Ludwig Boltzmann: Personliga prestationer. Boltzmann konstant

Planen:

Introduktion

• 1 Samband mellan temperatur och energi
• 2 Definition av entropi
Anteckningar

Introduktion

Boltzmanns konstant (k eller k B) är en fysisk konstant som definierar förhållandet mellan temperatur och energi. Uppkallad efter den österrikiske fysikern Ludwig Boltzmann, som gjorde stora bidrag till statistisk fysik, där denna konstant spelar en nyckelroll. Dess experimentella värde i SI-systemet är

J/K.

Siffrorna inom parentes anger standardfelet i de sista siffrorna i kvantitetsvärdet. Boltzmanns konstant kan erhållas från definitionen av absolut temperatur och andra fysikaliska konstanter. Att beräkna Boltzmann-konstanten med hjälp av de första principerna är dock för komplicerat och omöjligt med det nuvarande kunskapsläget. I det naturliga systemet av Planck-enheter ges den naturliga temperaturenheten så att Boltzmanns konstant är lika med enhet.

Den universella gaskonstanten definieras som produkten av Boltzmanns konstant och Avogadros tal, R = kN A. Gaskonstanten är bekvämare när antalet partiklar anges i mol.

1. Samband mellan temperatur och energi

I en homogen idealgas vid absolut temperatur T, är energin per varje translationell frihetsgrad lika, som följer av Maxwell-fördelningen kT/ 2 . Vid rumstemperatur (300 K) är denna energi J, eller 0,013 eV. I en monoatomisk idealgas har varje atom tre frihetsgrader motsvarande tre rumsliga axlar, vilket innebär att varje atom har en energi på .

Genom att känna till den termiska energin kan vi beräkna atomernas rotmedelkvadrathastighet, som är omvänt proportionell mot kvadratroten av atommassan. Medelkvadrathastigheten vid rumstemperatur varierar från 1370 m/s för helium till 240 m/s för xenon. När det gäller en molekylär gas blir situationen mer komplicerad, till exempel har en diatomisk gas redan cirka fem frihetsgrader.

2. Definition av entropi

Entropin i ett termodynamiskt system definieras som den naturliga logaritmen för antalet olika mikrotillstånd Z, motsvarande ett givet makroskopiskt tillstånd (till exempel ett tillstånd med en given total energi).

S = k ln Z.

Proportionalitetsfaktor k och är Boltzmanns konstant. Detta är ett uttryck som definierar förhållandet mellan mikroskopiska ( Z) och makroskopiska tillstånd ( S), uttrycker den centrala idén om statistisk mekanik.

Anteckningar

1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt - physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Fundamental Physical Constants - Komplett lista

ladda ner
Detta sammandrag är baserat på en artikel från ryska Wikipedia. Synkronisering slutförd 07/10/11 01:04:29
Liknande abstrakt:

Boltzmanns konstant, som är en koefficient lika med k = 1,38 · 10 - 23 J K, är en del av ett betydande antal formler inom fysiken. Den fick sitt namn från den österrikiska fysikern, en av grundarna av molekylär kinetisk teori. Låt oss formulera definitionen av Boltzmanns konstant:

Definition 1

Boltzmann konstantär en fysisk konstant som används för att bestämma sambandet mellan energi och temperatur.

Den ska inte förväxlas med Stefan-Boltzmann-konstanten, som är förknippad med strålning av energi från en helt fast kropp.

Det finns olika metoder för att beräkna denna koefficient. I den här artikeln kommer vi att titta på två av dem.

Hitta Boltzmanns konstant genom idealgasekvationen

Denna konstant kan hittas med hjälp av ekvationen som beskriver tillståndet för en idealgas. Det kan bestämmas experimentellt att uppvärmning av valfri gas från T 0 = 273 K till T 1 = 373 K leder till en förändring av dess tryck från p 0 = 1,013 10 5 Pa till p 0 = 1,38 10 5 Pa. Detta är ett ganska enkelt experiment som kan göras även bara med luft. För att mäta temperatur måste du använda en termometer och tryck - en manometer. Det är viktigt att komma ihåg att antalet molekyler i en mol av vilken gas som helst är ungefär lika med 6 · 10 23, och volymen vid ett tryck på 1 atm är lika med V = 22,4 liter. Med hänsyn till alla dessa parametrar kan vi fortsätta med att beräkna Boltzmann-konstanten k:

För att göra detta skriver vi ekvationen två gånger och ersätter tillståndsparametrarna i den.

Genom att känna till resultatet kan vi hitta värdet på parameter k:

Hitta Boltzmanns konstant genom den Brownska rörelseformeln

För den andra beräkningsmetoden kommer vi också att behöva genomföra ett experiment. För att göra detta måste du ta en liten spegel och hänga den i luften med en elastisk tråd. Låt oss anta att spegel-luftsystemet är i ett stabilt tillstånd (statisk jämvikt). Luftmolekylerna träffar spegeln, som i huvudsak beter sig som en Brownsk partikel. Men med hänsyn till dess upphängda tillstånd kan vi observera rotationsvibrationer runt en viss axel som sammanfaller med upphängningen (vertikalt riktad gänga). Låt oss nu rikta en ljusstråle mot spegelns yta. Även med mindre rörelser och rotationer av spegeln kommer strålen som reflekteras i den märkbart att förskjutas. Detta ger oss möjlighet att mäta ett föremåls rotationsvibrationer.

Genom att beteckna torsionsmodulen som L, spegelns tröghetsmoment i förhållande till rotationsaxeln som J, och spegelns rotationsvinkel som φ, kan vi skriva svängningsekvationen av följande form:

Minus i ekvationen är förknippat med riktningen för momentet av elastiska krafter, som tenderar att återföra spegeln till ett jämviktsläge. Låt oss nu multiplicera båda sidor med φ, integrera resultatet och få:

Följande ekvation är lagen för bevarande av energi, som kommer att uppfyllas för dessa vibrationer (det vill säga potentiell energi kommer att omvandlas till kinetisk energi och vice versa). Vi kan betrakta dessa vibrationer som harmoniska, därför:

När vi härledde en av formlerna tidigare använde vi lagen om enhetlig fördelning av energi över frihetsgrader. Så vi kan skriva det så här:

Som vi redan har sagt kan rotationsvinkeln mätas. Så, om temperaturen är ungefär 290 K, och torsionsmodulen L ≈ 10 - 15 Nm; φ ≈ 4 · 10 - 6, då kan vi beräkna värdet på koefficienten vi behöver enligt följande:

Därför kan vi, genom att känna till grunderna för Brownsk rörelse, hitta Boltzmanns konstant genom att mäta makroparametrar.

Boltzmann konstant värde

Betydelsen av koefficienten som studeras är att den kan användas för att relatera parametrarna för mikrovärlden med de parametrar som beskriver makrovärlden, till exempel termodynamisk temperatur med energin från translationell rörelse hos molekyler:

Denna koefficient ingår i ekvationerna för en molekyls medelenergi, tillståndet för en ideal gas, den kinetiska teorin för gaser, Boltzmann-Maxwell-fördelningen och många andra. Boltzmanns konstant behövs också för att bestämma entropi. Det spelar en viktig roll i studiet av halvledare, till exempel i ekvationen som beskriver beroendet av elektrisk ledningsförmåga på temperatur.

Exempel 1

Skick: beräkna medelenergin för en gasmolekyl som består av N-atomära molekyler vid temperatur T, med vetskap om att alla frihetsgrader är exciterade i molekylerna - roterande, translationell, vibrationell. Alla molekyler anses vara volymetriska.

Lösning

Energin är jämnt fördelad över frihetsgraderna för var och en av dess grader, vilket innebär att dessa grader kommer att ha samma kinetiska energi. Det kommer att vara lika med ε i = 1 2 k T . För att sedan beräkna medelenergin kan vi använda formeln:

ε = i 2 k T , där i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l representerar summan av de translationella rotationsfrihetsgraderna. Bokstaven k betecknar Boltzmanns konstant.

Låt oss gå vidare till att bestämma antalet frihetsgrader för molekylen:

m p o s t = 3, m υ r = 3, vilket betyder m k o l = 3 N - 6.

i = 6 + 6 N-12 = 6 N-6; e = 6 N - 6 2 kT = 3 N - 3 kT.

Svar: under dessa förhållanden kommer medelenergin för molekylen att vara lika med ε = 3 N - 3 k T.

Exempel 2

Skick:är en blandning av två ideala gaser vars densitet under normala förhållanden är lika med p. Bestäm vad koncentrationen av en gas i blandningen kommer att vara, förutsatt att vi känner till molmassorna för båda gaserna μ 1, μ 2.

Lösning

Låt oss först beräkna blandningens totala massa.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.

Parametern m 01 betecknar massan av en molekyl av en gas, m 02 - massan av en molekyl av en annan, n 2 - koncentrationen av molekyler i en gas, n 2 - koncentrationen av den andra. Blandningens densitet är ρ.

Från denna ekvation uttrycker vi nu koncentrationen av den första gasen:

ni = ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.

p = n k T → n = p k T .

Låt oss ersätta det resulterande lika värdet:

ni (m01 - m02) = ρ-pkTm02 → n1 = ρ-pkTm02 (m01-m02).

Eftersom vi känner till de molära massorna av gaser, kan vi hitta massorna av molekylerna i den första och andra gasen:

m 01 = μ 1 N A, m 02 = μ 2 N A.

Vi vet också att blandningen av gaser är under normala förhållanden, d.v.s. trycket är 1 a t m, och temperaturen är 290 K. Det betyder att vi kan betrakta problemet löst.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Enligt Stefan-Boltzmann-lagen, tätheten av integral hemisfärisk strålning E 0 beror endast på temperaturen och varierar proportionellt mot fjärde potensen av absolut temperatur T:

Stefan–Boltzmann-konstanten σ 0 är en fysikalisk konstant som ingår i lagen som bestämmer den volymetriska densiteten för den termiska jämviktsstrålningen från en absolut svart kropp:

Historiskt sett formulerades Stefan-Boltzmann-lagen före Plancks strålningslag, varav den följer som en konsekvens. Plancks lag fastställer beroendet av strålningens spektrala flödestäthet E 0 på våglängd λ och temperatur T:

där λ – våglängd, m; Med=2,998 10 8 m/s – ljusets hastighet i vakuum; T– kroppstemperatur, K;
h= 6.625 ×10 -34 J×s – Plancks konstant.

Fysisk konstant k, lika med förhållandet mellan den universella gaskonstanten R=8314J/(kg×K) till Avogadros nummer N.A.=6,022×10261/(kg×mol):

Antal olika systemkonfigurationer från N partiklar för en given uppsättning tal n i(antal partiklar i i-tillståndet som energin e i motsvarar) är proportionellt mot värdet:

Magnitud W det finns ett antal sätt att distribuera N partiklar efter energinivåer. Om relation (6) är sann, anses det ursprungliga systemet lyda Boltzmanns statistik. Uppsättning siffror n i, där numret W maximum, förekommer oftast och motsvarar den mest sannolika fördelningen.

Fysisk kinetik– mikroskopisk teori om processer i statistiskt icke-jämviktssystem.

Beskrivningen av ett stort antal partiklar kan framgångsrikt utföras med probabilistiska metoder. För en monoatomisk gas bestäms tillståndet för en uppsättning molekyler av deras koordinater och värdena för hastighetsprojektioner på motsvarande koordinataxlar. Matematiskt beskrivs detta av fördelningsfunktionen, som kännetecknar sannolikheten för att en partikel är i ett givet tillstånd:

är det förväntade antalet molekyler i en volym d d vars koordinater ligger i intervallet från till +d, och vars hastigheter ligger i intervallet från till +d.

Om den tidsgenomsnittliga potentiella energin för interaktion mellan molekyler kan försummas i jämförelse med deras kinetiska energi, så kallas gasen ideal. En idealgas kallas en Boltzmann-gas om förhållandet mellan väglängden för molekylerna i denna gas och den karakteristiska storleken på flödet L naturligtvis, d.v.s.

därför att banlängden är omvänt proportionell nd 2(n är den numeriska densiteten 1/m 3, d är molekylens diameter, m).

Storlek

kallad H-Boltzmann-funktion för en volymenhet, som är associerad med sannolikheten att detektera ett system av gasmolekyler i ett givet tillstånd. Varje tillstånd motsvarar ett visst antal fyllande sexdimensionella rymdhastighetsceller i vilka fasutrymmet för de aktuella molekylerna kan delas in. Låt oss beteckna W sannolikheten att det kommer att finnas N 1 molekyler i den första cellen i det aktuella utrymmet, N 2 i den andra, etc.

Upp till en konstant som bestämmer ursprunget för sannolikheten är följande relation giltig:

,

Var – H-funktion för ett område i rymden A upptagen av gas. Av (9) framgår att W Och H sammankopplade, dvs. en förändring av sannolikheten för ett tillstånd leder till en motsvarande utveckling av H-funktionen.

Boltzmanns princip etablerar sambandet mellan entropi S fysiskt system och termodynamisk sannolikhet W hennes säger:

(publicerad enligt publikationen: Kogan M.N. Dynamics of a rarefied gas. - M.: Nauka, 1967.)

Allmän bild av KUBE:

var är masskraften på grund av närvaron av olika fält (gravitationsfält, elektriska, magnetiska) som verkar på molekylen; J– kollisionsintegral. Det är denna term i Boltzmann-ekvationen som tar hänsyn till kollisioner av molekyler med varandra och motsvarande förändringar i hastigheterna hos interagerande partiklar. Kollisionsintegralen är en femdimensionell integral och har följande struktur:

Ekvation (12) med integral (13) erhölls för kollisioner av molekyler där inga tangentiella krafter uppstår, d.v.s. kolliderande partiklar anses vara helt jämna.

Under interaktionen förändras inte molekylernas inre energi, d.v.s. dessa molekyler antas vara perfekt elastiska. Vi betraktar två grupper av molekyler som har hastigheter och innan de kolliderar med varandra (kollision) (Fig. 1), respektive efter kollisionen hastigheter och . Skillnaden i hastighet kallas relativ hastighet, d.v.s. . Det är tydligt att för en smidig elastisk kollision. Distributionsfunktioner f 1 ", f", f 1 , f beskriva molekylerna för motsvarande grupper efter och före kollisioner, d.v.s. ; ; ; .

Ris. 1. Kollision av två molekyler.

(13) inkluderar två parametrar som kännetecknar platsen för kolliderande molekyler i förhållande till varandra: b och e; b– siktavstånd, d.v.s. det minsta avståndet som molekyler skulle närma sig i frånvaro av interaktion (Fig. 2); ε kallas kollisionsvinkelparametern (fig. 3). Integration över b från 0 till ¥ och från 0 till 2p (två externa integraler i (12)) täcker hela kraftplanet vinkelrätt mot vektorn

Ris. 2. Molekylernas bana.

Ris. 3. Övervägande av interaktionen mellan molekyler i ett cylindriskt koordinatsystem: z, b, ε

Boltzmanns kinetiska ekvation härleds under följande antaganden och antaganden.

1. Man tror att främst kollisioner av två molekyler förekommer, d.v.s. rollen av kollisioner av tre eller flera molekyler samtidigt är obetydlig. Detta antagande tillåter oss att använda en enpartikelfördelningsfunktion för analys, som ovan helt enkelt kallas för distributionsfunktionen. Att ta hänsyn till kollisionen mellan tre molekyler leder till behovet av att använda en tvåpartikelfördelningsfunktion i studien. Följaktligen blir analysen betydligt mer komplicerad.

2. Antagande om molekylärt kaos. Det uttrycks i det faktum att sannolikheterna för att detektera partikel 1 vid faspunkten och partikel 2 vid faspunkten är oberoende av varandra.

3. Kollisioner av molekyler med valfritt anslagsavstånd är lika sannolika, d.v.s. fördelningsfunktionen ändras inte vid interaktionsdiametern. Det bör noteras att det analyserade elementet måste vara litet så att f inom detta element förändras inte, men samtidigt så att den relativa fluktuationen ~ inte är stor. Interaktionspotentialerna som används vid beräkning av kollisionsintegralen är sfäriskt symmetriska, dvs. .

Maxwell-Boltzmann distribution

Gasens jämviktstillstånd beskrivs av den absoluta Maxwellska fördelningen, som är en exakt lösning av Boltzmanns kinetiska ekvation:

där m är molekylens massa, kg.

Den allmänna lokala Maxwellian-distributionen, annars kallad Maxwell-Boltzmann-distributionen:

i fallet när gasen rör sig som en helhet med hastigheten och variablerna n, T beror på koordinaten
och tid t.

I jordens gravitationsfält visar den exakta lösningen av Boltzmann-ekvationen:

Var n 0 = densitet vid jordens yta, 1/m3; g– gravitationsacceleration, m/s 2 ; h– höjd, m. Formel (16) är en exakt lösning av Boltzmanns kinetiska ekvation antingen i obegränsat utrymme eller i närvaro av gränser som inte bryter mot denna fördelning, samtidigt som temperaturen också måste förbli konstant.

Den här sidan designades av Puzina Yu.Yu. med stöd av den ryska stiftelsen för grundforskning - projekt nr 08-08-00638.

Född 1844 i Wien. Boltzmann är en pionjär och pionjär inom vetenskap. Hans verk och forskning var ofta obegripliga och förkastade av samhället. Men med den fortsatta utvecklingen av fysiken erkändes hans verk och publicerades därefter.

Forskarens vetenskapliga intressen täckte grundläggande områden som fysik och matematik. Sedan 1867 arbetade han som lärare vid en rad högre läroverk. I sin forskning fastställde han att detta beror på molekylernas kaotiska påverkan på väggarna i kärlet där de befinner sig, medan temperaturen direkt beror på partiklarnas (molekylernas) rörelsehastighet, med andra ord på deras Därför, ju högre hastighet dessa partiklar rör sig, desto högre temperatur. Boltzmanns konstant är uppkallad efter den berömda österrikiska vetenskapsmannen. Det var han som gjorde ett ovärderligt bidrag till utvecklingen av statisk fysik.

Fysisk betydelse av denna konstanta kvantitet

Boltzmanns konstant definierar förhållandet mellan temperatur och energi. Inom statisk mekanik spelar det en stor nyckelroll. Boltzmanns konstant är lika med k=1,3806505(24)*10 -23 J/K. Siffrorna inom parentes indikerar det tillåtna felet för värdet i förhållande till de sista siffrorna. Det är värt att notera att Boltzmanns konstant också kan härledas från andra fysiska konstanter. Dessa beräkningar är dock ganska komplicerade och svåra att utföra. De kräver djup kunskap inte bara inom fysikområdet, utan också

(k eller k B)är en fysisk konstant som definierar förhållandet mellan temperatur och energi. Uppkallad efter den österrikiske fysikern Ludwig Boltzmann, som gjorde stora bidrag till statistisk fysik, där detta blev en nyckelposition. Dess experimentella värde i SI-systemet är

Siffrorna inom parentes anger standardfelet i de sista siffrorna i kvantitetsvärdet. I princip kan Boltzmanns konstant erhållas från definitionen av absolut temperatur och andra fysikaliska konstanter (för att göra detta måste du kunna beräkna temperaturen på vattnets trippelpunkt utifrån de första principerna). Men att bestämma Boltzmann-konstanten med hjälp av de första principerna är för komplext och orealistiskt med den nuvarande kunskapsutvecklingen inom detta område.
Boltzmanns konstant är en redundant fysisk konstant om man mäter temperatur i energienheter, vilket väldigt ofta görs inom fysiken. Det är i själva verket ett samband mellan en väldefinierad storhet - energi och grad, vars betydelse har utvecklats historiskt.
Definition av entropi
Entropin för ett termodynamiskt system definieras som den naturliga logaritmen av antalet olika mikrotillstånd Z som motsvarar ett givet makroskopiskt tillstånd (till exempel tillstånd med en given total energi).

Proportionalitetsfaktor k och är Boltzmanns konstant. Detta uttryck, som definierar förhållandet mellan mikroskopiska (Z) och makroskopiska (S) egenskaper, uttrycker den huvudsakliga (centrala) idén om statistisk mekanik.