rumah › Ulasan › Punca-punca persamaan kuadratik didapati menggunakan formula. Menyelesaikan persamaan kuadratik: formula akar, contoh

Punca-punca persamaan kuadratik didapati menggunakan formula. Menyelesaikan persamaan kuadratik: formula akar, contoh

Tahap pertama

Persamaan kuadratik. Panduan yang komprehensif (2019)

Dalam istilah "persamaan kuadratik," kata kuncinya ialah "kuadrat." Ini bermakna bahawa persamaan mesti semestinya mengandungi pembolehubah (x yang sama) kuasa dua, dan tidak sepatutnya ada xes kepada kuasa ketiga (atau lebih besar).

Penyelesaian banyak persamaan datang kepada menyelesaikan persamaan kuadratik.

Mari belajar untuk menentukan bahawa ini adalah persamaan kuadratik dan bukan persamaan lain.

Contoh 1.

Mari kita hapuskan penyebut dan darab setiap sebutan persamaan dengan

Mari kita gerakkan segala-galanya ke sebelah kiri dan susun istilah dalam susunan menurun bagi kuasa X

Sekarang kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa persamaan ini adalah kuadratik!

Contoh 2.

Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, walaupun pada asalnya terdapat di dalamnya, bukan kuadratik!

Contoh 3.

Mari kita darabkan semuanya dengan:

menakutkan? Darjah keempat dan kedua... Walau bagaimanapun, jika kita membuat penggantian, kita akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik mudah:

Contoh 4.

Nampaknya ada, tetapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita alihkan semuanya ke sebelah kiri:

Lihat, ia dikurangkan - dan kini ia adalah persamaan linear yang mudah!

Sekarang cuba tentukan sendiri mana antara persamaan berikut adalah kuadratik dan yang mana bukan:

Contoh:

Jawapan:

segi empat sama;
segi empat sama;
bukan persegi;
bukan persegi;
bukan persegi;
segi empat sama;
bukan persegi;
segi empat sama.

Ahli matematik secara konvensional membahagikan semua persamaan kuadratik kepada jenis berikut:

Lengkapkan persamaan kuadratik- persamaan di mana pekali dan, serta sebutan bebas c, tidak sama dengan sifar (seperti dalam contoh). Di samping itu, antara persamaan kuadratik lengkap terdapat diberi- ini adalah persamaan di mana pekali (persamaan dari contoh satu bukan sahaja lengkap, tetapi juga dikurangkan!)

Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:
Mereka tidak lengkap kerana mereka kehilangan beberapa elemen. Tetapi persamaan mesti sentiasa mengandungi x kuasa dua!!! Jika tidak, ia bukan lagi persamaan kuadratik, tetapi beberapa persamaan lain.

Mengapa mereka membuat pembahagian sedemikian? Nampaknya terdapat X kuasa dua, dan okay. Pembahagian ini ditentukan oleh kaedah penyelesaian. Mari kita lihat setiap daripada mereka dengan lebih terperinci.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Mula-mula, mari fokus pada menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah!

Terdapat jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

, dalam persamaan ini pekali adalah sama.
, dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.
, dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

1. i. Kerana kita tahu cara mengekstrak Punca kuasa dua, maka mari kita ungkapkan daripada persamaan ini

Ungkapan boleh sama ada negatif atau positif. Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa nombor positif, jadi: jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Dan jika, maka kita mendapat dua akar. Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama ialah anda mesti tahu dan sentiasa ingat bahawa ia tidak boleh kurang.

Mari cuba selesaikan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan persamaan

Sekarang yang tinggal hanyalah mengekstrak akar dari sisi kiri dan kanan. Lagipun, anda masih ingat bagaimana untuk mengekstrak akar?

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 7:

Selesaikan persamaan

Oh! Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar!

Untuk persamaan yang tidak mempunyai akar, ahli matematik menghasilkan ikon khas - (set kosong). Dan jawapannya boleh ditulis seperti ini:

Jawapan:

Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca. Tiada sekatan di sini, kerana kami tidak mengekstrak akarnya.
Contoh 8:

Selesaikan persamaan

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

Oleh itu,

Persamaan ini mempunyai dua punca.

Jawapan:

Jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang paling mudah (walaupun semuanya mudah, bukan?). Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Kami akan mengetepikan contoh di sini.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap

Kami mengingatkan anda bahawa persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan persamaan bentuk di mana

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap adalah lebih sukar (sedikit sahaja) daripada ini.

ingat, Mana-mana persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Kaedah lain akan membantu anda melakukannya dengan lebih pantas, tetapi jika anda menghadapi masalah dengan persamaan kuadratik, mula-mula kuasai penyelesaian menggunakan diskriminasi.

1. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi.

Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah ini sangat mudah; perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula.

Jika, maka persamaan mempunyai punca.Anda perlu memberi perhatian khusus kepada langkah tersebut. Diskriminasi () memberitahu kita bilangan punca persamaan.

Jika, maka formula dalam langkah akan dikurangkan kepada. Oleh itu, persamaan hanya akan mempunyai punca.
Jika, maka kami tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi pada langkah itu. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Mari kita kembali kepada persamaan kita dan lihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan persamaan

Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai dua punca.

Langkah 3.

Jawapan:

Contoh 10:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca.

Jawapan:

Contoh 11:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna kita tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi. Tiada punca persamaan.

Sekarang kita tahu cara menulis jawapan sedemikian dengan betul.

Jawapan: tiada akar

2. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta.

Jika anda masih ingat, terdapat sejenis persamaan yang dipanggil berkurangan (apabila pekali a adalah sama dengan):

Persamaan sedemikian sangat mudah untuk diselesaikan menggunakan teorem Vieta:

Jumlah akar diberi persamaan kuadratik adalah sama, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama.

Contoh 12:

Selesaikan persamaan

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana .

Hasil tambah punca persamaan adalah sama, i.e. kita mendapat persamaan pertama:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari kita karang dan selesaikan sistem:

Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Jawapan: ; .

Contoh 13:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 14:

Selesaikan persamaan

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jawapan:

PERSAMAAN KUADRATIK. TAHAP PURATA

Apakah persamaan kuadratik?

Dalam erti kata lain, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - beberapa nombor, dan.

Nombor itu dipanggil tertinggi atau pekali pertama persamaan kuadratik, - pekali kedua, A - ahli percuma.

kenapa? Kerana jika persamaan segera menjadi linear, kerana akan hilang.

Dalam kes ini, dan boleh sama dengan sifar. Dalam persamaan kerusi ini dipanggil tidak lengkap. Jika semua istilah sudah ada, iaitu persamaannya sudah lengkap.

Penyelesaian kepada pelbagai jenis persamaan kuadratik

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap:

Mula-mula, mari kita lihat kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah.

Kita boleh membezakan jenis persamaan berikut:

I., dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

II. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.

III. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.

Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada setiap subjenis ini.

Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila anda mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif. Itulah sebabnya:

jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian;

jika kita mempunyai dua akar

Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama yang perlu diingat ialah ia tidak boleh kurang.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!

Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar.

Untuk menulis secara ringkas bahawa masalah tidak mempunyai penyelesaian, kami menggunakan ikon set kosong.

Jawapan:

Jadi, persamaan ini mempunyai dua punca: dan.

Jawapan:

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Ini bermakna persamaan mempunyai penyelesaian apabila:

Jadi, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca: dan.

Contoh:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Mari kita faktorkan sisi kiri persamaan dan cari puncanya:

Jawapan:

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap:

1. Diskriminasi

Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara ini adalah mudah, perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula. Ingat, sebarang persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Adakah anda perasan akar daripada diskriminasi dalam formula untuk akar? Tetapi diskriminasi boleh menjadi negatif. Apa nak buat? Kita perlu memberi perhatian khusus kepada langkah 2. Diskriminasi memberitahu kita bilangan punca persamaan.

Jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar:
Jika, maka persamaan mempunyai punca yang sama, dan sebenarnya, satu punca:
Akar sedemikian dipanggil akar berganda.
Jika, maka akar diskriminasi tidak diekstrak. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Mengapa bilangan akar yang berbeza mungkin? Mari kita beralih kepada makna geometri bagi persamaan kuadratik. Graf fungsi ialah parabola:

Dalam kes khas, iaitu persamaan kuadratik, . Ini bermakna punca-punca persamaan kuadratik ialah titik-titik persilangan dengan paksi absis (paksi). Parabola mungkin tidak memotong paksi sama sekali, atau mungkin bersilang pada satu (apabila puncak parabola terletak pada paksi) atau dua titik.

Di samping itu, pekali bertanggungjawab untuk arah cabang parabola. Jika, maka cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika, maka ke bawah.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jawapan: .

Jawapan:

Ini bermakna tiada penyelesaian.

Jawapan: .

2. Teorem Vieta

Sangat mudah untuk menggunakan teorem Vieta: anda hanya perlu memilih sepasang nombor yang hasil darabnya sama dengan sebutan bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda bertentangan.

Adalah penting untuk diingat bahawa teorem Vieta hanya boleh digunakan dalam persamaan kuadratik terkurang ().

Mari lihat beberapa contoh:

Contoh #1:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana . Pekali lain: ; .

Jumlah punca-punca persamaan ialah:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dan semak sama ada jumlahnya sama:

Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Oleh itu, dan merupakan punca persamaan kita.

Jawapan: ; .

Contoh #2:

Penyelesaian:

Mari pilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan kemudian semak sama ada jumlahnya sama:

dan: mereka memberi secara keseluruhan.

dan: mereka memberi secara keseluruhan. Untuk mendapatkannya, cukup untuk menukar tanda-tanda akar yang sepatutnya: dan, selepas semua, produk.

Jawapan:

Contoh #3:

Penyelesaian:

Sebutan bebas bagi persamaan adalah negatif, dan oleh itu hasil darab punca ialah nombor negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan satu lagi positif. Oleh itu jumlah akar-akar adalah sama dengan perbezaan modul mereka.

Marilah kita memilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan perbezaannya adalah sama dengan:

dan: perbezaan mereka adalah sama - tidak sesuai;

dan: - tidak sesuai;

dan: - sesuai. Apa yang tinggal ialah ingat bahawa salah satu akarnya adalah negatif. Oleh kerana jumlahnya mestilah sama, punca dengan modulus yang lebih kecil mestilah negatif: . Kami menyemak:

Jawapan:

Contoh #4:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Istilah bebas adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar adalah negatif. Dan ini hanya mungkin apabila satu punca persamaan adalah negatif dan satu lagi positif.

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama, dan kemudian tentukan punca mana yang sepatutnya mempunyai tanda negatif:

Jelas sekali, hanya akar dan sesuai untuk keadaan pertama:

Jawapan:

Contoh #5:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jumlah akar adalah negatif, yang bermaksud bahawa sekurang-kurangnya satu daripada akar adalah negatif. Tetapi kerana produk mereka positif, ini bermakna kedua-dua akar mempunyai tanda tolak.

Mari kita pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dengan:

Jelas sekali, akarnya ialah nombor dan.

Jawapan:

Setuju, adalah sangat mudah untuk menghasilkan akar secara lisan, bukannya mengira diskriminasi jahat ini. Cuba gunakan teorem Vieta sekerap mungkin.

Tetapi teorem Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepatkan mencari punca. Untuk anda mendapat manfaat daripada menggunakannya, anda mesti membawa tindakan kepada keautomasian. Dan untuk ini, selesaikan lima lagi contoh. Tetapi jangan menipu: anda tidak boleh menggunakan diskriminasi! Hanya teorem Vieta:

Penyelesaian kepada tugasan untuk kerja bebas:

Tugasan 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorem Vieta:

Seperti biasa, kami memulakan pemilihan dengan sekeping:

Tidak sesuai kerana jumlahnya;

: jumlahnya adalah apa yang anda perlukan.

Jawapan: ; .

Tugasan 2.

Dan sekali lagi teorem Vieta kegemaran kami: jumlah mesti sama, dan hasil darab mestilah sama.

Tetapi kerana ia mesti tidak, tetapi, kita menukar tanda-tanda akar: dan (secara keseluruhan).

Jawapan: ; .

Tugasan 3.

Hmm... Mana tu?

Anda perlu memindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian:

Jumlah akar adalah sama dengan hasil darab.

Okay, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tetapi teorem Vieta hanya terpakai dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama anda perlu memberikan persamaan. Jika anda tidak boleh memimpin, tinggalkan idea ini dan selesaikan dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi). Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk memberikan persamaan kuadratik bermakna menjadikan pekali pendahulu sama:

Hebat. Maka jumlah akar adalah sama dengan dan hasil darab.

Di sini, semudah memerah pear untuk dipilih: lagipun, ia adalah nombor perdana (maaf atas tautologi).

Jawapan: ; .

Tugasan 4.

Ahli percuma adalah negatif. Apa yang istimewa tentang ini? Dan hakikatnya ialah akar akan mempunyai tanda yang berbeza. Dan sekarang, semasa pemilihan, kami tidak menyemak jumlah akar, tetapi perbezaan dalam modul mereka: perbezaan ini sama, tetapi produk.

Jadi, akarnya adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. Teorem Vieta memberitahu kita bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, iaitu. Ini bermakna bahawa akar yang lebih kecil akan mempunyai tolak: dan, sejak.

Jawapan: ; .

Tugasan 5.

Apa yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, berikan persamaan:

Sekali lagi: kami memilih faktor nombor, dan perbezaannya hendaklah sama dengan:

Akar adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. yang mana? Jumlah mereka harus sama, yang bermaksud bahawa tolak akan mempunyai akar yang lebih besar.

Jawapan: ; .

Biar saya ringkaskan:

Teorem Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadratik yang diberikan.
Menggunakan teorem Vieta, anda boleh mencari akar dengan pemilihan, secara lisan.
Jika persamaan tidak diberikan atau tiada pasangan faktor yang sesuai bagi istilah bebas ditemui, maka tiada punca keseluruhan, dan anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi).

3. Kaedah untuk memilih petak lengkap

Jika semua istilah yang mengandungi yang tidak diketahui diwakili dalam bentuk sebutan daripada rumus pendaraban yang disingkatkan - kuasa dua jumlah atau perbezaan - maka selepas menggantikan pembolehubah, persamaan boleh dibentangkan dalam bentuk persamaan kuadratik tidak lengkap jenis.

Sebagai contoh:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

DALAM Pandangan umum transformasi akan kelihatan seperti ini:

Ini bermakna: .

Tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Ini adalah perkara yang diskriminasi! Itulah cara kami mendapat formula diskriminasi.

PERSAMAAN KUADRATIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Persamaan kuadratik- ini ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - pekali persamaan kuadratik, - sebutan bebas.

Persamaan kuadratik lengkap- persamaan di mana pekalinya tidak sama dengan sifar.

Persamaan kuadratik terkurang- persamaan di mana pekalinya, iaitu: .

Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:

jika pekali, persamaannya kelihatan seperti: ,
jika terdapat istilah bebas, persamaan mempunyai bentuk: ,
jika dan, persamaannya kelihatan seperti: .

1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :

1) Mari kita nyatakan yang tidak diketahui: ,

2) Semak tanda ungkapan:

jika, maka persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian,
jika, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

1.2. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :

1) Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan: ,

2) Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan mempunyai dua punca:

1.3. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana:

Persamaan ini sentiasa mempunyai satu punca sahaja: .

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap bentuk di mana

2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminasi

1) Mari kita bawa persamaan ke bentuk piawai: ,

2) Mari kita hitung diskriminasi menggunakan formula: , yang menunjukkan bilangan punca persamaan:

3) Cari punca-punca persamaan:

jika, maka persamaan mempunyai punca-punca, yang didapati dengan formula:
jika, maka persamaan mempunyai punca, yang ditemui oleh formula:
jika, maka persamaan itu tidak mempunyai punca.

2.2. Penyelesaian menggunakan teorem Vieta

Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang (persamaan bentuk di mana) adalah sama, dan hasil darab punca adalah sama, i.e. , A.

2.3. Penyelesaian dengan kaedah memilih segi empat sama lengkap

Beberapa masalah dalam matematik memerlukan kebolehan untuk mengira nilai punca kuasa dua. Masalah sedemikian termasuk menyelesaikan persamaan tertib kedua. Dalam artikel ini kami akan membentangkan kaedah yang berkesan pengiraan punca kuasa dua dan gunakannya apabila bekerja dengan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik.

Apakah punca kuasa dua?

Dalam matematik, konsep ini sepadan dengan simbol √. Data sejarah mengatakan bahawa ia pertama kali digunakan sekitar separuh pertama abad ke-16 di Jerman (karya Jerman pertama mengenai algebra oleh Christoph Rudolf). Para saintis percaya bahawa simbol yang dinyatakan adalah berubah huruf latin r (radix bermaksud "akar" dalam bahasa Latin).

Punca sebarang nombor adalah sama dengan nilai yang kuasa duanya sepadan dengan ungkapan radikal. Dalam bahasa matematik, definisi ini akan kelihatan seperti ini: √x = y, jika y 2 = x.

Punca nombor positif (x > 0) juga adalah nombor positif (y > 0), tetapi jika anda mengambil punca nombor negatif (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Berikut adalah dua contoh mudah:

√9 = 3, kerana 3 2 = 9; √(-9) = 3i, kerana i 2 = -1.

Formula lelaran Heron untuk mencari nilai punca kuasa dua

Contoh di atas sangat mudah, dan mengira akar di dalamnya tidaklah sukar. Kesukaran mula muncul walaupun apabila mencari nilai akar untuk sebarang nilai yang tidak boleh diwakili sebagai kuasa dua nombor asli, contohnya √10, √11, √12, √13, apatah lagi fakta bahawa dalam amalan ia adalah perlu untuk mencari punca bagi nombor bukan integer: contohnya √(12.15), √(8.5) dan seterusnya.

Dalam semua kes di atas, kaedah khas untuk mengira punca kuasa dua harus digunakan. Pada masa ini, beberapa kaedah sedemikian diketahui: contohnya, pengembangan siri Taylor, pembahagian lajur dan beberapa yang lain. Daripada semua kaedah yang diketahui, mungkin yang paling mudah dan paling berkesan ialah penggunaan formula lelaran Heron, yang juga dikenali sebagai kaedah Babylon untuk menentukan punca kuasa dua (terdapat bukti bahawa orang Babylon kuno menggunakannya dalam pengiraan praktikal mereka).

Biarlah perlu untuk menentukan nilai √x. Formula untuk mencari punca kuasa dua adalah seperti berikut:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), dengan lim n->∞ (a n) => x.

Mari kita tafsirkan tatatanda matematik ini. Untuk mengira √x, anda harus mengambil nombor tertentu a 0 (ia boleh sewenang-wenangnya, tetapi untuk mendapatkan keputusan dengan cepat, anda harus memilihnya supaya (a 0) 2 sedekat mungkin dengan x. Kemudian gantikannya ke dalam formula yang ditunjukkan untuk mengira punca kuasa dua dan mendapatkan nombor baru a 1, yang sudah lebih dekat dengan nilai yang dikehendaki. Selepas ini, anda perlu menggantikan 1 ke dalam ungkapan dan mendapatkan 2. Prosedur ini perlu diulang sehingga diperlukan ketepatan diperolehi.

Contoh penggunaan formula lelaran Heron

Algoritma yang diterangkan di atas untuk mendapatkan punca kuasa dua nombor tertentu mungkin terdengar agak rumit dan mengelirukan ramai, tetapi pada hakikatnya semuanya ternyata lebih mudah, kerana formula ini menumpu dengan sangat cepat (terutama jika nombor yang berjaya dipilih 0) .

Mari kita berikan contoh mudah: anda perlu mengira √11. Mari kita pilih 0 = 3, kerana 3 2 = 9, yang lebih hampir kepada 11 daripada 4 2 = 16. Menggantikan ke dalam formula, kita mendapat:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;

a 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.

Tidak ada gunanya meneruskan pengiraan, kerana kami mendapati bahawa 2 dan 3 mula berbeza hanya di tempat perpuluhan ke-5. Oleh itu, cukup untuk menggunakan formula hanya 2 kali untuk mengira √11 dengan ketepatan 0.0001.

Pada masa kini, kalkulator dan komputer digunakan secara meluas untuk mengira punca, bagaimanapun, adalah berguna untuk mengingati formula yang ditanda supaya dapat mengira nilai tepatnya secara manual.

Persamaan tertib kedua

Memahami apa itu punca kuasa dua dan kebolehan mengiranya digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadratik. Persamaan ini dipanggil kesamaan dengan satu yang tidak diketahui, bentuk umumnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Di sini c, b dan a mewakili beberapa nombor, dan a tidak boleh sama dengan sifar, dan nilai c dan b boleh menjadi sewenang-wenangnya, termasuk sama dengan sifar.

Sebarang nilai x yang memenuhi kesamaan yang ditunjukkan dalam rajah dipanggil puncanya (konsep ini tidak boleh dikelirukan dengan punca kuasa dua √). Oleh kerana persamaan yang dipertimbangkan adalah daripada tertib ke-2 (x 2), maka tidak boleh ada lebih daripada dua punca untuknya. Mari lihat lebih lanjut dalam artikel tentang cara mencari akar ini.

Mencari punca-punca persamaan kuadratik (rumus)

Kaedah untuk menyelesaikan jenis kesamaan yang sedang dipertimbangkan ini juga dipanggil kaedah universal, atau kaedah diskriminasi. Ia boleh digunakan untuk sebarang persamaan kuadratik. Formula untuk diskriminasi dan punca persamaan kuadratik adalah seperti berikut:

Ia menunjukkan bahawa punca bergantung kepada nilai setiap tiga pekali persamaan. Selain itu, pengiraan x 1 berbeza daripada pengiraan x 2 hanya dengan tanda di hadapan punca kuasa dua. Ungkapan radikal, yang sama dengan b 2 - 4ac, tidak lebih daripada diskriminasi kesamaan yang dipersoalkan. Diskriminasi dalam formula untuk punca-punca persamaan kuadratik memainkan peranan penting kerana ia menentukan bilangan dan jenis penyelesaian. Jadi, jika ia sama dengan sifar, maka hanya akan ada satu penyelesaian, jika ia positif, maka persamaan itu mempunyai dua punca nyata, dan akhirnya, diskriminasi negatif membawa kepada dua punca kompleks x 1 dan x 2.

Teorem Vieta atau beberapa sifat punca persamaan tertib kedua

Pada akhir abad ke-16, salah seorang pengasas algebra moden, seorang Perancis, yang mempelajari persamaan tertib kedua, dapat memperoleh sifat-sifat akarnya. Secara matematik mereka boleh ditulis seperti ini:

x 1 + x 2 = -b / a dan x 1 * x 2 = c / a.

Kedua-dua persamaan boleh diperolehi dengan mudah oleh sesiapa sahaja; untuk melakukan ini, anda hanya perlu melakukan operasi matematik yang sesuai dengan punca yang diperoleh melalui formula dengan diskriminasi.

Gabungan kedua-dua ungkapan ini betul-betul boleh dipanggil formula kedua untuk punca-punca persamaan kuadratik, yang memungkinkan untuk meneka penyelesaiannya tanpa menggunakan diskriminasi. Di sini perlu diperhatikan bahawa walaupun kedua-dua ungkapan sentiasa sah, ia adalah mudah untuk menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan hanya jika ia boleh difaktorkan.

Tugas menyatukan pengetahuan yang diperoleh

Mari kita selesaikan masalah matematik di mana kita akan menunjukkan semua teknik yang dibincangkan dalam artikel. Syarat masalah adalah seperti berikut: anda perlu mencari dua nombor yang hasil darabnya ialah -13 dan jumlahnya ialah 4.

Keadaan ini segera mengingatkan kita tentang teorem Vieta; menggunakan formula untuk jumlah punca kuasa dua dan hasil darabnya, kita menulis:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Jika kita mengandaikan bahawa a = 1, maka b = -4 dan c = -13. Pekali ini membolehkan kita mencipta persamaan tertib kedua:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Mari kita gunakan formula dengan diskriminasi dan dapatkan punca berikut:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Iaitu, masalah dikurangkan kepada mencari nombor √68. Perhatikan bahawa 68 = 4 * 17, maka, dengan menggunakan sifat punca kuasa dua, kita dapat: √68 = 2√17.

Sekarang mari kita gunakan formula punca kuasa dua yang dipertimbangkan: a 0 = 4, kemudian:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231.

Tidak perlu mengira 3 kerana nilai yang ditemui berbeza hanya 0.02. Oleh itu, √68 = 8.246. Menggantikannya ke dalam formula untuk x 1,2, kita dapat:

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 dan x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.

Seperti yang dapat kita lihat, jumlah nombor yang ditemui adalah benar-benar sama dengan 4, tetapi jika kita mendapati hasil mereka, maka ia akan sama dengan -12.999, yang memenuhi syarat masalah dengan ketepatan 0.001.

Dengan program matematik ini anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik.

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian dalam dua cara:
- menggunakan diskriminasi
- menggunakan teorem Vieta (jika boleh).

Selain itu, jawapan dipaparkan sebagai tepat, bukan anggaran.
Sebagai contoh, untuk persamaan $81x^2-16x-1=0$ jawapan dipaparkan dalam bentuk berikut:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ dan bukan seperti ini: $x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05$

Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah Menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini anda boleh membelanjakan anda latihan sendiri dan/atau melatih adik lelaki atau perempuan mereka, sementara tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik

Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.
Contohnya: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, dsb.

Nombor boleh dimasukkan sebagai nombor bulat atau pecahan.
Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan bukan sahaja dalam bentuk perpuluhan, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Dalam pecahan perpuluhan, bahagian pecahan boleh dipisahkan daripada keseluruhan bahagian sama ada dengan noktah atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh memasukkan pecahan perpuluhan seperti ini: 2.5x - 3.5x^2

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Seluruh bahagian dipisahkan daripada pecahan oleh tanda ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Keputusan: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2$

Apabila memasukkan ungkapan anda boleh menggunakan kurungan. Dalam kes ini, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.
Contohnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

buat keputusan

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadratik dan punca-puncanya. Persamaan kuadratik tidak lengkap

Setiap persamaan
$-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
kelihatan seperti
$ax^2+bx+c=0, $
di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah nombor.
Dalam persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1.4, dalam kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, dalam ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan kuadratik.

Definisi.
Persamaan kuadratik dipanggil persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan $a \neq 0 $.

Nombor a, b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik. Nombor a dipanggil pekali pertama, nombor b ialah pekali kedua, dan nombor c ialah sebutan bebas.

Dalam setiap persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, dengan $a\neq 0$, kuasa terbesar pembolehubah x ialah segi empat sama. Oleh itu namanya: persamaan kuadratik.

Perhatikan bahawa persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana bahagian kirinya ialah polinomial darjah kedua.

Persamaan kuadratik di mana pekali x 2 adalah sama dengan 1 dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan. Sebagai contoh, persamaan kuadratik yang diberikan ialah persamaan
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

Jika dalam persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 sekurang-kurangnya satu daripada pekali b atau c adalah sama dengan sifar, maka persamaan tersebut dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Oleh itu, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap. Dalam yang pertama b=0, dalam kedua c=0, dalam ketiga b=0 dan c=0.

Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:
1) ax 2 +c=0, dengan $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, dengan $b \neq 0 $;
3) ax 2 =0.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan bagi setiap jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +c=0 untuk $c \neq 0 $, gerakkan sebutan bebasnya ke bahagian kanan dan bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

Oleh kerana $c \neq 0 $, maka $-\frac(c)(a) \neq 0 $

Jika $-\frac(c)(a)>0$, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

Jika $-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap bentuk ax 2 +bx=0 dengan \(b \neq 0 $ faktorkan sisi kirinya dan dapatkan persamaan
$x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (tatasusunan)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(susun) \kanan. $

Ini bermakna persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +bx=0 untuk $b \neq 0 $ sentiasa mempunyai dua punca.

Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 =0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 =0 dan oleh itu mempunyai punca tunggal 0.

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di mana kedua-dua pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah bukan sifar.

Mari kita selesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kita memperoleh formula untuk punca-punca. Formula ini kemudiannya boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.

Selesaikan persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0

Membahagikan kedua-dua belah dengan a, kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang yang setara
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

Mari kita ubah persamaan ini dengan memilih kuasa dua binomial:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\kanan)^2- \left(\frac(b)(2a)\kanan)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Anak panah kanan \kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Anak panah kanan $ $x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Anak panah kanan $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

Ungkapan radikal dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - diskriminator). Ia ditetapkan oleh huruf D, i.e.
$D = b^2-4ac$

Sekarang, menggunakan tatatanda diskriminasi, kami menulis semula formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, di mana $D= b^2-4ac $

Jelas sekali bahawa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca $x=-\frac(b)(2a)$.
3) Jika D Oleh itu, bergantung kepada nilai diskriminasi, persamaan kuadratik boleh mempunyai dua punca (untuk D > 0), satu punca (untuk D = 0) atau tidak mempunyai punca (untuk D Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan ini formula, adalah dinasihatkan untuk melakukan cara berikut:
1) kira diskriminasi dan bandingkan dengan sifar;
2) jika diskriminasi adalah positif atau sama dengan sifar, maka gunakan formula akar; jika diskriminasi negatif, maka tulis bahawa tiada punca.

Teorem Vieta

Persamaan kuadratik yang diberi ax 2 -7x+10=0 mempunyai punca 2 dan 5. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darab ialah 10. Kita lihat bahawa jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan sebaliknya tanda, dan hasil darab akar-akar adalah sama dengan sebutan bebas. Mana-mana persamaan kuadratik terkecil yang mempunyai punca mempunyai sifat ini.

Jumlah punca persamaan kuadratik di atas adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas.

Itu. Teorem Vieta menyatakan bahawa punca x 1 dan x 2 bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 +px+q=0 mempunyai sifat:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

Topik ini mungkin kelihatan sukar pada mulanya kerana ramai yang tidak begitu formula mudah. Bukan sahaja persamaan kuadratik itu sendiri mempunyai tatatanda yang panjang, tetapi punca juga ditemui melalui diskriminasi. Secara keseluruhan, tiga formula baru diperolehi. Tidak begitu mudah untuk diingati. Ini hanya mungkin selepas menyelesaikan persamaan sedemikian dengan kerap. Kemudian semua formula akan diingati sendiri.

Pandangan umum persamaan kuadratik

Di sini kami mencadangkan rakaman eksplisit mereka, apabila darjah terbesar ditulis dahulu, dan kemudian dalam susunan menurun. Selalunya terdapat situasi apabila terma tidak konsisten. Maka adalah lebih baik untuk menulis semula persamaan dalam tertib menurun bagi darjah pembolehubah.

Mari kita perkenalkan beberapa notasi. Mereka dibentangkan dalam jadual di bawah.

Jika kita menerima tatatanda ini, semua persamaan kuadratik dikurangkan kepada tatatanda berikut.

Selain itu, pekali a ≠ 0. Biarkan formula ini ditetapkan sebagai nombor satu.

Apabila persamaan diberikan, tidak jelas berapa banyak punca yang akan ada dalam jawapan. Kerana satu daripada tiga pilihan sentiasa mungkin:

penyelesaiannya akan mempunyai dua akar;
jawapannya ialah satu nombor;
persamaan itu tidak akan mempunyai punca sama sekali.

Dan sehingga keputusan dimuktamadkan, sukar untuk memahami pilihan mana yang akan muncul dalam kes tertentu.

Jenis-jenis rakaman persamaan kuadratik

Mungkin terdapat entri yang berbeza dalam tugasan. Mereka tidak akan sentiasa kelihatan seperti formula persamaan kuadratik am. Kadangkala ia akan kehilangan beberapa istilah. Apa yang ditulis di atas adalah persamaan lengkap. Jika anda mengalih keluar penggal kedua atau ketiga di dalamnya, anda mendapat sesuatu yang lain. Rekod ini juga dipanggil persamaan kuadratik, hanya tidak lengkap.

Selain itu, hanya istilah dengan pekali "b" dan "c" boleh hilang. Nombor "a" tidak boleh sama dengan sifar dalam apa jua keadaan. Kerana dalam kes ini formula bertukar menjadi persamaan linear. Formula untuk bentuk persamaan yang tidak lengkap adalah seperti berikut:

Jadi, hanya terdapat dua jenis; sebagai tambahan kepada yang lengkap, terdapat juga persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Biarkan formula pertama menjadi nombor dua, dan yang kedua - tiga.

Diskriminasi dan pergantungan bilangan akar pada nilainya

Anda perlu mengetahui nombor ini untuk mengira punca-punca persamaan. Ia sentiasa boleh dikira, tidak kira apa formula persamaan kuadratik itu. Untuk mengira diskriminasi, anda perlu menggunakan kesamaan yang ditulis di bawah, yang akan mempunyai nombor empat.

Selepas menggantikan nilai pekali ke dalam formula ini, anda boleh mendapatkan nombor dengan tanda yang berbeza. Jika jawapannya ya, maka jawapan kepada persamaan itu ialah dua punca yang berbeza. Jika nombor itu negatif, tidak akan ada punca persamaan kuadratik. Jika sama dengan sifar, hanya ada satu jawapan.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap?

Malah, pertimbangan isu ini telah pun bermula. Kerana pertama anda perlu mencari diskriminasi. Selepas ditentukan bahawa terdapat punca persamaan kuadratik, dan bilangannya diketahui, anda perlu menggunakan formula untuk pembolehubah. Sekiranya terdapat dua akar, maka anda perlu menggunakan formula berikut.

Oleh kerana ia mengandungi tanda "±", akan ada dua makna. Ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua ialah diskriminasi. Oleh itu, formula boleh ditulis semula secara berbeza.

Formula nombor lima. Daripada rekod yang sama adalah jelas bahawa jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, maka kedua-dua punca akan mengambil nilai yang sama.

Jika menyelesaikan persamaan kuadratik belum lagi diusahakan, maka adalah lebih baik untuk menuliskan nilai semua pekali sebelum menggunakan formula diskriminasi dan pembolehubah. Nanti detik ini tidak akan menyebabkan kesukaran. Tetapi pada awalnya terdapat kekeliruan.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap?

Segala-galanya lebih mudah di sini. Tidak ada keperluan untuk formula tambahan. Dan mereka yang telah ditulis untuk diskriminasi dan yang tidak diketahui tidak akan diperlukan.

Pertama, mari kita lihat persamaan nombor dua yang tidak lengkap. Dalam kesamaan ini, adalah perlu untuk mengeluarkan kuantiti yang tidak diketahui daripada kurungan dan menyelesaikan persamaan linear, yang akan kekal dalam kurungan. Jawapannya akan mempunyai dua punca. Yang pertama semestinya sama dengan sifar, kerana terdapat pengganda yang terdiri daripada pembolehubah itu sendiri. Yang kedua akan diperolehi dengan menyelesaikan persamaan linear.

Persamaan nombor tiga yang tidak lengkap diselesaikan dengan memindahkan nombor dari sebelah kiri kesamaan ke kanan. Kemudian anda perlu membahagikan dengan pekali menghadap yang tidak diketahui. Yang tinggal hanyalah mengekstrak punca kuasa dua dan ingat untuk menuliskannya dua kali dengan tanda yang bertentangan.

Di bawah ialah beberapa langkah yang akan membantu anda mempelajari cara menyelesaikan semua jenis kesamaan yang bertukar menjadi persamaan kuadratik. Mereka akan membantu pelajar untuk mengelakkan kesilapan kerana tidak mengambil perhatian. Kelemahan ini boleh menyebabkan gred yang lemah apabila mempelajari topik yang luas "Persamaan Kuadratik (Gred Ke-8)." Selepas itu, tindakan ini tidak perlu dilakukan secara berterusan. Kerana kemahiran yang stabil akan muncul.

Mula-mula anda perlu menulis persamaan dalam bentuk piawai. Iaitu, pertama istilah dengan darjah terbesar pembolehubah, dan kemudian - tanpa ijazah, dan terakhir - hanya nombor.

Jika tolak muncul sebelum pekali "a", ia boleh merumitkan kerja untuk pemula yang mempelajari persamaan kuadratik. Lebih baik membuangnya. Untuk tujuan ini, semua kesaksamaan mesti didarab dengan "-1". Ini bermakna semua istilah akan menukar tanda kepada sebaliknya.

Adalah disyorkan untuk menyingkirkan pecahan dengan cara yang sama. Cukup darab persamaan dengan faktor yang sesuai supaya penyebutnya dibatalkan.

Contoh

Ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik berikut:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Persamaan pertama: x 2 − 7x = 0. Ia tidak lengkap, oleh itu ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula nombor dua.

Selepas mengeluarkannya daripada kurungan, ternyata: x (x - 7) = 0.

Punca pertama mengambil nilai: x 1 = 0. Punca kedua akan didapati daripada persamaan linear: x - 7 = 0. Mudah untuk melihat bahawa x 2 = 7.

Persamaan kedua: 5x 2 + 30 = 0. Sekali lagi tidak lengkap. Hanya ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula ketiga.

Selepas memindahkan 30 ke sebelah kanan persamaan: 5x 2 = 30. Sekarang anda perlu bahagi dengan 5. Ternyata: x 2 = 6. Jawapannya ialah nombor: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Persamaan ketiga: 15 − 2х − x 2 = 0. Di sini dan seterusnya, menyelesaikan persamaan kuadratik akan bermula dengan penulisan semula dalam pandangan standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Kini tiba masanya untuk menggunakan yang kedua nasihat yang berguna dan darabkan semuanya dengan tolak satu. Ternyata x 2 + 2x - 15 = 0. Menggunakan formula keempat, anda perlu mengira diskriminasi: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ia adalah nombor positif. Daripada apa yang dikatakan di atas, ternyata persamaan itu mempunyai dua punca. Mereka perlu dikira menggunakan formula kelima. Ternyata x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Kemudian x 1 = 3, x 2 = - 5.

Persamaan keempat x 2 + 8 + 3x = 0 diubah menjadi ini: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminasinya adalah sama dengan nilai ini: -23. Oleh kerana nombor ini negatif, jawapan kepada tugas ini ialah entri berikut: "Tiada akar."

Persamaan kelima 12x + x 2 + 36 = 0 hendaklah ditulis semula seperti berikut: x 2 + 12x + 36 = 0. Selepas menggunakan formula untuk diskriminasi, nombor sifar diperoleh. Ini bermakna ia akan mempunyai satu punca, iaitu: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Persamaan keenam (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) memerlukan transformasi, yang terdiri daripada fakta bahawa anda perlu membawa istilah yang serupa, mula-mula membuka kurungan. Di tempat yang pertama akan terdapat ungkapan berikut: x 2 + 2x + 1. Selepas kesamaan, entri ini akan muncul: x 2 + 3x + 2. Selepas sebutan yang serupa dikira, persamaan akan mengambil bentuk: x 2 - x = 0. Ia telah menjadi tidak lengkap . Sesuatu yang serupa dengan ini telah dibincangkan lebih tinggi sedikit. Akar ini akan menjadi nombor 0 dan 1.

DALAM masyarakat moden keupayaan untuk melaksanakan operasi dengan persamaan yang mengandungi kuasa dua pembolehubah boleh berguna dalam banyak bidang aktiviti dan digunakan secara meluas dalam amalan dalam perkembangan saintifik dan teknikal. Bukti ini boleh didapati dalam reka bentuk kapal laut dan sungai, pesawat dan peluru berpandu. Menggunakan pengiraan sedemikian, trajektori pergerakan pelbagai jenis badan, termasuk objek angkasa, ditentukan. Contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik digunakan bukan sahaja dalam peramalan ekonomi, dalam reka bentuk dan pembinaan bangunan, tetapi juga dalam keadaan harian yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan dalam perjalanan mendaki, pertandingan sukan, di kedai semasa membeli-belah dan dalam situasi biasa yang lain.

Mari kita pecahkan ungkapan kepada faktor komponennya

Darjah persamaan ditentukan oleh nilai maksimum darjah pembolehubah yang terkandung dalam ungkapan itu. Jika ia sama dengan 2, maka persamaan sedemikian dipanggil kuadratik.

Jika kita bercakap dalam bahasa formula, maka ungkapan yang ditunjukkan, tidak kira bagaimana rupanya, sentiasa boleh dibawa ke bentuk apabila bahagian kiri ungkapan terdiri daripada tiga istilah. Antaranya: ax 2 (iaitu pembolehubah kuasa dua dengan pekalinya), bx (yang tidak diketahui tanpa segi empat sama dengan pekalinya) dan c (komponen bebas, iaitu nombor biasa). Semua ini di sebelah kanan adalah sama dengan 0. Dalam kes apabila polinomial tersebut tidak mempunyai salah satu sebutan konstituennya, kecuali ax 2, ia dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Contoh dengan penyelesaian masalah sedemikian, nilai pembolehubah yang mudah dicari, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ungkapan itu kelihatan sedemikian rupa sehingga ungkapan di sebelah kanan mempunyai dua sebutan, lebih tepat ax 2 dan bx, cara paling mudah untuk mencari x ialah dengan meletakkan pembolehubah di luar kurungan. Sekarang persamaan kita akan kelihatan seperti ini: x(ax+b). Seterusnya, menjadi jelas bahawa sama ada x=0, atau masalah datang untuk mencari pembolehubah daripada ungkapan berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat pendaraban. Peraturan menyatakan bahawa hasil darab dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satu daripadanya adalah sifar.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Hasilnya, kita mendapat dua punca persamaan: 0 dan 0.375.

Persamaan seperti ini boleh menggambarkan pergerakan badan di bawah pengaruh graviti, yang mula bergerak dari titik tertentu yang diambil sebagai asal koordinat. Di sini tatatanda matematik mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Menggantikan nilai yang diperlukan Dengan menyamakan bahagian kanan kepada 0 dan mencari kemungkinan yang tidak diketahui, anda boleh mengetahui masa yang berlalu dari saat badan naik ke saat ia jatuh, serta banyak kuantiti lain. Tetapi kita akan bercakap tentang perkara ini kemudian.

Memfaktorkan Ekspresi

Peraturan yang diterangkan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan lebih banyak lagi kes yang sukar. Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan kuadratik jenis ini.

X 2 - 33x + 200 = 0

Trinomial kuadratik ini sudah lengkap. Pertama, mari kita ubah ungkapan dan faktorkannya. Terdapat dua daripadanya: (x-8) dan (x-25) = 0. Akibatnya, kita mempunyai dua punca 8 dan 25.

Contoh dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dalam gred 9 membenarkan kaedah ini untuk mencari pembolehubah dalam ungkapan bukan sahaja bagi urutan kedua, malah bagi susunan ketiga dan keempat.

Contohnya: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Apabila memfaktorkan sisi kanan ke dalam faktor dengan pembolehubah, terdapat tiga daripadanya, iaitu (x+1), (x-3) dan (x+ 3).

Akibatnya, menjadi jelas bahawa persamaan ini mempunyai tiga punca: -3; -1; 3.

Punca kuasa dua

Satu lagi kes persamaan tertib kedua yang tidak lengkap ialah ungkapan yang diwakili dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga bahagian sebelah kanan dibina daripada komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai pembolehubah, istilah bebas dipindahkan ke sebelah kanan, dan selepas itu punca kuasa dua diekstrak dari kedua-dua belah kesamaan. Perlu diingatkan bahawa dalam dalam kes ini Biasanya terdapat dua punca persamaan. Satu-satunya pengecualian boleh menjadi kesamaan yang tidak mengandungi istilah sama sekali, di mana pembolehubah adalah sama dengan sifar, serta varian ungkapan apabila sebelah kanan ternyata negatif. Dalam kes kedua, tiada penyelesaian sama sekali, kerana tindakan di atas tidak boleh dilakukan dengan akar. Contoh penyelesaian kepada persamaan kuadratik jenis ini perlu dipertimbangkan.

Dalam kes ini, punca persamaan akan menjadi nombor -4 dan 4.

Pengiraan keluasan tanah

Keperluan untuk pengiraan seperti ini muncul pada zaman dahulu, kerana perkembangan matematik pada zaman yang jauh itu sebahagian besarnya ditentukan oleh keperluan untuk menentukan dengan ketepatan yang paling besar kawasan dan perimeter plot tanah.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik berdasarkan masalah seperti ini.

Jadi, katakan terdapat sebidang tanah segi empat tepat, yang panjangnya 16 meter lebih besar daripada lebarnya. Anda harus mencari panjang, lebar dan perimeter tapak jika anda tahu bahawa keluasannya ialah 612 m2.

Untuk bermula, mari kita buat persamaan yang diperlukan dahulu. Mari kita nyatakan dengan x lebar kawasan itu, maka panjangnya ialah (x+16). Daripada apa yang telah ditulis, kawasan itu ditentukan oleh ungkapan x(x+16), yang, mengikut keadaan masalah kita, ialah 612. Ini bermakna x(x+16) = 612.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, dan ungkapan ini adalah tepat, tidak boleh dilakukan dengan cara yang sama. kenapa? Walaupun bahagian kiri masih mengandungi dua faktor, produk mereka tidak sama sekali 0, jadi kaedah berbeza digunakan di sini.

Diskriminasi

Pertama sekali, mari kita buat transformasi yang diperlukan, kemudian penampilan ungkapan ini akan kelihatan seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini bermakna kita telah menerima ungkapan dalam bentuk yang sepadan dengan piawaian yang dinyatakan sebelum ini, di mana a=1, b=16, c=-612.

Ini boleh menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi. Di sini pengiraan yang diperlukan dibuat mengikut skema: D = b 2 - 4ac. Kuantiti tambahan ini bukan sahaja membolehkan untuk mencari kuantiti yang diperlukan dalam persamaan tertib kedua, ia menentukan kuantiti pilihan yang mungkin. Jika D>0, terdapat dua daripadanya; untuk D=0 terdapat satu punca. Dalam kes D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Mengenai akar dan formulanya

Dalam kes kami, diskriminasi adalah sama dengan: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahawa masalah kami mempunyai jawapan. Jika anda tahu k, penyelesaian persamaan kuadratik mesti diteruskan menggunakan formula di bawah. Ia membolehkan anda mengira akar.

Ini bermakna dalam kes yang dibentangkan: x 1 =18, x 2 =-34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak boleh menjadi penyelesaian, kerana dimensi plot tanah tidak boleh diukur dalam kuantiti negatif, yang bermaksud x (iaitu, lebar plot) ialah 18 m Dari sini kita mengira panjang: 18 +16=34, dan perimeter 2(34+ 18)=104(m2).

Contoh dan tugasan

Kami meneruskan kajian kami tentang persamaan kuadratik. Contoh dan penyelesaian terperinci beberapa daripadanya akan diberikan di bawah.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Mari kita alihkan segala-galanya ke sebelah kiri kesamaan, buat transformasi, iaitu, kita akan mendapat jenis persamaan yang biasanya dipanggil standard, dan menyamakannya dengan sifar.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Menambah yang serupa, kita tentukan diskriminasi: D = 49 - 48 = 1. Ini bermakna persamaan kita akan mempunyai dua punca. Mari kita mengira mereka mengikut formula di atas, yang bermaksud bahawa yang pertama daripada mereka akan sama dengan 4/3, dan yang kedua kepada 1.

2) Sekarang mari kita selesaikan misteri yang berbeza.

Mari kita ketahui sama ada terdapat sebarang punca di sini x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawapan yang komprehensif, mari kita kurangkan polinomial kepada bentuk biasa yang sepadan dan hitungkan diskriminasi. Dalam contoh di atas, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadratik, kerana ini bukan intipati masalah sama sekali. Dalam kes ini, D = 16 - 20 = -4, yang bermaksud tidak ada akar.

Teorem Vieta

Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula di atas dan diskriminasi, apabila punca kuasa dua diambil daripada nilai yang terakhir. Tetapi ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, terdapat banyak cara untuk mendapatkan nilai pembolehubah dalam kes ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta. Dia dinamakan sempena yang hidup pada abad ke-16 di Perancis dan mencipta kerjaya yang cemerlang berkat bakat matematik dan hubungannya di mahkamah. Potretnya boleh dilihat dalam artikel.

Corak yang diperhatikan oleh orang Perancis terkenal itu adalah seperti berikut. Dia membuktikan bahawa punca-punca persamaan menambah secara berangka kepada -p=b/a, dan hasil darabnya sepadan dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Untuk kesederhanaan, mari kita ubah ungkapan:

x 2 + 7x - 18 = 0

Mari kita gunakan teorem Vieta, ini akan memberi kita perkara berikut: jumlah punca ialah -7, dan hasil darabnya ialah -18. Dari sini kita dapati bahawa punca persamaan ialah nombor -9 dan 2. Selepas menyemak, kami akan memastikan bahawa nilai pembolehubah ini benar-benar sesuai dengan ungkapan.

Graf parabola dan persamaan

Konsep fungsi kuadratik dan persamaan kuadratik adalah berkait rapat. Contoh-contoh ini telah pun diberikan sebelum ini. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematik dengan lebih terperinci. Mana-mana persamaan jenis yang diterangkan boleh diwakili secara visual. Hubungan sedemikian, dilukis sebagai graf, dipanggil parabola. Pelbagai jenisnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Mana-mana parabola mempunyai bucu, iaitu titik dari mana cabang-cabangnya muncul. Jika a>0, mereka pergi tinggi kepada infiniti, dan apabila a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Perwakilan visual fungsi membantu menyelesaikan sebarang persamaan, termasuk persamaan kuadratik. Kaedah ini dipanggil grafik. Dan nilai pembolehubah x ialah koordinat absis pada titik di mana garis graf bersilang dengan 0x. Koordinat puncak boleh didapati menggunakan formula yang baru diberi x 0 = -b/2a. Dan dengan menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan asal fungsi, anda boleh mengetahui y 0, iaitu, koordinat kedua bucu parabola, yang tergolong dalam paksi ordinat.

Persilangan cabang parabola dengan paksi absis

Terdapat banyak contoh penyelesaian persamaan kuadratik, tetapi terdapat juga pola umum. Mari lihat mereka. Adalah jelas bahawa persilangan graf dengan paksi 0x untuk a>0 adalah mungkin hanya jika 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Daripada graf parabola anda juga boleh menentukan punca. Begitu juga sebaliknya. Iaitu, jika tidak mudah untuk mendapatkan perwakilan visual bagi fungsi kuadratik, anda boleh menyamakan bahagian kanan ungkapan itu kepada 0 dan menyelesaikan persamaan yang terhasil. Dan mengetahui titik persilangan dengan paksi 0x, lebih mudah untuk membina graf.

Dari sejarah

Menggunakan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua, pada zaman dahulu mereka bukan sahaja membuat pengiraan matematik dan menentukan luas angka geometri. Orang dahulu memerlukan pengiraan sedemikian untuk penemuan besar dalam bidang fizik dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang dicadangkan oleh saintis moden, penduduk Babylon adalah antara yang pertama menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku empat abad sebelum era kita. Sudah tentu, pengiraan mereka berbeza secara radikal daripada yang diterima sekarang dan ternyata lebih primitif. Sebagai contoh, ahli matematik Mesopotamia tidak tahu tentang kewujudan nombor negatif. Mereka juga tidak biasa dengan kehalusan lain yang mana-mana pelajar sekolah moden tahu.

Mungkin lebih awal daripada para saintis Babylon, orang bijak dari India Baudhayama mula menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku kira-kira lapan abad sebelum era Kristus. Benar, persamaan tertib kedua, kaedah penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling mudah. Selain beliau, ahli matematik Cina juga berminat dengan soalan yang sama pada zaman dahulu. Di Eropah, persamaan kuadratik mula diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudiannya ia digunakan dalam karya mereka oleh saintis hebat seperti Newton, Descartes dan ramai lagi.

Popular dalam kategori: