Fórmula da área de um triângulo baseada em dois lados. Área de um triângulo

Para determinar a área de um triângulo, você pode usar diferentes fórmulas. De todos os métodos, o mais fácil e mais utilizado é multiplicar a altura pelo comprimento da base e depois dividir o resultado por dois. No entanto, este método está longe de ser o único. Abaixo você pode ler como encontrar a área de um triângulo usando diferentes fórmulas.

Separadamente, veremos maneiras de calcular a área de tipos específicos de triângulos - retangulares, isósceles e equiláteros. Acompanhamos cada fórmula com uma breve explicação que o ajudará a compreender a sua essência.

Métodos universais para encontrar a área de um triângulo

As fórmulas abaixo usam notação especial. Vamos decifrar cada um deles:

• a, b, c – os comprimentos dos três lados da figura que estamos considerando;
• r é o raio do círculo que pode ser inscrito em nosso triângulo;
• R é o raio do círculo que pode ser descrito em torno dele;
• α é a magnitude do ângulo formado pelos lados b e c;
• β é a magnitude do ângulo entre a e c;
• γ é a magnitude do ângulo formado pelos lados a e b;
• h é a altura do nosso triângulo, abaixado do ângulo α para o lado a;
• p – metade da soma dos lados a, b e c.

É logicamente claro por que você pode encontrar a área de um triângulo dessa forma. O triângulo pode ser facilmente completado em um paralelogramo, no qual um lado do triângulo atuará como diagonal. A área de um paralelogramo é encontrada multiplicando o comprimento de um de seus lados pelo valor da altura desenhada para ele. A diagonal divide este paralelogramo condicional em 2 triângulos idênticos. Portanto, é bastante óbvio que a área do nosso triângulo original deve ser igual à metade da área deste paralelogramo auxiliar.

S = ½ a b sen γ

Segundo esta fórmula, a área de um triângulo é encontrada multiplicando-se os comprimentos de seus dois lados, ou seja, a e b, pelo seno do ângulo por eles formado. Esta fórmula é logicamente derivada da anterior. Se diminuirmos a altura do ângulo β para o lado b, então, de acordo com as propriedades de um triângulo retângulo, quando multiplicamos o comprimento do lado a pelo seno do ângulo γ, obtemos a altura do triângulo, ou seja, h .

A área da figura em questão é encontrada multiplicando a metade do raio do círculo que nela pode ser inscrito pelo seu perímetro. Em outras palavras, encontramos o produto do semiperímetro pelo raio do círculo mencionado.

S = abc/4R

De acordo com esta fórmula, o valor que precisamos pode ser encontrado dividindo o produto dos lados da figura por 4 raios do círculo descrito ao seu redor.

Estas fórmulas são universais, pois permitem determinar a área de qualquer triângulo (escaleno, isósceles, equilátero, retangular). Isso pode ser feito por meio de cálculos mais complexos, nos quais não entraremos em detalhes.

Áreas de triângulos com propriedades específicas

Como encontrar a área de um triângulo retângulo? A peculiaridade desta figura é que seus dois lados são simultaneamente suas alturas. Se a e b são catetos e c se torna a hipotenusa, então encontramos a área assim:

Como encontrar a área de um triângulo isósceles? Possui dois lados de comprimento a e um lado de comprimento b. Consequentemente, sua área pode ser determinada dividindo por 2 o produto do quadrado do lado a pelo seno do ângulo γ.

Como encontrar a área de um triângulo equilátero? Nele, o comprimento de todos os lados é igual a a, e a magnitude de todos os ângulos é α. Sua altura é igual à metade do produto do comprimento do lado a pela raiz quadrada de 3. Para encontrar a área de um triângulo regular, você precisa multiplicar o quadrado do lado a pela raiz quadrada de 3 e dividir por 4.

Às vezes, na vida, há situações em que é preciso mergulhar na memória em busca de conhecimentos escolares há muito esquecidos. Por exemplo, você precisa determinar a área de um terreno de formato triangular, ou chegou a hora de outra reforma em um apartamento ou casa particular, e precisa calcular quanto material será necessário para uma superfície com uma forma triangular. Houve um tempo em que você poderia resolver esse problema em alguns minutos, mas agora você está tentando desesperadamente se lembrar de como determinar a área de um triângulo?

Não se preocupe com isso! Afinal, é normal quando o cérebro de uma pessoa decide transferir conhecimento há muito não utilizado para algum lugar, para um canto remoto, de onde às vezes não é tão fácil extraí-lo. Para que você não precise se esforçar para encontrar conhecimentos escolares esquecidos para resolver esse problema, este artigo contém vários métodos que facilitam a localização da área necessária de um triângulo.

É bem sabido que um triângulo é um tipo de polígono limitado ao mínimo número possível de lados. Em princípio, qualquer polígono pode ser dividido em vários triângulos conectando seus vértices com segmentos que não cruzam seus lados. Portanto, conhecendo o triângulo, você pode calcular a área de quase qualquer figura.

Entre todos os triângulos possíveis que ocorrem na vida, podem ser distinguidos os seguintes tipos particulares: e retangular.

A maneira mais fácil de calcular a área de um triângulo é quando um de seus ângulos é reto, ou seja, no caso de um triângulo retângulo. É fácil ver que é meio retângulo. Portanto, sua área é igual à metade do produto dos lados que formam um ângulo reto entre si.

Se conhecermos a altura de um triângulo que desce de um de seus vértices até o lado oposto, e o comprimento desse lado, que é chamado de base, então a área é calculada como metade do produto da altura pela base. Isso é escrito usando a seguinte fórmula:

S = 1/2*b*h, em que

S é a área necessária do triângulo;

b, h - respectivamente, a altura e a base do triângulo.

É tão fácil calcular a área de um triângulo isósceles porque a altura dividirá o lado oposto ao meio e pode ser facilmente medida. Se a área for determinada, é conveniente considerar como altura o comprimento de um dos lados formando um ângulo reto.

Tudo isso é bom, claro, mas como determinar se um dos ângulos de um triângulo é reto ou não? Se o tamanho da nossa figura for pequeno, podemos usar um ângulo de construção, um triângulo de desenho, um cartão postal ou outro objeto de formato retangular.

Mas e se tivermos um terreno triangular? Neste caso, proceda da seguinte forma: conte a partir do topo do suposto ângulo reto de um lado uma distância múltipla de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), e do outro lado meça uma distância múltipla de 4 no mesmo proporção (40 cm, 160 cm, 4 m). Agora você precisa medir a distância entre os pontos finais desses dois segmentos. Se o resultado for um múltiplo de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), então podemos dizer que o ângulo está correto.

Se o comprimento de cada um dos três lados da nossa figura for conhecido, então a área do triângulo pode ser determinada usando a fórmula de Heron. Para que tenha uma forma mais simples, é utilizado um novo valor, que é denominado semiperímetro. Esta é a soma de todos os lados do nosso triângulo, dividida ao meio. Após o cálculo do semiperímetro, você pode começar a determinar a área usando a fórmula:

S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)), onde

sqrt - raiz quadrada;

p - valor do semiperímetro (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - arestas (lados) do triângulo.

Mas e se o triângulo tiver uma forma irregular? Existem duas maneiras possíveis aqui. A primeira delas é tentar dividir tal figura em dois triângulos retângulos, cuja soma das áreas é calculada separadamente e depois somada. Ou, se o ângulo entre dois lados e o tamanho desses lados forem conhecidos, aplique a fórmula:

S = 0,5 * ab * sinC, onde

a,b - lados do triângulo;

c é o tamanho do ângulo entre esses lados.

Este último caso é raro na prática, mas mesmo assim tudo é possível na vida, portanto a fórmula acima não será supérflua. Boa sorte com seus cálculos!

Do seguinte modo:

S = ½ * a * h,

Onde:
S – área do triângulo,
a é o comprimento do seu lado,
h é a altura baixada para este lado.

O comprimento e a altura lateral devem ser apresentados nas mesmas unidades de medida. Neste caso, a área do triângulo será obtida nas unidades “ ” correspondentes.

Exemplo.
De um lado de um triângulo escaleno de 20 cm de comprimento, uma perpendicular do vértice oposto de 10 cm de comprimento é baixada.
A área do triângulo é obrigatória.
Solução.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Se os comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo escaleno e o ângulo entre eles forem conhecidos, use a fórmula:

S = ½ * a * b * sinγ,

onde: a, b são os comprimentos de dois lados arbitrários e γ é o valor do ângulo entre eles.

Na prática, por exemplo, ao medir a área de um terreno, o uso das fórmulas acima às vezes é difícil, pois requer construção adicional e medição de ângulos.

Se você conhece os comprimentos de todos os três lados de um triângulo escaleno, use a fórmula de Heron:

S = √(p(pa)(pb)(pc)),

a, b, c – comprimentos dos lados do triângulo,
p – semiperímetro: p = (a+b+c)/2.

Se, além dos comprimentos de todos os lados, o raio do círculo inscrito no triângulo for conhecido, use a seguinte fórmula compacta:

onde: r – raio do círculo inscrito (р – semiperímetro).

Para calcular a área de um triângulo escaleno usando o raio da circunferência circunscrita e o comprimento de seus lados, use a fórmula:

onde: R – raio do círculo circunscrito.

Se o comprimento de um dos lados do triângulo e os valores dos três ângulos forem conhecidos (em princípio, dois são suficientes - o valor do terceiro é calculado a partir da igualdade da soma dos três ângulos do triângulo - 180º), então use a fórmula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

onde α é o valor do ângulo oposto ao lado a;
β, γ – valores dos dois ângulos restantes do triângulo.

Um triângulo regular é um triângulo com três lados iguais. Tem as seguintes propriedades: todos os lados de um triângulo regular são iguais entre si e todos os ângulos são iguais a 60 graus. Um triângulo regular é isósceles.

Você vai precisar

• Conhecimento de geometria.

Instruções

Seja dado um lado de um triângulo regular com comprimento a=7. Conhecendo o lado desse triângulo, você pode calcular facilmente sua área. Para isso, utiliza-se o seguinte: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Vamos substituir o valor a=7 nesta fórmula e obter o seguinte: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7/4 = 20,82. Assim, descobrimos que a área de um triângulo equilátero com lado a=7 é igual a S=20,82.

Se o raio do círculo for fornecido, ficará assim:
S = 3*3^(1/2)*r^2, onde r é o raio do círculo inscrito. Seja o raio do círculo inscrito r = 4. Vamos substituí-lo na fórmula escrita anteriormente e obter a seguinte expressão: S = 3*1,7*4*4 = 81,6. Ou seja, se o raio do círculo inscrito for igual a 4, a área do triângulo equilátero será igual a 81,6.

Com um raio conhecido do círculo circunscrito, a fórmula para a área de um triângulo é semelhante a esta: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, onde R é o raio do círculo circunscrito . Vamos supor que R=5, substitua este valor na fórmula: S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Acontece que com um raio do círculo circunscrito igual a 5, a área do triângulo é 31,9.

observação

A área de um triângulo é sempre positiva, assim como o comprimento de um lado de um triângulo e os raios dos círculos inscritos e circunscritos.

Conselho util

O raio dos círculos inscritos e circunscritos em um triângulo equilátero difere por um fator de dois, sabendo disso, você pode lembrar apenas uma fórmula, por exemplo, através do raio do círculo inscrito, e derivar a segunda, conhecendo esta afirmação.

Se o comprimento de um dos lados de um triângulo e os valores dos ângulos adjacentes forem conhecidos, sua área poderá ser calculada de várias maneiras. Cada uma das fórmulas de cálculo envolve o uso de funções trigonométricas, mas isso não deve intimidar - para calculá-las basta ter acesso à Internet, sem falar na presença de uma calculadora embutida no sistema operacional.

Instruções

A primeira opção de cálculo da área (S) a partir do comprimento conhecido de um dos lados (A) e dos valores dos ângulos adjacentes (α e β) envolve o cálculo desses ângulos. A área neste caso será o quadrado do comprimento do lado conhecido, dividido por duas vezes as cotangentes dos ângulos conhecidos: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Por exemplo, se o comprimento de um lado conhecido for 15 cm e os ângulos adjacentes forem 40° e 60°, então o cálculo da área será semelhante a este: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60 ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 centímetros quadrados.

A segunda opção para calcular a área utiliza senos de ângulos conhecidos em vez de cotangentes. Nesta versão, a área é igual ao quadrado do comprimento do lado conhecido, multiplicado pelos senos de cada um dos ângulos e dividido pelo dobro do seno da soma desses ângulos: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Por exemplo, para o mesmo triângulo com um lado conhecido de 15 cm e ângulos adjacentes de 40° e 60°, o cálculo da área ficará assim: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sen(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621)/(2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 centímetros quadrados.

A terceira opção para calcular a área de um triângulo utiliza as tangentes dos ângulos. A área será igual ao quadrado do comprimento do lado conhecido, multiplicado pelas tangentes de cada um dos ângulos e dividido pelo dobro da soma das tangentes desses ângulos: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Por exemplo, para um triângulo usado nas etapas anteriores com lado de 15 cm e ângulos adjacentes de 40° e 60°, o cálculo da área ficará assim: (15*15*tg(40)*tg(60 ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1,11721493)*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 centímetros quadrados.

Cálculos práticos podem ser feitos, por exemplo, usando a calculadora do mecanismo de busca Google. Para isso, basta substituir os valores numéricos nas fórmulas e inseri-los no campo de consulta de pesquisa.

Dica 4: Como encontrar a área de um triângulo e de um retângulo

Triângulo e retângulo são as duas figuras geométricas planas mais simples da geometria euclidiana. Dentro dos perímetros formados pelos lados desses polígonos, existe uma determinada seção do plano, cuja área pode ser determinada de várias maneiras. A escolha do método em cada caso específico dependerá dos parâmetros conhecidos das figuras.

Área de uma figura geométrica- uma característica numérica de uma figura geométrica mostrando o tamanho desta figura (parte da superfície limitada pelo contorno fechado desta figura). O tamanho da área é expresso pelo número de unidades quadradas nela contidas.

Fórmulas de área de triângulo

1. Fórmula para a área de um triângulo por lado e altura
   Área de um triângulo igual à metade do produto do comprimento de um lado de um triângulo e o comprimento da altitude traçada para esse lado
   
2. Fórmula para a área de um triângulo com base em três lados e no raio do círculo circunscrito
   
3. Fórmula para a área de um triângulo baseada em três lados e no raio do círculo inscrito
   Área de um triânguloé igual ao produto do semiperímetro do triângulo e o raio do círculo inscrito.
   
onde S é a área do triângulo,
- comprimentos dos lados do triângulo,
- altura do triângulo,
- o ângulo entre os lados e,
- raio do círculo inscrito,
R - raio do círculo circunscrito,

Fórmulas de área quadrada

1. Fórmula para a área de um quadrado pelo comprimento do lado
   Área quadrada igual ao quadrado do comprimento do seu lado.
2. Fórmula para a área de um quadrado ao longo da diagonal
   Área quadrada igual à metade do quadrado do comprimento de sua diagonal.
   

   S =	1	2
   	2

onde S é a área do quadrado,
- comprimento do lado do quadrado,
- comprimento da diagonal do quadrado.

Fórmula de área retangular

Área de um retângulo igual ao produto dos comprimentos de seus dois lados adjacentes

onde S é a área do retângulo,
- comprimentos dos lados do retângulo.

Fórmulas de área do paralelogramo

1. Fórmula para a área de um paralelogramo com base no comprimento e altura do lado
   Área de um paralelogramo
2. Fórmula para a área de um paralelogramo baseada em dois lados e no ângulo entre eles
   Área de um paralelogramoé igual ao produto dos comprimentos de seus lados multiplicado pelo seno do ângulo entre eles.
   

   a b sen α

onde S é a área do paralelogramo,
- comprimentos dos lados do paralelogramo,
- comprimento da altura do paralelogramo,
- o ângulo entre os lados do paralelogramo.

Fórmulas para a área de um losango

1. Fórmula para a área de um losango com base no comprimento e altura do lado
   Área de um losango igual ao produto do comprimento do seu lado e o comprimento da altura abaixada para este lado.
2. Fórmula para a área de um losango com base no comprimento e ângulo do lado
   Área de um losangoé igual ao produto do quadrado do comprimento do seu lado e o seno do ângulo entre os lados do losango.
3. Fórmula para a área de um losango com base no comprimento de suas diagonais
   Área de um losango igual à metade do produto dos comprimentos de suas diagonais.
onde S é a área do losango,
- comprimento do lado do losango,
- comprimento da altura do losango,
- o ângulo entre os lados do losango,
1, 2 - comprimentos de diagonais.

Fórmulas de área trapezoidal

1. Fórmula de Heron para trapézio

   Onde S é a área do trapézio,
   - comprimentos das bases do trapézio,
   - comprimentos dos lados do trapézio,
   

Conceito de área

O conceito de área de qualquer figura geométrica, em particular de um triângulo, estará associado a uma figura como um quadrado. Para a área unitária de qualquer figura geométrica tomaremos a área de um quadrado cujo lado é igual a um. Para completar, vamos relembrar duas propriedades básicas para o conceito de áreas de figuras geométricas.

Propriedade 1: Se as figuras geométricas forem iguais, então suas áreas também serão iguais.

Propriedade 2: Qualquer figura pode ser dividida em várias figuras. Além disso, a área da figura original é igual à soma das áreas de todas as suas figuras constituintes.

Vejamos um exemplo.

Exemplo 1

Obviamente, um dos lados do triângulo é uma diagonal de um retângulo, um lado do qual tem comprimento de $5$ (já que há $5$ células) e o outro tem $6$ (já que há $6$ células). Portanto, a área deste triângulo será igual à metade desse retângulo. A área do retângulo é

Então a área do triângulo é igual a

Resposta: $ 15 $.

A seguir, consideraremos vários métodos para encontrar as áreas dos triângulos, nomeadamente utilizando a altura e a base, utilizando a fórmula de Heron e a área de um triângulo equilátero.

Como encontrar a área de um triângulo usando sua altura e base

Teorema 1

A área de um triângulo pode ser encontrada como metade do produto do comprimento de um lado pela altura desse lado.

Matematicamente é assim

$S=\frac(1)(2)αh$

onde $a$ é o comprimento do lado, $h$ é a altura desenhada para ele.

Prova.

Considere um triângulo $ABC$ em que $AC=α$. A altura $BH$ é desenhada para este lado, que é igual a $h$. Vamos construí-lo até o quadrado $AXYC$ como na Figura 2.

A área do retângulo $AXBH$ é $h\cdot AH$, e a área do retângulo $HBYC$ é $h\cdot HC$. Então

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Portanto, a área necessária do triângulo, pela propriedade 2, é igual a

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

O teorema foi provado.

Exemplo 2

Encontre a área do triângulo na figura abaixo se a célula tiver uma área igual a um

A base deste triângulo é igual a $9$ (já que $9$ são $9$ quadrados). A altura também é $ 9$. Então, pelo Teorema 1, obtemos

$S=\frac(1)(2)\cponto 9\cponto 9=40,5$

Resposta: $ 40,5 $.

Fórmula de Heron

Teorema 2

Se tivermos três lados de um triângulo $α$, $β$ e $γ$, então sua área pode ser encontrada da seguinte forma

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

aqui $ρ$ significa o semiperímetro deste triângulo.

Prova.

Considere a seguinte figura:

Pelo teorema de Pitágoras, do triângulo $ABH$ obtemos

Do triângulo $CBH$, segundo o teorema de Pitágoras, temos

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Destas duas relações obtemos a igualdade

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Como $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, então $α+β+γ=2ρ$, o que significa

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Pelo Teorema 1, obtemos

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$