Ludwig Boltzmann: Kişisel başarılar. Boltzmann sabiti

Plan:

giriiş

• 1 Sıcaklık ve enerji arasındaki ilişki
• 2 entropinin tanımı
Notlar

giriiş

Boltzmann sabiti (k veya k B) sıcaklık ve enerji arasındaki ilişkiyi tanımlayan fiziksel bir sabittir. Adını, bu sabitin önemli bir rol oynadığı istatistiksel fiziğe büyük katkılarda bulunan Avusturyalı fizikçi Ludwig Boltzmann'dan almıştır. SI sistemindeki deneysel değeri

J/K.

Parantez içindeki sayılar miktar değerinin son basamaklarındaki standart hatayı gösterir. Boltzmann sabiti mutlak sıcaklık ve diğer fiziksel sabitlerin tanımından elde edilebilir. Bununla birlikte, Boltzmann sabitini ilk prensipleri kullanarak hesaplamak çok karmaşıktır ve mevcut bilgi düzeyiyle mümkün değildir. Planck birimlerinin doğal sisteminde, sıcaklığın doğal birimi Boltzmann sabiti birliğe eşit olacak şekilde verilmiştir.

Evrensel gaz sabiti Boltzmann sabiti ile Avogadro sayısının çarpımı olarak tanımlanır, R = kN A. Parçacık sayısı mol cinsinden verildiğinde gaz sabiti daha uygundur.

1. Sıcaklık ve Enerji Arasındaki İlişki

Mutlak sıcaklıkta homojen bir ideal gazda T Maxwell dağılımından aşağıdaki gibi her öteleme serbestlik derecesi başına enerji eşittir kT/ 2 . Oda sıcaklığında (300 K) bu enerji J veya 0,013 eV'dir. Tek atomlu bir ideal gazda, her atomun üç uzaysal eksene karşılık gelen üç serbestlik derecesi vardır; bu, her atomun enerjisinin olduğu anlamına gelir.

Termal enerjiyi bildiğimizde, atom kütlesinin kareköküyle ters orantılı olan atomların ortalama kare hızının kökünü hesaplayabiliriz. Oda sıcaklığında ortalama kare hız, helyum için 1370 m/s'den ksenon için 240 m/s'ye kadar değişir. Moleküler bir gaz söz konusu olduğunda durum daha karmaşık hale gelir; örneğin iki atomlu bir gazın halihazırda yaklaşık beş serbestlik derecesi vardır.

2. Entropinin tanımı

Bir termodinamik sistemin entropisi, farklı mikro durumların sayısının doğal logaritması olarak tanımlanır. Z belirli bir makroskopik duruma karşılık gelir (örneğin, belirli bir toplam enerjiye sahip bir durum).

S = k içinde Z.

Orantılılık faktörü k ve Boltzmann sabitidir. Bu, mikroskobik () arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir ifadedir. Z) ve makroskopik durumlar ( S), istatistiksel mekaniğin temel fikrini ifade eder.

Notlar

1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt - fizik.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Temel Fiziksel Sabitler - Tam Liste

indirmek
Bu özet Rusça Vikipedi'deki bir makaleye dayanmaktadır. Senkronizasyon tamamlandı 07/10/11 01:04:29
Benzer özetler:

k = 1,38 · 10 - 23 J K'ye eşit bir katsayı olan Boltzmann sabiti, fizikteki önemli sayıda formülün bir parçasıdır. Adını moleküler kinetik teorisinin kurucularından biri olan Avusturyalı fizikçiden almıştır. Boltzmann sabitinin tanımını formüle edelim:

Tanım 1

Boltzmann sabiti enerji ve sıcaklık arasındaki ilişkiyi belirlemek için kullanılan fiziksel bir sabittir.

Tamamen katı bir cisimden enerjinin yayılmasıyla ilişkili olan Stefan-Boltzmann sabiti ile karıştırılmamalıdır.

