Kvadratrot. Detaljert teori med eksempler

Konseptet med kvadratroten av et ikke-negativt tall

Tenk på ligningen x2 = 4. La oss løse den grafisk. For å gjøre dette, i ett system koordinater konstruer en parabel y = x2 og en rett linje y = 4 (fig. 74). De skjærer hverandre i to punkter A (- 2; 4) og B (2; 4). Abscissen til punktene A og B er røttene til ligningen x2 = 4. Altså, x1 = - 2, x2 = 2.

Ved å argumentere på samme måte finner vi røttene til likningen x2 = 9 (se fig. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

Og la oss nå prøve å løse ligningen x2 = 5; den geometriske illustrasjonen er vist i fig. 75. Det er klart at denne ligningen har to røtter x1 og x2, og disse tallene, som i de to foregående tilfellene, er like i absolutt verdi og motsatte i fortegn (x1 - - x2) - Men i motsetning til de tidligere tilfellene, hvor røttene til ligningen ble funnet uten problemer (og de kunne også bli funnet uten å bruke grafer), dette er ikke tilfellet med ligningen x2 \u003d 5: ifølge tegningen kan vi ikke indikere verdiene til røttene , vi kan bare fastslå det rot plassert litt til venstre for punkt - 2, og den andre - litt til høyre for punkt 2.

Men her får vi en ubehagelig overraskelse. Det viser seg at det ikke er noe slikt brøker DIV_ADBLOCK32">

Anta at det er en slik irreduserbar brøk som likheten https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, dvs. m2 = 5n2. Den siste likestillingen betyr det naturlig tall m2 er delelig med 5 uten rest (i kvotienten får vi n2).

Følgelig slutter tallet m2 enten med tallet 5 eller tallet 0. Men da slutter det naturlige tallet m også med enten tallet 5 eller tallet 0, det vil si at tallet m er delelig med 5 uten rest. Med andre ord, hvis tallet m deles på 5, vil man i kvotienten få et naturlig tall k. Dette betyr at m = 5k.

Og se nå:

Bytt ut 5k med m i den første ligningen:

(5k)2 = 5n2, dvs. 25k2 = 5n2 eller n2 = 5k2.

Den siste likheten betyr at tallet. 5n2 er delelig med 5 uten en rest. Ved å argumentere som ovenfor kommer vi til den konklusjon at tallet n også er delelig med 5 uten rest.

Så m er delelig med 5, n er delelig med 5, så brøken kan reduseres (med 5). Men vi antok at brøken er irreduserbar. Hva er i veien? Hvorfor, korrekt resonnement, kom vi til en absurditet eller, som matematikere ofte sier, fikk en selvmotsigelse "! Ja, fordi den opprinnelige forutsetningen var feil, som om det er en slik irreduserbar brøk, som likheten for ).

Hvis vi som et resultat av korrekt resonnement kommer til en motstrid med betingelsen, så konkluderer vi: vår antagelse er feil, noe som betyr at det som kreves bevist er sant.

Altså bare å ha rasjonelle tall(og vi vet ikke andre tall ennå), vil vi ikke være i stand til å løse ligningen x2 \u003d 5.

Etter å ha møtt en slik situasjon for første gang, innså matematikere at de måtte komme opp med en måte å beskrive den på i matematisk språk. De introduserte et nytt symbol i betraktning, som de kalte kvadratroten, og ved å bruke dette symbolet ble røttene til ligningen x2 = 5 skrevet som følger: ). Nå for enhver ligning av formen x2 \u003d a, hvor a\u003e O, kan du finne røttene - de er tallhttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} ikke en hel eller en brøkdel.
Dette betyr at det ikke er et rasjonelt tall, det er et tall av en ny natur, vi vil spesielt snakke om slike tall senere, i kapittel 5.
Legg merke til at det nye tallet er mellom 2 og 3, siden 22 = 4, som er mindre enn 5; Z2 \u003d 9, som er mer enn 5. Du kan avklare:

Igjen, merk at kun positive tall vises i tabellen, siden dette er fastsatt i definisjonen av kvadratroten. Og selv om for eksempel \u003d 25 er den riktige likheten, gå fra den til notasjon ved å bruke kvadratroten (dvs. skriv det. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} er et positivt tall, altså https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Det som er klart er at det er større enn 4, men mindre enn 5, siden 42 = 16 (som er mindre enn 17) og 52 = 25 (som er mer enn 17).
Imidlertid kan en omtrentlig verdi av tallet finnes ved å bruke kalkulator, som inneholder kvadratrotoperasjonen; denne verdien er 4,123.

Tallet, som tallet vurdert ovenfor, er ikke rasjonelt.
e) Kan ikke beregnes fordi kvadratroten av et negativt tall ikke eksisterer; oppføringen er meningsløs. Den foreslåtte oppgaven er feil.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Task" width="80" height="33 id=">!}, siden 75 > 0 og 752 = 5625.

I de enkleste tilfellene beregnes kvadratrotverdien umiddelbart:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Task" width="65" height="42 id=">!}
Løsning.
Første etappe. Det er ikke vanskelig å gjette at svaret vil være 50 med en "hale". Faktisk, 502 = 2500 og 602 = 3600, mens 2809 er mellom 2500 og 3600.

