Hvordan fjerne en modul i en ulikhet. Ligninger med modul

Løse ulikheter på nett

Før du løser ulikheter, må du ha en god forståelse av hvordan ligninger løses.

Det spiller ingen rolle om ulikheten er streng () eller ikke-streng (≤, ≥), det første trinnet er å løse ligningen ved å erstatte ulikhetstegnet med likhet (=).

La oss forklare hva det vil si å løse en ulikhet?

Etter å ha studert ligningene, får studenten følgende bilde i hodet: han må finne verdier av variabelen slik at begge sider av ligningen får de samme verdiene. Med andre ord, finn alle punkter der likhet gjelder. Alt er riktig!

Når vi snakker om ulikheter, mener vi å finne intervaller (segmenter) som ulikheten holder på. Hvis det er to variabler i ulikheten, vil løsningen ikke lenger være intervaller, men noen områder på planet. Gjett selv hva som vil være løsningen på en ulikhet i tre variabler?

Hvordan løse ulikheter?

En universell måte å løse ulikheter på anses å være metoden for intervaller (også kjent som metoden for intervaller), som består i å bestemme alle intervaller innenfor grensene som en gitt ulikhet vil bli tilfredsstilt.

Uten å gå inn på typen ulikhet, i dette tilfellet er ikke dette poenget, du må løse den tilsvarende ligningen og bestemme dens røtter, etterfulgt av betegnelsen av disse løsningene på tallaksen.

Hvordan skrive riktig løsning på en ulikhet?

Når du har bestemt løsningsintervallene for ulikheten, må du skrive ut selve løsningen riktig. Det er en viktig nyanse - er grensene for intervallene inkludert i løsningen?

Alt er enkelt her. Hvis løsningen til ligningen tilfredsstiller ODZ og ulikheten ikke er streng, er grensen til intervallet inkludert i løsningen til ulikheten. Ellers nei.

Med tanke på hvert intervall, kan løsningen på ulikheten være selve intervallet, eller et halvt intervall (når en av grensene tilfredsstiller ulikheten), eller et segment - intervallet sammen med dets grenser.

Viktig poeng

Ikke tenk at bare intervaller, halvintervaller og segmenter kan løse ulikheten. Nei, løsningen kan også inneholde enkeltpunkter.

For eksempel har ulikheten |x|≤0 bare én løsning - dette er punkt 0.

Og ulikheten |x|

Hvorfor trenger du en ulikhetskalkulator?

Ulikhetskalkulatoren gir det riktige endelige svaret. I de fleste tilfeller er det gitt en illustrasjon av en tallakse eller et plan. Det er synlig om grensene for intervallene er inkludert i løsningen eller ikke - punktene vises som skraverte eller punktert.

Takket være den elektroniske ulikhetskalkulatoren kan du sjekke om du fant røttene til ligningen riktig, merket dem på tallaksen og sjekket oppfyllelsen av ulikhetsbetingelsen på intervallene (og grensene)?

Hvis svaret ditt avviker fra kalkulatorens svar, må du definitivt dobbeltsjekke løsningen og identifisere feilen.

Jo mer en person forstår, jo sterkere er hans ønske om å forstå

Thomas Aquinas

Intervallmetoden lar deg løse alle ligninger som inneholder en modul. Essensen av denne metoden er å dele tallaksen i flere seksjoner (intervaller), og aksen må deles av nullpunktene til uttrykkene i modulene. Deretter, på hver av de resulterende seksjonene, er hvert submodulært uttrykk enten positivt eller negativt. Derfor kan hver av modulene åpnes enten med et minustegn eller med et plusstegn. Etter disse trinnene gjenstår det bare å løse hver av de resulterende enkle ligningene på det aktuelle intervallet og kombinere de oppnådde svarene.

La oss se på denne metoden ved å bruke et spesifikt eksempel.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) La oss finne nullpunktene til uttrykkene i modulene. For å gjøre dette, må vi likestille dem til null og løse de resulterende ligningene.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Plasser de resulterende punktene i ønsket rekkefølge på koordinatlinjen. De vil dele hele aksen i fire seksjoner.

3) La oss bestemme tegnene til uttrykkene i modulene på hver av de resulterende seksjonene. For å gjøre dette, bytter vi inn alle tall fra intervallene som er av interesse for oss. Hvis resultatet av beregningen er et positivt tall, setter vi "+" i tabellen, og hvis tallet er negativt, legger vi "–". Dette kan skildres slik:

4) Nå skal vi løse ligningen på hvert av de fire intervallene, og avsløre modulene med fortegnene som er angitt i tabellen. Så, la oss se på det første intervallet:

I-intervall (-∞; -3). På den åpnes alle moduler med et "–"-tegn. Vi får følgende ligning:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. La oss presentere lignende termer, først åpne parentesene i den resulterende ligningen:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Det mottatte svaret er ikke inkludert i det vurderte intervallet, så det er ikke nødvendig å skrive det i det endelige svaret.

II-intervall [-3; -1). Ved dette intervallet i tabellen er det tegn “–”, “–”, “+”. Dette er nøyaktig hvordan vi åpner modulene til den opprinnelige ligningen:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. La oss forenkle ved å åpne parentesene:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. La oss presentere lignende i den resulterende ligningen:

x = 6/5. Det resulterende tallet tilhører ikke intervallet som vurderes, derfor er det ikke roten til den opprinnelige ligningen.

III-intervall [-1; 2). Vi utvider modulene til den opprinnelige ligningen med tegnene som vises i den tredje kolonnen i figuren. Vi får:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. La oss kvitte oss med parentesene og flytte leddene som inneholder variabelen x til venstre side av ligningen, og de som ikke inneholder x til den rette. Vil ha:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

Tallet 2 er ikke inkludert i intervallet som vurderes.

IV intervall

Enkelt sagt er en modul et "tall uten minus." Og det er i denne dualiteten (noen steder trenger du ikke gjøre noe med det opprinnelige nummeret, men andre steder må du fjerne en slags minus) som er der hele vanskeligheten ligger for begynnende elever.

Det er også en geometrisk definisjon. Det er også nyttig å vite, men vi vil vende oss til det bare i komplekse og noen spesielle tilfeller, der den geometriske tilnærmingen er mer praktisk enn den algebraiske (spoiler: ikke i dag).

Definisjon. La punktet $a$ markeres på tallinjen. Deretter modulen $\left| x-a \right|$ er avstanden fra punkt $x$ til punkt $a$ på denne linjen.

Hvis du tegner et bilde, får du noe slikt:

Grafisk moduldefinisjon

På en eller annen måte, fra definisjonen av en modul følger dens nøkkelegenskap umiddelbart: modulen til et tall er alltid en ikke-negativ størrelse. Dette faktum vil være en rød tråd som går gjennom hele vår fortelling i dag.

Løse ulikheter. Intervallmetode

La oss nå se på ulikhetene. Det er veldig mange av dem, men vår oppgave nå er å kunne løse i det minste de enkleste av dem. De som reduserer til lineære ulikheter, samt til intervallmetoden.

Jeg har to store leksjoner om dette emnet (forresten, veldig, VELDIG nyttig - jeg anbefaler å studere dem):

1. Intervallmetode for ulikheter (spesielt se videoen);
2. Fraksjonelle rasjonelle ulikheter er en veldig omfattende leksjon, men etter den vil du ikke ha noen spørsmål i det hele tatt.

Hvis du vet alt dette, hvis uttrykket "la oss gå fra ulikhet til likning" ikke får deg til å ha et vagt ønske om å slå deg selv i veggen, så er du klar: velkommen til helvete til leksjonens hovedtema. :)

1. Ulikheter i formen "Modul er mindre enn funksjon"

Dette er et av de vanligste problemene med moduler. Det kreves for å løse en ulikhet av formen:

\[\venstre| f\høyre| \ltg\]

Funksjonene $f$ og $g$ kan være hva som helst, men vanligvis er de polynomer. Eksempler på slike ulikheter:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \høyre| \lt x+7; \\ & \venstre| ((x)^(2))+2x-3 \høyre|+3\venstre(x+1 \høyre) \lt 0; \\ & \venstre| ((x)^(2))-2\venstre| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alle kan løses bokstavelig talt på en linje i henhold til følgende skjema:

\[\venstre| f\høyre| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \right.\right)\]

Det er lett å se at vi kvitter oss med modulen, men til gjengjeld får vi en dobbel ulikhet (eller, som er det samme, et system med to ulikheter). Men denne overgangen tar hensyn til absolutt alle mulige problemer: hvis tallet under modulen er positivt, fungerer metoden; hvis negativ, fungerer det fortsatt; og selv med den mest utilstrekkelige funksjonen i stedet for $f$ eller $g$, vil metoden fortsatt fungere.

Naturligvis oppstår spørsmålet: kunne det ikke vært enklere? Dessverre er det ikke mulig. Dette er hele poenget med modulen.

Men nok med filosoferingen. La oss løse et par problemer:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| 2x+3 \høyre| \lt x+7\]

Løsning. Så vi har foran oss en klassisk ulikhet av formen "modulen er mindre" - det er til og med ingenting å transformere. Vi jobber etter algoritmen:

\[\begin(align) & \left| f\høyre| \lt g\Høyrepil -g \lt f \lt g; \\ & \venstre| 2x+3 \høyre| \lt x+7\Høyrepil -\venstre(x+7 \høyre) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ikke skynd deg å åpne parentesene foran med et "minus": det er ganske mulig at du på grunn av hastverket ditt vil gjøre en støtende feil.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\venstre\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problemet ble redusert til to elementære ulikheter. La oss legge merke til løsningene deres på parallelle talllinjer:

Kryss av mange

Skjæringspunktet mellom disse settene vil være svaret.

Svar: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \høyre|+3\venstre(x+1 \høyre) \lt 0\]

Løsning. Denne oppgaven er litt vanskeligere. Først, la oss isolere modulen ved å flytte det andre leddet til høyre:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\venstre(x+1 \høyre)\]

Åpenbart har vi igjen en ulikhet av formen "modulen er mindre", så vi blir kvitt modulen ved å bruke den allerede kjente algoritmen:

\[-\venstre(-3\venstre(x+1 \høyre) \høyre) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\venstre(x+1 \høyre)\]

Nå oppmerksomhet: noen vil si at jeg er litt pervers med alle disse parentesene. Men la meg minne deg nok en gang om at vårt hovedmål er løse ulikheten riktig og få svaret. Senere, når du har mestret alt som er beskrevet i denne leksjonen perfekt, kan du pervertere det selv som du vil: åpne parenteser, legg til minuser, etc.

Til å begynne med vil vi ganske enkelt bli kvitt det doble minuset til venstre:

\[-\venstre(-3\venstre(x+1 \høyre) \høyre)=\venstre(-1 \høyre)\cdot \venstre(-3 \høyre)\cdot \venstre(x+1 \høyre) =3\venstre(x+1 \høyre)\]

La oss nå åpne alle parentesene i den doble ulikheten:

La oss gå videre til den doble ulikheten. Denne gangen blir beregningene mer seriøse:

\[\venstre\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( juster)\høyre.\]

Begge ulikhetene er kvadratiske og kan løses med intervallmetoden (det er derfor jeg sier: hvis du ikke vet hva dette er, er det bedre å ikke ta på seg moduler ennå). La oss gå videre til ligningen i den første ulikheten:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\venstre(x+5 \høyre)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Som du kan se, er utgangen en ufullstendig kvadratisk ligning, som kan løses på en elementær måte. La oss nå se på den andre ulikheten i systemet. Der må du bruke Vietas teorem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \venstre(x-3 \høyre)\venstre(x+2 \høyre)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Vi markerer de resulterende tallene på to parallelle linjer (separer for den første ulikheten og separer for den andre):

Igjen, siden vi løser et system med ulikheter, er vi interessert i skjæringspunktet mellom de skraverte settene: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Dette er svaret.

Svar: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Jeg tror at etter disse eksemplene er løsningsskjemaet ekstremt klart:

1. Isoler modulen ved å flytte alle andre ledd til motsatt side av ulikheten. Dermed får vi en ulikhet på formen $\left| f\høyre| \ltg$.
2. Løs denne ulikheten ved å bli kvitt modulen i henhold til skjemaet beskrevet ovenfor. På et tidspunkt vil det være nødvendig å gå fra dobbel ulikhet til et system med to uavhengige uttrykk, som hver allerede kan løses separat.
3. Til slutt, alt som gjenstår er å krysse løsningene til disse to uavhengige uttrykkene - og det er det, vi vil få det endelige svaret.

En lignende algoritme eksisterer for ulikheter av følgende type, når modulen er større enn funksjonen. Imidlertid er det et par alvorlige "men". Vi skal snakke om disse "mene" nå.

2. Ulikheter i formen "Modul er større enn funksjon"

De ser slik ut:

\[\venstre| f\høyre| \gtg\]

Ligner den forrige? Det virker. Og likevel løses slike problemer på en helt annen måte. Formelt er ordningen som følger:

\[\venstre| f\høyre| \gt g\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Vi vurderer med andre ord to tilfeller:

1. Først ignorerer vi modulen og løser den vanlige ulikheten;
2. Så utvider vi i hovedsak modulen med minustegnet, og multipliserer deretter begge sider av ulikheten med −1, mens jeg har tegnet.

I dette tilfellet er alternativene kombinert med en firkantet brakett, dvs. Vi har foran oss en kombinasjon av to krav.

Vennligst merk igjen: dette er ikke et system, men en helhet, derfor i svaret er settene kombinert i stedet for å krysse hverandre. Dette er en grunnleggende forskjell fra forrige punkt!

Generelt er mange studenter fullstendig forvirret med fagforeninger og veikryss, så la oss løse dette problemet en gang for alle:

• "∪" er et fagforeningstegn. Faktisk er dette en stilisert bokstav "U", som kom til oss fra det engelske språket og er en forkortelse for "Union", dvs. "Foreninger".
• "∩" er krysstegnet. Denne dritten kom ikke fra noe sted, men dukket rett og slett opp som et motstykke til "∪".

For å gjøre det enda enklere å huske, trekk bena til disse skiltene for å lage briller (bare ikke nå anklage meg for å fremme narkotikaavhengighet og alkoholisme: hvis du seriøst studerer denne leksjonen, er du allerede en narkoman):

Forskjellen mellom skjæring og forening av sett

Oversatt til russisk betyr dette følgende: foreningen (totaliteten) inkluderer elementer fra begge settene, derfor er den på ingen måte mindre enn hver av dem; men skjæringspunktet (systemet) inkluderer bare de elementene som er samtidig i både det første settet og det andre. Derfor er skjæringspunktet mellom sett aldri større enn kildesettene.

Så det ble klarere? Det er flott. La oss gå videre til praksis.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Løsning. Vi fortsetter i henhold til ordningen:

\[\venstre| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Ikke sant.\]

Vi løser hver ulikhet i befolkningen:

\[\venstre[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Vi markerer hvert resulterende sett på talllinjen, og kombinerer dem deretter:

Forening av sett

Det er ganske åpenbart at svaret vil være $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Svar: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Løsning. Vi vil? Ingenting - alt er likt. Vi går fra en ulikhet med en modul til et sett med to ulikheter:

\[\venstre| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Vi løser enhver ulikhet. Dessverre vil røttene der ikke være veldig gode:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Den andre ulikheten er også litt vill:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Nå må du merke disse tallene på to akser - en akse for hver ulikhet. Du må imidlertid merke punktene i riktig rekkefølge: jo større tall, desto lenger beveger punktet seg til høyre.

Og her venter et oppsett på oss. Hvis alt er klart med tallene $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (leddene i telleren til den første brøk er mindre enn leddene i telleren til den andre , så summen er også mindre), med tallene $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ vil det heller ikke være noen vanskeligheter (positivt tall åpenbart mer negativt), så med det siste paret er ikke alt så klart. Hva er størst: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ eller $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Plasseringen av punkter på talllinjene og faktisk svaret vil avhenge av svaret på dette spørsmålet.

Så la oss sammenligne:

\[\begin(matrise) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrise)\]

Vi isolerte roten, fikk ikke-negative tall på begge sider av ulikheten, så vi har rett til å kvadre begge sider:

\[\begin(matrise) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrise)\]

Jeg tror det ikke er greit at $4\sqrt(13) \gt 3$, så $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, vil de siste punktene på aksene plasseres slik:

Et tilfelle av stygge røtter

La meg minne deg på at vi løser et sett, så svaret vil være en forening, ikke et skjæringspunkt av skyggelagte sett.

Svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Som du kan se, fungerer opplegget vårt utmerket for både enkle og svært tøffe problemer. Det eneste "svake punktet" i denne tilnærmingen er at du må sammenligne irrasjonelle tall på riktig måte (og tro meg: dette er ikke bare røtter). Men en egen (og veldig alvorlig) leksjon vil bli viet til sammenligningsspørsmål. Og vi går videre.

3. Ulikheter med ikke-negative "haler"

Nå kommer vi til den mest interessante delen. Dette er ulikheter i formen:

\[\venstre| f\høyre| \gt\venstre| g\right|\]

Generelt sett er algoritmen som vi skal snakke om nå, bare riktig for modulen. Det fungerer i alle ulikheter der det er garantert ikke-negative uttrykk på venstre og høyre side:

Hva skal man gjøre med disse oppgavene? Bare husk:

I ulikheter med ikke-negative "haler", kan begge sider heves til hvilken som helst naturlig makt. Det vil ikke være ytterligere begrensninger.

Først av alt vil vi være interessert i å kvadrere - det brenner moduler og røtter:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Bare ikke forveksle dette med å ta roten av et kvadrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\venstre| f \right|\ne f\]

Utallige feil ble gjort når en student glemte å installere en modul! Men dette er en helt annen historie (dette er liksom irrasjonelle ligninger), så vi skal ikke gå inn på dette nå. La oss løse et par problemer bedre:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| x+2 \right|\ge \venstre| 1-2x \right|\]

Løsning. La oss umiddelbart legge merke til to ting:

1. Dette er ikke en streng ulikhet. Punkter på talllinjen vil bli punktert.
2. Begge sider av ulikheten er åpenbart ikke-negative (dette er en egenskap for modulen: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Derfor kan vi kvadre begge sider av ulikheten for å bli kvitt modulen og løse problemet ved å bruke den vanlige intervallmetoden:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\venstre(x+2 \høyre))^(2))\ge ((\venstre(2x-1 \høyre))^(2)). \\\end(align)\]

På det siste trinnet jukset jeg litt: Jeg endret rekkefølgen av termer, og utnyttet modulens jevnhet (faktisk multipliserte jeg uttrykket $1-2x$ med -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ høyre)\høyre)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Vi løser ved hjelp av intervallmetoden. La oss gå fra ulikhet til ligning:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Vi markerer de funne røttene på tallinjen. Nok en gang: alle punkter er skyggelagt fordi den opprinnelige ulikheten ikke er streng!

Bli kvitt modultegnet

La meg minne deg på for de som er spesielt sta: vi tar tegnene fra den siste ulikheten, som ble skrevet ned før vi gikk videre til ligningen. Og vi maler over arealene som kreves i samme ulikhet. I vårt tilfelle er det $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, det er over nå. Problemet er løst.

Svar: $x\in \venstre[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| ((x)^(2))+x+1 \høyre|\le \venstre| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Løsning. Vi gjør alt likt. Jeg vil ikke kommentere - bare se på rekkefølgen av handlinger.

Kvaddra det:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\venstre(((x)^(2))+x+1 \høyre))^(2))\le ((\venstre(((x)^(2))+3x+4 \høyre))^(2)); \\ & ((\venstre(((x)^(2))+x+1 \høyre))^(2))-((\venstre(((x)^(2))+3x+4 \ høyre))^(2))\le 0; \\ & \venstre(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \høyre)\ ganger \\ & \ ganger \venstre(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \høyre)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallmetode:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Høyrepil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Høyrepil D=16-40 \lt 0\Høyrepil \varnothing . \\\end(align)\]

Det er bare én rot på tallinjen:

Svaret er et helt intervall

Svar: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Et lite notat om siste oppgave. Som en av elevene mine nøyaktig bemerket, er begge submodulære uttrykk i denne ulikheten åpenbart positive, så modultegnet kan utelates uten helseskade.

Men dette er et helt annet nivå av tenkning og en annen tilnærming - det kan betinget kalles konsekvensmetoden. Om det - i en egen leksjon. La oss nå gå videre til den siste delen av dagens leksjon og se på en universell algoritme som alltid fungerer. Selv når alle tidligere tilnærminger var maktesløse. :)

4. Metode for oppregning av alternativer

Hva om alle disse teknikkene ikke hjelper? Hvis ulikheten ikke kan reduseres til ikke-negative haler, hvis det er umulig å isolere modulen, hvis det generelt er smerte, tristhet, melankoli?

Så kommer det "tunge artilleriet" av all matematikk på banen - brute force-metoden. I forhold til ulikheter med modul ser det slik ut:

1. Skriv ut alle submodulære uttrykk og sett dem lik null;
2. Løs de resulterende ligningene og merk røttene funnet på én talllinje;
3. Den rette linjen vil bli delt inn i flere seksjoner, der hver modul har et fast skilt og derfor er unikt avslørt;
4. Løs ulikheten på hver slik seksjon (du kan separat vurdere røtter-grensene oppnådd i trinn 2 - for pålitelighet). Kombiner resultatene - dette vil være svaret. :)

Så hvordan? Svak? Enkelt! Bare i lang tid. La oss se i praksis:

Oppgave. Løs ulikheten:

\[\venstre| x+2 \right| \lt \venstre| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Løsning. Denne dritten koker ikke ned til ulikheter som $\left| f\høyre| \lt g$, $\venstre| f\høyre| \gt g$ eller $\left| f\høyre| \lt \venstre| g \right|$, så vi handler i forkant.

Vi skriver ut submodulære uttrykk, likestiller dem til null og finner røttene:

\[\begin(align) & x+2=0\Høyrepil x=-2; \\ & x-1=0\Høyrepil x=1. \\\end(align)\]

Totalt har vi to røtter som deler talllinjen i tre seksjoner, der hver modul avsløres unikt:

Partisjonering av talllinjen med null av submodulære funksjoner

La oss se på hver del separat.

1. La $x \lt -2$. Da er begge submodulære uttrykk negative, og den opprinnelige ulikheten vil bli omskrevet som følger:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Vi har en ganske enkel begrensning. La oss krysse det med den første antakelsen om at $x \lt -2$:

\[\venstre\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Det er klart at variabelen $x$ ikke samtidig kan være mindre enn −2 og større enn 1,5. Det finnes ingen løsninger på dette området.

1.1. La oss vurdere grensetilfellet separat: $x=-2$. La oss bare erstatte dette tallet med den opprinnelige ulikheten og sjekke: er det sant?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \venstre| -3\høyre|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Høyrepil \varnothing . \\\end(align)\]

Det er åpenbart at kjeden av beregninger har ført oss til en feil ulikhet. Derfor er den opprinnelige ulikheten også falsk, og $x=-2$ er ikke inkludert i svaret.

2. La nå $-2 \lt x \lt 1$. Den venstre modulen vil allerede åpne med et "pluss", men den høyre vil fortsatt åpne med et "minus". Vi har:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\venstre(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Igjen krysser vi det opprinnelige kravet:

\[\venstre\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Og igjen, settet med løsninger er tomt, siden det ikke er tall som både er mindre enn -2,5 og større enn -2.

2.1. Og igjen et spesielt tilfelle: $x=1$. Vi bytter inn i den opprinnelige ulikheten:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \venstre| 3\høyre| \lt \venstre| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Høyrepil \varnothing . \\\end(align)\]

I likhet med det forrige "spesielle tilfellet", er tallet $x=1$ tydeligvis ikke inkludert i svaret.

3. Den siste delen av linjen: $x \gt 1$. Her åpnes alle moduler med et plusstegn:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Og igjen krysser vi det funnet settet med den opprinnelige begrensningen:

\[\venstre\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Endelig! Vi har funnet et intervall som vil være svaret.

Svar: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Til slutt, en bemerkning som kan redde deg fra dumme feil når du løser reelle problemer:

Løsninger på ulikheter med moduli representerer vanligvis kontinuerlige sett på tallinjen - intervaller og segmenter. Isolerte punkter er mye mindre vanlige. Og enda sjeldnere hender det at grensen til løsningen (enden av segmentet) faller sammen med grensen til området som vurderes.

Følgelig, hvis grenser (de samme "spesielle tilfellene") ikke er inkludert i svaret, vil områdene til venstre og høyre for disse grensene nesten helt sikkert ikke inkluderes i svaret. Og omvendt: grensen kom inn i svaret, noe som betyr at noen områder rundt den også vil være svar.

Ha dette i bakhodet når du vurderer løsningene dine.

ulikhetsløsning i modus på nett løsning nesten enhver gitt ulikhet på nett. Matematisk ulikheter på nettå løse matematikk. Finn raskt ulikhetsløsning i modus på nett. Nettstedet www.site lar deg finne løsning nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ulikhet på nettet. Når du studerer nesten hvilken som helst gren av matematikk på forskjellige stadier, må du bestemme deg ulikheter på nett. For å få svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være nettstedet www.site løse ulikhet på nett vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ulikheter på nett- dette er hastigheten og nøyaktigheten til svaret som gis. Siden er i stand til å løse alle algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, transcendentale ulikheter på nettet, og ulikheter med ukjente parametere i modus på nett. Ulikheter tjene som et kraftig matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjelp matematiske ulikheter det er mulig å uttrykke fakta og sammenhenger som kan virke forvirrende og komplekse ved første øyekast. Ukjente mengder ulikheter kan finnes ved å formulere problemet i matematisk språk i formen ulikheter Og Bestemme seg for mottatt oppgave i modus på nett på nettsiden www.site. Noen algebraisk ulikhet, trigonometrisk ulikhet eller ulikheter inneholder transcendental funksjoner du enkelt kan Bestemme seg for online og få det nøyaktige svaret. Når du studerer naturvitenskap, møter du uunngåelig behovet løsninger på ulikheter. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og må innhentes umiddelbart i modusen på nett. Derfor for løse matematiske ulikheter på nett vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løse algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, og transcendentale ulikheter på nettet eller ulikheter med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne nettbaserte løsninger på ulike matematiske ulikheter ressurs www.. Løsning ulikheter på nett selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av online løsning av ulikheter på nettsiden www.site. Du må skrive ulikheten riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det bare gjenstår å sammenligne svaret med din løsning på ulikheten. Å sjekke svaret tar ikke mer enn et minutt, det er nok løse ulikhet på nett og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i beslutning og korriger svaret i tide når løse ulikheter på nett enten algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ulikhet med ukjente parametere.