hjem › Chassis › Monty Hall-paradokset. Den mest unøyaktige matematikken noensinne

Monty Hall-paradokset. Den mest unøyaktige matematikken noensinne

Avgjørelsen som ved første øyekast er i strid med sunn fornuft.

Encyklopedisk YouTube

1 / 5

Problemstillingen er formulert som en beskrivelse av et spill basert på det amerikanske tv-spillet «Let's Make a Deal», og er oppkalt etter programlederen for dette programmet. Den vanligste formuleringen av dette problemet, publisert i 1990 i tidsskriftet Parade magasin, høres slik ut:

Tenk deg at du har blitt deltaker i et spill der du må velge en av tre dører. Bak en av dørene står en bil, bak de to andre dørene står geiter. Du velger en av dørene, for eksempel nummer 1, etter at verten, som vet hvor bilen er og hvor bukkene er, åpner en av de resterende dørene, for eksempel nummer 3, bak som det er en geit. Etter det spør han deg – vil du endre valget ditt og velge dør nummer 2? Vil sjansene dine for å vinne en bil øke hvis du aksepterer vertens tilbud og endrer ditt valg?

Etter publiseringen ble det umiddelbart klart at problemet var feil formulert: ikke alle betingelser var fastsatt. For eksempel kan tilretteleggeren følge "helvetes Monty"-strategien: tilby å endre valget hvis og bare hvis spilleren har valgt en bil i første trekk. Å endre det første valget vil selvsagt føre til et garantert tap i en slik situasjon (se nedenfor).

Det mest populære er problemet med en ekstra betingelse - deltakeren i spillet kjenner følgende regler på forhånd:

bilen er like sannsynlig plassert bak noen av de tre dørene;
i alle fall er verten forpliktet til å åpne døren med bukken (men ikke den som spilleren har valgt) og tilby spilleren å endre valget;
hvis lederen har et valg om hvilken av de to dørene som skal åpnes, velger han en av dem med samme sannsynlighet.

Følgende tekst diskuterer Monty Hall-problemet i denne formuleringen.

Parsing

For den vinnende strategien er følgende viktig: hvis du endrer valget av dør etter lederens handlinger, så vinner du hvis du først valgte den tapende døren. Det er sannsynlig at det skjer 2 ⁄ 3 , siden du i utgangspunktet kan velge en tapende dør på 2 måter av 3.

Men ofte, når de løser dette problemet, argumenterer de noe sånt som dette: verten fjerner alltid en tapende dør til slutt, og da blir sannsynligheten for at en bil dukker opp bak to ikke åpne, lik ½, uavhengig av det første valget. Men dette er ikke sant: selv om det faktisk er to valgmuligheter, er disse mulighetene (med bakgrunn i bakgrunnen) ikke like sannsynlige! Dette er sant fordi alle dører i utgangspunktet hadde lik sjanse til å vinne, men deretter hadde forskjellige sannsynligheter for å bli eliminert.

For de fleste er denne konklusjonen i strid med den intuitive oppfatningen av situasjonen, og på grunn av den resulterende uoverensstemmelsen mellom den logiske konklusjonen og svaret som den intuitive oppfatningen retter seg mot, kalles oppgaven Monty Hall paradoks.

Situasjonen med dører blir enda mer åpenbar hvis vi forestiller oss at det ikke er 3 dører, men for eksempel 1000, og etter valget av spilleren fjerner programlederen 998 ekstra, og etterlater 2 dører: den som spilleren valgte og en til. Det virker mer åpenbart at sannsynligheten for å finne en premie bak disse dørene er forskjellige, og ikke lik ½. Hvis vi endrer døren, taper vi bare hvis vi valgte premiedøren først, og sannsynligheten er 1:1000. Vi vinner hvis vårt første valg var Ikke riktig, og sannsynligheten for dette er 999 av 1000. Ved 3 dører er logikken bevart, men vinnersannsynligheten ved endring av avgjørelsen er tilsvarende lavere, nemlig 2 ⁄ 3 .

En annen måte å resonnere på er å erstatte tilstanden med en tilsvarende. La oss forestille oss at i stedet for at spilleren tar det første valget (la det alltid være dør #1) og deretter åpner døren med bukken blant de gjenværende (det vil si alltid mellom #2 og #3), la oss forestille oss at spilleren må gjette døren på første forsøk, men han er på forhånd informert om at det kan stå en bil bak dør nr. 1 med initial sannsynlighet (33%), og blant de resterende dørene er det angitt for hvilken av dørene bilen er definitivt ikke bak (0%). Følgelig vil den siste døren alltid utgjøre 67%, og strategien for å velge den er å foretrekke.

Annen lederadferd

Den klassiske versjonen av Monty Hall-paradokset sier at verten vil be spilleren om å bytte dør, uavhengig av om han valgte bilen eller ikke. Men mer kompleks oppførsel til verten er også mulig. Denne tabellen beskriver kort flere atferd.

Mulig lederatferd
Verts oppførsel	Resultat
"Infernal Monty": Verten tilbyr å bytte hvis døren er riktig.	Forandring vil alltid gi en geit.
"Angelic Monty": Verten tilbyr å bytte hvis døren er feil.	Forandring vil alltid gi en bil.
"Ignorant Monty" eller "Monty Buch": verten faller utilsiktet, døren åpnes, og det viser seg at det ikke er en bil bak den. Verten vet med andre ord ikke selv hva som er bak dørene, åpner døren helt tilfeldig, og bare ved en tilfeldighet var det ingen bil bak.	En endring gir seier i ½ av tilfellene. Slik er det amerikanske showet "Deal or No Deal" arrangert - spilleren åpner imidlertid selv en tilfeldig dør, og hvis det ikke er noen bil bak den, tilbyr programlederen å endre den.
Verten velger en av geitene og åpner den hvis spilleren har valgt en annen dør.	En endring gir seier i ½ av tilfellene.
Verten åpner alltid bukken. Hvis en bil velges, åpnes den venstre geiten med sannsynlighet s og riktig med sannsynlighet q=1−s.	Hvis lederen åpnet venstre dør, gir skiftet en seier med sannsynlighet 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Hvis høyre 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Emnet kan imidlertid ikke påvirke sannsynligheten for at den rette døren åpnes - uansett valg vil dette skje med en sannsynlighet 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
Det samme, s=q= ½ (klassisk kasus).	En endring gir en seier med en sannsynlighet 2 ⁄ 3 .
Det samme, s=1, q=0 ("maktløs Monty" - den slitne programlederen står ved venstre dør og åpner bukken som er nærmere).	Hvis programlederen åpnet den rette døren, gir endringen garantert gevinst. Hvis venstre - sannsynlighet ½.
Verten åpner alltid bukken hvis en bil velges, og med sannsynlighet ½ ellers.	Endringen gir en seier med en sannsynlighet på ½.
Generelt tilfelle: spillet gjentas mange ganger, sannsynligheten for å gjemme bilen bak en eller annen dør, samt å åpne denne eller den døren er vilkårlig, men verten vet hvor bilen er og tilbyr alltid en endring ved å åpne en av geitene.	Nash-likevekt: det er Monty Halls paradoks i sin klassiske form som er mest fordelaktig for verten (sannsynligheten for å vinne 2 ⁄ 3 ). Bilen gjemmer seg bak noen av dørene med sannsynlighet ⅓; hvis det er et valg, åpne en tilfeldig geit.
Det samme, men verten åpner kanskje ikke døren i det hele tatt.	Nash-likevekt: det er gunstig for verten å ikke åpne døren, sannsynligheten for å vinne er ⅓.

se også

Notater

Tierney, John (21. juli 1991), "Behind Monty Hall"s doors: Puslespill, Debatt og svar? ", New York Times, . Hentet 18. januar 2008.

I desember 1963 sendte den amerikanske TV-kanalen NBC for første gang programmet Let's Make a Deal ("La oss gjøre en avtale!"), der deltakere, valgt fra publikum i studio, forhandlet med hverandre og med programlederen, spilte små spill eller bare gjettet svaret på spørsmålet. På slutten av sendingen kunne deltakerne spille "dagens avtale". Det var tre dører foran dem, som det var kjent at bak en av dem var hovedprisen (for eksempel en bil), og bak de to andre var det mindre verdifulle eller helt absurde gaver (for eksempel levende geiter) . Etter at spilleren hadde gjort sitt valg, åpnet Monty Hall, programlederen, en av de to gjenværende dørene, og viste at det ikke var noen premie bak og lot deltakeren være glad for at han hadde en sjanse til å vinne.

I 1975 spurte UCLA-forsker Steve Selvin hva som ville skje hvis deltakeren i det øyeblikket, etter å ha åpnet døren uten en pris, ble bedt om å endre valget. Vil spillerens sjanser for å få premien endre seg i dette tilfellet, og i så fall i hvilken retning? Han sendte det tilsvarende spørsmålet i form av et problem til The American Statistician ("American Statistician"), samt til Monty Hall selv, som ga et ganske nysgjerrig svar på det. Til tross for dette svaret (eller kanskje på grunn av det), ble problemet populært under navnet "Monty Hall problem".

Den vanligste formuleringen av dette problemet, publisert i 1990 i Parade Magazine, er som følger:

«Se for deg at du har blitt deltaker i et spill der du må velge en av tre dører. Bak en av dørene står en bil, bak de to andre dørene står geiter. Du velger en av dørene, for eksempel nummer 1, etter at verten, som vet hvor bilen er og hvor bukkene er, åpner en av de resterende dørene, for eksempel nummer 3, bak som det er en geit. Etter det spør han deg om du vil endre valget ditt og velge dør nummer 2. Vil sjansene dine for å vinne bilen øke hvis du aksepterer vertens tilbud og endrer ditt valg?

Det mest populære er problemet med en ekstra betingelse - deltakeren i spillet kjenner følgende regler på forhånd:

bilen er like sannsynlig plassert bak noen av de 3 dørene;
i alle fall er verten forpliktet til å åpne døren med bukken (men ikke den som spilleren har valgt) og tilby spilleren å endre valget;
hvis lederen har et valg om hvilken av de to dørene som skal åpnes, velger han en av dem med samme sannsynlighet.

Clue

Prøv å vurdere personer som valgte forskjellige dører i samme sak (det vil si når premien for eksempel er bak dør nummer 1). Hvem vil tjene på å endre valget, og hvem vil ikke?

Løsning

Som foreslått i verktøytipset, vurder personer som har tatt forskjellige valg. La oss anta at premien er bak dør #1, og bak dør #2 og #3 er geiter. Anta at vi har seks personer, og hver dør ble valgt av to personer, og fra hvert par endret den ene avgjørelsen, og den andre gjorde det ikke.

Merk at Verten som velger dør nr. 1 vil åpne en av de to dørene etter sin smak, mens bilen uansett vil mottas av den som ikke endrer valget, men den som endret sitt første valg forblir uten prisen. La oss nå se på de som valgte dører #2 og #3. Siden det er en bil bak dør nr. 1, kan ikke verten åpne den, noe som ikke gir ham noe valg - han åpner henholdsvis dør nr. 3 og nr. 2 for dem. Samtidig vil den som endret avgjørelsen i hvert par velge premien som et resultat, og den som ikke endret vil sitte igjen med ingenting. Av tre personer som ombestemmer seg, vil altså to få prisen, og én vil få bukken, mens av de tre som forlot sitt opprinnelige valg uendret, vil kun én få prisen.

