Punca kuasa dua bagi suatu nombor. Punca kuasa dua

Fakta 1.
\(\bullet\) Ambil beberapa nombor bukan negatif \(a\) (iaitu \(a\geqslant 0\) ). Kemudian (aritmetik) punca kuasa dua daripada nombor \(a\) nombor bukan negatif sedemikian \(b\) dipanggil, apabila menduakannya kita mendapat nombor \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama seperti )\quad a=b^2\] Ia mengikuti daripada definisi bahawa \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Sekatan ini adalah syarat penting untuk kewujudan punca kuasa dua Dan mereka harus diingat!
Ingat bahawa sebarang nombor apabila kuasa dua memberikan hasil bukan negatif. Iaitu, \(100^2=10000\geqslant 0\) dan \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Apakah \(\sqrt(25)\) ? Kita tahu bahawa \(5^2=25\) dan \((-5)^2=25\) . Oleh kerana mengikut takrifan kita perlu mencari nombor bukan negatif, \(-5\) tidak sesuai, maka \(\sqrt(25)=5\) (sejak \(25=5^2\) ).
Mencari nilai \(\sqrt a\) dipanggil mengambil punca kuasa dua nombor \(a\) , dan nombor \(a\) dipanggil ungkapan akar.
\(\bullet\) Berdasarkan takrifan, ungkapan \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , dsb. tak masuk akal.

Fakta 2.
Untuk pengiraan pantas, adalah berguna untuk mempelajari jadual kuasa dua nombor asli daripada \(1\) hingga \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Apakah yang boleh dilakukan dengan punca kuasa dua?
\(\peluru\) Jumlah atau perbezaan punca kuasa dua TIDAK SAMA dengan punca kuasa dua jumlah atau perbezaan, i.e. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Oleh itu, jika anda perlu mengira, sebagai contoh, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , maka pada mulanya anda mesti mencari nilai \(\sqrt(25)\) dan \(\sqrt (49)\ ) dan kemudian tambahkannya. Oleh itu, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jika nilai \(\sqrt a\) atau \(\sqrt b\) tidak ditemui semasa menambah \(\sqrt a+\sqrt b\), maka ungkapan sedemikian tidak akan ditukar dan kekal seperti sedia ada. Sebagai contoh, dalam jumlah \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kita boleh mencari \(\sqrt(49)\) - ini \(7\) , tetapi \(\sqrt 2\) tidak boleh ditukar dalam apa cara sekalipun, Itulah sebabnya \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Selanjutnya, ungkapan ini, malangnya, tidak boleh dipermudahkan dalam apa cara sekalipun.\(\bullet\) Hasil darab/bilangan bagi punca kuasa dua adalah sama dengan punca kuasa dua hasil darab/bilangan, i.e. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (dengan syarat kedua-dua bahagian persamaan itu masuk akal)
Contoh: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Menggunakan sifat ini, adalah mudah untuk mencari punca kuasa dua nombor besar dengan memfaktorkannya.
Pertimbangkan satu contoh. Cari \(\sqrt(44100)\) . Oleh kerana \(44100:100=441\) , maka \(44100=100\cdot 441\) . Mengikut kriteria kebolehbahagi, nombor \(441\) boleh dibahagi dengan \(9\) (kerana hasil tambah digitnya ialah 9 dan boleh dibahagi dengan 9), oleh itu, \(441:9=49\) , iaitu \(441=9\ cdot 49\) .
Oleh itu, kami mendapat: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Mari lihat contoh lain: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mari tunjukkan cara memasukkan nombor di bawah tanda punca kuasa dua menggunakan contoh ungkapan \(5\sqrt2\) (singkatan untuk ungkapan \(5\cdot \sqrt2\) ). Oleh kerana \(5=\sqrt(25)\) , maka \ Perhatikan juga bahawa, sebagai contoh,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Kenapa begitu? Mari kita jelaskan dengan contoh 1). Seperti yang anda sudah faham, kami tidak boleh menukar nombor \(\sqrt2\) . Bayangkan bahawa \(\sqrt2\) ialah beberapa nombor \(a\) . Sehubungan itu, ungkapan \(\sqrt2+3\sqrt2\) hanyalah \(a+3a\) (satu nombor \(a\) ditambah tiga lagi nombor yang sama \(a\) ). Dan kita tahu bahawa ini adalah sama dengan empat nombor sedemikian \(a\) , iaitu, \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Selalunya dikatakan "tidak boleh mengekstrak akar" apabila tidak mungkin untuk menghilangkan tanda \(\sqrt () \ \) punca (radikal) apabila mencari nilai beberapa nombor. Sebagai contoh, anda boleh mengakar nombor \(16\) kerana \(16=4^2\) , jadi \(\sqrt(16)=4\) . Tetapi untuk mengekstrak punca daripada nombor \(3\) , iaitu, untuk mencari \(\sqrt3\) , adalah mustahil, kerana tidak ada nombor sedemikian yang kuasa dua akan memberikan \(3\) .
Nombor sedemikian (atau ungkapan dengan nombor sedemikian) adalah tidak rasional. Contohnya, nombor \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) dan sebagainya. adalah tidak rasional.
Juga tidak rasional ialah nombor \(\pi\) (nombor "pi", lebih kurang sama dengan \(3,14\) ), \(e\) (nombor ini dipanggil nombor Euler, lebih kurang sama dengan \(2 ,7\) ) dsb.
\(\bullet\) Sila ambil perhatian bahawa sebarang nombor adalah sama ada rasional atau tidak rasional. Dan bersama-sama semua nombor rasional dan semua nombor tak rasional membentuk satu set yang dipanggil set nombor nyata (nyata). Set ini dilambangkan dengan huruf \(\mathbb(R)\) .
Ini bermakna bahawa semua nombor yang masa ini kita tahu dipanggil nombor nyata.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus nombor nyata \(a\) ialah nombor bukan negatif \(|a|\) sama dengan jarak dari titik \(a\) ke \(0\) pada nyata barisan. Sebagai contoh, \(|3|\) dan \(|-3|\) adalah sama dengan 3, kerana jarak dari titik \(3\) dan \(-3\) ke \(0\) ialah sama dan sama dengan \(3 \) .
\(\bullet\) Jika \(a\) ialah nombor bukan negatif, maka \(|a|=a\) .
Contoh: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jika \(a\) ialah nombor negatif, maka \(|a|=-a\) .
Contoh: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mereka mengatakan bahawa untuk nombor negatif, modul "makan" tolak, dan nombor positif, serta nombor \(0\) , modul tidak berubah.
TAPI peraturan ini hanya terpakai kepada nombor. Jika anda mempunyai \(x\) yang tidak diketahui (atau yang lain tidak diketahui) di bawah tanda modul, contohnya, \(|x|\) , yang kami tidak tahu sama ada ia positif, sama dengan sifar atau negatif, maka buang modul yang kita tidak boleh. Dalam kes ini, ungkapan ini kekal: \(|x|\) . \(\bullet\) Formula berikut dipegang: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(disediakan ) a\geqslant 0\] Kesilapan berikut sering dilakukan: mereka mengatakan bahawa \(\sqrt(a^2)\) dan \((\sqrt a)^2\) adalah perkara yang sama. Ini hanya benar jika \(a\) - nombor positif atau sifar. Tetapi jika \(a\) ialah nombor negatif, maka ini tidak benar. Cukuplah untuk mempertimbangkan contoh sedemikian. Mari kita ambil nombor \(-1\) bukannya \(a\). Kemudian \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , tetapi ungkapan \((\sqrt (-1))^2\) tidak wujud sama sekali (kerana ia adalah mustahil di bawah tanda akar masukkan nombor negatif!).
Oleh itu, kami menarik perhatian anda kepada fakta bahawa \(\sqrt(a^2)\) tidak sama dengan \((\sqrt a)^2\) ! Contoh: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), kerana \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Sejak \(\sqrt(a^2)=|a|\) , maka \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ungkapan \(2n\) menandakan nombor genap)
Iaitu, apabila mengekstrak akar daripada nombor yang berada dalam beberapa darjah, darjah ini dibelah dua.
Contoh:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (perhatikan bahawa jika modul tidak ditetapkan, maka ternyata punca nombor adalah sama dengan \(-25 \); tetapi kita ingat , yang, mengikut definisi akar, ini tidak boleh: apabila mengekstrak akar, kita harus sentiasa mendapat nombor positif atau sifar)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (kerana sebarang nombor kepada kuasa genap adalah bukan negatif)

