Pythagoreische Tripel und ihre Zahl. Moderne wissenschaftsintensive Technologien. Primzahlen als Teil der pythagoräischen Tripel

„Regionales Bildungszentrum“

Methodische Entwicklung

Verwendung pythagoräischer Tripel zum Lösen

geometrische Probleme und trigonometrische Aufgaben VERWENDEN

Kaluga, 2016

I. Einleitung

Der Satz des Pythagoras ist einer der wichtigsten und man könnte sogar sagen, der wichtigste Satz der Geometrie. Seine Bedeutung liegt darin, dass sich aus ihm oder mit seiner Hilfe die meisten Sätze der Geometrie ableiten lassen. Der Satz des Pythagoras ist auch insofern bemerkenswert, als er an sich überhaupt nicht offensichtlich ist. Beispielsweise sind die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks direkt auf der Zeichnung zu erkennen. Aber egal wie man ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet, man wird nie erkennen, dass zwischen seinen Seiten ein so einfaches Verhältnis besteht: a2+b2=c2. Allerdings war es nicht Pythagoras, der den nach ihm benannten Satz entdeckte. Es war schon früher bekannt, aber vielleicht nur als aus Messungen abgeleitete Tatsache. Vermutlich wusste Pythagoras das, fand aber Beweise.

Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen a, b, c, die Beziehung erfüllen a2+b2=c2.. Sie werden pythagoreische Zahlen genannt. Nach dem Satz des Pythagoras können solche Zahlen als Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks dienen – wir nennen sie pythagoräische Dreiecke.

Ziel der Arbeit: Um die Möglichkeit und Wirksamkeit der Verwendung pythagoräischer Tripel zur Lösung von Problemen eines Schulmathematikkurses zu untersuchen, USE-Aufgaben.

Basierend auf dem Zweck der Arbeit Folgendes Aufgaben:

Untersuchung der Geschichte und Klassifizierung pythagoräischer Tripel. Analysieren Sie Aufgaben mithilfe von pythagoräischen Tripeln, die in Schulbüchern verfügbar sind und in den Kontroll- und Messmaterialien der Prüfung zu finden sind. Bewerten Sie die Wirksamkeit der Verwendung pythagoräischer Tripel und ihrer Eigenschaften zur Lösung von Problemen.

Studienobjekt: Pythagoräische Zahlentripel.

Gegenstand der Studie: Aufgaben des Schulkurses Trigonometrie und Geometrie, in denen pythagoräische Tripel verwendet werden.

Die Relevanz der Forschung. Pythagoräische Tripel werden häufig in der Geometrie und Trigonometrie verwendet. Wenn Sie sie kennen, werden Berechnungsfehler vermieden und Zeit gespart.

II. Hauptteil. Lösen von Problemen mit pythagoräischen Tripeln.

2.1. Tabelle der Tripel der pythagoräischen Zahlen (nach Perelman)

Pythagoräische Zahlen haben die Form A= m n, , wobei m und n einige ungerade teilerfremde Zahlen sind.

Pythagoräische Zahlen weisen eine Reihe interessanter Merkmale auf:

Eines der „Beine“ muss ein Vielfaches von drei sein.

Eines der „Beine“ muss ein Vielfaches von vier sein.

Eine der pythagoräischen Zahlen muss ein Vielfaches von fünf sein.

Das Buch „Entertaining Algebra“ enthält eine Tabelle pythagoräischer Tripel mit Zahlen bis einhundert, die keine gemeinsamen Faktoren haben.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Shustrovs Klassifikation der pythagoräischen Tripel.

Schustrow entdeckte folgendes Muster: Wenn alle pythagoräischen Dreiecke in Gruppen eingeteilt werden, dann gelten für das ungerade Bein x, das gerade Bein y und die Hypotenuse z die folgenden Formeln:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, wobei N die Nummer der Familie und n die Ordnungszahl des Dreiecks in der Familie ist.

Wenn Sie in die Formel anstelle von N und n beliebige positive ganze Zahlen einsetzen, beginnend mit eins, können Sie alle wichtigen pythagoräischen Zahlentripel sowie Vielfache eines bestimmten Typs erhalten. Sie können für jede Familie eine Tabelle aller pythagoreischen Tripel erstellen.

2.3. Planimetrieaufgaben

Betrachten wir Aufgaben aus verschiedenen Lehrbüchern zur Geometrie und finden wir heraus, wie oft Pythagoräische Tripel in diesen Aufgaben vorkommen. Auf triviale Probleme beim Auffinden des dritten Elements in der Tabelle der pythagoräischen Tripel wird nicht eingegangen, obwohl sie auch in Lehrbüchern vorkommen. Lassen Sie uns zeigen, wie man die Lösung eines Problems, dessen Daten nicht durch natürliche Zahlen ausgedrückt werden, auf pythagoräische Tripel reduzieren kann.

Betrachten Sie Aufgaben aus einem Geometrielehrbuch für die Klassen 7-9.

№ 000. Finden Sie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks A=, B=.

Lösung. Multiplizieren Sie die Länge der Beine mit 7, wir erhalten zwei Elemente aus dem pythagoräischen Tripel 3 und 4. Das fehlende Element ist 5, das wir durch 7 dividieren. Antwort.

№ 000. Finden Sie im Rechteck ABCD BC, wenn CD=1,5, AC=2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Lösung. Lassen Sie uns das rechtwinklige Dreieck ACD lösen. Multiplizieren wir die Längen mit 2, erhalten wir zwei Elemente aus dem pythagoräischen Tripel 3 und 5, das fehlende Element ist 4, das wir durch 2 dividieren. Antwort: 2.

Überprüfen Sie beim Lösen der nächsten Zahl das Verhältnis a2+b2=c2 Es ist völlig optional, es reicht aus, pythagoräische Zahlen und ihre Eigenschaften zu verwenden.

№ 000. Finden Sie heraus, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, wenn seine Seiten durch Zahlen ausgedrückt werden:

a) 6,8,10 (Pythagoräisches Tripel 3,4,5) – ja;

Einer der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks muss durch 4 teilbar sein. Antwort: Nein.

c) 9,12,15 (Pythagoräisches Tripel 3,4,5) – ja;

d) 10,24,26 (Pythagoräisches Tripel 5,12.13) – ja;

Eine der pythagoräischen Zahlen muss ein Vielfaches von fünf sein. Antwort: Nein.

g) 15, 20, 25 (Pythagoräisches Tripel 3,4,5) – ja.

Von den neununddreißig Aufgaben in diesem Abschnitt (Satz des Pythagoras) werden zweiundzwanzig mündlich unter Verwendung pythagoräischer Zahlen und der Kenntnis ihrer Eigenschaften gelöst.

Betrachten Sie Problem Nr. 000 (aus dem Abschnitt „Zusätzliche Aufgaben“):

Finden Sie die Fläche des Vierecks ABCD, wobei AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Die Aufgabe besteht darin, das Verhältnis zu überprüfen a2+b2=c2 und beweisen Sie, dass das gegebene Viereck aus zwei rechtwinkligen Dreiecken besteht (der Umkehrsatz). Und die Kenntnis der pythagoräischen Tripel: 3, 4, 5 und 5, 12, 13 macht Berechnungen überflüssig.

Lassen Sie uns Lösungen für mehrere Probleme aus einem Lehrbuch zur Geometrie für die Klassen 7-9 geben.

Aufgabe 156 (h). Die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind 9 und 40. Finden Sie den Median, der zur Hypotenuse verläuft.

Lösung . Der zur Hypotenuse gezogene Median entspricht der Hälfte davon. Das pythagoräische Tripel beträgt 9,40 und 41. Daher beträgt der Median 20,5.

Aufgabe 156 (i). Die Seiten des Dreiecks sind: A= 13 cm, b= 20 cm und Höhe hс = 12 cm. Finden Sie die Basis Mit.

Aufgabe (KIM USE). Finden Sie den Radius eines Kreises, der in ein spitzes Dreieck ABC eingeschrieben ist, wenn die Höhe BH 12 beträgt und das bekannt ist Sünde A=,Sünde C \u003d links "\u003e

Lösung. Wir lösen rechteckiges ∆ ASC: sin A=, BH=12, also AB=13,AK=5 (Pythagoräisches Tripel 5,12,13). Lösen Sie rechteckiges ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagoras Dreifach 3,4,5).Der Radius wird durch die Formel r === 4 ermittelt. Antwort.4.

2.4. Pythagoreische Tripel in der Trigonometrie

Die wichtigste trigonometrische Identität ist ein Sonderfall des Satzes des Pythagoras: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Daher lassen sich einige trigonometrische Aufgaben leicht mündlich mit pythagoräischen Tripeln lösen.

Probleme, bei denen es erforderlich ist, die Werte anderer trigonometrischer Funktionen aus einem gegebenen Wert einer Funktion zu ermitteln, können ohne Quadrieren und Ziehen einer Quadratwurzel gelöst werden. Alle Aufgaben dieser Art im Schullehrbuch der Algebra (10-11) Mordkovich (Nr. 000-Nr. 000) können mündlich gelöst werden, wenn man nur wenige pythagoreische Tripel kennt: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Betrachten wir die Lösungen zweier Probleme.

Nr. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Lösung. Pythagoräisches Tripel: 3, 4, 5. Daher ist cos t = -3/5; tg t = -4/3,

Nr. 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Lösung. tg t = 2,4 = 24/10 = 12/5. Pythagoräisches Tripel 5,12,13. Angesichts der Vorzeichen erhalten wir sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Kontroll- und Messmaterialien der Prüfung

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) Sünde (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) Überprüfen Sie die Gültigkeit der Gleichheit:

Arcsin 4/5 + Arcsin 5/13 + Arcsin 16/65 = π/2.

Lösung. Arcsin 4/5 + Arcsin 5/13 + Arcsin 16/65 = π/2

Arcsin 4/5 + Arcsin 5/13 = π/2 - Arcsin 16/65

Sünde (Arcsin 4/5 + Arcsin 5/13) = Sünde (Arccos 16/65)

sin (Arcsin 4/5) cos (Arcsin 5/13) + cos (Arcsin 4/5) sin (Arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Abschluss

Bei geometrischen Problemen muss man oft rechtwinklige Dreiecke lösen, manchmal mehrmals. Nach der Analyse der Aufgaben von Schulbüchern und USE-Materialien können wir den Schluss ziehen, dass hauptsächlich Drillinge verwendet werden: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; die man sich leicht merken kann. Bei der Lösung einiger trigonometrischer Aufgaben nimmt die klassische Lösung mit trigonometrischen Formeln und einer großen Anzahl von Berechnungen Zeit in Anspruch, und die Kenntnis der pythagoräischen Tripel beseitigt Berechnungsfehler und spart Zeit für die Lösung schwierigerer Prüfungsprobleme.

Bibliografische Liste

1. Algebra und die Anfänge der Analysis. 10-11 Klassen. Bei 2 Stunden. Teil 2. Ein Aufgabenbuch für Bildungseinrichtungen / [und andere]; Hrsg. . - 8. Auflage, Sr. - M.: Mnemosyne, 2007. - 315 S. : krank.

2. Perelman-Algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 S.

3. Roganovsky: Proc. Für 7-9 Zellen. mit einem tiefen das Studium der Mathematik Allgemeinbildung. Schule aus dem Russischen lang. Lernen, - 3. Aufl. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 S.: Abb.

4. Mathematik: Reader zu Geschichte, Methodik, Didaktik. / Komp. . - M.: Verlag von URAO, 2001. - 384 S.

5. Zeitschrift „Mathematik in der Schule“ Nr. 1, 1965.

6. Kontroll- und Messmaterialien der Prüfung.

7. Geometrie, 7-9: Proc. für Bildungseinrichtungen / usw. - 13. Aufl. - M.: Bildung, 2003. – 384 S. : krank.

8. Geometrie: Proc. für 10-11 Zellen. Durchschn. Schule / usw. - 2. Aufl. - M.: Bildung, 1993, - 207 S.: Abb.

Perelman-Algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 S.

Zeitschrift „Mathematik in der Schule“ Nr. 1, 1965.

Geometrie, 7-9: Proc. für Bildungseinrichtungen / usw. - 13. Aufl. - M.: Bildung, 2003. – 384 S. : krank.

Roganovsky: Proc. Für 7-9 Zellen. mit einem tiefen das Studium der Mathematik Allgemeinbildung. Schule aus dem Russischen lang. Lernen, - 3. Aufl. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 S.: Abb.

Algebra und die Anfänge der Analysis. 10-11 Klassen. Bei 2 Stunden. Teil 2. Ein Aufgabenbuch für Bildungseinrichtungen / [und andere]; Hrsg. . - 8. Auflage, Sr. - M.: Mnemosyne, 2007. - 315 S. : Abb., S.18.

Belotelov V.A. Pythagoräische Tripel und ihre Zahl // Enzyklopädie der Nesterows

Dieser Artikel ist eine Antwort an einen Professor – einen Kneifer. Schauen Sie, Professor, wie man das in unserem Dorf macht.

Region Nischni Nowgorod, Sawolschje.

Kenntnisse des Algorithmus zur Lösung diophantischer Gleichungen (ADDE) und Kenntnisse über Polynomverläufe werden vorausgesetzt.

IF ist eine Primzahl.

MF ist eine zusammengesetzte Zahl.

Es gebe eine ungerade Zahl N. Für jede ungerade Zahl außer einer können Sie eine Gleichung schreiben.

p 2 + N \u003d q 2,

wobei ð + q = N, q – ð = 1.

Für die Zahlen 21 und 23 wären die Gleichungen beispielsweise: -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Wenn N eine Primzahl ist, ist diese Gleichung eindeutig. Wenn die Zahl N zusammengesetzt ist, ist es möglich, ähnliche Gleichungen für die Anzahl der Faktorpaare aufzustellen, die diese Zahl darstellen, einschließlich 1 x N.

Nehmen wir die Zahl N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Ich habe geträumt, aber ist es möglich, an diesem Unterschied zwischen IF und MF festzuhalten und eine Methode zu ihrer Identifizierung zu finden?

Lassen Sie uns die Notation einführen;

Ändern wir die untere Gleichung, -

N \u003d in 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Gruppieren wir die Werte von N nach dem Kriterium in - a, d.h. Lass uns einen Tisch machen.

Die Zahlen N wurden in einer Matrix zusammengefasst, -

Für diese Aufgabe musste ich mich mit den Verläufen von Polynomen und ihren Matrizen befassen. Es stellte sich heraus, dass alles umsonst war – die PCh-Verteidigung wird kraftvoll gehalten. Geben wir eine Spalte in Tabelle 1 ein, wobei in - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Noch einmal. Tabelle 2 entstand als Ergebnis eines Versuchs, das Problem der Identifizierung von IF und MF zu lösen. Aus der Tabelle folgt, dass es für jede Zahl N so viele Gleichungen der Form a 2 + N \u003d in 2 gibt, in wie viele Faktorpaare die Zahl N unterteilt werden kann, einschließlich des Faktors 1 x N. Darüber hinaus zu den Zahlen N \u003d ℓ 2, wo

ℓ - FC. Für N = ℓ 2 , wobei ℓ IF ist, gibt es eine eindeutige Gleichung p 2 + N = q 2 . Über welchen zusätzlichen Beweis können wir sprechen, wenn die Tabelle kleinere Faktoren aus Faktorpaaren auflistet, die N bilden, von eins bis ∞? Wir werden Tisch 2 in eine Truhe stellen und die Truhe in einem Schrank verstecken.

Kehren wir zum im Titel des Artikels genannten Thema zurück.

Dieser Artikel ist eine Antwort an einen Professor – einen Kneifer.

Ich habe um Hilfe gebeten – ich brauchte eine Reihe von Nummern, die ich im Internet nicht finden konnte. Ich stieß auf Fragen wie: „Wozu?“, „Aber zeigen Sie mir die Methode.“ Insbesondere stellte sich die Frage, ob die Reihe der pythagoräischen Tripel unendlich ist, „wie kann man das beweisen?“. Er hat mir nicht geholfen. Schauen Sie, Professor, wie man das in unserem Dorf macht.

Nehmen wir die Formel der pythagoräischen Tripel: -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Lassen Sie uns durch ARDU gehen.

Drei Situationen sind möglich:

I. x ist eine ungerade Zahl,

y ist eine gerade Zahl

z ist eine gerade Zahl.

Und es gibt eine Bedingung x > y > z.

II. x ist eine ungerade Zahl

y ist eine gerade Zahl

z ist eine ungerade Zahl.

x > z > y.

III.x – eine gerade Zahl,

y ist eine ungerade Zahl

z ist eine ungerade Zahl.

x > y > z.

Beginnen wir mit I.

Lassen Sie uns neue Variablen einführen

Setzen Sie es in Gleichung (1) ein.

Lassen Sie uns um die kleinere Variable 2γ kürzen.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Reduzieren wir die Variable 2β – 2γ um eine kleinere bei gleichzeitiger Einführung eines neuen Parameters ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Dann ist 2α - 2β = x - y - 1.

Gleichung (2) wird die Form annehmen: –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Lass es uns in Ordnung bringen -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU gibt durch die Parameter die Beziehung zwischen den übergeordneten Termen der Gleichung an, sodass wir Gleichung (3) erhalten.

Es ist nicht solide, sich mit der Auswahl der Lösungen auseinanderzusetzen. Aber erstens führt es nirgendwo hin, und zweitens werden mehrere dieser Lösungen benötigt, und wir können unendlich viele Lösungen wiederherstellen.

Für ƒ = 1, k = 1 gilt x – y = 1.

Mit ƒ = 12, k = 16 haben wir x - y = 9.

Mit ƒ = 4, k = 32 haben wir x - y = 25.

Sie können es für eine lange Zeit in die Hand nehmen, aber am Ende wird die Serie die Form annehmen -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Erwägen Sie Option II.

Lassen Sie uns neue Variablen in Gleichung (1) einführen.

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Wir reduzieren um eine kleinere Variable 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Reduzieren wir um die kleinere Variable 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z und in Gleichung (4) einsetzen.

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Mit ƒ = 3, k = 4 gilt x - z = 2.

Mit ƒ = 8, k = 14 haben wir x - z = 8.

Mit ƒ = 3, k = 24 haben wir x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Lass uns ein Trapez zeichnen -

Schreiben wir eine Formel.

wobei n=1, 2,...∞.

Fall III wird nicht beschrieben, da es dort keine Lösungen gibt.

Für Bedingung II lautet die Menge der Tripel wie folgt:

Gleichung (1) wird der Übersichtlichkeit halber als x 2 = z 2 + y 2 dargestellt.

Für Bedingung I lautet die Menge der Tripel wie folgt:

Insgesamt sind 9 Spalten mit Tripeln bemalt, jeweils fünf Tripel. Und jede der vorgestellten Spalten kann bis zu ∞ geschrieben werden.

Betrachten Sie als Beispiel die Tripel der letzten Spalte, wobei x - y = 81.

Für die Werte von x schreiben wir ein Trapez, -

Schreiben wir die Formel

Für die Werte von schreiben wir ein Trapez, -

Schreiben wir die Formel

Für die Werte von z schreiben wir ein Trapez, -

Schreiben wir die Formel

Wobei n = 1 ÷ ∞.

Wie versprochen fliegt eine Reihe von Tripletts mit x - y = 81 nach ∞.

Für die Fälle I und II wurde versucht, Matrizen für x, y, z zu konstruieren.

Schreiben Sie die letzten fünf Spalten von x aus den oberen Zeilen aus und bilden Sie ein Trapez.

Es hat nicht funktioniert und das Muster sollte quadratisch sein. Um alles durchbrochen zu machen, stellte sich heraus, dass es notwendig war, die Spalten I und II zu kombinieren.

Im Fall II sind die Größen y, z wiederum vertauscht.

Der Zusammenschluss ist uns aus einem Grund gelungen – die Karten passen gut zu dieser Aufgabe – wir hatten Glück.

Jetzt können Sie Matrizen für x, y, z schreiben.

Nehmen wir aus den letzten fünf Spalten den x-Wert aus den oberen Zeilen und erstellen wir ein Trapez.

Alles ist in Ordnung, Sie können Matrizen erstellen und beginnen wir mit einer Matrix für z.

Ich renne zum Schrank und hole eine Truhe.

Gesamt: Zusätzlich zu eins ist jede ungerade Zahl der Zahlenachse an der Bildung pythagoräischer Tripel durch eine gleiche Anzahl von Faktorpaaren beteiligt, die diese Zahl N bilden, einschließlich des Faktors 1 x N.

Die Zahl N \u003d ℓ 2, wobei ℓ - IF, bildet ein pythagoräisches Tripel, wenn ℓ MF ist, dann gibt es kein Tripel auf den Faktoren ℓхℓ.

Lassen Sie uns Matrizen für x, y erstellen.

Beginnen wir mit der Matrix für x. Dazu ziehen wir das Koordinatengitter aus dem Problem der Identifizierung von IF und MF darauf.

Die Nummerierung vertikaler Zeilen wird durch den Ausdruck normalisiert

Entfernen wir die erste Spalte, weil

Die Matrix wird die Form annehmen:

Beschreiben wir die vertikalen Reihen, -

Beschreiben wir die Koeffizienten bei „a“, -

Beschreiben wir die freien Mitglieder, -

Lassen Sie uns eine allgemeine Formel für „x“ erstellen, -

Wenn wir einen ähnlichen Job für „y“ machen, erhalten wir –

Sie können dieses Ergebnis auch von der anderen Seite angehen.

Nehmen wir die Gleichung,

und 2 + N = in 2 .

Lass es uns ein wenig ändern -

N \u003d in 2 - a 2.

Lass es uns in Ordnung bringen -

N 2 \u003d in 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Addieren Sie auf der linken und rechten Seite der Gleichung die Größe 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 = in 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Und schlussendlich -

(in 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Pythagoreische Tripel setzen sich wie folgt zusammen:

Betrachten Sie ein Beispiel mit der Zahl N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Die vertikalen Spalten von Tabelle 2 sind mit den Werten in – a nummeriert, während die vertikalen Spalten von Tabelle 3 mit den Werten x – y nummeriert sind.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Stellen wir drei Gleichungen auf.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Die Faktoren 3 und 39 sind keine relativ Primzahlen, daher ist ein Tripel mit dem Faktor 9 entstanden.

Lassen Sie uns die oben geschriebenen allgemeinen Symbole darstellen, -

In dieser Arbeit ist alles enthalten, einschließlich eines Beispiels für die Berechnung pythagoräischer Tripel mit der Zahl

N = 117, gebunden an den kleineren Faktor in - a. Explizite Diskriminierung in Bezug auf den Faktor in + a. Korrigieren wir diese Ungerechtigkeit – wir stellen drei Gleichungen mit einem Faktor in + a auf.

Kehren wir zur Frage der Identifizierung von IF und MF zurück.

In dieser Richtung wurde viel getan, und heute ist folgender Gedanke durch die Hände gekommen: Es gibt keine Identifikationsgleichung und es gibt keine Möglichkeit, die Faktoren zu bestimmen.

Angenommen, wir haben die Beziehung F = a, b (N) gefunden.

Es gibt eine Formel

Man kann in der Formel F von in wegkommen und erhält eine homogene Gleichung n-ten Grades bezüglich a, d.h. F = a(N).

Für jeden Grad n dieser Gleichung gibt es eine Zahl N mit m Faktorpaaren, für m > n.

Und als Konsequenz muss eine homogene Gleichung vom Grad n m Wurzeln haben.

Ja, das kann nicht sein.

In dieser Arbeit wurden die Zahlen N für die Gleichung x 2 = y 2 + z 2 betrachtet, wenn sie in der Gleichung an der Stelle z stehen. Wenn N anstelle von x steht, ist dies eine andere Aufgabe.

Mit freundlichen Grüßen Belotelov V.A.

Als nächstes betrachten wir die bekannten Methoden zur Erzeugung effektiver pythagoräischer Tripel. Die Schüler von Pythagoras waren die ersten, die eine einfache Methode zur Erzeugung pythagoräischer Tripel entwickelten, indem sie eine Formel verwendeten, deren Teile ein pythagoräisches Tripel darstellten:

M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ((M 2 + 1)/2) 2 ,

Wo M- ungepaart, M>2. Wirklich,

4M 2 + M 4 − 2M 2 + 1
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((M 2 + 1)/2) 2 .
4

Eine ähnliche Formel wurde vom antiken griechischen Philosophen Platon vorgeschlagen:

(2M) 2 + (M 2 − 1) 2 = (M 2 + 1) 2 ,

Wo M- irgendeine Nummer. Für M= 2,3,4,5 werden folgende Tripel erzeugt:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Wie Sie sehen, können diese Formeln nicht alle möglichen primitiven Tripel liefern.

Betrachten Sie das folgende Polynom, das in eine Summe von Polynomen zerlegt wird:

(2M 2 + 2M + 1) 2 = 4M 4 + 8M 3 + 8M 2 + 4M + 1 =
=4M 4 + 8M 3 + 4M 2 + 4M 2 + 4M + 1 = (2M(M+1)) 2 + (2M +1) 2 .

Daher die folgenden Formeln zum Erhalten primitiver Tripel:

A = 2M +1 , B = 2M(M+1) = 2M 2 + 2M , C = 2M 2 + 2M + 1.

Diese Formeln generieren Tripel, bei denen die durchschnittliche Zahl genau um eins von der größten abweicht, d. h. es werden auch nicht alle möglichen Tripel generiert. Hier sind die ersten Tripel: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Um zu bestimmen, wie alle primitiven Tripel erzeugt werden, müssen ihre Eigenschaften untersucht werden. Erstens, wenn ( ABC) ist also ein primitives Tripel A Und B, B Und C, A Und C– muss teilerfremd sein. Lassen A Und B sind geteilt in D. Dann A 2 + B 2 ist auch durch teilbar D. Bzw, C 2 und C sollte unterteilt werden in D. Das heißt, es handelt sich nicht um ein primitives Tripel.

Zweitens unter den Zahlen A, B einer muss gepaart und der andere ungepaart sein. In der Tat, wenn A Und B- also gepaart Mit werden gepaart und die Zahlen können durch mindestens 2 geteilt werden. Wenn beide ungepaart sind, können sie als 2 dargestellt werden k+1 und 2 l+1, wo k,l- einige Zahlen. Dann A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, das heißt, Mit 2 , sowie A 2 + B 2 hat einen Rest von 2, wenn man es durch 4 dividiert.

Lassen Mit- also eine beliebige Zahl Mit = 4k+ich (ich=0,…,3). Dann Mit 2 = (4k+ich) 2 hat einen Rest von 0 oder 1 und kann keinen Rest von 2 haben. Somit gilt: A Und B kann also nicht ungepaart sein A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 und Rest Mit 2 mal 4 sollte 1 sein, was bedeutet Mit sollte ungepaart sein.

Solche Anforderungen an die Elemente des pythagoräischen Tripels werden durch die folgenden Zahlen erfüllt:

A = 2mn, B = M 2 − N 2 , C = M 2 + N 2 , M > N, (2)

Wo M Und N sind Koprime mit unterschiedlichen Paarungen. Diese Abhängigkeiten wurden erstmals aus den Werken von Euklid bekannt, der 2300 r. lebte. zurück.

Beweisen wir die Gültigkeit der Abhängigkeiten (2). Lassen A- also doppelt B Und C- ungepaart. Dann C + B ich C − B- Paare. Sie können dargestellt werden als C + B = 2u Und C − B = 2v, Wo u,v sind einige ganze Zahlen. Deshalb

A 2 = Mit 2 − B 2 = (C + B)(C − B) = 2u 2 v = 4UV

Und deswegen ( A/2) 2 = UV.

Das lässt sich durch Widerspruch beweisen u Und v sind Koprime. Lassen u Und v- sind geteilt in D. Dann ( C + B) Und ( C − B) sind geteilt in D. Und deswegen C Und B sollte unterteilt werden in D, und dies widerspricht der Bedingung für das pythagoräische Tripel.

Als UV = (A/2) 2 und u Und v Koprime, das lässt sich leicht beweisen u Und v müssen Quadrate einiger Zahlen sein.

Es gibt also positive ganze Zahlen M Und N, so dass u = M 2 und v = N 2. Dann

A 2 = 4UV = 4M 2 N 2 also
A = 2mn; B = u − v = M 2 − N 2 ; C = u + v = M 2 + N 2 .

Als B> 0 also M > N.

Das bleibt noch zu zeigen M Und N haben unterschiedliche Paarungen. Wenn M Und N- also gepaart u Und v müssen gepaart sein, aber das ist unmöglich, da sie teilerfremd sind. Wenn M Und N- also ungepaart B = M 2 − N 2 und C = M 2 + N 2 wären gepaart, was unmöglich ist, weil C Und B sind Koprime.

Daher muss jedes primitive pythagoräische Tripel die Bedingungen (2) erfüllen. Gleichzeitig sind die Zahlen M Und N genannt Zahlen generieren primitive Drillinge. Nehmen wir zum Beispiel ein primitives pythagoräisches Tripel (120,119,169). In diesem Fall

A= 120 = 2 12 5, B= 119 = 144 − 25, und C = 144+25=169,

Wo M = 12, N= 5 - Zahlen erzeugen, 12 > 5; 12 und 5 sind teilerfremd und haben unterschiedliche Paarungen.

Es kann bewiesen werden, dass die Zahlen M, N Formeln (2) ergeben ein primitives pythagoräisches Tripel (a,b,c). Wirklich,

A 2 + B 2 = (2mn) 2 + (M 2 − N 2) 2 = 4M 2 N 2 + (M 4 − 2M 2 N 2 + N 4) =
= (M 4 + 2M 2 N 2 + N 4) = (M 2 + N 2) 2 = C 2 ,

Also ( A,B,C) ist ein pythagoräisches Tripel. Lassen Sie uns das beweisen A,B,C sind durch Widerspruch teilerfremde Zahlen. Teilen wir diese Zahlen durch P> 1. Seit M Und N haben also unterschiedliche Paarungen B Und C- also ungepaart P≠ 2. Weil R teilt B Und C, Das R muss 2 teilen M 2 und 2 N 2 , was unmöglich ist, weil P≠ 2. Deshalb M, N sind Koprime und A,B,C sind auch Koprime.

Tabelle 1 zeigt alle primitiven pythagoräischen Tripel, die durch die Formeln (2) für generiert wurden M≤10.

Tabelle 1. Primitive pythagoräische Tripel für M≤10

M	N	A	B	C	M	N	A	B	C
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Die Analyse dieser Tabelle zeigt das Vorhandensein der folgenden Reihe von Mustern:

• oder A, oder B werden durch 3 geteilt;
• eine der Zahlen A,B,C ist durch 5 teilbar;
• Nummer A ist durch 4 teilbar;
• arbeiten A· B ist durch 12 teilbar.

1971 schlugen die amerikanischen Mathematiker Teigan und Hedwin so wenig bekannte Parameter eines rechtwinkligen Dreiecks wie seine Höhe (Höhe) vor, um Drillinge zu erzeugen H = C− b und Exzess (Erfolg) e = A + B − C. In Abb.1. Diese Größen werden auf einem bestimmten rechtwinkligen Dreieck dargestellt.

Abbildung 1. Rechtwinkliges Dreieck und sein Wachstum und Übermaß

Der Name „Überschuss“ leitet sich von der Tatsache ab, dass dies die zusätzliche Distanz ist, die entlang der Schenkel des Dreiecks von einem Scheitelpunkt zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt zurückgelegt werden muss, wenn man nicht entlang seiner Diagonale geht.

Durch Übermaß und Wachstum können die Seiten des pythagoräischen Dreiecks wie folgt ausgedrückt werden:

e 2 e 2
A = H + e, B = e + ——, C = H + e + ——, (3)
2H 2H

Nicht alle Kombinationen H Und e kann pythagoräischen Dreiecken entsprechen. Für ein gegebenes H mögliche Werte e ist das Produkt einer Zahl D. Diese Nummer D heißt Wachstum und bezieht sich auf H auf die folgende Weise: D ist die kleinste positive ganze Zahl, deren Quadrat durch 2 teilbar ist H. Als e mehrere D, dann wird es geschrieben als e = kd, Wo k ist eine positive ganze Zahl.

Mit Hilfe von Paaren ( k,H) können Sie alle pythagoräischen Dreiecke, einschließlich nicht-primitiver und verallgemeinerter Dreiecke, wie folgt generieren:

(dk) 2 (dk) 2
A = H + dk, B = dk + ——, C = H + dk + ——, (4)
2H 2H

Darüber hinaus ist ein Tripel primitiv, wenn k Und H sind teilerfremd und if H =± Q 2 um Q- ungepaart.
Darüber hinaus wird es genau ein pythagoräisches Tripel sein, wenn k> √2 H/D Und H > 0.

Finden k Und H aus ( A,B,C) Mach Folgendes:

• H = C − B;
• aufschreiben H Wie H = pq 2 , wo P> 0 und solche, die kein Quadrat sind;
• D = 2pq Wenn P- ungepaart und D = pq, wenn p gepaart ist;
• k = (A − H)/D.

Zum Beispiel gilt für das Tripel (8,15,17). H= 17−15 = 2 1, also P= 2 und Q = 1, D= 2, und k= (8 − 2)/2 = 3. Dieses Tripel ist also gegeben als ( k,H) = (3,2).

Für das Tripel (459,1260,1341) haben wir H= 1341 − 1260 = 81, also P = 1, Q= 9 und D= 18, daher k= (459 − 81)/18 = 21, daher lautet der Code dieses Tripels ( k,H) = (21, 81).

Angabe von Tripeln mit H Und k hat eine Reihe interessanter Eigenschaften. Parameter k gleicht

k = 4S/(dP), (5)

Wo S = ab/2 ist die Fläche des Dreiecks und P = A + B + C ist sein Umfang. Dies folgt aus der Gleichheit eP = 4S, was aus dem Satz des Pythagoras stammt.

Für ein rechtwinkliges Dreieck e entspricht dem Durchmesser des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises. Dies liegt daran, dass die Hypotenuse Mit = (A − R)+(B − R) = A + B − 2R, Wo R ist der Radius des Kreises. Von hier H = C − B = A − 2R Und e = A − H = 2R.

Für H> 0 und k > 0, k ist die Ordnungszahl der Tripletts A-B-C in einer Folge pythagoräischer Dreiecke mit zunehmender Bedeutung H. Aus Tabelle 2, die mehrere Optionen für durch Paare erzeugte Tripletts zeigt H, k, es ist zu erkennen, dass mit zunehmender k Die Seiten des Dreiecks nehmen zu. Im Gegensatz zur klassischen Nummerierung erfolgt die Nummerierung daher paarweise H, k hat eine höhere Ordnung in Folgen von Tripletts.

Tabelle 2. Pythagoräische Tripel, erzeugt durch die Paare h, k.

H	k	A	B	C	H	k	A	B	C
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Für H > 0, D erfüllt die Ungleichung 2√ H ≤ D ≤ 2H, bei dem die Untergrenze erreicht wird P= 1, und der obere, bei Q= 1. Daher der Wert D bezüglich 2√ H ist ein Maß dafür, wie viel H weit entfernt vom Quadrat einer Zahl.

Eigenschaften

Da die Gleichung X 2 + j 2 = z 2 homogen, wenn multipliziert X , j Und z für die gleiche Zahl erhält man ein weiteres pythagoräisches Tripel. Das pythagoräische Tripel heißt Primitive, wenn es auf diese Weise nicht erhalten werden kann, also relativ Primzahlen.

Beispiele

Einige pythagoräische Tripel (sortiert in aufsteigender Reihenfolge der maximalen Anzahl, primitive sind hervorgehoben):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Basierend auf den Eigenschaften von Fibonacci-Zahlen können Sie sie beispielsweise zu solchen pythagoräischen Tripeln machen:

.

Geschichte

Pythagoräische Tripel sind seit sehr langer Zeit bekannt. In der Architektur der antiken mesopotamischen Grabsteine ​​findet man ein gleichschenkliges Dreieck, das aus zwei rechteckigen Dreiecken mit Seitenlängen von 9, 12 und 15 Ellen besteht. Die Pyramiden des Pharaos Snefru (XXVII. Jahrhundert v. Chr.) wurden aus Dreiecken mit Seitenlängen von 20, 21 und 29 sowie 18, 24 und 30 Zehntel ägyptischen Ellen gebaut.

siehe auch

Links

• E. A. Gorin Potenzen von Primzahlen in pythagoräischen Tripeln // Mathematische Ausbildung. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie, was „pythagoreische Zahlen“ in anderen Wörterbüchern sind:

Tripel natürlicher Zahlen, so dass ein Dreieck, dessen Seitenlängen proportional (oder gleich) zu diesen Zahlen sind, rechtwinklig ist, z. B. Zahlentripel: 3, 4, 5… Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Tripel natürlicher Zahlen, so dass ein Dreieck, dessen Seitenlängen proportional (oder gleich) zu diesen Zahlen sind, rechteckig ist, zum Beispiel ein Tripel der Zahlen: 3, 4, 5. * * * PYTHAGORANISCHE ZAHLEN PYTHAGORANISCHE ZAHLEN, Tripel natürlicher Zahlen wie z Das ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

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Bücher

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Pythagoräische Hypotenuse

Pythagoräische Dreiecke haben einen rechten Winkel und ganzzahlige Seiten. Im einfachsten Fall hat die längste Seite eine Länge von 5, der Rest beträgt 3 und 4. Insgesamt gibt es 5 reguläre Polyeder. Eine Gleichung fünften Grades kann nicht mit Wurzeln fünften Grades – oder anderen Wurzeln – gelöst werden. Gitter in der Ebene und im dreidimensionalen Raum haben keine fünflappige Rotationssymmetrie, daher fehlen solche Symmetrien auch in Kristallen. Sie können jedoch in Gittern im vierdimensionalen Raum und in interessanten Strukturen vorliegen, die als Quasikristalle bekannt sind.

Hypotenuse des kleinsten pythagoräischen Tripels

Der Satz des Pythagoras besagt, dass die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks (die berüchtigte Hypotenuse) auf eine sehr einfache und schöne Weise mit den anderen beiden Seiten dieses Dreiecks korreliert: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der anderen zwei Seiten.

Traditionell nennen wir diesen Satz nach Pythagoras, aber tatsächlich ist seine Geschichte eher vage. Tontafeln deuten darauf hin, dass die alten Babylonier den Satz des Pythagoras lange vor Pythagoras selbst kannten; Der Ruhm des Entdeckers wurde ihm durch den Mathematikkult der Pythagoräer verliehen, deren Anhänger glaubten, dass das Universum auf numerischen Mustern beruhte. Antike Autoren schrieben den Pythagoräern – und damit Pythagoras – eine Vielzahl mathematischer Theoreme zu, aber tatsächlich haben wir keine Ahnung, mit welcher Art von Mathematik sich Pythagoras selbst beschäftigte. Wir wissen nicht einmal, ob die Pythagoräer den Satz des Pythagoras beweisen konnten oder ob sie einfach glaubten, dass er wahr sei. Oder, was wahrscheinlicher ist, sie verfügten über überzeugende Daten über die Wahrheit, die jedoch für das, was wir heute als Beweis betrachten, nicht ausgereicht hätten.

Zeugnisse von Pythagoras

Der erste bekannte Beweis des Satzes des Pythagoras findet sich in Euklids Elementen. Dies ist ein ziemlich komplizierter Beweis anhand einer Zeichnung, die viktorianische Schulkinder sofort als „pythagoreische Hose“ erkennen würden; Die Zeichnung ähnelt wirklich einer Unterhose, die an einem Seil trocknet. Es sind buchstäblich Hunderte anderer Beweise bekannt, von denen die meisten die Behauptung noch offensichtlicher machen.

// Reis. 33. Pythagoräische Hose

Einer der einfachsten Beweise ist eine Art mathematisches Rätsel. Nehmen Sie ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck, machen Sie vier Kopien davon und sammeln Sie sie im Quadrat. Bei einer Verlegung sehen wir ein Quadrat auf der Hypotenuse; mit den anderen - Quadraten auf den anderen beiden Seiten des Dreiecks. Es ist klar, dass die Flächen in beiden Fällen gleich sind.

// Reis. 34. Links: Quadrat auf der Hypotenuse (plus vier Dreiecke). Rechts: die Summe der Quadrate auf den anderen beiden Seiten (plus die gleichen vier Dreiecke). Beseitigen Sie nun die Dreiecke

Die Sektion von Perigal ist ein weiteres Puzzleteil des Beweismaterials.

// Reis. 35. Präparation von Perigal

Es gibt auch einen Beweis des Satzes durch Stapeln von Quadraten in der Ebene. Vielleicht haben die Pythagoräer oder ihre unbekannten Vorgänger diesen Satz auf diese Weise entdeckt. Wenn Sie sich ansehen, wie das schräge Quadrat die anderen beiden Quadrate überlappt, können Sie sehen, wie Sie das große Quadrat in Stücke schneiden und diese dann zu zwei kleineren Quadraten zusammenfügen. Sie können auch rechtwinklige Dreiecke sehen, deren Seiten die Abmessungen der drei beteiligten Quadrate angeben.

// Reis. 36. Beweis durch Pflasterung

Es gibt interessante Beweise, die ähnliche Dreiecke in der Trigonometrie verwenden. Es sind mindestens fünfzig verschiedene Beweise bekannt.

Pythagoreische Drillinge

In der Zahlentheorie wurde der Satz des Pythagoras zur Quelle einer fruchtbaren Idee: ganzzahlige Lösungen für algebraische Gleichungen zu finden. Ein pythagoräisches Tripel ist eine Menge von ganzen Zahlen a, b und c, so dass

Geometrisch gesehen definiert ein solches Tripel ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten.

Die kleinste Hypotenuse eines pythagoräischen Tripels ist 5.

Die anderen beiden Seiten dieses Dreiecks sind 3 und 4. Hier

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Die nächstgrößere Hypotenuse ist 10, weil

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Dabei handelt es sich jedoch im Wesentlichen um dasselbe Dreieck mit doppelten Seiten. Die nächstgrößere und wirklich andere Hypotenuse ist 13, für die

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euklid wusste, dass es unendlich viele verschiedene Variationen der pythagoräischen Tripel gab, und er gab eine Formel an, mit der man sie alle finden könnte. Später bot Diophantus von Alexandria ein einfaches Rezept an, das im Grunde dem Euklidischen entsprach.

Nehmen Sie zwei beliebige natürliche Zahlen und berechnen Sie:

ihr Doppelprodukt;

Differenz ihrer Quadrate;

die Summe ihrer Quadrate.

Die drei resultierenden Zahlen sind die Seiten des pythagoräischen Dreiecks.

Nehmen Sie zum Beispiel die Zahlen 2 und 1. Berechnen Sie:

Doppelprodukt: 2 × 2 × 1 = 4;

Quadratdifferenz: 22 - 12 = 3;

Summe der Quadrate: 22 + 12 = 5,

und wir bekamen das berühmte 3-4-5-Dreieck. Wenn wir stattdessen die Zahlen 3 und 2 nehmen, erhalten wir:

Doppelprodukt: 2 × 3 × 2 = 12;

Differenz der Quadrate: 32 - 22 = 5;

Summe der Quadrate: 32 + 22 = 13,

und wir erhalten das nächste berühmte Dreieck 5 - 12 - 13. Versuchen wir, die Zahlen 42 und 23 zu nehmen und zu erhalten:

Doppelprodukt: 2 × 42 × 23 = 1932;

Quadratdifferenz: 422 - 232 = 1235;

Summe der Quadrate: 422 + 232 = 2293,

Niemand hat jemals vom Dreieck 1235-1932-2293 gehört.

Aber diese Zahlen funktionieren auch:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Es gibt noch ein weiteres Merkmal der diophantischen Regel, das bereits angedeutet wurde: Nachdem wir drei Zahlen erhalten haben, können wir eine weitere beliebige Zahl nehmen und sie alle damit multiplizieren. So kann ein 3-4-5-Dreieck in ein 6-8-10-Dreieck umgewandelt werden, indem man alle Seiten mit 2 multipliziert, oder in ein 15-20-25-Dreieck, indem man alles mit 5 multipliziert.

Wenn wir in die Sprache der Algebra wechseln, sieht die Regel wie folgt aus: Seien u, v und k natürliche Zahlen. Dann ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten

2kuv und k (u2 - v2) hat eine Hypotenuse

Es gibt andere Möglichkeiten, die Grundidee darzustellen, aber alle laufen auf die oben beschriebene hinaus. Mit dieser Methode können Sie alle pythagoräischen Tripel erhalten.

Regelmäßige Polyeder

Es gibt genau fünf reguläre Polyeder. Ein regelmäßiges Polyeder (oder Polyeder) ist eine dreidimensionale Figur mit einer endlichen Anzahl flacher Flächen. Facetten konvergieren auf Linien, die Kanten genannt werden; Kanten treffen sich an Punkten, die Eckpunkte genannt werden.

Der Höhepunkt der euklidischen „Prinzipien“ ist der Beweis, dass es nur fünf reguläre Polyeder geben kann, das heißt Polyeder, bei denen jede Fläche ein regelmäßiges Polygon ist (gleiche Seiten, gleiche Winkel), alle Flächen identisch sind und alle Eckpunkte umgeben sind durch eine gleiche Anzahl gleichmäßig beabstandeter Flächen. Hier sind fünf reguläre Polyeder:

Tetraeder mit vier dreieckigen Flächen, vier Eckpunkten und sechs Kanten;

Würfel oder Hexaeder mit 6 quadratischen Flächen, 8 Eckpunkten und 12 Kanten;

Oktaeder mit 8 dreieckigen Flächen, 6 Ecken und 12 Kanten;

Dodekaeder mit 12 fünfeckigen Flächen, 20 Eckpunkten und 30 Kanten;

Ikosaeder mit 20 Dreiecksflächen, 12 Eckpunkten und 30 Kanten.

// Reis. 37. Fünf regelmäßige Polyeder

Regelmäßige Polyeder kommen auch in der Natur vor. Im Jahr 1904 veröffentlichte Ernst Haeckel Zeichnungen winziger Organismen, die als Radiolarien bekannt sind; Viele von ihnen haben die Form derselben fünf regelmäßigen Polyeder. Vielleicht hat er jedoch die Natur leicht korrigiert und die Zeichnungen geben die Form bestimmter Lebewesen nicht vollständig wieder. Die ersten drei Strukturen werden auch in Kristallen beobachtet. In Kristallen werden Sie kein Dodekaeder und kein Ikosaeder finden, obwohl dort manchmal unregelmäßige Dodekaeder und Ikosaeder vorkommen. Echte Dodekaeder können als Quasikristalle erscheinen, die in jeder Hinsicht Kristallen ähneln, außer dass ihre Atome kein periodisches Gitter bilden.

// Reis. 38. Zeichnungen von Haeckel: Radiolarien in Form regelmäßiger Polyeder

// Reis. 39. Entwicklungen regelmäßiger Polyeder

Es kann interessant sein, Modelle regelmäßiger Polyeder aus Papier zu erstellen, indem man zunächst eine Reihe miteinander verbundener Flächen ausschneidet – dies wird als Polyeder-Sweep bezeichnet; Der Scan wird an den Kanten gefaltet und die entsprechenden Kanten werden zusammengeklebt. Es ist sinnvoll, an einer der Kanten jedes dieser Paare einen zusätzlichen Bereich zum Kleben hinzuzufügen, wie in Abb. 39. Wenn keine solche Plattform vorhanden ist, können Sie Klebeband verwenden.

Gleichung fünften Grades

Es gibt keine algebraische Formel zur Lösung von Gleichungen 5. Grades.

Im Allgemeinen sieht die Gleichung fünften Grades so aus:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Das Problem besteht darin, eine Formel zur Lösung einer solchen Gleichung zu finden (es kann bis zu fünf Lösungen geben). Erfahrungen mit quadratischen und kubischen Gleichungen sowie mit Gleichungen vierten Grades legen nahe, dass eine solche Formel auch für Gleichungen fünften Grades existieren sollte und theoretisch die Wurzeln fünften, dritten und zweiten Grades in auftreten sollten Es. Auch hier kann man mit Sicherheit davon ausgehen, dass eine solche Formel, sofern sie existiert, sich als sehr, sehr kompliziert herausstellen wird.

Diese Annahme erwies sich letztlich als falsch. Tatsächlich gibt es keine solche Formel; zumindest gibt es keine Formel bestehend aus den Koeffizienten a, b, c, d, e und f, zusammengesetzt aus Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie Wurzelziehen. Die Zahl 5 hat also etwas ganz Besonderes. Die Gründe für dieses ungewöhnliche Verhalten der fünf sind sehr tiefgreifend und es hat viel Zeit gekostet, sie herauszufinden.

Das erste Anzeichen eines Problems war, dass die Mathematiker, egal wie sehr sie versuchten, eine solche Formel zu finden, egal wie schlau sie waren, immer scheiterten. Eine Zeit lang glaubte jeder, dass die Gründe in der unglaublichen Komplexität der Formel lägen. Man glaubte, dass niemand diese Algebra einfach richtig verstehen könne. Doch mit der Zeit begannen einige Mathematiker daran zu zweifeln, dass eine solche Formel überhaupt existierte, und 1823 konnte Niels Hendrik Abel das Gegenteil beweisen. Eine solche Formel gibt es nicht. Kurz darauf fand Évariste Galois eine Möglichkeit, mit dieser Art von Formel zu bestimmen, ob eine Gleichung des einen oder anderen Grades – 5., 6., 7., im Allgemeinen jeder – lösbar ist.

Die Schlussfolgerung aus all dem ist einfach: Die Zahl 5 ist etwas Besonderes. Sie können algebraische Gleichungen (unter Verwendung von n-ten Wurzeln für verschiedene Werte von n) für Potenzen von 1, 2, 3 und 4 lösen, jedoch nicht für Potenzen von 5. Hier endet das offensichtliche Muster.

Es überrascht niemanden, dass Gleichungen mit Potenzen größer als 5 sich noch schlechter verhalten; Insbesondere ist mit ihnen die gleiche Schwierigkeit verbunden: Es gibt keine allgemeinen Formeln für ihre Lösung. Das bedeutet nicht, dass die Gleichungen keine Lösungen haben; Dies bedeutet auch nicht, dass es unmöglich ist, sehr genaue numerische Werte dieser Lösungen zu finden. Es geht um die Grenzen traditioneller Algebra-Tools. Dies erinnert an die Unmöglichkeit, einen Winkel mit Lineal und Zirkel zu dreiteilen. Es gibt eine Antwort, aber die aufgeführten Methoden reichen nicht aus und ermöglichen es Ihnen nicht, festzustellen, um was es sich handelt.

Kristallographische Einschränkung

Kristalle in zwei und drei Dimensionen haben keine 5-Strahl-Rotationssymmetrie.

Die Atome in einem Kristall bilden ein Gitter, also eine Struktur, die sich periodisch in mehreren unabhängigen Richtungen wiederholt. Beispielsweise wiederholt sich das Muster auf der Tapete über die gesamte Länge der Rolle; Darüber hinaus wiederholt es sich meist in horizontaler Richtung, manchmal mit einem Wechsel von einem Tapetenstück zum nächsten. Im Wesentlichen handelt es sich bei der Tapete um einen zweidimensionalen Kristall.

Es gibt 17 verschiedene Tapetenmuster im Flugzeug (siehe Kapitel 17). Sie unterscheiden sich in der Art der Symmetrie, also in der Art und Weise, das Muster starr zu verschieben, sodass es in seiner ursprünglichen Position genau auf sich selbst liegt. Zu den Symmetriearten zählen insbesondere verschiedene Varianten der Rotationssymmetrie, bei denen das Muster um einen bestimmten Winkel um einen bestimmten Punkt – das Symmetriezentrum – gedreht werden soll.

Die Reihenfolge der Rotationssymmetrie gibt an, wie oft Sie den Körper zu einem vollständigen Kreis drehen können, sodass alle Details des Bildes in ihre ursprüngliche Position zurückkehren. Beispielsweise handelt es sich bei einer 90°-Drehung um eine Rotationssymmetrie 4. Ordnung*. Die Liste möglicher Arten von Rotationssymmetrie im Kristallgitter weist erneut auf die Ungewöhnlichkeit der Zahl 5 hin: Sie ist nicht vorhanden. Es gibt Varianten mit Rotationssymmetrie 2., 3., 4. und 6. Ordnung, aber kein Tapetenmuster weist Rotationssymmetrie 5. Ordnung auf. Auch in Kristallen gibt es keine Rotationssymmetrie der Ordnung größer als 6, die erste Verletzung der Ordnung tritt jedoch immer noch bei der Zahl 5 auf.

Dasselbe geschieht mit kristallographischen Systemen im dreidimensionalen Raum. Hier wiederholt sich das Gitter in drei unabhängigen Richtungen. Es gibt 219 verschiedene Arten von Symmetrie, oder 230, wenn wir die Spiegelung des Musters als eine separate Version davon betrachten – außerdem gibt es in diesem Fall keine Spiegelsymmetrie. Auch hier werden Rotationssymmetrien der Ordnungen 2, 3, 4 und 6 beobachtet, jedoch nicht der Ordnung 5. Diese Tatsache wird als kristallographische Beschränkung bezeichnet.

Im vierdimensionalen Raum existieren Gitter mit Symmetrie 5. Ordnung; Im Allgemeinen ist für Gitter ausreichend großer Dimension jede vorgegebene Ordnung der Rotationssymmetrie möglich.

// Reis. 40. Kristallgitter aus Speisesalz. Dunkle Kugeln stellen Natriumatome dar, helle Kugeln stellen Chloratome dar.

Quasikristalle

Während Rotationssymmetrie 5. Ordnung in 2D- und 3D-Gittern nicht möglich ist, kann sie in etwas weniger regelmäßigen Strukturen, sogenannten Quasikristallen, existieren. Anhand von Keplers Skizzen entdeckte Roger Penrose flache Systeme mit einer allgemeineren Art der fünfzähligen Symmetrie. Sie werden Quasikristalle genannt.

Quasikristalle kommen in der Natur vor. 1984 entdeckte Daniel Shechtman, dass eine Legierung aus Aluminium und Mangan Quasikristalle bilden kann; Zunächst reagierten Kristallographen mit einiger Skepsis auf seine Botschaft, doch später wurde die Entdeckung bestätigt und 2011 wurde Shechtman mit dem Nobelpreis für Chemie ausgezeichnet. Im Jahr 2009 entdeckte ein Wissenschaftlerteam unter der Leitung von Luca Bindi Quasikristalle in einem Mineral aus dem russischen Korjaken-Hochland – eine Verbindung aus Aluminium, Kupfer und Eisen. Heute heißt dieses Mineral Ikosaedrit. Durch die Messung des Gehalts verschiedener Sauerstoffisotope im Mineral mit einem Massenspektrometer zeigten Wissenschaftler, dass dieses Mineral nicht von der Erde stammt. Es entstand vor etwa 4,5 Milliarden Jahren, zu einer Zeit, als das Sonnensystem gerade erst entstand, und verbrachte die meiste Zeit im Asteroidengürtel, wo es die Sonne umkreiste, bis eine Störung seine Umlaufbahn änderte und es schließlich zur Erde brachte.

// Reis. 41. Links: eines von zwei quasikristallinen Gittern mit exakter fünfzähliger Symmetrie. Rechts: Atommodell eines ikosaedrischen Aluminium-Palladium-Mangan-Quasikristalls