Tenk på ligningen x 2 = 4. La oss løse den grafisk. For å gjøre dette, i ett koordinatsystem, konstruerer vi en parabel y \u003d x 2 og en rett linje y \u003d 4 (fig. 74). De skjærer hverandre i to punkter A (- 2; 4) og B (2; 4). Abscissen til punktene A og B er røttene til ligningen x 2 \u003d 4. Så, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Ved å argumentere på samme måte finner vi røttene til ligningen x 2 \u003d 9 (se fig. 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Og la oss nå prøve å løse ligningen x 2 \u003d 5; den geometriske illustrasjonen er vist i fig. 75. Det er klart at denne ligningen har to røtter x 1 og x 2, og disse tallene, som i de to foregående tilfellene, er like i absolutt verdi og motsatte i fortegn (x 1 - - x 2) - Men i motsetning til de forrige tilfeller der røttene til ligningen ble funnet uten problemer (og de kunne også bli funnet uten å bruke grafer), er dette ikke tilfellet med ligningen x 2 \u003d 5: i henhold til tegningen kan vi ikke indikere verdiene Av røttene kan vi bare fastslå at en rot er plassert litt til venstre punkter - 2, og den andre - litt til høyre

punkt 2.

Hva er dette tallet (punktet), som ligger like til høyre for punkt 2 og som gir 5 i annen? Det er klart at dette ikke er 3, siden Z 2 \u003d 9, det vil si at det viser seg mer enn nødvendig (9\u003e 5).

Dette betyr at antallet av interesse for oss ligger mellom tallene 2 og 3. Men mellom tallene 2 og 3 er det et uendelig sett med rasjonelle tall, for eksempel osv. Kanskje blant dem er det en slik brøkdel at ? Da vil vi ikke ha noen problemer med ligningen x 2 - 5, det kan vi skrive

Men her får vi en ubehagelig overraskelse. Det viser seg at det ikke er en slik brøkdel som likestillingen
Beviset for den uttalte påstanden er ganske vanskelig. Likevel gir vi det fordi det er vakkert og lærerikt, det er veldig nyttig å prøve å forstå det.

Anta at det er en slik irreduserbar brøk som likheten gjelder. Deretter, dvs. m 2 = 5n 2. Den siste likheten betyr at det naturlige tallet m 2 er delelig med 5 uten en rest (spesielt vil n2 vise seg).

Følgelig slutter tallet m 2 enten med tallet 5 eller med tallet 0. Men da slutter også det naturlige tallet m med enten 5 eller 0, dvs. tallet m er delelig med 5 uten en rest. Med andre ord, hvis tallet m deles på 5, vil man i kvotienten få et naturlig tall k. Dette betyr,
at m = 5k.
Og se nå:
m 2 \u003d 5n 2;
Bytt ut 5k med m i den første ligningen:

(5k) 2 = 5n 2, dvs. 25k 2 = 5n 2 eller n 2 = 5k 2.
Den siste likheten betyr at tallet. 5n 2 er delelig med 5 uten en rest. Ved å argumentere som ovenfor kommer vi til den konklusjon at tallet n også er delelig med 5 uten en rest.
Så m er delelig med 5, n er delelig med 5, så brøken kan reduseres (med 5). Men vi antok at brøken er irreduserbar. Hva er i veien? Hvorfor, korrekt resonnement, kom vi til en absurditet eller, som matematikere ofte sier, fikk en selvmotsigelse "! Ja, fordi den opprinnelige forutsetningen var feil, som om det er en slik irreduserbar brøk, som likheten for
Fra dette konkluderer vi: det er ingen slik brøkdel.
Bevismetoden vi nettopp har brukt kalles i matematikk for bevismetoden ved selvmotsigelse. Dens essens er som følger. Vi må bevise et bestemt utsagn, og vi antar at det ikke holder (matematikere sier: "anta det motsatte" - ikke i betydningen "ubehagelig", men i betydningen "det motsatte av det som kreves").
Hvis vi som et resultat av korrekt resonnement kommer til en motstrid med betingelsen, så konkluderer vi: vår antagelse er feil, noe som betyr at det som kreves bevist er sant.

Så, med bare rasjonelle tall (og vi kjenner ikke andre tall ennå), vil vi ikke være i stand til å løse ligningen x 2 \u003d 5.
Etter å ha møtt en slik situasjon for første gang, innså matematikere at de måtte komme opp med en måte å beskrive den på i matematisk språk. De introduserte et nytt symbol i betraktning, som de kalte kvadratroten, og ved å bruke dette symbolet ble røttene til ligningen x 2 \u003d 5 skrevet som følger:

lyder: "kvadratrot av 5"). Nå for enhver ligning av formen x 2 \u003d a, hvor a\u003e O, kan du finne røttene - de er tall , (fig. 76).

Igjen understreker vi at tallet ikke er et heltall og ikke en brøk.
Dette betyr at det ikke er et rasjonelt tall, det er et tall av en ny natur, vi vil spesielt snakke om slike tall senere, i kapittel 5.
Legg merke til at det nye tallet er mellom 2 og 3, siden 2 2 = 4, som er mindre enn 5; Z 2 \u003d 9, og dette er mer enn 5. Du kan avklare:

Faktisk, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Du kan fortsatt
spesifiser:

faktisk 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
I praksis er det vanligvis antatt at tallet er lik 2,23 eller det er lik 2,24, bare dette er ikke en vanlig likhet, men en omtrentlig likhet, som symbolet brukes for.
Så,

Ved å diskutere løsningen av ligningen x 2 = a, ble vi møtt med en ganske typisk tilstand for matematikk. Å komme inn i en ikke-standard, unormal (som kosmonauter liker å si) situasjon og ikke finne en vei ut av den ved hjelp av kjente midler, kommer matematikere med et nytt begrep og en ny betegnelse (et nytt symbol) for det matematiske modell som de har møtt for første gang; med andre ord, de introduserer et nytt konsept og studerer deretter egenskapene til dette
begreper. Dermed blir det nye konseptet og dets betegnelse det matematiske språkets eiendom. Vi handlet på samme måte: vi introduserte begrepet "kvadratrot av tallet a", introduserte et symbol for å betegne det, og litt senere vil vi studere egenskapene til det nye konseptet. Så langt vet vi bare én ting: hvis a > 0,
da er et positivt tall som tilfredsstiller ligningen x 2 = a. Med andre ord, er et slikt positivt tall, når kvadratet, oppnås tallet a.
Siden ligningen x 2 \u003d 0 har en rot x \u003d 0, ble vi enige om å anta at
Vi er nå klare til å gi en streng definisjon.
Definisjon. Kvadratroten av et ikke-negativt tall a er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er a.

Dette nummeret er betegnet, nummeret og samtidig kalles rotnummeret.
Så hvis a er et ikke-negativt tall, så:

Hvis en< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Dermed gir uttrykket mening bare når a > 0.
De sier det - samme matematiske modell (samme forhold mellom ikke-negative tall
(a og b), men bare det andre er beskrevet på et enklere språk enn det første (bruker enklere tegn).

Operasjonen med å finne kvadratroten av et ikke-negativt tall kalles å ta kvadratroten. Denne operasjonen er det motsatte av kvadrating. Sammenligne:

Igjen, merk at kun positive tall vises i tabellen, siden dette er fastsatt i definisjonen av kvadratroten. Og selv om for eksempel (- 5) 2 \u003d 25 er riktig likhet, gå fra den til notasjon ved å bruke kvadratroten (dvs. skriv det.)
det er forbudt. A-priory,. er et positivt tall, altså .
Ofte sier de ikke "kvadratrot", men "aritmetisk kvadratrot". Vi utelater begrepet "aritmetikk" for korthets skyld.

D) I motsetning til de foregående eksemplene kan vi ikke spesifisere den nøyaktige verdien av tallet . Det er bare klart at det er større enn 4, men mindre enn 5, siden

4 2 = 16 (det er mindre enn 17) og 5 2 = 25 (det er mer enn 17).
Imidlertid kan den omtrentlige verdien av tallet bli funnet ved hjelp av en mikrokalkulator, som inneholder operasjonen med å trekke ut kvadratroten; denne verdien er 4,123.
Så,
Tallet, som tallet vurdert ovenfor, er ikke rasjonelt.
e) Kan ikke beregnes fordi kvadratroten av et negativt tall ikke eksisterer; oppføringen er meningsløs. Den foreslåtte oppgaven er feil.
e), siden 31 > 0 og 31 2 = 961. I slike tilfeller må du bruke en kvadrattabell med naturlige tall eller en mikrokalkulator.
g) siden 75 > 0 og 75 2 = 5625.
I de enkleste tilfellene beregnes verdien av kvadratroten umiddelbart: osv. I mer komplekse tilfeller må du bruke en tabell med kvadrater av tall eller utføre beregninger ved hjelp av en mikrokalkulator. Men hva om det ikke er noe regneark eller kalkulator for hånden? La oss svare på dette spørsmålet ved å løse følgende eksempel.

Eksempel 2 Regne ut
Løsning.
Første etappe. Det er ikke vanskelig å gjette at svaret vil være 50 med en "hale". Faktisk, 50 2 = 2500 og 60 2 = 3600, mens tallet 2809 er mellom tallene 2500 og 3600.

Andre fase. La oss finne "halen", dvs. det siste sifferet i ønsket nummer. Så langt vet vi at hvis roten er tatt, så kan svaret være 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 eller 59. Bare to tall må kontrolleres: 53 og 57, siden bare de , når kvadratet, vil gi resultatet et firesifret tall som slutter på 9, samme siffer som 2809.
Vi har 532 = 2809 - dette er det vi trenger (vi var heldige, vi traff umiddelbart "bull's eye"). Så = 53.
Svar:

53
Eksempel 3 Bena i en rettvinklet trekant er 1 cm og 2 cm Hva er hypotenusen til trekanten? (fig.77)

Løsning.

La oss bruke Pythagoras teorem kjent fra geometrien: summen av kvadratene av lengdene på benene i en rettvinklet trekant er lik kvadratet på lengden på hypotenusen, dvs. a 2 + b 2 \u003d c 2, hvor a, b er bena, c er hypotenusen til den rette trekanten.

Midler,

Dette eksemplet viser at introduksjonen av kvadratrøtter ikke er et innfall av matematikere, men en objektiv nødvendighet: i det virkelige liv er det situasjoner hvis matematiske modeller inneholder operasjonen med å trekke ut en kvadratrot. Kanskje den viktigste av disse situasjonene er
løse andregradsligninger. Inntil nå, når vi møtte kvadratiske ligninger ax 2 + bx + c \u003d 0, faktoriserte vi enten venstre side (som ikke alltid fungerte), eller brukte grafiske metoder (som heller ikke er veldig pålitelige, selv om de er vakre). Faktisk å finne
røttene x 1 og x 2 av den kvadratiske ligningen ax 2 + bx + c \u003d 0 i matematikk, formler brukes

som tilsynelatende inneholder tegnet til kvadratroten Disse formlene brukes i praksis som følger. La, for eksempel, det er nødvendig å løse ligningen 2x 2 + bx - 7 \u003d 0. Her a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Derfor,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Da finner vi . Midler,

Vi bemerket ovenfor at det ikke er et rasjonelt tall.
Matematikere kaller slike tall irrasjonelle. Et hvilket som helst tall på formen er irrasjonelt hvis kvadratroten ikke er tatt. For eksempel, etc. er irrasjonelle tall. I kapittel 5 skal vi snakke mer om rasjonelle og irrasjonelle tall. Rasjonelle og irrasjonelle tall utgjør til sammen settet av reelle tall, dvs. settet med alle de tallene vi opererer med i det virkelige liv (faktisk,
ness). For eksempel - alle disse er reelle tall.
Akkurat som vi definerte konseptet med en kvadratrot ovenfor, kan vi også definere konseptet med en terningsrot: terningroten av et ikke-negativt tall a er et ikke-negativt tall hvis terning er lik a. Med andre ord betyr likhet at b 3 = a.

Vi skal studere alt dette i algebrakurset i 11. klasse.

I denne artikkelen vil vi introdusere begrepet roten til et tall. Vi vil handle sekvensielt: vi starter med kvadratroten, fra den vil vi gå videre til beskrivelsen av kuberoten, etter det vil vi generalisere begrepet rot ved å definere roten til n-te grad. Samtidig vil vi introdusere definisjoner, notasjon, gi eksempler på røtter og gi nødvendige forklaringer og kommentarer.

Kvadratrot, aritmetisk kvadratrot

For å forstå definisjonen av roten til et tall, og kvadratroten spesielt, må man ha . På dette tidspunktet vil vi ofte møte andre potens av et tall - kvadratet av et tall.

La oss begynne med kvadratrotdefinisjoner.

Definisjon

Kvadratroten av a er tallet hvis kvadrat er a .

For å bringe eksempler på kvadratrøtter, ta flere tall, for eksempel 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , og kvadrere dem, får vi tallene 25 , 0.09 , 0.09 og 0 henholdsvis (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3)2=0,3 0,3=0,09 og 02=00=0). I henhold til definisjonen ovenfor er 5 kvadratroten av 25, −0,3 og 0,3 er kvadratrøttene av 0,09, og 0 er kvadratroten av null.

Det skal bemerkes at ikke for noe tall eksisterer en , hvis kvadrat er lik a . For ethvert negativt tall a er det nemlig ikke noe reelt tall b hvis kvadrat er lik a. Faktisk er likheten a=b 2 umulig for enhver negativ a , siden b 2 er et ikke-negativt tall for enhver b . Dermed, på settet med reelle tall er det ingen kvadratrot av et negativt tall. Med andre ord, på settet med reelle tall, er kvadratroten av et negativt tall ikke definert og har ingen betydning.

Dette fører til et logisk spørsmål: "Finnes det en kvadratrot av a for enhver ikke-negativ a"? Svaret er ja. Begrunnelsen for dette faktum kan betraktes som en konstruktiv metode som brukes for å finne verdien av kvadratroten.

Da oppstår følgende logiske spørsmål: "Hva er antallet av alle kvadratrøtter av et gitt ikke-negativt tall a - en, to, tre eller enda mer"? Her er svaret på det: hvis a er null, så er den eneste kvadratroten av null null; hvis a er et positivt tall, så er antallet kvadratrøtter fra tallet a lik to, og røttene er . La oss underbygge dette.

La oss starte med tilfellet a=0 . La oss først vise at null faktisk er kvadratroten av null. Dette følger av den åpenbare likheten 0 2 =0·0=0 og definisjonen av kvadratroten.

La oss nå bevise at 0 er den eneste kvadratroten av null. La oss bruke den motsatte metoden. La oss anta at det er et tall b som ikke er null, som er kvadratroten av null. Da må betingelsen b 2 =0 være oppfylt, noe som er umulig, siden for enhver ikke-null b verdien av uttrykket b 2 er positiv. Vi har kommet til en motsetning. Dette beviser at 0 er den eneste kvadratroten av null.

La oss gå videre til tilfeller der a er et positivt tall. Ovenfor sa vi at det alltid er en kvadratrot av et ikke-negativt tall, la b være kvadratroten av a. La oss si at det er et tall c , som også er kvadratroten av a . Da, ved definisjonen av kvadratroten, er likhetene b 2 =a og c 2 =a gyldige, hvorav det følger at b 2 −c 2 =a−a=0, men siden b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c), deretter (b−c) (b+c)=0 . Den resulterende likheten i kraft egenskaper ved handlinger med reelle tall bare mulig når b−c=0 eller b+c=0 . Dermed er tallene b og c like eller motsatte.

Hvis vi antar at det er et tall d, som er en annen kvadratrot av tallet a, så bevises det ved å resonnere som de allerede er gitt at d er lik tallet b eller tallet c. Så antallet kvadratrøtter av et positivt tall er to, og kvadratrøttene er motsatte tall.

For å gjøre det lettere å jobbe med kvadratrøtter, er den negative roten "atskilt" fra den positive. For dette formålet introduserer den definisjon av aritmetisk kvadratrot.

Definisjon

Aritmetisk kvadratrot av et ikke-negativt tall a er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik a .

For den aritmetiske kvadratroten av tallet a, aksepteres notasjonen. Tegnet kalles det aritmetiske kvadratrottegnet. Det kalles også det radikales tegn. Derfor kan du delvis høre både "root" og "radikal", som betyr samme objekt.

Tallet under det aritmetiske kvadratrottegnet kalles rotnummer, og uttrykket under rottegnet - radikalt uttrykk, mens begrepet «radikalt tall» ofte erstattes med «radikalt uttrykk». For eksempel, i notasjonen er tallet 151 et radikalt tall, og i notasjonen er uttrykket a et radikalt uttrykk.

Ved lesing blir ordet «aritmetikk» ofte utelatt, for eksempel leses oppføringen som «kvadratroten av syv komma tjueni hundredeler». Ordet «aritmetikk» uttales kun når de vil understreke at vi snakker om den positive kvadratroten av et tall.

I lys av den introduserte notasjonen følger det av definisjonen av den aritmetiske kvadratroten at for ethvert ikke-negativt tall a .

Kvadratrøttene til et positivt tall a skrives ved å bruke det aritmetiske kvadratrottegnet som og . For eksempel er kvadratrøttene av 13 og . Den aritmetiske kvadratroten av null er null, det vil si. For negative tall a, vil vi ikke legge betydning til oppføringene før vi studerer komplekse tall. For eksempel er uttrykkene og meningsløse.

Ut fra definisjonen av en kvadratrot bevises egenskaper ved kvadratrøtter, som ofte brukes i praksis.

For å konkludere med dette underavsnittet, legger vi merke til at kvadratrøttene til et tall er løsninger på formen x 2 =a med hensyn til variabelen x .

terningrot av

Definisjon av terningroten av tallet a er gitt på lignende måte som definisjonen av kvadratroten. Bare det er basert på konseptet med en kube av et tall, ikke et kvadrat.

Definisjon

Terningsroten til en et tall hvis terning er lik a kalles.

La oss ta med eksempler på kuberøtter. For å gjøre dette, ta flere tall, for eksempel 7 , 0 , −2/3 , og kube dem: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Så, basert på definisjonen av terningroten, kan vi si at tallet 7 er terningroten av 343, 0 er terningroten av null, og −2/3 er terningroten av −8/27.

Det kan vises at terningroten av tallet a, i motsetning til kvadratroten, alltid eksisterer, og ikke bare for ikke-negativ a, men også for et hvilket som helst reelt tall a. For å gjøre dette kan du bruke samme metode som vi nevnte da vi studerte kvadratroten.

Dessuten er det bare én terningrot av et gitt tall a. La oss bevise den siste påstanden. For å gjøre dette, vurdere tre tilfeller separat: a er et positivt tall, a=0 og a er et negativt tall.

Det er lett å vise at for positiv a, kan ikke terningroten til a være verken negativ eller null. Faktisk, la b være terningroten til a , så kan vi per definisjon skrive likheten b 3 =a . Det er klart at denne likheten ikke kan være sann for negativ b og for b=0, siden b 3 =b·b·b i disse tilfellene vil være henholdsvis et negativt tall eller null. Så terningroten av et positivt tall a er et positivt tall.

Anta nå at det i tillegg til tallet b er en mer terningrot fra tallet a, la oss betegne det c. Så c 3 =a. Derfor er b 3 −c 3 =a−a=0 , men b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 + b c+c 2)(dette er den forkortede multiplikasjonsformelen forskjell på terninger), hvorfra (b-c) (b 2 + b c + c 2) = 0 . Den resulterende likheten er bare mulig når b−c=0 eller b 2 +b c+c 2 =0 . Fra den første likheten har vi b=c, og den andre likheten har ingen løsninger, siden dens venstre side er et positivt tall for eventuelle positive tall b og c som summen av tre positive ledd b 2 , b c og c 2 . Dette beviser unikheten til kuberoten til et positivt tall a.

For a=0 er den eneste terningsroten av a null. Faktisk, hvis vi antar at det er et tall b , som er en ikke-null terningrot av null, så må likheten b 3 =0 holde, noe som bare er mulig når b=0 .

For negativ a kan man argumentere tilsvarende tilfellet for positiv a . Først viser vi at terningroten av et negativt tall ikke kan være lik verken et positivt tall eller null. For det andre antar vi at det er en andre terningrot av et negativt tall og viser at den nødvendigvis vil falle sammen med den første.

Så det er alltid en terningrot av et gitt reelt tall a, og bare ett.

La oss gi definisjon av aritmetisk terningrot.

Definisjon

Aritmetisk terningrot av et ikke-negativt tall a et ikke-negativt tall hvis terning er lik a kalles.

Den aritmetiske kuberoten av et ikke-negativt tall a er betegnet som , tegnet kalles tegnet til den aritmetiske kuberoten, tallet 3 i denne notasjonen kalles rotindikator. Nummeret under rottegnet er rotnummer, er uttrykket under rottegnet radikalt uttrykk.

Selv om den aritmetiske kuberoten er definert kun for ikke-negative tall a, er det også praktisk å bruke oppføringer der negative tall står under det aritmetiske kubrottegnet. Vi vil forstå dem som følger: , hvor a er et positivt tall. For eksempel, .

Vi vil snakke om egenskapene til kuberøtter i den generelle artikkelen egenskaper til røtter.

Å beregne verdien av en terningrot kalles å trekke ut en terningrot, denne handlingen er omtalt i artikkelen trekke ut røtter: metoder, eksempler, løsninger.

For å konkludere med dette underavsnittet, sier vi at terningsroten til a er en løsning av formen x 3 =a.

N-te rot, aritmetisk rot av n

Vi generaliserer begrepet rot fra et tall - vi introduserer bestemmelse av den n-te roten for n.

Definisjon

n-te rot av en er et tall hvis n-te potens er lik a.

Fra denne definisjonen er det klart at roten til den første graden fra tallet a er tallet a selv, siden når vi studerte graden med en naturlig indikator, tok vi en 1 = a.

Ovenfor tok vi for oss spesielle tilfeller av roten av n-te grad for n=2 og n=3 - kvadratroten og kuberoten. Det vil si at kvadratroten er roten av andre grad, og kuberoten er roten av tredje grad. For å studere røttene til den n-te graden for n=4, 5, 6, ..., er det praktisk å dele dem inn i to grupper: den første gruppen - røttene til jevne grader (det vil si for n=4, 6 , 8, ...), den andre gruppen - røttene odde potenser (det vil si for n=5, 7, 9, ... ). Dette skyldes det faktum at røttene til partallsgrader ligner kvadratroten, og røttene til odde grader ligner kubikkroten. La oss håndtere dem etter tur.

La oss starte med røttene, hvis potenser er partallene 4, 6, 8, ... Som vi allerede har sagt, ligner de kvadratroten av tallet a. Det vil si at roten til en jevn grad fra tallet a eksisterer bare for ikke-negativ a. Dessuten, hvis a=0, så er roten av a unik og lik null, og hvis a>0, så er det to røtter av en partall grad fra tallet a, og de er motsatte tall.

La oss begrunne den siste påstanden. La b være en rot av en jevn grad (vi betegner den som 2·m, der m er et naturlig tall) fra a. Anta at det er et tall c - ytterligere 2 m rot av a . Da er b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Men vi kjenner til formen b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2), deretter (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2)=0. Av denne likheten følger det at b−c=0 , eller b+c=0 , eller b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. De to første likhetene betyr at tallene b og c er like eller b og c er motsatte. Og den siste likheten er bare gyldig for b=c=0, siden dens venstre side inneholder et uttrykk som er ikke-negativt for enhver b og c som summen av ikke-negative tall.

Når det gjelder røttene til n-te grad for oddetall n, ligner de på kuberoten. Det vil si at roten til en hvilken som helst oddetall fra tallet a eksisterer for et hvilket som helst reelt tall a, og for et gitt tall a er det unikt.

Det unike til roten av oddegrad 2·m+1 fra tallet a er bevist i analogi med beviset for unikheten til kuberoten fra en . Bare her i stedet for likestilling a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) en likhet på formen b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +... +c 2 m). Uttrykket i siste parentes kan skrives om som b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). For eksempel, for m=2 har vi b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Når a og b begge er positive eller begge negative, er produktet deres et positivt tall, så er uttrykket b 2 +c 2 +b·c , som står i parentes for den høyeste graden av hekking, positivt som summen av positive tall. Nå går vi suksessivt til uttrykkene i parentes for de tidligere hekkegradene, og sørger for at de også er positive som summene av positive tall. Som et resultat får vi at likheten b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +... +c 2 m)=0 kun mulig når b−c=0 , det vil si når tallet b er lik tallet c .

Det er på tide å forholde seg til notasjonen av røttene til den n-te graden. For dette er det gitt bestemmelse av den aritmetiske roten av n-te grad.

Definisjon

Den aritmetiske roten av den n-te graden av et ikke-negativt tall a et ikke-negativt tall kalles, hvis n-te potens er lik a.

Jeg så igjen på tallerkenen ... Og la oss gå!

La oss starte med en enkel:

Vent litt. dette, noe som betyr at vi kan skrive det slik:

Har det? Her er den neste for deg:

Røttene til de resulterende tallene er ikke akkurat trukket ut? Ikke bekymre deg, her er noen eksempler:

Men hva om det ikke er to multiplikatorer, men flere? Det samme! Rotmultiplikasjonsformelen fungerer med en rekke faktorer:

Nå helt uavhengig:

Svar: Bra gjort! Enig, alt er veldig enkelt, det viktigste er å kjenne multiplikasjonstabellen!

Rotdeling

Vi fant ut multiplikasjonen av røttene, la oss nå fortsette til divisjonsegenskapen.

La meg minne deg på at formelen generelt ser slik ut:

Og det betyr det roten til kvotienten er lik kvotienten til røttene.

Vel, la oss se på eksempler:

Det er all vitenskap. Og her er et eksempel:

Alt er ikke så jevnt som i det første eksemplet, men som du kan se, er det ikke noe komplisert.

Hva om uttrykket ser slik ut:

Du trenger bare å bruke formelen omvendt:

Og her er et eksempel:

Du kan også se dette uttrykket:

Alt er det samme, bare her må du huske hvordan du oversetter brøker (hvis du ikke husker det, se på emnet og kom tilbake!). Husket? Nå bestemmer vi oss!

Jeg er sikker på at du taklet alt, alt, la oss nå prøve å bygge røtter i en grad.

Eksponentiering

Hva skjer hvis kvadratroten er kvadratisk? Det er enkelt, husk betydningen av kvadratroten av et tall - dette er et tall hvis kvadratrot er lik.

Så hvis vi kvadrerer et tall hvis kvadratrot er lik, hva får vi da?

Selvfølgelig, !

La oss se på eksempler:

Alt er enkelt, ikke sant? Og hvis roten er i en annen grad? Det er greit!

Hold deg til den samme logikken og husk egenskapene og mulige handlinger med krefter.

Les teorien om emnet "" og alt vil bli ekstremt klart for deg.

For eksempel, her er et uttrykk:

I dette eksemplet er graden partall, men hva om den er oddetall? Igjen, bruk kraftegenskapene og faktor alt:

Med dette ser alt ut til å være klart, men hvordan trekke ut roten fra et tall i en grad? Her er for eksempel dette:

Ganske enkelt, ikke sant? Hva om graden er større enn to? Vi følger samme logikk ved å bruke egenskapene til grader:

Vel, er alt klart? Løs deretter dine egne eksempler:

Og her er svarene:

Introduksjon under rotens tegn

Det vi bare ikke har lært å gjøre med røttene! Det gjenstår bare å øve på å skrive inn tallet under rottegnet!

Det er ganske enkelt!

La oss si at vi har et tall

Hva kan vi gjøre med det? Vel, selvfølgelig, gjem trippelen under roten, mens du husker at trippelen er kvadratroten av!

Hvorfor trenger vi det? Ja, bare for å utvide våre evner når vi løser eksempler:

Hvordan liker du denne egenskapen til røtter? Gjør livet mye enklere? For meg er det riktig! Bare vi må huske at vi bare kan legge inn positive tall under kvadratrottegnet.

Prøv dette eksemplet selv:
Klarte du deg? La oss se hva du bør få:

Bra gjort! Du klarte å legge inn et tall under rottegnet! La oss gå videre til noe like viktig – tenk på hvordan du sammenligner tall som inneholder en kvadratrot!

Root sammenligning

Hvorfor bør vi lære å sammenligne tall som inneholder en kvadratrot?

Veldig enkelt. Ofte, i store og lange uttrykk vi møter på eksamen, får vi et irrasjonelt svar (husker du hva det er? Vi har allerede snakket om dette i dag!)

Vi må plassere de mottatte svarene på koordinatlinjen, for eksempel for å finne ut hvilket intervall som er egnet for å løse ligningen. Og det er her ulempen oppstår: det er ingen kalkulator på eksamen, og uten den, hvordan forestille seg hvilket tall som er større og hvilket som er mindre? Det er det!

Finn for eksempel hva som er størst: eller?

Du vil ikke si det rett ut. Vel, la oss bruke den analyserte egenskapen til å legge til et tall under rottegnet?

Så videre:

Vel, åpenbart, jo større tall under tegnet til roten, jo større er selve roten!

De. hvis betyr.

Av dette konkluderer vi bestemt at Og ingen vil overbevise oss om noe annet!

Å trekke ut røtter fra store antall

Før det introduserte vi en faktor under rotens tegn, men hvordan tar vi den ut? Du trenger bare å faktorisere det og trekke ut det som trekkes ut!

Det var mulig å gå den andre veien og dekomponere i andre faktorer:

Ikke verst, ikke sant? Enhver av disse tilnærmingene er riktige, bestem deg for hvordan du føler deg komfortabel.

Factoring er veldig nyttig når du løser slike ikke-standardoppgaver som denne:

Vi blir ikke redde, vi handler! Vi dekomponerer hver faktor under roten i separate faktorer:

Og nå prøv det selv (uten kalkulator! Det blir ikke med på eksamen):

Er dette slutten? Vi stopper ikke halvveis!

Det er alt, det er ikke så skummelt, ikke sant?

Skjedd? Godt gjort, du har rett!

Prøv nå dette eksemplet:

Og et eksempel er en tøff nøtt å knekke, så du kan ikke umiddelbart finne ut hvordan du skal nærme deg den. Men vi er selvfølgelig i tennene.

Vel, la oss begynne å faktorisere, skal vi? Umiddelbart legger vi merke til at du kan dele et tall med (husk tegnene på delbarhet):

Og nå, prøv det selv (igjen, uten kalkulator!):

Vel, fungerte det? Godt gjort, du har rett!

Oppsummering

1. Kvadratroten (aritmetisk kvadratrot) av et ikke-negativt tall er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik.
   .
2. Hvis vi bare tar kvadratroten av noe, får vi alltid ett ikke-negativt resultat.
3. Aritmetiske rotegenskaper:
4. Når du sammenligner kvadratrøtter, må det huskes at jo større tall under tegnet til roten, desto større er selve roten.

Hvordan liker du kvadratroten? Alt klart?

Vi prøvde å forklare deg uten vann alt du trenger å vite på eksamen om kvadratroten.

Det er din tur. Skriv til oss om dette emnet er vanskelig for deg eller ikke.

Lærte du noe nytt eller alt var allerede så klart.

Skriv i kommentarfeltet og lykke til på eksamen!

Arealet til en kvadratisk tomt er 81 dm². Finn hans side. Anta at lengden på siden av firkanten er X desimeter. Da er arealet av tomten X² kvadratdesimeter. Siden, i henhold til betingelsen, er dette arealet 81 dm², da X² = 81. Lengden på siden av et kvadrat er et positivt tall. Et positivt tall hvis kvadrat er 81 er tallet 9. Ved løsning av oppgaven var det nødvendig å finne tallet x, hvor kvadratet er 81, dvs. løse likningen X² = 81. Denne ligningen har to røtter: x 1 = 9 og x 2 \u003d - 9, siden 9² \u003d 81 og (- 9)² \u003d 81. Begge tallene 9 og - 9 kalles kvadratrøttene til tallet 81.

Legg merke til at en av kvadratrøttene X= 9 er et positivt tall. Det kalles den aritmetiske kvadratroten av 81 og er betegnet √81, så √81 = 9.

Aritmetisk kvadratrot av et tall EN er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik EN.

For eksempel er tallene 6 og -6 kvadratrøttene av 36. Tallet 6 er den aritmetiske kvadratroten av 36, siden 6 er et ikke-negativt tall og 6² = 36. Tallet -6 er ikke en aritmetisk rot.

Aritmetisk kvadratrot av et tall EN angitt som følger: √ EN.

Tegnet kalles det aritmetiske kvadratrottegnet; EN kalles et rotuttrykk. Uttrykk √ EN lese slik: den aritmetiske kvadratroten av et tall EN. For eksempel, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. I tilfeller hvor det er tydelig at vi snakker om en aritmetisk rot, sier de kort: "kvadratroten av EN«.

Å finne kvadratroten av et tall kalles å ta kvadratroten. Denne handlingen er det motsatte av kvadrating.

Ethvert tall kan kvadreres, men ikke alle tall kan være kvadratrøtter. For eksempel er det umulig å trekke ut kvadratroten av tallet - 4. Hvis en slik rot eksisterte, angir den med bokstaven X, vil vi få feil likhet x² \u003d - 4, siden det er et ikke-negativt tall til venstre og et negativt tall til høyre.

Uttrykk √ EN gir bare mening når a ≥ 0. Definisjonen av kvadratroten kan kort skrives som: √ a ≥ 0, (√EN)² = EN. Likestilling (√ EN)² = EN gyldig for a ≥ 0. Dermed for å sikre at kvadratroten av et ikke-negativt tall EN er lik b, dvs. at √ EN =b, må du kontrollere at følgende to betingelser er oppfylt: b ≥ 0, b² = EN.

Kvadratroten av en brøk

La oss regne ut. Legg merke til at √25 = 5, √36 = 6, og sjekk om likheten holder.

Fordi og , da er likheten sann. Så, .

Teorem: Hvis EN≥ 0 og b> 0, det vil si at roten av brøken er lik roten av telleren delt på roten av nevneren. Det kreves å bevise at: og .

Siden √ EN≥0 og √ b> 0, da.

Ved egenskapen å heve en brøk til en potens og bestemme kvadratroten teoremet er bevist. La oss se på noen få eksempler.

Regn ut , i henhold til det påviste teoremet .

Andre eksempel: Bevis det , Hvis EN ≤ 0, b < 0. .

Et annet eksempel: Beregn .

.

Kvadratrot transformasjon

Å ta multiplikatoren ut fra under tegnet til roten. La et uttrykk gis. Hvis EN≥ 0 og b≥ 0, så ved teoremet på roten av produktet kan vi skrive:

En slik transformasjon kalles utfaktoring av rottegnet. Tenk på et eksempel;

Beregn kl X= 2. Direkte substitusjon X= 2 i det radikale uttrykket fører til kompliserte beregninger. Disse beregningene kan forenkles hvis vi først fjerner faktorene under rottegnet: . Når vi erstatter x = 2, får vi:.

Så når du tar ut faktoren fra rottegnet, er det radikale uttrykket representert som et produkt der en eller flere faktorer er kvadratene til ikke-negative tall. Rotproduktteoremet brukes deretter og roten til hver faktor tas. Tenk på et eksempel: Forenkle uttrykket A = √8 + √18 - 4√2 ved å ta ut faktorene under rottegnet i de to første leddene, vi får:. Vi legger vekt på at likestillingen kun gyldig når EN≥ 0 og b≥ 0. hvis EN < 0, то .