Fakta 6.
Bagaimana untuk membandingkan dua punca kuasa dua?
\(\bullet\) Benar untuk punca kuasa dua: jika \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aContoh:
1) bandingkan \(\sqrt(50)\) dan \(6\sqrt2\) . Pertama, kita mengubah ungkapan kedua menjadi \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Oleh itu, sejak \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Antara integer yang manakah \(\sqrt(50)\) ?
Oleh kerana \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dan \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Bandingkan \(\sqrt 2-1\) dan \(0,5\) . Katakan \(\sqrt2-1>0.5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((tambah satu pada kedua-dua belah))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((persegi kedua-dua bahagian))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(diselaraskan)\] Kami melihat bahawa kami telah memperoleh ketidaksamaan yang tidak betul. Oleh itu, andaian kami adalah salah dan \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Ambil perhatian bahawa menambah nombor tertentu pada kedua-dua belah ketaksamaan tidak menjejaskan tandanya. Mendarab/membahagikan kedua-dua bahagian ketaksamaan dengan nombor positif juga tidak menjejaskan tandanya, tetapi mendarab/membahagi dengan nombor negatif membalikkan tanda ketaksamaan!
Kedua-dua belah persamaan/ketaksamaan boleh diduakan HANYA JIKA kedua-dua belah bukan negatif. Sebagai contoh, dalam ketaksamaan daripada contoh sebelumnya, anda boleh kuasa dua dua belah, dalam ketaksamaan \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Ambil perhatian bahawa \[\bermula(diselaraskan) &\sqrt 2\lebih kurang 1,4\\ &\sqrt 3\lebih kurang 1,7 \hujung(diselaraskan)\] Mengetahui maksud anggaran nombor ini akan membantu anda semasa membandingkan nombor! \(\bullet\) Untuk mengekstrak akar (jika ia diekstrak) daripada beberapa bilangan besar yang tidak terdapat dalam jadual petak, anda mesti terlebih dahulu menentukan antara "ratusan" itu, kemudian antara "puluhan" yang mana. dan kemudian tentukan digit terakhir nombor ini. Mari tunjukkan cara ia berfungsi dengan contoh.
Ambil \(\sqrt(28224)\) . Kita tahu bahawa \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) dan seterusnya. Ambil perhatian bahawa \(28224\) adalah antara \(10\,000\) dan \(40\,000\) . Oleh itu, \(\sqrt(28224)\) adalah antara \(100\) dan \(200\) .
Sekarang mari kita tentukan antara "puluhan" nombor kita (iaitu, sebagai contoh, antara \(120\) dan \(130\) ). Kita juga tahu daripada jadual segi empat sama bahawa \(11^2=121\) , \(12^2=144\) dsb., kemudian \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Jadi kita lihat bahawa \(28224\) adalah antara \(160^2\) dan \(170^2\) . Oleh itu, nombor \(\sqrt(28224)\) adalah antara \(160\) dan \(170\) .
Mari cuba tentukan digit terakhir. Mari kita ingat apakah nombor satu digit apabila menduakan pada akhir \ (4 \) ? Ini ialah \(2^2\) dan \(8^2\) . Oleh itu, \(\sqrt(28224)\) akan berakhir sama ada 2 atau 8. Mari semak ini. Cari \(162^2\) dan \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Oleh itu \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Untuk menyelesaikan peperiksaan dalam matematik dengan secukupnya, pertama sekali, adalah perlu untuk mengkaji bahan teori, yang memperkenalkan banyak teorem, formula, algoritma, dll. Pada pandangan pertama, ia mungkin kelihatan bahawa ini agak mudah. Walau bagaimanapun, mencari sumber di mana teori Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dibentangkan dengan mudah dan difahami untuk pelajar yang mempunyai apa-apa peringkat latihan, sebenarnya, tugas yang agak sukar. Buku teks sekolah tidak boleh sentiasa disimpan di tangan. Dan mencari formula asas untuk peperiksaan dalam matematik boleh menjadi sukar walaupun di Internet.

Mengapa begitu penting untuk belajar teori dalam matematik, bukan sahaja untuk mereka yang mengambil peperiksaan?

1. Kerana ia meluaskan ufuk anda. Kajian bahan teori dalam matematik berguna untuk sesiapa sahaja yang ingin mendapatkan jawapan kepada pelbagai soalan yang berkaitan dengan pengetahuan dunia. Segala-galanya di alam tersusun dan mempunyai logik yang jelas. Inilah yang tercermin dalam sains, yang melaluinya adalah mungkin untuk memahami dunia.
2. Kerana ia mengembangkan intelek. Mempelajari bahan rujukan untuk peperiksaan dalam matematik, serta menyelesaikan pelbagai masalah, seseorang belajar berfikir dan menaakul secara logik, untuk merumuskan pemikiran dengan betul dan jelas. Dia mengembangkan keupayaan untuk menganalisis, membuat generalisasi, membuat kesimpulan.

Kami menjemput anda untuk menilai secara peribadi semua kelebihan pendekatan kami terhadap sistematisasi dan pembentangan bahan pendidikan.