Bu katsayıyı hesaplamak için çeşitli yöntemler vardır. Bu yazıda bunlardan ikisine bakacağız.

İdeal gaz denklemi yoluyla Boltzmann sabitini bulma

Bu sabit, ideal bir gazın durumunu tanımlayan denklem kullanılarak bulunabilir. Herhangi bir gazın T 0 = 273 K'dan T 1 = 373 K'ya ısıtılmasının, basıncında p 0 = 1.013 10 5 Pa'dan p 0 = 1.38 10 5 Pa'ya bir değişikliğe yol açtığı deneysel olarak belirlenebilir. Bu sadece havayla bile yapılabilen oldukça basit bir deneydir. Sıcaklığı ölçmek için bir termometre ve basınç - bir manometre kullanmanız gerekir. Herhangi bir gazın bir molündeki molekül sayısının yaklaşık olarak 6 · 10 23'e eşit olduğunu ve 1 atm basınçtaki hacminin V = 22,4 litreye eşit olduğunu hatırlamak önemlidir. Tüm bu parametreleri hesaba katarak Boltzmann sabiti k'yi hesaplamaya devam edebiliriz:

Bunu yapmak için, durum parametrelerini değiştirerek denklemi iki kez yazıyoruz.

Sonucu bilerek k parametresinin değerini bulabiliriz:

Boltzmann sabitini Brownian hareket formülüyle bulma

İkinci hesaplama yöntemi için de bir deney yapmamız gerekecek. Bunu yapmak için küçük bir ayna alıp elastik bir iplik kullanarak havaya asmanız gerekir. Ayna hava sisteminin kararlı (statik denge) durumda olduğunu varsayalım. Hava molekülleri esas olarak Brown parçacığı gibi davranan aynaya çarpıyor. Bununla birlikte, askıya alınmış durumu dikkate alındığında, süspansiyona (dikey olarak yönlendirilmiş diş) denk gelen belirli bir eksen etrafında dönme titreşimleri gözlemleyebiliriz. Şimdi aynanın yüzeyine bir ışık huzmesi yönlendirelim. Aynanın küçük hareketleri ve dönüşleri ile bile, ona yansıyan ışın gözle görülür şekilde değişecektir. Bu bize bir nesnenin dönme titreşimlerini ölçme fırsatı verir.

Burulma modülünü L olarak, aynanın dönme eksenine göre eylemsizlik momentini J olarak ve aynanın dönme açısını φ olarak göstererek, salınım denklemini aşağıdaki biçimde yazabiliriz:

Denklemdeki eksi, aynayı denge konumuna döndürme eğiliminde olan elastik kuvvetlerin momentinin yönü ile ilişkilidir. Şimdi her iki tarafı da φ ile çarpalım, sonucu entegre edelim ve şunu elde edelim:

Aşağıdaki denklem bu titreşimler için sağlanacak olan enerjinin korunumu yasasıdır (yani potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşecek veya tam tersi). Bu titreşimlerin harmonik olduğunu düşünebiliriz, dolayısıyla:

Daha önce formüllerden birini türetirken, enerjinin serbestlik dereceleri üzerinden düzgün dağılımı yasasını kullandık. Yani bunu şu şekilde yazabiliriz:

Daha önce de söylediğimiz gibi dönme açısı ölçülebilir. Yani, sıcaklık yaklaşık 290 K ise ve burulma modülü L ≈ 10 - 15 Nm ise; φ ≈ 4 · 10 - 6 ise ihtiyacımız olan katsayı değerini şu şekilde hesaplayabiliriz:

Dolayısıyla Brown hareketinin temellerini bilerek, makroparametreleri ölçerek Boltzmann sabitini bulabiliriz.

Boltzmann sabit değeri

İncelenmekte olan katsayının önemi, mikro dünyanın parametrelerini makro dünyayı tanımlayan parametrelerle, örneğin termodinamik sıcaklık ile moleküllerin öteleme hareketinin enerjisiyle ilişkilendirmek için kullanılabilmesidir:

Bu katsayı, bir molekülün ortalama enerjisi, ideal bir gazın durumu, gazların kinetik teorisi, Boltzmann-Maxwell dağılımı ve diğer birçok denklemde yer alır. Entropiyi belirlemek için Boltzmann sabitine de ihtiyaç vardır. Yarı iletkenlerin incelenmesinde, örneğin elektriksel iletkenliğin sıcaklığa bağımlılığını açıklayan denklemde önemli bir rol oynar.

örnek 1

Durum: Moleküllerde tüm serbestlik derecelerinin (dönme, öteleme, titreşim) uyarıldığını bilerek, T sıcaklığında N atomlu moleküllerden oluşan bir gaz molekülünün ortalama enerjisini hesaplayın. Tüm moleküllerin hacimsel olduğu kabul edilir.

Çözüm

Enerji, derecelerinin her biri için serbestlik derecelerine eşit olarak dağıtılır, bu da bu derecelerin aynı kinetik enerjiye sahip olacağı anlamına gelir. ε i = 1 2 k T'ye eşit olacaktır. Daha sonra ortalama enerjiyi hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

ε = i 2 k T , burada i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l öteleme dönme serbestlik derecelerinin toplamını temsil eder. K harfi Boltzmann sabitini ifade eder.

Molekülün serbestlik derecesi sayısını belirlemeye geçelim:

m p o s t = 3, m υ r = 3, bu da m k o l = 3 N - 6 anlamına gelir.

ben = 6 + 6 N-12 = 6 N-6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Cevap: bu koşullar altında molekülün ortalama enerjisi ε = 3 N - 3 k T'ye eşit olacaktır.

Örnek 2

Durum: normal koşullar altında yoğunluğu p'ye eşit olan iki ideal gazın karışımıdır. Her iki gazın μ 1, μ 2 molar kütlelerini bilmemiz koşuluyla, karışımdaki bir gazın konsantrasyonunun ne olacağını belirleyin.

Çözüm

Öncelikle karışımın toplam kütlesini hesaplayalım.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.

m 01 parametresi, bir gaz molekülünün kütlesini, m 02 - diğerinin molekülünün kütlesini, n 2 - bir gazın moleküllerinin konsantrasyonunu, n 2 - ikincinin konsantrasyonunu belirtir. Karışımın yoğunluğu ρ'dur.

Şimdi bu denklemden birinci gazın konsantrasyonunu ifade ediyoruz:

n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.

p = n k T → n = p k T .

Ortaya çıkan eşit değeri yerine koyalım:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

Gazların molar kütlelerini bildiğimiz için birinci ve ikinci gazın moleküllerinin kütlelerini bulabiliriz:

m 01 = μ 1 NA, m 02 = μ 2 NA.

Ayrıca gaz karışımının normal koşullar altında olduğunu da biliyoruz. basınç 1 at m ve sıcaklık 290 K'dır. Bu, sorunun çözülmüş olduğunu düşünebileceğimiz anlamına gelir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Stefan-Boltzmann yasasına göre, integral yarım küre radyasyonun yoğunluğu E 0 yalnızca sıcaklığa bağlıdır ve mutlak sıcaklığın dördüncü kuvvetiyle orantılı olarak değişir T:

Stefan-Boltzmann sabiti σ 0, tamamen siyah bir cismin denge termal radyasyonunun hacimsel yoğunluğunu belirleyen yasada yer alan fiziksel bir sabittir:

Tarihsel olarak Stefan-Boltzmann yasası, Planck'ın radyasyon yasasından önce formüle edilmişti ve bunun sonucunda da bu yasa ortaya çıktı. Planck yasası radyasyonun spektral akı yoğunluğunun bağımlılığını belirler e 0 dalga boyu λ ve sıcaklık hakkında T:

burada λ – dalga boyu, m; İle=2,998 10 8 m/s – ışığın boşluktaki hızı; T– vücut sıcaklığı, K;
H= 6,625 ×10 -34 J×s – Planck sabiti.

Fiziksel sabit k, evrensel gaz sabitinin oranına eşit R=8314J/(kg×K) kaç Avogadro sayısı N.A.=6,022× 10 26 1/(kg×mol):

Farklı sistem konfigürasyonlarının sayısı N belirli bir sayı kümesi için parçacıklar n ben(partikül sayısı Ben-e enerjisinin karşılık geldiği durum) değerle orantılıdır:

Büyüklük K birkaç dağıtım yolu var N Parçacıklar enerji seviyelerine göre Eğer ilişki (6) doğruysa orijinal sistemin Boltzmann istatistiklerine uyduğu kabul edilir. Sayı kümesi n ben, bu sayının K maksimum, en sık meydana gelir ve en olası dağılıma karşılık gelir.

Fiziksel kinetik– istatistiksel olarak dengesiz sistemlerde süreçlerin mikroskobik teorisi.

Çok sayıda parçacığın tanımlanması olasılıksal yöntemler kullanılarak başarıyla gerçekleştirilebilir. Tek atomlu bir gaz için, bir dizi molekülün durumu, koordinatları ve karşılık gelen koordinat eksenleri üzerindeki hız projeksiyonlarının değerleri ile belirlenir. Matematiksel olarak bu, bir parçacığın belirli bir durumda olma olasılığını karakterize eden dağılım fonksiyonuyla tanımlanır:

d hacmindeki, koordinatları +d aralığında ve hızları +d aralığında olan beklenen molekül sayısıdır.

Moleküllerin etkileşiminin zaman ortalamalı potansiyel enerjisi kinetik enerjilerine kıyasla ihmal edilebilirse, o zaman gaza ideal denir. İdeal bir gaz, bu gazdaki moleküllerin serbest yolunun akışın karakteristik boyutuna oranı ise Boltzmann gazı olarak adlandırılır. L elbette, yani

Çünkü yol uzunluğu ters orantılıdır 2. sırada(n sayısal yoğunluk 1/m3, d molekülün çapı, m).

Boyut

isminde H Belirli bir durumdaki bir gaz molekülleri sistemini tespit etme olasılığı ile ilişkili olan birim hacim için -Boltzmann fonksiyonu. Her durum, söz konusu moleküllerin faz uzayının bölünebileceği belirli sayıda altı boyutlu uzay-hız hücrelerine karşılık gelir. Haydi belirtelim K söz konusu alanın ilk hücresinde N1 molekülü, ikincisinde N2 vb. bulunma olasılığı.

Olasılığın kökenini belirleyen bir sabite kadar aşağıdaki ilişki geçerlidir:

,

Nerede – Uzayın bir bölgesinin H-fonksiyonu A gazla işgal edilmiştir. (9)'dan açıkça görülüyor ki K Ve H birbirine bağlı, yani bir durumun olasılığındaki bir değişiklik, H fonksiyonunun buna karşılık gelen bir evrimine yol açar.

Boltzmann ilkesi entropi arasındaki bağlantıyı kurar S fiziksel sistem ve termodinamik olasılık Kşöyle diyor:

(Yayına göre yayınlandı: Kogan M.N. Seyreltilmiş bir gazın dinamiği. - M .: Nauka, 1967.)

CUBE'un genel görünümü:

moleküle etki eden çeşitli alanların (yerçekimi, elektrik, manyetik) varlığından kaynaklanan kütle kuvveti nerede; J– çarpışma integrali. Moleküllerin birbirleriyle çarpışmalarını ve etkileşime giren parçacıkların hızlarındaki karşılık gelen değişiklikleri hesaba katan Boltzmann denkleminin bu terimidir. Çarpışma integrali beş boyutlu bir integraldir ve aşağıdaki yapıya sahiptir:

İntegral (13) ile denklem (12), hiçbir teğetsel kuvvetin ortaya çıkmadığı moleküllerin çarpışmaları için elde edildi; çarpışan parçacıkların tamamen pürüzsüz olduğu kabul edilir.

Etkileşim sırasında moleküllerin iç enerjisi değişmez, yani. bu moleküllerin tamamen elastik olduğu varsayılmaktadır. Hızları olan ve birbirleriyle çarpışmadan önce (çarpışma) (Şekil 1) ve çarpışmadan sonra sırasıyla hızları ve . Hızdaki farka bağıl hız denir, yani. . Düzgün elastik bir çarpışma için bu açıktır. Dağıtım fonksiyonları f 1 ", f", f 1 , f Karşılık gelen grupların moleküllerini çarpışmalardan sonra ve önce tanımlayın; ; ; ; .

Pirinç. 1. İki molekülün çarpışması.

(13), çarpışan moleküllerin birbirine göre konumunu karakterize eden iki parametre içerir: B ve ε; B– nişan alma mesafesi, yani etkileşim olmadığında moleküllerin yaklaşacağı en küçük mesafe (Şekil 2); ε'ya çarpışma açısal parametresi denir (Şekil 3). Entegrasyon bitti B 0'dan ¥'ye ve 0'dan 2p'ye ((12)'deki iki dış integral) vektöre dik kuvvet etkileşimi düzleminin tamamını kapsar

Pirinç. 2. Moleküllerin yörüngesi.

Pirinç. 3. Silindirik bir koordinat sisteminde moleküllerin etkileşiminin dikkate alınması: z, B, ε

Boltzmann kinetik denklemi aşağıdaki varsayımlar ve varsayımlar altında türetilmiştir.

1. Esas olarak iki molekülün çarpışmasının meydana geldiğine inanılmaktadır; Üç veya daha fazla molekülün aynı anda çarpışmasının rolü önemsizdir. Bu varsayım, analiz için yukarıda basitçe dağıtım fonksiyonu olarak adlandırılan tek parçacık dağıtım fonksiyonunu kullanmamıza izin verir. Üç molekülün çarpışmasının dikkate alınması, çalışmada iki parçacıklı dağılım fonksiyonunun kullanılması ihtiyacını doğurmaktadır. Buna göre analiz önemli ölçüde daha karmaşık hale gelir.

2. Moleküler kaosun varsayımı. Parçacık 1'in faz noktasında ve parçacık 2'nin faz noktasında tespit edilme olasılıklarının birbirinden bağımsız olduğu ifade edilmektedir.

3. Herhangi bir çarpma mesafesinde moleküllerin çarpışması eşit derecede olasıdır; dağılım fonksiyonu etkileşim çapında değişmez. Analiz edilen elemanın küçük olması gerektiğine dikkat edilmelidir, böylece F Bu öğenin içindeki değişiklik değişmez, ancak aynı zamanda bağıl dalgalanma ~ büyük olmayacak şekildedir. Çarpışma integralinin hesaplanmasında kullanılan etkileşim potansiyelleri küresel olarak simetriktir; .

Maxwell-Boltzmann dağılımı

Gazın denge durumu, Boltzmann kinetik denkleminin tam çözümü olan mutlak Maxwell dağılımı ile tanımlanır:

burada m molekülün kütlesidir, kg.

Maxwell-Boltzmann dağılımı olarak da adlandırılan genel yerel Maxwell dağılımı:

gazın bir bütün olarak hızla hareket etmesi ve n, T değişkenlerinin koordinata bağlı olması durumunda
ve zaman t.

Dünyanın yerçekimi alanında Boltzmann denkleminin kesin çözümü şunu gösterir:

Nerede N 0 = Dünya yüzeyindeki yoğunluk, 1/m3; G– yerçekimi ivmesi, m/s2; H– yükseklik, m Formül (16), Boltzmann kinetik denkleminin sınırsız uzayda veya bu dağılımı ihlal etmeyen sınırların varlığında, sıcaklığın da sabit kalması gereken kesin bir çözümüdür.

Bu sayfa Puzina Yu.Yu tarafından tasarlanmıştır. Rusya Temel Araştırma Vakfı'nın desteğiyle - proje No. 08-08-00638.

1844'te Viyana'da doğdu. Boltzmann bilimde öncü ve öncüdür. Çalışmaları ve araştırmaları çoğu zaman anlaşılmazdı ve toplum tarafından reddedildi. Ancak fiziğin daha da gelişmesiyle birlikte eserleri tanındı ve ardından yayınlandı.

Bilim insanının bilimsel ilgi alanları fizik ve matematik gibi temel alanları kapsıyordu. 1867'den beri çeşitli yüksek öğretim kurumlarında öğretmen olarak çalıştı. Araştırmasında bunun, moleküllerin bulundukları kabın duvarlarına kaotik etkilerinden kaynaklandığını, sıcaklığın ise doğrudan parçacıkların (moleküllerin) hareket hızına yani onların hareket hızına bağlı olduğunu tespit etti. Bu nedenle, bu parçacıkların hareket hızı ne kadar yüksek olursa sıcaklık da o kadar yüksek olur. Boltzmann sabiti, adını ünlü Avusturyalı bilim insanından almıştır. Statik fiziğin gelişimine paha biçilmez bir katkı yapan oydu.

Bu sabit miktarın fiziksel anlamı

Boltzmann sabiti sıcaklık ve enerji arasındaki ilişkiyi tanımlar. Statik mekanikte önemli bir anahtar rol oynar. Boltzmann sabiti k=1,3806505(24)*10 -23 J/K'ye eşittir. Parantez içindeki sayılar, değerin son basamaklara göre izin verilen hatasını gösterir. Boltzmann sabitinin diğer fiziksel sabitlerden de türetilebileceğini belirtmekte fayda var. Ancak bu hesaplamalar oldukça karmaşık ve gerçekleştirilmesi zordur. Sadece fizik alanında değil aynı zamanda derin bilgi gerektirirler.

(k veya k B) sıcaklık ve enerji arasındaki ilişkiyi tanımlayan fiziksel bir sabittir. Adını istatistiksel fiziğe büyük katkılarda bulunan ve bu alanın kilit bir konum haline geldiği Avusturyalı fizikçi Ludwig Boltzmann'dan almıştır. SI sistemindeki deneysel değeri

Parantez içindeki sayılar miktar değerinin son basamaklarındaki standart hatayı gösterir. Prensip olarak Boltzmann sabiti mutlak sıcaklık ve diğer fiziksel sabitlerin tanımından elde edilebilir (bunu yapmak için ilk prensiplerden suyun üçlü noktasının sıcaklığını hesaplayabilmeniz gerekir). Ancak Boltzmann sabitini ilk ilkeleri kullanarak belirlemek, bu alandaki mevcut bilgi gelişimi göz önüne alındığında çok karmaşık ve gerçekçi değildir.
Boltzmann sabiti, sıcaklığı enerji birimleriyle ölçerseniz, fizikte çok sık yapılan bir gereksiz fiziksel sabittir. Aslında bu, anlamı tarihsel olarak gelişen, iyi tanımlanmış bir miktar - enerji ve derece arasındaki bağlantıdır.
entropinin tanımı
Bir termodinamik sistemin entropisi, belirli bir makroskobik duruma (örneğin, belirli bir toplam enerjiye sahip durumlar) karşılık gelen farklı Z mikrodurumlarının sayısının doğal logaritması olarak tanımlanır.

Orantılılık faktörü k ve Boltzmann sabitidir. Mikroskobik (Z) ve makroskobik (S) karakteristikler arasındaki ilişkiyi tanımlayan bu ifade, istatistiksel mekaniğin ana (merkez) fikrini ifade etmektedir.