rumah › Tayar dan roda › Punca kuasa dua. Teori terperinci dengan contoh

Punca kuasa dua. Teori terperinci dengan contoh

Konsep punca kuasa dua nombor bukan negatif

Pertimbangkan persamaan x2 = 4. Mari selesaikan secara grafik. Untuk melakukan ini, dalam satu sistem koordinat bina parabola y = x2 dan garis lurus y = 4 (Rajah 74). Mereka bersilang pada dua titik A (- 2; 4) dan B (2; 4). Absis bagi titik A dan B ialah punca-punca persamaan x2 = 4. Jadi, x1 = - 2, x2 = 2.

Berhujah dengan cara yang sama, kita dapati punca-punca persamaan x2 \u003d 9 (lihat Rajah 74): x1 \u003d - 3, x2 \u003d 3.

Dan sekarang mari cuba selesaikan persamaan x2 = 5; ilustrasi geometri ditunjukkan dalam rajah. 75. Jelas bahawa persamaan ini mempunyai dua punca x1 dan x2, dan nombor ini, seperti dalam dua kes sebelumnya, adalah sama dalam nilai mutlak dan bertentangan dalam tanda (x1 - - x2) - Tetapi tidak seperti kes sebelumnya, di mana punca persamaan ditemui tanpa kesukaran (dan ia juga boleh didapati tanpa menggunakan graf), ini tidak berlaku dengan persamaan x2 \u003d 5: mengikut lukisan, kita tidak boleh menunjukkan nilai akar , kita hanya boleh menubuhkan satu itu sahaja akar terletak sedikit di sebelah kiri titik - 2, dan yang kedua - sedikit di sebelah kanan titik 2.

Tetapi di sini kita berada dalam kejutan yang tidak menyenangkan. Ternyata tidak ada seperti itu pecahan DIV_ADBLOCK32">

Katakan bahawa terdapat pecahan yang tidak boleh dikurangkan yang mana kesamaannya https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, iaitu, m2 = 5n2. Persamaan terakhir bermakna itu nombor asli m2 boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki (dalam hasil bahagi kita mendapat n2).

Akibatnya, nombor m2 berakhir sama ada dengan nombor 5 atau nombor 0. Tetapi kemudian nombor asli m juga berakhir dengan sama ada nombor 5 atau nombor 0, iaitu nombor m boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki. Dengan kata lain, jika nombor m dibahagikan dengan 5, maka dalam hasil bagi beberapa nombor asli k akan diperolehi. Ini bermakna m = 5k.

Dan sekarang lihat:

Gantikan 5k untuk m dalam persamaan pertama:

(5k)2 = 5n2, iaitu 25k2 = 5n2 atau n2 = 5k2.

Persamaan terakhir bermakna bahawa nombor. 5n2 boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki. Berhujah seperti di atas, kami membuat kesimpulan bahawa nombor n juga boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki.

Jadi, m boleh dibahagi dengan 5, n boleh dibahagi dengan 5, jadi pecahan boleh dikurangkan (dengan 5). Tetapi kami menganggap bahawa pecahan itu tidak boleh dikurangkan. Apa masalahnya? Mengapa, penaakulan dengan betul, kita datang kepada tidak masuk akal atau, seperti yang sering dikatakan ahli matematik, mendapat percanggahan "! Ya, kerana premis asal tidak betul, seolah-olah terdapat pecahan yang tidak dapat dikurangkan, yang mana persamaan ).

Jika, sebagai hasil daripada penalaran yang betul, kita datang kepada percanggahan dengan syarat, maka kita membuat kesimpulan: andaian kita tidak betul, yang bermaksud bahawa apa yang dikehendaki untuk dibuktikan adalah benar.

Jadi, hanya mempunyai nombor rasional(dan kami belum tahu nombor lain lagi), kami tidak akan dapat menyelesaikan persamaan x2 \u003d 5.

Setelah bertemu situasi sedemikian buat kali pertama, ahli matematik menyedari bahawa mereka perlu mencari cara untuk menerangkannya dalam bahasa matematik. Mereka memperkenalkan simbol baru sebagai pertimbangan, yang mereka panggil punca kuasa dua, dan dengan bantuan simbol ini, punca-punca persamaan x2 = 5 ditulis seperti berikut: ). Sekarang untuk sebarang persamaan bentuk x2 \u003d a, di mana a\u003e O, anda boleh mencari punca - ia adalah nombor https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} bukan keseluruhan atau pecahan.
Ini bermakna ia bukan nombor rasional, ia adalah nombor yang bersifat baharu, kita akan membincangkan secara khusus tentang nombor tersebut kemudian, dalam Bab 5.
Buat masa ini, hanya ambil perhatian bahawa nombor baharu adalah antara 2 dan 3, kerana 22 = 4, iaitu kurang daripada 5; Z2 \u003d 9, iaitu lebih daripada 5. Anda boleh menjelaskan:

Sekali lagi, ambil perhatian bahawa hanya nombor positif muncul dalam jadual, kerana ini ditetapkan dalam takrif punca kuasa dua. Dan walaupun, sebagai contoh, \u003d 25 ialah kesamaan yang betul, pergi darinya ke notasi menggunakan punca kuasa dua (iaitu, tulis itu. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} ialah nombor positif, jadi https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Apa yang jelas ialah ia lebih besar daripada 4 tetapi kurang daripada 5, kerana 42 = 16 (yang kurang daripada 17) dan 52 = 25 (yang lebih daripada 17).
Walau bagaimanapun, nilai anggaran nombor boleh didapati menggunakan kalkulator, yang mengandungi operasi punca kuasa dua; nilai ini ialah 4.123.

Nombor , seperti nombor yang dipertimbangkan di atas, adalah tidak rasional.
e) Tidak boleh dikira kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak wujud; entri tak bermakna. Tugas yang dicadangkan tidak betul.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Task" width="80" height="33 id=">!}, sejak 75 > 0 dan 752 = 5625.

Dalam kes paling mudah, nilai punca kuasa dua dikira serta-merta:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Task" width="65" height="42 id=">!}
Penyelesaian.
Peringkat pertama. Tidak sukar untuk meneka bahawa jawapannya adalah 50 dengan "ekor". Sesungguhnya, 502 = 2500 dan 602 = 3600, manakala 2809 adalah antara 2500 dan 3600.

Pertimbangkan persamaan x 2 = 4. Mari selesaikan secara grafik. Untuk melakukan ini, dalam satu sistem koordinat, kami membina parabola y \u003d x 2 dan garis lurus y \u003d 4 (Rajah 74). Mereka bersilang pada dua titik A (- 2; 4) dan B (2; 4). Abscissas titik A dan B ialah punca-punca persamaan x 2 \u003d 4. Jadi, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Berhujah dengan cara yang sama, kita dapati punca-punca persamaan x 2 \u003d 9 (lihat Rajah 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Dan sekarang mari cuba selesaikan persamaan x 2 \u003d 5; ilustrasi geometri ditunjukkan dalam rajah. 75. Jelas bahawa persamaan ini mempunyai dua punca x 1 dan x 2, dan nombor ini, seperti dalam dua kes sebelumnya, adalah sama dalam nilai mutlak dan bertentangan dalam tanda (x 1 - - x 2) - Tetapi tidak seperti sebelumnya. kes , di mana punca persamaan ditemui tanpa kesukaran (dan ia juga boleh didapati tanpa menggunakan graf), ini tidak berlaku dengan persamaan x 2 \u003d 5: mengikut lukisan, kita tidak boleh menunjukkan nilainya akar, kita hanya boleh menetapkan bahawa satu akar terletak sedikit ke titik kiri - 2, dan yang kedua - sedikit ke kanan

mata 2.

Apakah nombor ini (titik), yang terletak di sebelah kanan titik 2 dan yang memberikan 5 kuasa dua? Adalah jelas bahawa ini bukan 3, kerana Z 2 \u003d 9, iaitu, ternyata lebih daripada yang diperlukan (9\u003e 5).

Ini bermakna bilangan minat kepada kita terletak di antara nombor 2 dan 3. Tetapi antara nombor 2 dan 3 terdapat set nombor rasional yang tidak terhingga, contohnya. dan lain-lain. Mungkin di antara mereka terdapat pecahan sedemikian? Kemudian kita tidak akan mempunyai sebarang masalah dengan persamaan x 2 - 5, kita boleh menulis itu

Tetapi di sini kita berada dalam kejutan yang tidak menyenangkan. Ia ternyata bahawa tidak ada pecahan yang mana kesamaan
Bukti dakwaan yang dinyatakan agak sukar. Namun begitu, kami memberikannya kerana ia indah dan memberi pengajaran, ia sangat berguna untuk cuba memahaminya.

Katakan bahawa terdapat pecahan yang tidak boleh dikurangkan , yang mana persamaan itu dipegang. Kemudian , iaitu m 2 = 5n 2 . Kesamaan terakhir bermakna bahawa nombor asli m 2 boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki (khususnya, n2 akan berubah).

Akibatnya, nombor m 2 berakhir sama ada dengan nombor 5 atau dengan nombor 0. Tetapi kemudian nombor asli m juga berakhir dengan sama ada nombor 5 atau nombor 0, i.e. nombor m boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki. Dengan kata lain, jika nombor m dibahagikan dengan 5, maka dalam hasil bagi beberapa nombor asli k akan diperolehi. Ini bermaksud,
bahawa m = 5k.
Dan sekarang lihat:
m 2 \u003d 5n 2;
Gantikan 5k untuk m dalam persamaan pertama:

(5k) 2 = 5n 2 , iaitu 25k 2 = 5n 2 atau n 2 = 5k 2 .
Persamaan terakhir bermakna bahawa nombor. 5n 2 boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki. Berhujah seperti di atas, kami membuat kesimpulan bahawa nombor n juga boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki.
Jadi, m boleh dibahagi dengan 5, n boleh dibahagi dengan 5, jadi pecahan boleh dikurangkan (dengan 5). Tetapi kami menganggap bahawa pecahan itu tidak boleh dikurangkan. Apa masalahnya? Mengapa, penaakulan dengan betul, kita datang kepada tidak masuk akal atau, seperti yang sering dikatakan ahli matematik, mendapat percanggahan "! Ya, kerana premis asal tidak betul, seolah-olah terdapat pecahan yang tidak dapat dikurangkan, yang mana persamaan
Daripada ini kita membuat kesimpulan: tidak ada pecahan sedemikian.
Kaedah pembuktian yang baru kita gunakan dipanggil dalam matematik kaedah pembuktian dengan percanggahan. Intipatinya adalah seperti berikut. Kita perlu membuktikan kenyataan tertentu, dan kita menganggap bahawa ia tidak berlaku (ahli matematik berkata: "andainya sebaliknya" - bukan dalam erti kata "tidak menyenangkan", tetapi dalam erti kata "bertentangan dengan apa yang diperlukan").
Jika, sebagai hasil daripada penalaran yang betul, kita datang kepada percanggahan dengan syarat, maka kita membuat kesimpulan: andaian kita tidak betul, yang bermaksud bahawa apa yang dikehendaki untuk dibuktikan adalah benar.

Jadi, hanya mempunyai nombor rasional (dan kami belum tahu nombor lain lagi), kami tidak akan dapat menyelesaikan persamaan x 2 \u003d 5.
Setelah bertemu situasi sedemikian buat kali pertama, ahli matematik menyedari bahawa mereka perlu mencari cara untuk menerangkannya dalam bahasa matematik. Mereka memperkenalkan simbol baru sebagai pertimbangan, yang mereka panggil punca kuasa dua, dan menggunakan simbol ini, punca-punca persamaan x 2 \u003d 5 ditulis seperti berikut:

berbunyi: "punca kuasa dua 5"). Sekarang untuk sebarang persamaan bentuk x 2 \u003d a, di mana a\u003e O, anda boleh mencari punca - ia adalah nombor , (Gamb. 76).

Sekali lagi, kami menekankan bahawa nombor itu bukan integer dan bukan pecahan.
Ini bermakna ia bukan nombor rasional, ia adalah nombor yang bersifat baharu, kita akan membincangkan secara khusus tentang nombor tersebut kemudian, dalam Bab 5.
Buat masa ini, hanya ambil perhatian bahawa nombor baharu adalah antara 2 dan 3, kerana 2 2 = 4, iaitu kurang daripada 5; Z 2 \u003d 9, dan ini lebih daripada 5. Anda boleh menjelaskan:

Sesungguhnya, 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Anda masih boleh
nyatakan:

sesungguhnya, 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Dalam amalan, biasanya dipercayai bahawa nombor itu sama dengan 2.23 atau sama dengan 2.24, hanya ini bukan kesamaan biasa, tetapi kesamaan anggaran, yang mana simbol itu digunakan.
Jadi,

Membincangkan penyelesaian persamaan x 2 = a, kita berhadapan dengan keadaan yang agak tipikal untuk matematik. Menghadapi situasi yang tidak standard, tidak normal (seperti yang dikatakan oleh angkasawan) dan tidak mencari jalan keluar daripadanya dengan bantuan cara yang diketahui, ahli matematik menghasilkan istilah baru dan sebutan baru (simbol baru) untuk matematik model yang mereka temui buat kali pertama; dalam erti kata lain, mereka memperkenalkan konsep baru dan kemudian mengkaji sifat-sifat ini
konsep. Oleh itu, konsep baru dan sebutannya menjadi hak milik bahasa matematik. Kami bertindak dengan cara yang sama: kami memperkenalkan istilah "punca kuasa dua nombor a", memperkenalkan simbol untuk menandakannya, dan sedikit kemudian kami akan mengkaji sifat konsep baharu itu. Setakat ini kita hanya tahu satu perkara: jika a > 0,
maka ialah nombor positif yang memenuhi persamaan x 2 = a. Dalam erti kata lain, adalah nombor positif, apabila kuasa dua, nombor a diperoleh.
Oleh kerana persamaan x 2 \u003d 0 mempunyai punca x \u003d 0, kami bersetuju untuk menganggap bahawa
Kami kini bersedia untuk memberikan definisi yang ketat.
Definisi. Punca kuasa dua bagi nombor bukan negatif a ialah nombor bukan negatif yang kuasa duanya ialah a.

Nombor ini dilambangkan, nombor dan pada masa yang sama dipanggil nombor akar.
Jadi, jika a ialah nombor bukan negatif, maka:

Sekiranya< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Oleh itu, ungkapan itu masuk akal hanya apabila a > 0.
Mereka berkata begitu - model matematik yang sama (hubungan yang sama antara nombor bukan negatif
(a dan b), tetapi hanya yang kedua diterangkan dalam bahasa yang lebih mudah daripada yang pertama (menggunakan aksara yang lebih mudah).

Operasi mencari punca kuasa dua nombor bukan negatif dipanggil mengambil punca kuasa dua. Operasi ini adalah kebalikan daripada kuasa dua. Bandingkan:

Sekali lagi, ambil perhatian bahawa hanya nombor positif muncul dalam jadual, kerana ini ditetapkan dalam takrif punca kuasa dua. Dan walaupun, sebagai contoh, (- 5) 2 \u003d 25 adalah kesamaan yang betul, pergi darinya ke notasi menggunakan punca kuasa dua (iaitu tulis itu.)
ia adalah dilarang. A-priory, . ialah nombor positif, jadi .
Selalunya mereka mengatakan bukan "akar kuasa dua", tetapi "akar kuasa dua aritmetik". Kami meninggalkan istilah "aritmetik" untuk ringkasnya.

D) Tidak seperti contoh sebelumnya, kami tidak boleh menentukan nilai tepat nombor . Ia hanya jelas bahawa ia adalah lebih besar daripada 4 tetapi kurang daripada 5, kerana

4 2 = 16 (iaitu kurang daripada 17) dan 5 2 = 25 (itu lebih daripada 17).
Walau bagaimanapun, nilai anggaran nombor itu boleh didapati menggunakan kalkulator mikro, yang mengandungi operasi mengekstrak punca kuasa dua; nilai ini ialah 4.123.
Jadi,
Nombor , seperti nombor yang dipertimbangkan di atas, adalah tidak rasional.
e) Tidak boleh dikira kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak wujud; entri tak bermakna. Tugas yang dicadangkan tidak betul.
e), sejak 31 > 0 dan 31 2 = 961. Dalam kes sedemikian, anda perlu menggunakan jadual kuasa dua nombor asli atau mikrokalkulator.
g) sejak 75 > 0 dan 75 2 = 5625.
Dalam kes yang paling mudah, nilai punca kuasa dua dikira serta-merta: dsb. Dalam kes yang lebih kompleks, anda perlu menggunakan jadual kuasa dua nombor atau menjalankan pengiraan menggunakan mikrokalkulator. Tetapi bagaimana jika tiada hamparan atau kalkulator di tangan? Mari jawab soalan ini dengan menyelesaikan contoh berikut.

Contoh 2 Kira
Penyelesaian.
Peringkat pertama. Tidak sukar untuk meneka bahawa jawapannya adalah 50 dengan "ekor". Sesungguhnya, 50 2 = 2500, dan 60 2 = 3600, manakala nombor 2809 adalah antara nombor 2500 dan 3600.

Fasa kedua. Mari cari "ekor", i.e. digit terakhir nombor yang dikehendaki. Setakat ini kita tahu bahawa jika punca diambil, maka jawapannya boleh menjadi 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, atau 59. Hanya dua nombor yang perlu diperiksa: 53 dan 57, kerana hanya mereka , apabila kuasa dua, akan memberikan keputusan ialah nombor empat digit yang berakhir dengan 9, digit yang sama dengan 2809.
Kami mempunyai 532 = 2809 - inilah yang kami perlukan (kami bernasib baik, kami segera mencapai "mata lembu jantan"). Jadi = 53.
Jawapan:

53
Contoh 3 Kaki segi tiga tegak ialah 1 cm dan 2 cm Apakah hipotenus segitiga itu? (rajah.77)

Penyelesaian.

Mari kita gunakan teorem Pythagoras yang diketahui dari geometri: jumlah kuasa dua panjang kaki segi tiga tepat adalah sama dengan kuasa dua panjang hipotenusnya, iaitu a 2 + b 2 \u003d c 2, di mana a, b ialah kaki, c ialah hipotenus bagi segi tiga tegak.

Bermaksud,

Contoh ini menunjukkan bahawa pengenalan punca kuasa dua bukanlah kehendak ahli matematik, tetapi keperluan objektif: dalam kehidupan sebenar, terdapat situasi yang model matematiknya mengandungi operasi mengekstrak punca kuasa dua. Mungkin yang paling penting dalam situasi ini ialah
menyelesaikan persamaan kuadratik. Sehingga kini, apabila bertemu dengan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c \u003d 0, kami sama ada memfaktorkan bahagian kiri (yang tidak selalu berfungsi), atau menggunakan kaedah grafik (yang juga tidak begitu dipercayai, walaupun cantik). Malah, untuk mencari
punca x 1 dan x 2 persamaan kuadratik ax 2 + bx + c \u003d 0 dalam matematik, formula digunakan

mengandungi, nampaknya, tanda punca kuasa dua. Formula ini digunakan dalam amalan seperti berikut. Biarkan, sebagai contoh, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan 2x 2 + bx - 7 \u003d 0. Di sini a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Oleh itu,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Kemudian kita dapati . Bermaksud,

Kami menyatakan di atas bahawa itu bukan nombor rasional.
Ahli matematik memanggil nombor sedemikian tidak rasional. Sebarang nombor bentuk adalah tidak rasional jika punca kuasa dua tidak diambil. Sebagai contoh, dan lain-lain. ialah nombor tak rasional. Dalam Bab 5, kita akan bercakap lebih lanjut mengenai nombor rasional dan tidak rasional. Nombor rasional dan tak rasional bersama-sama membentuk set nombor nyata, i.e. set semua nombor yang kita gunakan dalam kehidupan sebenar (sebenarnya,
ness). Sebagai contoh, - semua ini adalah nombor nyata.
Sama seperti kita mentakrifkan konsep punca kuasa dua di atas, kita juga boleh mentakrifkan konsep punca kubus: punca kubus bagi nombor bukan negatif a ialah nombor bukan negatif yang kubusnya sama dengan a. Dalam erti kata lain, kesamarataan bermakna b 3 = a.

Kami akan mengkaji semua ini dalam kursus algebra gred ke-11.

Dalam artikel ini, kami akan memperkenalkan konsep punca nombor. Kita akan bertindak secara berurutan: kita akan mulakan dengan punca kuasa dua, daripada itu kita akan beralih kepada penerangan punca kubus, selepas itu kita akan generalisasi konsep punca dengan mentakrifkan punca darjah ke-n. Pada masa yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberi contoh akar dan memberi penjelasan dan ulasan yang diperlukan.

Punca kuasa dua, punca kuasa dua aritmetik

Untuk memahami definisi punca nombor, dan punca kuasa dua khususnya, seseorang mesti mempunyai . Pada ketika ini, kita akan sering menghadapi kuasa kedua nombor - kuasa dua nombor.

Mari kita mulakan dengan definisi punca kuasa dua.

Definisi

Punca kuasa dua a ialah nombor yang kuasa duanya ialah a .

Untuk membawa contoh punca kuasa dua, ambil beberapa nombor, sebagai contoh, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 dan kuasa duakannya, kita mendapat nombor 25 , 0.09 , 0.09 dan 0 masing-masing (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 dan 0 2 =0 0=0 ). Kemudian mengikut takrifan di atas, 5 ialah punca kuasa dua bagi 25, −0.3 dan 0.3 ialah punca kuasa dua bagi 0.09, dan 0 ialah punca kuasa dua sifar.

Perlu diingat bahawa bukan untuk sebarang nombor wujud , yang kuasa duanya sama dengan a . Iaitu, untuk sebarang nombor negatif a, tidak ada nombor nyata b yang kuasa duanya sama dengan a. Sesungguhnya, kesamaan a=b 2 adalah mustahil untuk sebarang negatif a , kerana b 2 ialah nombor bukan negatif untuk sebarang b . Oleh itu, pada set nombor nyata tiada punca kuasa dua bagi nombor negatif. Dalam erti kata lain, pada set nombor nyata, punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dan tidak mempunyai makna.

Ini membawa kepada soalan logik: "Adakah terdapat punca kuasa dua a untuk mana-mana bukan negatif a"? Jawapannya ya. Rasional fakta ini boleh dianggap sebagai kaedah membina yang digunakan untuk mencari nilai punca kuasa dua.

Kemudian soalan logik berikut timbul: "Apakah bilangan semua punca kuasa dua nombor bukan negatif a - satu, dua, tiga, atau lebih"? Inilah jawapannya: jika a ialah sifar, maka satu-satunya punca kuasa dua sifar ialah sifar; jika a ialah beberapa nombor positif, maka bilangan punca kuasa dua daripada nombor a adalah sama dengan dua, dan puncanya ialah . Mari kita buktikan ini.

Mari kita mulakan dengan kes a=0 . Mari kita tunjukkan bahawa sifar sememangnya punca kuasa dua sifar. Ini berikutan daripada kesamaan yang jelas 0 2 =0·0=0 dan takrif punca kuasa dua.

Sekarang mari kita buktikan bahawa 0 ialah satu-satunya punca kuasa dua sifar. Mari gunakan kaedah yang bertentangan. Mari kita andaikan bahawa terdapat beberapa bukan sifar nombor b yang merupakan punca kuasa dua sifar. Maka keadaan b 2 =0 mesti dipenuhi, yang mustahil, kerana bagi mana-mana bukan sifar b nilai ungkapan b 2 adalah positif. Kami telah mencapai percanggahan. Ini membuktikan bahawa 0 ialah satu-satunya punca kuasa dua sifar.

Mari kita beralih kepada kes di mana a ialah nombor positif. Di atas kita katakan bahawa sentiasa ada punca kuasa dua bagi sebarang nombor bukan negatif, biarkan b ialah punca kuasa dua a. Katakan terdapat nombor c , yang juga merupakan punca kuasa dua a . Kemudian, mengikut takrif punca kuasa dua, kesamaan b 2 =a dan c 2 =a adalah sah, dari mana ia mengikuti bahawa b 2 −c 2 =a−a=0, tetapi sejak b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , kemudian (b−c) (b+c)=0 . Persamaan yang terhasil dalam kuasa sifat tindakan dengan nombor nyata hanya mungkin apabila b−c=0 atau b+c=0 . Oleh itu nombor b dan c adalah sama atau bertentangan.

Jika kita mengandaikan bahawa terdapat nombor d, iaitu punca kuasa dua lain bagi nombor a, maka dengan membuat penaakulan serupa dengan yang telah diberikan, terbukti bahawa d adalah sama dengan nombor b atau nombor c. Jadi, bilangan punca kuasa dua nombor positif ialah dua, dan punca kuasa dua adalah nombor bertentangan.

Untuk kemudahan bekerja dengan punca kuasa dua, punca negatif "dipisahkan" daripada yang positif. Untuk tujuan ini, ia memperkenalkan definisi punca kuasa dua aritmetik.

Definisi

Punca kuasa dua aritmetik bagi nombor bukan negatif a ialah nombor bukan negatif yang kuasa duanya ialah .

Untuk punca kuasa dua aritmetik nombor a, tatatanda diterima. Tanda itu dipanggil tanda punca kuasa dua aritmetik. Ia juga dipanggil tanda radikal. Oleh itu, anda boleh mendengar sebahagian daripada "akar" dan "radikal", yang bermaksud objek yang sama.

Nombor di bawah tanda punca kuasa dua aritmetik dipanggil nombor akar, dan ungkapan di bawah tanda akar - ungkapan radikal, manakala istilah "nombor radikal" sering digantikan dengan "ungkapan radikal". Sebagai contoh, dalam notasi, nombor 151 ialah nombor radikal, dan dalam notasi, ungkapan a ialah ungkapan radikal.

Apabila membaca, perkataan "aritmetik" sering ditinggalkan, sebagai contoh, entri dibaca sebagai "punca kuasa dua tujuh koma dua puluh sembilan perseratus." Perkataan "aritmetik" disebut hanya apabila mereka ingin menekankan bahawa kita bercakap tentang punca kuasa dua positif nombor.

Berdasarkan tatatanda yang diperkenalkan, ia mengikuti takrif punca kuasa dua aritmetik bahawa untuk sebarang nombor bukan negatif a .

Punca kuasa dua bagi nombor positif a ditulis menggunakan tanda punca kuasa dua aritmetik sebagai dan . Sebagai contoh, punca kuasa dua bagi 13 ialah dan . Punca kuasa dua aritmetik sifar ialah sifar, iaitu, . Untuk nombor negatif a, kami tidak akan melampirkan makna pada entri sehingga kami mengkaji nombor kompleks. Sebagai contoh, ungkapan dan tidak bermakna.

Berdasarkan definisi punca kuasa dua, sifat punca kuasa dua dibuktikan, yang sering digunakan dalam amalan.

Untuk menyimpulkan subseksyen ini, kita ambil perhatian bahawa punca kuasa dua nombor ialah penyelesaian dalam bentuk x 2 =a berkenaan dengan pembolehubah x .

punca kubus daripada

Definisi punca kubus daripada nombor a diberikan dengan cara yang serupa dengan takrif punca kuasa dua. Hanya ia berdasarkan konsep kubus nombor, bukan segi empat sama.

Definisi

Punca kubus bagi a nombor yang kubusnya sama dengan a dipanggil.

Jom bawak contoh akar kubus. Untuk melakukan ini, ambil beberapa nombor, contohnya, 7 , 0 , −2/3 , dan kubusnya: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Kemudian, berdasarkan takrif punca kubus, kita boleh mengatakan bahawa nombor 7 ialah punca kubus bagi 343, 0 ialah punca kubus bagi sifar, dan −2/3 ialah punca kubus bagi −8/27.

Ia boleh ditunjukkan bahawa punca kubus nombor a, tidak seperti punca kuasa dua, sentiasa wujud, dan bukan sahaja untuk bukan negatif a, tetapi juga untuk sebarang nombor nyata a. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan kaedah yang sama yang kami nyatakan semasa mengkaji punca kuasa dua.

Selain itu, terdapat hanya satu punca kubus bagi nombor a. Mari kita buktikan dakwaan terakhir. Untuk melakukan ini, pertimbangkan tiga kes secara berasingan: a ialah nombor positif, a=0 dan a ialah nombor negatif.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa untuk positif a, punca kubus a tidak boleh sama ada negatif atau sifar. Sesungguhnya, biarkan b ialah punca kubus a , maka mengikut takrifan kita boleh menulis kesamaan b 3 =a . Jelas bahawa kesamaan ini tidak boleh benar untuk b negatif dan untuk b=0, kerana dalam kes ini b 3 =b·b·b akan menjadi nombor negatif atau sifar, masing-masing. Jadi punca kubus bagi nombor positif a ialah nombor positif.

Sekarang andaikan bahawa sebagai tambahan kepada nombor b terdapat satu punca kubus lagi daripada nombor a, mari kita nyatakan c. Kemudian c 3 =a. Oleh itu, b 3 −c 3 =a−a=0 , tetapi b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ini ialah formula pendaraban yang disingkatkan perbezaan kubus), dari mana (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Kesamaan yang terhasil hanya mungkin apabila b−c=0 atau b 2 +b c+c 2 =0 . Daripada kesamaan pertama kita mempunyai b=c, dan kesamaan kedua tidak mempunyai penyelesaian, kerana bahagian kirinya ialah nombor positif untuk sebarang nombor positif b dan c sebagai hasil tambah tiga sebutan positif b 2 , b c dan c 2 . Ini membuktikan keunikan punca kubus bagi nombor positif a.

Untuk a=0, satu-satunya punca kubus a ialah sifar. Sesungguhnya, jika kita mengandaikan bahawa terdapat nombor b , yang merupakan punca kubus bukan sifar sifar, maka kesamaan b 3 =0 mesti dipegang, yang mungkin hanya apabila b=0 .

Untuk negatif a , seseorang boleh berhujah serupa dengan kes untuk positif a . Pertama, kami menunjukkan bahawa punca kubus nombor negatif tidak boleh sama dengan sama ada nombor positif atau sifar. Kedua, kita mengandaikan bahawa terdapat punca kubus kedua bagi nombor negatif dan menunjukkan bahawa ia semestinya akan bertepatan dengan yang pertama.

Jadi, sentiasa ada punca kubus bagi sebarang nombor nyata a, dan hanya satu.

Jom beri definisi punca kubus aritmetik.

Definisi

Punca kubus aritmetik bagi nombor bukan negatif a nombor bukan negatif yang kubusnya sama dengan a dipanggil.

Punca kubus aritmetik bagi nombor bukan negatif a dilambangkan sebagai , tanda itu dipanggil tanda punca kubus aritmetik, nombor 3 dalam tatatanda ini dipanggil penunjuk akar. Nombor di bawah tanda akar ialah nombor akar, ungkapan di bawah tanda akar ialah ungkapan radikal.

Walaupun punca kubus aritmetik ditakrifkan hanya untuk nombor bukan negatif a, ia juga mudah untuk menggunakan entri di mana nombor negatif berada di bawah tanda punca kubus aritmetik. Kami akan memahaminya seperti berikut: , dengan a ialah nombor positif. Sebagai contoh, .

Kita akan bercakap tentang sifat akar kubus dalam sifat artikel umum akar.

Mengira nilai punca kubus dipanggil mengekstrak punca kubus, tindakan ini dibincangkan dalam artikel mengekstrak akar: kaedah, contoh, penyelesaian.

Untuk menyimpulkan subseksyen ini, kita katakan bahawa punca kubus a ialah penyelesaian dalam bentuk x 3 =a.

Punca ke-n, punca aritmetik bagi n

Kami umumkan konsep punca daripada nombor - kami perkenalkan penentuan punca ke-n untuk n.

Definisi

punca ke-n a ialah nombor yang kuasa ke-nnya bersamaan dengan a.

Daripada definisi ini jelas bahawa punca darjah pertama dari nombor a adalah nombor a itu sendiri, kerana apabila mengkaji ijazah dengan penunjuk semula jadi, kami mengambil 1 = a.

Di atas, kami mempertimbangkan kes khas punca darjah ke-n untuk n=2 dan n=3 - punca kuasa dua dan punca kubus. Iaitu, punca kuasa dua ialah punca darjah kedua, dan punca kubus ialah punca darjah ketiga. Untuk mengkaji akar darjah ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., adalah mudah untuk membahagikannya kepada dua kumpulan: kumpulan pertama - akar darjah genap (iaitu, untuk n=4, 6 , 8, ...), kumpulan kedua - akar darjah ganjil (iaitu, untuk n=5, 7, 9, ... ). Ini disebabkan oleh fakta bahawa akar darjah genap adalah serupa dengan punca kuasa dua, dan akar darjah ganjil serupa dengan punca padu. Mari kita berurusan dengan mereka secara bergilir.

Mari kita mulakan dengan punca, yang kuasanya ialah nombor genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kita katakan, ia adalah serupa dengan punca kuasa dua nombor a. Iaitu, punca mana-mana darjah genap dari nombor a hanya wujud untuk a bukan negatif. Selain itu, jika a=0, maka punca a adalah unik dan sama dengan sifar, dan jika a>0, maka terdapat dua punca darjah genap daripada nombor a, dan ia adalah nombor bertentangan.

Marilah kita membenarkan dakwaan terakhir. Biarkan b ialah punca darjah genap (kita nyatakan ia sebagai 2·m, dengan m ialah beberapa nombor asli) daripada a. Katakan terdapat nombor c - punca 2 m lagi bagi a . Kemudian b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Tetapi kita tahu bentuk b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), maka (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Daripada kesamaan ini ia mengikuti bahawa b−c=0 , atau b+c=0 , atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua kesamaan pertama bermakna nombor b dan c adalah sama atau b dan c adalah bertentangan. Dan kesamaan terakhir hanya sah untuk b=c=0 , kerana bahagian kirinya mengandungi ungkapan yang bukan negatif untuk sebarang b dan c sebagai hasil tambah nombor bukan negatif.

Bagi akar darjah ke-n bagi n ganjil, ia adalah serupa dengan punca kubus. Iaitu, punca sebarang darjah ganjil daripada nombor a wujud untuk sebarang nombor nyata a, dan untuk nombor a tertentu ia adalah unik.

Keunikan punca darjah ganjil 2·m+1 daripada nombor a dibuktikan dengan analogi dengan bukti keunikan punca kuasa tiga daripada a . Hanya di sini bukannya kesaksamaan a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) kesamaan bentuk b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Ungkapan dalam kurungan terakhir boleh ditulis semula sebagai b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Sebagai contoh, untuk m=2 kita ada b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Apabila a dan b kedua-duanya positif atau kedua-duanya negatif, hasil darabnya ialah nombor positif, maka ungkapan b 2 +c 2 +b·c , yang berada dalam kurungan darjah bersarang tertinggi, adalah positif sebagai hasil tambah positif. nombor. Sekarang, bergerak secara berturut-turut kepada ungkapan dalam kurungan darjah sarang sebelumnya, kami memastikan bahawa ia juga positif sebagai jumlah nombor positif. Hasilnya, kita memperolehi bahawa kesamaan b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 hanya mungkin apabila b−c=0 , iaitu apabila nombor b adalah sama dengan nombor c .

Sudah tiba masanya untuk menangani tatatanda akar darjah ke-n. Untuk ini, ia diberikan penentuan punca aritmetik darjah ke-n.

Definisi

Punca aritmetik darjah ke-n bagi nombor bukan negatif a nombor bukan negatif dipanggil, kuasa ke-nnya adalah sama dengan a.

Saya melihat sekali lagi pada pinggan ... Dan, mari pergi!

Mari kita mulakan dengan yang mudah:

Tunggu sekejap. ini, yang bermaksud kita boleh menulisnya seperti ini:

faham? Inilah yang seterusnya untuk anda:

Akar nombor yang terhasil tidak betul-betul diekstrak? Jangan risau, berikut adalah beberapa contoh:

Tetapi bagaimana jika tidak ada dua pengganda, tetapi lebih? Sama! Formula pendaraban akar berfungsi dengan beberapa faktor:

Kini bebas sepenuhnya:

Jawapan: Bagus! Setuju, semuanya sangat mudah, perkara utama ialah mengetahui jadual pendaraban!

Pembahagian akar

Kami memikirkan pendaraban akar, sekarang mari kita meneruskan ke harta pembahagian.

Biar saya ingatkan anda bahawa formula secara umum kelihatan seperti ini:

Dan itu bermakna punca hasil bagi adalah sama dengan hasil bagi punca.

Nah, mari kita lihat contoh:

Itu semua ilmu. Dan inilah contoh:

Segala-galanya tidak lancar seperti dalam contoh pertama, tetapi seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit.

Bagaimana jika ungkapan kelihatan seperti ini:

Anda hanya perlu menggunakan formula secara terbalik:

Dan inilah contoh:

Anda juga boleh melihat ungkapan ini:

Segala-galanya adalah sama, hanya di sini anda perlu ingat bagaimana untuk menterjemah pecahan (jika anda tidak ingat, lihat topik dan kembali!). teringat? Sekarang kita buat keputusan!

Saya yakin bahawa anda mengatasi segala-galanya, segala-galanya, sekarang mari kita cuba membina akar dalam ijazah.

Eksponensiasi

Apakah yang berlaku jika punca kuasa dua adalah kuasa dua? Mudah sahaja, ingat maksud punca kuasa dua nombor - ini ialah nombor yang punca kuasa duanya sama dengan.

Jadi, jika kita kuasai nombor yang punca kuasa duanya sama, maka apa yang kita dapat?

Sudah tentu, !

Mari lihat contoh:

Semuanya mudah, bukan? Dan jika akarnya berada dalam tahap yang berbeza? Tidak mengapa!

Berpegang kepada logik yang sama dan ingat sifat dan tindakan yang mungkin dengan darjah.

Baca teori mengenai topik "" dan semuanya akan menjadi sangat jelas kepada anda.

Sebagai contoh, berikut ialah ungkapan:

Dalam contoh ini, ijazah adalah genap, tetapi bagaimana jika ia ganjil? Sekali lagi, gunakan sifat kuasa dan faktorkan segala-galanya:

Dengan ini, segala-galanya nampaknya jelas, tetapi bagaimana untuk mengekstrak akar dari nombor dalam ijazah? Di sini, sebagai contoh, adalah ini:

Cukup mudah, bukan? Bagaimana jika ijazah lebih daripada dua? Kami mengikuti logik yang sama menggunakan sifat darjah:

Nah, adakah semuanya jelas? Kemudian selesaikan contoh anda sendiri:

Dan inilah jawapannya:

Pengenalan di bawah tanda akar

Apa yang kita belum belajar lakukan dengan akarnya! Ia kekal hanya untuk berlatih memasukkan nombor di bawah tanda akar!

Ia agak mudah!

Katakan kita ada nombor

Apa yang boleh kita lakukan dengannya? Sudah tentu, sembunyikan rangkap tiga di bawah akar, sambil mengingati bahawa rangkap tiga ialah punca kuasa dua!

Mengapa kita memerlukannya? Ya, hanya untuk mengembangkan keupayaan kami semasa menyelesaikan contoh:

Bagaimanakah anda menyukai sifat akar ini? Menjadikan hidup lebih mudah? Bagi saya, betul! Sahaja kita mesti ingat bahawa kita hanya boleh memasukkan nombor positif di bawah tanda punca kuasa dua.

Cuba contoh ini untuk diri sendiri:
Adakah anda berjaya? Mari lihat apa yang anda patut dapat:

Bagus! Anda berjaya memasukkan nombor di bawah tanda akar! Mari kita beralih kepada sesuatu yang sama penting - pertimbangkan cara membandingkan nombor yang mengandungi punca kuasa dua!

Perbandingan Akar

Mengapa kita perlu belajar membandingkan nombor yang mengandungi punca kuasa dua?

Sangat ringkas. Selalunya, dalam ungkapan besar dan panjang yang ditemui dalam peperiksaan, kita mendapat jawapan yang tidak rasional (adakah anda ingat apa itu? Kita sudah bercakap tentang ini hari ini!)

Kita perlu meletakkan jawapan yang diterima pada garis koordinat, sebagai contoh, untuk menentukan selang mana yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan. Dan di sinilah masalah timbul: tidak ada kalkulator pada peperiksaan, dan tanpa itu, bagaimana untuk membayangkan nombor mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil? Itu sahaja!

Sebagai contoh, tentukan yang mana lebih besar: atau?

Anda tidak akan berkata begitu sahaja. Baiklah, mari kita gunakan sifat yang dihuraikan untuk menambah nombor di bawah tanda akar?

Kemudian ke hadapan:

Sudah tentu, semakin besar nombor di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri!

Itu. jika bermakna.

Daripada ini kami dengan tegas membuat kesimpulan bahawa Dan tiada siapa yang akan meyakinkan kita sebaliknya!

Mengeluarkan akar daripada jumlah yang banyak

Sebelum itu, kami memperkenalkan faktor di bawah tanda akar, tetapi bagaimana untuk mengeluarkannya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang diekstrak!

Ia adalah mungkin untuk pergi ke arah lain dan terurai menjadi faktor lain:

Tidak buruk, bukan? Mana-mana pendekatan ini adalah betul, tentukan bagaimana anda berasa selesa.

Pemfaktoran sangat berguna apabila menyelesaikan tugas bukan standard seperti ini:

Kami tidak takut, kami bertindak! Kami menguraikan setiap faktor di bawah akar kepada faktor yang berasingan:

Dan sekarang cuba sendiri (tanpa kalkulator! Ia tidak akan masuk dalam peperiksaan):

Adakah ini penghujungnya? Kami tidak berhenti separuh jalan!

Itu sahaja, ia tidak begitu menakutkan, bukan?

Terjadi? Syabas, anda betul!

Sekarang cuba contoh ini:

Dan contohnya adalah kacang yang sukar untuk dipecahkan, jadi anda tidak dapat memikirkan cara untuk mendekatinya dengan segera. Tetapi kita, sudah tentu, berada di gigi.

Baiklah, mari kita mulakan pemfaktoran, boleh? Dengan serta-merta, kami ambil perhatian bahawa anda boleh membahagikan nombor dengan (ingat tanda kebolehbahagiaan):

Dan sekarang, cuba sendiri (sekali lagi, tanpa kalkulator!):

Nah, adakah ia berjaya? Syabas, anda betul!

Menjumlahkan

Punca kuasa dua (punca kuasa dua aritmetik) bagi nombor bukan negatif ialah nombor bukan negatif yang kuasa duanya adalah sama.
.
Jika kita hanya mengambil punca kuasa dua sesuatu, kita sentiasa mendapat satu hasil bukan negatif.
Sifat akar aritmetik:
Apabila membandingkan punca kuasa dua, perlu diingat bahawa semakin besar nombor di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri.

Bagaimanakah anda menyukai punca kuasa dua? Semua siap?

Kami cuba menerangkan kepada anda tanpa air semua yang anda perlu ketahui dalam peperiksaan tentang punca kuasa dua.

Sekarang giliran anda. Tulis kepada kami sama ada topik ini sukar untuk anda atau tidak.

Adakah anda belajar sesuatu yang baru atau semuanya sudah begitu jelas.

Tulis dalam komen dan semoga berjaya dalam peperiksaan!

Keluasan sebidang tanah persegi ialah 81 dm². Cari sisi dia. Katakan panjang sisi segi empat sama ialah X desimetres. Kemudian kawasan plot adalah X² desimeter persegi. Oleh kerana, mengikut keadaan, kawasan ini ialah 81 dm², maka X² = 81. Panjang sisi segi empat sama ialah nombor positif. Nombor positif yang kuasa duanya ialah 81 ialah nombor 9. Apabila menyelesaikan masalah, ia dikehendaki mencari nombor x, kuasa duanya ialah 81, iaitu menyelesaikan persamaan X² = 81. Persamaan ini mempunyai dua punca: x 1 = 9 dan x 2 \u003d - 9, sejak 9² \u003d 81 dan (- 9)² \u003d 81. Kedua-dua nombor 9 dan - 9 dipanggil punca kuasa dua nombor 81.

Perhatikan bahawa salah satu punca kuasa dua X= 9 ialah nombor positif. Ia dipanggil punca kuasa dua aritmetik bagi 81 dan dilambangkan √81, jadi √81 = 9.

Aritmetik punca kuasa dua nombor A ialah nombor bukan negatif yang kuasa duanya sama dengan A.

Sebagai contoh, nombor 6 dan -6 ialah punca kuasa dua bagi 36. Nombor 6 ialah punca kuasa dua aritmetik bagi 36, kerana 6 ialah nombor bukan negatif dan 6² = 36. Nombor -6 bukan punca aritmetik.

Punca kuasa dua aritmetik bagi suatu nombor A dilambangkan seperti berikut: √ A.

Tanda itu dipanggil tanda punca kuasa dua aritmetik; A dipanggil ungkapan akar. Ungkapan √ A membaca seperti ini: punca kuasa dua aritmetik nombor A. Contohnya, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Dalam kes di mana jelas bahawa kita bercakap tentang punca aritmetik, mereka secara ringkas berkata: " punca kuasa dua bagi A«.

Tindakan mencari punca kuasa dua nombor dipanggil mengambil punca kuasa dua. Tindakan ini adalah kebalikan daripada kuasa dua.

Sebarang nombor boleh diduakan, tetapi tidak setiap nombor boleh menjadi punca kuasa dua. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk mengekstrak punca kuasa dua nombor - 4. Jika punca sedemikian wujud, maka, menandakannya dengan huruf X, kita akan mendapat kesamaan yang salah x² \u003d - 4, kerana terdapat nombor bukan negatif di sebelah kiri, dan nombor negatif di sebelah kanan.

Ungkapan √ A hanya masuk akal apabila a ≥ 0. Takrif punca kuasa dua boleh ditulis secara ringkas sebagai: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Kesaksamaan (√ A)² = A sah untuk a ≥ 0. Oleh itu, untuk memastikan bahawa punca kuasa dua nombor bukan negatif A sama b, iaitu, bahawa √ A =b, anda perlu menyemak sama ada dua syarat berikut dipenuhi: b ≥ 0, b² = A.

Punca kuasa dua pecahan

Jom kira. Ambil perhatian bahawa √25 = 5, √36 = 6, dan semak sama ada kesamaan itu berlaku.

Kerana dan , maka kesaksamaan adalah benar. Jadi, .

Teorem: Jika A≥ 0 dan b> 0, iaitu punca pecahan adalah sama dengan punca pengangka dibahagikan dengan punca penyebut. Ia dikehendaki membuktikan bahawa: dan .

Sejak √ A≥0 dan √ b> 0, kemudian .

Dengan sifat menaikkan pecahan kepada kuasa dan menentukan punca kuasa dua teorem terbukti. Mari lihat beberapa contoh.

Kira , mengikut teorem terbukti .

Contoh kedua: Buktikan , Jika A ≤ 0, b < 0. .

Contoh lain: Kira .

Transformasi punca kuasa dua

Mengambil pengganda keluar dari bawah tanda akar. Biarlah satu luahan diberikan. Jika A≥ 0 dan b≥ 0, maka dengan teorem pada punca hasil darab, kita boleh menulis:

Transformasi sedemikian dipanggil pemfaktoran tanda akar. Pertimbangkan contoh;

Kira pada X= 2. Penggantian langsung X= 2 dalam ungkapan radikal membawa kepada pengiraan yang rumit. Pengiraan ini boleh dipermudahkan jika kita mula-mula mengeluarkan faktor dari bawah tanda akar: . Sekarang menggantikan x = 2, kita dapat:.

Jadi, apabila mengeluarkan faktor dari bawah tanda akar, ungkapan radikal diwakili sebagai hasil darab di mana satu atau lebih faktor ialah kuasa dua nombor bukan negatif. Teorem hasil akar kemudiannya digunakan dan punca setiap faktor diambil. Pertimbangkan contoh: Permudahkan ungkapan A = √8 + √18 - 4√2 dengan mengambil faktor dari bawah tanda akar dalam dua sebutan pertama, kita dapat:. Kami menekankan bahawa kesaksamaan sah hanya apabila A≥ 0 dan b≥ 0. jika A < 0, то .