Sebelum kemunculan kalkulator, pelajar dan guru mengira punca kuasa dua dengan tangan. Terdapat beberapa cara untuk mengira punca kuasa dua nombor secara manual. Sesetengah daripada mereka hanya menawarkan penyelesaian anggaran, yang lain memberikan jawapan yang tepat.

Langkah-langkah

Pemfaktoran perdana

Faktorkan nombor punca kepada faktor yang merupakan nombor kuasa dua. Bergantung pada nombor akar, anda akan mendapat jawapan anggaran atau tepat. Nombor kuasa dua ialah nombor dari mana keseluruhan punca kuasa dua boleh diambil. Faktor ialah nombor yang, apabila didarab, memberikan nombor asal. Sebagai contoh, faktor nombor 8 ialah 2 dan 4, kerana 2 x 4 = 8, nombor 25, 36, 49 ialah nombor kuasa dua, kerana √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Faktor kuasa dua ialah faktor , iaitu nombor kuasa dua. Mula-mula, cuba faktorkan nombor punca kepada faktor kuasa dua.

• Sebagai contoh, hitung punca kuasa dua bagi 400 (secara manual). Mula-mula cuba pemfaktoran 400 ke dalam faktor kuasa dua. 400 ialah gandaan 100, iaitu, boleh dibahagi dengan 25 - ini ialah nombor kuasa dua. Membahagi 400 dengan 25 memberi anda 16. Nombor 16 juga merupakan nombor segi empat sama. Oleh itu, 400 boleh difaktorkan ke dalam faktor kuasa dua bagi 25 dan 16, iaitu, 25 x 16 = 400.
• Ini boleh ditulis seperti berikut: √400 = √(25 x 16).

1. Punca kuasa dua hasil darab beberapa sebutan adalah sama dengan hasil darab punca kuasa dua bagi setiap sebutan, iaitu √(a x b) = √a x √b. Gunakan peraturan ini dan ambil punca kuasa dua bagi setiap faktor kuasa dua dan darabkan hasilnya untuk mencari jawapannya.

   • Dalam contoh kami, ambil punca kuasa dua bagi 25 dan 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jika nombor radikal tidak memfaktorkan dua faktor kuasa dua (dan ia berlaku dalam kebanyakan kes), anda tidak akan dapat mencari jawapan yang tepat sebagai integer. Tetapi anda boleh memudahkan masalah dengan menguraikan nombor punca kepada faktor kuasa dua dan faktor biasa (nombor yang tidak boleh diambil keseluruhan punca kuasa dua). Kemudian anda akan mengambil punca kuasa dua faktor kuasa dua dan anda akan mengambil punca faktor biasa.

   • Sebagai contoh, hitung punca kuasa dua nombor 147. Nombor 147 tidak boleh difaktorkan kepada dua faktor kuasa dua, tetapi ia boleh difaktorkan ke dalam faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan masalah seperti berikut:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jika perlu, nilaikan nilai akar. Kini anda boleh menilai nilai punca (cari nilai anggaran) dengan membandingkannya dengan nilai punca nombor kuasa dua yang paling hampir (di kedua-dua belah garis nombor) dengan nombor punca. Anda akan mendapat nilai punca sebagai pecahan perpuluhan, yang mesti didarab dengan nombor di belakang tanda akar.

   • Mari kita kembali kepada contoh kita. Nombor punca ialah 3. Nombor kuasa dua yang paling hampir dengannya ialah nombor 1 (√1 = 1) dan 4 (√4 = 2). Oleh itu, nilai √3 terletak di antara 1 dan 2. Oleh kerana nilai √3 mungkin lebih hampir kepada 2 daripada 1, anggaran kami ialah: √3 = 1.7. Kami mendarabkan nilai ini dengan nombor pada tanda akar: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Jika anda melakukan pengiraan pada kalkulator, anda mendapat 12.13, yang hampir sama dengan jawapan kami.
     • Kaedah ini juga berfungsi dengan bilangan yang besar. Sebagai contoh, pertimbangkan √35. Nombor punca ialah 35. Nombor kuasa dua yang paling hampir dengannya ialah nombor 25 (√25 = 5) dan 36 (√36 = 6). Oleh itu, nilai √35 terletak di antara 5 dan 6. Oleh kerana nilai √35 adalah lebih hampir kepada 6 daripada 5 (kerana 35 hanya 1 kurang daripada 36), kita boleh menyatakan bahawa √35 adalah kurang sedikit daripada 6. Menyemak dengan kalkulator memberikan kita jawapan 5.92 - kami betul.

4. Cara lain ialah menguraikan nombor punca kepada faktor perdana. Faktor perdana ialah nombor yang hanya boleh dibahagi dengan 1 dan sendiri. Tulis faktor perdana dalam satu baris dan cari pasangan faktor yang sama. Faktor sedemikian boleh diambil dari tanda akar.

   • Sebagai contoh, hitung punca kuasa dua 45. Kami menguraikan nombor punca menjadi faktor perdana: 45 \u003d 9 x 5, dan 9 \u003d 3 x 3. Oleh itu, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 boleh diambil daripada tanda akar: √45 = 3√5. Sekarang kita boleh menganggarkan √5.
   • Pertimbangkan contoh lain: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Anda mendapat tiga pengganda 2; ambil beberapa daripadanya dan keluarkan dari tanda akarnya.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sekarang kita boleh menilai √2 dan √11 dan mencari jawapan anggaran.

   Mengira punca kuasa dua secara manual

   Menggunakan pembahagian lajur

   1. Kaedah ini melibatkan proses yang serupa dengan pembahagian panjang dan memberikan jawapan yang tepat. Mula-mula, lukis garis menegak yang membahagikan helaian kepada dua bahagian, dan kemudian lukis garis mendatar ke kanan dan sedikit di bawah tepi atas helaian ke garis menegak. Sekarang bahagikan nombor punca kepada pasangan nombor, bermula dengan bahagian pecahan selepas titik perpuluhan. Jadi, nombor 79520789182.47897 ditulis sebagai "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Sebagai contoh, mari kita mengira punca kuasa dua nombor 780.14. Lukis dua garisan (seperti yang ditunjukkan dalam gambar) dan tulis nombor di kiri atas sebagai "7 80, 14". Ia adalah perkara biasa bahawa digit pertama dari kiri ialah digit tidak berpasangan. Jawapan (akar nombor yang diberikan) akan ditulis di bahagian atas sebelah kanan.

   2. Diberi pasangan nombor pertama (atau satu nombor) dari kiri, cari integer terbesar n yang kuasa duanya kurang daripada atau sama dengan pasangan nombor (atau satu nombor) yang dipersoalkan. Dalam erti kata lain, cari nombor kuasa dua yang paling hampir dengan, tetapi kurang daripada, pasangan nombor pertama (atau nombor tunggal) dari kiri, dan ambil punca kuasa dua nombor kuasa dua itu; anda akan mendapat nombor n. Tulis n yang ditemui di bahagian atas sebelah kanan, dan tuliskan n segi empat sama di bahagian bawah sebelah kanan.

      • Dalam kes kami, nombor pertama di sebelah kiri ialah nombor 7. Seterusnya, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Kurangkan kuasa dua nombor n yang baru anda temui daripada pasangan nombor pertama (atau satu nombor) dari sebelah kiri. Tulis hasil pengiraan di bawah subtrahend (persegi bagi nombor n).

      • Dalam contoh kami, tolak 4 daripada 7 untuk mendapatkan 3.

   4. Catat pasangan nombor kedua dan tuliskannya di sebelah nilai yang diperoleh dalam langkah sebelumnya. Kemudian gandakan nombor di bahagian atas sebelah kanan dan tulis hasilnya di bahagian bawah sebelah kanan dengan "_×_=" dilampirkan.

      • Dalam contoh kami, pasangan nombor kedua ialah "80". Tulis "80" selepas 3. Kemudian, menggandakan nombor dari bahagian atas sebelah kanan memberikan 4. Tulis "4_×_=" dari bahagian bawah sebelah kanan.

   5. Isikan tempat kosong di sebelah kanan.

      • Dalam kes kita, jika bukannya sengkang kita meletakkan nombor 8, maka 48 x 8 \u003d 384, iaitu lebih daripada 380. Oleh itu, 8 adalah nombor yang terlalu besar, tetapi 7 adalah baik. Tulis 7 bukannya sengkang dan dapatkan: 47 x 7 \u003d 329. Tulis 7 dari bahagian atas sebelah kanan - ini adalah digit kedua dalam punca kuasa dua yang dikehendaki bagi nombor 780.14.

   6. Tolak nombor yang terhasil daripada nombor semasa di sebelah kiri. Tulis keputusan daripada langkah sebelumnya di bawah nombor semasa di sebelah kiri, cari perbezaan dan tulis di bawah nombor yang ditolak.

      • Dalam contoh kami, tolak 329 daripada 380, yang sama dengan 51.

   7. Ulang langkah 4. Jika pasangan nombor yang dirobohkan ialah bahagian pecahan nombor asal, maka letakkan pemisah (koma) bahagian integer dan pecahan dalam punca kuasa dua yang dikehendaki dari bahagian atas sebelah kanan. Di sebelah kiri, bawa pasangan nombor seterusnya ke bawah. Gandakan nombor di bahagian atas sebelah kanan dan tulis hasilnya di bahagian bawah sebelah kanan dengan "_×_=" dilampirkan.

      • Dalam contoh kami, pasangan nombor seterusnya yang akan dirobohkan ialah bahagian pecahan nombor 780.14, jadi letakkan pemisah bahagian integer dan pecahan dalam punca kuasa dua yang dikehendaki dari bahagian atas sebelah kanan. Runtuhkan 14 dan tulis di sebelah kiri bawah. Gandakan bahagian atas sebelah kanan (27) ialah 54, jadi tulis "54_×_=" di bahagian bawah sebelah kanan.

   8. Ulang langkah 5 dan 6. Cari nombor terbesar sebagai ganti tanda sempang di sebelah kanan (bukan sempang anda perlu menggantikan nombor yang sama) supaya hasil darab kurang daripada atau sama dengan nombor semasa di sebelah kiri.

      • Dalam contoh kami, 549 x 9 = 4941, iaitu kurang daripada nombor semasa di sebelah kiri (5114). Tulis 9 di sebelah kanan atas dan tolak hasil darab daripada nombor semasa di sebelah kiri: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jika anda perlu mencari lebih banyak tempat perpuluhan untuk punca kuasa dua, tulis sepasang sifar di sebelah nombor semasa di sebelah kiri dan ulangi langkah 4, 5 dan 6. Ulang langkah sehingga anda mendapat ketepatan jawapan yang anda perlukan (bilangan tempat perpuluhan).

   Memahami proses

   Untuk menguasai kaedah ini, bayangkan nombor yang punca kuasa duanya anda perlu cari sebagai luas segiempat sama S. Dalam kes ini, anda akan mencari panjang sisi L segi empat sama tersebut. Kira nilai L yang mana L² = S.

   Masukkan huruf untuk setiap digit dalam jawapan anda. Nyatakan dengan A digit pertama dalam nilai L ( punca kuasa dua yang dikehendaki). B akan menjadi digit kedua, C ketiga dan seterusnya.

   Nyatakan satu huruf untuk setiap pasangan digit pendahuluan. Nyatakan dengan S a pasangan digit pertama dalam nilai S, dengan S b pasangan digit kedua, dan seterusnya.

   Terangkan perkaitan kaedah ini dengan pembahagian panjang. Seperti dalam operasi bahagi, di mana setiap kali kita hanya berminat dengan satu digit seterusnya nombor boleh bahagi, apabila mengira punca kuasa dua, kita bekerja dengan sepasang digit dalam urutan (untuk mendapatkan satu digit seterusnya dalam nilai punca kuasa dua) .

   1. Pertimbangkan pasangan pertama digit Sa bagi nombor S (Sa = 7 dalam contoh kita) dan cari punca kuasa duanya. Dalam kes ini, digit pertama A bagi nilai punca kuasa dua yang dicari ialah digit sedemikian, kuasa duanya kurang daripada atau sama dengan S a (iaitu, kita sedang mencari A sedemikian yang memenuhi ketaksamaan A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Katakan kita perlu membahagi 88962 dengan 7; di sini langkah pertama akan serupa: kita mempertimbangkan digit pertama nombor boleh bahagi 88962 (8) dan pilih nombor terbesar yang, apabila didarab dengan 7, memberikan nilai kurang daripada atau sama dengan 8. Iaitu, kita sedang mencari nombor d yang mana ketaksamaan adalah benar: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Bayangkan secara mental segi empat sama yang luasnya perlu anda kira. Anda sedang mencari L, iaitu, panjang sisi segi empat sama yang luasnya S. A, B, C ialah nombor dalam nombor L. Anda boleh menulisnya secara berbeza: 10A + B \u003d L (untuk dua -nombor digit) atau 100A + 10B + C \u003d L (untuk nombor tiga digit) dan seterusnya.

      • biarlah (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ingat bahawa 10A+B ialah nombor yang B bermaksud satu dan A bermaksud puluh. Sebagai contoh, jika A=1 dan B=2, maka 10A+B bersamaan dengan nombor 12. (10A+B)² ialah luas seluruh petak, 100A² ialah luas segi empat dalam yang besar, B² ialah luas segi empat dalam kecil, 10A×B ialah luas bagi setiap dua segi empat tepat. Menambah kawasan angka yang diterangkan, anda akan menemui luas segi empat sama asal.

