Som å løse ligninger. Løse lineære ligninger med eksempler

På forberedelsesstadiet til den siste testen må elever på videregående skole forbedre kunnskapen sin om emnet "Eksponentielle ligninger." Erfaringene fra de siste årene tilsier at slike oppgaver forårsaker visse vanskeligheter for skolebarn. Derfor må elever på videregående skole, uavhengig av deres forberedelsesnivå, grundig mestre teorien, huske formlene og forstå prinsippet for å løse slike ligninger. Etter å ha lært å takle denne typen problemer, kan nyutdannede stole på høye poengsummer når de består Unified State-eksamenen i matematikk.

Gjør deg klar for eksamenstesting med Shkolkovo!

Når de gjennomgår materialet de har dekket, står mange studenter overfor problemet med å finne formlene som trengs for å løse ligninger. En skolelærebok er ikke alltid tilgjengelig, og det tar lang tid å velge nødvendig informasjon om et emne på Internett.

Shkolkovo utdanningsportal inviterer studenter til å bruke kunnskapsbasen vår. Vi implementerer en helt ny metode for å forberede den siste testen. Ved å studere på nettsiden vår vil du kunne identifisere hull i kunnskap og ta hensyn til de oppgavene som forårsaker mest vanskeligheter.

Shkolkovo-lærere samlet, systematiserte og presenterte alt materialet som var nødvendig for å bestå Unified State Examen i den enkleste og mest tilgjengelige formen.

Grunnleggende definisjoner og formler er presentert i delen "Teoretisk bakgrunn".

For bedre å forstå stoffet anbefaler vi at du øver deg på å gjennomføre oppgavene. Se nøye gjennom eksemplene på eksponentielle ligninger med løsninger presentert på denne siden for å forstå beregningsalgoritmen. Etter det, fortsett til å utføre oppgaver i "Kataloger" -delen. Du kan starte med de enkleste oppgavene eller gå rett til å løse komplekse eksponentialligninger med flere ukjente eller . Databasen med øvelser på nettsiden vår suppleres og oppdateres kontinuerlig.

Eksemplene med indikatorer som forårsaket problemer kan legges til i "Favoritter". På denne måten kan du raskt finne dem og diskutere løsningen med læreren din.

For å bestå Unified State-eksamenen, studer på Shkolkovo-portalen hver dag!

Formålet med tjenesten. Matrisekalkulatoren er designet for å løse systemer med lineære ligninger ved hjelp av en matrisemetode (se eksempel på løsning av lignende problemer).

Bruksanvisning. For å løse online, må du velge type ligning og angi dimensjonen til de tilsvarende matrisene. hvor A, B, C er de spesifiserte matrisene, X er den ønskede matrisen. Matriseligninger av formen (1), (2) og (3) løses gjennom den inverse matrisen A -1. Hvis uttrykket A·X - B = C er gitt, er det nødvendig å først legge til matrisene C + B og finne en løsning for uttrykket A·X = D, der D = C + B. Hvis uttrykket A*X = B 2 er gitt, må matrisen B først kvadreres.

Det anbefales også å gjøre deg kjent med de grunnleggende operasjonene på matriser.

Eksempel nr. 1. Trening. Finn løsningen på matriseligningen
Løsning. La oss betegne:
Da vil matriseligningen skrives på formen: A·X·B = C.
Determinanten til matrise A er lik detA=-1
Siden A er en ikke-singular matrise, er det en invers matrise A -1 . Multipliser begge sider av ligningen til venstre med A -1: Multipliser begge sider av denne ligningen til venstre med A -1 og til høyre med B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A-1 ·C·B-1. Siden A A -1 = B B -1 = E og E X = X E = X, så er X = A -1 C B -1

Invers matrise A -1:
La oss finne den inverse matrisen B -1.
Transponert matrise B T:
Invers matrise B -1:
Vi ser etter matrise X ved å bruke formelen: X = A -1 ·C·B -1

Svar:

Eksempel nr. 2. Trening. Løs matriseligningen
Løsning. La oss betegne:
Da vil matriseligningen skrives på formen: A·X = B.
Determinanten til matrise A er detA=0
Siden A er en entallsmatrise (determinanten er 0), har ligningen ingen løsning.

Eksempel nr. 3. Trening. Finn løsningen på matriseligningen
Løsning. La oss betegne:
Da vil matriseligningen bli skrevet på formen: X A = B.
Determinanten til matrise A er detA=-60
Siden A er en ikke-singular matrise, er det en invers matrise A -1 . La oss multiplisere begge sider av ligningen til høyre med A -1: X A A -1 = B A -1, hvorfra vi finner at X = B A -1
La oss finne den inverse matrisen A -1 .
Transponert matrise A T:
Invers matrise A -1:
Vi ser etter matrise X ved å bruke formelen: X = B A -1


Svar: >

å løse matematikk. Finn raskt løse en matematisk ligning i modus på nett. Nettstedet www.site tillater løse ligningen nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ligning online. Når du studerer nesten hvilken som helst gren av matematikk på forskjellige stadier, må du bestemme deg ligninger på nettet. For å få svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være nettstedet www.site løse ligninger på nett vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ligninger på nettet- dette er hastigheten og nøyaktigheten til svaret som gis. Siden er i stand til å løse eventuelle algebraiske ligninger på nettet, trigonometriske ligninger på nettet, transcendentale ligninger på nettet, og ligninger med ukjente parametere i modus på nett. Ligninger tjene som et kraftig matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjelp matematiske ligninger det er mulig å uttrykke fakta og sammenhenger som kan virke forvirrende og komplekse ved første øyekast. Ukjente mengder ligninger kan finnes ved å formulere problemet i matematisk språk i formen ligninger Og Bestemme seg for mottatt oppgave i modus på nett på nettsiden www.site. Noen algebraisk ligning, trigonometrisk ligning eller ligninger inneholder transcendental funksjoner du enkelt kan Bestemme seg for online og få det nøyaktige svaret. Når du studerer naturvitenskap, møter du uunngåelig behovet løse ligninger. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og må innhentes umiddelbart i modusen på nett. Derfor for løse matematiske ligninger på nettet vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løse algebraiske ligninger online, trigonometriske ligninger på nettet, og transcendentale ligninger på nettet eller ligninger med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne røttene til ulike matematiske ligninger ressurs www.. Løsning ligninger på nettet selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av online ligningsløsning på nettsiden www.site. Du må skrive ligningen riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det bare gjenstår å sammenligne svaret med løsningen din på ligningen. Å sjekke svaret tar ikke mer enn et minutt, det er nok løse ligningen på nettet og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i beslutning og korriger svaret i tide når løse ligninger på nett enten algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ligningen med ukjente parametere.

I denne videoen vil vi analysere et helt sett med lineære ligninger som er løst ved hjelp av den samme algoritmen - det er derfor de kalles de enkleste.

Først, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken kalles den enkleste?

En lineær ligning er en der det bare er én variabel, og bare i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til den enkleste ved å bruke algoritmen:

1. Utvid parenteser, hvis noen;
2. Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
3. Gi lignende termer til venstre og høyre for likhetstegnet;
4. Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$.

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger etter alle disse manipulasjonene, viser koeffisienten til variabelen $x$ seg å være lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

1. Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når noe som $0\cdot x=8$ viser seg, dvs. til venstre er null, og til høyre er et annet tall enn null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
2. Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet når dette er mulig er når ligningen er redusert til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

La oss nå se hvordan alt dette fungerer ved å bruke eksempler fra det virkelige liv.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag har vi å gjøre med lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

1. Først av alt, må du utvide parentesene, hvis det er noen (som i vårt siste eksempel);
2. Kombiner deretter lignende
3. Til slutt isolerer du variabelen, dvs. flytte alt som er knyttet til variabelen – termene den er inneholdt i – til den ene siden, og flytt alt som er uten den til den andre siden.

Deretter må du som regel ta med lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten til "x", så får vi det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når du åpner parenteser eller når du beregner "plussene" og "minusene".

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi skal se på disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med de enkleste oppgavene.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Først, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

1. Utvid parentesene, hvis noen.
2. Vi isolerer variablene, dvs. Vi flytter alt som inneholder "X" til den ene siden, og alt uten "X" til den andre.
3. Vi presenterer lignende termer.
4. Vi deler alt med koeffisienten til "x".

Selvfølgelig fungerer ikke denne ordningen alltid; det er visse finesser og triks i den, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave nr. 1

Det første trinnet krever at vi åpner brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dette trinnet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Vennligst merk: vi snakker kun om individuelle vilkår. La oss skrive det ned:

Vi presenterer lignende termer til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trinnet: del med koeffisienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så vi fikk svaret.

Oppgave nr. 2

Vi kan se parentesene i denne oppgaven, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme design, men la oss handle etter algoritmen, dvs. skille variablene:

Her er noen lignende:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave nr. 3

Den tredje lineære ligningen er mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er flere parenteser her, men de multipliseres ikke med noe, de er rett og slett innledet av forskjellige tegn. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne:

Vi utfører det siste trinnet - del alt med koeffisienten til "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

• Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
• Selv om det er røtter, kan det være null blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som de andre; du bør ikke diskriminere det på noen måte eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er relatert til åpningen av braketter. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi tegnene til motsatte. Og så kan vi åpne den ved hjelp av standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Å forstå dette enkle faktum vil hjelpe deg å unngå å gjøre dumme og sårende feil på videregående, når det å gjøre slike ting tas for gitt.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil konstruksjonene bli mer komplekse og når man utfører ulike transformasjoner vil en kvadratisk funksjon vises. Vi bør imidlertid ikke være redde for dette, for hvis vi i henhold til forfatterens plan løser en lineær ligning, vil alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon under transformasjonsprosessen helt sikkert kanselleres.

Eksempel nr. 1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta en titt på personvern:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen lignende:

Denne ligningen har åpenbart ingen løsninger, så vi skriver dette i svaret:

\[\varnothing\]

eller det er ingen røtter.

Eksempel nr. 2

Vi utfører de samme handlingene. Første skritt:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen lignende:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver den på denne måten:

\[\varnothing\],

eller det er ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. Ved å bruke disse to uttrykkene som eksempel, ble vi nok en gang overbevist om at selv i de enkleste lineære ligningene, kan ikke alt være så enkelt: det kan være enten én, eller ingen, eller uendelig mange røtter. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, begge har rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du åpner dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "X". Vennligst merk: multipliserer hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multiplisert.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men veldig viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan du åpne braketten fra synspunktet om at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er fullført, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under rett og slett skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ikke tilfeldig at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse ligninger er alltid en sekvens av elementære transformasjoner, hvor manglende evne til tydelig og kompetent å utføre enkle handlinger fører til at elever på videregående kommer til meg og igjen lærer å løse slike enkle ligninger.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til det punktet av automatikk. Du trenger ikke lenger å utføre så mange transformasjoner hver gang, du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave nr. 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss gjøre litt privatliv:

Her er noen lignende:

La oss fullføre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, kansellerte de hverandre, noe som gjør ligningen lineær og ikke kvadratisk.

Oppgave nr. 2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss utføre det første trinnet nøye: multipliser hvert element fra den første parentesen med hvert element fra den andre. Det skal være totalt fire nye termer etter transformasjonene:

La oss nå nøye utføre multiplikasjonen i hvert ledd:

La oss flytte termene med "X" til venstre, og de uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Nok en gang har vi fått det endelige svaret.

Nyanser av løsningen

Den viktigste merknaden om disse to ligningene er følgende: så snart vi begynner å multiplisere parenteser som inneholder mer enn ett ledd, gjøres dette i henhold til følgende regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra den andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat vil vi ha fire perioder.

Om den algebraiske summen

Med dette siste eksempelet vil jeg minne elevene på hva en algebraisk sum er. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: trekk sju fra én. I algebra mener vi følgende med dette: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv". Slik skiller en algebraisk sum seg fra en vanlig aritmetisk sum.

Så snart du, når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner å se konstruksjoner som ligner de som er beskrevet ovenfor, vil du rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Til slutt, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med brøker

For å løse slike oppgaver må vi legge til ett trinn til i algoritmen vår. Men først, la meg minne deg på algoritmen vår:

1. Åpne brakettene.
2. Separate variabler.
3. Ta med lignende.
4. Del på forholdet.

Akk, denne fantastiske algoritmen, på tross av all dens effektivitet, viser seg å ikke være helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til både venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan gjøres både før og etter den første handlingen, nemlig å bli kvitt brøker. Så algoritmen vil være som følger:

1. Bli kvitt brøker.
2. Åpne brakettene.
3. Separate variabler.
4. Ta med lignende.
5. Del på forholdet.

Hva betyr det å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor kan dette gjøres både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske i sin nevner, dvs. Overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge sider av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr ikke det at du må gange hver med "fire". La oss skrive ned:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå utvide:

Vi utelukker variabelen:

Vi utfører reduksjon av lignende termer:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi har fått den endelige løsningen, la oss gå videre til den andre ligningen.

Eksempel nr. 2

\[\frac(\venstre(1-x \høyre)\venstre(1+5x \høyre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet er løst.

Det er faktisk alt jeg ville fortelle deg i dag.

Viktige punkter

Nøkkelfunn er:

• Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
• Evne til å åpne parentes.
• Ikke bekymre deg hvis du har kvadratiske funksjoner et sted; mest sannsynlig vil de reduseres i prosessen med ytterligere transformasjoner.
• Det er tre typer røtter i lineære ligninger, selv de enkleste: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, og ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet og løs eksemplene som presenteres der. Følg med, mange flere interessante ting venter på deg!