Det bør bemerkes at hvis bilen var bak dør #2 eller #3, ville resultatet være det samme, bare de spesifikke vinnerne ville endret seg. Forutsatt at hver dør i utgangspunktet velges med lik sannsynlighet, får vi at de som endrer valg vinner premien dobbelt så ofte, det vil si at vinnersannsynligheten i dette tilfellet er større.

La oss se på dette problemet fra synspunktet til den matematiske sannsynlighetsteorien. Vi vil anta at sannsynligheten for det første valget av hver av dørene er den samme, så vel som sannsynligheten for å være bak hver av dørene til bilen. I tillegg er det nyttig å ta forbehold om at lederen, når han kan åpne to dører, velger hver av dem med like stor sannsynlighet. Så viser det seg at etter den første avgjørelsen er sannsynligheten for at Premien er bak den valgte døren 1/3, mens sannsynligheten for at den er bak en av de to andre dørene er 2/3. Samtidig, etter at Verten åpnet en av de to "ikke-valgte" dørene, faller hele sannsynligheten på 2/3 på kun en av de resterende dørene, og skaper dermed grunnlaget for å endre avgjørelsen, noe som vil øke sannsynligheten for å vinne med 2 ganger. Noe som selvfølgelig ikke garanterer det på noen måte i ett spesifikt tilfelle, men vil føre til mer vellykkede resultater ved gjentatt gjentakelse av eksperimentet.

Etterord

Monty Hall-problemet er ikke den første kjente formuleringen av dette problemet. Spesielt i 1959 publiserte Martin Gardner i Scientific American et lignende problem "om tre fanger" (Three Prisoners problem) med følgende ordlyd: "Av tre fanger bør en benådes, og to bør henrettes. Fange A overtaler vakten til å fortelle ham navnet på den av de to andre som vil bli henrettet (enten hvis begge blir henrettet), hvoretter han, etter å ha fått navnet B, anser at sannsynligheten for hans egen frelse ikke er blitt 1/3, men 1/2. Samtidig hevder fange C at sannsynligheten for rømming er blitt 2/3, mens ingenting har endret seg for A. Hvilken er rett?"

Gardner var imidlertid ikke den første, siden tilbake i 1889, i sin sannsynlighetsregning, tilbyr den franske matematikeren Joseph Bertrand (ikke å forveksle med engelskmannen Bertrand Russell!) et lignende problem (se Bertrands rammeparadoks): «Det finnes tre esker, som hver inneholder to mynter: to gull i den første, to sølvmynter i den andre, og to forskjellige i den tredje.

Hvis du forstår løsningene på alle tre problemene, er det lett å legge merke til likheten mellom ideene deres; matematisk er alle forent av begrepet betinget sannsynlighet, det vil si sannsynligheten for hendelse A, hvis det er kjent at hendelse B har skjedd. Det enkleste eksempelet: sannsynligheten for at en enhet falt ut på en vanlig terning er 1/6; men hvis det rullede tallet er kjent for å være oddetall, er sannsynligheten for at det er ett allerede 1/3. Monty Hall-problemet, i likhet med de to andre nevnte problemene, viser at betingede sannsynligheter må håndteres med forsiktighet.

Disse problemene kalles også ofte paradokser: Monty Halls paradoks, Bertrands boksparadoks (sistnevnte må ikke forveksles med det virkelige Bertrands paradoks gitt i samme bok, som beviste tvetydigheten i sannsynlighetsbegrepet som eksisterte på den tiden) - som innebærer en viss selvmotsigelse (for eksempel i "paradokset til løgneren" motsier uttrykket "denne uttalelsen er falsk" loven om den ekskluderte midten). I dette tilfellet er det imidlertid ingen motsetning med strenge påstander. Men det er en klar motsetning med «den offentlige mening» eller rett og slett den «åpenbare løsningen» på problemet. De fleste, som ser på problemet, tror faktisk at etter å ha åpnet en av dørene, er sannsynligheten for å finne premien bak noen av de to gjenværende lukkede 1/2. Ved å gjøre det hevder de at det ikke spiller noen rolle om de er enige eller uenige i å ombestemme seg. Dessuten synes mange det er vanskelig å forstå et annet svar enn dette, selv etter å ha blitt fortalt den detaljerte løsningen.

Monty Halls svar til Steve Selwyn

Mr. Steve Selvin,
assisterende professor i biostatistikk,
University of California, Berkeley.

Kjære Steve,

Takk for at du sendte meg problemet fra American Statistical.

Selv om jeg ikke studerte statistikk på universitetet, vet jeg at tall alltid kan brukes til min fordel hvis jeg ønsker å manipulere dem. Resonnementet ditt tar ikke hensyn til én viktig omstendighet: etter at den første boksen er tom, kan ikke deltakeren lenger endre valget sitt. Så sannsynlighetene forblir de samme: én av tre, ikke sant? Og selvfølgelig, etter at en av boksene er tom, blir ikke sjansene 50/50, men forblir de samme - en av tre. Det ser bare ut til at deltakeren ved å kvitte seg med én boks får flere sjanser. Ikke i det hele tatt. To mot en mot ham, som det var, og gjenstår. Og hvis du plutselig kommer til showet mitt, vil reglene forbli de samme for deg: ingen byttebokser etter utvalget.

Tenk deg at en bestemt bankmann tilbyr deg å velge en av tre lukkede bokser. I en av dem 50 cent, i den andre - en dollar, i den tredje - 10 tusen dollar. Uansett hvilken du velger, får du den som premie.