Pengiraan (atau pengekstrakan) punca kuasa dua boleh dilakukan dalam beberapa cara, tetapi semuanya tidak begitu mudah. Sudah tentu, lebih mudah untuk menggunakan bantuan kalkulator. Tetapi jika ini tidak mungkin (atau anda ingin memahami intipati punca kuasa dua), saya boleh menasihati anda untuk pergi dengan cara berikut, algoritmanya adalah seperti berikut:

Sekiranya anda tidak mempunyai kekuatan, keinginan atau kesabaran untuk pengiraan yang begitu panjang, anda boleh menggunakan pilihan kasar, kelebihannya ialah ia sangat pantas dan, dengan kepintaran yang sewajarnya, tepat. Contoh:

Semasa saya di sekolah (awal 60-an), kami diajar untuk mengambil punca kuasa dua sebarang nombor. Teknik ini mudah, secara zahirnya serupa dengan pembahagian dengan lajur, tetapi untuk menyatakannya di sini, ia akan mengambil masa setengah jam dan 4-5 ribu aksara teks. Tetapi mengapa anda memerlukannya? Adakah anda mempunyai telefon atau alat lain, terdapat kalkulator dalam nm. Terdapat kalkulator dalam setiap komputer. Secara peribadi, saya lebih suka melakukan pengiraan seperti ini dalam Excel.

Selalunya di sekolah diperlukan untuk mencari punca kuasa dua nombor yang berbeza. Tetapi jika kita biasa menggunakan kalkulator sepanjang masa untuk ini, maka tidak akan ada peluang seperti itu dalam peperiksaan, jadi anda perlu belajar cara mencari akar tanpa bantuan kalkulator. Dan pada dasarnya adalah mungkin untuk melakukannya.

Algoritmanya ialah:

Lihat dahulu pada digit terakhir nombor anda:

Sebagai contoh,

Sekarang anda perlu menentukan lebih kurang nilai untuk akar dari kumpulan paling kiri

Dalam kes apabila nombor itu mempunyai lebih daripada dua kumpulan, maka anda perlu mencari punca seperti ini:

Tetapi nombor seterusnya mestilah yang terbesar, anda perlu mengambilnya seperti ini:

Sekarang kita perlu membentuk nombor A baru dengan menambah baki yang diperoleh di atas, kumpulan seterusnya.

Dalam contoh kami:

Lajur najna, dan apabila lebih daripada lima belas aksara diperlukan, maka komputer dan telefon dengan kalkulator paling kerap berehat. Ia masih untuk menyemak sama ada penerangan metodologi akan mengambil 4-5 ribu aksara.

Berm sebarang nombor, daripada koma kita mengira pasangan digit ke kanan dan kiri

Contohnya, 1234567890.098765432100

Sepasang digit adalah seperti nombor dua digit. Punca dua digit ialah satu dengan satu. Kami memilih satu nilai tunggal, kuasa duanya kurang daripada pasangan digit pertama. Dalam kes kami ia adalah 3.

Seperti apabila membahagikan dengan lajur, di bawah pasangan pertama kita tulis petak ini dan tolak daripada pasangan pertama. Hasilnya digariskan. 12 - 9 = 3. Tambahkan pasangan kedua digit pada perbezaan ini (ia akan menjadi 334). Di sebelah kiri bilangan berm, nilai dua kali ganda bahagian hasil yang telah dijumpai ditambah dengan digit (kami mempunyai 2 * 6 = 6), supaya apabila didarabkan dengan nombor yang tidak diterima, ia tidak tidak melebihi nombor dengan pasangan digit kedua. Kami mendapat bahawa angka yang ditemui ialah lima. Sekali lagi kita dapati perbezaan (9), robohkan pasangan digit seterusnya, dapatkan 956, sekali lagi tuliskan bahagian hasil dua kali ganda (70), sekali lagi tambah digit yang diperlukan dan seterusnya sehingga ia berhenti. Atau kepada ketepatan pengiraan yang diperlukan.

Pertama, untuk mengira punca kuasa dua, anda perlu mengetahui jadual pendaraban dengan baik. Contoh paling mudah ialah 25 (5 kali 5 = 25) dan seterusnya. Jika kita mengambil nombor yang lebih rumit, maka kita boleh menggunakan jadual ini, di mana terdapat unit secara mendatar dan puluhan secara menegak.



Terdapat cara yang baik untuk mencari punca nombor tanpa bantuan kalkulator. Untuk melakukan ini, anda memerlukan pembaris dan kompas. Intinya ialah anda dapati pada pembaris nilai yang anda ada di bawah akar. Sebagai contoh, letakkan tanda berhampiran 9. Tugas anda ialah membahagikan nombor ini kepada bilangan segmen yang sama, iaitu, kepada dua baris 4.5 cm setiap satu, dan menjadi segmen genap. Adalah mudah untuk meneka bahawa pada akhirnya anda akan mendapat 3 segmen 3 sentimeter.

Kaedah ini tidak mudah dan tidak akan berfungsi untuk nombor yang besar, tetapi ia dianggap tanpa kalkulator.

tanpa bantuan kalkulator, kaedah mengekstrak punca kuasa dua telah diajar pada zaman Soviet di sekolah pada gred ke-8.

Untuk melakukan ini, anda perlu memecahkan nombor berbilang digit dari kanan ke kiri kepada muka 2 digit :

Digit pertama punca ialah keseluruhan punca bahagian kiri, dalam kes ini 5.

Kurangkan 5 kuasa dua daripada 31, 31-25=6 dan tambah muka seterusnya kepada enam, kita mempunyai 678.

Digit seterusnya x dipilih untuk menggandakan lima supaya

10x*x ialah maksimum, tetapi kurang daripada 678.

x=6 kerana 106*6=636,

sekarang kita mengira 678 - 636 = 42 dan tambah muka seterusnya 92, kita ada 4292.

Sekali lagi kami mencari x maksimum, sehingga 112x*x lt; 4292.

Jawapan: puncanya ialah 563

Jadi anda boleh teruskan selagi anda mahu.

Dalam sesetengah kes, anda boleh cuba mengembangkan nombor punca kepada dua atau lebih faktor kuasa dua.

Ia juga berguna untuk mengingati jadual (atau sekurang-kurangnya sebahagian daripadanya) - kuasa dua nombor asli dari 10 hingga 99.



Saya mencadangkan satu varian untuk mengekstrak punca kuasa dua ke dalam lajur yang saya cipta. Ia berbeza daripada yang terkenal, kecuali untuk pemilihan nombor. Tetapi seperti yang saya ketahui kemudian, kaedah ini telah wujud bertahun-tahun sebelum kelahiran saya. Isaac Newton yang hebat menerangkannya dalam bukunya General Aritmetik atau buku tentang sintesis dan analisis aritmetik. Jadi di sini saya membentangkan visi dan rasional saya untuk algoritma kaedah Newton. Anda tidak perlu menghafal algoritma. Anda boleh menggunakan gambar rajah dalam rajah sebagai alat bantu visual jika perlu.







Dengan bantuan jadual, anda tidak boleh mengira, tetapi mencari, punca kuasa dua hanya daripada nombor yang ada dalam jadual. Cara paling mudah untuk mengira akar bukan sahaja persegi, tetapi juga darjah lain, dengan kaedah penghampiran berturut-turut. Sebagai contoh, kita mengira punca kuasa dua 10739, menggantikan tiga digit terakhir dengan sifar dan mengeluarkan punca 10000, kita mendapat 100 dengan kelemahan, jadi kita mengambil nombor 102 dan kuasa duakannya, kita mendapat 10404, yang juga kurang daripada yang ditentukan, kami mengambil 103*103=10609 sekali lagi dengan kelemahan, kami mengambil 103.5 * 103.5 \u003d 10712.25, kami mengambil lebih banyak lagi 103.6 * 103.6 \u003d 10732, kami telah mengambil 103.5 * 103.5 \u003d 10712.25, kami mengambil lebih banyak lagi 103.6 * 103.6 \u003d 10732, yang sudah 103.5 = 103.7, yang sudah 103.3 u. berlebihan. Anda boleh mengambil punca kuasa dua 10739 menjadi lebih kurang sama dengan 103.6. Lebih tepat lagi 10739=103.629... . . Begitu juga, kita mengira punca kubus, pertama dari 10000 kita mendapat kira-kira 25 * 25 * 25 = 15625, yang berlebihan, kita mengambil 22 * ​​22 * ​​22 = 10.648, kita mengambil lebih sedikit daripada 22.06 * 22.06 * 22.06 = 10735, yang sangat hampir dengan yang diberikan.

akar n kuasa ke- bagi nombor asli a nombor itu dipanggil n yang kuasanya sama dengan a. Akar dilambangkan seperti berikut: . Simbol √ dipanggil tanda akar atau tanda radikal, nombor a - nombor akar, n - eksponen akar.

Tindakan yang mana punca darjah tertentu ditemui dipanggil pengekstrakan akar.

Oleh kerana, mengikut definisi konsep akar n ijazah ke

Itu pengekstrakan akar- tindakan, bertentangan dengan eksponen, dengan bantuannya, mengikut darjah yang diberikan dan mengikut eksponen yang diberikan, asas darjah ditemui.

Punca kuasa dua

Punca kuasa dua bagi suatu nombor a ialah nombor yang kuasa duanya a.

Operasi di mana punca kuasa dua dikira dipanggil mengambil punca kuasa dua.

Mengeluarkan punca kuasa dua- tindakan bertentangan kuasa dua (atau menaikkan nombor kepada kuasa kedua). Apabila menduakan nombor, anda perlu mencari kuasa duanya. Apabila mengekstrak punca kuasa dua, kuasa dua nombor itu diketahui, ia diperlukan untuk mencari nombor itu sendiri daripadanya.

Oleh itu, untuk memeriksa ketepatan tindakan yang diambil, anda boleh menaikkan akar yang dijumpai ke tahap kedua, dan jika darjah itu sama dengan nombor akar, maka akar itu dijumpai dengan betul.

Pertimbangkan untuk mengekstrak punca kuasa dua dan pengesahannya dengan contoh. Kami mengira atau (eksponen akar dengan nilai 2 biasanya tidak ditulis, kerana 2 adalah eksponen terkecil dan harus diingat bahawa jika tidak ada eksponen di atas tanda akar, maka eksponen 2 tersirat), untuk ini kita perlu untuk mencari nombor, apabila dinaikkan kepada yang kedua darjahnya akan menjadi 49. Jelas sekali, nombor ini ialah 7, kerana

7 7 = 7 2 = 49.

Mengira punca kuasa dua

Jika nombor yang diberi ialah 100 atau kurang, maka punca kuasa duanya boleh dikira menggunakan jadual pendaraban. Sebagai contoh, punca kuasa dua bagi 25 ialah 5 kerana 5 x 5 = 25.

Sekarang pertimbangkan cara untuk mencari punca kuasa dua sebarang nombor tanpa menggunakan kalkulator. Sebagai contoh, mari kita ambil nombor 4489 dan mula mengira langkah demi langkah.

1. Mari kita tentukan digit mana yang harus terdiri daripada akar yang dikehendaki. Sejak 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100, dan 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, menjadi jelas bahawa akar yang dikehendaki mestilah lebih besar daripada 10 dan kurang daripada 100, i.e. terdiri daripada sepuluh dan satu.
2. Cari bilangan puluh punca itu. Mendarabkan puluh menghasilkan ratusan, nombor kita ialah 44, jadi punca mesti mengandungi banyak puluh sehingga kuasa dua puluh memberikan kira-kira 44 ratus. Oleh itu, harus ada 6 puluh pada akarnya, kerana 60 2 \u003d 3600, dan 70 2 \u003d 4900 (ini terlalu banyak). Oleh itu, kami mendapati bahawa akar kami mengandungi 6 puluh dan beberapa yang, kerana ia berada dalam julat dari 60 hingga 70.
3. Jadual pendaraban akan membantu menentukan bilangan unit pada punca. Melihat kepada nombor 4489, kita melihat bahawa digit terakhir di dalamnya ialah 9. Sekarang kita melihat jadual pendaraban dan melihat bahawa 9 unit hanya boleh diperolehi dengan menduakan nombor 3 dan 7. Jadi punca nombor itu ialah 63 atau 67.
4. Kami menyemak nombor yang kami dapat 63 dan 67 dengan mengkuadangkannya: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Pada bulatan dia menunjukkan cara punca kuasa dua boleh diekstrak dalam lajur. Anda boleh mengira punca dengan ketepatan sewenang-wenangnya, cari seberapa banyak digit yang anda suka dalam tatatanda perpuluhannya, walaupun ia ternyata tidak rasional. Algoritma telah diingati, tetapi soalan kekal. Tidak jelas dari mana kaedah itu datang dan mengapa ia memberikan hasil yang betul. Ini tiada dalam buku, atau mungkin saya hanya mencari dalam buku yang salah. Akibatnya, seperti kebanyakan perkara yang saya tahu dan boleh lakukan hari ini, saya mengeluarkannya sendiri. Saya berkongsi ilmu saya di sini. Dengan cara ini, saya masih tidak tahu di mana rasional untuk algoritma diberikan)))

Jadi, pertama, dengan contoh, saya memberitahu anda "bagaimana sistem berfungsi", dan kemudian saya menerangkan mengapa ia sebenarnya berfungsi.

Mari kita ambil nombor (nombor itu diambil "dari siling", ia hanya terlintas di fikiran).

1. Kami membahagikan nombornya kepada pasangan: yang berada di sebelah kiri titik perpuluhan, kami mengumpulkan dua dari kanan ke kiri, dan yang ke kanan - dua dari kiri ke kanan. Kita mendapatkan .

2. Kami mengekstrak punca kuasa dua daripada kumpulan pertama digit di sebelah kiri - dalam kes kami adalah (jelas bahawa punca sebenar mungkin tidak diekstrak, kami mengambil nombor yang kuasa duanya sehampir mungkin dengan nombor kami yang dibentuk oleh kumpulan pertama digit, tetapi tidak melebihinya). Dalam kes kami, ini akan menjadi nombor. Kami menulis sebagai jawapan - ini adalah digit tertinggi akar.

3. Kami menaikkan nombor yang sudah ada dalam jawapan - ini - kuasa dua dan tolak daripada kumpulan nombor pertama di sebelah kiri - daripada nombor itu. Dalam kes kami, ia kekal

4. Kami mengaitkan kumpulan dua nombor berikut di sebelah kanan: . Nombor yang sudah ada dalam jawapan didarab dengan , kita dapat .

5. Sekarang perhatikan dengan teliti. Kita perlu menambah satu digit pada nombor di sebelah kanan, dan mendarabkan nombor dengan , iaitu, dengan digit yang ditetapkan yang sama. Hasilnya hendaklah sedekat mungkin dengan , tetapi sekali lagi tidak lebih daripada nombor ini. Dalam kes kami, ini akan menjadi nombor, kami menulisnya sebagai respons di sebelah, di sebelah kanan. Ini ialah digit seterusnya dalam tatatanda perpuluhan untuk punca kuasa dua kita.

6. Menolak produk daripada , kita dapat .

7. Seterusnya, kami mengulangi operasi biasa: kami menetapkan kumpulan digit seterusnya ke kanan, darab dengan, kepada nombor yang terhasil > tetapkan satu digit ke kanan, supaya apabila didarab dengannya, kami mendapat nombor yang lebih kecil, tetapi paling hampir dengan ia - ini adalah nombor - digit seterusnya dalam tatatanda perpuluhan punca.

Pengiraan akan ditulis seperti berikut:

Dan sekarang penjelasan yang dijanjikan. Algoritma adalah berdasarkan formula

Ulasan: 50

1. 2 Anton:

   Terlalu kucar-kacir dan mengelirukan. Pecahkan semuanya dan hitungkannya. Tambahan: terangkan di mana dalam setiap tindakan kita menggantikan nilai yang diperlukan. Saya tidak pernah mengira punca dalam lajur sebelum ini - saya memikirkannya dengan susah payah.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Julia, 23 kini ditulis di sebelah kanan, ini adalah dua (kiri) pertama yang sudah menerima digit akar yang ada dalam jawapan. Kami mendarab dengan 2 mengikut algoritma. Kami mengulangi langkah yang diterangkan dalam perenggan 4.

4. 7zzz:

   ralat dalam “6. Daripada 167 kita tolak hasil darab 43 * 3 = 123 (129 nada), kita dapat 38.”
   tidak jelas bagaimana selepas koma ternyata 08 ...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Dan walaupun dalam era pra-kalkulator, kami diajar di sekolah bukan sahaja segi empat sama, tetapi juga akar kubus dalam lajur untuk mengekstrak, tetapi ini adalah kerja yang lebih membosankan dan teliti. Lebih mudah menggunakan jadual Bradis atau peraturan slaid, yang telah kami pelajari di sekolah menengah.

6. 10 :

   Alexander, anda betul, anda boleh mengekstrak ke dalam lajur dan akar darjah yang besar. Saya akan menulis tentang cara mencari punca kubus.

7. 12 Sergey Valentinovich:

   Elizabeth Alexandrovna yang dihormati! Pada akhir 70-an, saya telah membangunkan satu skim untuk pengiraan kuasa dua automatik (iaitu, bukan dengan pemilihan). root pada mesin penambahan Felix. Jika anda berminat, saya boleh menghantar penerangan.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Mengekstrak punca kuasa dua ke dalam lajur)))
   Algoritma dipermudahkan jika anda menggunakan sistem nombor ke-2, yang dipelajari dalam sains komputer, tetapi ia juga berguna dalam matematik. A.N. Kolmogorov memetik algoritma ini dalam kuliah popular untuk pelajar sekolah. Artikelnya boleh didapati dalam "Koleksi Chebyshev" (Jurnal Matematik, cari pautan kepadanya di Internet)
   Untuk majlis itu, katakan:
   G. Leibniz pada satu masa tergesa-gesa tentang idea peralihan daripada sistem nombor ke-10 kepada binari kerana kesederhanaan dan kebolehcapaiannya untuk pemula (kanak-kanak sekolah rendah). Tetapi melanggar tradisi yang telah ditetapkan adalah seperti memecahkan pintu kubu dengan dahi anda: ia mungkin, tetapi ia tidak berguna. Jadi ternyata, seperti menurut ahli falsafah berjanggut yang paling banyak dipetik pada zaman dahulu: tradisi semua generasi yang mati menindas kesedaran orang yang hidup.

   Jumpa awak lain kali.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Sergey Valentinovich, ya, saya berminat ... ((

   Saya yakin bahawa ini adalah variasi Felix dari kaedah Babylon untuk mengekstrak kuda persegi dengan anggaran berturut-turut. Algoritma ini telah ditindih oleh kaedah Newton (kaedah tangen)

   Saya tertanya-tanya adakah saya membuat kesilapan dalam ramalan?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Ya, algoritma dalam binari harus lebih mudah, itu cukup jelas.

    Mengenai kaedah Newton. Mungkin begitu, tetapi ia masih menarik

11. 20 Cyril:

    Terima kasih banyak-banyak. Tetapi algoritma masih tidak wujud, tidak diketahui dari mana asalnya, tetapi hasilnya betul. TERIMA KASIH BANYAK-BANYAK! Dah lama cari ni

12. 21 Alexander:

    Dan bagaimanakah pengekstrakan akar dari nombor itu, di mana kumpulan kedua dari kiri ke kanan adalah sangat kecil? sebagai contoh, nombor kegemaran semua orang ialah 4 398 046 511 104. selepas penolakan pertama, adalah mustahil untuk meneruskan segala-galanya mengikut algoritma. Boleh tolong jelaskan.

13. 22 Alexey:

    Ya, saya tahu cara ini. Saya masih ingat membacanya dalam buku "Algebra" beberapa edisi lama. Kemudian, secara analogi, dia sendiri menyimpulkan cara mengekstrak akar kubus dalam lajur yang sama. Tetapi ia sudah lebih rumit di sana: setiap digit tidak lagi ditentukan dalam satu (seperti untuk segi empat sama), tetapi dalam dua penolakan, dan walaupun di sana setiap kali anda perlu mendarab nombor panjang.

14. 23 Artem:

    Terdapat kesilapan taip dalam contoh mengambil punca kuasa dua 56789.321. Kumpulan nombor 32 ditugaskan dua kali kepada nombor 145 dan 243, dalam nombor 2388025 8 kedua mesti digantikan dengan 3. Kemudian penolakan terakhir hendaklah ditulis seperti berikut: 2431000 - 2383025 = 47975.
    Selain itu, apabila membahagikan baki dengan nilai dua kali ganda jawapan (tidak termasuk koma), kita mendapat nombor tambahan digit bererti (47975/(2*238305) = 0.100658819…), yang perlu ditambah pada jawapan (√56789.321). = 238.305… = 238.305100659).

15. 24 Sergey:

    Rupa-rupanya algoritma itu datang dari buku Isaac Newton "General arithmetic or a book about arithmetic synthesis and analysis". Berikut adalah petikan daripadanya:

    TENTANG AKAR

    Untuk mengekstrak punca kuasa dua daripada nombor, pertama sekali, anda harus meletakkan titik di atas nombornya melalui satu, bermula dari unit. Maka adalah perlu untuk menulis dalam hasil bagi atau pada punca nombor yang kuasa duanya sama dengan atau paling hampir dengan kecacatan kepada nombor atau angka sebelum titik pertama. Selepas menolak kuasa dua ini, baki digit akar akan dijumpai berturut-turut dengan membahagi baki dua kali ganda nilai bahagian akar yang telah diekstrak dan menolak setiap kali daripada baki kuasa dua digit terakhir yang ditemui dan hasil darab sepuluh kali ganda dengan pembahagi bernama.

16. 25 Sergey:

    Betulkan tajuk buku "Aritmetik am atau buku tentang sintesis dan analisis aritmetik"

17. 26 Alexander:

    Terima kasih atas kandungan yang menarik. Tetapi kaedah ini nampaknya saya agak rumit daripada yang diperlukan, sebagai contoh, untuk budak sekolah. Saya menggunakan kaedah yang lebih mudah berdasarkan pengembangan fungsi kuadratik menggunakan dua terbitan pertama. Formulanya ialah:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 di mana
    A1 ialah integer yang kuasa duanya paling hampir dengan x;
    A2 ialah pecahan, dalam pengangka x-A1, dalam penyebut 2*A1.
    Bagi kebanyakan nombor yang ditemui dalam kursus sekolah, ini sudah cukup untuk mendapatkan keputusan yang tepat hingga keseratus.
    Jika anda memerlukan hasil yang lebih tepat, ambil
    A3 ialah pecahan, dalam pengangka A2 kuasa dua, dalam penyebut 2 * A1 + 1.
    Sudah tentu, anda memerlukan jadual segi empat sama integer untuk digunakan, tetapi ini bukan masalah di sekolah. Mengingat formula ini agak mudah.
    Walau bagaimanapun, ia mengelirukan saya bahawa saya mendapat A3 secara empirik hasil daripada percubaan dengan hamparan dan tidak begitu memahami mengapa istilah ini mempunyai bentuk sedemikian. Mungkin anda boleh menasihati?

18. 27 Alexander:

    Ya, saya telah mempertimbangkan pertimbangan ini juga, tetapi syaitan ada dalam butirannya. Anda menulis:
    "kerana a2 dan b sudah berbeza sedikit." Persoalannya ialah betapa sedikitnya.
    Formula ini berfungsi dengan baik pada nombor sepuluh kedua dan lebih teruk (tidak sehingga perseratus, hanya sehingga persepuluh) pada nombor sepuluh pertama. Mengapa ini berlaku sudah sukar difahami tanpa melibatkan derivatif.

19. 28 Alexander:

    Saya akan menjelaskan di mana saya melihat kelebihan formula yang saya cadangkan. Ia tidak memerlukan pemisahan nombor yang tidak wajar kepada pasangan digit, yang, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, sering dilakukan dengan ralat. Maksudnya jelas, tetapi bagi orang yang biasa dengan analisis, ia adalah remeh. Berfungsi dengan baik pada nombor dari 100 hingga 1000, yang paling biasa di sekolah.

20. 29 Alexander:

    Dengan cara ini, saya melakukan beberapa penggalian dan menemui ungkapan yang tepat untuk A3 dalam formula saya:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Pada zaman kita, penggunaan teknologi komputer yang meluas, persoalan mengekstrak kuda persegi dari nombor dari sudut pandangan praktikal tidak berbaloi. Tetapi bagi pencinta matematik, sudah tentu pelbagai pilihan untuk menyelesaikan masalah ini menarik minat. Dalam kurikulum sekolah, kaedah pengiraan ini tanpa menarik dana tambahan hendaklah berlaku setanding dengan pendaraban dan pembahagian dalam sesuatu lajur. Algoritma pengiraan bukan sahaja harus dihafal, tetapi juga boleh difahami. Kaedah klasik yang disediakan dalam bahan ini untuk perbincangan dengan pendedahan intipati mematuhi sepenuhnya kriteria di atas.
    Kelemahan ketara kaedah yang dicadangkan oleh Alexander ialah penggunaan jadual segi empat sama integer. Dengan berapa majoriti bilangan yang ditemui dalam kursus sekolah itu terhad, penulis diam. Bagi formula, secara keseluruhannya ia mengagumkan saya memandangkan ketepatan pengiraan yang agak tinggi.

22. 31 Alexander:

    untuk 30 vasil stryzhak
    Saya tidak terlepas apa-apa. Jadual segi empat sama diandaikan sehingga 1000. Pada zaman saya di sekolah, mereka hanya menghafalnya di sekolah dan terdapat dalam semua buku teks matematik. Saya secara eksplisit menamakan selang ini.
    Bagi teknologi komputer, ia tidak digunakan terutamanya dalam pelajaran matematik, melainkan terdapat topik khas menggunakan kalkulator. Kalkulator kini terbina dalam peranti yang dilarang untuk digunakan dalam peperiksaan.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, terima kasih atas penjelasan! Saya fikir bahawa untuk kaedah yang dicadangkan, secara teorinya perlu untuk mengingati atau menggunakan jadual kuasa dua semua nombor dua digit. Kemudian untuk nombor radikal yang tidak termasuk dalam selang dari 100 hingga 10000, anda boleh menggunakan kaedah menambah atau mengurangkannya mengikut bilangan pesanan yang diperlukan dengan menggerakkan koma.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDER:

    PROGRAM PERTAMA SAYA DALAM BAHASA "YAMB" PADA MESIN SOVIET "ISKRA 555" TELAH DITULIS UNTUK MENGEKSTRAK AKAR KUASA DARI NOMBOR MENGIKUT EKSTRAKSI KE ALGORITMA LAjur! dan sekarang saya terlupa cara mengekstraknya secara manual!