Punca-punca persamaan kuadratik dikira dengan rumus. Menyelesaikan persamaan kuadratik: formula akar, contoh

Persamaan kuadratik ialah persamaan dalam bentuk a*x^2 +b*x+c=0, dengan a,b,c ialah beberapa nombor nyata (nyata) arbitrari, dan x ialah pembolehubah. Dan nombor a=0.

Nombor a,b,c dipanggil pekali. Nombor a - dipanggil pekali pendahulu, nombor b ialah pekali pada x, dan nombor c dipanggil ahli bebas.

Menyelesaikan persamaan kuadratik

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik bermakna mencari semua puncanya, atau untuk mewujudkan fakta bahawa persamaan kuadratik tidak mempunyai punca. Punca bagi persamaan kuadratik a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ialah sebarang nilai pembolehubah x, supaya trinomial segi empat sama a * x ^ 2 + b * x + c lenyap. Kadangkala nilai x sedemikian dipanggil punca bagi trinomial segi empat sama.

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Pertimbangkan salah satu daripada mereka - yang paling serba boleh. Ia boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik ialah a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), dengan D =b^2-4*a*c.

Formula ini diperoleh dengan menyelesaikan persamaan a*x^2 +b*x+c=0 in Pandangan umum, dengan memilih kuasa dua binomial.

Dalam formula punca-punca persamaan kuadratik, ungkapan D (b^2-4*a*c) dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik a*x^2 +b*x+c=0. Nama ini berasal dari bahasa Latin, diterjemahkan sebagai "pembeza". Bergantung pada nilai diskriminasi, persamaan kuadratik akan mempunyai dua atau satu punca, atau tiada punca sama sekali.

Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca. (x=(-b±√D)/(2*a))

Jika diskriminasi adalah sifar, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca. (x=(-b/(2*a))

Jika diskriminasi adalah negatif, maka persamaan kuadratik tidak mempunyai punca.

Algoritma am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Berdasarkan perkara di atas, kami merumuskan algoritma umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a*x^2 +b*x+c=0 menggunakan formula:

1. Cari nilai diskriminasi menggunakan formula D =b^2-4*a*c.

2. Bergantung pada nilai diskriminasi, hitung punca menggunakan formula:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Algoritma ini adalah universal dan sesuai untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik. Lengkap dan tidak lengkap, dipetik dan tidak dipetik.

Topik ini mungkin kelihatan sukar pada mulanya kerana banyak formula mudah. Bukan sahaja persamaan kuadratik itu sendiri mempunyai entri yang panjang, tetapi punca juga ditemui melalui diskriminasi. Terdapat tiga formula baharu secara keseluruhan. Tidak begitu mudah untuk diingati. Ini mungkin hanya selepas penyelesaian kerap persamaan tersebut. Kemudian semua formula akan diingati sendiri.

Pandangan umum persamaan kuadratik

Di sini notasi eksplisit mereka dicadangkan, apabila ijazah terbesar ditulis dahulu, dan kemudian - dalam susunan menurun. Selalunya terdapat situasi apabila istilah itu berbeza. Maka adalah lebih baik untuk menulis semula persamaan dalam tertib menurun bagi darjah pembolehubah.

Mari kita perkenalkan notasi. Mereka dibentangkan dalam jadual di bawah.

Jika kita menerima tatatanda ini, semua persamaan kuadratik dikurangkan kepada tatatanda berikut.

Selain itu, pekali a ≠ 0. Biarkan formula ini dilambangkan dengan nombor satu.

Apabila persamaan diberikan, tidak jelas berapa banyak punca dalam jawapan. Kerana satu daripada tiga pilihan sentiasa mungkin:

• penyelesaiannya akan mempunyai dua akar;
• jawapannya ialah satu nombor;
• Persamaan tidak mempunyai punca sama sekali.

Dan sementara keputusan itu tidak dibawa ke penghujungnya, sukar untuk memahami pilihan mana yang akan jatuh dalam kes tertentu.

Jenis rekod persamaan kuadratik

Tugasan mungkin mempunyai entri yang berbeza. Mereka tidak akan sentiasa kelihatan seperti formula umum persamaan kuadratik. Kadang-kadang ia akan kekurangan beberapa istilah. Apa yang ditulis di atas adalah persamaan lengkap. Jika anda mengalih keluar penggal kedua atau ketiga di dalamnya, anda mendapat sesuatu yang berbeza. Rekod ini juga dipanggil persamaan kuadratik, hanya tidak lengkap.

Selain itu, hanya istilah yang pekali "b" dan "c" boleh hilang. Nombor "a" tidak boleh sama dengan sifar dalam apa jua keadaan. Kerana dalam kes ini formula menjadi persamaan linear. Formula untuk bentuk persamaan yang tidak lengkap adalah seperti berikut:

Jadi, hanya terdapat dua jenis, selain yang lengkap, terdapat juga persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Biarkan formula pertama nombor dua, dan kedua nombor tiga.

Diskriminasi dan pergantungan bilangan akar pada nilainya

Nombor ini mesti diketahui untuk mengira punca-punca persamaan. Ia sentiasa boleh dikira, tidak kira apa formula persamaan kuadratik itu. Untuk mengira diskriminasi, anda perlu menggunakan kesamaan yang ditulis di bawah, yang akan mempunyai nombor empat.

Selepas menggantikan nilai pekali ke dalam formula ini, anda boleh mendapatkan nombor dengan tanda yang berbeza. Jika jawapannya ya, maka jawapan kepada persamaan itu ialah dua punca yang berbeza. Dengan nombor negatif, punca-punca persamaan kuadratik akan tiada. Jika sama dengan sifar, jawapannya ialah satu.

Bagaimanakah persamaan kuadratik lengkap diselesaikan?

Malah, pertimbangan isu ini telah pun bermula. Kerana pertama anda perlu mencari diskriminasi. Selepas dijelaskan bahawa terdapat punca persamaan kuadratik, dan bilangannya diketahui, anda perlu menggunakan formula untuk pembolehubah. Sekiranya terdapat dua akar, maka anda perlu menggunakan formula sedemikian.

Oleh kerana ia mengandungi tanda "±", akan ada dua nilai. Ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua ialah diskriminasi. Oleh itu, formula boleh ditulis semula dengan cara yang berbeza.

Formula lima. Daripada rekod yang sama dapat dilihat bahawa jika diskriminasi adalah sifar, maka kedua-dua punca akan mengambil nilai yang sama.

Sekiranya penyelesaian persamaan kuadratik belum lagi diusahakan, maka lebih baik untuk menulis nilai semua pekali sebelum menggunakan formula diskriminasi dan pembolehubah. Nanti detik ini tidak akan menyebabkan kesukaran. Tetapi pada awalnya terdapat kekeliruan.

Bagaimanakah persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan?

Segala-galanya lebih mudah di sini. Malah tidak perlu formula tambahan. Dan anda tidak memerlukan mereka yang telah ditulis untuk diskriminasi dan tidak diketahui.

Pertama, pertimbangkan persamaan nombor dua yang tidak lengkap. Dalam kesamaan ini, ia sepatutnya mengeluarkan nilai yang tidak diketahui daripada kurungan dan menyelesaikan persamaan linear, yang akan kekal dalam kurungan. Jawapannya akan mempunyai dua punca. Yang pertama semestinya sama dengan sifar, kerana terdapat faktor yang terdiri daripada pembolehubah itu sendiri. Yang kedua diperoleh dengan menyelesaikan persamaan linear.

Persamaan tidak lengkap pada nombor tiga diselesaikan dengan memindahkan nombor dari sebelah kiri persamaan ke kanan. Kemudian anda perlu membahagikan dengan pekali di hadapan yang tidak diketahui. Ia kekal hanya untuk mengekstrak punca kuasa dua dan jangan lupa menulisnya dua kali dengan tanda yang bertentangan.

Berikut ialah beberapa tindakan yang membantu anda mempelajari cara menyelesaikan semua jenis kesamaan yang bertukar menjadi persamaan kuadratik. Mereka akan membantu pelajar untuk mengelakkan kesilapan kerana tidak mengambil perhatian. Kekurangan ini adalah punca gred yang lemah apabila mempelajari topik yang meluas "Persamaan Kuadrik (Gred 8)". Selepas itu, tindakan ini tidak perlu dilakukan secara berterusan. Kerana akan ada tabiat yang stabil.

• Mula-mula anda perlu menulis persamaan dalam bentuk piawai. Iaitu, pertama istilah dengan darjah terbesar pembolehubah, dan kemudian - tanpa darjah dan yang terakhir - hanya nombor.

• Jika tolak muncul sebelum pekali "a", maka ia boleh merumitkan kerja untuk pemula untuk mengkaji persamaan kuadratik. Lebih baik membuangnya. Untuk tujuan ini, semua kesamaan mesti didarab dengan "-1". Ini bermakna semua istilah akan menukar tanda kepada sebaliknya.

• Dengan cara yang sama, adalah disyorkan untuk menyingkirkan pecahan. Cukup darab persamaan dengan faktor yang sesuai supaya penyebutnya dibatalkan.

Contoh

Ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik berikut:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Persamaan pertama: x 2 - 7x \u003d 0. Ia tidak lengkap, oleh itu ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula nombor dua.

Selepas kurungan, ternyata: x (x - 7) \u003d 0.

Akar pertama mengambil nilai: x 1 \u003d 0. Yang kedua akan ditemui dari persamaan linear: x - 7 \u003d 0. Sangat mudah untuk melihat bahawa x 2 \u003d 7.

Persamaan kedua: 5x2 + 30 = 0. Sekali lagi tidak lengkap. Hanya ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula ketiga.

Selepas memindahkan 30 ke sebelah kanan persamaan: 5x 2 = 30. Sekarang anda perlu bahagi dengan 5. Ternyata: x 2 = 6. Jawapannya ialah nombor: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Persamaan ketiga: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Di sini dan di bawah, penyelesaian persamaan kuadratik akan bermula dengan menulis semulanya ke dalam bentuk piawai: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Kini tiba masanya untuk menggunakan yang kedua nasihat yang berguna dan darabkan semuanya dengan tolak satu. Ternyata x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Menurut formula keempat, anda perlu mengira diskriminasi: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Ia mewakili nombor positif. Daripada apa yang dikatakan di atas, ternyata persamaan itu mempunyai dua punca. Mereka perlu dikira mengikut formula kelima. Menurutnya, ternyata x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Kemudian x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Persamaan keempat x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ditukar kepada ini: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Diskriminasinya adalah sama dengan nilai ini: -23. Oleh kerana nombor ini negatif, jawapan kepada tugas ini ialah entri berikut: "Tiada akar."

Persamaan kelima 12x + x 2 + 36 = 0 hendaklah ditulis semula seperti berikut: x 2 + 12x + 36 = 0. Selepas menggunakan formula untuk diskriminasi, nombor sifar diperoleh. Ini bermakna ia akan mempunyai satu punca, iaitu: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Persamaan keenam (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) memerlukan transformasi, yang terdiri daripada fakta bahawa anda perlu membawa istilah seperti, sebelum membuka kurungan. Di tempat yang pertama akan ada ungkapan seperti: x 2 + 2x + 1. Selepas kesamaan, entri ini akan muncul: x 2 + 3x + 2. Selepas sebutan yang serupa dikira, persamaan akan mengambil bentuk: x 2 - x \u003d 0. Ia telah menjadi tidak lengkap . Serupa dengannya telah dianggap lebih tinggi sedikit. Akar ini akan menjadi nombor 0 dan 1.

Persamaan kuadratik. Diskriminasi. Penyelesaian, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Jenis-jenis persamaan kuadratik

Apakah persamaan kuadratik? Bagaimana rupanya? Dalam istilah persamaan kuadratik kata kunci ialah "persegi". Ia bermakna bahawa dalam persamaan Semestinya mesti ada x kuasa dua. Di samping itu, dalam persamaan mungkin terdapat (atau mungkin tidak!) Hanya x (ke tahap pertama) dan hanya nombor (ahli percuma). Dan tidak sepatutnya ada x dalam darjah yang lebih besar daripada dua.

Dalam istilah matematik, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

Di sini a, b dan c- beberapa nombor. b dan c- sama sekali, tetapi A- apa-apa kecuali sifar. Sebagai contoh:

Di sini A =1; b = 3; c = -4

Di sini A =2; b = -0,5; c = 2,2

Di sini A =-3; b = 6; c = -18

Nah, anda mendapat idea...

Dalam persamaan kuadratik ini, di sebelah kiri, terdapat set penuh ahli. x kuasa dua dengan pekali A, x kepada kuasa pertama dengan pekali b Dan ahli percuma

Persamaan kuadratik sedemikian dipanggil lengkap.

Dan jika b= 0, apa yang kita akan dapat? Kami ada X akan hilang pada peringkat pertama. Ini berlaku daripada pendaraban dengan sifar.) Ternyata, sebagai contoh:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dan sebagainya. Dan jika kedua-dua pekali b Dan c adalah sama dengan sifar, maka ia lebih mudah:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Persamaan sedemikian, di mana ada sesuatu yang hilang, dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Yang agak logik.) Sila ambil perhatian bahawa x kuasa dua hadir dalam semua persamaan.

By the way kenapa A tidak boleh sifar? Dan anda menggantikannya A sifar.) X dalam petak akan hilang! Persamaan akan menjadi linear. Dan ia dilakukan secara berbeza...

Itu semua jenis utama persamaan kuadratik. Lengkap dan tidak lengkap.

Penyelesaian persamaan kuadratik.

Penyelesaian persamaan kuadratik lengkap.

Persamaan kuadratik mudah diselesaikan. Mengikut formula dan peraturan mudah yang jelas. Langkah pertama ialah membawa persamaan yang diberikan kepada pandangan standard, iaitu kepada pandangan:

Jika persamaan sudah diberikan kepada anda dalam bentuk ini, anda tidak perlu melakukan peringkat pertama.) Perkara utama ialah menentukan dengan betul semua pekali, A, b Dan c.

Formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Tetapi lebih lanjut mengenai dia di bawah. Seperti yang anda lihat, untuk mencari x, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. pekali daripada persamaan kuadratik. Hanya dengan berhati-hati menggantikan nilai a, b dan c ke dalam formula ini dan kira. Pengganti dengan tanda-tanda anda! Sebagai contoh, dalam persamaan:

A =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulis:

Contoh hampir diselesaikan:

Ini jawapannya.

Semuanya sangat mudah. Dan apa yang anda fikir, anda tidak boleh salah? Nah, ya, bagaimana...

Kesilapan yang paling biasa adalah kekeliruan dengan tanda-tanda nilai a, b dan c. Atau sebaliknya, bukan dengan tanda-tanda mereka (di mana perlu dikelirukan?), Tetapi dengan penggantian nilai negatif ke dalam formula untuk mengira akar. Di sini, rekod terperinci formula dengan nombor tertentu disimpan. Sekiranya terdapat masalah dengan pengiraan, jadi lakukan nya!

Katakan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di sini a = -6; b = -5; c = -1

Katakan anda tahu bahawa anda jarang mendapat jawapan pada kali pertama.

Nah, jangan malas. Ia akan mengambil masa 30 saat untuk menulis baris tambahan. Dan bilangan ralat akan turun mendadak. Jadi kami menulis secara terperinci, dengan semua kurungan dan tanda:

Nampaknya sangat sukar untuk melukis dengan berhati-hati. Tetapi ia hanya kelihatan. Cuba ia. Baik, atau pilih. Mana lebih baik, cepat atau betul? Selain itu, saya akan membahagiakan awak. Selepas beberapa ketika, tidak perlu melukis semuanya dengan berhati-hati. Ia hanya akan menjadi betul. Terutama jika anda menggunakan teknik praktikal, yang diterangkan di bawah. Contoh jahat dengan sekumpulan tolak ini akan diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesilapan!

Tetapi, selalunya, persamaan kuadratik kelihatan sedikit berbeza. Sebagai contoh, seperti ini:

Adakah anda tahu?) Ya! ini persamaan kuadratik tidak lengkap.

Penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap.

Mereka juga boleh diselesaikan dengan formula umum. Anda hanya perlu memikirkan dengan betul apa yang sama di sini a, b dan c.

Sedar? Dalam contoh pertama a = 1; b = -4; A c? Ia tidak wujud sama sekali! Nah, ya, betul. Dalam matematik, ini bermakna bahawa c = 0 ! Itu sahaja. Gantikan sifar ke dalam formula dan bukannya c, dan semuanya akan berjaya untuk kita. Begitu juga dengan contoh kedua. Hanya sifar yang kita tiada di sini Dengan, A b !

Tetapi persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa sebarang formula. Pertimbangkan persamaan tidak lengkap pertama. Apa yang boleh dilakukan di sebelah kiri? Anda boleh mengeluarkan X daripada kurungan! Mari kita keluarkan.

Dan apa dari ini? Dan hakikat bahawa produk adalah sama dengan sifar jika, dan hanya jika mana-mana faktor adalah sama dengan sifar! tak percaya? Nah, kemudian buat dua nombor bukan sifar yang, apabila didarab, akan memberikan sifar!
Tidak berfungsi? Sesuatu...
Oleh itu, kami boleh menulis dengan yakin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semua. Ini akan menjadi punca persamaan kita. Sama-sama muat. Apabila menggantikan mana-mana daripadanya ke dalam persamaan asal, kita mendapat identiti yang betul 0 = 0. Seperti yang anda lihat, penyelesaiannya adalah lebih mudah daripada formula am. Saya perhatikan, dengan cara itu, yang X akan menjadi yang pertama, dan yang kedua - ia sama sekali tidak peduli. Mudah untuk menulis mengikut urutan x 1- mana yang kurang x 2- yang lebih.

Persamaan kedua juga boleh diselesaikan dengan mudah. Kami bergerak 9 ke sebelah kanan. Kita mendapatkan:

Ia kekal untuk mengekstrak akar dari 9, dan itu sahaja. Dapatkan:

juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan. Sama ada dengan mengeluarkan X daripada kurungan, atau dengan hanya memindahkan nombor ke kanan, diikuti dengan mengekstrak akarnya.
Sangat sukar untuk mengelirukan kaedah ini. Semata-mata kerana dalam kes pertama anda perlu mengekstrak akar dari X, yang entah bagaimana tidak dapat difahami, dan dalam kes kedua tiada apa-apa yang perlu diambil dari kurungan ...

Diskriminasi. Formula diskriminasi.

Kata ajaib diskriminasi ! Seorang pelajar sekolah menengah yang jarang mendengar perkataan ini! Frasa "membuat keputusan melalui diskriminasi" adalah meyakinkan dan meyakinkan. Kerana tidak perlu menunggu helah daripada diskriminasi! Ia mudah dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan anda tentang formula paling umum untuk penyelesaian mana-mana persamaan kuadratik:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Diskriminasi biasanya dilambangkan dengan huruf D. Formula diskriminasi:

D = b 2 - 4ac

Dan apakah yang istimewa tentang ungkapan ini? Mengapa ia layak mendapat nama istimewa? Apa maksud diskriminasi? Lagipun -b, atau 2a dalam formula ini mereka tidak menamakan secara khusus ... Huruf dan huruf.

Intinya adalah ini. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula ini, adalah mungkin hanya tiga kes.

1. Diskriminasi adalah positif. Ini bermakna anda boleh mengekstrak akar daripadanya. Sama ada akar diekstrak dengan baik atau teruk adalah persoalan lain. Adalah penting apa yang diekstrak pada dasarnya. Maka persamaan kuadratik anda mempunyai dua punca. Dua penyelesaian berbeza.

2. Diskriminasi adalah sifar. Kemudian anda mempunyai satu penyelesaian. Oleh kerana menambah atau menolak sifar dalam pengangka tidak mengubah apa-apa. Tegasnya, ini bukan akar tunggal, tetapi dua serupa. Tetapi, dalam versi yang dipermudahkan, adalah kebiasaan untuk dibincangkan satu penyelesaian.

3. Diskriminasi adalah negatif. Nombor negatif tidak mengambil punca kuasa dua. Baiklah. Ini bermakna tiada penyelesaian.

Sejujurnya, dengan penyelesaian mudah persamaan kuadratik, konsep diskriminasi tidak benar-benar diperlukan. Kami menggantikan nilai pekali dalam formula, dan kami mempertimbangkan. Di sana segala-galanya ternyata dengan sendirinya, dan dua akar, dan satu, dan bukan satu pun. Walau bagaimanapun, apabila menyelesaikan lebih banyak tugas yang sukar, tanpa mengetahui makna dan formula diskriminasi tidak cukup. Terutama - dalam persamaan dengan parameter. Persamaan sedemikian adalah aerobatik untuk GIA dan Peperiksaan Negeri Bersepadu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi yang anda ingat. Atau belajar, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara mengenal pasti dengan betul a, b dan c. Adakah anda tahu bagaimana dengan penuh perhatian menggantikannya ke dalam formula akar dan dengan penuh perhatian mengira hasilnya. Adakah anda faham itu kata kunci di sini - dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktikal yang secara mendadak mengurangkan bilangan ralat. Orang-orang yang disebabkan oleh ketidakpedulian ... Yang mana ia kemudiannya menyakitkan dan menghina ...

Sambutan pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadratik untuk membawanya ke bentuk piawai. Apakah maksud ini?
Katakan, selepas sebarang transformasi, anda mendapat persamaan berikut:

Jangan tergesa-gesa untuk menulis formula akar! Anda hampir pasti akan mencampur-adukkan kemungkinan a, b dan c. Bina contoh dengan betul. Pertama, x kuasa dua, kemudian tanpa kuasa dua, kemudian ahli bebas. seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan tergesa-gesa! Tolak sebelum x kuasa dua boleh membuat anda kecewa. Melupakan itu mudah... Buang tolak. Bagaimana? Ya, seperti yang diajar dalam topik sebelum ini! Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Dan kini anda boleh menulis formula untuk akar dengan selamat, mengira diskriminasi dan melengkapkan contoh. Buat keputusan sendiri. Anda sepatutnya berakhir dengan akar 2 dan -1.

Sambutan kedua. Semak akar anda! Mengikut teorem Vieta. Jangan risau, saya akan terangkan semuanya! Menyemak perkara terakhir persamaan. Itu. yang mana kita menulis formula akar. Jika (seperti dalam contoh ini) pekali a = 1, semak akar dengan mudah. Ia cukup untuk membiak mereka. Anda sepatutnya mendapat tempoh percuma, i.e. dalam kes kami -2. Beri perhatian, bukan 2, tetapi -2! ahli percuma dengan tanda anda . Jika ia tidak berjaya, ini bermakna mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari ralat.

Sekiranya ia berjaya, anda perlu melipat akarnya. Semakan terakhir dan terakhir. Seharusnya nisbah b Dengan bertentangan tanda. Dalam kes kami -1+2 = +1. Satu pekali b, yang berada di hadapan x, adalah sama dengan -1. Jadi, semuanya betul!
Sayang sekali bahawa ia sangat mudah hanya untuk contoh di mana x kuasa dua adalah tulen, dengan pekali a = 1. Tetapi sekurang-kurangnya semak persamaan sedemikian! Akan ada lebih sedikit kesilapan.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan anda mempunyai pekali pecahan, hapuskan pecahan itu! Darab persamaan dengan penyebut sepunya seperti yang diterangkan dalam pelajaran "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Transformasi identiti". Apabila bekerja dengan pecahan, kesilapan, atas sebab tertentu, naik ...

Ngomong-ngomong, saya menjanjikan contoh jahat dengan sekumpulan tolak untuk dipermudahkan. Tolonglah! Ini dia.

Agar tidak keliru dalam tolak, kita darabkan persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu sahaja! Membuat keputusan adalah menyeronokkan!

Jadi mari kita imbas semula topik tersebut.

Petua Praktikal:

1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadratik ke bentuk piawai, membinanya Betul.

2. Jika terdapat pekali negatif di hadapan x dalam segi empat sama, kita hapuskannya dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1.

3. Jika pekali adalah pecahan, kita menghapuskan pecahan dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sepadan.

4. Jika x kuasa dua adalah tulen, pekali untuknya adalah sama dengan satu, penyelesaiannya boleh disemak dengan mudah oleh teorem Vieta. Lakukannya!

Sekarang anda boleh membuat keputusan.)

Selesaikan Persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawapan (bercelaru):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - sebarang nombor

x 1 = -3
x 2 = 3

tiada penyelesaian

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

Adakah semuanya sesuai? Hebat! Persamaan kuadratik bukan sakit kepala anda. Tiga yang pertama ternyata, tetapi yang lain tidak? Maka masalahnya bukan dalam persamaan kuadratik. Masalahnya adalah dalam transformasi persamaan yang sama. Cuba lihat pautan, ia berguna.

Tidak cukup berkesan? Atau ia tidak berfungsi sama sekali? Kemudian Seksyen 555 akan membantu anda. Di sana, semua contoh ini disusun mengikut tulang. Menunjukkan utama kesilapan dalam penyelesaian. Sudah tentu, aplikasi transformasi yang sama dalam menyelesaikan pelbagai persamaan juga diterangkan. Sangat membantu!

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Sebagai penerusan topik "Menyelesaikan Persamaan", bahan dalam artikel ini akan memperkenalkan anda kepada persamaan kuadratik.

Mari kita pertimbangkan segala-galanya secara terperinci: intipati dan notasi persamaan kuadratik, tetapkan istilah yang berkaitan, menganalisis skema untuk menyelesaikan persamaan yang tidak lengkap dan lengkap, berkenalan dengan formula akar dan diskriminasi, mewujudkan hubungan antara akar dan pekali, dan sudah tentu kami akan memberikan penyelesaian visual contoh praktikal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan kuadratik, jenisnya

Definisi 1

Persamaan kuadratik ialah persamaan ditulis sebagai a x 2 + b x + c = 0, Di mana x– pembolehubah, a , b dan c adalah beberapa nombor, manakala a bukan sifar.

Selalunya, persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana sebenarnya persamaan kuadratik ialah persamaan algebra darjah kedua.

Mari kita berikan satu contoh untuk menggambarkan definisi yang diberikan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, dsb. ialah persamaan kuadratik.

Definisi 2

Nombor a , b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0, manakala pekali a dipanggil pertama, atau senior, atau pekali pada x 2, b - pekali kedua, atau pekali pada x, A c dipanggil ahli percuma.

Sebagai contoh, dalam persamaan kuadratik 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 pekali tertinggi ialah 6 , pekali kedua ialah − 2 , dan istilah bebas adalah sama dengan − 11 . Marilah kita memberi perhatian kepada fakta bahawa apabila pekali b dan/atau c adalah negatif, maka singkatan rekod borang 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, tetapi tidak 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Marilah kita juga menjelaskan aspek ini: jika pekali a dan/atau b sama rata 1 atau − 1 , maka mereka mungkin tidak mengambil bahagian yang jelas dalam menulis persamaan kuadratik, yang dijelaskan oleh keanehan menulis pekali berangka yang ditunjukkan. Sebagai contoh, dalam persamaan kuadratik y 2 − y + 7 = 0 pekali kanan ialah 1 dan pekali kedua ialah − 1 .

Persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang

Mengikut nilai pekali pertama, persamaan kuadratik dibahagikan kepada berkurang dan tidak berkurang.

Definisi 3

Persamaan kuadratik terkurang ialah persamaan kuadratik dengan pekali pendahuluan ialah 1 . Untuk nilai lain pekali pendahulu, persamaan kuadratik tidak dikurangkan.

Berikut ialah beberapa contoh: persamaan kuadratik x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 dikurangkan, di mana setiap satunya pekali pendahulu ialah 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- persamaan kuadratik tidak dikurangkan, di mana pekali pertama berbeza daripada 1 .

Mana-mana persamaan kuadratik tidak dikurangkan boleh ditukar kepada persamaan terkurang dengan membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan pekali pertama (transformasi setara). Persamaan yang ditransformasikan akan mempunyai punca yang sama dengan persamaan tidak dikurangkan atau juga tidak mempunyai punca sama sekali.

Pertimbangan kajian kes akan membolehkan kita menunjukkan secara visual peralihan daripada persamaan kuadratik tidak terkurang kepada persamaan terkurang.

Contoh 1

Diberi persamaan 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Ia adalah perlu untuk menukar persamaan asal ke dalam bentuk terkurang.

Penyelesaian

Mengikut skema di atas, kita membahagikan kedua-dua bahagian persamaan asal dengan pekali pendahulu 6 . Kemudian kita dapat: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, dan ini adalah sama seperti: (6 x 2) : 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 dan seterusnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Dari sini: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Oleh itu, persamaan yang setara dengan yang diberikan diperolehi.

Jawapan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Persamaan kuadratik lengkap dan tidak lengkap

Mari kita beralih kepada definisi persamaan kuadratik. Di dalamnya, kami menyatakannya a ≠ 0. Keadaan yang sama diperlukan untuk persamaan a x 2 + b x + c = 0 adalah betul-betul persegi, sejak a = 0 ia pada asasnya berubah menjadi persamaan linear b x + c = 0.

Dalam kes di mana pekali b Dan c adalah sama dengan sifar (yang mungkin, kedua-duanya secara individu dan bersama), persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadratik tidak lengkap ialah persamaan kuadratik a x 2 + b x + c \u003d 0, di mana sekurang-kurangnya satu daripada pekali b Dan c(atau kedua-duanya) adalah sifar.

Persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan kuadratik di mana semua pekali berangka tidak sama dengan sifar.

Mari kita bincangkan mengapa jenis persamaan kuadratik diberikan dengan tepat nama sedemikian.

Untuk b = 0, persamaan kuadratik mengambil bentuk a x 2 + 0 x + c = 0, yang sama dengan a x 2 + c = 0. Pada c = 0 persamaan kuadratik ditulis sebagai a x 2 + b x + 0 = 0, yang setara a x 2 + b x = 0. Pada b = 0 Dan c = 0 persamaan akan mengambil bentuk a x 2 = 0. Persamaan yang kita perolehi berbeza daripada persamaan kuadratik penuh kerana bahagian kirinya tidak mengandungi sama ada sebutan dengan pembolehubah x, atau sebutan bebas, atau kedua-duanya sekali. Sebenarnya, fakta ini memberi nama kepada jenis persamaan ini - tidak lengkap.

Contohnya, x 2 + 3 x + 4 = 0 dan − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ialah persamaan kuadratik lengkap; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Takrifan yang diberikan di atas membolehkan untuk membezakan jenis persamaan kuadratik tidak lengkap berikut:

• a x 2 = 0, pekali sepadan dengan persamaan sedemikian b = 0 dan c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 untuk b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 untuk c = 0 .

Pertimbangkan berturut-turut penyelesaian bagi setiap jenis persamaan kuadratik tidak lengkap.

Penyelesaian persamaan a x 2 \u003d 0

Seperti yang telah disebutkan di atas, persamaan sedemikian sepadan dengan pekali b Dan c, sama dengan sifar. Persamaan a x 2 = 0 boleh ditukar kepada persamaan setara x2 = 0, yang kita dapat dengan membahagikan kedua-dua belah persamaan asal dengan nombor a, tidak sama dengan sifar. Fakta yang jelas ialah punca persamaan x2 = 0 adalah sifar kerana 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang dijelaskan oleh sifat darjah: untuk sebarang nombor p , tidak sama dengan sifar, ketaksamaan adalah benar p2 > 0, dari mana ia mengikuti bahawa apabila p ≠ 0 kesaksamaan p2 = 0 tidak akan tercapai.

Definisi 5

Oleh itu, untuk persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 = 0, terdapat punca tunggal x=0.

Contoh 2

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap − 3 x 2 = 0. Ia bersamaan dengan persamaan x2 = 0, satu-satunya akarnya ialah x=0, maka persamaan asal mempunyai punca tunggal - sifar.

Penyelesaiannya diringkaskan seperti berikut:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Penyelesaian persamaan a x 2 + c \u003d 0

Seterusnya dalam baris ialah penyelesaian persamaan kuadratik yang tidak lengkap, di mana b \u003d 0, c ≠ 0, iaitu, persamaan bentuk a x 2 + c = 0. Mari kita ubah persamaan ini dengan memindahkan istilah dari satu sisi persamaan ke yang lain, menukar tanda kepada bertentangan dan membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang tidak sama dengan sifar:

• bertahan c ke sebelah kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = − c;
• bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a, kita dapat hasil x = - c a .

Transformasi kami adalah bersamaan, masing-masing, persamaan yang terhasil juga bersamaan dengan yang asal, dan fakta ini memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang punca-punca persamaan. Daripada apakah nilai a Dan c bergantung pada nilai ungkapan - c a: ia boleh mempunyai tanda tolak (contohnya, jika a = 1 Dan c = 2, maka - c a = - 2 1 = - 2) atau tanda tambah (contohnya, jika a = -2 Dan c=6, maka - c a = - 6 - 2 = 3); ia tidak sama dengan sifar kerana c ≠ 0. Mari kita bincang dengan lebih terperinci tentang situasi apabila - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kes apabila - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа hlm kesamaan p 2 = - c a tidak boleh benar.

Semuanya berbeza apabila - c a > 0: ingat punca kuasa dua, dan ia akan menjadi jelas bahawa punca persamaan x 2 \u003d - c a akan menjadi nombor - c a, kerana - c a 2 \u003d - c a. Adalah mudah untuk memahami bahawa nombor - - c a - juga punca persamaan x 2 = - c a: sememangnya, - - c a 2 = - c a .

Persamaan tidak akan mempunyai punca lain. Kita boleh menunjukkan ini menggunakan kaedah yang bertentangan. Mula-mula, mari kita tetapkan notasi akar yang terdapat di atas sebagai x 1 Dan − x 1. Mari kita andaikan bahawa persamaan x 2 = - c a juga mempunyai punca x2, yang berbeza dari akarnya x 1 Dan − x 1. Kita tahu bahawa dengan menggantikan ke dalam persamaan dan bukannya x akarnya, kami mengubah persamaan menjadi kesamaan berangka yang saksama.

Untuk x 1 Dan − x 1 tulis: x 1 2 = - c a , dan untuk x2- x 2 2 \u003d - c a. Berdasarkan sifat kesamaan berangka, kita menolak satu kesamaan sebenar daripada sebutan lain mengikut sebutan, yang akan memberi kita: x 1 2 − x 2 2 = 0. Gunakan sifat operasi nombor untuk menulis semula kesamaan terakhir sebagai (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Diketahui bahawa hasil darab dua nombor adalah sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada nombor adalah sifar. Daripada apa yang telah dikatakan, ia mengikutinya x1 − x2 = 0 dan/atau x1 + x2 = 0, yang sama x2 = x1 dan/atau x 2 = − x 1. Percanggahan yang jelas timbul, kerana pada mulanya dipersetujui bahawa punca persamaan x2 berbeza daripada x 1 Dan − x 1. Jadi, kita telah membuktikan bahawa persamaan itu tidak mempunyai punca selain x = - c a dan x = - - c a .

Kami meringkaskan semua hujah di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 + c = 0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 = - c a , yang:

• tidak akan mempunyai akar pada - c a< 0 ;
• akan mempunyai dua punca x = - c a dan x = - - c a apabila - c a > 0 .

Mari kita berikan contoh penyelesaian persamaan a x 2 + c = 0.

Contoh 3

Diberi persamaan kuadratik 9 x 2 + 7 = 0 . Ia adalah perlu untuk mencari penyelesaiannya.

Penyelesaian

Kami memindahkan istilah bebas ke sebelah kanan persamaan, maka persamaan akan mengambil bentuk 9 x 2 \u003d - 7.
Kami membahagikan kedua-dua belah persamaan yang terhasil dengan 9 , kita sampai kepada x 2 = - 7 9 . Di sebelah kanan kita melihat nombor dengan tanda tolak, yang bermaksud: persamaan yang diberikan tidak mempunyai punca. Kemudian persamaan kuadratik tidak lengkap asal 9 x 2 + 7 = 0 tidak akan mempunyai akar.

Jawapan: persamaan 9 x 2 + 7 = 0 tidak mempunyai akar.

Contoh 4

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan − x2 + 36 = 0.

Penyelesaian

Mari kita gerakkan 36 ke sebelah kanan: − x 2 = − 36.
Mari bahagikan kedua-dua bahagian − 1 , kita mendapatkan x2 = 36. Di sebelah kanan adalah nombor positif, dari mana kita boleh membuat kesimpulan bahawa x = 36 atau x = - 36 .
Kami mengekstrak punca dan menulis hasil akhir: persamaan kuadratik yang tidak lengkap − x2 + 36 = 0 mempunyai dua akar x=6 atau x = -6.

Jawapan: x=6 atau x = -6.

Penyelesaian persamaan a x 2 +b x=0

Marilah kita menganalisis jenis ketiga persamaan kuadratik tidak lengkap, apabila c = 0. Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik yang tidak lengkap a x 2 + b x = 0, kita menggunakan kaedah pemfaktoran. Mari kita memfaktorkan polinomial, yang berada di sebelah kiri persamaan, mengambil faktor sepunya daripada kurungan x. Langkah ini akan membolehkan untuk mengubah persamaan kuadratik tidak lengkap asal kepada persamaannya x (a x + b) = 0. Dan persamaan ini pula adalah bersamaan dengan set persamaan x=0 Dan a x + b = 0. Persamaan a x + b = 0 linear, dan akarnya: x = − b a.

Definisi 7

Oleh itu, persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 + b x = 0 akan mempunyai dua akar x=0 Dan x = − b a.

Mari kita satukan bahan dengan contoh.

Contoh 5

Adalah perlu untuk mencari penyelesaian persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Penyelesaian

Mari kita keluarkan x di luar kurungan dan dapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Persamaan ini bersamaan dengan persamaan x=0 dan 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sekarang anda harus menyelesaikan persamaan linear yang terhasil: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Secara ringkas, kami menulis penyelesaian persamaan seperti berikut:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau x = 3 3 7

Jawapan: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminasi, rumus punca-punca persamaan kuadratik

Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik, terdapat rumus punca:

Definisi 8

x = - b ± D 2 a, di mana D = b 2 − 4 a c ialah apa yang dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik.

Menulis x \u003d - b ± D 2 a pada asasnya bermakna x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Adalah berguna untuk memahami cara formula yang ditunjukkan diperoleh dan cara menggunakannya.

Terbitan rumus punca-punca persamaan kuadratik

Katakan kita berhadapan dengan tugas untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0. Mari kita lakukan beberapa transformasi yang setara:

• bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor a, berbeza daripada sifar, kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• tunggalkan persegi penuh di sebelah kiri persamaan yang terhasil:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Selepas ini, persamaan akan mengambil bentuk: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• kini adalah mungkin untuk memindahkan dua istilah terakhir ke sebelah kanan, menukar tanda ke sebaliknya, selepas itu kita dapat: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• akhirnya, kami mengubah ungkapan yang ditulis di sebelah kanan kesamaan terakhir:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Oleh itu, kita telah sampai kepada persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , yang bersamaan dengan persamaan asal a x 2 + b x + c = 0.

Kami membincangkan penyelesaian persamaan tersebut dalam perenggan sebelumnya (penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap). Pengalaman yang telah diperoleh memungkinkan untuk membuat kesimpulan mengenai punca-punca persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, persamaan mempunyai bentuk x + b 2 · a 2 = 0, kemudian x + b 2 · a = 0.

Dari sini, satu-satunya punca x = - b 2 · a adalah jelas;

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, yang betul ialah: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , iaitu sama seperti x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , i.e. persamaan mempunyai dua punca.

Adalah mungkin untuk membuat kesimpulan bahawa kehadiran atau ketiadaan punca-punca persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (dan dengan itu persamaan asal) bergantung kepada tanda ungkapan b 2 - 4 a c 4 · a 2 ditulis di sebelah kanan. Dan tanda ungkapan ini diberikan oleh tanda pengangka, (penyebut 4 a 2 akan sentiasa positif), iaitu tanda ungkapan b 2 − 4 a c. Ungkapan ini b 2 − 4 a c nama diberikan - diskriminasi persamaan kuadratik dan huruf D ditakrifkan sebagai penetapannya. Di sini anda boleh menulis intipati diskriminasi - dengan nilai dan tandanya, mereka membuat kesimpulan sama ada persamaan kuadratik akan mempunyai punca sebenar, dan, jika ya, berapa banyak punca - satu atau dua.

Mari kembali kepada persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Mari kita tulis semula menggunakan tatatanda diskriminasi: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Mari kita imbas kembali kesimpulannya:

Definisi 9

• di D< 0 persamaan tidak mempunyai punca sebenar;
• di D=0 persamaan mempunyai punca tunggal x = - b 2 · a ;
• di D > 0 persamaan mempunyai dua punca: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 atau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Berdasarkan sifat radikal, akar ini boleh ditulis sebagai: x \u003d - b 2 a + D 2 a atau - b 2 a - D 2 a. Dan apabila kita membuka modul dan mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, kita mendapat: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Jadi, hasil penaakulan kami ialah terbitan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminasi D dikira dengan formula D = b 2 − 4 a c.

Formula ini membolehkan, apabila diskriminasi lebih besar daripada sifar, untuk menentukan kedua-dua punca sebenar. Apabila diskriminasi adalah sifar, menggunakan kedua-dua formula akan memberikan punca yang sama seperti keputusan sahaja persamaan kuadratik. Dalam kes apabila diskriminasi negatif, cuba menggunakan formula akar kuadratik, kita akan berhadapan dengan keperluan untuk mengekstrak Punca kuasa dua daripada nombor negatif, yang akan membawa kita melebihi nombor nyata. Dengan diskriminasi negatif, persamaan kuadratik tidak akan mempunyai punca sebenar, tetapi sepasang punca konjugat kompleks mungkin, ditentukan oleh formula punca yang sama yang kami perolehi.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan rumus punca

Adalah mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan segera menggunakan formula punca, tetapi pada asasnya ini dilakukan apabila perlu untuk mencari punca kompleks.

Dalam kebanyakan kes, carian biasanya bukan untuk kompleks, tetapi untuk punca sebenar persamaan kuadratik. Maka adalah optimum, sebelum menggunakan formula untuk punca persamaan kuadratik, mula-mula untuk menentukan diskriminasi dan pastikan ia tidak negatif (jika tidak, kita akan membuat kesimpulan bahawa persamaan tidak mempunyai punca sebenar), dan kemudian meneruskan untuk mengira nilai akar.

Penalaran di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Definisi 10

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0, perlu:

• mengikut formula D = b 2 − 4 a c cari nilai diskriminasi;
• di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• untuk D = 0 cari punca tunggal bagi persamaan dengan formula x = - b 2 · a ;
• untuk D > 0, tentukan dua punca nyata bagi persamaan kuadratik dengan formula x = - b ± D 2 · a.

Ambil perhatian bahawa apabila diskriminasi adalah sifar, anda boleh menggunakan formula x = - b ± D 2 · a , ia akan memberikan hasil yang sama seperti formula x = - b 2 · a .

Pertimbangkan contoh.

Contoh penyelesaian persamaan kuadratik

Mari kita berikan contoh penyelesaian untuk nilai yang berbeza diskriminasi.

Contoh 6

Ia adalah perlu untuk mencari punca-punca persamaan x 2 + 2 x - 6 = 0.

Penyelesaian

Kami menulis pekali berangka persamaan kuadratik: a \u003d 1, b \u003d 2 dan c = − 6. Seterusnya, kami bertindak mengikut algoritma, i.e. Mari kita mula mengira diskriminasi, yang mana kita menggantikan pekali a , b Dan c ke dalam formula diskriminasi: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Jadi, kita mendapat D > 0, yang bermaksud bahawa persamaan asal akan mempunyai dua punca sebenar.
Untuk mencarinya, kami menggunakan formula akar x \u003d - b ± D 2 · a dan, menggantikan nilai yang sesuai, kami mendapat: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Kami memudahkan ungkapan yang terhasil dengan mengeluarkan faktor daripada tanda punca, diikuti dengan pengurangan pecahan:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 atau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 atau x = - 1 - 7

Jawapan: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Contoh 7

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan kuadratik − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Penyelesaian

Mari kita tentukan diskriminasi: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Dengan nilai diskriminasi ini, persamaan asal hanya akan mempunyai satu punca, ditentukan oleh formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Jawapan: x = 3, 5.

Contoh 8

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Penyelesaian

Pekali berangka bagi persamaan ini ialah: a = 5 , b = 6 dan c = 2 . Kami menggunakan nilai ini untuk mencari diskriminasi: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Diskriminasi yang dikira adalah negatif, jadi persamaan kuadratik asal tidak mempunyai punca sebenar.

Dalam kes apabila tugasnya adalah untuk menunjukkan akar kompleks, kami menggunakan formula akar dengan melakukan operasi dengan nombor kompleks:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 atau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i atau x = - 3 5 - 1 5 i .

Jawapan: tidak ada akar sebenar; punca kompleks ialah: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

DALAM kurikulum sekolah secara lalai, tidak ada keperluan untuk mencari akar kompleks, oleh itu, jika diskriminasi ditentukan sebagai negatif semasa penyelesaian, jawapan segera direkodkan bahawa tiada akar sebenar.

Formula akar untuk pekali kedua genap

Formula punca x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) memungkinkan untuk mendapatkan formula lain, lebih padat, membolehkan anda mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik dengan pekali genap pada x (atau dengan pekali daripada bentuk 2 a n, contohnya, 2 3 atau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana formula ini diperolehi.

Katakan kita berhadapan dengan tugas mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Kami bertindak mengikut algoritma: kami menentukan diskriminasi D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , dan kemudian gunakan formula akar:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Biarkan ungkapan n 2 − a c dilambangkan sebagai D 1 (kadangkala ia dilambangkan D "). Maka formula untuk punca-punca persamaan kuadratik yang dipertimbangkan dengan pekali kedua 2 n akan mengambil bentuk:

x \u003d - n ± D 1 a, dengan D 1 \u003d n 2 - a c.

Adalah mudah untuk melihat bahawa D = 4 · D 1 , atau D 1 = D 4 . Dalam erti kata lain, D 1 ialah satu perempat daripada diskriminasi. Jelas sekali, tanda D 1 adalah sama dengan tanda D, yang bermaksud bahawa tanda D 1 juga boleh berfungsi sebagai penunjuk kehadiran atau ketiadaan punca-punca persamaan kuadratik.

Definisi 11

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik dengan pekali kedua 2 n, adalah perlu:

• cari D 1 = n 2 − a c ;
• di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• untuk D 1 = 0, tentukan satu-satunya punca persamaan dengan formula x = - n a ;
• untuk D 1 > 0, tentukan dua punca nyata menggunakan rumus x = - n ± D 1 a.

Contoh 9

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan kuadratik 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Penyelesaian

Pekali kedua bagi persamaan yang diberikan boleh diwakili sebagai 2 · (− 3) . Kemudian kita menulis semula persamaan kuadratik yang diberi sebagai 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , di mana a = 5 , n = − 3 dan c = − 32 .

Mari kita hitung bahagian keempat diskriminasi: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Nilai yang terhasil adalah positif, yang bermaksud bahawa persamaan mempunyai dua punca nyata. Kami mentakrifkannya dengan formula akar yang sepadan:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 atau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 atau x = - 2

Adalah mungkin untuk melakukan pengiraan menggunakan formula biasa untuk punca-punca persamaan kuadratik, tetapi dalam kes ini penyelesaiannya akan menjadi lebih rumit.

Jawapan: x = 3 1 5 atau x = - 2 .

Permudahkan bentuk persamaan kuadratik

Kadang-kadang adalah mungkin untuk mengoptimumkan bentuk persamaan asal, yang akan memudahkan proses pengiraan akar.

Sebagai contoh, persamaan kuadratik 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jelas lebih mudah untuk diselesaikan daripada 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Lebih kerap, penyederhanaan bentuk persamaan kuadratik dilakukan dengan mendarab atau membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan nombor tertentu. Sebagai contoh, di atas kami menunjukkan perwakilan ringkas bagi persamaan 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, yang diperoleh dengan membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan 100.

Penjelmaan sedemikian mungkin apabila pekali persamaan kuadratik bukan nombor perdana secara relatif. Maka adalah perkara biasa untuk membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan yang terbesar pembahagi biasa nilai mutlak pekalinya.

Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadratik 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Mari kita takrifkan gcd bagi nilai mutlak pekalinya: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Mari bahagikan kedua-dua bahagian persamaan kuadratik asal dengan 6 dan dapatkan persamaan kuadratik setara 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Dengan mendarab kedua-dua belah persamaan kuadratik, pekali pecahan biasanya dihapuskan. Dalam kes ini, darab dengan gandaan sepunya terkecil penyebut bagi pekalinya. Sebagai contoh, jika setiap bahagian persamaan kuadratik 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 didarab dengan LCM (6, 3, 1) \u003d 6, maka ia akan ditulis dalam lebih bentuk mudah x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Akhir sekali, kita perhatikan bahawa hampir selalu menyingkirkan tolak pada pekali pertama persamaan kuadratik, menukar tanda-tanda setiap sebutan persamaan, yang dicapai dengan mendarab (atau membahagi) kedua-dua bahagian dengan - 1. Sebagai contoh, dari persamaan kuadratik - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, anda boleh pergi ke versi mudahnya 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Hubungan antara punca dan pekali

Formula yang telah diketahui untuk punca-punca persamaan kuadratik x = - b ± D 2 · a menyatakan punca-punca persamaan dalam sebutan pekali berangkanya. Berdasarkan formula ini, kami mempunyai peluang untuk menetapkan kebergantungan lain antara punca dan pekali.

Yang paling terkenal dan boleh digunakan ialah formula teorem Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a dan x 2 \u003d c a.

Khususnya, untuk persamaan kuadratik yang diberikan, jumlah punca ialah pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Sebagai contoh, dengan bentuk persamaan kuadratik 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, adalah mungkin untuk segera menentukan bahawa jumlah puncanya ialah 7 3, dan hasil darab akar-akarnya ialah 22 3.

Anda juga boleh mencari beberapa hubungan lain antara punca dan pekali persamaan kuadratik. Sebagai contoh, jumlah kuasa dua punca persamaan kuadratik boleh dinyatakan dalam sebutan pekali:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter