Hvordan skrive ligningen for harmoniske vibrasjoner. Harmoniske vibrasjoner og deres egenskaper

Den enkleste typen svingninger er harmoniske vibrasjoner- oscillasjoner der forskyvningen av svingepunktet fra likevektsposisjonen endres over tid i henhold til sinus- eller cosinusloven.

Således, med en jevn rotasjon av ballen i en sirkel, utfører dens projeksjon (skygge i parallelle lysstråler) en harmonisk oscillerende bevegelse på en vertikal skjerm (fig. 1).

Forskyvningen fra likevektsposisjonen under harmoniske vibrasjoner er beskrevet av en ligning (det kalles den kinematiske loven for harmonisk bevegelse) av formen:

hvor x er forskyvningen - en størrelse som karakteriserer posisjonen til det oscillerende punktet på tidspunktet t i forhold til likevektsposisjonen og målt ved avstanden fra likevektsposisjonen til posisjonen til punktet på et gitt tidspunkt; A - amplitude av oscillasjoner - maksimal forskyvning av kroppen fra likevektsposisjonen; T - oscillasjonsperiode - tiden for en fullstendig svingning; de. den korteste tidsperioden hvoretter verdiene av fysiske mengder som karakteriserer oscillasjonen gjentas; - innledende fase;

Oscillasjonsfase på tidspunkt t. Oscillasjonsfasen er et argument for en periodisk funksjon, som for en gitt oscillasjonsamplitude bestemmer tilstanden til det oscillerende systemet (forskyvning, hastighet, akselerasjon) til kroppen til enhver tid.

Hvis oscillerende punktet i det første øyeblikket er maksimalt forskjøvet fra likevektsposisjonen, vil , og forskyvningen av punktet fra likevektsposisjonen endres i henhold til loven

Hvis oscillerende punktet ved er i en posisjon med stabil likevekt, endres forskyvningen av punktet fra likevektsposisjonen i henhold til loven

Verdien V, den inverse av perioden og lik antall komplette svingninger fullført på 1 s, kalles oscillasjonsfrekvensen:

Hvis kroppen i løpet av tiden t gjør N komplette svingninger, da

Størrelse som viser hvor mange svingninger en kropp gjør i s kalles syklisk (sirkulær) frekvens.

Den kinematiske loven for harmonisk bevegelse kan skrives som:

Grafisk er avhengigheten av forskyvningen av et oscillerende punkt på tid representert av en cosinusbølge (eller sinusbølge).

Figur 2, a viser en graf over tidsavhengigheten av forskyvningen av svingepunktet fra likevektsposisjonen for tilfellet.

La oss finne ut hvordan hastigheten til et oscillerende punkt endres med tiden. For å gjøre dette finner vi tidsderiverten av dette uttrykket:

hvor er amplituden til hastighetsprojeksjonen på x-aksen.

Denne formelen viser at under harmoniske oscillasjoner endres også projeksjonen av kroppens hastighet på x-aksen i henhold til en harmonisk lov med samme frekvens, med en annen amplitude og ligger foran forskyvningen i fase med (fig. 2, b) ).

For å klargjøre avhengigheten av akselerasjon finner vi den tidsderiverte av hastighetsprojeksjonen:

hvor er amplituden til akselerasjonsprojeksjonen på x-aksen.

Ved harmoniske svingninger er akselerasjonsprojeksjonen foran faseforskyvningen med k (fig. 2, c).

På samme måte kan du bygge avhengighetsgrafer

Ligning for harmonisk vibrasjon

Ligningen for harmonisk oscillasjon etablerer avhengigheten av kroppens koordinater på tid

Cosinusgrafen i startøyeblikket har en maksimumsverdi, og sinusgrafen har nullverdi i startøyeblikket. Hvis vi begynner å undersøke oscillasjonen fra likevektsposisjonen, vil oscillasjonen gjenta en sinusoid. Hvis vi begynner å vurdere oscillasjonen fra posisjonen til maksimalt avvik, vil oscillasjonen bli beskrevet med en cosinus. Eller en slik oscillasjon kan beskrives med sinusformelen med en startfase.

Endring i hastighet og akselerasjon under harmonisk oscillasjon

Ikke bare kroppens koordinater endres over tid i henhold til loven om sinus eller cosinus. Men størrelser som kraft, hastighet og akselerasjon endres også tilsvarende. Kraften og akselerasjonen er maksimal når det oscillerende legemet er i ytterposisjonene hvor forskyvningen er maksimal, og er null når kroppen passerer gjennom likevektsposisjonen. Hastigheten, tvert imot, i ekstreme posisjoner er null, og når kroppen passerer gjennom likevektsposisjonen, når den sin maksimale verdi.

Hvis oscillasjonen er beskrevet av cosinusloven

Hvis oscillasjonen er beskrevet i henhold til sinusloven

Maksimal hastighet og akselerasjonsverdier

Etter å ha analysert ligningene for avhengighet v(t) og a(t), kan vi gjette at hastighet og akselerasjon tar maksimale verdier i tilfellet når den trigonometriske faktoren er lik 1 eller -1. Bestemmes av formelen

Mekaniske vibrasjoner. Oscillasjonsparametere. Harmoniske vibrasjoner.

Nøling er en prosess som gjentar seg nøyaktig eller tilnærmet med bestemte intervaller.

Det særegne ved svingninger er den obligatoriske tilstedeværelsen av en stabil likevektsposisjon på banen, der summen av alle krefter som virker på kroppen er lik null, kalles likevektsposisjonen.

En matematisk pendel er en materiell spiss hengt opp i en tynn, vektløs og uuttrekkbar tråd.

Parametre for oscillerende bevegelse.

1. Offset eller koordinere (x) – avvik fra likevektsposisjonen ved en gitt

tidens øyeblikk.	[x ]=m

2. Amplitude ( Xm) – maksimalt avvik fra likevektsposisjonen.

[ X m ]=m

3. Oscillasjonsperiode ( T) - tiden det tar å fullføre en komplett svingning.

[T ]=c.

0 " style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">

Matematikkpendel

Fjærpendel

m

https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src="> Frekvens (lineær) ( n ) – antall komplette svingninger på 1 s.

[n]= Hz

5. Syklisk frekvens ( w ) – antall komplette oscillasjoner på 2p sekunder, dvs. på omtrent 6,28 s.

w = 2pn ; [w] =0 " style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">

https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">

Skyggen på skjermen vakler.

Ligning og graf over harmoniske vibrasjoner.

Harmoniske vibrasjoner - dette er svingninger der koordinaten endres over tid i henhold til loven om sinus eller cosinus.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src="> x=Xmsynd(w t+ j 0 )

x=Xmcos(w t+ j 0 )

x – koordinat,

Xm – vibrasjonsamplitude,

w - syklisk frekvens,

w t +j 0 = j – oscillasjonsfase,

j 0 – innledende fase av svingninger.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">

Grafer er forskjellige bare amplitude

Grafene avviker bare i periode (frekvens)

https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">

Hvis amplituden til oscillasjonene ikke endres over tid, kalles svingningene udempet.

Naturlige vibrasjoner tar ikke hensyn til friksjon, den totale mekaniske energien til systemet forblir konstant: E k + E n = E pels = konst.

Naturlige oscillasjoner er udempede.

Ved tvangssvingninger kompenserer energi tilført kontinuerlig eller periodisk fra en ekstern kilde for tapene som oppstår på grunn av friksjonskraftens arbeid, og svingningene kan være udempede.

Den kinetiske og potensielle energien til en kropp forvandles til hverandre under vibrasjoner. Når systemets avvik fra likevektsposisjonen er maksimalt, er den potensielle energien maksimal og den kinetiske energien null. Når man passerer gjennom likevektsposisjonen, er det omvendt.

Frekvensen av frie oscillasjoner bestemmes av parametrene til det oscillerende systemet.

Frekvensen av tvangssvingninger bestemmes av frekvensen til den ytre kraften. Amplituden til tvungne oscillasjoner avhenger også av den ytre kraften.

Resonans c

Resonans kalt en kraftig økning i amplituden til tvangssvingninger når frekvensen til den ytre kraften faller sammen med frekvensen til systemets naturlige svingninger.

Når frekvensen w av kraftendringen faller sammen med den naturlige frekvensen w0 til systemets oscillasjoner, utfører kraften positivt arbeid hele veien, og øker amplituden til kroppens oscillasjoner. Ved enhver annen frekvens, i løpet av en del av perioden, gjør kraften positivt arbeid, og i den andre delen av perioden, negativt arbeid.

Under resonans kan en økning i amplituden til oscillasjoner føre til ødeleggelse av systemet.

I 1905 kollapset den egyptiske broen over Fontanka-elven i St. Petersburg under hovene til en skvadron med vaktkavaleri.

Selvsvingninger.

Selvsvingninger er udempede svingninger i et system, støttet av interne energikilder i fravær av påvirkning av en ytre endring i kraft.

I motsetning til tvangssvingninger, bestemmes frekvensen og amplituden til selvsvingninger av egenskapene til selve oscillerende systemet.

Selvsvingninger skiller seg fra frie svingninger ved uavhengigheten av amplitude fra tid og fra den innledende kortsiktige påvirkningen som eksiterer oscillasjonsprosessen. Et selvoscillerende system kan vanligvis deles inn i tre elementer:

1) oscillerende system;

2) energikilde;

3) en tilbakemeldingsenhet som regulerer strømmen av energi fra kilden til det oscillerende systemet.

Energien som kommer fra kilden i løpet av en periode er lik energien som går tapt i det oscillerende systemet i løpet av samme tid.

Vi undersøkte flere fysisk helt forskjellige systemer, og sørget for at bevegelseslikningene er redusert til samme form

Forskjeller mellom fysiske systemer vises kun i forskjellige definisjoner av mengden og i forskjellige fysiske betydninger av variabelen x: dette kan være en koordinat, vinkel, ladning, strøm osv. Merk at i dette tilfellet, som følger av selve strukturen til ligning (1.18), har størrelsen alltid dimensjonen invers tid.

Ligning (1.18) beskriver den såkalte harmoniske vibrasjoner.

Den harmoniske vibrasjonsligningen (1.18) er en andreordens lineær differensialligning (siden den inneholder den andre deriverte av variabelen x). Lineariteten til ligningen betyr det

hvis noen funksjon x(t) er en løsning på denne ligningen, deretter funksjonen Cx(t) vil også være hans løsning ( C– vilkårlig konstant);

hvis fungerer x 1(t) Og x 2(t) er løsninger på denne ligningen, deretter summen deres x 1 (t) + x 2 (t) vil også være en løsning på samme ligning.

En matematisk teorem er også bevist, ifølge hvilken en annenordens ligning har to uavhengige løsninger. Alle andre løsninger, i henhold til egenskapene til linearitet, kan oppnås som deres lineære kombinasjoner. Det er lett å verifisere ved direkte differensiering at de uavhengige fungerer og tilfredsstiller ligning (1.18). Dette betyr at den generelle løsningen på denne ligningen har formen:

Hvor C 1,C 2- vilkårlige konstanter. Denne løsningen kan presenteres i en annen form. La oss legge inn verdien

og bestem vinkelen ved relasjonene:

Da skrives den generelle løsningen (1.19) som

I følge trigonometriformler er uttrykket i parentes lik

Vi kommer endelig til generell løsning av den harmoniske vibrasjonsligningen som:

Ikke-negativ verdi EN kalt vibrasjonsamplitude, - innledende oscillasjonsfase. Hele cosinusargumentet – kombinasjonen – kalles oscillasjonsfase.

Uttrykk (1.19) og (1.23) er helt likeverdige, så vi kan bruke hvilket som helst av dem, basert på betraktninger om enkelhet. Begge løsningene er periodiske funksjoner av tid. Sinus og cosinus er faktisk periodiske med en periode . Derfor gjentas forskjellige tilstander til et system som utfører harmoniske svingninger etter en tidsperiode t*, der oscillasjonsfasen mottar et inkrement som er et multiplum av :

Det følger at

Minst av disse tider

kalt periode med svingninger (Fig. 1.8), og - hans sirkulær (syklisk) Frekvens.

Ris. 1.8.

De bruker også Frekvens svingninger

Følgelig er den sirkulære frekvensen lik antall svingninger pr sekunder

Så hvis systemet på tid t karakterisert ved verdien av variabelen x(t), da vil variabelen ha samme verdi etter en tidsperiode (fig. 1.9), dvs

Den samme betydningen vil naturlig nok gjenta seg over tid 2T, ZT etc.

Ris. 1.9. Oscillasjonsperiode

Den generelle løsningen inkluderer to vilkårlige konstanter ( C 1, C 2 eller EN, en), hvis verdier må bestemmes av to Innledende forhold. Vanligvis (men ikke nødvendigvis) spilles deres rolle av de innledende verdiene til variabelen x(0) og dens derivat.

La oss gi et eksempel. La løsningen (1.19) av ligningen for harmoniske svingninger beskrive bevegelsen til en fjærpendel. Verdiene til vilkårlige konstanter avhenger av måten vi brakte pendelen ut av likevekt på. For eksempel trakk vi fjæren på avstand og slapp ballen uten starthastighet. I dette tilfellet

Erstatter t = 0 i (1.19) finner vi verdien av konstanten C 2

Løsningen ser dermed slik ut:

Vi finner hastigheten på lasten ved differensiering med hensyn til tid

Erstatter her t = 0, finn konstanten C 1:

Endelig

Sammenligner vi med (1.23), finner vi det er amplituden til svingningene, og dens innledende fase er null: .

La oss nå utbalansere pendelen på en annen måte. La oss treffe lasten slik at den får en starthastighet, men praktisk talt ikke beveger seg under sammenstøtet. Vi har da andre startbetingelser:

løsningen vår ser ut

Hastigheten på lasten vil endres i henhold til loven:

La oss erstatte her:

Emner for Unified State Examination-kodifisereren: harmoniske vibrasjoner; amplitude, periode, frekvens, fase av svingninger; frie vibrasjoner, tvungne vibrasjoner, resonans.

Svingninger – Dette er endringer i systemets tilstand som gjentar seg over tid. Begrepet svingninger dekker et veldig bredt spekter av fenomener.

Vibrasjoner av mekaniske systemer, eller mekaniske vibrasjoner- dette er den mekaniske bevegelsen til en kropp eller et system av kropper, som er repeterbar i tid og skjer i nærheten av likevektsposisjonen. Likevektsposisjon er en tilstand av et system der det kan forbli i det uendelige uten å oppleve ytre påvirkninger.

For eksempel, hvis pendelen avbøyes og slippes, vil den begynne å svinge. Likevektsposisjonen er posisjonen til pendelen i fravær av avvik. Pendelen, hvis den forblir uforstyrret, kan forbli i denne posisjonen så lenge som ønskelig. Når pendelen svinger, passerer den gjennom sin likevektsposisjon mange ganger.

Umiddelbart etter at den avbøyde pendelen ble sluppet, begynte den å bevege seg, passerte likevektsposisjonen, nådde den motsatte ytterposisjonen, stoppet der et øyeblikk, beveget seg i motsatt retning, passerte likevektsposisjonen igjen og returnerte tilbake. En ting har skjedd full sving. Deretter vil denne prosessen gjentas med jevne mellomrom.

Kroppssvingningsamplitude er størrelsen på dets største avvik fra likevektsposisjonen.

Oscillasjonsperiode - dette er tiden for en fullstendig svingning. Vi kan si at i løpet av en periode reiser kroppen en bane på fire amplituder.

Oscillasjonsfrekvens er den gjensidige av perioden:. Frekvensen måles i hertz (Hz) og viser hvor mange komplette svingninger som skjer på ett sekund.

Harmoniske vibrasjoner.

Vi vil anta at posisjonen til det oscillerende legemet bestemmes av en enkelt koordinat. Likevektsposisjonen tilsvarer verdien. Mekanikkens hovedoppgave i dette tilfellet er å finne en funksjon som gir kroppens koordinater til enhver tid.

For en matematisk beskrivelse av svingninger er det naturlig å bruke periodiske funksjoner. Det er mange slike funksjoner, men to av dem - sinus og cosinus - er de viktigste. De har mange gode egenskaper og er nært knyttet til et bredt spekter av fysiske fenomener.

Siden sinus- og cosinusfunksjonene hentes fra hverandre ved å forskyve argumentet med , kan vi begrense oss til kun én av dem. For bestemthets skyld vil vi bruke cosinus.

Harmoniske vibrasjoner- dette er oscillasjoner der koordinaten avhenger av tid i henhold til den harmoniske loven:

(1)

La oss finne ut betydningen av mengdene som er inkludert i denne formelen.

En positiv verdi er den største modulverdien til koordinaten (siden den maksimale verdien av cosinusmodulen er lik enhet), dvs. det største avviket fra likevektsposisjonen. Derfor - amplituden til svingninger.

Cosinusargumentet kalles fase nøling. Verdien lik faseverdien ved kalles startfasen. Startfasen tilsvarer den innledende koordinaten til kroppen: .

Mengden kalles syklisk frekvens. La oss finne sammenhengen med oscillasjonsperioden og frekvensen. Én komplett oscillasjon tilsvarer en faseøkning lik radianer: , hvorfra

(2)

(3)

Den sykliske frekvensen måles i rad/s (radianer per sekund).

I samsvar med uttrykk (2) og (3), får vi ytterligere to former for å skrive den harmoniske loven (1):

Grafen for funksjon (1), som uttrykker koordinatens avhengighet av tid under harmoniske oscillasjoner, er vist i fig. 1 .

Den harmoniske loven av type (1) er av den mest generelle karakter. Den reagerer for eksempel på situasjoner der to innledende handlinger ble utført samtidig på pendelen: den ble avbøyd med en mengde og en viss starthastighet ble gitt til den. Det er to viktige spesialtilfeller når en av disse handlingene ikke ble utført.

La pendelen avbøyes, men starthastigheten ble ikke rapportert (den ble sluppet uten starthastigheten). Det er klart at i dette tilfellet, derfor kan vi sette . Vi får cosinusloven:

Grafen over harmoniske oscillasjoner i dette tilfellet er vist i fig. 2.

Ris. 2. Kosinusloven

La oss nå anta at pendelen ikke ble avbøyd, men starthastigheten fra likevektsposisjonen ble gitt den ved støt. I dette tilfellet, så du kan sette . Vi får sinusloven:

Oscillasjonsgrafen er vist i fig. 3.

Ris. 3. Sinusloven

Ligning av harmoniske vibrasjoner.

La oss gå tilbake til den generelle harmoniske loven (1). La oss skille mellom denne likheten:

. (4)

Nå skiller vi den resulterende likheten (4):

. (5)

La oss sammenligne uttrykk (1) for koordinaten og uttrykk (5) for akselerasjonsprojeksjonen. Vi ser at akselerasjonsprojeksjonen skiller seg fra koordinaten bare med en faktor:

. (6)

Dette forholdet kalles harmonisk ligning. Det kan også skrives om i denne formen:

. (7)

Fra et matematisk synspunkt er ligning (7). differensial ligning. Løsningene til differensialligninger er funksjoner (ikke tall, som i vanlig algebra).
Så det kan bevises at:

Løsningen til ligning (7) er en hvilken som helst funksjon av formen (1) med vilkårlig ;

Ingen annen funksjon er en løsning på denne ligningen.

Med andre ord beskriver relasjoner (6), (7) harmoniske svingninger med en syklisk frekvens og bare dem. To konstanter bestemmes fra startforholdene - fra startverdiene til koordinaten og hastigheten.

Fjærpendel.

Fjærpendel er en last festet til en fjær som kan svinge i horisontal eller vertikal retning.

La oss finne perioden med små horisontale svingninger av fjærpendelen (fig. 4). Oscillasjonene vil være små hvis mengden av deformasjon av fjæren er mye mindre enn dens dimensjoner. For små deformasjoner kan vi bruke Hookes lov. Dette vil føre til at svingningene blir harmoniske.

Vi neglisjerer friksjon. Lasten har en masse og fjærstivheten er lik .

Koordinaten tilsvarer likevektsposisjonen der fjæren ikke er deformert. Følgelig er størrelsen på fjærdeformasjonen lik modulen til koordinatene til lasten.

Ris. 4. Fjærpendel

I horisontal retning virker kun den elastiske kraften fra fjæren på lasten. Newtons andre lov for lasten i projeksjon på aksen har formen:

. (8)

Hvis (lasten er forskjøvet til høyre, som i figuren), blir den elastiske kraften rettet i motsatt retning, og . Omvendt, hvis , da . Tegnene og er motsatt hele tiden, så Hookes lov kan skrives som følger:

Da har relasjon (8) formen:

Vi har fått en ligning av harmoniske svingninger av formen (6), hvor

Den sykliske svingningsfrekvensen til fjærpendelen er dermed lik:

. (9)

Herfra og fra forholdet finner vi perioden med horisontale oscillasjoner av fjærpendelen:

. (10)

Henger du en last på en fjær får du en fjærpendel som svinger i vertikal retning. Det kan vises at i dette tilfellet er formel (10) gyldig for oscillasjonsperioden.

Matematisk pendel.

Matematikkpendel er en liten kropp hengt opp på en vektløs ubøyelig tråd (fig. 5). En matematisk pendel kan svinge i et vertikalt plan i tyngdefeltet.

Ris. 5. Matematisk pendel

La oss finne perioden med små svingninger av en matematisk pendel. Lengden på tråden er . Vi neglisjerer luftmotstanden.

La oss skrive ned Newtons andre lov for pendelen:

og projisere den på aksen:

Hvis pendelen tar en posisjon som i figuren (dvs.), så:

Hvis pendelen er på den andre siden av likevektsposisjonen (dvs.), så:

Så for enhver posisjon av pendelen har vi:

. (11)

Når pendelen er i ro i likevektsposisjon, er likheten tilfredsstilt. For små svingninger, når avvikene til pendelen fra likevektsposisjonen er små (sammenlignet med lengden på tråden), er den omtrentlige likheten tilfredsstilt. La oss bruke det i formel (11):

Dette er en ligning av harmoniske oscillasjoner av formen (6), der

Derfor er den sykliske frekvensen av oscillasjoner til en matematisk pendel lik:

. (12)

Derav svingeperioden til en matematisk pendel:

. (13)

Vær oppmerksom på at formel (13) ikke inkluderer massen til lasten. I motsetning til en fjærpendel, er ikke svingningsperioden til en matematisk pendel avhengig av massen.

Frie og tvungne vibrasjoner.

De sier at systemet gjør det frie vibrasjoner, hvis den en gang fjernes fra likevektsposisjonen og deretter overlates til seg selv. Ingen periodisk ekstern
I dette tilfellet opplever ikke systemet noen påvirkninger, og det er ingen interne energikilder som støtter svingninger i systemet.

Svingningene til fjæren og matematiske pendler diskutert ovenfor er eksempler på frie oscillasjoner.

Frekvensen som frie vibrasjoner oppstår med kalles naturlig frekvens oscillerende system. Således gir formlene (9) og (12) de naturlige (sykliske) frekvensene for svingninger til fjæren og matematiske pendler.

I en idealisert situasjon i fravær av friksjon er frie oscillasjoner udempet, det vil si at de har en konstant amplitude og varer på ubestemt tid. I ekte oscillerende systemer er friksjon alltid til stede, så frie vibrasjoner dør gradvis ut (fig. 6).

Tvungede vibrasjoner- dette er svingninger laget av et system under påvirkning av en ytre kraft som periodisk endres over tid (den såkalte drivkraften).

La oss anta at den naturlige frekvensen av oscillasjoner til systemet er lik , og drivkraften avhenger av tid i henhold til den harmoniske loven:

Over noen tid etableres tvangssvingninger: systemet gjør en kompleks bevegelse, som er en superposisjon av tvangssvingninger og frie svingninger. Frie oscillasjoner dør gradvis ut, og i jevn tilstand utfører systemet tvangssvingninger, som også viser seg å være harmoniske. Frekvensen av tvangssvingninger i stabil tilstand faller sammen med frekvensen
tvingende kraft (en ytre kraft pålegger så å si systemet sin frekvens).

Amplituden til de etablerte tvangssvingningene avhenger av frekvensen til drivkraften. Grafen for denne avhengigheten er vist i fig. 7.

Ris. 7. Resonans

Vi ser at resonans oppstår nær frekvensen - fenomenet med en økning i amplituden til tvungne oscillasjoner. Resonansfrekvensen er omtrent lik den naturlige frekvensen av oscillasjoner til systemet: , og denne likheten oppfylles mer nøyaktig, jo mindre friksjon i systemet. I fravær av friksjon faller resonansfrekvensen sammen med den naturlige frekvensen til oscillasjonene, og amplituden til oscillasjonene øker til uendelig ved .