Du velger tilfeldig, si boks nummer 1. Og så åpner bankmannen (som selvfølgelig vet hvor alt er) rett foran øynene dine en boks med én dollar (la oss si at dette er nr. 2), hvoretter han tilbyr deg å endre det opprinnelig valgte boksen nr. 1 til boks nr. 3.

Bør du ombestemme deg? Vil dette øke sjansene dine for å få 10 tusen?

Dette er Monty Halls paradoks - et problem med sannsynlighetsteori, hvis løsning ved første øyekast strider mot sunn fornuft. Folk har klødd seg i hodet over dette problemet siden 1975.

Paradokset ble oppkalt etter programlederen for det populære amerikanske TV-programmet Let's Make a Deal. Dette TV-programmet hadde lignende regler, bare deltakerne valgte dører, hvorav to var skjulte geiter, og den tredje var en Cadillac.

De fleste av spillerne resonnerte at etter at det var to lukkede dører og det var en Cadillac bak en av dem, så var sjansen for å få den 50-50. Det er klart, når verten åpner en dør og inviterer deg til å ombestemme deg, han starter et nytt spill. Enten du ombestemmer deg eller ikke, vil sjansene dine fortsatt være 50 prosent. Så riktig?

Det viser seg at det ikke gjør det. Faktisk, ved å ombestemme deg, dobler du sjansene for suksess. Hvorfor?

Den enkleste forklaringen på dette svaret er følgende betraktning. For å vinne en bil uten å endre valget, må spilleren umiddelbart gjette døren som bilen står bak. Sannsynligheten for dette er 1/3. Hvis spilleren først treffer døren med en geit bak seg (og sannsynligheten for denne hendelsen er 2/3, siden det er to geiter og bare én bil), så kan han definitivt vinne bilen ved å ombestemme seg, siden bilen og en geit er igjen, og verten har allerede åpnet døren med bukken.

Dermed, uten å endre valget, forblir spilleren med sin opprinnelige sannsynlighet for å vinne 1/3, og når han endrer det første valget, snur spilleren til sin fordel to ganger den gjenværende sannsynligheten for at han ikke gjettet riktig i begynnelsen.

En intuitiv forklaring kan også lages ved å bytte de to hendelsene. Den første hendelsen er spillerens beslutning om å endre døren, den andre hendelsen er åpningen av en ekstra dør. Dette er akseptabelt, siden det å åpne en ekstra dør ikke gir spilleren ny informasjon (se denne artikkelen for bevis). Deretter kan problemet reduseres til følgende formulering. I det første øyeblikket deler spilleren dørene i to grupper: i den første gruppen er det én dør (den han valgte), i den andre gruppen er det to gjenværende dører. I neste øyeblikk velger spilleren mellom grupper. Det er åpenbart at for den første gruppen er sannsynligheten for å vinne 1/3, for den andre gruppen 2/3. Spilleren velger den andre gruppen. I den andre gruppen kan han åpne begge dørene. Den ene åpnes av verten, og den andre av spilleren selv.

La oss prøve å gi den "mest forståelige" forklaringen. Omformuler problemet: En ærlig vert kunngjør spilleren at det er en bil bak en av de tre dørene, og foreslår at han først peker på en av dørene, og deretter velger en av to handlinger: åpne den angitte døren (i gammel formulering, dette kalles "ikke endre valget ditt") eller åpne de to andre (i den gamle formuleringen ville dette bare være "endre valget". Tenk på det, dette er nøkkelen til å forstå!). Det er klart at spilleren vil velge den andre av de to handlingene, siden sannsynligheten for å skaffe en bil i dette tilfellet er dobbelt så høy. Og den lille tingen som verten selv før han valgte handlingen "viste en geit" hjelper ikke og forstyrrer ikke valget, for bak en av de to dørene er det alltid en geit, og verten vil definitivt vise den når som helst under spillet, så spilleren kan på denne bukken og ikke se. Spillerens oppgave, hvis han velger den andre handlingen, er å si "takk" til verten for å spare ham for bryet med å åpne en av de to dørene selv, og åpne den andre. Vel, eller enda enklere. La oss forestille oss denne situasjonen fra vertens synspunkt, som gjør en lignende prosedyre med dusinvis av spillere. Siden han vet utmerket godt hva som er bak dørene, ser han i gjennomsnitt i to av tre tilfeller på forhånd at spilleren har valgt "feil" dør. Derfor er det for ham definitivt ikke noe paradoks at den riktige strategien er å endre valget etter å ha åpnet den første døren: tross alt, i de samme to tilfellene av tre, vil spilleren forlate studioet i en ny bil.

Til slutt, det mest "naive" beviset. La den som står ved sitt valg kalles "Stæ", og den som følger lederens instruksjoner, kalles "oppmerksom". Så vinner den Sta hvis han først gjettet bilen (1/3), og den oppmerksomme - hvis han først bommet og traff bukken (2/3). Tross alt, bare i dette tilfellet vil han da peke på døren med bilen.

Monty Hall, produsent og vert for showet La oss gjøre en avtale fra 1963 til 1991.

I 1990 ble dette problemet og dets løsning publisert i det amerikanske magasinet Parade. Publikasjonen forårsaket en mengde indignerte anmeldelser fra lesere, hvorav mange hadde vitenskapelige grader.

Hovedklagen var at ikke alle betingelsene for problemet var spesifisert, og enhver nyanse kunne påvirke resultatet. For eksempel kan verten tilby å endre avgjørelsen bare hvis spilleren valgte en bil på det første trekket. Å endre det første valget i en slik situasjon vil selvsagt føre til et garantert tap.

