाही मिनिटे लागतील. गणित सोडवताना www.site चा मुख्य फायदा असमानता ऑनलाइन- ही प्रदान केलेल्या प्रतिसादाची गती आणि अचूकता आहे. साइट कोणत्याही निराकरण करण्यास सक्षम आहे बीजगणितीय असमानता ऑनलाइन, त्रिकोणमितीय असमानता ऑनलाइन, अतींद्रिय असमानता ऑनलाइन, आणि असमानतामोडमध्ये अज्ञात पॅरामीटर्ससह ऑनलाइन. असमानताएक शक्तिशाली गणितीय उपकरण म्हणून काम करा उपायव्यावहारिक समस्या. च्या मदतीने गणितीय असमानतापहिल्या दृष्टीक्षेपात गोंधळात टाकणारी आणि गुंतागुंतीची वाटणारी तथ्ये आणि संबंध व्यक्त करणे शक्य आहे. अज्ञात प्रमाण असमानतामध्ये समस्या तयार करून शोधली जाऊ शकते गणितीयफॉर्ममध्ये भाषा असमानताआणि ठरवामोडमध्ये कार्य प्राप्त झाले ऑनलाइनवेबसाइट www.site वर. कोणतीही बीजगणितीय असमानता, त्रिकोणमितीय असमानताकिंवा असमानतासमाविष्टीत अतींद्रियवैशिष्ट्ये आपण सहजपणे करू शकता ठरवाऑनलाइन आणि अचूक उत्तर मिळवा. नैसर्गिक विज्ञानाचा अभ्यास करताना, आपल्याला अपरिहार्यपणे गरज भासते असमानतेचे उपाय. या प्रकरणात, उत्तर अचूक असणे आवश्यक आहे आणि मोडमध्ये त्वरित प्राप्त करणे आवश्यक आहे ऑनलाइन. म्हणून साठी गणितीय असमानता ऑनलाइन सोडवाआम्ही www.site साइटची शिफारस करतो, जी तुमचा अपरिहार्य कॅल्क्युलेटर बनेल बीजगणितीय असमानता ऑनलाइन सोडवणे, त्रिकोणमितीय असमानता ऑनलाइन, आणि अतींद्रिय असमानता ऑनलाइनकिंवा असमानताअज्ञात पॅरामीटर्ससह. विविध ऑनलाइन उपाय शोधण्याच्या व्यावहारिक समस्यांसाठी गणितीय असमानतासंसाधन www.. सोडवणे असमानता ऑनलाइनस्वतः, वापरून प्राप्त उत्तर तपासणे उपयुक्त आहे असमानतेचे ऑनलाइन समाधानवेबसाइट www.site वर. आपण असमानता योग्यरित्या लिहिणे आवश्यक आहे आणि त्वरित मिळवा ऑनलाइन उपाय, ज्यानंतर उरते ते असमानतेच्या तुमच्या समाधानाशी उत्तराची तुलना करणे. उत्तर तपासण्यासाठी एका मिनिटापेक्षा जास्त वेळ लागणार नाही, ते पुरेसे आहे असमानता ऑनलाइन सोडवाआणि उत्तरांची तुलना करा. हे आपल्याला मध्ये चुका टाळण्यास मदत करेल निर्णयआणि वेळेत उत्तर दुरुस्त करा असमानता ऑनलाइन सोडवणेएकतर बीजगणित, त्रिकोणमितीय, अतींद्रियकिंवा असमानताअज्ञात पॅरामीटर्ससह.