Exemplos de números irracionais. Números racionais e irracionais: descrição e como diferem? Os números não são irracionais

Número irracional- Esse número real, que não é racional, ou seja, não pode ser representado como uma fração, onde estão inteiros, . Um número irracional pode ser representado como uma fração decimal não periódica infinita.

O conjunto de números irracionais é geralmente denotado por uma letra latina maiúscula em negrito, sem sombreamento. Assim: , ou seja existem muitos números irracionais diferença entre os conjuntos de números reais e racionais.

Sobre a existência de números irracionais, mais precisamente segmentos incomensuráveis ​​com um segmento de comprimento unitário já eram conhecidos dos antigos matemáticos: eles conheciam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado do quadrado, o que equivale à irracionalidade do número.

Propriedades

• Qualquer número real pode ser escrito como uma fração decimal infinita, enquanto os números irracionais e somente eles são escritos como frações decimais infinitas não periódicas.
• Os números irracionais definem cortes de Dedekind no conjunto de números racionais que não possuem um número maior na classe inferior e não possuem um número menor na classe superior.
• Todo número transcendental real é irracional.
• Todo número irracional é algébrico ou transcendental.
• O conjunto dos números irracionais é denso em todos os lugares da reta numérica: entre quaisquer dois números existe um número irracional.
• A ordem no conjunto dos números irracionais é isomórfica à ordem no conjunto dos números transcendentais reais.
• O conjunto dos números irracionais é incontável e é um conjunto da segunda categoria.

Exemplos

Irracionais são:

Exemplos de prova de irracionalidade

Raiz de 2

Suponhamos o contrário: é racional, ou seja, é representado na forma de uma fração irredutível, onde é um número inteiro e é um número natural. Vamos elevar ao quadrado a suposta igualdade:

Segue-se que par é par e . Deixe estar onde está o todo. Então

Portanto, mesmo significa par e . Descobrimos que e são pares, o que contradiz a irredutibilidade da fração. Isso significa que a suposição original estava incorreta e é um número irracional.

Logaritmo binário do número 3

Suponhamos o contrário: é racional, ou seja, é representado como uma fração, onde e são inteiros. Desde então, e pode ser escolhido como positivo. Então

Mas par e estranho. Temos uma contradição.

e

História

O conceito de números irracionais foi adotado implicitamente por matemáticos indianos no século 7 aC, quando Manava (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que as raízes quadradas de alguns números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressas explicitamente .

A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hípaso de Metaponto (c. 500 a.C.), um pitagórico que encontrou esta prova estudando os comprimentos dos lados do pentagrama. Na época dos pitagóricos, acreditava-se que existia uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que entrava em qualquer segmento um número inteiro de vezes. No entanto, Hípaso argumentou que não existe uma unidade única de comprimento, uma vez que a suposição de sua existência leva a uma contradição. Ele mostrou que se a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles contém um número inteiro de segmentos unitários, então esse número deve ser par e ímpar. A prova ficou assim:

• A razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto de um triângulo retângulo isósceles pode ser expressa como a:b, Onde a E b escolhido como o menor possível.
• De acordo com o teorema de Pitágoras: a² = 2 b².
• Porque a- até, a deve ser par (já que o quadrado de um número ímpar seria ímpar).
• Porque o a:b irredutível b deve ser estranho.
• Porque a mesmo, denotamos a = 2sim.
• Então a² = 4 sim² = 2 b².
• b² = 2 sim², portanto b- mesmo, então b até.
• No entanto, está provado que b chance. Contradição.

Os matemáticos gregos chamaram essa proporção de quantidades incomensuráveis logos(indizível), mas segundo as lendas eles não prestaram o devido respeito a Hípaso. Há uma lenda de que Hípaso fez a descoberta durante uma viagem marítima e foi jogado ao mar por outros pitagóricos “por criar um elemento do universo que nega a doutrina de que todas as entidades do universo podem ser reduzidas a números inteiros e suas proporções”. A descoberta de Hípaso representou um sério problema para a matemática pitagórica, destruindo a suposição subjacente de que os números e os objetos geométricos eram um e inseparáveis.

O conjunto dos números irracionais é geralmente denotado por uma letra maiúscula Eu (\ displaystyle \ mathbb (I)) em estilo ousado sem sombreamento. Por isso: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \barra invertida \mathbb (Q) ), ou seja, o conjunto dos números irracionais é a diferença entre os conjuntos dos números reais e racionais.

A existência de números irracionais, mais precisamente, segmentos incomensuráveis ​​com um segmento de comprimento unitário, já era conhecida pelos matemáticos antigos: eles conheciam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado de um quadrado, o que equivale à irracionalidade de o número.

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  Irracionais são:

  Exemplos de prova de irracionalidade

  Raiz de 2

  Vamos supor o contrário: 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2))) racional, isto é, representado como uma fração m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), Onde m (\estilo de exibição m)é um número inteiro e n (\estilo de exibição n)- número natural .

  Vamos elevar ao quadrado a suposta igualdade:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  História

  Antiguidade

  O conceito de números irracionais foi adotado implicitamente por matemáticos indianos no século 7 aC, quando Manava (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que as raízes quadradas de alguns números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressas explicitamente [ ] .

  A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hípaso de Metaponto (c. 500 aC), um pitagórico. Na época dos pitagóricos, acreditava-se que existia uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que incluía um número inteiro de vezes em qualquer segmento [ ] .

  Não há dados exatos sobre qual número foi provado irracional por Hippasus. Segundo a lenda, ele descobriu isso estudando os comprimentos dos lados do pentagrama. Portanto, é razoável supor que esta era a proporção áurea [ ] .

  Os matemáticos gregos chamaram essa proporção de quantidades incomensuráveis logos(indizível), mas segundo as lendas eles não prestaram o devido respeito a Hípaso. Há uma lenda de que Hípaso fez a descoberta durante uma viagem marítima e foi jogado ao mar por outros pitagóricos “por criar um elemento do universo que nega a doutrina de que todas as entidades do universo podem ser reduzidas a números inteiros e suas proporções”. A descoberta de Hípaso representou um sério problema para a matemática pitagórica, destruindo a suposição subjacente de que os números e os objetos geométricos eram um e inseparáveis.

  E suas raízes derivaram da palavra latina “ratio”, que significa “razão”. Baseado na tradução literal:

  • Um número racional é um “número razoável”.
  • Um número irracional é, portanto, um “número irracional”.

  Conceito geral de número racional

  Um número racional é um número que pode ser escrito como:

  1. Uma fração positiva ordinária.
  2. Fração comum negativa.
  3. Como um número zero (0).

  

  Em outras palavras, as seguintes definições se aplicam a um número racional:

  • Qualquer número natural é inerentemente racional, pois qualquer número natural pode ser representado como uma fração ordinária.
  • Qualquer número inteiro, incluindo o número zero, uma vez que qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração ordinária positiva, como uma fração ordinária negativa ou como o número zero.
  • Qualquer fração ordinária, não importa se é positiva ou negativa, também se aproxima diretamente da definição de um número racional.
  • A definição também pode incluir um número misto, uma fração decimal finita ou uma fração periódica infinita.

  Exemplos de números racionais

  Vejamos exemplos de números racionais:

  • Números naturais - “4”, “202”, “200”.
  • Inteiros - “-36”, “0”, “42”.
  • Frações ordinárias.

  Dos exemplos acima é bastante óbvio que números racionais podem ser positivos e negativos. Naturalmente, o número 0 (zero), que por sua vez também é um número racional, ao mesmo tempo não pertence à categoria de número positivo ou negativo.

  Por isso, gostaria de lembrar o programa de educação geral usando a seguinte definição: “Números racionais” são aqueles números que podem ser escritos como uma fração x/y, onde x (numerador) é um número inteiro e y (denominador) é um número natural.

  Conceito geral e definição de número irracional

  Além dos “números racionais”, também conhecemos os chamados “números irracionais”. Vamos tentar definir brevemente esses números.

  Até os matemáticos antigos, querendo calcular a diagonal de um quadrado ao longo de seus lados, aprenderam sobre a existência de um número irracional.
  Com base na definição de números racionais, você pode construir uma cadeia lógica e definir um número irracional.
  Então, em essência, os números reais que não são racionais são simplesmente números irracionais.
  As frações decimais, expressando números irracionais, não são periódicas e infinitas.
  
  

  Exemplos de um número irracional

  Para maior clareza, vamos considerar um pequeno exemplo de número irracional. Como já entendemos, infinitas frações decimais não periódicas são chamadas de irracionais, por exemplo:

  • O número “-5.020020002... (é claramente visível que os dois estão separados por uma sequência de um, dois, três, etc. zeros)
  • O número “7.040044000444... (aqui fica claro que o número de quatros e o número de zeros aumentam em um a cada vez em uma cadeia).
  • Todo mundo conhece o número Pi (3,1415...). Sim, sim - também é irracional.

  Em geral, todos os números reais são racionais e irracionais. Em termos simples, um número irracional não pode ser representado como uma fração comum x/y.

  Conclusão geral e breve comparação entre números

  Vimos cada número separadamente, mas a diferença entre um número racional e um número irracional permanece:

  1. Um número irracional ocorre ao extrair a raiz quadrada, ao dividir um círculo pelo seu diâmetro, etc.
  2. Um número racional representa uma fração comum.

  Vamos concluir nosso artigo com algumas definições:

  • Uma operação aritmética realizada em um número racional, diferente da divisão por 0 (zero), acabará por levar a um número racional.
  • O resultado final, ao realizar uma operação aritmética sobre um número irracional, pode levar a um valor racional e a um valor irracional.
  • Se ambos os números participarem de uma operação aritmética (exceto divisão ou multiplicação por zero), o resultado será um número irracional.

  Exemplo:
  \(4\) é um número racional, porque pode ser escrito como \(\frac(4)(1)\) ;
  \(0.0157304\) também é racional, porque pode ser escrito na forma \(\frac(157304)(10000000)\) ;
  \(0.333(3)...\) - e este é um número racional: pode ser representado como \(\frac(1)(3)\) ;
  \(\sqrt(\frac(3)(12))\) é racional, pois pode ser representado como \(\frac(1)(2)\) . Na verdade, podemos realizar uma cadeia de transformações \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

  
  

  Número irracionalé um número que não pode ser escrito como uma fração com numerador e denominador inteiros.

  É impossível porque é sem fim frações e até mesmo não periódicas. Portanto, não existem números inteiros que, quando divididos entre si, dariam um número irracional.

  Exemplo:
  \(\sqrt(2)≈1.414213562…\) é um número irracional;
  \(π≈3.1415926… \) é um número irracional;
  \(\log_(2)(5)≈2.321928…\) é um número irracional.

  
  

  Exemplo (Atribuição do OGE). O significado de qual das expressões é um número racional?
  1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
  2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

  Solução:

  1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – a raiz de \(14\) não pode ser obtida, o que significa que também é impossível representar um número como uma fração com inteiros, portanto o número é irracional.

  2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – não há mais raízes, o número pode ser facilmente representado como uma fração, por exemplo \(\frac(-5)(1)\), o que significa que é racional.

  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – a raiz não pode ser extraída - o número é irracional.

  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) também é irracional.

  Definição de um número irracional

  Números irracionais são aqueles números que em notação decimal representam infinitas frações decimais não periódicas.

  
  
  

  Assim, por exemplo, os números obtidos pela raiz quadrada dos números naturais são irracionais e não são quadrados dos números naturais. Mas nem todos os números irracionais são obtidos extraindo raízes quadradas, porque o número pi obtido por divisão também é irracional, e é improvável que você o consiga tentando extrair a raiz quadrada de um número natural.

  Propriedades de números irracionais

  Ao contrário dos números escritos como decimais infinitos, apenas os números irracionais são escritos como decimais infinitos não periódicos.
  A soma de dois números irracionais não negativos pode acabar sendo um número racional.
  Os números irracionais definem cortes de Dedekind no conjunto dos números racionais, na classe inferior dos quais não existe o maior número e na classe superior não existe o menor.
  Qualquer número transcendental real é irracional.
  Todos os números irracionais são algébricos ou transcendentais.
  O conjunto de números irracionais em uma linha está densamente localizado e entre quaisquer dois de seus números certamente haverá um número irracional.
  O conjunto dos números irracionais é infinito, incontável e é um conjunto da 2ª categoria.
  Ao realizar qualquer operação aritmética com números racionais, exceto a divisão por 0, o resultado será um número racional.
  Ao adicionar um número racional a um número irracional, o resultado é sempre um número irracional.
  Ao somar números irracionais, podemos obter um número racional.
  O conjunto dos números irracionais não é par.
  

  Os números não são irracionais

  Às vezes é muito difícil responder à questão de saber se um número é irracional, especialmente nos casos em que o número está na forma de uma fração decimal ou na forma de uma expressão numérica, raiz ou logaritmo.

  Portanto, não será supérfluo saber quais números não são irracionais. Se seguirmos a definição de números irracionais, já sabemos que os números racionais não podem ser irracionais.

  Os números irracionais não são:

  Primeiro, todos os números naturais;
  Em segundo lugar, inteiros;
  Terceiro, frações ordinárias;
  Em quarto lugar, vários números mistos;
  Em quinto lugar, estas são frações decimais periódicas infinitas.
  

  Além de tudo isso, um número irracional não pode ser qualquer combinação de números racionais que seja realizada pelos sinais de operações aritméticas, como +, -, , :, pois neste caso o resultado de dois números racionais também será um número racional.

  Agora vamos ver quais números são irracionais:

  
  
  

  Você sabe da existência de um fã-clube onde os fãs desse misterioso fenômeno matemático buscam cada vez mais informações sobre o Pi, tentando desvendar seu mistério? Qualquer pessoa que saiba de cor um certo número de números Pi após a vírgula pode tornar-se membro deste clube;

  Você sabia que na Alemanha, sob a proteção da UNESCO, existe o palácio Castadel Monte, graças às proporções das quais é possível calcular o Pi. O rei Frederico II dedicou todo o palácio a este número.

  Acontece que tentaram usar o número Pi na construção da Torre de Babel. Mas, infelizmente, isso levou ao colapso do projeto, pois naquela época o cálculo exato do valor do Pi não era suficientemente estudado.

  A cantora Kate Bush em seu novo disco gravou uma música chamada “Pi”, na qual foram ouvidos cento e vinte e quatro números da famosa série de números 3, 141….