Men i hele eksistensen av Monty Hall TV-show, vant folk som ombestemte seg dobbelt så ofte:

Av 30 spillere som ombestemte seg, vant Cadillac 18 – dvs. 60 %

Av de 30 spillerne som sto igjen med valget, vant Cadillac 11 – det vil si omtrent 36 %

Så begrunnelsen gitt i avgjørelsen, uansett hvor ulogisk de kan virke, bekreftes av praksis.

Økning i antall dører

For å gjøre det lettere å forstå essensen av det som skjer, kan vi vurdere tilfellet når spilleren ikke ser tre dører foran seg, men for eksempel hundre. Samtidig står det en bil bak en av dørene, og geiter bak de andre 99. Spilleren velger en av dørene, mens han i 99% av tilfellene vil velge døren med en geit, og sjansene for å umiddelbart velge døren med en bil er veldig små - de er 1%. Etter det åpner verten 98 dører med geiter og ber spilleren velge den gjenværende døren. I dette tilfellet, i 99% av tilfellene, vil bilen være bak denne gjenværende døren, siden sjansene for at spilleren umiddelbart valgte riktig dør er svært liten. Det er klart at i denne situasjonen bør en rasjonelt tenkende spiller alltid akseptere lederens forslag.

Når man vurderer et økt antall dører, oppstår ofte spørsmålet: hvis lederen i det opprinnelige problemet åpner en dør av tre (det vil si 1/3 av det totale antallet dører), hvorfor skal vi da anta at i tilfellet av 100 dører vil lederen åpne 98 dører med geiter, og ikke 33? Denne betraktningen er vanligvis en av de vesentlige årsakene til at Monty Halls paradoks kommer i konflikt med den intuitive oppfatningen av situasjonen. Det ville være riktig å anta åpning av 98 dører, fordi den grunnleggende betingelsen for problemet er at det bare er ett alternativt valg for spilleren, som tilbys av verten. Derfor, for at oppgavene skal være like, ved 4 dører, må lederen åpne 2 dører, ved 5 dører - 3, og så videre, slik at det alltid er én uåpnet dør utenom den ene. som spilleren først valgte. Hvis tilretteleggeren åpner færre dører, vil oppgaven ikke lenger være lik den opprinnelige Monty Hall-oppgaven.

Det skal bemerkes at i tilfelle av mange dører, selv om verten ikke lar én dør være lukket, men flere, og tilbyr spilleren å velge en av dem, vil spillerens sjanser til å vinne bilen ved å endre det første valget. øker fortsatt, men ikke så betydelig. Tenk for eksempel på en situasjon der en spiller velger én dør av hundre, og så åpner tilretteleggeren bare én av de gjenværende dørene, og inviterer spilleren til å endre valg. Samtidig forblir sjansene for at bilen er bak døren som opprinnelig ble valgt av spilleren den samme - 1/100, og for de resterende dørene endres sjansene: den totale sannsynligheten for at bilen er bak en av de gjenværende dørene ( 99/100) er nå ikke fordelt på 99 dører, men 98. Derfor vil sannsynligheten for å finne en bil bak hver av disse dørene ikke være 1/100, men 99/9800. Økningen i sannsynlighet vil være ca. 1 %.

Mulig beslutningstre for spilleren og verten Viser sannsynligheten for hvert utfall Mer formelt kan et spillscenario beskrives ved hjelp av et beslutningstre. I de to første tilfellene, når spilleren først valgte døren bak som bukken er, vil endring av valget resultere i en seier. I de to siste tilfellene, når spilleren først valgte døren med bilen, resulterer endring av valget i tap.

Hvis du fortsatt ikke forstår, spytt på formlene og baresjekk alt statistisk. En annen mulig forklaring:

En spiller hvis strategi ville være å endre den valgte døren hver gang ville bare tape hvis han først velger døren som bilen er plassert bak.
Siden sjansen for å velge bil på første forsøk er én av tre (eller 33 %), er sjansen for å ikke velge bil dersom spilleren endrer valg også én av tre (eller 33 %).
Dette betyr at spilleren som brukte strategien for å endre døren vil vinne med en sannsynlighet på 66 % eller to til tre.
Dette vil doble sjansene for å vinne en spiller hvis strategi er å ikke endre valg hver gang.

Fortsatt ikke tro? La oss si at du velger dør nr. 1. Her er alle mulige alternativer for hva som kan skje i dette tilfellet.

Møtte henne kalt Monty Hall Paradox, og wow løst det annerledes, nemlig: bevist at dette er et pseudo-paradoks.

Venner, jeg vil gjerne høre kritikk av min tilbakevisning av dette paradokset (pseudo-paradokset, hvis jeg har rett). Og da vil jeg se med egne øyne at logikken min er halt, jeg vil slutte å tenke på meg selv som en tenker og tenke på å endre type aktivitet til en mer lyrisk: o). Så her er innholdet i oppgaven. Den foreslåtte løsningen og min tilbakevisning er nedenfor.

Tenk deg at du har blitt deltaker i et spill der du står foran tre dører. Verten, som er kjent for å være ærlig, plasserte en bil bak en av dørene, og en geit bak de to andre dørene. Du har ingen informasjon om hva som er bak hvilken dør.

Tilretteleggeren forteller deg: «Først må du velge en av dørene. Etter det vil jeg åpne en av de gjenværende dørene, bak som er en geit. Da vil jeg foreslå at du endrer ditt opprinnelige valg og velger den gjenværende lukkede døren i stedet for den du valgte i begynnelsen. Du kan følge mitt råd og velge en annen dør, eller du kan bekrefte ditt opprinnelige valg. Etter det vil jeg åpne døren du har valgt, og du vil vinne det som er bak den døren."

Du velger dør nummer 3. Tilretteleggeren åpner dør nummer 1 og viser at det er en geit bak. Verten ber deg deretter velge dør nummer 2.

Vil sjansene dine for å vinne en bil øke hvis du følger hans råd?
Monty Hall-paradokset er et av sannsynlighetsteoriens velkjente problemer, hvis løsning ved første øyekast strider mot sunn fornuft.
Når de løser dette problemet, resonnerer de vanligvis noe slikt: etter at verten har åpnet døren bak som bukken er plassert, kan bilen bare være bak en av de to gjenværende dørene. Siden spilleren ikke kan få noen tilleggsinformasjon om hvilken dør bilen står bak, er sannsynligheten for å finne en bil bak hver av dørene den samme, og å endre det første valget av døren gir ikke spilleren noen fordel. Dette resonnementet er imidlertid feil.
Hvis verten alltid vet hvilken dør som er bak, alltid åpner den gjenværende døren som inneholder bukken, og alltid ber spilleren om å endre valget sitt, så er sannsynligheten for at bilen er bak døren valgt av spilleren 1/3, og , følgelig er sannsynligheten for at bilen er bak den gjenværende døren 2/3. En endring av det første valget dobler dermed spillerens sjanser til å vinne bilen. Denne konklusjonen motsier den intuitive oppfatningen av situasjonen hos de fleste, og det er derfor det beskrevne problemet kalles Monty Hall-paradokset.

Det virker for meg som om sjansene ikke vil endre seg; det er ikke noe paradoks.

Og her er grunnen: første og andre dørvalg er uavhengig arrangementer. Det er som å kaste en mynt 2 ganger: hva som faller ut 2. gang avhenger ikke på noen måte av hva som falt ut i 1. gang.

Så her: etter å ha åpnet døren med en geit, befinner spilleren seg inne ny situasjon når den har 2 dører og sannsynligheten for å velge bil eller geit er 1/2.

Nok en gang: etter å ha åpnet en av tre dører, er sannsynligheten for at bilen er bak den gjenværende døren, ikke lik 2/3, fordi 2/3 er sannsynligheten for at bilen står bak 2 dører. Det er feil å tilskrive denne sannsynligheten til en uåpnet dør og en åpen. Føråpningen av dørene var en slik justering av sannsynligheter, men etteråpne en dør, alle disse sannsynlighetene blir ugyldig, fordi situasjonen har endret seg, og det er derfor behov for en ny sannsynlighetsberegning, som vanlige folk korrekt utfører, og svarer at ingenting vil endre seg fra en endring av valg.

Tillegg: 1) begrunnelse for at:

a) sannsynligheten for å finne en bil bak den valgte døren er 1/3,

b) sannsynligheten for at bilen står bak to andre uvalgte dører, 2/3,

c) fordi verten åpnet døren med bukken, så går sannsynligheten for 2/3 helt til én uvalgt (og uåpnet) dør,

og derfor er det nødvendig å endre valget til en annen dør, slik at sannsynligheten fra 1/3 blir 2/3, ikke sant, men usant, nemlig: i avsnitt "c", fordi sannsynligheten 2/3 gjelder alle to dører, inkludert de 2 som ikke er åpne, og siden en dør ble åpnet, vil denne sannsynligheten deles likt mellom 2 ikke åpne, dvs. sannsynligheten vil være lik, og å velge en annen dør vil ikke øke den.

2) betingede sannsynligheter beregnes hvis det er 2 eller flere tilfeldige hendelser, og sannsynligheten beregnes separat for hver hendelse, og først da beregnes sannsynligheten for felles forekomst av 2 eller flere hendelser. Her var først sannsynligheten for å gjette 1/3, men for å beregne sannsynligheten for at bilen ikke står bak døren som ble valgt, men bak den andre som ikke er åpen, trenger du ikke å beregne betinget sannsynlighet, men du må beregne den enkle sannsynligheten, som er 1 av 2, de. 1/2.

3) Dette er altså ikke et paradoks, men en feilslutning! (19.11.2009)

Vedlegg 2: I går kom jeg med den enkleste forklaringen som omvalgsstrategi er fortsatt mer fordelaktig(paradokset er sant!): med det første valget er det 2 ganger mer sannsynlig å komme inn i en geit enn i en bil, fordi det er to geiter, og derfor, med det andre valget, må du endre valget. Det er så tydelig :o)

Eller med andre ord: det er nødvendig å ikke merke i bilen, men å avvise geitene, og til og med programlederen hjelper til med dette, åpner geiten. Og i begynnelsen av spillet, med en sannsynlighet på 2 av 3, vil spilleren også lykkes, så etter å ha avvist geitene, må du endre valget. Og det ble også veldig tydelig plutselig :o)

Så alt jeg har skrevet så langt har vært en pseudo-motsigelse. Vel, her er en annen illustrasjon på det faktum at du må være mer beskjeden, respektere andres synspunkt og ikke stole på forsikringene til logikken din om at beslutningene er krystalllogiske.

Monty Hall-paradokset er et av sannsynlighetsteoriens velkjente problemer, hvis løsning ved første øyekast strider mot sunn fornuft. Problemstillingen er formulert som en beskrivelse av et hypotetisk spill basert på det amerikanske TV-programmet Let's Make a Deal og er oppkalt etter programlederen for dette programmet. Den vanligste formuleringen av dette problemet, publisert i 1990 i Parade Magazine, er som følger:

Tenk deg at du har blitt deltaker i et spill der du må velge en av tre dører. Bak en av dørene står en bil, bak de to andre dørene står geiter. Du velger en av dørene, for eksempel nummer 1, etter at verten, som vet hvor bilen er og hvor bukkene er, åpner en av de resterende dørene, for eksempel nummer 3, bak som det er en geit. Etter det spør han deg om du vil endre valget ditt og velge dør nummer 2. Vil sjansene dine for å vinne bilen øke hvis du aksepterer vertens tilbud og endrer ditt valg?

Selv om denne formuleringen av problemet er den mest kjente, er den noe problematisk fordi den etterlater noen viktige forhold ved problemet udefinerte. Følgende er en mer fullstendig uttalelse.

Når de løser dette problemet, resonnerer de vanligvis noe slikt: etter at verten har åpnet døren bak som bukken er plassert, kan bilen bare være bak en av de to gjenværende dørene. Siden spilleren ikke kan få noen tilleggsinformasjon om hvilken dør bilen står bak, er sannsynligheten for å finne en bil bak hver av dørene den samme, og å endre det første valget av døren gir ikke spilleren noen fordel. Dette resonnementet er imidlertid feil. Hvis verten alltid vet hvilken dør som er bak, alltid åpner den gjenværende døren som inneholder bukken, og alltid ber spilleren om å endre valget sitt, så er sannsynligheten for at bilen er bak døren valgt av spilleren 1/3, og , følgelig er sannsynligheten for at bilen er bak den gjenværende døren 2/3. En endring av det første valget dobler dermed spillerens sjanser til å vinne bilen. Denne konklusjonen motsier den intuitive oppfatningen av situasjonen hos de fleste, og det er derfor det beskrevne problemet kalles Monty Hall-paradokset.

muntlig avgjørelse

Det riktige svaret på dette problemet er følgende: ja, sjansene for å vinne en bil dobles hvis spilleren følger vertens råd og endrer sitt første valg.

Deretter kan problemet reduseres til følgende formulering. I det første øyeblikket deler spilleren dørene i to grupper: i den første gruppen er det én dør (den han valgte), i den andre gruppen er det to gjenværende dører. I neste øyeblikk velger spilleren mellom grupper. Det er åpenbart at for den første gruppen er sannsynligheten for å vinne 1/3, for den andre gruppen 2/3. Spilleren velger den andre gruppen. I den andre gruppen kan han åpne begge dørene. Den ene åpnes av verten, og den andre av spilleren selv.

La oss prøve å gi den "mest forståelige" forklaringen. Reformuler problemet: En ærlig vert kunngjør til spilleren at det er en bil bak en av de tre dørene, og inviterer ham til først å peke på en av dørene, og deretter velge en av to handlinger: åpne den angitte døren (i gammel formulering, dette kalles "ikke endre valget ditt ") eller åpne de to andre (i den gamle formuleringen ville dette bare være "endre valget". Tenk, dette er nøkkelen til å forstå!). Det er klart at spilleren vil velge den andre av de to handlingene, siden sannsynligheten for å skaffe en bil i dette tilfellet er dobbelt så høy. Og den lille tingen som lederen "viste en geit" selv før han valgte handlingen hjelper ikke og forstyrrer ikke valget, for bak en av de to dørene er det alltid en geit, og lederen vil definitivt vise den på ethvert kurs av spillet, så spilleren kan på denne bukken og ikke se. Spillerens oppgave, hvis han valgte den andre handlingen, er å si "takk" til verten for å spare ham for bryet med å åpne en av de to dørene selv, og åpne den andre. Vel, eller enda enklere. La oss forestille oss denne situasjonen fra vertens synspunkt, som gjør en lignende prosedyre med dusinvis av spillere. Siden han vet utmerket godt hva som er bak dørene, så ser han i gjennomsnitt i to tilfeller av tre på forhånd at spilleren har valgt «feil» dør. Derfor er det for ham definitivt ikke noe paradoks at den riktige strategien er å endre valget etter å ha åpnet den første døren: tross alt, i de samme to tilfellene av tre, vil spilleren forlate studioet i en ny bil.

Nøkler til forståelse

Til tross for det enkle å forklare dette fenomenet, tror mange intuitivt at sannsynligheten for å vinne ikke endres når spilleren endrer valg. Vanligvis er umuligheten av å endre sannsynligheten for å vinne motivert av det faktum at når man beregner sannsynligheten, betyr ikke hendelser som har skjedd i fortiden, slik det for eksempel skjer når man kaster en mynt - sannsynligheten for å få hode eller haler gjør det. ikke avhengig av hvor mange ganger hoder eller haler falt ut før. Derfor tror mange at i øyeblikket spilleren velger en dør av to, spiller det ingen rolle at det tidligere var et valg av en dør av tre, og sannsynligheten for å vinne en bil er den samme når du endrer valget , og forlater det opprinnelige valget.

Men selv om slike betraktninger er sanne i tilfelle av en myntkast, er de ikke sanne for alle spill. I dette tilfellet bør åpningen av døren av mesteren ignoreres. Spilleren velger i hovedsak mellom den ene døren de valgte først og de to andre - å åpne en av dem tjener bare til å distrahere spilleren. Det er kjent at det er én bil og to geiter. Spillerens første valg av en av dørene deler de mulige utfallene av spillet inn i to grupper: enten er bilen bak døren valgt av spilleren (sannsynligheten for at dette er 1/3), eller bak en av de to andre (sannsynlighet). av dette er 2/3). Samtidig er det allerede kjent at det uansett er en geit bak en av de to gjenværende dørene, og ved å åpne denne døren gir ikke verten spilleren ytterligere informasjon om hva som er bak døren valgt av spiller. Å åpne døren med bukken av lederen endrer altså ikke sannsynligheten (2/3) for at bilen står bak en av de resterende dørene. Og siden spilleren ikke velger en allerede åpen dør, er all denne sannsynligheten konsentrert i tilfelle bilen er bak den gjenværende lukkede døren.

Mer intuitivt resonnement: La spilleren handle på "endre valg"-strategien. Da vil han tape bare hvis han i utgangspunktet velger en bil. Og sannsynligheten for dette er en tredjedel. Derfor er sannsynligheten for å vinne: 1-1/3=2/3. Hvis spilleren handler i henhold til "ikke endre valg"-strategien, vil han vinne hvis og bare hvis han først valgte bilen. Og sannsynligheten for dette er en tredjedel.

La oss forestille oss denne situasjonen fra vertens synspunkt, som gjør en lignende prosedyre med dusinvis av spillere. Siden han vet utmerket godt hva som er bak dørene, så ser han i gjennomsnitt i to tilfeller av tre på forhånd at spilleren har valgt «feil» dør. Derfor er det for ham definitivt ikke noe paradoks at den riktige strategien er å endre valget etter å ha åpnet den første døren: tross alt, i de samme to tilfellene av tre, vil spilleren forlate studioet i en ny bil.

En annen vanlig årsak til vanskeligheten med å forstå løsningen på dette problemet er at folk ofte ser for seg et litt annerledes spill – hvor det ikke er kjent på forhånd om verten vil åpne døren med en geit og foreslå at spilleren endrer valget. I dette tilfellet kjenner ikke spilleren til lederens taktikk (det vil si at han ikke kjenner alle spillereglene) og kan ikke ta det optimale valget. For eksempel, hvis tilretteleggeren bare vil tilby en endring av alternativ hvis spilleren først valgte døren med bilen, så bør spilleren selvsagt alltid la den opprinnelige avgjørelsen stå uendret. Derfor er det viktig å huske på den nøyaktige formuleringen av Monty Hall-problemet. (med dette alternativet kan lederen med forskjellige strategier oppnå enhver sannsynlighet mellom dørene, i det generelle (gjennomsnittlige) tilfellet vil det være 1/2 ganger 1/2).

Økning i antall dører

beslutningstre

Mulig beslutningstre for spilleren og verten, som viser sannsynligheten for hvert utfall

Mer formelt kan et spillscenario beskrives ved hjelp av et beslutningstre.

I de to første tilfellene, når spilleren først valgte døren bak som bukken er, vil endring av valget resultere i en seier. I de to siste tilfellene, når spilleren først valgte døren med bilen, resulterer endring av valget i tap.

Den totale sannsynligheten for at en endring i valg vil føre til en seier er ekvivalent med summen av sannsynlighetene for de to første utfallene, dvs.

Følgelig er sannsynligheten for at det å nekte å endre valget vil føre til en seier lik

Gjennomfører et lignende eksperiment

Det er en enkel måte å sørge for at endring av det opprinnelige valget resulterer i en seier to av tre ganger i gjennomsnitt. For å gjøre dette kan du simulere spillet beskrevet i Monty Hall-problemet ved å bruke spillekort. En person (distribuerer kort) spiller rollen som den ledende Monty Hall, og den andre - rollen som spilleren. Tre kort tas for spillet, hvorav ett viser en dør med en bil (for eksempel spar-ess), og to andre som er identiske (for eksempel to røde toere) er dører med geiter.

Verten legger ut tre kort med forsiden ned, og inviterer spilleren til å ta ett av kortene. Etter at spilleren har valgt et kort, ser lederen på de to gjenværende kortene og avslører den røde toeren. Etter det åpnes kortene som er igjen av spilleren og lederen, og hvis kortet som spilleren har valgt er spar-ess, registreres et poeng til fordel for alternativet når spilleren ikke endrer valget sitt, og hvis spilleren har en rød toer, og lederen har spar ess, så scores et poeng til fordel for alternativet når spilleren endrer valget sitt. Hvis vi spiller mange slike runder av spillet, så reflekterer forholdet mellom poengene til fordel for de to alternativene ganske godt forholdet mellom sannsynlighetene for disse alternativene. I dette tilfellet viser det seg at antall poeng i favør av å endre det første valget er omtrent dobbelt så stort.

Et slikt eksperiment sørger ikke bare for at vinnersannsynligheten ved endring av valget er dobbelt så høy, men illustrerer også godt hvorfor dette skjer. I det øyeblikket spilleren har valgt et kort for seg selv, er det allerede bestemt om spar-ess er i hånden hans eller ikke. Den videre åpningen av et av kortene av lederen endrer ikke situasjonen - spilleren har allerede kortet i hånden, og det forblir der uavhengig av lederens handlinger. Sannsynligheten for at spilleren velger spar-ess fra tre kort er åpenbart 1/3, og dermed er sannsynligheten for å ikke velge det (og da vinner spilleren hvis han endrer det første valget) 2/3.

Nevne

I filmen Twenty-one utfordrer læreren Miki Rosa hovedpersonen Ben til å løse et puslespill: det er to scootere og en bil bak tre dører; du må gjette døren for å vinne bilen. Etter førstevalget tilbyr Miki å endre valget. Ben er enig og begrunner matematisk avgjørelsen. Så han består testen for Mikis team ufrivillig.

I Sergei Lukyanenkos roman "Nedotepa" vinner hovedpersonene, ved å bruke denne teknikken, en vogn og muligheten til å fortsette reisen.

I TV-serien 4isla (episode 13 av sesong 1 av Man Hunt), forklarer en av hovedpersonene, Charlie Epps, Monty Hall-paradokset i et populært foredrag om matematikk, og illustrerer det tydelig ved å bruke merketavler med geiter og en bil tegnet på baksidene. Charlie finner bilen ved å endre utvalget. Det skal imidlertid bemerkes at han kun kjører ett eksperiment, mens fordelen med overgangsstrategien er statistisk, og en rekke eksperimenter bør kjøres for å illustrere riktig.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Populær i kategorien: