2 é um número irracional. Números irracionais, definição, exemplos

O conjunto de todos os números naturais é denotado pela letra N. Os números naturais são os números que usamos para contar objetos: 1,2,3,4, ... Em algumas fontes, o número 0 também é considerado um número natural.

O conjunto de todos os inteiros é denotado pela letra Z. Os inteiros são todos números naturais, zero e números negativos:

1,-2,-3, -4, …

Agora vamos adicionar ao conjunto de todos os inteiros o conjunto de todas as frações ordinárias: 2/3, 18/17, -4/5 e assim por diante. Então obtemos o conjunto de todos os números racionais.

Conjunto de números racionais

O conjunto de todos os números racionais é denotado pela letra Q. O conjunto de todos os números racionais (Q) é um conjunto que consiste em números da forma m/n, -m/n e o número 0. Qualquer número natural pode atuar como n, m. Deve-se notar que todos os números racionais podem ser representados como uma fração decimal PERIÓDICA finita ou infinita. O inverso também é verdadeiro: qualquer fração decimal periódica finita ou infinita pode ser escrita como um número racional.

Mas e quanto, por exemplo, ao número 2.0100100010...? É uma fração decimal infinitamente NÃO PERIÓDICA. E isso não se aplica a números racionais.

No curso escolar de álgebra, apenas números reais (ou reais) são estudados. O conjunto de todos os números reais é denotado pela letra R. O conjunto R consiste em todos os números racionais e irracionais.

O conceito de números irracionais

Os números irracionais são todas frações decimais infinitas não periódicas. Os números irracionais não possuem uma designação especial.

Por exemplo, todos os números obtidos pela extração da raiz quadrada de números naturais que não sejam quadrados de números naturais serão irracionais. (√2, √3, √5, √6, etc.).

Mas não pense que os números irracionais são obtidos apenas pela extração de raízes quadradas. Por exemplo, o número “pi” também é irracional e é obtido por divisão. E não importa o quanto você tente, você não conseguirá obter isso extraindo a raiz quadrada de qualquer número natural.

E suas raízes derivaram da palavra latina “ratio”, que significa “razão”. Baseado na tradução literal:

• Um número racional é um “número razoável”.
• Um número irracional é, portanto, um “número irracional”.

Conceito geral de número racional

Um número racional é um número que pode ser escrito como:

1. Uma fração positiva ordinária.
2. Fração comum negativa.
3. Como um número zero (0).

Em outras palavras, as seguintes definições se aplicam a um número racional:

• Qualquer número natural é inerentemente racional, pois qualquer número natural pode ser representado como uma fração ordinária.
• Qualquer número inteiro, incluindo o número zero, uma vez que qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração ordinária positiva, como uma fração ordinária negativa ou como o número zero.
• Qualquer fração ordinária, não importa se é positiva ou negativa, também se aproxima diretamente da definição de um número racional.
• A definição também pode incluir um número misto, uma fração decimal finita ou uma fração periódica infinita.

Exemplos de números racionais

Vejamos exemplos de números racionais:

• Números naturais - “4”, “202”, “200”.
• Inteiros - “-36”, “0”, “42”.
• Frações ordinárias.

Dos exemplos acima é bastante óbvio que números racionais podem ser positivos e negativos. Naturalmente, o número 0 (zero), que por sua vez também é um número racional, ao mesmo tempo não pertence à categoria de número positivo ou negativo.

Por isso, gostaria de lembrar o programa de educação geral usando a seguinte definição: “Números racionais” são aqueles números que podem ser escritos como uma fração x/y, onde x (numerador) é um número inteiro e y (denominador) é um número natural.

Conceito geral e definição de número irracional

Além dos “números racionais”, também conhecemos os chamados “números irracionais”. Vamos tentar definir brevemente esses números.

Até os matemáticos antigos, querendo calcular a diagonal de um quadrado ao longo de seus lados, aprenderam sobre a existência de um número irracional.
Com base na definição de números racionais, você pode construir uma cadeia lógica e definir um número irracional.
Então, em essência, os números reais que não são racionais são simplesmente números irracionais.
As frações decimais, expressando números irracionais, não são periódicas e infinitas.

Exemplos de um número irracional

Para maior clareza, vamos considerar um pequeno exemplo de número irracional. Como já entendemos, infinitas frações decimais não periódicas são chamadas de irracionais, por exemplo:

• O número “-5.020020002... (é claramente visível que os dois estão separados por uma sequência de um, dois, três, etc. zeros)
• O número “7.040044000444... (aqui fica claro que o número de quatros e o número de zeros aumentam em um a cada vez em uma cadeia).
• Todo mundo conhece o número Pi (3,1415...). Sim, sim - também é irracional.

Em geral, todos os números reais são racionais e irracionais. Em termos simples, um número irracional não pode ser representado como uma fração comum x/y.

Conclusão geral e breve comparação entre números

Vimos cada número separadamente, mas a diferença entre um número racional e um número irracional permanece:

1. Um número irracional ocorre ao extrair a raiz quadrada, ao dividir um círculo pelo seu diâmetro, etc.
2. Um número racional representa uma fração comum.

Vamos concluir nosso artigo com algumas definições:

• Uma operação aritmética realizada em um número racional, diferente da divisão por 0 (zero), acabará por levar a um número racional.
• O resultado final, ao realizar uma operação aritmética sobre um número irracional, pode levar a um valor racional e a um valor irracional.
• Se ambos os números participarem de uma operação aritmética (exceto divisão ou multiplicação por zero), o resultado será um número irracional.

Todos os números racionais podem ser representados como uma fração comum. Isso se aplica a números inteiros (por exemplo, 12, –6, 0) e frações decimais finitas (por exemplo, 0,5; –3,8921) e frações decimais periódicas infinitas (por exemplo, 0,11(23); –3 ,(87 )).

No entanto infinitos decimais não periódicos não podem ser representados como frações ordinárias. Isso é o que eles são números irracionais(isto é, irracional). Um exemplo desse número é o número π, que é aproximadamente igual a 3,14. No entanto, não é possível determinar exatamente o que é igual, pois após o número 4 há uma série interminável de outros números nos quais os períodos repetidos não podem ser distinguidos. Além disso, embora o número π não possa ser expresso com precisão, ele tem um significado geométrico específico. O número π é a razão entre o comprimento de qualquer círculo e o comprimento de seu diâmetro. Assim, os números irracionais realmente existem na natureza, assim como os números racionais.

Outro exemplo de números irracionais são as raízes quadradas de números positivos. Extrair raízes de alguns números fornece valores racionais, de outros - irracionais. Por exemplo, √4 = 2, ou seja, a raiz de 4 é um número racional. Mas √2, √5, √7 e muitos outros resultam em números irracionais, ou seja, só podem ser extraídos por aproximação, arredondando para uma determinada casa decimal. Neste caso, a fração torna-se aperiódica. Ou seja, é impossível dizer exatamente e definitivamente qual é a raiz desses números.

Portanto, √5 é um número situado entre os números 2 e 3, já que √4 = 2 e √9 = 3. Também podemos concluir que √5 está mais próximo de 2 do que de 3, já que √4 está mais próximo de √5 do que √9 a √5. Na verdade, √5 ≈ 2,23 ou √5 ≈ 2,24.

Os números irracionais também são obtidos em outros cálculos (e não apenas na extração de raízes) e podem ser negativos.

Em relação aos números irracionais, podemos dizer que não importa qual segmento unitário tomemos para medir o comprimento expresso por tal número, não seremos capazes de medi-lo definitivamente.

Nas operações aritméticas, os números irracionais podem participar junto com os números racionais. Ao mesmo tempo, existem várias regularidades. Por exemplo, se apenas números racionais estiverem envolvidos numa operação aritmética, então o resultado será sempre um número racional. Se apenas os irracionais participarem da operação, então é impossível dizer inequivocamente se o resultado será um número racional ou irracional.

Por exemplo, se você multiplicar dois números irracionais √2 * √2, obterá 2 - este é um número racional. Por outro lado, √2 * √3 = √6 é um número irracional.

Se uma operação aritmética envolver números racionais e irracionais, o resultado será irracional. Por exemplo, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Por que √17 – 4 é um número irracional? Vamos imaginar que obtemos um número racional x. Então √17 = x + 4. Mas x + 4 é um número racional, porque assumimos que x é racional. O número 4 também é racional, então x + 4 é racional. No entanto, um número racional não pode ser igual ao número irracional √17. Portanto, a suposição de que √17 – 4 dá um resultado racional está incorreta. O resultado de uma operação aritmética será irracional.

No entanto, há uma exceção a esta regra. Se multiplicarmos um número irracional por 0, obteremos o número racional 0.

E π

Assim, o conjunto dos números irracionais é a diferença I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \barra invertida \mathbb (Q) ) conjuntos de números reais e racionais.

A existência de números irracionais, ou mais precisamente de segmentos, incomensuráveis ​​com um segmento de comprimento unitário, já era conhecida dos antigos matemáticos: eles conheciam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado do quadrado, que equivale ao irracionalidade do número 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2))).

Propriedades

• A soma de dois números irracionais positivos pode ser um número racional.
• Os números irracionais definem seções de Dedekind no conjunto de números racionais que não possuem um número maior na classe inferior e não possuem um número menor na classe superior.
• O conjunto dos números irracionais é denso em todos os lugares da reta numérica: entre quaisquer dois números distintos existe um número irracional.
• A ordem no conjunto dos números irracionais é isomórfica à ordem no conjunto dos números transcendentais reais. [ ]

Números algébricos e transcendentais

Todo número irracional é algébrico ou transcendental. O conjunto dos números algébricos é um conjunto contável. Como o conjunto dos números reais é incontável, o conjunto dos números irracionais é incontável.

O conjunto dos números irracionais é um conjunto da segunda categoria.

Vamos elevar ao quadrado a suposta igualdade:

História

Antiguidade

O conceito de números irracionais foi adotado implicitamente por matemáticos indianos no século 7 aC, quando Manava (ca. 750-690 aC) descobriu que as raízes quadradas de alguns números naturais, como 2 e 61, não podiam ser expressas explicitamente [ ] .

A primeira prova da existência de números irracionais, ou mais precisamente da existência de segmentos incomensuráveis, é geralmente atribuída ao hippaso pitagórico de Metaponto (aproximadamente 470 a.C.). Na época dos pitagóricos, acreditava-se que existia uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que incluía um número inteiro de vezes em qualquer segmento [ ] .

Não há dados exatos sobre qual número foi provado irracional por Hippasus. Segundo a lenda, ele descobriu isso estudando os comprimentos dos lados do pentagrama. Portanto, é razoável supor que esta era a proporção áurea, uma vez que esta é a proporção entre a diagonal e o lado em um pentágono regular.

Os matemáticos gregos chamaram essa proporção de quantidades incomensuráveis logos(indizível), mas segundo as lendas eles não prestaram o devido respeito a Hípaso. Há uma lenda de que Hípaso fez a descoberta durante uma viagem marítima e foi jogado ao mar por outros pitagóricos “por criar um elemento do universo que nega a doutrina de que todas as entidades do universo podem ser reduzidas a números inteiros e suas proporções”. A descoberta de Hípaso representou um sério problema para a matemática pitagórica, destruindo a suposição subjacente de que os números e os objetos geométricos eram um e inseparáveis.

Mais tarde, Eudoxo de Cnido (410 ou 408 aC - 355 ou 347 aC) desenvolveu uma teoria das proporções que levava em consideração as relações racionais e irracionais. Isso serviu de base para a compreensão da essência fundamental dos números irracionais. A quantidade passou a ser considerada não como um número, mas como uma designação de entidades, como segmentos de reta, ângulos, áreas, volumes, intervalos de tempo - entidades que podem mudar continuamente (no sentido moderno da palavra). As magnitudes foram contrastadas com os números, que só podem mudar “saltos” de um número para o outro, por exemplo, de 4 para 5. Os números são constituídos pela menor quantidade indivisível, enquanto as quantidades podem ser reduzidas indefinidamente.

Como nenhum valor quantitativo foi correlacionado com a magnitude, Eudoxo foi capaz de cobrir quantidades comensuráveis ​​e incomensuráveis ​​ao definir uma fração como a razão de duas quantidades, e proporção como a igualdade de duas frações. Ao remover valores quantitativos (números) das equações, ele evitou a armadilha de ter que chamar de número uma quantidade irracional. A teoria de Eudoxo permitiu aos matemáticos gregos fazer progressos incríveis na geometria, fornecendo-lhes a base lógica necessária para trabalhar com quantidades incomensuráveis. O décimo livro dos Elementos de Euclides é dedicado à classificação das quantidades irracionais.

Idade Média

A Idade Média foi marcada pela adoção de conceitos como zero, números negativos, inteiros e frações, primeiro por matemáticos indianos e depois por matemáticos chineses. Mais tarde, os matemáticos árabes aderiram e foram os primeiros a considerar os números negativos como objetos algébricos (junto com os números positivos), o que possibilitou o desenvolvimento da disciplina hoje chamada álgebra.

Os matemáticos árabes combinaram os antigos conceitos gregos de “número” e “magnitude” em uma ideia única e mais geral de números reais. Eles criticaram as ideias de Euclides sobre relações; em contraste, desenvolveram uma teoria das relações de quantidades arbitrárias e expandiram o conceito de número para relações de quantidades contínuas. Em seu comentário sobre os Elementos do Livro 10 de Euclides, o matemático persa Al Makhani (c. 800 dC) explorou e classificou os números irracionais quadráticos (números da forma) e os números irracionais cúbicos mais gerais. Ele definiu quantidades racionais e irracionais, que chamou de números irracionais. Ele operou facilmente com esses objetos, mas falou sobre eles como objetos separados, por exemplo:

Em contraste com o conceito de Euclides de que as quantidades são principalmente segmentos de linha, Al Makhani considerava os inteiros e as frações como quantidades racionais, e as raízes quadradas e cúbicas como irracionais. Ele também introduziu a abordagem aritmética ao conjunto dos números irracionais, pois foi ele quem mostrou a irracionalidade das seguintes quantidades:

O matemático egípcio Abu Kamil (c. 850 dC - c. 930 dC) foi o primeiro a considerar aceitável reconhecer números irracionais como soluções para equações quadráticas ou como coeficientes em equações - geralmente em raízes quadráticas ou cúbicas, bem como raízes do quarto grau. No século X, o matemático iraquiano Al Hashimi produziu provas gerais (em vez de demonstrações geométricas visuais) da irracionalidade do produto, quociente e resultados de outras transformações matemáticas sobre números irracionais e racionais. Al Khazin (900 DC - 971 DC) dá a seguinte definição de quantidade racional e irracional:

Muitas destas ideias foram posteriormente adotadas por matemáticos europeus após a tradução de textos árabes para o latim no século XII. Al Hassar, um matemático árabe do Magrebe especializado em leis de herança islâmicas, introduziu a notação matemática simbólica moderna para frações no século XII, dividindo o numerador e o denominador por uma barra horizontal. A mesma notação apareceu nas obras de Fibonacci no século XIII. Durante os séculos XIV-XVI. Madhava de Sangamagrama e representantes da Escola de Astronomia e Matemática de Kerala investigaram séries infinitas convergindo para certos números irracionais, como π, e também mostraram a irracionalidade de certas funções trigonométricas. Jestadeva apresentou esses resultados no livro Yuktibhaza. (provando ao mesmo tempo a existência de números transcendentais), repensando assim o trabalho de Euclides sobre a classificação dos números irracionais. Trabalhos sobre este tema foram publicados em 1872

As frações contínuas, intimamente relacionadas aos números irracionais (uma fração contínua representando um determinado número é infinita se e somente se o número for irracional), foram exploradas pela primeira vez por Cataldi em 1613, depois chamaram a atenção novamente no trabalho de Euler e no início do século 19 - nas obras de Lagrange. Dirichlet também fez contribuições significativas para o desenvolvimento da teoria das frações contínuas. Em 1761, Lambert usou frações contínuas para mostrar que π (\ displaystyle \ pi ) não é um número racional, e também que e x (\estilo de exibição e^(x)) E tg ⁡ x (\ displaystyle \ nome do operador (tg) x) são irracionais para qualquer racional diferente de zero x (\estilo de exibição x). Embora a prova de Lambert possa ser considerada incompleta, ela é geralmente considerada bastante rigorosa, especialmente considerando a época em que foi escrita. Legendre em 1794, após introduzir a função Bessel-Clifford, mostrou que π 2 (\estilo de exibição \pi ^(2)) irracional, de onde vem a irracionalidade? π (\ displaystyle \ pi ) segue trivialmente (um número racional ao quadrado daria um racional).

A existência de números transcendentais foi comprovada por Liouville em 1844-1851. Mais tarde, Georg Cantor (1873) mostrou a sua existência utilizando um método diferente, e argumentou que qualquer intervalo da série real contém um número infinito de números transcendentais. Charles Hermite provou em 1873 que e transcendental, e Ferdinand Lindemann em 1882, com base neste resultado, mostrou transcendência π (\ displaystyle \ pi ) Literatura

O conjunto dos números irracionais é geralmente denotado por uma letra maiúscula Eu (\ displaystyle \ mathbb (I)) em estilo ousado sem sombreamento. Por isso: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \barra invertida \mathbb (Q) ), ou seja, o conjunto dos números irracionais é a diferença entre os conjuntos dos números reais e racionais.

A existência de números irracionais, mais precisamente, segmentos incomensuráveis ​​com um segmento de comprimento unitário, já era conhecida pelos matemáticos antigos: eles conheciam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado de um quadrado, o que equivale à irracionalidade de o número.

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  Irracionais são:

  Exemplos de prova de irracionalidade

  Raiz de 2

  Vamos supor o contrário: 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2))) racional, isto é, representado como uma fração m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), Onde m (\estilo de exibição m)é um número inteiro e n (\estilo de exibição n)- número natural .

  Vamos elevar ao quadrado a suposta igualdade:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  História

  Antiguidade

  O conceito de números irracionais foi adotado implicitamente por matemáticos indianos no século 7 aC, quando Manava (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que as raízes quadradas de alguns números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressas explicitamente [ ] .

  A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hípaso de Metaponto (c. 500 aC), um pitagórico. Na época dos pitagóricos, acreditava-se que existia uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que incluía um número inteiro de vezes em qualquer segmento [ ] .

  Não há dados exatos sobre qual número foi provado irracional por Hippasus. Segundo a lenda, ele descobriu isso estudando os comprimentos dos lados do pentagrama. Portanto, é razoável supor que esta era a proporção áurea [ ] .

  Os matemáticos gregos chamaram essa proporção de quantidades incomensuráveis logos(indizível), mas segundo as lendas eles não prestaram o devido respeito a Hípaso. Há uma lenda de que Hípaso fez a descoberta durante uma viagem marítima e foi jogado ao mar por outros pitagóricos “por criar um elemento do universo que nega a doutrina de que todas as entidades do universo podem ser reduzidas a números inteiros e suas proporções”. A descoberta de Hípaso representou um sério problema para a matemática pitagórica, destruindo a suposição subjacente de que os números e os objetos geométricos eram um e inseparáveis.